ĐỀ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 - NĂM 2013

PHÒNG GD – ĐT QUẢNG TRẠCH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2013 - 2014
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề số 1:
Câu 1: ( 2 điểm)

Rút gọn các biểu thức sau:

a.

A=

b.

B =

6 + 3+ 2 2 . 3+ 2 2.

( 2008

2

6 − 3+ 2 2 .

)(

)

− 2014 . 20082 + 4016 − 3 .2009
2005.2007.2010.2011

Bài 2: ( 1,5 điểm) Cho hàm số: y = mx – 3x + m + 1
a. Xác định điểm cố định của đồ thị hàm số?
b. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số là một đường thẳng cắt hai trục tọa độ tạo thành
tam giác có diện tích bằng 1(đơn vị diện tích).
Câu 3: ( 2,5 điểm)
a. Chứng minh bất đẳng thức: a 2 + b2 + c 2 + d 2 ≥ (a + c)2 + (b + d )2 .
Áp dụng giải phương trình:
b. Cho Q =

x 2 + 2 x + 5 + x 2 − 6 x + 10 = 5

x + 16
. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
x +3

Câu 4: ( 1,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, trên cạnh BC lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N
sao cho BN = BM. Chứng minh: các đường thẳng AM, CN và đường tròn ngoại tiếp hình
vuông ABCD đồng quy tại một điểm.
Câu 5: ( 2,5 điểm)
·
Cho tam giác ABC có ABC
= 60 0 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trước). Hình

chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC được gọi
là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ

nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó.


ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 - CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2013 - 2014
MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút)
Câu Ý
1

a

Nội dung
A = 3 + 2 2 . ( 6) 2 − ( 3 + 2 2) 2 = 3 + 2 2 . 6 − (3 + 2 2)

( 2008

2

B=
B=

(

)(

)

− 2014 . 20082 + 4016 − 3 .2009

2005.2007.2010.2011
2

x − x − 6 x 2 + 2x − 3 ( x + 1)

)(

)

( x − 3 ) ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3 )
( x + 2 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( x − 1) ( x + 1 )
( x − 3 ) ( x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3 )

. Đặt x = 2008, khi đó

a

0.25

=

= x + 1 = 2009

 x0 + 1 = 0
 x0 = −1
⇔
⇔
1 − 3 x0 − y0 = 0
 y0 = 4
Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4)

0.5

m+1

0.25
A

0.25
B
m+1

O

1.5

m-3

b

3

a

Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3
1
m +1
= 1 ⇔ (m + 1) 2 = 2 m − 3
S ∆ ABO = m + 1
2
m−3
2
⇔

Nếu m> 3
m +2m +1 = 2m -6 ⇔ m2 = -7 ( loại)
Nếu m < 3 ⇔ m2 +2m +1 = 6 – 2m ⇔ m2 + 4m – 5 =0
⇔ (m – 1)(m + +5) = 0 ⇔ m = 1; m = -5
Hai vế BĐT không âm nên bình phương hai vế ta có:
a2 + b2 +c2 + d2 +2 ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ a2 +2ac + c2 + b2 + 2bd + d2
⇔ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ ac + bd (1)
Nếu ac + bd < 0 thì BĐT được c/m
Nếu ac + bd ≥ 0 (1) ⇔ ( a2 + b2 )(c2 + d2) ≥ a2c2 + b2d2 +2acbd
⇔ a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2 +2acbd
⇔ a2d2 + b2c2 – 2abcd ≥ 0 ⇔ (ad – bc)2 ≥ 0 ( luôn đúng)
a c
Dấu “=” xẩy ra ⇔ ad = bc ⇔ =
b d
Áp dụng: xét vế trái VT = ( x + 1) 2 + 22 + (3 − x) 2 + 12 ≥ ( x + 1 + 3 − x) 2 + (2 + 1) 2
⇔ VT ≥ 16 + 9

⇔ VT ≥ 5

2.0

0.25

y = (m – 3)x + (m + 1)
Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định của đồ thị hàm số, ta có:
y0 = mx0 – 3x0 + m+ 1 thỏa mãn với mọi giá trị của m
⇔ m( x0 + 1) + (1 − 3 x0 − y0 ) = 0, ∀m
2

Ghi chú

0.5

(3 + 2 2)(3 − 2 2) = 9 − (2 2) 2 = 1

A=

b

Điểm
0.5

0.5

0.5
1.5
0.5

0.5

0.25


Mà VP = 5, vậy dấu bằng xẩy ra ⇔

x +1 3 − x
5
=
⇔ x +1 = 6 − 2x ⇔ x =
2

1
3

Điều kiện: x ≥ 0
( x − 9) + 25
25
25
= x +3+
− 6 ≥ 2 ( x + 3).
− 6 ⇔ Q ≥ 10 − 6 = 4
Q=
x +3
x +3
x +3
b.
25
⇔ x = 4 (TM điều kiện)
Vậy Qmin = 4; Dấu “=” xẩy ra ⇔ x + 3 =
x +3
Hình vẽ chính xác
Gọi H là giao của AM và CN
C Xét ∆AMB và ∆ CNB là hai tam giác vuông có:
AB = CB (Cạnh hình vuông)
BM = BN (gt)
⇒ ∆AMB = ∆ CNB (c-g-c)
·
·
BAM
= BCN
(1)

D

4

M

H

Xét trong ∆AMB và ∆ CMH có:
(đối đỉnh), kết hợp với (1)
·AMB = CMH
·

·
⇒ CHM
= ·ABM = 900 hay ·ACH = 900
B
N
⇒ A
H thuộc đường tròn có đường kính AC
(tức H thuộc đường tròn ngoại tiếp ABCD)
Vậy AM, CN và đường tròn ngoại tiếp ABCD đồng quy tại H
A
x

M

B

N

60 0

Q

P

Hình vẽ
Đặt AM = x (0 < x < c) .
MN AM
ax
=
⇔ MN =
Ta có:
BC
AB
c
( c - x) 3 .
MQ = BM.sin60 0 =
2
Suy ra diện tích của MNPQ là:
ax ( c - x ) 3 a 3
C
S=
=
x ( c - x)
2c
2c

5

2

a+b
a+b 
+ Ta có bất đẳng thức:
≥ ab ⇔ ab ≤ 
÷ (a > 0, b > 0)
2
 2 

0.25

0.75
0.25
0.25

0.5

1.5

0.5
0.25

0.25
0.25
0.25

0.25

2.5
0.25

2

c2
 x+c-x 
Áp dụng, ta có: x(c - x) ≤ 
.
=
÷
4
 2 
c
Dấu đẳng thức xảy ra khi: x = c - x ⇔ x = .
2
2
c
a 3 c
ac 3
ac 3
Suy ra: S ≤
. Vậy: S max =
khi x = hay M là trung điểm của
. =
2
2c 4
8
8
cạnh AB

1.0

0.5
0.25
0.5


PHÒNG GD – ĐT QUẢNG TRẠCH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2013 - 2014
Môn thi: Toán 9
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ 2:
Câu 1 : (1,5 điểm)
Chứng minh rằng : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n Chia hết cho 7 với mọi n.
Câu 2 : (4 điểm)
a) Cho 0 ≤ x ≤1 Chứng minh rằng : −x 3 + x 2 ≤

1
4

b) Cho ba số x; y; z thỏa mãn : x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của B = xy + yz + zx
Câu 3 : (2,0 điểm)
a) Tính : A = 4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3
b) Giải phương trình : x − 2 + 10 − x = x 2 −12 x + 40
Câu 4 : (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a . Một điểm M chuyển động trên cạnh

·
DC ( M ≠ D ; M ≠ C ) chọn điểm M trên cạnh BC sao cho MAN
= 45o , DB cắt AM ; AN
theo thứ tự tại E và F.
a) Chứng minh rằng : ·AFM = ·AEN = 90o .
b) Chứng minh rằng : diện tích của tam giác AEF bằng một nữa diện tích tam giác AMN.
c) Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC.
Câu 5 : (1,5 điểm)
·
Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của BAC
là AD . Biết AD = 6 ; AC = 9
o
·
với BAC
= 68 . Tính độ dài AD.
------------------------ Hết ------------------

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN


ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi : TOÁN ; LỚP 9
Nội dung

Bài
1

Chứng minh rằng : A = n3 ( n2 – 7)2 – 36 n Chia hết cho 7 với mọi n
3

2a

2b

2

2

3

4

2

Ta có : A = n ( n – 7) – 36 n = n ( n – 14n + 49 ) – 36n
= n7 - 14n5 + 49n3 - 36n
= (n7 -n5) - (13n5 - 13n3) + (36n3 - 36n)
= n5(n2-1) - 13n3 (n2 - 1) + 36n (n2-1)
=( n2-1) .(n5-13n3 + 36n)
= (n2 - 1) {(n5-4n3) - (9n3-36n)}
=(n2 - 1) {n3 (n2 - 4) -9n (n2 - 4) }
= (n2 - 1) (n2 - 4) (n3 - 9n)
= (n2 - 1) (n -2) (n +2) n (n2 - 9)
= (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3)
Vậy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Vì n là số tự nhiên nên số A là tích của 7 số tự nhiên liên tiếp. Rồi chứng minh cho tích
của 7 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 7
Kết luận: A chia hết cho 7
1
3

2
Cho 0 ≤ x ≤1 Chứng minh rằng : −x + x ≤
4
2
2
Do 0 ≤ x ≤ 1 nên x ≤ x => - 4x ≥ - 4x và 1-x ≥ 0
Từ đó ta có - 4x2 (1-x) ≥ -4x (1-x)
 - 4x2 (1-x) +1≥ - 4x (1-x) +1
 4x3 - 4x2 + 1 ≥ 4x2 - 4x +1
= (2x -1)2 ≥ 0
=> 4x3 -4x2 +1 ≥ 0  - 4x3 + 4x2 - 1 ≤ 0  - 4x3 + 4x2 ≤ 1
1
 4(-x3 + x2) ≤ 1
 - x3 + x 2 ≤
4
1
Vậy : -x3 + x2 ≤
nếu 0 ≤ x ≤ 1
4

Cho x, y, z thoả mãn x + y + z = 3 .Tìm giá trị lớn nhất của B = xy + yz + zx .
Ta có :
B = xy + z ( x + y ) = xy + 3 − ( x + y )  ( x + y )

Điểm
1,5
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
1,0

0,5
0.25
0.25
1,0

= xy + 3 ( x + y ) − ( x + y ) = − x 2 − y 2 − xy + 3x + 3y
2

2

2

y − 3  −3y 2 + 6y + 9
y − 3  −3
2


= − x +
+
= − x +
+ ( y − 1) + 3 ≤ 3
÷
÷
2 
4
2 

4


 y −1 = 0

y−3

= 0 ⇔ x = y = z =1
Dấu = xảy ra khi x +
2

 x + y + z = 3

0,75

Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1

0.25


3a

Tính : A = 4 + 5 3 + 5 48 − 10 7 + 4 3

( 2 + 3)

Ta có : A = 4 + 5 3 + 5 48 − 10

(

A = 4 + 5 3 + 5 48 − 10 2 + 3

1,0
0.25

2

0.25

)

A = 4 + 5 3 + 5 28 − 10 3

(

A= 4 + 5 3 + 5

(

5− 3

)

)

A= 4 + 5 3 + 5 5− 3 =
3b

Giải phương trình :

0.25

2

4+5 = 3

4 + 5 3 + 25 − 5 3 =

0.25
1,0

x − 2 + 10 − x = x 2 −12 x + 40

Điều kiện : 2 ≤ x ≤ 10
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.
1
1 x − 2 + 4 10 − x + 4 
+
( x − 2 ) .4 + ( 10 − x ) .4 ≤ 
Ta có : x − 2 + 10 − x =
÷= 4
2
2
2
2

x − 2 = 4
x = 6
⇔
⇔ x = 6 (1)

Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 
10 − x = 4
x = 6

(

)

0,5

2
2
Mặt khác : x −12 x + 40 = ( x −12 x + 36 ) + 4 = ( x − 6 ) + 4 ≥ 4
2

0.25

Dấu “=” xảy ra ⇔ x − 6 = 0 ⇔ x = 6 (2)
Kết hợp (1) và (2)
Phương trình có nghiệm duy nhất là : x = 6
4
4a

·
·
Chứng minh : AFM
= AEN
= 90 0
µ3 =A
µ 1; B

µ 1= C
µ1
Nối A với C chỉ ra được A
=> ∆ AFB : ∆ AMC (g.g)
AF
AB
AF AM
=
⇔
=
(1)
=>
AM
AC
AB
AC
·
·
Có MAF
= CAB
= 450 (2)
Từ 1 và 2 => ∆ AFM ∞ ∆ ABC
·
·
=> AFM
= ABC
= 90 0
·
C/M hoàn toàn tương tự có AEN
= 900

·
·
vì vậy AFM
= AEN
= 90 0

0.25
3,0
A

B

1

F

3

1
N

E

0,75
1

K

D

M

0.25
C


4b

Chứng minh : S AEF =
Có

1
S AMN
2

∆ AFM ∞ ∆ AEN =>

AF
AE
=
=> ∆ AEF ∞ ∆ AMN
AM
AN

(c.g.c) =>

2

S AEF  AF 
=

÷ (1)
S AMN  AM 
·
·
Có FAM
= 450, AFM
= 900
=> ∆ AFM Vuông cân đỉnh F nên AM2 = AF2 + FM2 = 2AF2
2
S AEF
1
1
1
 AF 
=
=> 
hay: S AEF = S AMN (ĐPCM)
÷ = 2 Thay vào (1) ta được S
2
2
AMN
 AM 
4c

5

0,75
0.25

C/M chu vi ∆ CMN không đổi

Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN
·
·
∆ ADK = ∆ ABN => AK = AN và BAN
= DAK
do đó ∆ AMN = ∆ AKM (c.gc) => MN=KM
Vì vậy: Chu vi ∆ CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN
= CD + KD + CN = CD + NB + CN
= CD + CB = 2a không đổi
Tức là: Chu vi ∆ CMN không thay đổi khi M chuyển động trên cạnh DC

0,75

0,25

Tính độ dài AD.
Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC
A
lần lượt là : S1, S2, S.
1
Ta có : S1 = AB.AD.sinA1
1 2
2
1
S2 = AD.AC.sinA2
2
H
1
S = AB.AC.sinA
2

B
Vì : S = S1 + S2
D
1
1
1
Nên :
AB.AD.sinA1 + AD.AC.sinA2 = AB.AC.sinA
2
2
2
⇔ AB.AD.sinA1 + AD.AC.sinA2 = AB.AC.sinA
AB.AC.sinA
6.9.sin 68o
⇔ AD =
=
≈ 6
AB.sinA1 +AC.sinA 2
6.sin 34o + 9.sin 34 o

1,5

K

0.5
C

0.5
0. 5