THỢ CƠ KHÍ TOÁN HỌC ( GIẢI TOÁN BẰNG TRỰC QUAN VẬT LÝ)

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TURN HUI:


THE MATHEMATICAL MECHANIC: USING PHYSICAL REASONING T0 SOLVE PROBLEMS
Copyright © 2009 Princeton University Press. All rights reserved.
Ban tiéhg Viét © NXB Tré, 201 I.
No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or
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without permission in writing from the Publisher.

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Muc TRUGC xur BAN nuoc Tnuc iniin not rnu vn§:N KIITH TPIICM

Levi, Mark
Tho ed khi tozin hoc — Gizii loan bang
-

T.P.

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quan vat ly I Mark Levi ; Huy Nguyen dich.

Chi Minh : Tré, 2011.

240 tr. ; 20cm. - (Canh elm m6 rong). Nguyen ban : The mathematical mechanic.

l.

Vail 1y loan hoe. I. Huy Nguyen. II. Ts: The mathematical mechanic.

510 -- dc 22

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978-6044 -01 274-5

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The Mathematical Mechanic
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1

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2

DINH LY PYTHAGORAS

3

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4

BAT DANG THUC c110 B61 DO/KN MACH

5

TAM

6

1111111

7

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8

PHUONG TRiNH EULER-LAGRANGE
THONG QUA NHUNG LO x0 KEO CANG

9

THAU KINH, KINH VIEN VQNG,
VA co HOC HAMILTON

10

1/A

1<1-161;

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LUAN (:1) v/\ C/\CH Gliu

1100 vA c11uY1i1\1 DONG

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11

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1

s|c'i| Tl-|||§'.u

Thét tinh c6 mét trong nhung phél kién
loén

hc_)c vT

dai nh§l mqi thbi dai

|e_1i

duqc dén dét bdi truc Quan vél
~ George Polyn,

néi dén k|1é|np|1c\'m Archimedes

vé phép lfch phn

1.1T02’1n hQc d6id§1u Vélt

13?

Tré lai théi Lién bang X6 vifit nhung nm du thzip kj?
1970, lép cit nhn chilng téi — g6m khoéng 40 sinh vién
ném hai ngémh toém vél 13?, duqc huy déng di lao dcfmg mila
hé 6 mién qué. Céng viéc ca chtmg téi lél trén bé-téng v51
dung céc xi-16 tai m(f)t trong céc néng trang tzflp thé'tz_1i déy.
Ban téi Anatole v€1 téi ducyc phém céng xflc séi. Céng vifec
hoém thilnh V51 chtlng téi cém thy thoéi méi (nhu béit ctr
ai cflng cé thé cém théiy trong hoim cénh dé). Anatole thco
chuyén ngénh vzfit 1y cén téi thi chuyén toén. Nhu nhirng
ké hém mi) hai (1‘(f)i tuyén d6ikhé1ng, m5i chlng téi ra sire
thuyét phL_1c ngufri cén lai rng linh vuc ca minh uu viét
hon. Anatole néi mét céch qué qL1y6tr5ngtoén hc_>c 121 dy

5


tér ca

v2f1tlv.T6iphan phao rang toan hqc cé thé t6n tai bat
chéip vat Iv cén vat Iv thi khéng. T61 néi thém cac dinh Iv
la vinh hang. Cac gia thuyé't vat Iv thi héft dtlng réi sai. Dil
vay téi da khéng cho Anatole bié't truéc rang Iv do téi chqn

chuyén nganh toan hoc la dé rén luyén cai céng cu c6t yé'u
cho vat 13? — linh VL_l’C ma téi du tinh sé theo du6i sau nay.

mila hé truéc khi vao dai hc_>c, téi cia tinh ct‘) gap
thy vat lv ca minh. Ong da héi vé cat: dL_r tinh cila téi cho
hoe ky mtla thu. “Bat dau chuyén nganh toan ca em", téi
(mp. “G1 co? Toan? Anh khvllng r61!” Ong dap lai. Téi coi dc’)

nhu' m{)t 101 khen (va 06 lé xac nhan quan diém cla éng).

'l‘ht_1'c

1.2

ra,

Quyén sach nay néi vé diéu gi

Day khéng phai la “mtjt trong nhfrng cu6n bia mém,t0,
(lay, dL’1 dé giét thri gian qua hai mtta git’), ma né'u du'Qc ném
lhfnng tay thi sé khién mét con trau nude khuyu g6i” (Nancy

Banks-Smith, nha phé binh truyén hinh ngudi Anh). Véi
kich th uéc nhé ca n6, cu6n sach nay sé khéng ha guc duqc
ai, it ra khéng thé ha gL_1c ai bang tac déng vat Iv ca né.
'l‘uy nhién, cu6n sach thuc sL_1' la mét dén giang tré — hay cé
thé chi lit mét cL'1 chich ch6ng lai quan niém cho rang toan
h(_>c la day té ca vat Iv. Trong cu6n sach nay, vat Iv bi dat
vao vi tri phuc Vl_l toan hc_>c, va t6 ra la mét day tér cé nang
luc (xin l6i cac nha vat Iv). Nhfrng 3? tuéng vat Iv cé thé la
v tuéng khai mi’) thuc thu va gqi ra l(‘7i giai cue kv gian don
cho mét bai toan toan hQC. Hai ch thé nay gan bé khang
khit dffn n6i ca hai sé chiu t6n that néu bi tach rfyi. Su (T161
vai cé thé rat hiéu qua, nhu cu6n sach nay minh chirng.

6

Hoan toan co thé tranh cai xem viéc tach hai bi) mon nay
ra co la mot eai gi qua nhan tao hay khong*.

qua Ijch sti. Cach giai toan bang true quan vat ly
it nhat co ttr thoi Archimedes (khoang nam 287 tr. CN —
D1'é'm

khoang nam 212 tr. CN). Cng da chtrng minh dinh ly tich
phan n5i tiéng vé the: tich hinh trL_i, hinh cau va hinh non
bang cach sir dung mat cai can thang bang gia tuong. Ban
tom tat ciia dinh ly nay duoc khae lén bia ma ca ong.
Cach tiép can ca Archimedes co thé duoc tim thay trong

cuon [P]. Doi voi Newton, hai chL"1 dé nay v6n1a mat. Cac
cu6n [U] va [BB] trinh bay nhfrng loi giai vat ly rat dep cho
cac bai toan toan hoe. Rat nhiéu nhfrng phat kién toan
hoe co ban (nhu Hamilton, Riemann, Lagrange, Iaeobi,
Mobius, Grassman, Poincare) da duoc dan dat tu nhung
suy xét vat

1y.

C6 hay khéng mét céng

thiic ph6' quat cho each t1'é'p can
vatIy?Nhu voi cong cu bat ky, vat chat hay tinh than, each
tiép can nay co khi t6t va co khi khong. Kho khan chinh
la “nhin" ra ban chat vat ly ca bai toan**. Mot s6 bai toan
phii hop voi each giai nay, mat 56 khac thi khong (c6 nhién,
eu6n sach nay chi bao gom dang thL'r nhat). Tim ra mo

“Toan hoc la mat nhanh ea vat ly ly thuyé't noi ma phan thuc nghiém la ré
tién" (V. Arnold [ARN]). Khong chi cac thi nghiéin lrong cu6n sach nay la
ré lién — tham chi con mién phi, ma thirc chat la cac lhuc nghiem gia tubing
(bai toan 2.2; 3.3; 3.13, vii (hire ra hau heft cac bai loan lrongcuan sach nay).
"* Day la each tie-'p can di nguoc trao liru chung: thong thuong mat nguoi bat
dau bang mat bai toan vat ly, roi trién khai no thanh mg‘)! bai toan toan hoe;
bday chiing ta lam nguqc lai.
*

7


phéng vefit 1}? cho mcfat béli Loém cu thé cé khi dé dé1ng,vé1 cé
khi khéng; ngudi dcc cé thé cé 3? kién riéng ca minh sau
khi ludt qua nhfrng trang séch néy.
Mét béi hcc mé mcfn sinh vién cé thé rL’1t ra ttr viéc (1‘Qc
cu6n séch nély lé tim kiém mét 37 nghia vzfxt 1y trong toén
hQc 151 rt cé ich.
chgit ché clia toén hpc. Lép luém vét

13? ca
chtlng ta sé
khéng hoén toém cheflt ché. Nhfrng leflp luzfm néy chi 151 phéc
théo ca nhfmg chtrng minh cheflt ché, C1‘u'Qc di?-zn dat being
ngén ngfr vét 1y. Téi cé chuyén ngfr“chL'mg minh” vét 13? thélnh
chirng minh tozin hqc cho mcfmt véli béli toén chQn1(_>c. Lém
viéc néy métxcéch ct’) hé th6ng sé bién quyé'n séch thimh
mét pho séch“t0, dély vél chéln ngzit". Téi hy vqng ngudi dcpc
sé nh2_"1n ra hinh mu dé nxir 1)? nhfrng trufmg hqp mé téi d€1 b6 qua.V('rilcritr§1n tinh

nély, téi céim thy bét ély néy trong viéc sir dc1ngttr“chL’rng
minh” xuyén su6t cu6n séch mé bi’) qua dfiu ngoeic kép.
Diém ch6t ('7 déy 151 lélp luefln vz_“1t 1y tré thémh céng cu dé
khém phé vél dé cé m(f>t truc quan séu s€ic ~ hai buéc di
truéc tfnh chzflt ché cfla toén h(_>c. Nhu Archimedes dé viét,
“Duong nhién viéc thiét lép mét chtrng minh sé dé délng
hon nhiéu néu tru'()c C16 da cé ngudi n€im duqc khéi niém
s0 khéi ca béli toézn”. ([ARC], tr. 8)

SL1

Métcéch tiéjv cén r6 réng. Thay vi phién dich “chL'1'ng minh"
vét 13? thémh chtrng minh ch2f1tcl1é,viécthié'tlé1p cé hé th6ng
“célc tién dé thL_1'c cht" cé lé sé 151 m(_”)t du z'1nthL'1 vi. Déy sé
151 mét tefxp hqp czic tién dé thuc ché'tcL"1a co h(_>c, tuong tu
nhu célc tién dé hinh hoc/s6 hoc ca Euclid mél trong dé

8


céc chtmg minh duqc cho 6 trong cu6n séch néxy tré nén

chit ché.
Ta thé tufmg tuqng mét nén vén minh ngoéxi tréi déit mix
6 dé ngudi La phét trién co hQc trufyc, nhu mét bi) mén cheflt

ché vé thun my mang tinh tién dé. Trong thé' giéi song
hénh nziy, m(f)t ngudi néo dc’) Git dé vié't mét cu6n szich vé
vif;-c sir dung hinh hoe C16 chtrng minh céac dinh 1y co hoe.
C6 thé b€1ihQc 6 déy 121 con ngudi khéng nén hoén toéln

télp trung v€10 czich tiép céln nay hay céch tiép can kia, m

nén coi dé nhu hai mzfit ca m(f)t d6ng xu. Cu6n séch néay
véi
151 mét phén (mg ch6nglz_1i su thé 0 khé ph6 bi6n d6i
khia canh vefzt 13? cla toén hqc.

tém Iyhpc. Nhng céch giéi vét 13? trong cu6n
séch nély cé thé ducyc dién dich ra ngén ngfr toén hqc.
Tuy vefly, khéng thé trénh khéi thifiu sét trong quél trinh
dién dich. True giéc 00 hqc 121 m()t thuéc tinh co bén ca
So'1uQ'c vé

tri tué con ngufyi, cng co bén nhu khé néng tuéng tuqng
hinh hqc, khéng sir dung chnng lé léing phi mmanh mé mé ta cc’). C0 hQc 151 hinh hoc véi diém nhn vélo
chuyén déng vé tié'p xL’1c.@ hai khia canh sau, co hqc cho
ta m(f>t chiéu kich cém nhzfxn b6 sung, cho phép ta quan
sét toén hQc tit mét géc dé khéc, nhu duqc miéu té trong

cu6n sélch nay.

Quyluét tié'n héa déng bufin win dang tfin tai. Khé néng lélp
luzfzn bilng vzfit 13? Ciéi 121 khffvi nguén cho nhftng pl1étki6n toém
hqc nén téng, tit Archimedes, dé'n Riemann, dén Poincaré,
vé dén tzfin hém nay. Tuy vzfly, khi mcjt chfl thé phzit trién,
khé néng 13? giéi tu nghiém bi chim véo quén lang. Két qué

Q

la sinh vién thung khéng cé duqc nén tang truc quan ca
cac mén hqc ma h(_) theo c'1‘u6i.
D61’ tupng ca

cu6n sach. Néfu ban cé himg thL'1 véi toan l'1QC
va vat ly, téi hy vQng ban sé khéng quzilng cu6n sach nay di.

Cu6n sach nay cé thé thti vi véi nhtrng ai xem nhfrng
diéu sau day la ky thljiz
~

~

-

-

~

Dinh ly Pythagoras cé thé duoc giai thich bang dinh luat
bao toan nang lu:Q'ng.
Déng méi céng téic trong mcjt mach dién don gién chfxng
minh du'(_rc bat dang thL'1'c \/Z1; 3 %(a+/1).
Mét s6 bai toén giai tich' phL'1'c tap cc’) thé duqc giéi quyét
dé dang ma khéng can mét phép tinh nao.
Khao sat chuyén déng cia banh xe dap dé chirng minh
duoc céng thtrc Gauss-Bonnet (gia dinh la khéng déi héi
ngufyi doc cé su am tufyng dé tai nay; tat ca hiéu biét co
ban déu (1‘u'Qc cung cap).

ca céng thL'i'c tich phan Riemann Ian dinh ly anh xa
Riemann (déu duqc giéi thich (rcac muc thich hqp) Ciéu
hién r6 m6n mét bang each quan sat chuyén déng ciia
lu'u chat.

Cu6n sach nay sé léi cu6n béit ctr ai mu6n tim hiéu vé
hinh hoc hay co hcpc hoac nhfrng ai khéng tim thfiy himg
thii véi toan hqc béi vi ho cho rang né qua khé khan hay

nham chan.

" Nguyén van: calculus vita cé nghia

1:1

N.D.

IO

giai iich, vita cé nghia la phép iinh -


trongkhéa hQc.Ng02‘1iviéclé1 mén 2“1ntinhthz‘m b6
dufyng, cu6n séch ccn cé thé duqc dilng nhu' mét téai liéu b6
sung trong célc khéa hcc vé giéi tich, hinh h(_)c vé b6i dudng
giéo vién. Giéo sur tozin vii vefxt ly cc’) thé tim Lhéiy min véxi béi
S1? dung

toén vé

nhzfan

xét cé ich cho céng téc giéng day cla

h(_).

Kiéh thlicnén téng cén c6.Ph§1nl6n cu6n séch (céc chuong
2 Clffn chuong 5) chi dci héi giéi tich vél hinh 1’1(_)C so cp
véi dc khé duqc giir 6n dinh su6tcé1c chucmg néxy, véi mf_>t
véi dét bi6n ngoai lé. Chuong 6 v51 7 chi yéu cu nguéi doc

biét s0 qua dao h€1m veil tich phén. Cu6i chuong 7 téi c()
dé cap su€{t tiéu tén, nhung khéng am héi nhfrng hiéu biét
séu séc. Chuong nély béit ctr ai déi lélm quen véi giéi tich so
céip cng cé thé tiép cém duoc.
Phn thir hai (céc chuong 6 dé'n chucmg 11) cé dt1ng(dt1
hiém khi) mét vai khéi niém vé giéi tich da bié'n, nhung :01
trénh dimg nhiéu thuzfit ngfr, hy vqng ring truc giélc sé giL'1p
ban dcc vuqt qua ducqc céc rélo cén ky thuzflt.
Téit cé mc_>i diéu mét nguzfyi cn biét vé vef1t 13? duqc mé té
trong ph1._11L_1c; né duqc trinh bay dé phuc vu nhfrng ngufyi
thiéu kié'n thtrc nén téng.
Ta cé thé dQc séch tirng phn mcfnt hay ttmg béli toém
mét; néfu bi méic ke_:t,bg1n chi céln léit sang trang khzic <15 cé
thém himg thL'1. Cc’) ngoai lé cho céiu LrL'1c m6i ch dé mint
trang n2‘1y, ch yéfu xuéit hién 6 nhfrng chuong cu6i.
Ngun tziiliéu. Theo nhu téi biét khél nhiéu, tuy khéng phéi
toém bf), céc ldi giéi trong séch néy lé méi. Chling bao gém
3.3, 3.7,
101 giéi cho célc béi toén 2.6, 2.9, 2.10, 2.11, 2.13,

3.8, 3.9, 3.10, 3.11, 3.12, 3.17, 3.18, 3.19, 3.20, 3.21, 5.2, 5.3,

ll


(i. I, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 7.1

vé 7.2. Céc m6 phéng 6 chuong 8

muc 9.3, 9.8 v51 11.8 cfing cf) thé lé mévi.
Khéng cc’) nhiéu téii liéu lién quan dé'n ch dé ca cu6n
szich néy. Khi téi cén hcpc ph6 Lhéng, mét vi du tim théy
lrong cu6n séch ca Uspenski da géy n tuqng cho t<')i dé'n
n6i chii dé néiy dé tré théinh niém dam mé*. Thém nhiéu
h£1itz_“1p ('7 dang dé'y cé thé Lim Lhfiy trong cu6n szich nhé ca
Kogan [K],ci1a Balk véi Boltyanskii [BB], vél trong chuong 9
Iii ca cu6n szich cC1aP0lga [P]. Nguén g6c ciia nhfrng béii
toén néy cng nhu' léd giéii ciia né l€1 céng trinh c6 tit 24 théf
ky trufyc cia Archimedes [ARC].
vii

('7

1.3

ceic

Mét vi dL_1 céich giéi vzfit 1}? so véi céich giéi

t02'1n

hQc

toén. Cho ba difim A, B C trén mét phng, tim diém X
sao cho tfing célc khoéing céch XA + XB + XCl€1 nhé nht.
B511

'_

/4

“

-

/
20°

‘in

*

2

L’

<1»)

1.

llinh

*

61

1.1. N611

King khoimg czich

/\’/1

+ XI! + .\’(‘

‘

Iii nhé nhiil thi czic géc [Qi X lii 120"

Dfiy Iii vi du éiii tién ci'1:1 cudn szich niiy. @iI1i1c 2.2, biii biio
{TO} cimg v(ri vi di_i n€1y 151 viii vi du [)6 sung rift I61.

12

ci'1a

Tokicda


cén vétlf. Ta béit du bimg viéc khoan ba lo t2_1i
A, B, C trén mafxt béln (cé thé coi déy 151 m(f>t thi nghiém gié

tuéng hoéc né duqc thuc hién 6 nhé mét ngufyi ban véi mut
Céch

tic-3})

dich tif-it kiém chi phi). Sau khi c(_)t ba soi déy lai vfyi nhau,
gqi dé 151 diém chung X, téi lu6n ttrng scyi mm6i 16 khéc nhau vél treo véo céc qué néng phia duéi bén,
nhu hinh 1.1. Gié sir trqng luqng ca m6i qué nzfmg being

thé néng ca sqi déy thir nht khi dé 151 AX: thL_rc vefly, dé
kéo Xtix 16 A téi vi tri hién tai ca Xta phéi néng qué nzfmg
don vi lén mét khoéng XA. Ta dé gén t6ng khoéng célch
XA + XB + XC mét 3? nghia vefit Iv 1:1 thé néng. Béiy gid, né'u
khoéng céch/n:§1ngluc_mg néy 151 cue tiéu, hé sé 6 trang théi
1;

can bimg. Khi dé, bf) ba luc céng déy téc dung lén Xccfmg
lai sé béng khéng vé do dé chtmg hqp thélnh mét tam giéc
(thay vi lé1 chi huéng rdi rac) né'u duqc dét g6c-n6i-ng(_>n,
nhu cho thiy trong hinh 1.1(b). Tam giéc néy lé tam giéc

nhu nhau, vél do dé géc nm gitra
huéng chi duong ca céc véc to néy 151 120°. Ta dé chi ra
ring LAXB = LBXC LCXA = 120° .'

déu béi czic qu

nzfzng

151

I

toén hoc. Coi a,b,c vim x, ln luqt lé kv hiéu cila céc
véc to vi tri ca céc diém A, B, Cvix X. Ta phéi t6i thiéu héa

L01‘ gizii

dé1iS(x)=|x — a] + |x — bl + [x — c
Dé cé diéu dé, ta cho céc d2_10 héim riéng phn ca S
8
35'
béng khéng: ‘= -5 = 0, trong dé x = (x,y), hay dién giéi cng

téng cla céc

dg“)

~

8,\

By

__________l
kv hiigu cfla géc; ngudi dich gifr nguyén kv hiéu cfxa nguyén bn
a| + |x- a|
(I6 sir nhém ln trong bén in nguyén téc, thco db t6ng S(x) |xND.
l02'1n.—

béli
thé
téng
v(yi
hqp
phi:
cho
lzii
sfra
dich
+ |x- al. Ngudi

‘ 4

”

151

:

1’)


diéu kién trén mét céch gon gang vé hinh énh h0'n, ta cho
gradient vs =
0. Béy gifr ta tinh VS.
Ta cé:

l|x— a| = A‘/(x
ax

ax

vél mcfn

—

a|)2 + (y

—

cu): = (x —a.) /\}(.>c — a|)2 + (y— a1)2

céch tuong tu:
%|x—a| =(y—a2)/,/(x—a,)2 +(y—a2)2.

Theo dé, V|x — a| = (x — a) / |x — a|lé1m
chi tir A dén X. Ta sé ky hiéu véc to néy l ea. Ké't qué néy
nhén duqc tit m(_‘)t phép tinh r6 rélng nhung 37 nghia vzfat 1y
ca né muon tit céch tié'p can veit 13?, don gién lé lL_1'c mé X
kéo céng dély. L€iy dao hzim hai s6 hang |x— b| vé |x— c| cén

lai trong t6ng Sta thu duoc VS = ea + 0,, + e(_, trong dé eh via
ea ducyc dinh nghia tL1'0'ng tu nhu ea. Ta k6t luzfan rng vi tri
t6i uu cila Xtunng (mg VS = cu + e,, + e(_ = 0 . Theo dz’) céc véc

to don vi ea’ eh‘ ec tz_10 thénh mét tam giéc déu, vil géc ngoili
bait ky ca tam gizic dé chinh lé géc ném gifra czfap véc to don
vi béit ky, bang 120".

khi quan salt théiy céli khé khn thay hinh df
dang khi ta chuyén tit czich tiép czfin néy sang céch khéc.
Trong léi giéi toén h(_>c, céng viéc taflp trung vélo thL_rc hién
mét s6 thao téc dang thL'1'c. Trong ldi giéi vefxt 1y, céng viéc tép
trung véo t2_10 ra mét m6 hinh vét I37 phil hqp. Céch tiéip czfan
nély lé mélu muc cho nhiéu béli toén khélc trong cu6n séch.
Theflt

13?

thL'1

14


1.4

Ldi cam on

Cu6n séch nay hn da khéng ra dfri né'u khéng nhd diéu
cha téi déi néi khi téi muéri sau. Téi cho Ong xem mcfnt nghich

ly vat ly xéy dén véi téi, va éng néiz “Tai sao con khéng viét
né ra va khéri du mét bf) suu tap?”. Cu6n séch nay chinh la
phn duqc trich d§nti1'b(f) suu tap dé, vé'i mét vai thém théit.
Rat nhiéu ban bé va déng nghiép ca téi da déng gép
cu6n séch bang nhfrng gQ'i y va ldi khuyén. Téi dac biét cém
cm Andrew Balmonte, Alain Chenciner, Charles Conley, Phil
Holmes, Nancy Kopell, Paul Nahin, Sergei Tabachnikov,

va Tadashi Tokieda, nhd vao su khich lé cila ho ma bf) suu
tap dz duqc déo got thanh mcf>t dang chin chu. Ban than
téi dac biét biéit on Andy Ruina, ngudi da dcpc ban théo réit
nhiéu ln va cf) nhiéu gcyi y Ian chinh sita. Téi biét on Anna
Pierrehumbert béi v6 s6 gqi y ca cé da giiip céi thién cu6n
séch nay, va Vickie Kearn vi su c6 vii ciia ba.
Téi vé ctmg cém on h5 trcy ca T6 chrc Khoa hqc Qu6c
gia vé'i Quyét dinh Tai trq s6 0605878.
SL_1'

lb


2
B!NH LY PYTHAECIRAS

2.1

Gioi thiéu

mire khong
Day co vé la mot nhan dinh tam thurong dén
A
I
nam yen, khi
dang ban toi: Kh6i nuoc tlnh trong be chfta
rang cai dang dé
khong bi téc dong, sé van niim yén. Toi cho
(tr.
luu tam la no co mot hé qua thL'1 vi la dinh ly Pythagoras

quy tac ham sin (tr.
27). Thém vao do, no con kéo theo ca
quy luafxt l1_xc day noi Archimedes, va dinh 19 Pythagoras
I-1

29),

30).
cho dién tich bé mat cila hinh 3 chiéu (tr.
("Imus 2.2, god
Chfmg minh ca dinh ly Pythagoras, mo ta
ly Pythagoras duoc
ra mot chimg minh dong luc hoc ca dinh
chuyén dong
mo ta ('7 muc 2.6. Phuorng cach tiép can dura vao
s1'1a,bao gom:
lam cho mot s6 chfl dé khac trér nen rat sang
~
~

Dinh ly co ban ca giéi rich.
Cong thtrc tinh toan nhanh cho dinh thirc.
Khai trién dinh thirc theo dong.

chuong nay.
Tat ca nhng diéu trén sé duoc mo ta trong
hon chirng
Vai chfmg minh khac mang nhiéu tinh vat ly
A
mot chitng

minh dinh ly Pythagoras cng duoc neu ('1 day,
minh con
minh sir dung nang luong dan hoi, nhfxng chitng
lai sir dung dong luqng.
A

17

A


2
B!NH LY PYTHAGDRA5

2.1 Giéti

thiéu

Day co vé la mot nhan dinh tam thuong dén mfrc khong
dang ban tor: Kh6i nuoc tinh trong bé' cha nam yén, khi
khong bi, tac dong, sé vein niim yén. Toi cho rang cai dang dé
luu tam la no co mot ht} qué thL'\ vi la dinh ly Pythagoras (tr.

tiic ham sin (tr.
29), quy luefrt lure day noi Archimedes, va dinh ly Pythagoras
cho dién tich bé mat ca hinh 3 chiéu (tr. 30).
Chirng minh cfra dinh ly Pythagoras, mo ta omuc 2.2, goi
ra mot chirng minh dong luc hoc ca dinh ly Pythagoras duot

27). Thém vao do, no con kéo theo ca quy

mo ta ('1 muc 2.6. Phuong cach tiép can dua vao chuyén dong
lam cho mot so ch dé khac tro nén rat sang sa, bao gom:
~
~

Dinh ly co ban ca giéi tich.
Cong thfrc tinh toan nhanh cho dinh thtrc.
Khai trién dinh thirc theo dong.

Téit ca nhfrng diéu trén sé duoc mo ta trong chuong nay.

Vai chimg minh khac mang nhiéu tinh vat ly hon chitng
minh dinh ly Pythagoras cng duoc néu (7 day, mot chfrng
minh sir dung nang luong dan hoi, nhirng chirng minh con
lz_1i

sir dung dong luong.

17


D6 tai ch dao ca chuong nay la dinh

1}?

Pythagoras,

nhung chL'1ng ta sé di léch ra ngoai bai toén 6 mot vai doan
ngan.

2.2 Chirng minh “bé ca” ca

dinh 13? Pythagoras

Dung mot “bé ca” hinh lang tn; nhan tam giac vuong
lam dé1y(hinh 2.1). Ta treo bé ca lén sao cho no co thfi xoay
tu do quanh mot true thing dfmg xuyén qua mot dau canh
huyén. Bay gio as day nuoc vao bé ca.

<1)

kg

Q

b
(Z

Hinh 2.1. B6 ca day nuoc,co1l16tu do chuyé'n dong xoay quanh mot m_1c thing
dirng, khong hf: dich chuyén.
C

>
1,/2

E:T‘»“:a"-:‘°:*?j"

1,

P

Hinh 2.2. Dinh 13? Pythagoras tuong duong voi sL_r tiéu bifin cac moment quay
t6ng hqp dat lén bé ca xoay quanh diém P.

18


bé mat thang dfrng cila né. Ta két luan dinh I3? Pythagoras la

mét hé qua ca viéc kh6i nu’('rc tinh luén bat d<j>ng**.
Bai tap. Ti! diém A ngoai dlréng min vé tiéja tuyéh A T va cat

tuyéh AP Q nhucho

01.231

AP

X

tronghinh 2.3. Ch ngminh rang
AQ IATZ

(2.2)

Xét phan tam giac cong t6 dam APT trong hinh
2.3, ta lién tufmg mcfnt binh cfrng b0'm day gas va cé thé xoay
Gcyi Y:

quanh O.
Nhu giai thich 6 muc 2.3 trong m<_“)t ngfx canh khac, (2.2)
cho thay vilng t6 dam gift nguyén khéng dfii khi xoay quanh
O. Tuong tu, dinh 13? Pythagoras cng cho tha'y rang dién Lich
ciia tam giac vuéng la khéng d6i khi tam giac xoay quanh

mét dau canh huyén.

T
V

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P

Q

Hinh 2.3. Chfrng minh AP

* Nguyén van:

still water remains still ~ N.D.

2O

><

A

3:g+‘~'=-

AQ = AT’.

'


mot-ly lé vat ly sang mot chung
minh nghiém ngat

2.3 Chuyén

C161

Diem ch6t trong chung minh “bé nurorc” cua dinh ly
Pythagoras la su triét tiéu cua tong cac moment quay tong
cong quanh diém P (hinh 2.1). Lam thé' nao chung ta tai
lap y tufmg moment quay bang khong nay trong thuat ngft

toan hoc thuan tuy ma khong can dung den cac khai niém
vat ly? Day la cau tré lo'i.

Ménh dé vat 1y (2.1) vé tc"§ng moment quay bang khong
quanh P co thé dién dich sang ménh dé hinh11oc:dién tich
cua tam giac khong C161 khi no xoay quanh P'_ Sau day la
chung minh cho su tuong dong éiy.
Goi A(0) la dién tich cua tam giac xoay quanh P mot
goc 9 C6 nhién, dién tich la doc lap voi 9
.

:

A'(9) = 0
va ta khang dinh rang chinh su bat bién ca dién tich nay la

tuong duong vfri diéu kién moment quay bang khong (2.1).
D5 co su tuo'ng duong nay ta chi can chi ra rang:

A'<e>=a-5+b~5+C-5
2

*

2

(2.3)

Z

Day la mot vi du vé bai toén co vé tam thuong (dién tich cfla tam giac khong
doi qua phép xoay) nhung an chua1n(f)tdif}ukho11g he tam thuong(d1nh ly
Pythagoras.)

2|


AN
(l

Hinh 2.4. Phn dién lich quét bévi hai cglnh géc vuéng bimg v('7iph.:51n dién tich
quét bévi canh huyén.

Dé chttng minh (2.3) ta xoay tam giéc mcjt géc nhé A6

quanh P. Canh a quét ngang mét vilng hinh quat dién tich
-%u2A6, tuong tu cho canh C. Thurc té', dién tich duqc quét b6'i
b cng theo biéu thfrc nhu trén: 5/M0. Thuc véy, b thuc

hién hai chuyén déng déng thdiz (i) truqt theo phuong riéng
né, khéng énh hufmg dén vén t6c quét thélnh dién tich, vé
(ii) xoay quanh diém du ca né. Ta két luém rng dién tich
T6n g dién tich Cl uét béi cé ba canh I51:
2
q uét lé 1/719.
1

1

AA =(—a2 +—b2

2
2

--2-’jAe.
1

2

hiéu trir 6 déy 151 dL_ra véo dfr kién dién tich bi “m't"
do cz_1nh huyén. Chia cho A3 vé lfiy gifyi han khi A6 —> O ta
thu duqc (2.3).
Sau déy l€1 rn(f)t véi {mg dung ca 3? tufmg quét:
K3?

~

Mét chirng minh “hinh vénh khuyén” ca dinh

13?

Pythagoras duryc m6 té 6 muc 2.6.
-

Mét nhzfxn xét vé dién tich giu'a hai vét bénh ca xc
(mL_1c

6.1).

Z2

dz_1p


chirng minh bng hinh vé cila viéc dinh thL'1'c
ti dL= ad—b¢ biing dién tich hinh binh hénh duqc tao
nén Eri céc véc to (a, C) v€\ (5, Q’) (muc 2.5).
ré
- Mét chtmg minh béng hinh vé ca céng thirc phén
theo déng ca dinh thL'1'c (muc 2.5).

-

GE

f(1B)

If f($) 48
a

f("’)

1

>11-c

zn
7

Hinh 2.5. Dinh 137 co him ca gizii tich: di(f:n tich thay d(§i6v€_1nt6cur0ngErng
vim t6c ctia 116.

dcf) cao f(.\') ca bién di dcfmg nhim cho

v(xi

2.4

Dinh 13? co bén ca giéi tich

Y tuéng xem xét dién tich cila vtlng duqc quét béi min
1y co bén
dogan ngén chuyén déng lél rt cf) hiéu qué. Dinh

ca giéi tich:

55 J‘/(ms = f<x>
dx

‘I

-

néi ring mét doan nga"'n di chuyévn 6
vén t6c don vj theo huéng vuéng géc véi chinh né, sé quét
vé'i dé cao
m_ét vimg cé dién t1'c11 biéh d51' 6 vén t6c bng
nhzin vén tO'c ca né (1).
ca doan ngzin
Y tumg tuo'ng tut ép dung cho phép tich phém vé'i cil hai

lil

m(f>t

vi du; dinh

13?

2'5


cén bié'n thién, thém chi véd héxm hqp. Vi du, ta cé thé nhzfin
thfiy ngay tirc thi:

-‘5-Ih I f<s>ds=—/'< <0) '0)
dz '<>
g
g
‘Q

being céch lzfip lai céu in nghiéng 6 trén:

t6c thay (151
dién tich bing véi tich s6 ca dc) déi f(g(t)) ca bién di
déng véi vein t6c cfla né —g'(t). Déiu trir lé do bién chuyén
déng huéng véo trong: chiéu ducmg quy uéc huéng ra ngoéi.
Ta cén cc’) thé cho can trén bié'n thién theo théi gian,
chirng minh céng thirc néy sé 121 mét béi télpz
a’

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f<s>ds = /Q’; W)

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(L

Hinh 2.6. Dogm thing di chuyén trong khi vin song song véi phuong ban déu.
Vimg dién tich duqc quét khéng phL_l thuéc véo dudng di c1'1a doan thing.

24


2.5

Dinh thitc cho bri phép quét

lé vtlng dién tich ca
b
Theo dinh nghia, dinh thirc
hinh binh hénh tao ra béi céc véc t0 (a, b) vé (c, a’). Dinh
nghia néy dn téi m(f>t céng thirc tinh nhanh', cho gié tri

ad~bc. Sau déy lé mét giéi thich dcfang hqc ca céng thirc
néy ca Nana Wang, sit dung m(f>t ln nra 3? turng hiéu qué
cla phép quét.
Dién tich dang néi dén ducyc quét béi véc to (cl, b) khi

né di chuyén dQc theo véc to cén lz_1i (c, d). Thay vi véy, ta
héy chuyén (a, b) thénh hai chuyén dcfmg don gién hon,

nhu cho thfiy trong hinh 2.6. Dién tich quét trong qué trinh
chuyén dcfmg du tién 121 ad, vé trong qué trinh chuyén déng
lhir hai 151 —bc; diu trir 121 do doan thing di chuyén “ra sau".
Dién tich t6ng céng duqc quét lé ad—bc. Vin cé thé nhém xét
ducyc ring vtlng dién tich quét khéng phL_1 thuéc véo dumg

di cla véc to chuyén déng (a, b), chirng nélo né cfm chuyén
d(_mg song song vfri chinh n(').ThL_1:c vafxy, vain t6c thay 6161 cila
dién tich quét thénh biing véi dc} déli ca doan thing nhzin

t6c theo phuong vuéng géc. V1 thé, chuyén dich cu thé
nhu thé néo thuc ra khéng quan trqng.

vzfm

‘

nhiéu ngudi (bau gém cé tzic gié) khéng may dfa duqc day dang sau ca
vng (hire nhu dinh nghia, chfx khéng phéi 3? nghia hinh hgc ciia né.
Hail

Z5