Chapter 10 lý thuyết mạch 1 Lecture 10 Giới thiệu về biến đổi Laplace

Lecture 10
Giới thiệu về biến đổi Laplace


Hàm xung
 0 for t  0

 ( t )    for t  0
 0 for t  0


0

t

Với điều kiện







 ( t )dt  1

 (t ) Trường hợp đặc biệt của  (t ) as  0

1  (t )
2

 ( t )  lim   ( t )

 0

0 

t

Diện tích   ( t )  1
2


Hàm xung/ Lựa chọn
Lựa chọn hoặc lấy mẫu là đặc tính của hàm xung







f ( t ) ( t  a )dt  f (a )  Hàm xung
Tại f ( t ) at t  a

Để chứng minh ta sử dụng


evaluate lim 
 0




a 

a 

f ( t ) ( t  a )dt  lim 
 0

f ( t )  f (a )

 lim 
 0




a 

a 

 f (a )

 0

f ( t )  ( t  a )dt
f ( t )  ( t  a )dt

a 

a 

 f (a )

 ( t )  lim  ( t )

  ( t  a )dt
3


Hàm xung
Biến đổi Laplace cho hàm xung


0

L  ( t )     ( t )e dt     ( t )e  st dt
 st

0

Chọn

0

f ( t )  e  st and f (0)  e 0  1
L  ( t )  1  f (0)

Cặp biến đổi Laplace

 (t )  1

5


Hàm xung /Biến đổi Laplace
Làm thế nào để biến đổi Laplace cho hàm

 ' (t ) ?

 1
 0 1  st

 st
L  ( t )  lim  
e dt    2 e dt 
 2
0 
 0


'

using L'Hopital rule:
lim f ( x)  0 or  
f ( x)
f ' ( x)

x c
 lim '
 lim
x


c
lim g ( x)  0 or  
g ( x ) x c g ( x )
x c

6


Hàm xung
1   st 
 1 0  st
L  ( t )  lim  2  e dt  2   e dt 

 0 
 0


1
 lim 2  1  es  e s  1
 0 s 
f ()  e s  e  s  2  0  0
e s  e  s  2
 lim
 0
s 2
g ()  s 2  0  0
'

se s  se  s

 lim
 0
2 s

f ' ()  se s  se  s  0  0
g ' ()  2  s  0

s 2 e s  s 2 e  s
 lim
 0
2s

f '' ()  s 2 e s  s 2 e  s  2 s 2  0
g '' ()  2 s  0

s

and L  n ( t )  s n
also note that  ( t ) 

du( t )
dt

7


Biến đổi Laplace
Biến đổi Laplace cho Step function:


L u( t )    u( t )e  st dt u( t )  1 0   t  
0



1  st
 1    e dt   e
0
s



 st

0

1

s

Thus obtain the Laplace transform pair
1
u( t ) 
s

8


Biến đổi Laplace
Hàm mũ:

L e

 at





0

 at  st
e
e dt




   e  ( a  s ) t dt
0



1  ( s a )t
e
sa



0

1
1
 0

sa sa

Laplace transform pair:
e

 at

1

sa
9


Biến đổi laplace
Cosine:



L cos( t )    cos( t )e  st dt
0

1 j t

 j t 


cos  t  2  e  e



 1
    e j t  e  j t  e  st dt
0 2
 1
    e  ( s  j ) t  e  ( s  j ) t  dt
0 2


1
1
1
 ( s  j ) t
 ( s  j ) t 
 
e

e

2  s  j
s  j
 0

10


Biến đổi laplace



Cosine:

L cos( t )    cos( t )e  st dt
0

1 j t

 j t 

cos  t  2  e  e



1 1
1  1  s  j  s  j 


 

2  s  j s  j  2 
s2   2

s
= 2
s 2


sine: Xem sách


sin  t  2
s  2

11


Biến đổi Laplace




L r (t )    r (t )e dt    te  st dt

Ramp:

 st

0

r (t )

Using integral by parts udv  uv   vdu

t

u  t ; dv  e  st dt
1  st
du  t ; v 

e
s

Letting:
This yields,

 t for t  0
r (t )  
 0 for t  0

0

t
L  r ( t )   e  st
s


1
s2



0



1
   e  st dt
0 s

12


Biến đổi Laplace
Nhân 1 hằng số


L  f ( t )    f ( t )e  st dt  F ( s )
0



L af ( t )    af ( t )e  st dt
0



 a   f ( t )e  st dt  aF ( s )
0

Cộng/trừ
L  f1 ( t )  F1 ( s ); L  f 2 ( t )  F2 ( s )


L  f1 ( t )  f 2 ( t )     f1 ( t )  f 2 ( t )  e  st dt
0





   f1 ( t )e dt    f 2 ( t )e  st dt  F1 ( s )  F2 ( s )
0

 st

0

13


Biến đổi Laplace
Dịch chuyển thời gian:
L  f ( t  a )u( t  a )


   f ( t  a )u( t  a )e  st dt
0



  f ( t  a )e  st dt

Need u (t  a) to insure
that the delay function
actually starts at t  a

a

let t  t '  a dt  dt '



 '

t  0



'

f ( t )e

   f ( t )e
0

'

 s( t'  a )

 sa  st '

e

dt '

dt '  e  sa F ( s )
14


Biến đổi laplace

Dịch chuyển tần số
L e

 at

f ( t )    e  at f ( t )e  st dt


0



   f ( t )e  ( s  a ) t dt  F ( s  a )
0

Dịch chuyển tọa độ(trục):


L  f (at )    f (at )e  st dt
0

let t '  at dt '  adt  dt  dt
   f  t'  e


0

s
 t'
a

'

a

s
 t'
dt ' 1 
1 s
   f  t '  e a dt '  F  
a a 0
a a

15


Biến đổi Laplace
Vi phân:


d

L  f ( t )     f ' ( t )e  st dt
 dt
 0

Tích phân từng phần:

u  e  st ; dv  f ' ( t )dt

du   se  st dt ; v  f (t )

Có:

 f ( t )e

 st 
0



   f ( t ) se  st dt
0

 0  f (0 )  sF ( s )  sF ( s )  f (0 )
 n

L  n f ( t )   s n F ( s )  s n1 f (0 )  s n 2 f ' (0 )
 t

 s n 3 f '' (0 )  ......  f n1 (0 )

16


Biến đổi Laplace
Tích phân:
L



t

0



t

f ( x )dx      f ( x )dx  e  st dt

0 
 0


Sắp xếp lại thứ tự tích phần. Tính tích phân theo t
trước.có nghĩa:


 



x0 t  x

e dt  f ( x )dx  
 st


x 0

1 
F ( s)
 sx
  f ( x )e dx 
s x0
s

1  sx
f ( x ) e dx
s

18


Biến đổi Laplace
Nhân cho thời gian t


L  tf ( t )    tf ( t )e  st dt
0



   f (t )
0

d
 e  st  dt


ds

d 
d
 st
    f ( t )e dt   F ( s )
ds 0
ds

19


Áp dụng biến đổi Laplace
Dùng mạch này làm ví dụ để
Tìm Vo(s)

I dc

t 0

Phương trình điện áp
trong mạch


v0 (t )


dv
di L ( t )
C c

dt
dt
v0 ( t ) 1 t
dv0 ( t )
i(t ) 
  v ( x )dx  C
 I dc u( t )
0
R
L
dt

v(t )  iR (t ) R  L

22


Áp dụng biến đổi Laplace
Biến đổi:

I dc Vo ( s ) 1 Vo ( s )


 CsVo ( s )
s
R
L s
I dc
1 1


 Vo ( s )  
 Cs 
s
 R Ls

1
I dc
I dc
C
C
 Vo ( s ) 

1 1
 1 s2  1 s  1
s 
 Cs 
RC
LC
R
Ls

C

Biến đổi laplace chuyển phương trình vi phân thơng
thường thành thành 1 phương trình như tần số(s) để giải
đơn giản hơn

23

Biến đổi ngược
4 cases:
1.Distinct real roots
2. Distinct complex roots
3. Repeated real roots
4. Repeated complex roots

25


Laplace trong phân tích mạch
- A resistor in the s domain
- An inductor in the s domain
- A capacitor in the s domain
- Ohm’s law in the s domain