he thuc viet hay

LôI Trung Kiệt
Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng

Chứng minh phơng trình bậc hai có nghiệm hoặc vô nghiệm với hệ
số bị ràng buộc.
Bài toán 1: Chứng minh rằng phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) có hai nghiệm nếu một
trong hai điều kiện sau đợc thoả mãn:
i) a( a + 2b + 4c ) < 0
ii) 5a + 3b + 2c = 0
Bài toán 2: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn điều kiện a+2b+3c=1. Chứng minh
rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm
(1)
4 x 2 4(2a + 1) x + 4a 2 + 192abc + 1 = 0
2
2
(2)
4 x 4(2b + 1) x + 4b + 96abc + 1 = 0
Bài toán 3: a) Cho a, b, c thoả mãn điều kiện b>a+c và a>0. Chứng minh rằng phơng
trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt
2b c
4
a
( a 0 ). Chứng minh rằng nếu tồn tại m R để a. f (m) 0 thì

b) Chứng minh rằng phơng trình ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm nếu

c) Cho f ( x) = ax 2 + bx + c
phơng trình f(x)=0 có nghiệm.
Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu a + b > 2 thì phơng trình 2ax 2 + bx + 1 a = 0 có
nghiệm.
Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c 0 thì phơng

trình sau luôn có nghiệm a( x b)( x c) + b( x c)( x a) + c( x a)( x b) = 0
Bài toán 6: Cho a, b, c là ba số thoả mãn điều kiện 14a+6b+3c=0. Chứng minh rằng phơng trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm.
Bài toán 7: Giả sử p = abc là số nguyên tố. Chứng minh rằng phơng trình ax 2 + bx + c = 0
không có nghiệm hữu tỉ
Bài toán 8: Chứng minh rằng:
a) Nếu phơng trình x 2 + ax + b = 0 ( a, b Z ) có các nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó là
những số nguyên.
b) Nếu a, b, c là những số nguyên lẻ thì phơng trình ax 2 + bx + c = 0 không có nghiệm hữu
tỉ.
Bài toán 9: Cho a, b, c thoả mãn -1sau vô nghiệm x 2 2(a b c) x + 2(ab + bc ca + 1) = 0
Bài toán 10: Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng12, Chứng minh rằng trong
ba phơng trình sau có một phơng trình có nghiệm, một phơng trình vô nghiệm.
(1)
x 2 + ax + b = 0
2
(2) và x 2 + cx + a = 0 (3)
x + bx + c = 0
Bài toán 11: Cho a, b, c là ba số khác 0 còn p, q là hai số tuỳ ý.Chứng minh rằng phơng
trình sau luôn có nghiệm
a2
b2
+
=c
x p xq

Chuyên đề: Phơng trình bậc hai một ẩn và áp dụng
xác định giá trị của tham số để hai ph ơng trình bậc hai
có một nghiệm chung.
Bài toán 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung

(1)
2 x 2 (3m + 2) x + 12 = 0
4 x 2 (9m 2) x + 36 = 0 (2)
---------------------------------------------------------------------Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học

1


LôI Trung Kiệt
Bài toán 2: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung, tìm nghiệm
chung đó.
2 x 2 + (3m + 1) x 9 = 0
6 x 2 + (7 m 1) x 19 = 0

Bài toán 3: Xét các phơng trình ax 2 + bx + c = 0

(1)
(2)
cx + bx + a = 0
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm
chung duy nhất.
Bài toán 4: Với những giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung
(1)
2 x 2 + mx 1 = 0
2
(2)
mx x + 2 = 0
Bài toán 5: Hãy xác định m để hai phơng trình sau có nghiệm chung
(1)
x 2 mx + 2m + 1 = 0

2
(2)
mx (2m + 1) x 1 = 0
2
Bài toán 6: Cho hai phơng trình x 2mx + 4m = 0
(1)
2
(2)
x mx + 10m = 0
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm
của phơng trình (1).
Bài toán 7: Tìm hệ thức giữa a và b để cho hai phơng trình sau nếu có nghiệm thì chúng
có một nghiệm chung và chỉ một mà thôi. x 2 + 2(a 1) x + 2a(a 2) = 0
(1)
2
(2)
x + 2(b 1) x + 2b(b 2) = 0
Bài toán 8: Cho hai phơng trình x 2 + x + a = 0 (1) và x 2 + ax + 1 = 0
(2)
a) Tìm các giá trị của a để hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài toán 9: Tìm a để hai phơng trình sau có nghiệm chung.
(1)
ax 2 + x + 1 = 0
2
(2)
x + ax + 1 = 0
Bài toán 10: Chứng minh rằng nếu hai phơng trình
(1)
x 2 + ax + b = 0

2
(2)
x + cx + d = 0
2
Có nghiệm chung thì (b d ) + (a + c)(ad bc) = 0
2

Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.
Bài toán 1: Cho phơng trình (m + 1) x 2 2(m 1) x + m 2 = 0
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia.
c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn

1 1 7
+ =
x1 x2 4

Bài toán 2: Cho phơng trình x 2 2(m 1) x + m 3 = 0
a) CMR: với mọi giá trị của m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình đã cho.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập
với m.
Bài toán 3: Cho phơng trình 2 x 2 6 x + m = 0
---------------------------------------------------------------------Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học

2


LôI Trung Kiệt
a) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm dơng.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn

x1 x2
+ =3
x2 x1

Bài toán 4: Cho phơng trình (m + 1) x 2 + 2(1 m) x + m 2 = 0.
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia.
c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 3( x1 + x2 ) = 5 x1 x2
Bài toán 5: Cho phơng trình x 2 2(m + 1) x + 2m + 10 = 0 (m là tham số).
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.
b) Cho biểu thức P = 6 x1 x2 + x12 + x2 2 trong đó x1 ; x2 là nghiệm của phơng trình đã cho.Tìm m để
P đạt GTNN, tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài toán 6: Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m + 1) x 2 2(m 1) x + m 3 = 0
a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để x1.x2 > 0 và x1 = 2 x2
Bài toán 7: Cho phơng trình x 2 2 x 1 = 0 . Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính giá trị
các biểu thức a) x17 + x2 7
b) x1 x2
Bài toán 8: Cho phơng trình (m 4) x 2 2(m 2) x + m 1 = 0 . Xác định m để phơng trình
a) Có hai nghiệm cùng dấu.
b) Có hai nghịêm trái dấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn.
c) Có một nghiệm dơng.
Bài toán 9: Cho phơng trình x 2 2(1 + 2m) x + 3 + 4m = 0
a. Xác định m để phơng trình có nghiệm x1 ; x2
b. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m.
c. Tính theo m biểu thức A = x13 + x23
d) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng ba lần nghiệm kia.
Bài toán 10: Cho phơng trình 2 x 2 x 2 = 0 . Không tính nghiệm của phơng trình hãy tính giá trị
các biểu thức

2

A=

2

x1
x
+ 2
x2 + 1 x1 + 1

Bài toán 11: Cho phơng trình ẩn x (m là tham số): x 2 mx + m 1 = 0
1. CMR phơng trình có nghiệm x1 ; x2m . Tính nghiệm kép (nếu có) của phơng trình và giá
trị tơng ứng của m
2. Đặt A = x12 + x2 2 6 x1 x2 a) CMR: A=m2+8m+8
b) Tìm m sao cho A=8.
c) Tìm GTNN của A và giá trị tơng ứng của m.
Bài toán 12: Cho phơng trình ẩn x (m là tham số): x 2 2mx + 2m 1 = 0
1. CMR phơng trình có nghiệm x1 ; x2m .
2. Đặt A = 2( x12 + x2 2 ) 5 x1 x2 a) CMR: A=8m2-18m+9
b) Tìm m sao cho A=27.
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
Bài toán 13: Cho phơng trình: x 2 2(m 1) x + 2m 4 = 0
a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm GTNN của M = x12 + x2 2
Bài toán 14: Cho phơng trình ẩn x: mx 2 2(m + 2) x + m = 0
---------------------------------------------------------------------Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học

3

LôI Trung Kiệt
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm.
Bài toán 15: Cho phơng trình ẩn x: 5 x 2 + mx 28 = 0 . Xác định mđể phơng trình có hai
nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 5 x1 + 2 x2 = 1
Bài toán 16: Cho phơng trình: x 2 2(m + 1) x + m 2 + m 6 = 0
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x13 x23 = 50
Bài toán 17: Cho phơng trình ẩn x: x 2 (2m + 1) x + m 2 4m + 5 = 0 có ẩn là x.
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng.
Bài toán 18: Cho phơng trình ( x 2)( x 2 x) ( x 2)(2 x m) = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m=1
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có ba nghiệm phân biệt
Bài toán 19: Cho phơng trình: x 2 2(m + 1) x + 2m = 0
a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình. CMR: giá trị của biểu thức B= x1 + x2 x1.x2
không phụ thuộc vào tham số m.
Bài toán 20: Cho phơng trình: x 2 2(m 1) x + m 3 = 0
a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không
phụ thuộc vào m.
Bài toán 21: Cho phơng trình
Bài toán 21: Cho phơng trình (m + 1) x 2 + 2(1 m) x + m 2 = 0
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định m để phơnmg trình có nghiệm bằng 2, tính nghiệm kia.
c) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều kiện 3( x1 + x2 ) = 5 x1 x2
Bài toán 22: Cho phơng trình bậc hai x 2 2(m + 1) x + 2m + 10 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm.

b) Cho biểu thức P= 6x1 x2 + x12 + x22 trong đó x1; x2 là nghiệm của phơng trình đã cho
Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất.Tính giá trị nhỏ nhất ấy
Bài toán 23: Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m + 1) x 2 2(m 1) x + m 3 = 0
a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để x1 x2 > 0 và x1 = 2 x2
Bài toán 24: Cho x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình x 2 mx
Tìm GTNN của biểu trhức x14 + x24
Bài toán 25: Cho phơng trình ẩn x: x 2 2(m + 2) x + m + 1 = 0
a) Giải phơng trình khi m=

1
=0
m2

3
2

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c)Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để
x1 (1 2 x2 ) + x2 (1 2 x1 ) = m 2
---------------------------------------------------------------------Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học

4


LôI Trung Kiệt
Bài toán 26: 1) Cho phơng trình x 2 ax + a + 1 = 0.
a) Giải phơng trình khi a=-1.
3
2

b) Xác định a biết rằng phơng trình đã cho có một nghiệm là x 1 = . Với giá trị tìm đợc
của a hãy tính nghiệm thứ hai của phơng trình.
2) CMR: a + b 2 thì ít nhất một trong hai phơng trình sau có nghiệm
x 2 + 2ax + b = 0 và x 2 + 2bx + a = 0
Bài toán 27:Cho phơng trình bậc hai x 2 2(k 2) x 2k 5 = 0
a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k.
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình.Tìm giá trị của k sao cho x12 + x22 = 18
Bài toán 28: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m, n: x 2 + mx + n 3 = 0
1) Cho n=0.
a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1.
2) Tìm m và n để hai nghiệm x1 ; x2 của phơng trình thoả mãn x1 x2 = 1; x12 x22 = 7
Bài toán 29: Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m: x 2 2mx + 2m 1 = 0
a) Giải phơng trình khi m=1 b) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép
c)Với m=? phơng trình có hai nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?
Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp)
Bài toán 30: Cho phơng trình x 2 + (2m 5) x n = 0 (x là ẩn)
a) Giải phơng trình khi m=1; n=4.
b) Tìm m và n để phơng trình có hai nghiệm là 2 và -3.
c) Cho m=5. Tìm số nguyên n nhỏ nhất để phơng trình có nghiệm dơng.
Bài toán 31: Cho phơng trình x 2 2(m + 1) x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm x1 ; x2 .Tìm giá trị của
m để 10x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 32: Cho phơng trình (2m 1) x 2 4mx + 4 = 0 (1) có ẩn là x.
a) Giải phơng trình (1) với m=1.
b) Giải phơng trình (1) với m bất kỳ.
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm bằng m.
Bài toán 33: Chứng minh rằng nếu a, b là hai nghiệm của phơng trình x 2 + px + 1 = 0
và b, c là hai nghiệm của phơng trình x 2 + qx + 2 = 0 thì (b-a)(b-c)=pq-6
Bài toán 34: Cho phơng trình x 2 (2m + 3) x + m 3 = 0 (ẩn x)

a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm.
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình .Tìm m để x1 x2 đạt GTNN, tìm GTNN ấy.
Bài toán 35: Cho phơng trình x 2 + px + q = 0
a) CMR: nếu 2 p 2 9q = 0 thì phơng trình có hai nghiệm và nghiệm này gấp đôi nghiệm
kia.
b) Cho p, q là các số nguyên. CMR: nếu phơng trình có nghiệm hữu tỉ thì các nghiệm đó
phải là số nguyên
Bài toán 36: Cho phơng trình x 2 mx 6 x 9 = 0 có ẩn là x.
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm m để có x12 + x22 = 13
---------------------------------------------------------------------Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học

5


LôI Trung Kiệt
Bài toán 37: Tìm k để phơng trình kx 2 (12 5k ) x 4(1 + k ) = 0 có tổng bình phơng các
nghiệm bằng 13.
Bài toán 38: Cho phơng trình mx 2 + 2mx + m 2 + 3m 3 = 0 có ẩn là x.
a) Tìm m để phơng trình vô nghiệm .
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x1 x2 = 1
Bài toán 39: CMR: phơng trình (a 2 b2 ) x 2 + 2(a3 b3 ) x + a 4 b 4 = 0 luôn có nghiệm với mọi
a, b.
Bài toán 40: Cho phơng trình (m 1) x 2 2(m + 1) x + m = 0
1) Giải và biện luận phơng trình đã cho theo m.
2) Khi phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 ; x2 độc lập với m.
b) Tìm m sao cho x1 x2 2
Bài toán 41: Cho phơng trình mx 2 2(m 1) x + m = 0(m 0) (1). CMR: nếu x1 ; x2 là nghiệm
của (1) và thoả mãn x12 + x22 = 2 thì phơng trình trên có nghiệm kép.

Bài toán 42: Cho phơng trình x 2 2mx + m2 1 = 0
a) CMR: phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm x1 ; x2 với mọi m.
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 ; x2 không phụ thuộc vào m.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn
Bài toán 43: Cho phơng trình x 2 + mx + n = 0 ẩn x.

x1 x2
5
=
x2 x1
2
x1 x2 = 1

a) Tìm m và n biết rằng phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn

3
3
x1 x2 = 7

b) Cho biết n=m-2. Tìm m và n để x12 + x22 đạt GTNN
Bài toán 44: Cho phơng trình x 2 (2m 3) x + m1 1 = 0 (ẩn x)
a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn x1 + 2 x2 = 4
b) Tìm m sao cho A đạt GTNN và tính giá trị ấy với A = x12 + x22 + 6 x1 x2
Bài toán 45: Cho phơng trình x 2 + px + q = 0 . Tìm p, q biết rằng phơng trình có hai nghiệm
x1 x2 = 5

thoả mãn

3
3

x1 x2 = 35

Bài toán 46: Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0 . có hai nghiệm số dơng x1 ; x2 . CMR: phơng
trình cx 2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm số dơng. Gọi các nghiệm đó là x3 ; x4 . Chứng minh
rằng ( x1 + x2 )( x3 + x4 ) 4
Bài toán 47: Gọi ; là các nghiệm của phơng trình 3x 2 + 7 x + 4 = 0 . Không giảI phơng
trình hãylập một phơng trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là


và
1
1

Bài toán 48: Cho phơng trình (m 2 + m + 1) x 2 (m 2 + 8m + 3) x 1 = 0
Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm GTLN và GTNN của tổng S= x1 + x2
---------------------------------------------------------------------Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học

6


LôI Trung Kiệt
Bài toán 49: Cho phơng trình x 2 + x + m = 0 . với m là tham số. Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của
phơng trình.
a) Tìm m sao cho x13 + x23 = x12 x2 + x22 x1
b) Tìm GTLN của biểu thức A = x13 + x23 + x12 + x22
Bài toán 50: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình x 2 (2m 3) x + 1 m = 0
Tìm m để x12 + x22 + 3x1 x2 ( x1 + x2 ) đạt giá trị lớn nhất.
Bài toán 51: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CMR phơng trình
x 2 + (a + b + c) x + ab + bc + ca = 0 vô nghiệm.
Bài toán 52: Cho phơng trình mx 2 + (2m 1) x + m + 2 = 0

Tìm m để phơng trình đã cho có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x12 + x22 = 2003
Bài toán 53: Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình x 2 + px + 1 = 0 ; c, d là hai nghiệm của
phơng trình y 2 + qy + 1 = 0 . Chứng minh hệ thức (a c)(a d )(b c)(b d ) = ( p q ) 2
Bài toán 54: Cho phơng trình x 2 2mx 3m 2 + 4m 2 = 0 (ẩn x)
a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
b) Tìm m sao cho x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 55: Cho phơng trình (m + 2) x 2 (2m 1) x + m 3 = 0 (ẩn x)
a) CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 . Khi đó hãy tìm m
để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài toán 56: Cho phơng trình mx 2 (m 2 + m + 1) x + m + 1 = 0
Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt khác -1
Bài toán 57: Cho f ( x) = x 2 2(m + 2) x + 6m + 1
a) CMR: phơng trình f(x)=0 có nghiệm với mọi m.
b) Đặt x=t+2 . Tính f(x) theo t từ đó tìm điều kiện của m để phơng trình f(x)=0 có hai
nghiệm lớn hơn 2.
Bài toán 58: Biết rằng x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 . Viết phơng trình bậc hai nhận hai số x13 ; x23 là nghiệm.
Bài toán 59: a) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình x 2 ax + 1 = 0
Tính A= x13 + x23 theo a.
b) Cho f ( x) = 2mx 4 (5 + 4m) x3 + (2m 20) x 2 + (45m + 26) x 32 + 2m . Tìm m để f(x) có một
nghiệm là 2. Chứng minh lúc ấy f(x) chia hết cho x 2 7 x + 10 . Tìm các nghiệm còn lại của
f(x)
Bài toán 60: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình x 2 7 x + 3 = 0
a) Hãy lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 x2 và 2x2 x1
b) Hãy tính giá trị của biểu thức A = 2 x1 x2 + 2 x2 x1
Bài toán 61: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình x 2 mx + 2 = 0
Tính A = x12 + x22 theo m
Bài toán 62: Chứng minh rằng nếu a(a c) + c(c a ) + 8(d b) > 0
thì hai phơng trình x 2 + ax + b = 0 và x 2 + cx + d = 0 có ít nhất một phơng trình có hai
nghiệm phân biệt.

---------------------------------------------------------------------Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học

7


LôI Trung Kiệt
Bài toán 63:
Cho phơng trình (m 4) x 2 2(m 2) x + m 1 = 0 . Xác định m để phơng trình
a) có hai nghiệm cùng dấu.
b) Có hai nghiệm tráidấu và nghiệm âm có GTTĐ lớn hơn.
c) Có một nghiệm dơng
Bài toán 64: Cho phơng trình x 2 (2m 1) x + m 5 = 0
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và tìm nghiệm kia.
b) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 với mọi m
c) Với giá trị nào của m thì A = x12 + x22 đạt GTNN. tìm GTNN ấy.
Bài toán 65: Cho phơng trình x 2 (2m 1) x m 3 = 0
a)CMR phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x12 + x22 10
Bài toán 66: Cho phơng trình x 2 (2m + 3) x + m 2 3m = 0
a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm khi m thay đổi.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6
Bài toán 67: Cho phơng trình x 2 (2m + 1) x + m 2 + m 6 = 0
a) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x13 x23 = 50
Bài toán 68: Cho phơng trình x 2 (2m + 1) x + m 2 4m + 5 = 0
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng.
Bài toán 69: Cho phơng trình (m + 1) x 2 2(m + 2) x + m 3 = 0
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn (4 x1 + 1)(4 x2 + 1) = 18

Bài toán 70: Cho hai phơng trình x 2 + p1 x + q1 = 0 và x 2 + p2 x + q2 = 0 . Biết rằng
p1 p2 = 2(q1 + q2 ) . CMR: ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm.
Bài toán 71: Cho phơng trình (m 2 m + 1) x 2 (m 2 + m + 1) x 1 = 0 .
a) CMR phơng trình đã cho luôn có hai nghiệm x1 ; x2
b) Tìm GTNN của P= x1.x2
c) Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S= x1 + x2
Bài toán 72: Cho phơng trình (m 2 + m + 1) x 2 (m 2 + 2m + 2) x 1 = 0 .
a) CMR: phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi m.
b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phơng trình trên. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức
S= x1 + x2
Bài toán 73: Cho phơng trình 2 x 2 + 2(m + 2) x + m 2 + 4m + 3 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có nghiệm.
b) CMR: khi phơng trình có nghiệm thì hai nghiệm của nó thoả mãn
2


2
x1 + x2 + 3 x1 x2 1 +
ữ
2 ữ



Bài toán 74: Tìm Tất cả các sô nguyên k để phơng trình :
kx2 (1-2k)x + k 2 = 0 luôn có nghiệm hữu tỉ.
---------------------------------------------------------------------Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học

8

LôI Trung Kiệt
Bài toán 75: Cho 2 phơng trình : x2 + a1x +b1 =0 (1)
x2 + a2x + b2 = 0 (2)
Cho biết a1a2 2(b1 +b2) . Chứng minh một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm .

Chuyên đề: Phơng trình bậc hai và áp dụng

so sánh nghiệm của ph ơng trình bậc hai với một số cho tr ớc
*********
2
Bài toán 1: Tìm m để phơng trình x mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn điều kiện
x1 2 p x2

Bài toán 2: Tìm m để phơng trình 2mx 2 x + m = 0 có nghiệm thoả mãn
1
x2
2
Bài toán 3: Cho phơng trình x 2 + 2(m 1) x (m + 1) = 0
x1 <

a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm nhỏ hơn 1, một nghiệm lớn hơn 1.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài toán 4: Chứng minh rằng nếu a, b, c là những số dơng thì phơng trình
1
1
1
+
+
=0
x x a x b

a
2a
2b
b
Có hai nghiệm x1 ; x2 (x1 >x2 ) sao cho < x1 <
và
< x2 <
3
3
3
3
2
2
Bài toán 5: Cho hai phơng trình x 2 px + n = 0 (1) và x 2mx + n = 0

(2)
Tìm điều kiện cần và đủ để mỗi phơng trình có một nghiệm nằm xen giữa hai nghiệm của
phơng trình kia.
Bài toán 6: Tìm giá trị của tham số m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ
hơn 1:
x 2 ( m 1) x m = 0
Bài toán 7: Tìm m để phơng trình 3x 2 4 x + 2(m 1) 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn
2
Bài toán 8: Xác định m để phơng trình mx 2 2(m 2) x + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt và
nghịch đảo của hai nghiệm đều nhỏ hơn 1.
Bài toán 9: Cho phơng trình mx 2 2(m 3) x + m 4 = 0 . Xác định m để phơng trình:
a) Có đúng một nghiệm dơng.
b) Có đúng một nghiệm không dơng.
Bài toán 10: Cho phơng trình (m 4) x 2 2(m 2) x + m 1 = 0 . Xác định m để phơng trình
có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:

a) x1 < 0 < x2 và x1 > x2
b) x1 + x2 = 2( x12 + x22 )
Bài toán 11: Cho phơng trình (m + 1) x 2 2mx + m + 5 = 0 . Xác định m để phơng trình :
---------------------------------------------------------------------Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học

9


LôI Trung Kiệt
a) Có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2.
b) Có ít nhất một nghiệm nhỏ hơn 2
Bài toán 12: Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0;(a 0) có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn điều
kiện x1 = x22 .
Chứng minh rằng: b3 + a 2c + ac 2 = 3abc.
Chuyên đề: Hệ thức vi-ét Các dạng toán áp dụng.(Tiếp)

---------------------------------------------------------------------Chuyên đề bồi dỡng HS lớp 9/ Năm học

10