200 bài tích phân có lời giải chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.4 MB, 80 trang )
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
TUYỂN TẬP 200 BÀI TẬP TÍCH PHÂN VÀ NGUN
HÀM CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT NĂM 2015
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc
biệt là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của
Bộ GD&ĐT.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên.
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.
7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều
được coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự
sai xót nhất định.
Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:
!
Xin chân thành cám ơn!!!
Chúc các bạn học tập và ôn thi thật tốt!!!
Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014
Trưởng nhóm Biên soạn
Cao Văn Tú
Chủ biên: Cao Văn Tú
1
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
1
1
Bài 1: Tính tích phân I = 0 e2x 1 x.dx
2x
Giải
1 x
e
0
I=
ex x
1 x
x
x 1
x
x e x e
dx 0 e x.d e x
2
2 x
2
Bài 2: Tính tích phân I = 1 e2x .
2
1 e2
0 2
1 x 1 x 1
2 dx
x x
x
Giải
2
x 1 x
e . x 2 e4
2 x 1 x x 1 x
2 x 1 x x 1 x
x 1
I= 1 e .
e . x e . 2 dx 1 e . x .d e . x
1 23
x
2
x
e
1
Bài 3: Tính tích phân I = 1 e2x .lnx lnx dx
x
Giải
ex .ln x
x
e x
e x
ex
I= 1 e .ln x e ln x dx 1 e .ln x.d ex .ln x
x
2
1
2 e2x
0
Bài 4: Tính tích phân I =
1 x 1
2
e e2e
1
2
1
dx
2 1 x
Giải
1
2 ex
0
I=
1
2 ex
0
1
1 x ex 1 x ex
dx
2 1 x
1 x.d e 1 x
x
ex 1 x
2
2
1
e 1
2
0 4 2
Bài 5: Tính tích phân I = e x 1 .lnx lnx 1 dx
2 x 1 x
2
Giải
Chủ biên: Cao Văn Tú
2
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
I= e
2
lnx
e
x 1
x 1.lnx
dx 2 x 1.lnx.d
2 x 1
x
e
2
Bài 6: Tính tích phân I =
x2 1.ln x
2
2
2
5
2
x2 1.e2x
x2 1.e2x
3
2
2
e e 1 ln2 2
2
2
Giải
e
x2 1
dx x2 1.ln x.d
2
x
3
2 e6
5
2
5
x
2
1
x
x 1.
2 .e6x dx
x2 1
2
Giải
xe2x
2 x2 1.e2x dx
x2 1
2
23.e6
3
Bài 8: Tính tích phân I =
2
5
2
5
x 1.e
2
x2 1.e2x .d
2
5
2
x
2
x 1.e
2
2x
x
1 . 2
1.e2xdx
x 1
xex
x2 1.ex
x2 1.ex dx
2
x 1
x
2
5
Giải
I
x2 1.ln x
e2 1 3ln2 2
e
2
2
Bài 7: Tính tích phân I=
I
2
I
x 1.lnx
xlnx 1 dx
x 1 .lnx
x2 1 x
2
x ln x
x 1.ln x
x2 1
e
2
x 1.lnxdx
2
5
x2 1.ex .d
x2 1.ex
2
Chủ biên: Cao Văn Tú
2 e2
5
2
22.e2
2
5
3
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
sin x
2
x.sin x
2x
4
Bài 9: Tính tích phân I =
cosx dx
Giải
2
4
sin x
I
x.sin x
xcosx dx
2 x
2
x.sin x
2 1 3
2
2 2 8 16
4
2
x.cosx
3
Bài 10: Tính tích phân I =
2
4
x.sin x.d
x.sin x dx
cosx
sin x dx
2x
Giải
2
3
cosx
I
x.cosx
2 x
2
x.cosx
2
2
23.3
3
x sin x dx
1 5x2
Bài 11: Tính tích phân I = 0
3x 20
x2 2x 3
2
3
x.cosx.d
x.cosx dx
dx
Giải
2
1
1
I= 0 5x2 3x 20 dx = 0 5 27x 5 dx
x 2x 3
x 2x 3
7x 5
A
B
A(x 3) B(x 1
)
= (A B)x 3A B
(x 1 3) x 1 x 3
)(x
(x 1 3)
)(x
(x 1 3)
)(x
Đồng nhất 2 vế ta được
A B 7
3A B 5
0 27x 5 dx 0 3 4 dx =
x 1 x 3
x 2x 3
1
1
Chủ biên: Cao Văn Tú
3ln x 1
1
0
4
A 3
B 4
4ln x 3
1
0
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
= 3ln2 + 4ln2 + 4ln3
Vaäy: I =
5x
1
+ 3ln2 + 4ln2 + 4ln3 = 5 + 7ln2 + 4ln3
0
1
Bài 12: Tính tích phân I = 0
x2
4 x2
dx
Giải
I=
1
x2
0 4 x2 dx =
4
4 x2
4
1
0 1 4 x2 dx
(A B)x 2A 2B
4
A
B
= (2 x)(2 x)
(2 x)(2 x) 2 x 2 x
Đồng nhất 2 vế ta được :
A B 0
2A 2B 4
A 1
B 1
1
1
0 (2 x) 2 x dx ln 2 x ln x 2
1
1
0
ln3 .
1
Vaäy I = x ln3 1 ln3
0
1
Bài 13: Tính tích phân I = 0
x2 1
dx
9x2 6x 1
Giải
1
I= 0
2
x 1
dx =
9x 6x 1
2
1
2
1 2 dx 2 1 1 dx =
9(3x 1
)
9 3x 1
0
10
0 9(3x 1) 9(3x 1)2 dx
0
2 1
. ln 3x 1
9 3
0
0
1 10 2 dx 10 1 1 2 dx
9
9(3x 1
)
(3x 1
)
Chủ biên: Cao Văn Tú
=
0
1
2
ln4
27
10
1
.
9 3(3x 1
)
5
0
1
5
14
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
Vaäy I=
1
x
9
0
1
2
5
2
4
ln4 ln4
27
9
27
9
3 ln x
dx (ĐH-KB-2009)
(x 1)2
1
3
Bài 14: Tính tích phân I
Giải
3
3
3 ln x
dx
ln x
dx 3
dx
2
2
2
1 (x 1)
1 (x 1)
1 (x 1)
3
I
dx
3
I1 3
2
(x 1)
1 (x 1)
3
3
1
3
4
3
ln x
dx
2
1 (x 1)
I2
Đặt u = lnx du
dv
dx
x
dx
1
. Chọn v
2
(x 1)
x 1
3
3
3
3
ln x
dx
ln 3
dx
dx
ln 3
3
I2
ln
x 1 1 1 x(x 1)
4 1 x 1 x 1
4
2
3
4
Vậy : I (1 ln3) ln 2
e
Bài 15: Tính
x ln xdx
1
Gii
dx
du
u ln x
x
Đặt
2
dv xdx
v x
2
e
e
e 1
x2
e2 x 2 e e2 1 .
x ln xdx ln x
xdx
1 21
2
2 41
4
1
Bài 16: Tính tích phân
Chủ biên: Cao Văn Tú
6
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội b!
Gii
dx
du
u ln x
x . Do đó:
Đặt
1
dv x5 dx v 1
4 x4
2
ln x
ln x
1 2 dx
ln 2 1 1 15 4ln 2
x5 dx 4x4 1 4 x5 64 4 4x4 1 256 .
1
1
2
2
2
Bài 17: Tính tích phân x cos xdx
0
Giải
u x
du dx
. Do ®ã:
dv cos xdx v sin x
Đặt
2
0
2
x cos xdx x sin x 2 sin xdx cos x 2 1.
2
2
0 0
0
1
Bài 18: Tính tích phân
xe x dx
0
Giải
u x
du dx
. Do ®ã:
dv ex dx v e x
Đặt
1
0
1
1
1
xex dx xe x e x dx e e x e e 1 1.
0 0
0
2
x
Bài 19: Tính tích phân e cos xdx
0
Chủ biên: Cao Văn Tú
7
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội b!
Gii
u e x
du e x dx
Đặt
dv cos xdx v sin x
2
2
e cos xdx e sin x 2 e x sin xdx .
0
0 0
x
x
u1 e x
du1 e x dx
Đặt
dv1 sin xdx v1 cos x
2
2
e cos xdx e 2 e cos x 2 e x cos xdx .
0
0 0
x
x
2
2
2 e x cos xdx e 2 1 e x cos xdx
0
0
e 2 1
.
2
2
3
2
Bài 20: Tính tích phân I cos x 1 cos x.dx (§H-KA-2009)
0
Giải
2
2
0
0
I = cos5 x.dx cos2 x.dx
2
2
1
1
1
Ta có: I2 = cos x.dx (1 cos2x).dx = x sin 2x 2
2
2
20
0 4
0
2
2
2
0
0
Mặt khác xét I1 = cos5 x.dx cos4 x.cosx.dx
2
1 5
2sin 3 x
8
= (1 sin x) d(sin x) sin x
sin x 2
3
5
0 15
0
2
2
Chủ biên: Cao Văn Tú
8
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
8
Vậy I = I1 – I2 =
15 4
1
Bài 21: Tính tích phân I x2 x3 5dx
0
Giải
d x3 5
Ta cã d x 5 3x dx
x 2 dx
3
3
d x3 5
x 5
3
1
I
3
0
1
2
1
x3 5 d ( x3 5) 1 ( x 1 5)
30
3
1
2
3
1
2
1
1
2
1 2 3
1 4
10 .
5
( x 5) x3 5 6
9
0 9
0 3
2
Bài 22: Tính tích phân J
sin
4
x 1 cos xdx
0
Giải
2
Ta cã J (sin x 1)d (sin x) 1 sin 5 x sin x 2 6
5
0 5
0
4
Bài 23: Tính tích phân
1
dx
1 x2
0
Giải
x tan t , t ; . Khi x 0 th× t 0 , khi x 1 th× t .
4
2 2
dt
Ta có: x tan t dx
.
2
cos t
Đặt:
Chủ biên: Cao Văn Tú
9
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
1
4
4
0
dt t 4 .
4
0
dx
1
dt
.
2
2
1 x
1 tan t cos 2 t
0
0
1
Bài 24: Tính tích phân I
x2 x3 5dx
0
Gii
Đặt u( x) x3 5 .Tacó
u(0) 5, u(1) 6
6
Từ đó đ-ợc:
.
6 2
1
2
4
10
I
udu u u 6 6 5 5
6
5
5 9
35
9
9
9
Bài 25: Tính tớch phõn
e2
e
dx
x ln x
Gii
Đặt
u ln x . Khi x e th× u 1. Khi x e2 th× u 2 .
dx
Ta cã du
x
e2
e
2
2
dx
du
ln u ln 2 ln1 ln 2 .
1
x ln x 1 u
x3
dx
Bài 26: Tính tích phân
x 1
Giải
x 3 1 1
x3
1
dx
dx x 2 x 1
dx
x 1
x 1
x 1
x 2 x 1 dx
d x 1 1 3 1 2
x x x ln x 1 c
x 1
3
2
Bài 26: Tính tích phân x 4 x 7 dx
Giải
Chủ biên: Cao Văn Tú
10
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
1
x 4x 7 dx = 4 4x 7 7 4x 7 dx
3
5
3
1
1
1 2
2
4x 7 2 7 4x 7 2 d 4x 7 4x 7 2 7 4x 7 2 c
16
16 5
3
dx
Bài 27: Tính tích phân x
2 +5
Giải
dx
1
d 2 x
1 1
1
1
2x
x
d 2x
ln x
c
2 x + 5 ln 2 2 x 2 x 5 5ln 2 2 x 2 5
5ln 2 2 5
3
Bài 28: Tính tích phân E1 =
2
dx
x - 1
x 2 - 2x + 2
Giải
x 2 t 1
1
t 1 x 3 t 1
x 1 x
;
2
Đặt
t
t
dt
dx 2
t
3
Khi đó: E1
12
dx
x-1
x 2 2x 2
2
1
1
t
1
dt
t2 1
12
ln t t 2 1
1
dt t 2
2 t t 1 2
t 1
t
ln 1 2 ln
12
2
1 5
22 2
ln
2
1 5
2 x 3 d x
1
Bài 29: Tính tích phân F1
2
0 x 1 x 2 x 2
.
Giải
1
F1
2 x 3 d x
1
2
0 x 1 x 2 x 2
1
I
0
dx
x2 2 x 2
1
0
Chủ biên: Cao Văn Tú
2
0
dx
x 2x 2
dx
x 1 2 1
2
1
x 1
0
dx
x 2x 2
2
ln x 1 x 1 1
1
2
11
0
ln
2I J
2 5
1 2
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
1
Bài 30: Tính tích phân J
dx
x 1
x2 2 x 2
0
Giải
x 0 t 1
1 x 1 t 1
2 . Khi đó:
Đặt x 1 t
dx dt
t2
12
J
1
dt t 2
1
2
1 1 2 1 1 2
t
t
1
t
F1 2I + J 2ln
dt
12
ln t t 1
1
2
t2 1
ln
12
22 2
1 5
2 5
22 2
2 9 4 5
ln
ln
1 2 1 5
1 2
1 5
-3 2
Bài 31: Tính tích phân F2 =
-2
x + 3 dx
2x + 1 -x 2 - 4x - 3
Giải
-3 2
F2 =
-2
1
2
1 2 x 1 5
3 2
x + 3 dx
2
2
dx
2
2
2x + 1 -x - 4x - 3 2 2x 1 x 4x 3
3 2
2
dx
5
x 2 4x 3 2
3 2
1
5
I J
x 2 4x 3 2 2
2x 1
2
3 2
Bài 32: Tính tích phân I
dx
2
dx
x2 4 x 3
Giải
3 2
I
2
3 2
dx
x2 4 x 3
Chủ biên: Cao Văn Tú
2
3 2
dx
1 x 2
2
arcsin x 2 2
12
6
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
3 2
2x 1
Bài 33: Tính tích phân J
2
dx
x2 4 x 3
Giải
x 2 t 1
3
1
1 t
3 t 1
2x 1 x
; x
2
2
Đặt
t
2t
dt
2 dx 2
t
1 2
J
1 3
1 3
dt 2t 2
1 1
1 1
t
t 4
1 3
1
5 1 2
2
2 1 1 3
t
2
t3
5
5t 2 6t 1
1 2
1 3
1
5t 3
1
2
1
arcsin
arcsin 3 arcsin 4
2 1 2
5
5
dt
2
5
dt
2
5
5
1
2
1
Vậy F2 2 I 2 J 12 2 arcsin 3 arcsin 4
1
Bài 34: Tính tích phân G1 =
0
xdx
5 - 2x
2
6x 2 + 1
Giải
x 0 t 1
2
Đặt t 6 x 1 x 1 t 7 . Khi đó:
6 x dx t dt
1
G1
6
7
1
t dt
1
2
2
16 t
3 t
7
1
3
Bài 35: Tính tích phân H1 =
x
2
Chủ biên: Cao Văn Tú
7
dt
11 4 t
1 3 4 7
ln
ln
16 5 4 7
42 t 2 2 8 4 t 1
dx
2
-2
x2 + 3
13
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
Giải
x 3 t 2
x 3
3
2
Đặt xt x 3 t
x
x 2 t 7
2
3
3t dt
x2 t 2 x2 3 t 2 1 x2 3 x2 2
x dx
và
t 1
t 2 12
2
x dx 3t dt t 2 1
dt
2
. Khi đó ta có:
2
t 1
3t t 1
x 2 3 x xt
2
dx
2
1
t 2 5
dt
ln
H1
2
2t 5 2 10 t 2 5
7 2
2
3
3
7 2
4x + 3 dx
3
Bài 36: Tính tích phân I1 =
2
2 2 15 14 2 5
1
ln
2 10 2 2 15 14 2 5
x 2 - 2x - 4 3x 2 - 6x + 5
Giải
4x + 3 dx
3
I1 =
x
2
2
u
1
- 2x - 4 3x 2 - 6x + 5
4u 7 du
2
2
2
Xét J
u
1
2
J
1
2
5 3u 2 2
u
4
1
udu
2
5 3u 2 2
udu
u 2 5
3u 2 2
14
4 x 1 7 dx
3
x 1
2
2
5 3 x 1 2
2
udu
2
2
5 3u 2 2
7
u
1
2
2
. Đặt t 3u 2 u
tdt
14
t 2 17 t
5
5
du
2
5 3u 2 2
4J 7L
t2 2
tdt
udu
3
3
dt
1
t 17
ln
2
t 17 2 17 t 17
14
5
17 14 17 5
1
17 14
17 5
1
ln
ln
ln
2 17
17 14
17 5 2 17 17 14 17 5
2
Xét L
1
du
u2 5 3u2 2
Chủ biên: Cao Văn Tú
2
2 2
2
2
. Đặt ut 3u 2 u t 3u 2 u
14
2
t2 3
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
2tdt
udu
t 2 32
2
L
u
1
2tdt t 2 3
udu
dt
2
. Khi đó:
2
2
t 3
2t t 3
3u 2 u ut
14 2
du
5 3u 2 2
2
2
du
2 5 t 2 3
2
t 3
2
1
1
17 t 5
ln
5 2 17
17 t 5
14 2
dt
14 2
2
1
2 85
ln
2
dt
17 5t 2
70 2 17 2 5 17
70 2 17 2 5 17
17 14 17 5
70 2 17 2 5 17
4
7
ln
ln
I1 4J 7L
2 17 17 14 17 5 2 85 70 2 17 2 5 17
2x + 1 dx
6 -1
Bài 37: Tính tích phân
I2 =
2 -1
x 2 + 2x + 6 2x 2 + 4x - 1
Giải
I2 =
x 2 + 2x + 6 2x 2 + 4x - 1
2 -1
2u 1 du
6
u
2
2
u
J
u
2
Xét L
6
u
2
udu
t
2
5 2u 2 3
3tdt
2 t 2 2
Chủ biên: Cao Văn Tú
tdt
2
1
du
2 x 1 1 dx
2 1
x 12 5 2 x 12 3
6
udu
2
5 2u 2 3
u
du
13 t
3
1
5 2u 2 3
2
2
2
2
. Đặt t 2u 3 u
3
5 2u 2 3
2
u
2
5 2u 2 3
udu
2
2
udu
2
6
6
5 2u 2 3
6
Xét J
6 1
2x + 1 dx
6 -1
2J L
t2 3
tdt
udu
2
2
dt
2
3
1
arctg
arctg
t 2 13
13
13
13
2
2 2
2
2
. Đặt ut 2u 3 u t 2u 3 u
3
2 t2
3tdt 2 t 2
udu
dt
. Khi đó:
2 t2
3t 2 t 2
2u 2 3 u ut
2
du
15
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
6
L
u
2
3 6
du
2
5 2u 2 3
1 2
13 5 t
1
1
ln
5 2 13 5
13 5 t
3 6
dt
3
5 2 t2
2
2t
3
6
1 2
1
3 6
dt
1
2
51
13 5t
2
dt
13 2
2
t
5
1
78 3 5
26 5
ln
ln
2 65
78 3 5
26 5
78 3 5 26 5
4
3
1
1
arctg
arctg
ln
13
13
13 2 65 78 3 5 26 5
I2 2J L
Bài 38: Tính tích phân B1 =
dx
x 3 3x
Giải
dx
dx
1 x 2 x 2 3
1 xdx
dx
B1 =
dx 2
3
2
2
3 x 3
x
x 3x
x x 3 3 x x 3
1 1 d x 2 3
dx 1 1
1 x2 3
2
c
ln x 3 ln x c ln
3 2
x 3 2
6
x2 3
x2
dx
Bài 39: Tính tích phân B2 = 7
x 10x 3
Giải
dx
dx
1 x 4 x 4 10
1 xdx
dx
B2 = 7
3 4
dx 4
3
3
3 4
10 x 10
x 10x
x
x x 10 10 x x 10
1 1
10 2
d x2
x
2 2
dx 1 1
x 2 10
1
3
ln 2
2 c
x 20 10 x 10 x
10
x 4 dx
Bài 40: Tính tích phân C12 = 4
x +1
Giải
x 4 dx
C12 =
x4 + 1
x 4 1 1
x4 1
Chủ biên: Cao Văn Tú
1 1
x2 1
1
x2 x 2 1
dx x
arctg
ln
c
2 2
x 2 2 2 x2 x 2 1
16
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
Bài 41: Tính tích phân C13 =
x
x 2 - 1 dx
4
5x 3 4x 2 5x + 1
Giải
1 12 dx
x 2 - 1 dx
x
C13 =
4
3
2
2
1 5 x 1 4
x 5x 4x 5x + 1
x 2
x
x
d x 1
x
x 1
x
5 x 1 6
x
2
du
du
1 1
1
1 x 2 6x 1
2
du ln 2
c
u 6 u 1 7 u 6 u 1
7
u 5u 6
x x 1
Bài 42: Tính tích phân C14 =
dx
x4 + x2 + 1
Giải
dx
1
C14 =
x4 + x 2 + 1 2
x2 1 x2 1
x4 x2 1
1
x2 1
x 2 1
dx 4
dx 4
dx
2 x x2 1
x x2 1
1 1 dx
1 1 dx
x2
1
1
x2
2 x2 1 1
x 2 1 1 4
x2
x2
d x1
x
2
x 1 3
x
d x 1
x
2
1 1
x
x
x 1 1 x 1 1
2
2
1
x ln
x c 1 arctg x 1 1 ln x x 1 c
arctg
2 3
3 4 x 1 1
2 3
x 3 4 x2 x 1
x
Bài 43: Tính tích phân D1 =
dx
x3 1
Giải
D1 =
dx
dx
d x 1
x 1 x 2 x 1
x3 1
x 1 x 12 3 x 1 3
1
2
t t 3t 3 3
dt
t 2 3t 3 t 2 3t
t 3 dt
1 dt
dt 2
t t 2 3t 3
3 t
t 3t 3
Chủ biên: Cao Văn Tú
17
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
2
1
2x 1
1 x 2x 1
1 dt 1 2t 3 dt 3
dt
ln 2
arctg
c
3 t 2 t 2 3t 3 2 t 2 3t 3 6
x x 1 2 3
3
Bài 44: Tính tích phân D2 =
dx
x3 + 1
Giải
D2 =
dx
dx
d x 1
x 1 x 2 x 1
x3 + 1
x 1 x 12 3 x 1 3
t t
dt
2
3t 3
1
3
t 2 3t 3 t 2 3t
t 3 dt
1 dt
t t 2 3t 3 dt 3 t t 2 3t 3
1 dt 1 d t 2 3t 3 3
3 t 2
2
t 2 3t 3
dt
t3
2
2
3
4
11
t2
2t 3
1 x 2 2x 1
1
2x 1
ln 2
3arctg
c ln 2
arctg
c
3 2 t 3t 3
6
x x 1 2 3
3
3
Bài 45: Tính tích phân D3 =
xdx
x3 1
Giải
xdx
xdx
1
D3 =
3
x 1 x 2 x 1 3
x 1
x 2 x 1 x 12
x 1 x2 x 1 dx
1 1
x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3
2
dx 3 x 1 2 x 2 x 1 2
3 x 1 x x 1
3
2
dx
x1
2
2
2
1
1
2x 1
ln x 1 ln x 2 x 1 3arctg
c
3
2
3
Bài 46: Tính tích phân D4 =
Chủ biên: Cao Văn Tú
xdx
x3 + 1
18
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
Giải
xdx
xdx
1
D4 =
x 1 x 2 x 1 3
x3 + 1
x 2 x 1 x 12
x 1 x 2 x 1 dx
1 1
x 1
1 dx 1 2x 1 dx 3
2
dx
3 x 1 x x 1
3 x 1 2 x2 x 1 2
3
2
dx
x1
2
2
2
1
1
2x 1
1 x 2 2x 1 1
2x 1
ln x 1 ln x 2 x 1 3arctg
c ln 2
arctg
c
3
2
6
x x 1
3
3
3
dx
Bài 47: Tính tích phân E1 = 6
x 1
Giải
E1 =
x
dx
1
6
x
dx
3
1 x 3 1
1 dx
dx 1
x 3 1 x 3 1 2 D1 D2
2
1 1 x 2 2x 1
1
2x 1 1 x 2 2x 1
1
2x 1
ln 2
arctg
arctg
ln 2
2 6
x x 1 2 3
x x 1 2 3
3 6
3
x 2 2x 1 x 2 x 1 1
1
2x 1
2x 1
ln 2
arctg
arctg
c
12 x 2x 1 x 2 x 1 4 3
3
3
xdx
Bài 48: Tính tích phân E2 = 6
x 1
Giải
E2 =
xdx
1
6
x 1 2
d x2
x
1
2 3
1
du
1
D1
3
2 u 1 2
1 1 u 2 2u 1
1
2u 1
1 x 4 2x 2 1
1
2x 2 1
ln 2
arctg
c ln 4 2
arctg
c
2 6 u u 1 2 3
12 x x 1 2 3
3
3
Bài 49: Tính tích phân E4 =
Chủ biên: Cao Văn Tú
x 3 dx
x6 1
19
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
Giải
x 3 dx 1 x 2 d x 2 1 udu 1
udu
E4 =
6
6
3
2 u 1 2 u 1 u 2 u 1
x 1 2 x 1
u 12
1
1
2u 1
1
x 4 2x 2 1
1
2x 2 1
ln 2
arctg
c ln 4
arctg
c
12 u u 1 2 3
12
x x2 1 2 3
3
3
x 4 dx
x6 1
Bài 50: Tính tích phân E5 =
Giải
E5 =
x 4 dx
x6 1
x 4 x 2 1 x 2 1 2
dx
dx
dx
x2 1 x4 x2 1 dx x2 1 x4 x2 1 2 x6 1
1 x 2 2x 1 x 2 x 1
1
2x 1
2x 1
x2 1
ln 2
arctg
arctg
arctg
c
12 x 2x 1 x 2 x 1 2 3
3
3
x 3
Bài 51: Tính tích phân F1 =
3x 4 5x 3 + 7x 8
x + 2 50
dx
Giải
4
3
Đặt P4 x 3x 5x 7x 8
P4 2
P4 2
P43 2
P44 2
2
3
x 2
x 2
x 2
x 2 4
P4 x P4 2
1!
2!
3!
4!
P4 x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
2
3
4
66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2
F1
dx
x 250
2
3
4
50
49
48
47
46
66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx
66
49 x 2
49
149
48 x 2
48
Bài 52: Tính tích phân G1 =
Chủ biên: Cao Văn Tú
48
47 x 2
47
29
46 x 2
46
3
45 x 2
45
c
dx
3x 100 + 5x
20
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
Giải
G1 =
dx
dx
1
3x 100 + 5x
x 3x99 5 5
3x99 5 3x99
1 dx
3x98 dx
dx 99
x 3x99 5
5 x
3x 5
1 dx 1 d 3x99 5 1
1
1
x99
ln x ln 3x99 5 c
ln 99
c
5 x 99
99
495 3x 5
3x99 5 5
Bài 53: Tính tích phân G2 =
dx
x 2x
50
+7
2
Giải
G2 =
dx
x 2x
1 1
7 7
50
+7
2
1
7
2x50 7 2x50
1
dx
2x 49dx
dx
x 2x50 72
7 x 2x 50 7
2x50 7 2
2x50 7 2x50
2x 49dx 1 dx
2x 49dx 1
2x 49dx
x 2x50 7 dx 2x50 72 49 x 2x50 7 7 2x50 72
1 dx 1 d 2x 50 7 1 d 2x 50 7
49 x 50
2x50 7 350 2x50 7 2
1
1
1
1
x 50
1
50
ln x
ln 2x 7
ln 50
c
50
49
49.50
350 2x 7 49.50 2x 7 350 2x 50 7
Bài 54: Tính tích phân H 3 =
dx
x + 3 5 x + 5 3
Giải
H3 =
x + 3
1
7
2
dx
5
dx
1
1
x 3 x 5
1 1
x3
d x 5 u 1 du
x5
2 u
x + 5 3
x 3 x 58
x 5
5
x 3
x 5
5
dx
x 56 x 52
6
1
x3
x 5
5
Chủ biên: Cao Văn Tú
6
7
21
5
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
1 u 6 6u5 15u 4 20u3 15u 2 6u 1
7
du
2
u5
1
15 20 15 6
1
u 6 u 2 3 4 5
7
2
u
u
u
u
1 u2
6u 15ln u 20 152 2 1 4
7
u 2u
2 2
u 3 4u
1 1 x 3
27 2 x 5
du
c
x 3
x 3
6 x 5 15ln x 5
1
27
2
x 5 15 x 5
20 x 3 2 x 3
2
2 x 5
x 3
3
4
1 x 5 c
4 x 3
6
Bài 55: Tính tích phân A1 = cos xdx
Giải
3
1 cos 2 x
A1 = cos xdx = cos x dx
dx
2
1
1
3
2
3
1 cos 2x dx
1 3cos 2x 3cos 2x cos 2x dx
4
4
6
2
3
1
3 1 2cos 4x cos 3x 3cos x
1 3cos 2x
dx
4
2
4
1
1
7x 6sin 2x 3sin 4x sin 3x 3sin x c
16
3
Bài 56: Tính tích phân A2 = sin5x 9 dx
Giải
1
9
8
A2 = sin5x dx sin 5x sin 5x dx
5
Chủ biên: Cao Văn Tú
22
1 cos 2 5x 4 d cos 5x
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
1
2
4
6
8
1 4cos 5x 6cos 5x 4cos 5x cos 5x d cos 5x
5
1
4 3
6 5
4 7
1 9
cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x c
5
3
5
7
9
2
4
Bài 57: Tính tích phân B1 = sinx cosx dx
Giải
1
2
4
2
2
B1 = sinx cosx dx
sin 2x cos x dx
4
1
16
1
16
1
32
1 cos 4x 1 cos 2x dx 1 1 cos 2x cos 4x cos 2x cos 4x dx
16
1
1 cos 2x cos 4x 2 cos 6x cos 2x dx
2 cos 2x 2 cos 4x cos 6x dx 1 2x sin 2x sin 4x sin 6x c
32
2
2
6
Bài 58: Tính tích phân B2 = sin5x 9 cos5x 111 dx
Giải
9
111
111
8
B2 = sin5x cos5x dx cos 5x sin 5x sin 5x dx
4
1
111
cos 5x 1 cos2 5x d cos 5x
5
1
111
cos 5x 1 4 cos2 5x 6 cos4 5x 4 cos6 5x cos8 5x d cos 5x
5
1 cos 5x
5 112
112
4 cos 5x
114
114
Bài 59: Tính tích phân B3 =
6 cos 5x
116
116
sin3x 7
5
4
4 cos 5x
118
118
cos 5x 120
120
c
dx
cos 3x
Giải
B3 =
sin3x 7
5
cos 4 3x
4
6
dx cos3x 5 sin3x sin3xdx
Chủ biên: Cao Văn Tú
4
3
1
cos3x 5 1 cos2 3x d cos3x
3
23
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
4
1
5 1 3cos2 3x 3cos 4 3x cos6 3x d cos 3x
cos 3x
3
31
1
11
21
1
15
15
5
5 cos 3x 5 cos 3x 5 cos 3x 5 cos 3x 5 c
3
11
21
31
dx
Bài 60: Tính tích phân B4 =
sinx 3 cosx 5
Giải
B4 =
sinx
dx
3
cosx 5
1 tg x
d tg x
tg x
3
3
sin x cos8 x
cos x
3
2
3
1 1 dx
tg 3 x cos2 x cos2 x
dx
2
4
6
1 3tg x 3tg x tg x
3
tg x
d tg x
3
3
3
1
3 2
1 4
3tg x tg x d tg x
tg x
3ln tg x tg x tg x c
2
tg x
2
4
2 tg x
dx
Bài 61: Tính tích phân B6 = 3
sin5 xcosx
Giải
B6 =
dx
3
sin5 xcosx
sin x
5
3
5
1
4
3
cos x d sin x u
5
3
2
2 3
1 u2
1 u
3
2
3
v 2u du 3v dv ; v 2
Đặt
u2
u
Cách 2:
B7
3
13
13
cos2 x
2
sin x
2
3
du
2
tg x 3
2
2
3
3
3
3
dv v c tg x 3 c
du
2
2
2
1
4
2
3 1 u
du u 2
u
1 u
2
2
3 1 u
B6 u 2
u
5
sin x 3 cos x 3 dx sin x 3 cos x 3 cos x dx
sin x
cos x
Chủ biên: Cao Văn Tú
5
dx
2
cos x
5
tg x 3 d tg x
24
2
3
tg x 3 c
2
Email:
Tuyển tập 200 bài tập về Tích phân và Nguyên hàm có lời giải chi tiết năm 2015.
Lưu hành nội bộ!
Bài 62: Tính tích phân C3 = cotgx 2k dx
Giải
C3 =
cotg x 1 co tg x cotg x 1 co tg x
1 co tg x ... 1 cotg x 1 co tg x 1 dx
cotg x
cotgx
2k
2 k 2
dx
2k 6
2k 4
2
k 1
2
2
0
2
k
k 1
k
2k 2
2k 4
0
cotg x
cotg x
... 1 cotg x d cotg x 1 dx
cotg x 2k 1 cotg x 2k 3 cotg x 2k 5
1k 1 cotg x 1k x c
2k 3
2k 5
1
2k 1
Bài 63: Tính tích phân D6 =
tgx 4 dx
cosx
Giải
D6 =
tgx 4
sin x 4 cos xdx
sin x 4
dx
d sin x
cosx
cos x 4 cos x 2 1 sin2 x 3
u 4 du
1 u
2 3
1 1 u 4
1 u 2 3
du
du
1 u
2 3
1 u2
1 u
2 2
du I2 I1
1 1 du
d u 1
1 u du u 2
u 1 c u c
I1
2
2
1 u2
1
1 u 2 2
u 1
u 1
u
u
u
u
2
I2
du
1 u
2 3
1 1 u 1 u
1 1
1
1 u 1 u du 8 1 u 1 u du
8
3
3
1 1
1
3 1
1
du
3
3
2 1 u
8 1 u
1 u
1 u 1 u
2
2
1 u 2 1 u 2
1 1
1
du 1 1 u 1 u
6
3
du
2 2
2 2
8 2 1 u 2 2 1 u 2
8 2 1 u 2 2
1 u
1 u
u
4 1 u 2
2
3 1 u 2 du 3 du
u
3
3 1 u
I1 ln
c
8 1 u 2 2 8 1 u 2 4 1 u 2 2 8 16 1 u
Chủ biên: Cao Văn Tú
25
Email:
