Phuong trinh quy ve pt bac hai.

Trường THCS Ngọc Chúc
Năm học : 2008 – 2009
Xin kính chào quý thầy cô
và các em học sinh


Tr­êng THCS Ngoc Chu ́ c
̣

Tỉ: Toán - Lý
TiÕt 60

Ph­¬ng tr×nh QUY VỀ PHƯƠNG
TRÌ NH bËc hai


KIỂM TRA BÀI CŨ:
Giải phương trình: x2 – 13x + 36 = 0
Giải

∆ = (− 13) − 4.1.36 = 169 − 144 = 25
2

⇒ ∆ = 25 = 5 > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt

13 + 5
13 − 5
x1 =
= 9; x2 =
=4

2
2


Tiết 60: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1. Phương trình trùng phương:
Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:
ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠0)
Nhận xét: Có thể giải phương trình trùng phương bằng cách
đưa về phương trình bậc hai, bằng cách: Đặt x2 = t rồi giải
phương trình bậc hai at2 + bt + c = 0
Ví dụ: a) 2x4 – 3x2 + 1 = 0 ;

b) 5x4 – 16 = 0; c) 4x4 + x2 = 0

Là những phương trình trùng phương


Ví dụ 1:
Giải:

Giải phương trình: x4 – 13x2 + 36 = 0
Đặt x2 = t. ĐK: t ≥ 0 . Phương trình trở thành:
t2 – 13t + 36 = 0
Ta có Δ = 132 – 4 . 1 . 36 = 169 – 144 = 25

⇒ ∆ = 25 = 5
⇒ t1 =

13 + 5
13 − 5
= 9; t2 =
=4
2
2

t1 = 9, t2 = 4 đều thỏa mãn t ≥ 0
Với t = t1 = 9, ta có x2 = 9. Suy ra x1 = - 3, x2 = 3
Với t = t2 = 4, ta có x2 = 4. Suy ra x3 = - 2, x4 = 2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm:
x1 = - 3, x2 = 3, x3 = -2, x4 = 2


?1

Giải các phương trình trùng phương sau:
a) 4x4 + x2 – 5 = 0

Giải
Đặt x2 = t. ĐK t ≥ 0: Phương trình trở thành
4t2 + t – 5 = 0
Ta có a + b + c = 4 + 1 – 5 = 0

c −5 ( loại)
⇒ t1 = 1; t2 = =
a
4

b) 3x4 + 4x2 + 1 = 0

Giải
Đặt x2 = t. ĐK t ≥ 0: Phương trình trở thành
3t2 + 4t + 1 = 0
Ta có a - b + c = 3 - 4 + 1 = 0

⇒ t1 = −1; t 2 =

−c −1
=
a
3

Với t = t1 = 1, ta có x2 = 1. suy ra x1 = -1, x2 = 1

Ta thấy t1, t2 không thỏa mãn ĐK t ≥ 0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

x1 = - 1, x2 = 1


Tiết 60: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình;
Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu thức;
Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được;
Bước 4. Trong các giá trị vừa nhận được, loại các giá trị không
thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác
định là nghiệm của phương trình đã cho.


Giải phương trình

?2

x 2 − 3x + 6
1
=
x2 − 9
x−3

- Điều kiện: x ≠ ± 3

- Quy đồng mẫu thức rồi khử mẫu.
MC: (x + 3)(x – 3)

x 2 − 3x + 6
1
=
x2 − 9
x −3
x 2 − 3x + 6
x +3

⇒
=
( x − 3)( x + 3) ( x − 3)( x + 3)
⇒ x 2 − 3x + 6 = x + 3
- Giải phương trình vừa nhận được.

⇔ x2 − 4x +3 = 0
Ta có : a + b + c = 1 – 4 + 3 = 0

⇒

x1 = 1 ( TMĐK) ; x2 = 3 (loại)
- Vậy nghiệm của phương trình là: x = 1


Tiết 60: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
3. Phương trình tích:
Ví dụ 2

Giải phương trình: (x + 1)(x2 + 2x – 3) = 0
Giải
(x + 1)(x2 + 2x – 3) = 0

⇔ x + 1 = 0 (1) hoặc x2 + 2x – 3 = 0 (2)
Giải (1). x + 1 = 0. Suy ra x1 = - 1
Giải (2). x2 + 2x – 3 = 0
Ta có; a + b + c = 1 + 2 – 3 =0
Suy ra x2 = 1; x3 = -3
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

x1 = -1, x2 = 1, x3 = -3


?3

Giải phương trình: x3 + 3x2 + 2x = 0
Giải
x3 + 3x2 + 2x = 0
⇔

x (x2 + 3x + 2) = 0

⇔

x = 0 hoặc x2 + 3x + 2 = 0

⇔

x1 = 0, x2 = -1 , x3 = -2

Vậy phương trình có 3 nghiệm
x1 = 0, x2 = -1 , x3 = -2


Nhận xét
Muốn giải phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Ta thực hiện phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử rồi giải
phương trình tích.
Cách giải: ax3 + bx2 + cx + d = 0
⇔ (a’x + b’)(c’x2 + d’x + e) = 0

⇔ a’x + b’ = 0 (1) hoặc c’x2 + d’x + e = 0 (2)
Giải: a’x + b’ = 0 (1) ⇔ x =
Giải: c’x2 + d’x + e = 0 (2)
Ta có

−b '
a'

∆ = d '2 − 4c ' e
Nếu Δ < 0 thì PT (2) vô nghiệm
Nếu Δ = 0 thì PH (2) có nghiệm kép x1 = x2 =
Nếu Δ > 0 thì PH (2) có 2 nghiệm phân biệt

−d '− ∆
−d '+ ∆
x1
; x2 =
2c '
2c '
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là nghiện của (1) và (2)

−d '
2c '


LUYỆN TẬP
BT 34:

Giải phương trình: x4 – 5x + 4 = 0
Giải

Đặt x2 = t. ĐK t ≥ 0: Phương trình trở thành: t2 – 5t + 4 = 0
Ta có: a + b + c = 1 – 5 + 4 = 0
⇒ t1 = 1; t2 = 4 ( TMĐK)
Với t = t1 = 1. ta có x2 = 1 ⇒ x1 = - 1, x2 = 1
Với t = t2 = 4. ta có x2 = 4 ⇒ x3 = - 2, x4 = 2
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: x1 = -1, x2 = 1, x3 = -2, x4 = 2


LUYỆN TẬP
BT 35
Giải

Giải phương trình:

x +2
6
+3 =
x −5
2 −x

Điều kiện x ≠ 5; x ≠ 2
Ta có:

x +2
6
+3 =
x −5
2 −x
⇒ ( x + 2)(2 − x) + 3( x − 5)(2 − x) = 6( x − 5)
⇔ 4 − x 2 + 6 x − 3 x 2 − 30 +15 x = 6 x − 30

⇔−4 x 2 +15 x + 4 = 0
⇔ 4 x 2 −15 x − 4 = 0
∆ = 152 − 4.4.( −4) = 225 + 64 = 289

⇒ ∆ = 289 = 17
15 −17 −1
15 +17
x1 =
=
; x2 =
=4
8
4
8
−1
x1 = , x2 = 4
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
4


Kiến thức cầu nắm
- Để giải phương trình trùng phương ta đặt ẩn
phụ: x2 = t; ta sẽ đưa được phương trình về dạng
bậc hai.
- Khi giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu ta cấn
tìm điều kiện xác định của phương trình và phải
đối chiếi điều kiện để nhận nghiệm
- Ta có thể giải một số phương trình bậc cao bằng
cách đưa phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ.

DẶN DÒ
-Nắm vững cách giải từng loại phương trình.
- Làm BT 34b; 35a,c; 36 a