Nhị thức tam thức bất phương trình hệ bất pt bậc hai

NHỊ THỨC BẬC NHẤT
A. LÍ THUYẾT:
1. Định nghĩa: Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức có dạng f ( x) = ax + b , với a, b ∈ R, a ≠ 0 .
2. Định lý dấu nhị thức bậc nhất: (sgk)
Bảng xét dấu: (phải cùng, trái khác)
b
x
−∞
−
+∞
a

f(x)=ax+b

Trái dấu với hs a

B. BÀI TẬP:
Bài 1: Xét dấu các biểu thức:
a) ( 2 x + 1) ( x + 5 )
x −1
d)
2− x

g) 9 x 2 − 1
Bài 2: Giải bất phương trình
a) ( x + 1) ( 5 − x ) > 0
2
d) ( x + 2 ) ( x − 1) ( x + 3) ≥ 0

0

Cùng dấu với hs a

b) ( 3x + 1) ( x − 2 ) ( x − 3)

c) ( x + 2 ) ( x + 1) ( x + 3)

e)

f) x + 1 . x − 2

( x + 1) ( 4 − x 2 )

1 − 2x
2
x + 4x + 4
h) 4
x − 2x2

2

k)

b) ( x − 1) ( x + 2 ) ( 10 − 2 x ) ≤ 0
3
4
5
e) ( x + 4 ) ( x + 3) ( x + 1) ≤ 0

| x + 1| −1
x2 + x + 1

c) 2 x 2 − 3x > 0

Chú ý: ( ax + b ) ≥ 0, ∀x khi m chẵn
m

Bài 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu:
1
1
≤
a)
x − 2 2x +1

x 2 + 3x − 1
≥0
b)
2− x

x 2 − 3x + 1
<1
c)
x2 −1

d)

2
1
3
+ <
x+4 x x+3

Bài 4: Phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Chú ý:

a) 2 x − 3 < 2
d) −2 x + 1 + x − 3 < 2
g)

2−3 x
≤1
1+ x

+ / f ( x ) ≤ a ⇔ −a ≤ f ( x ) ≤ a , với a ≥ 0
 f ( x) ≤ −a
+ / f ( x) ≥ a ⇔ 
, với a ≥ 0
 f ( x) ≥ a
b) 3x − 5 > 10
c) x − 1 ≤ 2 x + 1
e) x − 2 + 1 − 2 x = 1
f) x − 3 − x + 1 < 2


BẤT PHƯƠNG TRÌNH
HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Bài 1: Xác định miền nghiệm của các bất phương trình sau:
a. x − 2 + 2( y − 1) > 2 x + 4
b. 2( x + y + 1) ≤ x + 2
Bài 2: Xác định miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:
x − 3y < 0


a.  x + 2 y > −3
y + x < 2



y ≥ 0

1
 x y
b. − + + 1 <
2
 2 3
x y
 3 + 2 < 1

c. 2( y + x) ≥ 3( x + 1) + 1

 x − 1 < 1
 y + 1 ≤ 2

c. 

Bài 3:
0 ≤ x ≤ 5
0 ≤ y ≤ 10


a. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình:  x + y ≥ 1 (H)
3 5

 −x y
 + ≥1
 2 2
b. Với ( x; y ) ∈ ( H ). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

A(x;y) = x – y +1
B(x:y) = 2x – 2y +3


TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Tam thức bậc hai : Biểu thức có dạng ax 2 + bx + c (a ≠ 0)
2. Xét dấu tam thức bậc hai :
+ Tìm ghiệm tam thức: ax 2 + bx + c = 0 tính ∆ = b 2 − 4ac
* Nếu ∆ < 0 thì tam thức vô nghiệm (af(x)>0, ∀x ∈ R )

−b
−b
(af(x)>0, ∀x ≠ )
2a
2a
−b + ∆
−b − ∆ x x
* Nếu ∆ > 0 thì tam thức có 2 nghiệm x1 =
( 1< 2)
, x2 =
2a
2a

* Nếu ∆ = 0 thì tam thức có nghiệm kép x =

X

−∞

f(x)

Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

x1

−∞

x2

(Trong trái , ngoài cùng)
+ Dựa vào BXD kết luận.
3. Nhận xét: Tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c không đổi dấu ⇔ ∆ < 0
a > 0
∆ < 0
a > 0
∀x ∈ R ⇔ 
∆ ≤ 0

a < 0
∆ < 0
a < 0
∀x ∈ R ⇔ 
∆ ≤ 0

* f(x) luôn dương ⇔ 

* f(x) luôn âm ⇔ 

* f ( x) ≥ 0

* f ( x) ≤ 0

Lưu ý: Nếu hệ số a chứa tham số phải xét riêng trường hợp a = 0.
B. BÀI TẬP CƠ BẢN:

TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG


Phiếu bài tập số 01
Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai
a) f(x)= − x 2 − 3x + 4
d) f(x)= x 2 − 4
g) f ( x) = − x 2 + x − 1

b) f(x)= x 2 − 4 x + 4
e) f(x)= x 2 + 2
h) f(x) = x 2 − 2 x − 1

k) f(x)= (x 2 - 4)(5x 2 -4x-1)

m) f ( x) = (3x 2 − 10 x + 3)(4 x − 5)

n) f(x)= x 2 (2-x-x 2 )(x+2)

p) f ( x) =

q) f ( x) =

−2 x + 1
2
4 x − 12 x + 9

r) f ( x) =

3x 2 − 10 x + 3
≥0
x2 + 4 x + 4

k)

3x 2 − 2 x + 1
−4 x 2 + 12 x − 9

x 4 − 3x3 + 2 x 2
x 2 − x − 30

Bài 2: Giải các bất PT bậc hai
b) x 2 + 2 x + 3 < 0
c) − x 2 − 3x + 4 > 0
e) x 2 − 6 x + 9 ≤ 0
f) x 2 − 2 x + 1 > 0
h)

c) f(x)= x 2 − 2 x + 3

f) f(x)= − x 2 + 2 x

x2 − 5x + 6 x + 1
≥
x2 + 5x + 6
x

d) x 2 − 2(1 + 2) x + 3 + 2 2 > 0
g) (2 x 2 + 3x − 2)( x 2 − 5 x + 6) < 0
m)

2
1
2x −1
−
≥ 3
x − x +1 x +1 x +1
2

Bài 3: Xác định m để tam thức sau luôn dương với mọi x
a) 3x 2 + 2(m − 1) x + m + 4
b) x 2 + (m + 1) x + 2m + 7
c) 2 x 2 + (m − 2) x − m + 4
d) (3m + 1) x 2 − (3m + 1) x + m + 4
Bài 4: Định m để tam thức sau luôn âm với mọi x
a) mx 2 − mx − 5
b) (2 − m) x 2 + 2(m − 3) x + 1 − m
c) (m − 4) x 2 + (m + 1) x + 2m − 1
d) − x 2 + 4(m + 1) x + 1 − m 2
Bài 5: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt

a) x 2 − (m − 1) x + 2 = 0
b) x 2 + (m + 1) x + 3 − 2m = 0
c) mx 2 − 3x + m + 1 = 0
Bài 6: Tìm các giá trị của tham số m để mỗi phương trình sau có nghiệm:
a. 2 x 2 + 2(m + 2) x + 3 + 4m + m 2 = 0
b. (m − 1) x 2 − 2(m + 3) x − m + 2 = 0
Bài 7: Với giá trị nào của m để bất phương trình sau ngiệm đúng với mọi x
a) x 2 − (m + 1) x + m > 0
b) 2 x 2 + mx − m + 1 ≥ 0
c) mx 2 − mx − 1 ≤ 0
d) (m + 1) x 2 − 2(m − 1) x + 3m − 3 ≥ 0
Bài 8: Cho f ( x) = (m + 2) x 2 − 2mx + 3m
a) Tìm m để bất phương trình f ( x) ≤ 0 vô nghiệm
b) Tìm m để bất phương trình f ( x) > 0 có nghiệm

TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG
Phiếu bài tập số 02


Bài 1: Giải các bất phương trình sau:
a / x + 18 < 2 − x;

b / x ≥ 24 − 5 x ;

c / 1 − 13 − 3 x 2 > 2 x;

d / 5 − x 2 > x − 2;

e / x 2 − 3x + 2 ≥ 2 x − 4

f / − 2 − 3x − x 2 < x + 1

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
− x2 + x + 6
− x2 + x + 6
≥
2x + 5
x−4
3
1
< 2x +
−7
4) 3 x +
2x
2 x

1)

7) x − 4 x − 6 ≥ 2 x − 8 x + 12
2

2

4x
x −1 3
−
>
x −1
4x
2

| x+2|−| x|
>0
13)
4 − x3

10)

2
2) x − 2 x − 3 − 2 > 2 x − 1

3) 5 x 2 + 10 x + 1 ≥ 7 − x 2 − 2 x

5) ( x 2 + x + 1)( x 2 + x + 3) ≤ 15

6) (x + 4)(x + 1) - 3 x 2 + 5 x + 2 < 6

8) ( x − 3) x + 4 ≤ x − 9
2

2

1
1 x −1
x
x
x
9
14) | x − 5 | −3 ≥| x − 2 |

11) x − − 1 − >

9)

9x2 − 4
5x2 − 1

≤ 3x + 2

12) x − 1 − x − 2 > x − 3
15) 3 2 − x + x − 1 > 1

16) x − x 2 − 1 + x + x 2 − 1 ≤ 2
17) x( x + 6) + 9 − x 2 − 6 x + 9 > 1
Bài 3: Giải các hệ bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm của chúng trên trục số:
 x − 2 x − 3 > 0
2
 x − 11x + 28 ≥ 0
2

a. 

 −3 x + 4 x − 1 < 0
2
3 x − 5 x + 2 ≤ 0
2

b. 

 x2 − 4x − 5 < 0
 2

c.  x − 6 x + 8 ≥ 0
2 x − 3 > 0


Bài 4: Giaûi caùc heä sau :
2 x 2 − 12 x + 18 > 0
a/ 2
;
3 x − 20 x − 7 < 0
(2 x − 1)( x 2 − 9) ≥ 0
d / 2
;
 x − x ≤ 20

 x 3 − 11x 2 + 10 x ≥ 0
b/ 3
;
 x − 12 x 2 + 32 x ≤ 0
6 x 2 + 5 x − 56 < 0

e / 1
1
1 ;
+
>

x 8 − x x +1

6 + x − x 2 ≥ 0
c/ 2

;
 x − 4 x < 0
( x 2 − 8 x) 2 < ( x + 10) 2
f / 2
 x + 4 x + 3 < 0

Bài 5: Cho f ( x) = x 2 − 2(m + 2) x + 8m + 1. Xác định tham số m để:
a. Viết f(x) dưới dạng bình phương của một nhị thức
b. Bất phương trình f ( x) > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R
c. Bất phương trình f ( x) ≤ 0 vô nghiệm
d. Bất phương trình f ( x) ≤ 0 có tập nghiệm T có độ dài bằng 12
e. Bất phương trình f ( x) < 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0; 2 ) .
Bài 6: Tìm m để
a. Bất phương trình mx 2 − 2(m − 1) x + m − 3 ≥ 0 có nghiệm
b. Bất phương trình x 2 − 2mx − m ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x > 0
c. Bất phương trình x 2 − (3m − 1) x + 3m − 2 ≤ 0 có nghiệm và độ dài tập nghiệm bằng 2.
d. Phương trình mx 2 + 2(m − 1) x + m − 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 : x1 < x2 < 2
TAM THỨC BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG
Phiếu bài tập số 03


Bài 1: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
 x 2 + 3 x − 10 ≤ 0
a. 
 mx + m − 2 > 0

 x 2 + 2 x − 15 < 0
b. 
(m + 1) x ≥ 3

Bài 2: Tìm m để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
 x 2 − 3x − 4 ≤ 0
a. 
(m − 1) x − 2 ≥ 0

 x 2 + 10 x + 16 ≤ 0
b. 
mx ≥ 3m + 1

Bài 3:
4 x − 2 ≥ x

a. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: 

2
 2 x ≤ 3m − 15m + 20 − x
(m − 3) x + m ≤ 0
b. Tìm m để ∀x ∈ [ 2;5] là nghiệm của hệ phương trình 
2 x + m − 1 ≥ 0

Bài 4: Cho phương trình : x 4 + (1 − 2m) x 2 + m 2 − 1 = 0 . Tìm m để phương trình:
a. Vô nghiệm
b. Có hai nghiệm phân biệt
c. Có 4 nghiệm phân biệt
c. Có ba nghiệm phân biệt
2
2
Bài 5: Định m sao cho: 4 x + y + 2 y + mx + 3 > 0, ∀x, y ∈ R (ĐS: m < 4 2 )
Bài 6: Định m sao cho: 9 x 2 + 20 y 2 + 4 z 2 − 12 xy + 6 xz + myz > 0 . Với mọi x, y, z không đồng thời
bằng không. (ĐS: −4 − 8 3 < m < −4 + 8 3 )

Bài 7: Cho bất phương trình: x 2 + 6 x + 7 + m ≤ 0 . Định m để:
a) Bất phương trình vô nghiệm
(m>2)
b) Bất phương trình có đúng một nghiệm (m=2)
7
4

c) Bất phương trình có miền nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 1. ( m= )
Bài 8: Tìm m để
3x 2 − 5 x + 4
≤ 0 đúng với mọi x
a. Bất phương trình
(m − 4) x 2 + (1 + m) x + 2m − 1
x2 + 5x + m
−
1
≤
< 7 đúng với mọi x
b. Bất phương trình
2 x2 − 3x + 2
3 x 2 − mx − 6
< 6 có tập nghiệm là R
c. Bất phương trình −9 < 2
x + x +1
x 2 − mx + m + 4
< 1 có tập nghiệm là R
d. Bất phương trình
− x2 + 5x − m
x2 + 5x + m
≤ 2 nghiệm đúng với mọi x

e. Bất phương trình 2
x + 2x + 3

f. Bất phương trình

x2 − x + 1
1
≥ nghiệm đúng với mọi x
2
x + mx + m 2

2
2
g. Bất phương trình 6 x + 4 x + 5 > 2 x + 4mx + 1 nghiệm đúng với mọi x

Bài 9*: Tìm tất cả các giá trị của tham số a để bất phương trình:
a. ( x 2 − 4 x + 3) a − x < 0 vô nghiệm
b. 3x − 2 2 − x ≥ a + 1 có nghiệm


c. 2 x + 4 x − 2 + 3a − 1 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ≥ 2
2
d. (2 x − 1) − 3. 2 x − 1 + a ≤ 0 có tập nghiệm chứa đoạn [1; 2]
e. ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) ≥ a nghiệm đúng với mọi x ∈ R