Chương III. §3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

PHÒNNGGGIÁ
GIÁOODỤ
DỤCCCAI
CAILLẬẬYY
PHÒ
TRƯỜNNGGTRUNG
TRUNGHỌ
HỌCCPHU
PHUCCƯỜ
ƯỜNG
NG
TRƯỜ

Nguyễn Huỳnh Hằng


KIỂM TRA BÀI CŨ
Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình
sau , giải thích vì sao ?

4 x − 2 y = −6
a/
−2 x + y = 3

4 x + y = 2
b/
8 x + 2 y = 1

2 x − 3 y = 3
Minh họa bằng đồ thò
c/

x + 2 y = 4


4 x − 2 y = −6
a/
−2 x + y = 3

4 x + y = 2
b/
8 x + 2 y = 1

a/ Heä phöông trình
voâ soá nghieäm vì :

a b c
= = (= −2)
a' b' c'
b/ Heä phöông trình
voâ nghieäm vì :

a b c 1 1
= ≠ ( = ≠ 2)
a' b' c' 2 2


2 x − 3 y = 3
c/
x + 2 y = 4
c/ Heä phöông trình coù 1 nghieäm vì :

a
b 2
1
≠ ( ≠− )
a' b' 1
2

Veõ ñoà thò

 y = 2x − 3


1
 y = − 2 x + 2

2

y = 2x − 3
1
y = − x+2
2
3/2

-3

4


Để tìm nghiệm của một hệ phương
trình bậc nhất có 2 ẩn , ngoài hai

phương pháp trên, ta còn có thể biến
đổi hệ phương trình đã cho thành 1
hệ phương trình mới tương đương ,
trong đó phương trình chỉ có 1 ẩn.
Một trong các cách giải là qui tắc
thế.


GIẢIIHỆ
HỆPHƯƠNG
PHƯƠNGTRÌNH
TRÌNHBẰ
BẰNNG
GPHƯƠNG
PHƯƠNGPHÁ
PHÁPPTHẾ
THẾ
GIẢ

I. QUI TẮC THẾ :

Ví dụ :1,2,3
II. ÁP DỤNG :

Chú ý
Tóm tắt cách giải


I. QUI TẮC THẾ :
Biến đổi một hệ phương trình đã cho

thành một hệ phương trình mới tương đương:

 x − 3 y = 2(1)
(1) 
−2 x + 5 y = 1(2)

Ví dụ 1 : Xét hệ phương trình

Từ phương trình (1) em hãy biểu diễn x theo y
x=3y+2 (1’) Thế (1’) vào phương trình (2)
-2 (3y+2)
x
+5y=1 (2’)
x − 3 y = 2(1')

Thế (2’) vào phương (1') 
trình (1) ta được hệ
−2(3 y + 2) + 5 y
phương trình (1’)

= 1(2 ')


Muốn giải một hệ phương trình có 2 ẩn
số
• Bước 1 : Biểu diễn x theo y,(hay y theo x)
• Biến đổi hệ phương trình đã cho thành
1 hệ phương trình mới tương đương ( khử
đi 1 ẩn )
• Bước 2 : giải phương trình 1 ẩn , suy ra

nghiệm của hệ


Xét hệ phương trình :

 x − 3 y = 2(1)
⇒ x=3y+2
(1) 
−2 x + 5 y = 1(2)

Thế x= 3 y + 2 vào (1)

 x − 3 y = 2(1')
x − 3y = 2
(1') 
⇔

−
2(3
y
+
2)
+
5
y
=
1(2
')

 y = −5

⇔

 x = −13

 y = −5

Vậy hệ (1) có nghiệm
duy nhất là (-13,-5 )


II. ÁP DỤNG :
Ví dụ 2: giải hệ phương trình
bằng phương pháp thế

 y = 2x − 3
⇔  x + 2(2 x − 3) = 4


⇔

 y = 2x − 3

x = 2

2 x − y = 3
(2) 
x + 2 y = 4

⇔

⇔

 y = 2x − 3

5 x − 6 = 4
x = 2

y =1

Vậy hệ (2) có nghiệm duy nhất là ( 2, 1 )


?1 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp
?1
?1
thế ( biểu diễn y theo x )

4 x − 5 y = 3

⇒
y=3x+16
3
x
−
y
=
16


x

=
7

4
x
−
5(3
x
+
16)
=
3

⇔ 
⇔
y = 16 − 3 x

y
=
16
−
3
x


⇔

x = 7

y = 5

Vậy hệ có nghiệm duy
nhất là ( 7, 5 )


CHÚ Ý

Nếu trong quá trình giải hệ phương
trình bằng phương pháp thế ta thấy
xuất hiện phương trình có các hệ số
của cả hai ẩn đều bằng 0 thì hệ
phương trình đã cho có thể có vô số
nghiệm hoặc vô nghiệm


Ví dụ 3 : giải hệ phương trình

4 x − 2 y = −6(1)
3
−2 x + y = 3(2)
Chia 2 nhóm:
Nhóm 1 giải bằng phương pháp thế
Nhóm 2 minh hoạ bằng hình học


Ví dụ 3 :
giải hệ phương trình
Giải

4 x − 2 y = −6(1)

3
−2 x + y = 3(2)

Biểu diễn y theo x từ phương trình (2) ta được:

y = 2x + 3

Thế y vào phương trình (1) ta có :

4 x − 2(2 x + 3) = −6 ⇔ 0 x = 0
Phương trình này nghiệm đúng với mọi

x∈R

Vậy hệ phương trình (3) có vô số nghiệm


?2
?2

Bằng minh hoạ hình học, hãy giải
thích tại sao hệ phương trình (3)
có vô số nghiệm

Tập nghiệm của hệ phương trình (3) cũng là
tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai
ẩn y=2x+3.
Có các nghiệm ( x,y) tính bởi công thức :

x ∈ R


 y = 2x + 3


x ∈ R

 y = 2x + 3

5
3

-3/2

y = 2x + 3

1


?3
?3

Cho hệ phương trình

4 x + y = 2
4
8 x + 2 y = 1
Bằng minh hoạ hình học , bằng phương
pháp thế.
Chứng tỏ rằng hệ (4) vô nghiệm

4 x + y = 2(1)
phương pháp thế,
4
8 x + 2 y = 1(2)
Biểu diễn y theo x từ (1) ta được

y = 2 − 4x

Thế y vào (2) ta có

8 x + 2(2 − 4 x) = 1
8x + 4 − 8x = 1
0 x = −3
Vậy hệ (4) vô nghiệm


Minh hoa baèng ï hình
hoïc

1
y = −4 x +
2

y

2

1
2

y = −4 x + 2
1
2

1
8

x


TÓM TẮT
1/ Dùng qui tắc biến đổi hệ phương trình
đã cho để được hệ phương trình mới ,
trong đó có một phương trình một ẩn
2/ Giải phương trình 1 ẩn , suy ra nghiệm
của hệ đã cho


LUYỆ
LUYỆNNTẬ
TẬPP
* Nêu các bước giải phương trình bằng
phương pháp thế
* Làm bài 12 (a,b) SGK trang 15

 x − y = 3(1)
a) 
3 x − 4 y = 2(2)
7 x − 3 y = 5(3)

b) 
4 x + y = 2(4)


 x − y = 3(1)
a) 
3 x − 4 y = 2(2)
Giải

Biểu diễn x theo y từ phương trình (1) ta được:

x = y+3

Thế x vào phương trình (2) ta có :

3( y + 3) − 4 y = 2 ⇒ 3 y + 9 − 4 y = 2
− y = −7 ⇒ y = 7 ⇒ x = 10

Vậy hệ phương trình (a) có nghiệm duy nhất là

(10,7)


7 x − 3 y = 5(3)
b) 
4 x + y = 2(4)

Giải

Biểu diễn y theo x từ phương trình (4) ta được:

y = −4 x + 2

Thế y vào phương trình (3) ta có :

7 x − 3(−4 x + 2) = 5 ⇒ 7 x + 12 − 6 = 5
11
11
6
19 x = 11 ⇒ x = ⇒ y = −4. + 2 = −
19
19
19
11
6
Vậy hệ phương trình (b)
(x = , y = − )
19
19
có nghiệm duy nhất là:


Bài 13 (b) trang 15 SGK
giải phương trình bằng phương pháp thế

x y
 − = 1(5)
2 3
5 x − 8 y = 3(6)
Hãy biến đổi phương trình (5) thành phương

trình có hệ số là các số nguyên ?


Qui đồng và khử mẫu phương trình (5)

x y
3x 2 y 6
− =1⇒
−
=
2 3
6
6 6
Ta có 3x-2y=6 .Vậy hệ phương trình tương
đương với hệ

x y
 − = 1(5)
3
x
−
2
y
=
6
(5)

⇔ 
2 3
5 x − 8 y = 3(6)

5 x − 8 y = 3(6)