Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5

SỞ GD-ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ THẢO NGỌC

BỒI DƯỠNG HỌC SINH TIỂU HỌC
GIẢI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU LỚP 5

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Ngành học : Giáo dục tiểu học
Giảng viên hướng dẫn : Th.s Nguyễn Thị Thúy Vân

Bắc Ninh, Khóa học : 2012 – 2015


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên của đề tài, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô Nguyễn Thị
Thúy Vân đã hướng dẫn em tận tình, chu đáo trong suốt quá trình thực hiện đề tài “Bồi
dưỡng học sinh Tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5”.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tập thể các thầy cô giáo khoa Giáo dục
Tiểu học, khoa Tự nhiên trường CĐSP Bắc Ninh đã giảng dạy và giúp đỡ em trong cả
khóa học.
Xin chân thành cảm ơn các bạn cùng học lớp CĐTH K32G, gia đình, bạn bè, …
đã đóng góp ý kiến giúp đỡ, động viên em hoàn thành đề tài của mình.
Với khả năng có hạn và trong một thời gian không nhiều, bản đề tài này không
tránh khỏi những hạn chế nhất định, em mong nhận được những ý kiến đóng góp và
nhận xét của các thầy cô để đề tài được hoàn thiện hơn.

Em xin chân thành cảm ơn!

Bắc Ninh, ngày 04 tháng 05 năm 2015
Sinh viên

2


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan:
1. Những nội dung trong khóa luận này là do em thực hiện dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của cô Nguyễn Thị Thúy Vân.
2. Mọi tham khảo dùng trong khóa luận đều được trích dẫn rõ ràng tên
tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố.
3. Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá, em
xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.
Sinh viên

3


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

MỤC LỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………………………..6

2. Mục đích nghiên cứu………………………………………………………………...6
3. Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………………………..7
4. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu………………………………………..7
5. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………………….7
6. Kết cấu của đề tài………………………………………………………………...….8
B. PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: CÁC DẠNG TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU
1.1. Loại đơn giản……………………………………………………………………..10
1.1.1. Tính vận tốc của một chuyển động………………………………………...10
1.1.2. Tìm quãng đường………………………………………………………….10
1.1.3. Tính thời gian……………………………………………………………...11
1.2. Loại phức tạp………………………………………………………………….….11
1.2.1. Mở rộng các bài toán chuyển động đều của một vật……………………....11
1.2.2. Chuyển động của hai vật…………………………………………………..13
1.2.2.1. Chuyển động của hai vật ngược chiều…………………………….….13
1.2.2.2. Chuyển động của hai vật cùng chiều ………………………………....15
1.2.2.3. Chuyển động của hai vật trên đường tròn…………………………….17
1.2.3. Vật chuyển động trên dòng sông……………………………………….….19
1.2.4. Vật chuyển động có chiều dài đáng kể………………………………….…20
1.2.5. Bài toán chuyển động dạng “ vòi nước chảy vào bể ”………………….…22
Chương 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU Ở LỚP 5 VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2.1. Loại đơn giản…………………………………………………………………..…24
2.1.1. Tính vận tốc của một chuyển động……………………………………...…24
2.1.2. Tìm quãng đường……………………………………………………….…25
2.1.3. Tính thời gian……………………………………………………………...27
2.2. Loại phức tạp………………………………………………………………….…29
2.2.1. Mở rộng các bài toán chuyển động đều của một vật……………………....29
2.2.2. Các bài toán về chuyển động của hai vật…………………………….……31

4


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

2.2.2.1. Các bài toán về chuyển động của hai vật ngược chiều……………..…31
2.2.2.2. Các bài toán về chuyển động của hai vật cùng chiều …………...……33
2.2.2.3. Các bài toán về chuyển động của hai vật trên đường tròn……………35
2.2.3. Các bài toán về vật chuyển động trên dòng sông………………………….38
2.2.4. Các bài toán về vật chuyển động có chiều dài đáng kể……………………40
2.2.5. Các bài toán về chuyển động dạng “ vòi nước chảy vào bể ”……………..41
Chương 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG
C. PHẦN KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Những năm gần đây, Bộ giáo dục không ngừng đổi mới, cải tiến phương pháp
giảng dạy nhằm giúp cho hiệu quả đào tạo cao hơn và theo kịp xu thế phát triển của
thời đại. Phương pháp mới đòi hỏi học sinh phải tích cực, chủ động nắm bắt, lĩnh hội
và tiếp thu tri thức. Việc dạy học giải các bài toán đối với học sinh là rất cần thiết. Nó
giúp cho việc rèn luyện tư duy, làm quen với cách phân tích – tổng hợp; Tạo điều kiện

5


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

cho học sinh hoạt động học tập chủ động, sáng tạo. Từ đó học sinh có thể tự tìm tòi
phát hiện ứng dụng liến thức mới, tạo hứng thú cho học sinh trong học tập.
Trong chương trình toán lớp 5, nội dung toán chuyển động đều được đưa vào
với 9 bài trong đó có 3 bài lí thuyết và 6 bài luyện tập và luyện tập chung. Cụ thể 3 bài
lí thuyết học về 3 đại lượng: vận tốc, quãng đường và thời gian, đó là những bài tập
đơn lẻ về chuyển động của một vật. Còn lại là các dạng toán phức tạp khác chỉ được
giới thiệu trong các tiết luyện tập và luyện tập chung.
Nói chung, đây là một dạng toán điển hình vì:
+ Có nhiều bài tập dạng chuyển động thường chỉ là hình thức còn nội dung bài
toán chứa đựng cả những loại bài toán khác như:
•

Tìm hai số khi biết tổng – hiệu của hai số đó.

•

Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của hai số.
+ Phương pháp giải các bài tập đó cũng rất phong phú như : giả thiết tạm, suy

luận,...
Để giải được dạng toán này đòi hỏi học sinh phải biết tư duy trừu tượng để phân
tích bài toán chuyển động, vận dụng các mối quan hệ giữa các đại lượng: quãng
đường, vận tốc, thời gian thì mới nhận dạng được đặc điểm toán học và tìm ra phương
pháp giải tương ứng.
Do đó, dạng toán chuyển động đều cũng là một dạng toán khó ở bậc Tiểu học.
Với mục đích nghiên cứu, tìm hiểu phân loại nhằm giúp các em học sinh lớp 5 nắm
chắc và học tốt hơn dạng toán chuyển động đều, em chọn đề tài “Bồi dưỡng học sinh
Tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5”.
2. Mục đích nghiên cứu
Trong nền giáo dục Việt Nam, giáo dục bậc Tiểu học là vô cùng quan trọng. Nó

góp phần hình thành cho học sinh cơ sở ban đầu về nhiều mặt: trí tuệ, thể chất, tình
cảm, tâm hồn và nhân cách.
Như chúng ta đã biết, nhận thức của học sinh tiểu học thường là nhận thức cảm
tính, tư duy của trẻ Tiểu học vào trực quan và quan sát, kĩ năng tưởng tượng còn hạn
chế. Suy luận của các em hầu hết chỉ là các phán đoán có ý thức. Quá trình học tập
môn Toán của học sinh về dạng Toán chuyển động đều còn nhiều hạn chế. Đây là
dạng Toán khó, nội dung phong phú, đa dạng. Vì thế cần có phương pháp cụ thể đề ra
để bồi dưỡng cho học sinh giải các bài Toán về chuyển động đều nhằm nâng cao chất

6


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

lượng dạy học của giáo viên, đồng thời phát triển khả năng tư duy và óc sáng tạo của
học sinh.
Với việc nghiên cứu đề tài “Bồi dưỡng học sinh Tiểu học giải Toán về chuyển
động đều lớp 5” tôi hướng tới mục đích nâng cao chất lượng giải toán chuyển động
đều cho học sinh lớp 5. Giúp học sinh hình thành kĩ năng, sử dụng thành thạo và vận
dụng linh hoạt các kiến thức trong giải toán chuyển động đều.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về việc bồi dưỡng học sinh Tiểu học giải các bài toán về chuyển động
đều.
- Một số đề xuất về nội dung, phương pháp bồi dưỡng học sinh giải các bài tập về
dạng toán chuyển động đều.
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Dạng toán chuyển động đều.
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán về chuyển động đều ở lớp 5.
5. Các phương pháp nghiên cứu

a) Phương pháp nghiên cứu lí luận: Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp các vấn đề lí luận
về việc giảng dạy toán phần trăm ở tiểu học.
b) Phương pháp quan sát: Là phương pháp thu thập thông tin bằng cách tri giác trực
tiếp.
c) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Là phương pháp kết hợp lý luận với thực tiễn,
đem lý luận phân tích kinh nghiệm của thực tiễn rồi từ những phân tích đó rút ra kết
luận những bài học thành công và thất bại, những phát hiện mới và phát triển hoàn
thiện.
6. Kết cấu của đề tài
Đề tài được bố cục thành 3 phần chính :
- Phần mở đầu.
- Phần nội dung, gồm 3 chương:
+ Chương 1: Các dạng toán về chuyển động đều.
+ Chương 2: Một số bài toán về chuyển động đều ở lớp 5 và phương pháp giải.
+ Chương 3: Bài tập vận dụng.
- Phần kết luận.

7


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

B. PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: CÁC DẠNG TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU
Toán chuyển động đều nằm trong chương IV của SGK toán 5 gồm 9 bài. Trong đó,
phần lớn các bài toán chuyển động trong sách giáo khoa toán 5 thuộc loại đơn giản.
Đặc trưng của dạng toán này đề ra cho học sinh nhằm củng cố kiến thức về 3 đại
lượng: vận tốc, quãng đường và thời gian. Đối với loại toán này thì việc nhận dạng rất
đơn giản. Các em chỉ cần đọc kĩ đề bài, xác định các yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm có

thể xác định được cách làm.

8


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

Ở các bài tập loại đơn giản, học sinh dễ dàng vận dụng các công thức để giải. Các
đại lượng trong chuyển động đều:
- Quãng đường, kí hiệu là s. Đơn vị thường dùng: m hoặc km.
- Thời gian, kí hiệu là t. Đơn vị đo thường dùng: giờ, phút hoặc giây.
- Vận tốc, kí hiệu là v. Đơn vị đo thường dùng: km/giờ, km/phút, m/phút hoặc m/giây.
Các công thức:
+s =v×t
+v=s:t
+t=s:v
Sau khi học sinh được làm quen với 3 đại lượng: vận tốc, quãng đường, thời gian,
học sinh biết cách tính một trong ba đại lượng khi biết 2 đại lượng còn lại. Sách giáo
khoa còn giới thiệu về các loại bài toán khác ở hai tiết luyện tập chung chương IV và
một số bài toán trong tiết luyện tập chung ở chương V.
* Chú ý: Trong quá trình dạy học hình thành quy tắc, công thức tính, người giáo viên
cần lưu ý học sinh những vấn đề sau để học sinh tránh được những nhầm lẫn khi làm
bài.
- Đơn vị vận tốc phụ thuộc vào đơn vị quãng đường và đơn vị thời gian.
Chẳng hạn:
s : km
t : giờ

s:m

v : km/giờ

t : phút

v : m/phút

- Đơn vị thời gian phụ thuộc vào đơn vị quãng đường và vận tốc.
Chẳng hạn: s : km
v : km/giờ

t : giờ

- Đơn vị quãng đường phụ thuộc vào đơn vị vận tốc và thời gian.
Chẳng hạn: v : km/giờ
t : giờ

v : m/giờ
s : km

t : giờ

s:m

- Đơn vị của các đại lượng khi thay vào công thức phải tương ứng với nhau. Số đo
thời gian khi thay vào công thức phải viết dưới dạng số tự nhiên, số thập phân, phân
số.
1.1. Loại đơn giản
1.1.1. Tính vận tốc của một chuyển động
- Có quãng đường, thời gian. Tính vận tốc.

9


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

- Quy tắc: Muốn tính vận tốc ta lấy quãng đường chia cho thời gian.
- Gọi vận tốc là v, quãng đường là s, thời gian là t, ta có công thức: v = s : t
Trong nội dung bài mới của toán chuyển động đều, khái niệm vận tốc là một khái
niệm khó hiểu, trừu tượng đối với học sinh. Vì vậy, khi dạy bài này giáo viên cần đặc
biệt chú ý để học sinh hiểu rõ, nắm chắc bản chất của vận tốc, bằng các ví dụ cụ thể
trong sách giáo khoa, giúp học sinh hiểu: Nếu đem chia quãng đường đi được cho thời
gian đi quãng đường đó thì sẽ được vận tốc trung bình của động tử, hay gọi tắt là vận
tốc của động tử.
Ví dụ 1: Một ô tô đi được quãng đường dài 170km hết 4 giờ. Hỏi trung bình mỗi giờ ô
tô đi được bao nhiêu ki-lô-mét ?
Phân tích: Bài toán yêu cầu tính vận tốc của chuyển động (v). Biết quãng đường dài
170km, tức s = 170km; thời gian đi hết quãng đường là 4 giờ, tức t = 4 giờ.
Áp dụng công thức: v = s : t, tính được mỗi giờ ô tô đi được bao nhiêu ki-lô-mét.
? km

170km
Bài giải
Trung bình mỗi giờ ô tô đi được là:
170 : 4 = 42,5 (km)
Đáp số: 42,5km.
1.1.2. Tìm quãng đường
- Có vận tốc, thời gian. Tính quãng đường.
- Quy tắc: Muốn tính quãng đường ta lấy vận tốc nhân với thời gian.
- Công thức: s = v × t

Ví dụ 2: Một người đi xe đạp với vận tốc 12 km/giờ trong 2 giờ 30 phút. Tính quãng
đường người đó đã đi được.
Phân tích: Bài toán cho biết: v = 12 km/giờ; t = 2 giờ 30 phút.
Áp dụng công thức s = v × t, tính được quãng đường đi được.
Bài giải
Đổi: 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ.
Quãng đường người đó đã đi được là:

10


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

12 × 2,5 = 30 (km)
Đáp số : 30km.
- Lưu ý: Vì đơn vị của vận tốc là km/giờ nên đơn vị thời gian là giờ. Bài toán cho thời
gian là số phức hợp, vì vậy phải đổi về đơn vị là giờ.
1.1.3. Tính thời gian
- Có quãng đường và vận tốc. Tính thời gian.
- Quy tắc: Muốn tính thời gian ta lấy quãng đường chia cho vận tốc.
- Công thức: t = s : v
Ví dụ 3: Một ô tô đi được quãng đường 170km với vận tốc 42,5 km/giờ. Tính thời
gian ô tô đi quãng đường đó.
Phân tích: Bài toán cho biết: s = 170km; v = 42,5 km/giờ.
Để tính thời gian đi quãng đường đó áp dụng công thức: t = s : v.
Bài giải
Thời gian ô tô đi là:
170 : 42,5 = 4 (giờ)
Đáp số: 4 giờ.

1.2. Loại phức tạp
1.2.1. Mở rộng các bài toán chuyển động đều của một vật
Các công thức vận dụng là:
-s=v×t
-v=s:t
-t=s:v
Một số bài toán về chuyển động đều của một vật, nhiều bài khi mới đọc đề tưởng rất
khó, rất phức tạp, nhưng biết chuyển về dạng toán điển hình thì việc giải bài toán trở
nên dễ dàng hơn rất nhiều. Để có thể đưa một số bài toán chuyển động đều về các
dạng toán điển hình thì sau khi học sinh nắm được các công thức tính vận tốc, quãng
đường, thời gian, giáo viên cần hướng dẫn thông qua các ví dụ cụ thể để học sinh
nhận ra mối quan hệ tỉ lệ giữa 3 đại lượng đó như sau:
+ Khi đi cùng thời gian, vận tốc tăng lên (hoặc giảm đi) bao nhiêu lần thì quãng
đường cũng tăng lên (hoặc giảm đi) bấy nhiêu lần.
+ Khi đi cùng quãng đường, vận tốc tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì thời gian
giảm (hoặc tăng) bấy nhiêu lần.

11


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

+ Khi đi cùng vận tốc, thời gian tăng lên (hoặc giảm đi) bao nhiêu lần thì quãng
đường cũng tăng lên (hoặc giảm đi) bấy nhiêu lần.
Từ đó, một số bài toán chuyển động đều có thể đưa về các dạng toán điển hình như:
+ Tìm hai số khi biết tổng (hiệu) và tỉ số của chúng.
+ Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng.
Ví dụ 4: Một ô tô dự kiến đi từ A với vận tốc 45 km/giờ để đến B lúc 12 giờ trưa. Do
trời trở gió nên mỗi giờ xe chỉ đi được 35km và đến B chậm 40 phút so với dự kiến.

Tính quãng đường từ A đến B.
Phân tích: Để giải bài toán này cần đưa về dạng toán điển hình.
- Các đại lượng đã cho:
+ Vận tốc dự kiến đi từ A đến B: 45 km/giờ
+ Vận tốc đi thực từ A đến B: 35 km/giờ
+ Thời gian chênh lệch: 40 phút
- Mối quan hệ giữa các đại lượng đã cho:
+ Tỉ số giữa vận tốc dự kiến và vận tốc đi thực là: = .
+ Ta có: trên cùng quãng đường, vận tốc tăng (hay giảm) bao nhiêu lần thì thời
gian giảm (hay tăng) bấy nhiêu lần.
Do đó, tỉ số giữa thời gian dự kiến và thời gian đi thực là : .
- Ở bài toán này ta đã biết tỉ số giữa hai thời gian là , hiệu giữa hai thời gian là 40
phút. Đây chính là dạng toán điển hình “Tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số
đó”.
Bài giải
Tỉ số giữa vận tốc dự kiến và vận tốc đi thực là:
45 : 35 =
Vì trên cùng một quãng đường, vận tốc tăng (hay giảm) bao nhiêu lần thì thời gian
giảm (hay tăng) bấy nhiêu lần nên tỉ số giữa thời gian dự kiến và thời gian đi thực là .
Ta có sơ đồ sau:
Thời gian dự kiến:
Thời gian thực đi:
40 phút
Hiệu số phần bằng nhau là:
9 – 7 = 2 (phần)

12


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5

___________________________________________________________________________

Thời gian ô tô thực đi từ A đến B là:
40 : 2 × 9 = 180 (phút)
Đổi: 180 phút = 3 giờ.
Quãng đường AB dài là:
35 × 3 = 105 (km)
Đáp số: 105km.
1.2.2. Chuyển động của hai vật
1.2.2.1. Chuyển động của hai vật ngược chiều
Xét bài toán: Cho quãng đường AB. Cùng một thời điểm, một vật đi từ A với vận tốc
v1, một vật đi từ B với vận tốc v2. Hỏi sau thời gian bao lâu hai vật gặp nhau ?
v1
A

v2
gặp nhau

B

Trên quãng đường s = AB; hai vật chuyển động với vận tốc v 1 và v2, cùng thời điểm
xuất phát. Vậy khi gặp nhau hai chuyển động đi hết quãng đường AB từ hai chiều
ngược nhau.
Ta tính được sau một giờ cả hai vật đi được quãng đường: 1 × (v 1 + v2) đơn vị quãng
đường.
Gọi t là thời gian để hai vật gặp nhau. Sau thời gian t, hai vật đi được cả quãng
đường: s = (v1 + v2) × t
Thời gian để hai vật đi đến chỗ gặp nhau là: t = s : (v1 + v2)
Như vậy ta có quy tắc: Muốn tìm thời gian gặp nhau của hai vật chuyển động ngược
chiều ta lấy quãng đường giữa hai vật chia cho tổng vận tốc của chúng (cùng thời

điểm xuất phát).
Công thức: t = s : (v1 + v2)
Ví dụ 5: Quãng đường AB dài 180km. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 54 km/giờ,
cùng lúc đó một xe máy đi từ B đến A với vận tốc 36 km/giờ. Hỏi kể từ lúc bắt đầu đi,
sau mấy giờ ô tô gặp xe máy ?
Phân tích: Khi ô tô gặp xe máy thì cả ô tô và xe máy đi hết quãng đường 180km từ hai
chiều ngược nhau. Áp dụng công thức: t = s : (v 1 + v2), tính được thời gian để hai xe
gặp nhau.
Ô tô

Xe máy

13


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

54 km/giờ

36 km/giờ
•
Gặp nhau

A

180km

B
Bài giải

Sau mỗi giờ cả ô tô và xe máy đi được quãng đường là:
54 + 36 = 90 (km)
Thời gian đi để ô tô và xe máy gặp nhau là:
180 : 90 = 2 (giờ)
Đáp số: 2 giờ.
Ví dụ 6: Hai người cùng khởi hành cùng một lúc từ một địa điểm và đi về hai phía
ngược nhau, một người đi xe máy với vận tốc 48 km/giờ, một người đi xe đạp với vận
tốc bằng vận tốc người đi xe máy. Hỏi sau 1 giờ 24 phút hai người cách nhau bao
nhiêu ki-lô-mét ?
Phân tích: Hai người đi về hai phía ngược nhau, vậy sau một giờ hai người cách nhau
một quãng đường bằng tổng vận tốc của cả hai. Từ công thức: t = s : (v1 +v2), ta tính
được: s = (v1 + v2) × t.
Bài giải
Vận tốc của người đi xe đạp là:
48 : 3 = 16 (km/giờ)
Một giờ hai người đi được quãng đường là:
48 + 16 = 64 (km)
Đổi: 1 giờ 24 phút = 84 phút.
Sau 1 giờ 24 phút hai người cách nhau:
(64 × 84) : 60 = 89,6 (km)
Đáp số: 89,6km.
1.2.2.2. Chuyển động của hai vật cùng chiều
v1
A

v2
B

C

14


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

Xét trên quãng đường AC, hai vật chuyển động cùng chiều v1, v2 (v1 ˃ v2). Khoảng
cách hai vật lúc này là: s = AB. Sau một thời gian t nhất định, vật 1 sẽ đuổi kịp vật 2
và khoảng cách hai vật lúc này sẽ bằng 0. Do vậy, sau 1 giờ, hai vật sẽ gần nhau được
một quãng đường là: 1 × v1 – 1 × v2 = v1 − v2
Sau thời gian t, hai vật gần nhau được quãng đường là:
t × (v1 − v2), tức là s = t × (v1 − v2)
Vậy t = s : (v1 − v2)
Ngoài ra, trong chuyển động của hai vật cùng chiều, ta có:
- Hai vật chuyển động cùng chiều, cách nhau một quãng đường s, cùng xuất phát một
lúc thì thời gian để chúng đuổi kịp là:
t=
- Hai vật chuyển động cùng chiều, cùng xuất phát từ một địa điểm. Vật thứ hai xuất
phát trước vật thứ nhất thời gian t 0 (lúc này, quãng đường s = v 2t0) sau đó vật thứ nhất
đuổi theo thì thời gian để chúng đuổi kịp nhau là:
t=
Ví dụ 7: Một người đi xe đạp từ B đến C với vận tốc 12 km/giờ, cùng lúc đó một
người đi xe máy từ A cách B 48km với vận tốc 36 km/giờ và đuổi theo xe đạp (xem
hình dưới đây). Hỏi kể từ lúc bắt đầu đi, sau mấy giờ xe máy đuổi kịp xe đạp ?
Xe máy

A

Xe đạp

48km

B

C

Phân tích: Xe máy đi nhanh hơn xe đạp, xe đạp đi trước, xe máy đuổi theo thì đến lúc
nào đó xe máy sẽ đuổi kịp xe đạp. Áp dụng công thức t = , tính được thời gian xe máy
đuổi kịp xe đạp.
Bài giải
Sau mỗi giờ xe máy gần xe đạp là:
36 – 12 = 24 (km)
Thời gian đi để xe máy đuổi kịp xe đạp là:
48 : 24 = 2 (giờ)
Đáp số: 2 giờ.

15


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

Ví dụ 8: Đường từ nhà An về quê dài 35km. An rủ Tuấn cùng về quê chơi nhưng đợi
đến 7 giờ không thấy Tuấn đến nên An đi trước với vận tốc 10 km/giờ. Lúc 7 giờ 30
phút, Tuấn đến thấy An đã đi trước nên đuổi theo với vận tốc 12 km/giờ. Hỏi, Tuấn
đuổi kịp An vào thời điểm nào? Chỗ đó còn cách quê An bao xa?
Phân tích: Bài toán thuộc dạng chuyển động đều cùng chiều đuổi nhau, cùng điểm
xuất phát nhưng không cùng thời điểm xuất phát. Do vậy, ta đưa về cùng thời điểm
xuất phát. Tính từ thời điểm lúc 7 giờ 30 phút thì hai bạn cách nhau một quãng đường

chính bằng quãng đường An đi được trong thời gian từ 7 giờ đến 7 giờ 30 phút. Bài
toán không hỏi thời gian gặp nhau mà hỏi thời điểm gặp nhau, do vậy ta phải lấy thời
điểm bắt đầu tính hai bạn cùng xuất phát cộng với thời gian để Tuấn đuổi kịp An.
Bài giải
Thời gian An đi trước Tuấn là:
7 giờ 30 phút – 7 giờ = 30 (phút)
Quãng đường An đi trước Tuấn là:
10 : 60 × 30 = 5 (km)
Hiệu vận tốc giữa hai bạn là:
12 – 10 = 2 (km/giờ)
Thời gian để Tuấn đuổi kịp An là:
5 : 2 = 2,5 (giờ)
Đổi: 2,5 giờ = 2 giờ 30 phút.
Thời điểm Tuấn đuổi kịp An là:
7 giờ 30 phút + 2 giờ 30 phút = 10 giờ
Nơi đó còn cách nhà An là:
35 – 12 × 2,5 = 5 (km)
Đáp số: 10 giờ; 5km.
1.2.2.3. Chuyển động của hai vật trên đường tròn
Khi giải bài tập dạng chuyển động của hai vật trên đường tròn ta đưa bài toán về dạng
toán chuyển động của hai vật cùng chiều hoặc ngược chiều.
Ví dụ 9: Hiện nay là 3 giờ đúng.
a) Hỏi ít nhất sau bao nhiêu phút nữa hai kim đồng hồ sẽ chập lên nhau?
b) Hỏi đến 12 giờ đúng, hai kim gặp nhau bao nhiêu lần?

16


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

Phân tích: a) Lúc 3 giờ đúng, kim giờ chỉ đúng số 3, kim phút chỉ đúng số 12. Như
vậy, kim phút đứng sau kim giờ

vòng đồng hồ, hay khoảng cách ban đầu giữa hai

kim là vòng. Vì vận tốc kim phút lớn hơn vận tốc kim giờ nên kim phút đuổi theo kim
giờ và kịp kim giờ.
b) Sau khi tính được thời gian ít nhất để hai kim gặp nhau, ta dễ dàng tính được số lần
hai kim gặp nhau trong khoảng từ 3 giờ đến 12 giờ.
Bài giải
a) Trong một giờ, kim phút đi hơn kim giờ quãng đường là:
1 − = (vòng)
Thời gian kim phút đuổi kịp kim giờ là:
: = (giờ) = 16 (phút)
b) Nhận xét: Tính từ lúc 3 giờ kim phút và kim giờ trùng nhau lần thứ nhất. Như vậy,
từ lúc 3giờ, thời gian ngắn nhất để hai kim gặp nhau lần tiếp theo là:
1 : = (giờ)
Từ 3giờ đến 12 giờ đúng cách nhau số giờ là:
12 − 3 = (giờ)
Từ 3giờ đến 12 giờ đúng số lần kim giờ và kim phút trùng nhau là:
: 1 = 8 (lần)
Từ 3 giờ đến 12 giờ hai kim gặp nhau số lần là:
8 + 1 = 9 (lần)
Đáp số: a) 16 phút.
b) 9 lần.
Ví dụ 10: Trên con đường vòng quanh một cái hồ dài 1,6km, anh An khởi hành từ
điểm A lúc 8 giờ 30 phút bằng xe đạp với vận tốc 12 km/giờ. Hai phút sau anh Bình
cũng đi bằng xe đạp khởi hành từ điểm A và đuổi theo anh An với vận tốc 14 km/giờ.
Hỏi đến mấy giờ anh Bình mới đuổi kịp anh An và khi gặp nhau họ đã đi được mấy

vòng hồ ?
Phân tích: Đây là dạng toán chuyển động trên đường tròn, cùng chiều, cùng điểm xuất
phát nhưng không cùng thời điểm xuất phát. Bài toán hỏi thời gian gặp nhau. Do vậy,
ta phải đưa về dạng toán hai vật chuyển động cùng chiều, cùng thời điểm xuất phát
chính là lúc 8 giờ 32 phút. Khoảng cách của hai xe lúc 8 giờ 32 phút chính bằng quãng
đường An đi được trong 2 phút.

17


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

Bài giải
Trong 2 phút đầu anh An đã đi được:
(12 × 2) : 60 = 0,4 (km)
Hiệu hai vận tốc là:
14 – 12 = 2 (km/giờ)
Anh Bình đuổi kịp anh An sau thời gian:
0,4 : 2 = 0,2 (giờ)
Đổi: 0,2 giờ = 12 phút.
Anh Bình đuổi kịp anh An lúc:
8 giờ 30 phút + 2 phút + 12 phút = 8 giờ 44 phút
Trong 12 phút anh Bình đi được:
14 × 0,2 = 2,8 (km)
Số vòng hồ hai người đã đi được là:
2,8 : 1,6 = 1,75 (vòng hồ)
Đáp số: 8 giờ 44 phút; 1,75 vòng hồ.
1.2.3. Vật chuyển động trên dòng sông
Ta thấy, khi thả một cụm bèo trôi xuôi theo dòng nước, sau một thời gian cụm bèo sẽ

trôi tới hạ nguồn của dòng nước. Như vậy, chứng tỏ vận tốc trôi của cụm bèo chính là
vận tốc của dòng nước.
Chuyển động của một vật trên dòng nước, có hai loại vận tốc đó là vận tốc của vật và
vận tốc của dòng nước.
Khi vật chuyển động trên dòng nước, xảy ra hiện tượng:
+ Vật đi xuôi dòng sẽ được dòng nước đẩy đi nhanh hơn, khi đó làm xuất hiện
một loại vận tốc gọi là vận tốc xuôi dòng.
Ta có: vxuôi dòng = vthật của vật + vdòng nước
+ Vật đi ngược dòng sẽ bị dòng nước cản lại nên đi chậm hơn, khi đó làm xuất
hiện một loại vận tốc gọi là vận tốc ngược dòng.
Ta có: vngược dòng = vthật của vật − vdòng nước
Vì vậy, trong chuyển động trên dòng nước, ta thường gặp 4 loại vận tốc sau:
- Vận tốc thật của vật, kí hiệu là vt.
- Vận tốc dòng nước, kí hiệu là vd.
- Vận tốc xuôi dòng, kí hiệu là vx.

18


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

- Vận tốc ngược dòng, kí hiệu là vn.
Ta có:
- Vận tốc khi đi xuôi dòng bằng vận tốc thực cộng với vận tốc dòng nước.
Công thức: vx = vt + vd
- Vận tốc khi đi ngược dòng bằng vận tốc thực trừ đi vận tốc dòng nước.
Công thức: vn = vt − vd
- Vận tốc dòng nước bằng vận tốc xuôi dòng trừ đi vận tốc ngược dòng rồi chia cho 2.
Công thức: vd = (vx − vn) : 2

- Vận tốc thực bằng vận tốc xuôi dòng cộng vận tốc ngược dòng rồi chia cho 2.
Công thức: vt = (vx − vn) : 2.
Khi giải các bài tập về chuyển động trên dòng nước, ta cũng áp dụng các công thức
tính quãng đường, vận tốc và thời gian giống chuyển động trên đường bộ.
Ví dụ 11: Một tàu thủy khi xuôi dòng, có vận tốc 28,4 km/giờ, khi ngược dòng có vận
tốc 18,6 km/giờ. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước lặng và vận tốc của dòng nước.
Phân tích: Vận tốc khi xuôi dòng bao giờ cũng lớn hơn vận tốc khi ngược dòng. Bởi vì
khi xuôi dòng có thêm sức đẩy của nước, còn khi ngược dòng lại bị sức cản của nước.
Vì vậy, vận tốc xuôi dòng bằng tổng vận tốc thực của vật chuyển động với vận tốc
dòng nước, còn vận tốc ngược dòng bằng hiệu vận tốc thực của vật chuyển động với
vận tốc dòng nước.
Bài giải
Theo đề bài ta có sơ đồ:
28,4 km/giờ
Vận tốc tàu thủy khi xuôi dòng:

vt
vt

vd

Vận tốc tàu thủy khi ngược dòng:
18,6 km/giờ
Trong đó: vt là vận tốc tàu thủy khi nước lặng.
vd là vận tốc dòng nước.
Dựa vào sơ đồ ta có:
Vận tốc của dòng nước là:
(28,4 – 18,6) : 2 = 4,9 (km/giờ)
Vận tốc của tàu thủy khi nước lặng là:

19

vd


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

28,4 – 4,9 = 23,5 (km/giờ)
hoặc: 18,6 + 4,9 = 23,5 (km/giờ)
Đáp số: 23,5 km/giờ; 4,9 km/giờ
1.2.4. Vật chuyển động có chiều dài đáng kể
- Đoàn tàu chạy qua cột điện: Cột điện coi như là một điểm, đoàn tàu vượt qua hết cột
điện có nghĩa là từ lúc đầu tàu đến cột điện cho đến khi toa cuối cùng của tàu vượt qua
cột điện. Kí hiệu l là chiều dài đoàn tàu, t là thời gian đoàn tàu chạy qua cột điện, v là
vận tốc tàu. Ta có:
t=l:v
- Đoàn tàu có chiều dài l chạy qua một cái cầu có độ dài là d, thời gian đoàn tàu chạy
qua cầu có nghĩa là từ lúc đầu tàu bắt đầu đến cầu cho đến lúc toa cuối cùng của tàu
qua khỏi cầu hay Quãng đường = chiều dài tàu + chiều dài cầu.
t = (l + d) : v
- Đoàn tàu chạy qua một ô tô đang chạy ngược chiều (chiều dài ô tô là không đáng kể),
Trường hợp này xem như bài toán chuyển động ngược chiều nhau xuất phát từ hai vị
trí: A (đuôi tàu) và B (ô tô). Trong đó: Quãng đường cách nhau của hai vật = quãng
đường hai vật cách nhau + chiều dài của đoàn tàu.
Thời gian để đoàn tàu vượt qua ô tô là: t = (l + d) : (vô tô – vtàu)
- Đoàn tàu vượt qua một ô tô chạy cùng chiều và cách đầu tàu một đoạn bằng d (coi
chiều dài ô tô là không đáng kể). Đây là bài toán hai vật chuyển động cùng chiều xuất
phát từ hai vị trí đuôi tàu và ô tô.
Ta có:

Thời gian vượt qua ô tô bằng tổng chiều dài của đoàn tàu và khoảng cách từ ô tô đến
đầu tàu (l + d) chia cho hiệu giữa vận tốc của tàu và vận tốc của ô tô.
t = (l + d) : (vtàu – vô tô)
Ví dụ 12: Một đoàn tàu hỏa lướt qua một cây cổ thụ hết 6 giây. Cũng với vận tốc đó,
tàu chạy qua một cây cầu dài 500m hết 26 giây. Tính:
a) Chiều dài đoàn tàu.
b) Vận tốc của đoàn tàu.
Phân tích: Khi tàu lướt qua cây cổ thụ hết 6 giây, tức là tàu chạy trong 6 giây được
một quãng đường bằng chiều dài tàu.

20


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

Tàu chạy qua cây cầu dài 500m hết 26 giây, tức là trong 26 giây tàu chạy được
quãng đường bằng 500m cộng với chiều dài tàu.
Bài giải
Thời gian tàu chạy quãng đường 500m là:
26 – 6 = 20 (giây)
Vận tốc của tàu là:
500 : 20 = 25 (m/giây)
Chiều dài của tàu là:
25 × 6 = 150 (m)
Đáp số: a) 150m.
b) 25 m/giây.
1.2.5. Bài toán chuyển động dạng “vòi nước chảy vào bể”
Bên cạnh các bài toán về tính vận tốc, tính quãng đường, tính thời gian, chuyển động
trên dòng sông, chuyển động ngược chiều, chuyển động cùng chiều, vật chuyển động

có chiều dài đáng kể, chương trình Toán lớp 5 có một số bài tập tương tự chuyển động
đều. Đó là bài toán dạng “Vòi nước chảy vào bể”.
Trong loại toán này thường có ba đại lượng:
+ Thể tích nước: thể tích này thường tính theo lít (l), hoặc mét khối (m3), hoặc đềxi-mét khối (dm3). Đại lượng này tương tự quãng đường (s).
+ Sức chảy của vòi nước hoặc lưu lượng chảy của vòi nước. Đại lượng được tính
theo đơn vị lít/phút hoặc lít/giây hoặc lít/giờ. Đại lượng này tương tự vận tốc (v).
+ Thời gian chảy: đại lượng này tương tự với đại lượng thời gian (t) trong toán
chuyển động đều.
Mối quan hệ giữa ba đại lượng:
Thể tích nước = lưu lượng (sức chảy) × thời gian
Thời gian = thể tích nước : lưu lượng
Lưu lượng = thể tích nước : thời gian
Ví dụ 13: Một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có kích thước ở trong lòng bể là: chiều
dài 2m, chiều rộng 1,5m và chiều cao 1m. Khi bể không có nước người ta mở vòi cho
nước chảy vào bể, mỗi giờ được 0,5m3. Hỏi sau mấy giờ bể sẽ đầy nước ?

21


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

Phân tích: Bài toán cho biết các kích thước của bể nên sẽ tính được thể tích của bể hay
lượng nước mà bể có thể chứa được. Biết lưu lượng của vòi nước chảy trong một giờ
nên sẽ tính được thời gian chảy đầy bể.
Bài giải
Thể tích của bể nước đó là:
2 × 1,5 × 1 = 3 (m3)
Thời gian để vòi nước chảy đầy bể là:
3 : 0,5 = 6 (giờ)

Đáp số: 6 giờ.

22


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

Chương 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHUYỂN ĐỘNG ĐỀU Ở LỚP 5 VÀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2.1. Loại đơn giản
2.1.1. Tính vận tốc của một chuyển động
Bài 1: Một người đi xe máy đi trong 3 giờ được 105km. Tính vận tốc của người đi xe
máy ?
Phân tích: Bài toán cho biết: s = 105km; t = 3 giờ, yêu cầu tính vận tốc (v).
Áp dụng công thức: v = s : t, tính được vận tốc của người đi xe máy.
? km

105km
Bài giải
Vận tốc của người đi xe máy là:
105 : 3 = 35 (km/giờ)
Đáp số: 35km/giờ.
Bài 2: An đi học lúc 6 giờ 30 phút, dự định đến trường lúc 7 giờ 15 phút. Hôm nay đi
khỏi nhà được 400m thì An phải quay lại lấy một quyển vở để quên nên khi đến
trường thì đúng 7 giờ 30 phút. Hỏi trung bình An đi 1 giờ được bao nhiêu ki-lô-mét.
Phân tích: Do phải quay lại lấy vở nên quãng đường thực đi hơn quãng đường dự định
bằng hai lần 400m.
Ta cũng tính được thời gian thực đi hơn thời gian dự định.
Từ đó ta tính được vận tốc của An.

Bài giải
Do quên vở An phải đi thêm quãng đường là:

23


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

400 × 2 = 800 (m)
Như vậy số thời gian An phải đi thêm là:
7 giờ 30 phút – 7 giờ 15 phút = 15 (phút)
Vậy trung bình 1 giờ An đi được quãng đường là:
800 : 15 × 60 = 3200 (m)
Đổi: 3200m = 3,2km.
Đáp số: 3,2km.
Bài 3: Bác Hùng đi xe đạp từ nhà lên thị xã (phải qua xã A và xã B) hết 3 giờ. Quãng
đường từ nhà bác đến thị xã A dài 11km và thời gian bác đi từ nhà đến xã A lâu hơn từ
thời gian đi từ xã A đến xã B là 15 phút và ít hơn thời gian đi từ xã B đến thị xã là 15
phút. Tính vận tốc của bác Hùng.
Phân tích: Ta chia khoảng thời gian bác Hùng đi từ nhà lên thị xã làm 3 chặng. Chặng
1 từ nhà đến xã A, chặng 2 từ xã A đến xã B, chặng 3 từ B đến thị xã. Theo đầu bài,
thời gian đi chặng 2 ít nhất, thời gian đi chặng 1 hơn chặng 2 là 15 phút và kém chặng
3 là 2 lần 15 phút.
Để tính thời gian chặng 1 ta đưa bài toán về dạng tìm 3 số khi biết hiệu và tổng số
của 3 số đó. Trong đó: tổng là 3 giờ, số nhỏ nhất là thời gian chặng 2, số lớn nhất là
thời gian chặng 3.
Tính được thời gian chặng 1 ta tính được vận tốc của bác Hùng.
Bài giải
Đổi: 3 giờ = 180 phút.

Ta có sơ đồ sau:

15 phút

Thời gian đi từ nhà đến xã A:
Thời gian đi từ xã A đến xã B:

15 phút

Thời gian đi từ xã B đến thị xã:
Thời gian đi từ xã A đến xã B là:
(180 – 15 – 15 × 2) : 3 = 45 (phút)
Thời gian đi từ nhà đến xã A là:
45 + 15 = 60 (phút)
Đổi: 60 phút = 1 giờ.
Vận tốc của bác Hùng là:

24

180 phút


Bồi dưỡng học sinh tiểu học giải toán về chuyển động đều lớp 5
___________________________________________________________________________

11 : 1 = 11 (giờ)
Đáp số: 11 km/giờ.
2.1.2. Tìm quãng đường
Bài 4: Một ô tô đi trong 4 giờ với vận tốc 42,5 km/ giờ. Tính quãng đường đi được của
ô tô.

Phân tích: Bài toán cho biết: t = 3 giờ; v = 42,5 km/giờ, yêu cầu tìm quãng đường (s).
Giải trực tiếp bằng công thức tính quãng đường: s = v × t.
42.5 km/giờ

4 giờ
Bài giải
Quãng đường ô tô đi được trong 4 giờ là:
42,5 × 4 = 170 (km)
Đáp số: 170km.
Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/giờ. Biết rằng nếu người đó
đi với vận tốc 15 km/giờ thì sẽ đến B sớm hơn được 1 giờ. Tính khoảng cách giữa A
và B.
Phân tích: Giả sử người đó đi với vận tốc giả định (15 km/giờ) và đi với thời gian
bằng thời gian dự định ban đầu thì ta sẽ tính được quãng đường đi được hơn quãng
đường dự định là bao nhiêu.
Ta cũng tính được hiệu vận tốc giả định và vận tốc dự định.
Từ đó ta tính được thời gian đi với vận tốc 15 km/giờ và quãng đường AB.
Bài giải
Giả sử người đó đi với vận tốc 15 km/giờ và đi với thời gian bằng thời gian dự định
(thời gian đi từ A đến B với vận tốc 12 km/giờ) thi người đó sẽ đến điểm C vượt quá
điểm B 15km (đi hơn dự định 15km).
Ta có sơ đồ sau:
15km
A

B

25

C