Bài giảng cơ lý thuyết chương 5 trọng tâm của vật rắn có liên kết

Chương 5

TRỌNG TÂM CỦA VẬT
RẮN

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

1/34


Chương 5
1.TÂM CỦA HỆ LỰC SONG SONG.
1.1. Định nghĩa

 

Cho hệ lực song song bất kỳ F1 , F2 ,...Fn với


 Fk  0

(hệ có hợp lực) có các điểm đặt tương ứng là
 
M 1 , M 2 ,...M n ký hiệu rk  OM k .Ta có định nghĩa

Điểm hình học C gọi là tâm của hệ lực song
song được xác định bởi công thức:
09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

2/34


Chương 5
n


rC 




F k rk

k 1
n



Fk

k 1

trong đó, Fk là thành phần hình chiếu của lực

Fk trên trục ∆ song song với các lực.

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

3/34


Chương 5
1.2. Tính chất
Hợp lực của hệ lực song song đi qua điểm C
và nếu quay các thành phần quanh các điểm
đặt của chúng một góc α trong điều kiện giữ
nguyên điểm đặt và giá trị của các lực thành
phần thì hợp lực của chúng cũng quay quanh
tâm C một góc α.

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

4/34


Chương 5


F1 α 
F1


F2


F2

09/03/2016

α

M2
M4


R
M1

C

α


 Fn
F3 α 
α 
F3 Fn

M3

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry


R

5/34


Chương 5
2. ĐỊNH NGHĨA TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN.

Khảo sát vật rắn nằm gần trái đất. Vật chịu tác
dụng của lực hấp dẫn của trái đất, gọi là trọng
lực P của vật đó.
Tâm C của hệ trọng lực được xác định bởi
công thức:

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

6/34


Chương 5


rC 


 Pk rk

 P

k




 Pk rk
P

M1


P1


Pk

C
Mk


P

M2


P2

Điểm C (có vị trí cố định đối với vật) gọi là
trọng tâm của vật rắn.

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

7/34


Chương 5
Công thức xác định các tọa độ trọng tâm
của vật rắn:


rC 


 Pk rk
P

 1 
 rC   rdP.
P (V )

Dạng hình chiếu trong hệ tọa độ Descarte:

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

8/34

Chương 5

xC

P x


k

P

k

; yC

P y


k

P

k

; zC

P z



k k

P

.

1
1
1
xC   xdP; yC   ydP; zC   zdP.
P (V )
P (V )
P (V )

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

9/34


Chương 5
3.CÁC ĐỊNH LÝ VỀ
TRỌNG TÂM CỦA VẬT RẮN ĐỒNG CHẤT
3.1. Định lý 1:
Nếu vật rắn đồng chất có tâm (trục, mặt
phẳng) đối xứng thì trọng tâm của nó nằm tại
tâm (trên trục, mặt phẳng) đối xứng.

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

10/34


Chương 5
3.2. Định lý 2:
Nếu vật rắn gồm các phần mà trọng tâm của
các phần đó nằm trên một đường thẳng (mặt
phẳng) thì trọng tâm của vật cũng nằm trên
đường thẳng (mặt phẳng) đó.

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

11/34


Chương 5
3.3. Định lý 3 (định lý Guynđanh 1)
Diện tích S của mặt tròn xoay sinh ra do một
đường cong phẳng AB khi quay quanh trục
đồng phẳng , nhưng không cắt nó, được xác
định bởi công thức:

S  2 Ld

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

12/34


Chương 5

S  2 Ld
B

trong đó, L là độ dài
của đường cong AB,

dl
ds

C

x

còn d là khoảng
A

cách từ trọng tâm C
của đường cong

xc

đến trục .
09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

13/34


Chương 5
3.4. Định lý 4 (định lý Guynđanh 2)
Thể tích V của một vật tròn xoay sinh ra bởi
một tấm phẳng khi quay quanh trục ∆ và không
cắt nó, được xác định bởi công thức:

V  2 Sd
trong đó, S là diện tích tấm phẳng; d là khoảng
cách từ trọng tâm của tấm đến trục ∆.
09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

14/34


Chương 5
3.5. Các phương pháp tìm trọng tâm của vật rắn.
3.5.1. Phương pháp đối xứng.

Áp dụng định lý 1.
Ví dụ

Thanh thẳng, vành tròn, mặt tròn, mặt
hình chữ nhật, hình hộp chữ nhật, hình cầu
đồng chất đều có trọng tâm tại tâm đối xứng
của vật đó.
09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

15/34


Chương 5

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

16/34


Chương 5
3.5.2. Phương pháp phân chia
Chia vật thành các phần đã biết trọng tâm, rồi

áp dụng CT:   Pk rk
rC 
P


Với rk là véc tơ định vị trọng tâm của phần thứ

k.

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

17/34


Chương 5
Ví dụ: Tìm trọng tâm
của một tấm phẳng

y
A

b

đồng chất, hình chữ
L, với các kích thước
như hình vẽ.

09/03/2016

d

O1

B

D

C
O2

H

G

a

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

d
E X

18/34


Chương 5
P1   S1


rC 

P2   S2


 Pk rk

Px
 S1x1   S2 x2
1 1  P2 x2
xc 

P1  P2
 S1   S2

S1 x1  S 2 x2
xC 
S1  S 2

09/03/2016

P
y
A

b

d

O1

B

D

C
O2

H

G

a

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

d
E X

19/34


Chương 5
y
A

S1 x1  S 2 x2
xC 
S1  S 2

b

d

B

O1

D

C
O2

H

G

a

d
E X

S1  b.d ; S 2   a  d  .d ;
d
ad ad
x1  ; x2  d 

.
2
2
2
09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

20/34

Chương 5
3.5.3. Phương pháp khối lượng âm
(phương pháp bù).

Khi vật bị khoét nhiều lỗ có hình thù khác nhau
mà trọng tâm của các lỗ khoét có thể tìm
được, thì ta có thể áp dụng phương pháp phân
chia ở trên, với điều kiện là các lỗ khoét đi có
khối lượng mang dấu âm.

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

21/34


Chương 5
Ví dụ: Tìm trọng tâm
y

của một tấm tròn
đồng chất, có bán
kính R, bên trong

R
O

b/2

b/2 x

tấm bị cắt đi một
miếng hình chữ nhật

a

có hai cạnh a, b ở vị
trí như hình vẽ.
09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

22/34


Chương 5
3.5.4. Phương pháp tích phân.

Nếu vật là một khối đồng chất có thể tích V:

 1 
P   .V
rC   rdP; 
P (V )


1
rC 
V




rdV ;

(V )

Nếu vật là một mặt đồng chất có diện tích S:

 1 
rC   rdS ;
SS
09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

23/34


Chương 5
Nếu vật là một thanh đồng chất, có chiều dài L:
 1 
rC   rdL;
L (L)

Ví dụ
Tìm trọng tâm của nửa đĩa tròn đồng
chất, có bán kính R

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

24/34


Chương 5
y

y

d

O



x

O

R

x

R

09/03/2016

Ngô Văn Cường- HCM City University Of Industry

25/34