157 bài Tích Phân có hướng dẫn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (650.43 KB, 16 trang )
HƯỚNG DẪN TÍNH TÍCH PHÂN 2015
b
+ Công thức tính tích phân:
f ( x)dx F ( x)
b
a
F (b) F (a)
với: F ( x) là một nguyên hàm của f ( x)
a
+ Phương pháp đổi biến
+ Phương pháp tích phân từng phần
t u( x)
Bước 1: Đặt t làm biến mới
b
Công thức: udv uv a vdu
Bước 2: Vi phân hai vế
(dt u ' dx)
Bước 3: Đổi cận theo biến t
Bước 1: Tính tích phân theo biến t
1
xdx
Ví dụ: Tính I
2
2
0 x 4
Đặt: t x 2 4 dt 2 xdx xdx
Đổi cận:
x
t
0
1
4
5
a
(1)
a
b
+ Tính:
P( x).Q( x)dx
a
Dạng 1: Nếu P( x) là hàm đa thức theo biến x và
Q( x) là: sin x, cos x, e x , a x ,...
u P( x)
du ?
Ta đặt:
rồi thay vào (1)
dv Q( x)dx v ?
Dạng 2: Nếu P( x) là hàm đa thức theo biến x và
Q( x) là: ln x, log a x,...
1
dt
2
u Q( x)
du ?
Ta đặt:
rồi thay vào (1)
dv P( x)dx v ?
5
1 dt 1 1
1 1 1 1
I 2
24t
2 t 4 2 5 4 40
5
b
b
BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Đề bài
1
Bài 1. I
x
2
0
Hướng dẫn
dx
5x 6
Áp dụng:
dx
x a ln x a C
Bài 2.
2
I x sin x cos xdx
2
0
Biến đổi về dạng tổng:
Kết quả
1
1
x 5 x 6 x 2 x 3
2
Tìm 2 số A và B sao cho:
1
x 2 x 3
A
B
x3 x2
I ln
4
3
A B 0
A ?
Giải hệ:
2 A 3B 1 B ?
Tách thành 2 tích phân: I1 ; I 2
x sin x cos x x.cos x sin
2
2
x cos x
2
I1 x cos xdx ( từng phần dạng 1)
I
0
2
2
3
2
I 2 sin 2 x cos xdx , đặt: t sin x
0
Bài 3.
ln 5
I
ln 2
e
x
1 e
x
ex 1
1
dx
J 2 x 1 e dx
x
0
Đặt: t ex 1 t 2 ex 1
Chú ý : t 2 e x 1 e x 1 t 2 2
Từng phần dạng 1
u 2 x 1 du ?
Rồi thay vào công thức (1)
x
dv e dx v ?
I
26
3
J e 1
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
1
2
K
0
Đặt : t 4 cos2 x
sin 2 x
dx
4 cos 2 x
Chú ý: sin 2 x sin 2 x ; cos 2 x sin 2 x
'
e
2
2x
J
x2 1
1
K 2 x ln xdx
1
1
1 e xdx
x
0
Từng phần dạng 2
u ln x
du ?
Rồi thay vào công thức (1)
dv 2 xdx v ?
Tách thành 2 tích phân: I1 ; I 2
1 e x x xe
x
J 2
4
5 2
x
Đặt : t 1 x3 ...
J x 2 1 x3 dx
I
3
2
J
32
15
1
2
K 2 x 1 cos xdx
0
1
Bài 6. I
3x 1dx
Từng phần dạng 1
u 2 x 1
du ?
Rồi thay vào công thức (1)
dv cos xdx v ?
Đặt : t 3x 1 t 2 3x 1 ...
K 3
I
0
Từng phần dạng 1
u 4 x 1 du ?
Rồi thay vào công thức (1)
x
dv e dx v ?
1
J 4 x 1 e x dx
0
2
K 6 x 2 4 x 1 dx
1
3
K 9ln3 4
1
1
u x
du ?
I1 xdx ; I 2 xe x dx Đặt:
x
dv e dx v ?
0
0
1
4
3
I
Đặt: t x2 1 t 2 x2 1
dx
3
Bài 5. I
K ln
Đặt : t ln x ...
ln 2 x
1 x dx
Bài 4. I
'
Tính nguyên hàm theo công thức
14
9
J e3
K 9
1
Bài 7. I x 1 cos x dx
0
Tách thành 2 tích phân: I1 ; I 2
x cos x x x cos x
u x
du ?
I1 xdx ; I 2 x cos xdx Đặt:
dv cos xdx v ?
0
0
Khai triển đưa về dạng tổng.
1
2
Bài 8. I x x 1 dx
2
0
4 5ln x
dx
x
e
Bài 9. I
1
ln 2
Bài 10. I
e
x
1 e x dx
2
I
2
2
2
x2 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 4 2 x3 x 2
I
1
30
5
x
I
38
15
I
1
3
2
Chú ý: 4 5ln x
'
Đặt : t e x 1 dt ...
0
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
2
4 x 2 dx
Đặt: x 2sin t với t ;
2 2
I
dx
1
Đặt: x tan t với t ;
2 2
I
2
Bài 11. I
0
1
Bài 12. I
x
0
2
1
Bài 13. I x 2 x3 5dx
0
Bài 14. I
2
sin 4 x 1 cos xdx
I
Đặt : t x 5 t x 5 ...
3
2
3
Bài 15. I
dx
x ln x
Đặt : t sin x dt ...
I
Đặt : t ln x dt ...
4
2
6 6 5 5
9
0
e2
6
5
I ln 2
e
1
Bài 16. I
4 x 2 dx
x2 x 1
0
3
Bài 17. I
x3 dx
x 1
2
0
sin 3 xdx
Bài 18. I
cos 2 x
0
4
7
Bài 19. I
x3 dx
3
0
x2 1
Bài 20. I
2
sin 2 xdx
0 1 cos x
e tan x 2
Bài 21. I
dx
cos 2 x
0
4
ln 3
Bài 22.
0
e
e x dx
x
1 e x 1
Đặt : t x 2 x 1 dt ...
Chú ý: 4x 2 2 2x 1
Đặt : t x2 1 t 2 x2 1 ...
Chú ý: x3dx x2 xdx
Đặt : t 3 x2 1 t 3 x2 1 ...
Chú ý: x3dx x2 xdx
Bài 23. I e
sin 2 xdx
4
3
3 2 4
2
I
141
20
Biến đổi: sin 2x 2sin x.cos x
Đặt : t 1 cos x dt ...
I 2 ln 4
Đặt : t tan x 2 dt ...
1
'
Chú ý: tan x 2
cos 2 x
I e3 e 2
Đặt : t ex 1 t 2 ex 1 ...
Chú ý: t 2 e x 1 e x 1 t 2 2
t
0
sin 2 x
I
Đặt : t cos x dt ...
+ I
2
I
Biến đổi: sin3 x sin 2 x.sin x 1 cos2 x sin x
2
I 2ln 3
I
2dt
Đặt: t 2 tan u với u ;
2
2 2
2
4
2
Đặt : t sin 2 x dt ...
I e e
Chú ý: sin 2 x sin 2 x
'
4
e x dx
Bài 24. I x
e 1
0
1
2
2
ln 2 ln e 1 1
Chú ý: e x e x
'
Biến đổi: esin x cos3 x sin x esin x sin x cos x 1 sin 2 x
2
Bài 25. I e sin x sin x cos3 xdx
0
Đặt : t e x 1 dt ...
2
Đặt : t sin 2 x dt ... Chú ý: sin 2 x 2sin x cos x
'
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
I
e
1
2
3
e
Bài 26. I
sin ln x
x
1
e2
Bài 27. I
e
1
u 1 t
du ?
1
+ I 1 t et dt Đặt:
t
20
dv e dx v ?
Đặt : t ln x dt ...
dx
Đặt : t ln x t 2 ln x dt ...
ln x
dx
x
Bài 28.
e
I
1
Từng phần dạng 2
u ln x
du ?
Rồi thay vào công thức (1)
dx
v ?
dv x5
Tách thành 2 tích phân: I1 ; I 2
2
ln x
1 x5 dx
2 x sin x e x
2
Bài 30. I 2 x sin x e x dx
2
0
2
2 x.sin x 2 x.e
u 2 x
du ?
Đặt:
dv sin xdx v ?
I 2 2x.e x dx
Đặt : t x 2 dt ...
2
Đặt : t x t 2 x ...
1
u 2t
du ?
I 2tet dt
Đặt:
t
dv e dt v ?
0
Nhân thêm biểu thức liên hợp để trục căn ở mẫu
1
x 1 x
x 1 x
x 1 x
x 1 x
x 1 x
1
x
Bài 31. I e dx
0
Bài 32. I
0
dx
x 1 x
2
2 2 1
3
I
I
116
135
ln 2 15
64 256
x2
I1 2 x sin xdx
2
0
1
I
Đặt : t 1 3ln x t 2 1 3ln x dt ...
1 3ln x .ln x
dx
x
Bài 29. I
I 1 cos1
1
1
0
0
I e
2
4
1
I 2
I
2
2 2 2
3
Tính: I1 x 1dx và I 2 xdx
4
Bài 33. I e
tan x
1 tan x dx
2
0
Bài 34. I
sin 2 x sin x
0 1 3cos x dx
2
Bài 35. I
Bài 36.
2
sin 2 x cos x
dx
1 cos x
0
Đặt : t tan x dt ...
1
'
1 tan 2 x
Chú ý: tan x
2
cos x
sin 2x sin x 2sin x.cos x sin x 2cos x 1 sin x
I e 1
I
Đặt : t 1 3cos x t 1 3cos x ...
2
Biến đổi: sin 2 x.cos x 2cos2 x.sin x
Đặt : t 1 cos x dt ...
Biến đổi:
e
sin x
cos x cos x esin x cos x cos2 x
34
27
I 2ln2 1
I e 1
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
4
4
I e
2
sin x
2
cos x cos xdx
I1 esin x cos xdx Đặt: t sin x dt ...
0
0
2
I 2 cos 2 xdx
Dùng công thức hạ bậc…..
0
x2
7
Bài 37 I
3
0
I
Đặt: t 3 x 1 t 3 x 1 3t 2 dt ...
dx
x 1
1 cos x sin x
x.tan x
231
10
2
3
Biến đổi: sin
2
Bài 38. I sin x tan xdx
2
cos x
I ln 2
Đặt : t cos x dt ...
Tách thành 2 tích phân: I1 ; I 2
0
Bài 39.
I tan x e
4
sin x
.cos x dx
4
4
sin x
dx
cos
x
0
I1 tan xdx
0
0
Đặt : t cos x dt ...
4
I 2 esin x cos xdx
3
8
Đặt : t sin x dt ...
1
I ln 2 e
2
1
2
0
Tich phân từng phần dạng 2
u ln x
du ?
Đặt:
2
dv x dx v ?
e
Bài 40. I x 2 ln xdx
1
Bài 41. I x 3 . x 2 3dx
0
1
0
0
3
1
x 3
x 1 x 3
dx
Đặt : t x 1 t 2 x 1 ...
Chú ý: x 3 t 2 2 ; x 3 t 2 4
1
I
6 3 8
5
Bài 43. I x
5
1 x dx
2
0
2
3x
Bài 44. I e sin 5xdx
Biến đổi: I x . 1 x dx x 4 1 x 2 .xdx
2
0
Đặt : t 1 x2 t 2 1 x2 ...
Tich phân từng phần 2 lần
u e3 x
du ?
Lần 1. Đặt:
dv sin 5 xdx v ?
u e
du ?
Lần 2. Đặt:
dv cos5 xdx v ?
3
3
0
x 1.x dx
2
5
Biến đổi: I
I
0
3x
0
I 6ln 3 8
1
5
1
Bài 45. I
2 3 1
e
9
9
Đặt : t x2 3 t 2 x2 3 ...
3
Bài 42. I
1
Biến đổi: I x3 . x 2 3dx x 2 x 2 3.xdx
1
I
x.
5
0
I
8
105
3
2
5 3e
34 34
3
x 1dx
2
x
4
x 2 1.xdx
0
Đặt : t x2 1 t 2 x2 1 ...
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
I
848
105
5
1
Biến đổi: 1 2sin 2 x cos 2 x
1 2 sin 2 x
Bài 46. I
dx
0 1 sin 2x
4
4
1 2sin 2 x
cos 2 x
I
dx
dx
1 sin 2 x
1 sin 2 x
0
0
1
I ln 2
2
4
Đặt : t 1 sin 2x dt ...
Biến đổi: x2 2 x 4 x 1 3
2
0
0
e
Bài 48. I
ln x
x
2
dx
Bài 49. I
x 1
3
0
3x 1
dx
Bài 50. I
2
cos3x
sin x 1 dx
2
2
cos 3x
dx
sin
x
1
0
0
1
Bài 52a.
I
sin xdx
2
I
Bài 52b. I
sin x 1
x
2
Đặt : t 1 cos x dt ...
x sin xdx
0 sin 2 x cos2 x
tan xdx
2
x
2cos
Đặt : t tan x dt
dx
cos2 x
3
I
sin 2 x 2 cos x.cos 2
e2 1
4
I ln 2
2
sin xdx
2
46
15
I 2 3ln 2
2
0
2
e
2
x
0 sin x 2 cos x.cos
2
2
3
1 4sin x cos x
1 4sin x cos xdx
I
Đặt : t sin x 1 dt ...
u ln x
du ?
Đặt:
dv xdx v ?
Biến đổi:
x
sin 2 x 2cos x.cos 2 sin 2 x cos x 1 cosx 1 cos x
2
Bài 51. I x ln xdx
18
2
I
e
3
I 1
Đặt: t 3 3x 1 t 3 3x 1 3t 2 dt ...
1
t 3 3x 1 x t 3 1 x 1 ...
3
Công thức nhân ba: sin 3x 3sin x 4sin 3 x
cos3x 4cos3 x 3cos x 4cos x 1 sin 2 x 3cos x
0
2
I
Đặt : x 1 3 tan t dx ...
Tich phân từng phần dạng 2
u ln x
du ?
Đặt:
1
dv 2 dx v ?
x
1
7
3
0
dx
dx
I 2
x 2 x 4 1 x 12 3
1
dx
Bài 47. I 2
1 x 2x 4
sin xdx
1 cos x
0
2
3
x sin xdx
x tan x
2
sin 2 x cos x 0 2 cos 2 x
0
I
u x
du ?
1 2
Đặt:
tan x
dv 2cos 2 x dx v 4 tan x
I
3
3
4
tan xdx 1
t2
2 cos2 x 2 tdt 4 C
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
6
2
4
Bài 53. I
x sin x dx
0
Bài 54.
x 3 2x 2 4 x 9
I
dx
x2 4
0
2
Lần 1. Đặt : t x t 2 x 2tdt ...
u 2t 2
du ?
Lần 2. Đặt :
dv sin tdt v ?
Chia tử cho mẫu, tách thành 2 tích phân.
2 3
2
x 2x2 4x 9
1
I
dx x 2 2
dx
2
x 4
x 4
0
0
2
0
2
0
dx
x 4
2
3
0
Đặt : t ln x dt
e
x
Bài 56. I
1
dx
1 ln 2 x
e
I
x
1
Bài 57.
sin 2004 x
dx
2004
2004
sin
x
cos
x
0
2
I
Bài 58. I
2
3
4 sin x
1 cos x dx
0
Bài 59.
2
0
sin2x
cos x 4sin x
2
6
Bài 60. I
2
dx
dx
2x 1
2
sin
4x 1
1
2x
x 2 e dx
0
Bài 62. I
2
x 1 sin2x dx
0
0
dt
1 t2
2004
t cos t ; cos
2
I
2004
2004
t sin t
2
2
4sin 3 x 4 1 cos x sin x
4 1 cos x sin x
1 cos x
1 cos x
Đặt : t 1 cos x dt ...
Đặt : t 4 x 1 t 2 4 x 1 2tdt ...
5
t 2 1
1 2
tdt
2x 1
1 t 1
I
2
2
2
3 t 1
t 1
2
6
A
B
At A B
2
2
t 1 t 1
t 1
u x 2
du ?
Đặt:
2x
dv e dx v ?
4
I 2
I
Đặt : t 1 3sin 2 x dt 3sin 2 xdx
t
Đặt : t sin u dt ...
t dx dt
2
Tìm A và B :
Bài 61. I
I
cos2 x 4sin 2 x 1 sin 2 x 4sin 2 x 1 3sin 2 x
I
1 ln 2 x
2004
8
1
8
I
dx
x
1
2
dx
Đặt : x
Đặt : x 2 tan t dx ...
Đặt : t x 1 dt ...
t x 1 x t 1
xdx
x 1
Bài 55. I
I 6
I1 x 2 dx
I2
1
I 2 4
2
3
3 1
I ln
2 12
I
u x 1
du ?
Đặt:
dv sin 2 xdx v ?
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
5 3e2
4 4
I
4
1
7
u ln x
du ?
dv x 2 dx v ?
2
x 2 lnx dx
Bài 63. I
1
ln5
e
Bài 64. I
x
ln3
dx
2e x 3
I
1
ex
Đặt : t e x dt ...
x
x
x
x
e 2e 3 e 3e 2
1
A
B
Tìm A và B :
t 2 t 1 t 2 t 1
3
10
Bài 65. I
dx
x2
5
e
Bài 66. I
Đặt : t x 2 t 2 x 2 2tdt ... I
x
2
x 1
3 2lnx
1 2lnx
1
1
Tìm A và B :
dx
Bài 67. I x ln 1 x 2 dx
0
2
Bài 68. I
ln 1 x
x
1
2
2t
t 1
2
I ln
t 1
2dx
x
2
I 2ln 2 1
I
Lần 1. Đặt : t x 2 1 dt ...
u ln t du ?
Lần 2. Đặt :
dv dt v ?
10 2 11
3
3
I ln 2
Đặt :
2
u ln 1 x
2
ln 1 x
du ?
1
I
dx
dx
x
x x 1
v ?
1
dv 2
1
x
1
A
B
Tìm A và B :
x x 1 x x 1
dx
Đặt : t x2 1 t 2 x2 1 2tdt 2xdx
I
0
1
Bài 70. I
x
1 x
2
0
Bài 71. I
2
sinx cosx
1 sin2x
dx
Bài 72. I x ln x 2 5 dx
0
Bài
2
cos2x
sinx cosx 3
3
dx
0
Bài 74. I
sin x cos x
4
x 1 cosx dx
0
2
sin x cos x
sin x cos x
Lần 1. Đặt : t x 2 5 dt ...
u ln t du ?
Lần 2. Đặt :
dv dt v ?
cos 2 x
73 I
sin x cos x
1
ln 2
2
Đặt : t sin x cos x dt ...dx
4
3
sin x cos x
1 sin 2 x
sin x cos x 3
3
14 ln14 5ln 5 9
2
cos x sin x cos x sin x
2
sin x cos x 3
I
Đặt : t sin x cos x 3 dt ...dx
u x 1
du ?
Đặt :
dv cos xdx v ?
2 2 1
3
1
I ln 2
2
Đặt : t 1 x 2 dt 2 xdx
dx
1
2
3
I 3ln 2 ln 3
2
1
Bài 69. I x x 2 1dx
3
2
2tdt
A
B
At A B
2
2
t 1 t 1
t 1
2
Đặt : t 1 2ln x t 1 2ln x 2tdt
5
2ln 2
4
I
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
1
32
2
8
1
8
Bài 75. I
4
cos2x
0 1 2sin2x dx
ln2
Bài 76. I
e2x
e 2
x
0
Đặt : t ex 2 t 2 ex 2 2tdt ex dx
dx
2
4cos3 x 4 1 sin x cos x
4 1 sin x cos x
1 sin x
1 sin x
Đặt : t 1 sin x dt ...
u x
du ?
Đặt :
dx
tan xdx ln cos x C
dv cos 2 x v ?
Bài 77. I
2
3
4cos x
1 sinx dx
0
Bài 78. I
4
x
cos x dx
2
0
3
Bài 79. I
3
1
I
Đặt : t 1 sin 2x dt ...dx
x
x 1 x 3
dx
9
I 2 3
1
ln 2
4 2
I
Đặt : t x 1 t 2 x 1 2tdt dx
2t t 2 1 2t t 1
x
2
t2
3 x 1 x 3 t 3t 2
I 12ln3 8
I
1
x3 1
1 x lnx dx
e
Bài 81. I
1
dx
du
u ln x
x
Lần 1 đặt :
1
2
3
dv x x
v x ln x
3
Lần 2 đặt : t ln x dt ...
Đặt : t 2 x3 t 2 2 x3 2tdt 3x2dx
1 cos 2 x
2
u 2 x 1
du 2dx
Đặt :
1 cos 2 x
x 1
dx v sin 2 x
dv
2
2 4
1
u x
du ?
Đặt :
I1 xe2 x dx
2x
dv e dx v ?
0
Bài 82. I x 2 2 x 3 dx
0
Bài 83. I
2
2x 1cos
2
xdx
0
1
2x
Bài 84. I x e 3 x 1 dx
2 x 1 cos2 x 2 x 1
1
0
8
3
I 2
Đặt : t 3 1 x t 3 1 x 3t 2 dt dx
Bài 80. I x. 3 1 x dx
1
ln 3
4
I 2 x 3 x 1dx
I
468
7
2e3 11
9 18
6 34 2
9
12
1
2 4 2
Đặt : t 3 x 1 t 3 x 1
e2 1
4 14
0
1
1
Bài 85. I
I1
x 1
dx
2
1
x
0
0
1
I2
0
1
Bài 86. I x ln 1 x
0
2
dx
xdx
x2 1
Đặt : t x2 1 dt ?
1
dx
x 1
Đặt : x tan t
2
t ;
2 2
Lần 1 đặt : t x2 1 dt ?
u lnt
du ?
Lần 2 đặt :
dv dt v ?
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
1
ln 2
2
4
ln 2
1
2
9
x x 1
1 x 5 dx
2
Bài 87. I
Đặt : t x 1 t 2 x 1 2tdt dx
u x
du ?
Đặt :
dv sin xdx v ?
2
I1 x sin xdx
2
Bài 88. I x cos3 x sinx dx
0
32
10ln 3
3
0
5
4
2
I 2 cos3 x sin xdx
Đặt : t cos x dt ?
0
2
cosx
dx
5
2sinx
0
Bài 89a. I
Đặt : t 5 2sin x dt ?
Bài 89b.
u ln x 1 du ?
Đặt :
dv 2 x 7
v ?
2
J 2x 7 ln x 1 dx
0
Bài 90. I
4
1 tan x dx
8
0
4x 3
3 x2 3x 2 dx
Bài 92. I
sin3x sin3 3x
0 1 cos3x dx
lnx 3 2 ln2 x
dx
Bài 93. I
x
1
4x 3
1
x 3 x 2 x 1 x 2
2
Tìm 2 số A và B sao cho:
4x 3
A
B
x 1 x 2 x 1 x 2
Bài 94. I
Bài 95. I
cos x sin x dx
4
4
0
4
cos2x
0 1 2sin2x dx
2
Bài 96. I sinx sin2xdx
0
1
Bài 97. I
x
x 3
2
dx
18ln 2 7ln 3
A B 4
A ?
Giải hệ:
2 A B 3 B ?
2
sin 3x sin 3 3x 1 sin 3x sin 3x cos 2 3x.sin 3x
1 cos3x
1 cos3x
1 cos3x
Đặt : t 1 cos3x dt 3sin3xdx
e
4
76
105
Đặt : t tan x dt tan x 1 dx
2
4
6
24ln3 14
1 tan8 x 1 tan 4 x 1 tan 2 x 1 tan 2 x
Biến đổi về dạng tổng:
Bài 91. I
1 5
ln
2 3
Đặt : t 3 2 ln 2 x t 3 2 ln 2 x 3t 2dt ...
1 1
ln 2
6 3
3
8
cos4 x sin 4 x cos2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x cos 2 x
Đặt : t 1 2sin 2x dt 4cos2xdx
sin x.sin 2 x 2sin 2 x.cos x
Đặt : t sin x dt cos xdx
Đặt : t x 3 dt dx
0
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
3
81 3 16
1
2
1
ln 3
4
2
3
4 1
ln
3 4
10
2
u x 2
du 2 xdx
Lần 1 đặt :
dv cos x v sin x
u 2 x
du 2 xdx
Lần 2 đặt :
dv sin x v cos x
Bài 98. I x cosxdx
2
1
e
dx
2
1 x 1 ln x
Bài 99. I
sinx cosx
Bài 100. I
1 sin2x
4
ln tanx
3
Bài 101. I
sin2x
4
dx
x
u ;
2 2
Lần 1 đặt : t ln x dt
Lần 2 đặt : t tan u
2
2
1 sin 2 x
dx
dx
sin x cos x
2
4
sin x cos x
1
ln 2
2
Đặt : t sin x cos x dt cos x sin x dx
Đặt : t ln tan x dt
2
dx
2dx
2
tan x.cos x sin 2 x
1 2
ln 3
16
4
Bài 102.
2
3
I sin2x 1 sin x dx
2
15
4
2
Đặt : t 1 sin x dt sin 2 xdx
0
e
lnx
Bài 103. I
x
1
0
Bài 104. I
dx
x
1
2
1
dx
2x 2
dx
u ln x
du
x
Đặt :
dx
dv x
v 2 x
1
1
2
x 2 x 2 x 12 1
Đặt : x 1 tan t
7
3
Bài 105. I
0
x2
3
3x 1
dx
4
Bài 106. I
x
dx
sin2 x
6
2
Bài 107. I
4x 1 lnx dx
1
42 e
4
t ;
2 2
137
30
Đặt : t 3 3x 1 t 3 3x 1 3t 2 dt ...
u x
du dx
Đặt :
dx
dv 2
v cot x
sin x
3 2 3 1 ln 2
cot xdx ln sin x C
dx
u ln x
du
Đặt :
x
dv 4 x 1 dx v 2 x 2 x
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
12
2
6ln 2 2
11
3
dx
Bài 108. I
sinx.sin
x 3
6
e
Bài 109. I x 3 ln2 x dx
1
4
Bài 110. I =
1
2x 1
2x 1
0
1
Bài 111. I=
x x 1
x 4
2
0
dx
dx
4 cos3 x
0 1 sin xdx
0
x3
dx
x 1
2
ln 2
3
dx
sin 2 x
u ln 2 x
du ?
Lần 1. Đặt :
3
dv x dx v ?
u ln x
du ?
Lần 2. Đặt :
3
dv x dx v ?
5e 4 1
32
Đặt : t 1 2 x 1 t 2 2 x 1 2tdt ...
2 ln 2
3
1 ln 2 ln 3
2
2
138
5
3
2
Đặt : t 3 x 1 t x 1 3t dt ...
3
1 1
1 x 2 1 x
1
Bài 114. I
Đặt : t 1 3 cot x dt
A B 1
A ?
Giải hệ:
2 A 2 B 4 B ?
2
4cos3 x 4 1 sin x cos x
4 1 sin x cos x
1 sin x
1 sin x
Đặt : t sin x dt ...
2
7
Bài 113. I
x x 1 x 2 x
x4
2
1
2
x 4
x 4
x 2 x 2
x4
A
B
Tìm 2 số A và B sao cho:
x 2 x 2 x 2 x 2
Bài 112. I
1
2
2
sin x.sin x sin x 1 3 cot x
3
2007
dx
1
dx
Đặt : t 1 dt 2
x
x
4 2008 2 2008
2008
3
x ln x
e
Bài 115. I
x.ln x
2
dx
1
Bài 116. I
4
x.sin x
0
14
I1 x 2 dx
20
I2
4
1 2
x cos 2 xdx
2 0
2
dx
2
x 2 ln 2 x
u ln 2 x
du ?
Lần 1. Đặt :
2
dv x dx v ?
u ln x
du ?
Lần 2. Đặt :
2
dv x dx v ?
1
1
2
x sin x x 2 sin 2 x x 2 1 cos 2 x x 2 x 2 cos 2 x
2
2
1
5e3 2
27
Tính: I2
u x 2
du ?
Lần 1. Đặt :
dv cos 2 xdx v ?
3
384
2
64
1
8
u x
du ?
Lần 2. Đặt :
dv sin 2 xdx v ?
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
12
x 1 x 2; 1
x 1
x 1;0
x 1
0
x 1 dx
Bài 117. I
2
I
3
dx
x x
Bài 118. I
2
2
1
1
0
2
2
1
x 1 dx x 1 dx x 1 dx
Đặt : x tan t
1
1
0
t ;
2 2
1
cot 2 t
2
tan t
1
3
3 12
3
x
Bài 119. I =
3
x2 1dx
Đặt : t 3 x2 1 t 3 x2 1 3t 2dt ...
6
1
0
x e
0
2x
Bài 120. I =
x 1 dx
1
I1 xe2 x dx
1
0
u x
du ?
Đặt :
2x
dv e dx v ?
3 31
4e 2 60
2
I 2 x x 1dx Đặt : t x 1 t x 1 2tdt ?
1
u x
du ?
Đặt :
3x
dv e dx v ?
cos 2 x cos2 x sin 2 x cos2 x 1 tan 2 x
1
3x
xe dx
Bài 121. I =
0
tan 4 x
0 cos 2 xdx
6
Bài 122. I =
tan 4 x
tan 4 x
; Đặt: t tan x dt ?
cos 2 x 1 tan 2 x cos 2 x
sin x dx
4
I
sin 2 x 2 1 sin x cos x
0
4
ln x
dx
x3
1
cos
2
3
3
x 1 cos xdx
3 ln x
2
dx
1
3
Bài 127. I =
Bài 128. I =
3
3 2 ln 2
16
x 1 cos2 x cos5 x cos2 x
cos5 x cos 4 x.cos x 1 sin 2 x cos x
1
1 cos 2 x
2
u 3 ln x
du ?
dx
Đặt:
dv
2
v ?
x
1
dx
1 e x 1
Đặt: t e x dt e x dx dx
1
e
e
2
8
15 4
cos 2 x
x 1
2 x
43 2
4
2
2
0
Bài 126. I =
sin 2 x 2 1 sin x cos x t 1
cos
Bài 125.
dt cos x sin x dx 2 sin x dx
4
Tích phân từng phần:
u ln x
du ?
Đặt:
dx
v ?
dv x3
2
Bài 124. I =
1
10 3
ln 2 3
2
27
Đặt: t sin x cos x
Bài 123.
1
2e3 1
9
x e x dx
2x
1
27
3 ln
4
16
dt
t
ln e2 e 1 2
x e x e x xe x
0
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
2
1
e
13
x 2 e x 2 x 2e x
dx
Bài 129. I =
1 2e x
0
1
e
Bài 130. I =
ln x
2
x
x
x 2 e x 2 x 2e x x 1 2e e
ex
2
x
1 2e x
1 2e x
1 2e x
Đặt: t 2 ln x dt
3
1 2 x x ln xdx
3
3ln x
2 x ln x 2 x ln x
x
x
1
e
Bài 131. I =
1
Bài 132. I =
0
2x 1
dx
x 1
4
I
0
x sin x x 1 cosx
x sin x cos x
dx
1 x sin x
0 cos2 x dx
3
Bài 134. I =
4x 1
dx
2x 1 2
4
Bài 135. I =
0
2x 1
2
Bài 136. I =
1
3
ln
3
2
e2
1
2
2x 1
3
2
x 1
x 1
Bài 133.
dx
x
x 2 ln x dx
2
1 1 1 2e
ln
3 2
3
x sin x x 1 cos x x sin x cos x x cos x
x sin x cos x
x sin x cos x
x cos x
1
x sin x cos x
1 x sin x
1
x sin x
2
2
cos x
cos x cos 2 x
u x
du dx
Đặt:
sin x
1
dv
dx v
2
cos x
cos x
Đặt: t 2 x 1 t 2 2 x 1 2tdt 2dx
2 3ln 2
2
ln 1
4
2 4
3
34
5
10ln
3
3
Đặt: t x2 x dt 2x 1 dx
x x 1dx
2
ln 2 3
3
ln 3
1
3
Bài 137. I =
1 ln x 1
x
1
2
dx
1
x3
dx
Bài 138. I = 4
x 3x 2 2
0
2
2
ln 3 ln 2
3
3
3
ln 3 ln 2
2
4
Bài 139. I =
x 1 sin 2 x dx
0
3
Bài 140. I =
x
dx
x 1
0
5
Bài 141. I =
1
1
1
Bài 142. I =
0
dx
2x 1
x 1
x2 1
x
8
3
2 ln 2
2
dx
1
Bài 143. I =
2 1
32 4
2 x 2 dx
0
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
1 ln 2
2 2 1
3
14
2
Bài 144. I =
x
1 ln x
2
x
1
2
5
3
ln 2
2
2
dx
2
2
Bài 145. I =
x 1 cos xdx
0
1
Bài 146. I =
1 xe dx
x
2
0
2
Bài 147. I =
x 1
x
1
2
7
ln 2
2
dx
x 3x 1
dx
x2 x
1 ln3
Bài 149. I =
x 1 sin 2 xdx
3
4
Bài 150. I =
x 2 2ln x
1 x dx
2
Bài 148. I =
1
2
4
0
2
2
Bài 151. I =
2x
3
3
ln 2 2
2
13
2 ln 2
2
ln x dx
1
1
Bài 152. I =
x 3 e dx
4 3e
x
0
Bài 151. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y e 1 x, y 1 ex x . KQ:
e
1
2
Bài 152. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x lnx , y 0, x e . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành
khi quay hình H quanh trục Ox.
KQ:
x 1 x
5e3 2
27
1
ln 2 1
x 1
4 2
1
Bài 154. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 và y 2 x2 .
KQ:
2 3
2
Bài 155. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình y x 2 ; y x; x 1; x 0 .
Bài 153. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 0 và y
2
.
KQ:
KQ:
7
6
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
15
Bài 156. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , y x cos2 x , x 0, x .
Bài 157. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol P : y x2 4x và đường thẳng d : y x .
KQ:
KQ:
Bikiptheluc.com – Công phá THPT Quốc Gia Luyenthipro.vn – Cổng luyện thi trắc nghiệm trực tuyến
2
9
2
16
