các dạng phương trình lượng giác có trong đề thi đại học có đáp án

Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

ÔN LUYỆN PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC
Các cơng thức biến đổi:
1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt:
* Cung đối nhau:
cos(-x) = cosx;
sin(-x) = -sinx;
tg(-x) = - tgx;
cotg(-x) = - cotgx
* Cung bù nhau:
cos( π - x) = - cosx
sin( π - x) = sinx
tg( π - x) = - tgx
cotg( π - x) = -cotgx
* Cung phụ nhau:
π
2

cos(  x ) = sinx

π
2

sin(  x ) = cosx

π
2

tg(  x ) = cotgx

π
2

cotg(  x ) = tgx

* Cung hơn kém nhau π :
cos( π + x) = - cosx
sin( π + x) = - sinx tg( π - x) = tgx
cotg( π - x) = cotgx
2) Cơng thức cộng:
cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb
cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb
sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa
sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa
tga  tgb
1  tgatgb

tg(a + b) =

tg(a - b) =

tga  tgb
1  tgatgb

3) Cơng thức nhân đơi:
sin2a = 2sina cosa; cos2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a = cos2a - sin2a;
4) Cơng thức hạ bậc:
1

cos2 a  (1  cos 2a ) ;
2

1
(1  cos 2a ) ;
2
a
5) Cơng thức tính sina, cosa, tga theo t = tg
2

sin a 

2t

;

cos a 

sin 2 a 

1 t2

;

tga 

tg 2 a 

tg2a =

2 tga
1  tg 2 a

1  cos 2a
1  cos 2a

2t

1 t2
1 t2
1 t2
6) Cơng thức biến đổi tổng thành tích:
ab
ab
ab
ab
cos a  cos b  2 sin
sin
cos a  cos b  2 cos
cos
;
2
2
2
2
ab
ab
ab
ab
sin a  sin b  2 cos

sin
sin a  sin b  2 sin
cos
;
2
2
2
2
sin(a  b)
sin(a  b)
tga  tgb 
;
tga  tgb 
cos a. cos b
cos a. cos b
7) Cơng thức biến đổi tích thành tổng:
2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b) 2sinasinb
= cos(a - b) - cos(a + b)
2sinacosb
= sin(a - b) + sin(a + b)
I. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác:

 Phương trình dạng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , trong đó f(x) là hàm số lượng giác.
Và a, b, c là các hệ số a  0.
 Cách giải: + Đặ t = f(x) ( nếu f(x) là sinx hoặc cosx thì t  1 )
+ Giải phương trình at2 + bt + c = 0 và chọn t thoả mãn điều kiện.
1


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

+ Giải phương trình f(x) = t.
2cos 4 x  6co s 2 x  1  3cos 2 x
Ví dụ 1) Giải phương trình :
0
cos x
1  cos x(2 cos x  1)  2 sin x
1
Ví dụ 2) Giải phương trình :
1  cos x
Ví dụ 3) Giải phương trình : 3cosx  2  3(1  cosx).cot 2 x
Ví dụ 4) Giải phương trình : sin 6 x  cos6 x  2cos 2 x 1
Ví dụ 5) Tìm các nghiệm trên khoảng  0;   của phương trình :

(1)
(2)
(3)
(4)

 sin 3 x  cos 3 x

7
 cosx   4  cos 2 x
(5)
 2sin 2 x  1

Ví dụ 6) Cho phương trình : cos 2x  (2m  1)sin x  m 1  0 (*) .
a) Giải phương trình khi m = 2.

b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng  ; 2  .

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:



 m .
2
(1)  2 2 cos2 2x  1  3(1  cos 2x  1  3 cos 2x  0

Ví dụ 1) +Đk x 





k

x
cos 2 x  1

2
 2 cos2 2 x  3 cos 2 x  1  0  

1
cos 2 x 
 x     k
2



6
k
Họ x 
thỏa ĐK khi k = 2h  x  h
2
Vậy (1) có 3 họ nghiệm là: x  h ; x  



6

 k ; h, k  Z .

Ví dụ 2) + ĐK : cos x  1  x  m2
(2)  1  2 cos2 x  cos x  2 sin x  1  cos x  2(1  sin 2 x)  2 sin x  0
 2 sin 2 x  2 sin x  2  0  sin x  

2
2

 sin x  2 (loại)



x    k 2

2




4
sin x  
 sin    
2
 4
 x  5  k 2

4
Ví dụ 3) +ĐK : x  m
cos2 x
cos2 x
 3 cos 2 x  2  3(1  cos x)

(3)  3 cos 2 x  2  3(1  cos x)
sin 2 x
1  cos2 x
3 cos2 x
 3 cos x  2  
 6 cos2 x  cos x  2  0
1  cos x

1


 x   3  k 2
cos x  2


(Thỏa các ĐK)
 x   arccos( 2 )  k 2

cos x   2
3
3


Ví dụ 4) +Biến đổi:

2


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn





3

sin 6 x  cos6 x  sin 2 x  (cos2 x) 3 
3
 (sin 2 x  cos2 x) 3  3 sin 2 x cos2 x(sin 2 x  cos2 x)  1  sin 2 2 x 
4
3
1
 cos2 2 x 
4
4
3

1
(4)  cos2 2 x   cos 2 x  3 cos2 2 x  4 cos 2 x  1  0
4
4
cos 2 x  1
 x  k



cos 2 x  1
 x   1 arccos 1  k 2
3
2
3


Ví dụ 5) *Giải PT(5):
5

x
 m2

1

12
+ĐK : sinx   
2
 x    m2

12

+Ta có
sin 3x  cos3x  3sin x  4 sin3 x  4 cos3 x  3 cos x  3(sin x  cos x)  4(sin x  cos x)(1  sin x cos x)
 (sin x  cos x)(4 sin x cos x  1)  (sin x  cos x)(2 sin 2x  1)
sin 3x  cos 3x

 sin x  cos x
2 sin 2 x  1
(5)  7(sin x  cos x  cos x)  4  cos 2x  7 sin x  4  (1  2 sin 2 x)
1
 2 sin 2 x  7 sin x  3  0  sin x   sin x  3 (loại)
2


 x  6  k 2
1
sin x   
2
 x  5  k 2

6
*Chọn nghiệm trên khoảng 0;   ta được hai nghiệm của phương trình là:

5
x
; x
6
6
2
Ví dụ 6) (*)  1  2 sin x  (2m  1) sin x  m  1  0
 2 sin 2 x  (2m  1) sin x  m  0

 f (t )  2t 2  (2m  1)t  m  0 ; t  sin x ; t   1;1
1
a)Khi m=2: f (t )  2t 2  5t  2  0  t   t  2 (loại)
2


x   k 2

1
1
6
t   sin x   
2
2
 x  5  k 2

6
b)Tìm m để PT (*) có nghiệm trên khoảng  ; 2  :
Khi x   ;2   1  t  0 .

  0; af (0)  0; af (1)  0
 1  t1  t 2  0

m  

S

Vậy ta phải có :  1  t1  0  t 2   1   0



2
 1  m  0
t1  1  t 2  0
 f (0). f (1)  0  f (1)  0

 m   1; 0
3


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
1) Giải phương trình :
2) Giải phương trình :

4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x
0
cos x





cos x 2sinx  3 2  2cos 2 x  1

1
1  sin 2 x
3) Giải phương trình : 5sinx  2  3(1  sinx).tan 2 x

17
4) Giải phương trình : sin 8 x  cos8 x  cos 2 2 x
16
5 Tìm các nghiệm trên khoảng  0; 2  của phương trình :
cos 3 x  sin 3 x 

5  sinx 
  3  cos 2 x
1  2sin 2 x 

6) Cho phương trình : cos 2 x  (2m  1)cos x  m  1  0 (*) .
a) Giải phương trình khi m = 3/2.

  3 
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng  ;  .
2 2 
II. Phương trình bậc nhất theo sin và côsin cùng một cung:

Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b  0
+ Điều kiện phương trình có nghiệm : a2 + b2  c2.
+ Cách giải :
-

-

Chia 2 vế phương trình cho a 2  b 2 ta được :
asinx
b cos x
c



a 2  b2
a 2  b2
a 2  b2
a
b
c
 sin  
Đặt cos 
và đặt sin  
ta có phương trình:
2
2
2
2
2
a b
a b
a  b2
sin( x   )  sin 

Ví dụ 1: Giải phương trình : 4 cos3 2x  3 sin 6x  2 cos 4x  3 cos 2x
3
1

cosx sinx
Ví dụ 3: Giải phương trình : sin 2 x  cos 2 x  cos x  sin x  0
Ví dụ 4: Giải phương trình : 9 sin x  3 cos x  3 sin 2 x  cos 2 x  8
Ví dụ 5: Giải phương trình : 2cos3 x  cos 2 x  sinx  0
Ví dụ 6: Giải phương trình : sin3 x  cos3 x  sinx  cosx

Ví dụ 7: Giải phương trình : 4 (sin 4 x  cos 4 x)  3 sin 4 x  2

Ví dụ 2: Giải phương trình : 8sinx 

Ví dụ 8: Giải phương trình :

3 (sin 3x  cos x)  cos 3x  sin x

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:





Ví dụ 1: (1)  4 cos3 2 x  3 cos 2 x  3 sin 6 x  2 cos 4 x
 cos 6 x  3 sin 6 x  2 cos 4 x 



 cos 6 x    cos 4 x .
3


1
3
cos 6 x 
sin 6 x  cos 4 x
2
2

4

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)


Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

sin x 0
m
m Z
sin 2 x 0 x
Vớ d 2: + K :
2
cos x 0
+ (2) 4 sin 2 x sin x 3 sin x cos x 2(cos x cos 3x) 3 sin x cos x


1
3

cos x
sin x cos 3x cos x cos 3x
2
2
3






Vớ d 3: (3) (2 sin x cos x sin x) 2 cos2 x cos x 1 0
sin x(2 cos x 1) (2 cos x 1)(cos x 1) 0
(2 cos x 1)(sin x cos x 1) 0
1

cos x 2 sin( x ) 1
2
4
Vớ d 4: (4) 9 sin x 6 sin x cos x 3 cos x 2 cos2 x 9 0
3 sin x(3 2 cos x) (2 cos x 3)(cos x 3) 0
(2 cos x 3)(cos x 3sin x 3) 0 cos x 3sin x 3 0
1
3
3

cos x
sin x
cos cos x sin sin x sin
10

10
10
1
3


cos(x ) cos ; cos
; sin
10
10
2

3
2
2
Vớ d 5: (5) 2 cos x 2 cos x 1 sin x 0 2 cos x(cos x 1) (1 sin x) 0
2(1 sin x)(1 sin x)(cos x 1) (1 sin x) 0
(1 sin x)2(1 sin x)(1 cos x) 1 0
(1 sin x)(2 sin x 2 cos x sin 2 x 1) 0









(1 sin x) 2(sin x cos x) (sin x cos x) 2 0
1 sin x 0

(1 sin x)(sin x cos x)(sin x cos x 2) 0
sin x cos x 0
Vớ d 6: (6) (sin x cos x)(1 sin x cos x) sin x cos x
sin x cos x sin x cos x(sin x cos x) sin x cos x

2 cos x sin x cos x(sin x cos x) 0 cos x(2 sin 2 x sin x cos x) 0
1 cos 2 x 1
cos x(2
sin 2 x) 0 cos x(3 cos 2 x sin 2 x) 0
2
2
cos x 0
1
1
3 1
Vớ d 7: + Bin i : sin 4 x cos4 x 1 sin 2 2 x 1 (1 cos 4 x) cos 4 x
2
4
4 4
1
3
1
sin 4 x
+ (7) 3 cos 4 x 3 sin 4 x 2 cos 4 x
2
2
2

2

cos 4 x cos
3 (sin 3x cos x) cos 3x sin x
3
3

Vớ d 8: (8) 3 sin 3x cos 3x sin x 3 cos x

3
1
1
3
sin 3x cos 3x sin x
cos x
2
2
2
2





sin 3x sin x
6
3


BAỉI TAP TệễNG Tệẽ :
1) Giaỷi phửụng trỡnh : 3sin 3x 3 cos9x 2 cos3x 4 sin3 3x
3

1

sin x cosx
3) Giaỷi phửụng trỡnh : sin 2 x 2sin x 1 4sin2 xcosx cos2x 2sin x cos 2x

2) Giaỷi phửụng trỡnh : 8cosx

5


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

4) Giải phương trình :
5) Giải phương trình :
6) Giải phương trình :
7) Giải phương trình :

sinx  4cos x  sin 2 x  2cos 2 x  1
2sin3 x  cos 2 x  cosx  0
sin3 x  cos3 x  sinx  cosx
8sin 6 x  cos6 x   3 3 sin 4 x  2

8) Giải phương trình :

3 (cos3x  sin x)  sin 3x  cos x

III. Phương trình đẳng cấp thuần nhất theo sin và côsin cùng một cung:
1) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc hai theo sin và côsin cùng một cung:



Phương trình có dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0. (1)

Cách giải 1: (Dùng cơng thức hạ bậc đưa về PT bậc nhất theo sin và cơsin cùng cung)
1  cos 2 x b
1  cos 2 x
(1)  a
 sin 2 x  c
d 0
2
2
2
 b sin 2x  (c  a)cos 2 x  (2d  a  c) .


 Cách giải 2: (Đưa về PT bậc hai đối với hàm tanx)
Xét hai trường hợp :



+ Nếu x =

2

+ Nếu x 



 k ; k  Z có là nghiệm phương trình hay không.

 k ; k  Z , chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:

2
atan x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0
 (a + d)tan2x + btanx + c + d = 0.
Ví dụ 1: Giải phương trình cos2x - 3 sin2x = 1 + sin2x
2

2

Ví dụ 2: Giải phương trình 4sin x – 3sinxcosx +





(1)
2

3  4 cos x = 4

Ví dụ 3: Giải phương trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = 4
Ví dụ 4: Giải phương trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = 3.

(2)
(3)
(4)

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ





Ví dụ 1: (1)  cos2 x  sin 2 x  3 sin 2 x  1  cos 2 x  3 sin 2 x  1
1
3
1



cos 2 x 
sin 2 x   cos 2 x    cos
2
2
2
3
3

2
Ví dụ 2: +Xét cosx = 0 thì sin x  1 nghiệm đúng phương trình (2).


Vậy (2) có nghiệm x 



2

 k .

+Xét cos x  0 . Chia hai vế PT(2) cho cos2 x và thay

1
 1  tan 2 x và đặt ăn
2
cos x

phụ t = tanx :
Ta có : 4t 2  3t  3  4  4(1  t 2 )  t 
Vậy PT (2) có hai họ nghiệm là : x 


2

3


 tan x  tan  x   k
3
6
6

 k ; x 

5
3
Ví dụ 3: (3)  5(1  cos 2 x)  sin 2 x  (1  cos 2 x)  3
2

2
 7 cos 2 x  5 sin 2 x  7
6



6

 k

; k Z


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Ví dụ 4: +Xét cosx = 0 thì sin 2 x  1 nghiệm đúng phương trình (2).
Vậy (2) có nghiệm x 



2

 k .

+Xét cos x  0 . Chia hai vế PT(2) cho cos2 x và thay

1
 1  tan 2 x và đặt ăn

cos2 x

phụ t = tanx :
Ta có : 1  t  3t 2  3(1  t 2 )  t  2  tan x  2  x  arctan 2  k
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) Giải phương trình : 3sin2x - 5 3 sinxcosx – 6cos2x = 0
2) Giải phương trình : sin2x + (1  3)sin x cos x  3cos 2 x  0
3) Giải phương trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1
4) Giải phương trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0

2) Phương trình đẳng cấp thuần nhất bậc cao theo sin và côsin cùng một cung:
 Đây là loại phương trình được mở rộng từ PT đẳng cấp bậc hai dựa trên cơ sở sau:
+ Một biểu thức theo sinx hoặc cosx có bậc k có thể biến đổi thành một biểu thức theo sinx và cosx có
bậc k + 2n nhờ đẳng thức : sin 2 x  cos2 x  1. (k , n  N )
Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx. (sin2 x  cos2 x)  sin 3 x  sin x cos2 x (bậc 3).
Hoặc sinx = sinx. (sin2 x  cos2 x) 2  sin5 x  2 sin3 x cos2 x  sin x cos4 x (bậc 5).
+ Chú ý : i) Số 0 khơng có bậc. Một hằng số khác 0 có bậc là 0.
ii) Xác định bậc của mỗi hạng tử trong PTLG chứa sin và cơsin là khi chúng đã cùng một cung
( ví dụ với cung 3x thì sin3x có bậc 1, với cung 1x thì sin3x có bậc 3)
 Từ những ý tưởng trên ta có thể nêu định nghĩa về PTLG đẳng cấp bậc n theo sin và cơsin của cùng
một cung như sau:
“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx và cosx là PT có bậc các hạng tử hơn, kém nhau 2k, k  N ”
 Cách giải 1: ( tương tự đẳng cấp bậc 2)
(Cách giải này thường phát hiện được cách giải ngay từ ban đầu và có thuật tốn,
nhưng nhược điểm dài hơn cách giải thứ hai)
+Bước 1: Xét cosx = 0 có nghiệm đúng PT khơng. (nếu đúng ghi nhận kết quả)
k





k
 1 
2
+Bước 2: -Xét cosx  0. Chia hai vế PT cho cosn x và thay 
  1  tan x .
2
 cos x 
-Đặt ẩn phụ t = tanx và thu gọn thì được PT đa thức bậc n theo t.
-Giải tìm nghiệm t = t0 rồi giải PT tanx = t0 để tìm x.
 Cách giải 2 : (Biến đổi về PT tích theo sin và cơsin)
( Cách giải này thường ngắn gọn nhưng khơng định hướng được kết quả biến đổi. Đòi hỏi kỷ năng phân
tích đa thức thành nhân tử của mỗi học sinh).Khơng có thuật tốn như cách 1. Sau đây là một số ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình: tan x  sin x cos x  cos2 x (1)
Giải cách 1:

+ĐK: x 



 m .
2
+(1)  sin x  sin x cos2 x  cos3 x (*) (đẳng cấp bậc 3).
+cosx = 0 khơng nghiệm đúng PT. (vì  1  0 ; vơ lý)
+cosx  0, chia hai vế (*) cho cos3x được :
tan x(1  tan 2 x)  tan x  1  t 3  1  t  1  tan x  1  x  
Giải cách 2:
(*)  sin x(1  cos2 x)   cos3 x  sin3 x   cos3 x

7

(**)


4

 k (t = tanx)


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn


 k
4
Chú ý:Theo cách giải 2 đã nêu là biến đổi về PT tích nên tôi minh họa lại như sau:
(**)  sin 3 x  cos3 x  0  (sin x  cos x)(1  sin x cos x)  0  (sin x  cos x)(2  sin 2x)  0
tan 3 x  1  tan x  1  x  

 sin x  cos x  0  tan x  1  x  



4

 k

.

Ví dụ 2: Giải phương trình: cos3 x  sin x  cos x (2) (đẳng cấp bậc 3)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (2)
+ cosx  0, chia hai vế (2) cho cos3x được : 1  tan x(1  tan 2 x)  (1  tan x)
(với t = tanx )
 t (t 2  t  1)  0  t  0  tan x  0  x  k
Giải cách 2:
(2)  cos x(cos2 x  1)  sin x  cos x sin 2 x  sin x  0  sin x(sin x cos x  1)  0
 sin x(sin 2 x  2)  0  sin x  0  x  k

3 sin 3 x  2 cos3 x  sin 2 x cos x  2 cos x  0 (3)
(đẳng cấp bậc 3)

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Giải cách 1:
+ cosx = 0 không nghiệm đúng (3)
+ cosx  0, chia hai vế (3) cho cos3x được :
3 tan 3 x  2  tan 2 x  2(1  tan 2 x)  3t 3  3t 2  0  3t 2 (t  3 )  0

 x  k
t  0
 tan x  0



 x     k
t



3
tan
x


3


3

Giải cách 2:
(3)  3 sin 3 x  sin 2 x cos x  2 cos x(1  cos2 x)  0









 sin x( 3 sin x  cos x)  2 cos x sin 2 x  0  sin 2 x 3 sin x  3 cos x  0
2

 x  k
sin x  0
 x  k




 x     k
sin x  3 cos x  0
 tan x   3
3

4
2
2
4
Ví dụ 4 : Giaûi phöông trình 3cos x – 4sin xcos x + sin x = 0 (4) (đẳng cấp bậc 4)
Giải cách 1:
+ cosx = 0 thì sinx =  1 không nghiệm đúng ptrình . Vậy cosx  0
+ Chia hai vế (2) cho cos4x rồi đặt ẩn phụ t = tan2 x thì được:
t 2  4t  3  0  t  1  t  3
Giải cách 2:
(4)  (3 cos4 x  3sin 2 x cos2 x)  (sin2 x cos2 x  sin 4 x)  0
 3 cos2 x(cos2 x  sin 2 x)  sin 2 x(cos2 x  sin 2 x)  0
cos 2 x  0
 cos 2 x(3 cos2 x  sin 2 x)  0  
 tan x   3
Ví dụ 5: Giải phương trình : sin 6 x  cos6 x  cos2 2 x  sin x cos x (5)
Giải cách 1:
Nếu biến đổi : sin 6 x  cos6 x  (sin2 x  cos2 x)(sin4 x  cos4 x  sin 2 x cos2 x) =
= sin 4 x  cos4 x  sin 2 x cos2 x
Và biến đổi : cos2 2x  (cos2 x  sin 2 x) 2  cos4 x  sin 4 x  2 sin 2 x cos2 x
Thì PT (5)  sin 2 x cos2 x  sin x cos x  0 (*)
Khi đó PT (*) giải tiếp theo cách giải 1 hoặc cách giải 2 đã nêu trên là đơn giản
+ Nếu từ PT: sin 6 x  cos6 x  (cos2 x  sin 2 x) 2  sin x cos x (đẳng cấp bậc 6)
8

Gia s Thnh c

www.daythem.com.vn

Lm theo cỏch gii (1) sau bc 2 ó thu gn ta c phng trỡnh: (Vi t = tanx )
t 0
t 5 t 4 2t 3 t 2 t 0 4 3
2
t t 2t t 1 0 (5.1)
1 1
1 1

Khi ú PT (5.1) t 2 t 2 2 0 t 2 2 t 2 0 (5.2)
t t
t t

1
PT (5.2) t n ph u t thỡ c PT bc hai u 2 u 0 u 0 u 1.
t
Tr li vi n t thỡ cỏc PT ny vụ nghim.
+ Vi t = 0 tan x 0 x k .
Chỳ ý: Khi xột cosx = 0 thỡ nú nghim ỳng PT ng cp bc 6 nờn:

k
x k cng l nghim PT. Kt hp nghim thỡ c x =
. Phự hp vi mi cỏch gii.
2
2

BAỉI TAP TệễNG Tệẽ: Cú th gii li cỏc bi trong cỏc vớ d v bi tp tng t phõn PT a v PT bc
nht theo sin v cụsin cựng mt cung nh :
1) Giaỷi phửụng trỡnh sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
(ng cp bc 3)
2) Giaỷi phửụng trỡnh sin3x + cos3x + 2cosx = 0
(ng cp bc 3)
3
3) Giaỷi phửụng trỡnh sinx 4sin x + cosx = 0
(ng cp bc 3)
3
3
4) Giaỷi phửụng trỡnh : sin x cos x sinx cosx
(ng cp bc 3)
6
6
5) Giaỷi phửụng trỡnh : 8 sin x cos x 3 3 sin 4 x 2
(ng cp bc 6)





6) Gii phng trỡnh : 3 (cos3x sin x) sin 3x cos x
7) Giaỷi phửụng trỡnh : sin3 x cos3 x sinx cosx
8) Giaỷi phửụng trỡnh : 4 (sin 4 x cos 4 x) 3 sin 4 x 2

(ng cp bc 3)
(ng cp bc 3)
(ng cp bc 4)

9) Gii phng trỡnh :

3 (sin 3x cos x) cos 3x sin x (ng cp bc 3)
17
10) Giaỷi phửụng trỡnh : sin 8 x cos8 x cos 2 2 x
(ng cp bc 8)
16
11) Giaỷi phửụng trỡnh : sin 6 x cos6 x 2cos 2 x 1
(ng cp bc 6)
IV. Phng trỡnh cha tng (hoc hiu) v tớch ca sin v cụssin cựng mt cung:
1) Phng trỡnh cha tng v tớch (cũn gi l phng trỡnh i xng theo sin v cụsin)



Dng phng trỡnh: a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R) (1)



Cỏch gii : t t = sinx + cosx =



2 sin x t 2
4

2
t 1
t 2 1 2 sin x cos x sin x cos x
(*)

2
t 2 1
c 0 bt 2 2at 2c b 0 (1.1) .
(1) at b.
2
Gii phng trỡnh (1.1) chn nghim t = t0 tha món t 0 2 .

Thay giỏ tr t0 vo PT (*) v gii PT sin2x = t 02 1 tỡm x.
2) Phng trỡnh cha hiu v tớch ( cũn gi l phng trỡnh phn xng)


Dng phng trỡnh: a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R) (2)



Cỏch gii : t t = sinx - cosx =



2 sin x t 2
4

2
1 t
t 2 1 2 sin x cos x sin x cos x
(**)
2
9

Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

1 t 2
(1)  at  b.
 c  0  bt 2  2at  2c  b  0 (2.1) .
2
Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t 0  2 .
Thay giá trị t0 vào PT (**) và giải PT sin2x = 1- t 02 để tìm x.
Ví dụ 1: Giải phương trình sin x  cos x sin 2 x  12(cos x  sin x)  12 cos 2 x  0

(1)



Ví dụ 2: Giải phương trình 8 cos 2 x  3 sin 2 x sin x  3 sin 2 x cos x  7 2 sin x   (2)
4

3
2
Ví dụ 3: Giải phương trình sin x  sin x  2 cos x  2  0
(3)
2
2
Ví dụ 4: Giải phương trình sin x cos x  12(sin x  cos x  sin 2x)  sin x cos x  12 (4)
Ví dụ 5: Giải phương trình sin 2 x  sin x cos x  cos x  2 sin 2x(sin x  1)  1
(5)
Ví dụ 6: Giải phương trình (sin x cos x  1) cos 2 x  cos x  sin x  0
(1)

HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1: (1)  sin x  cos x sin 2 x  12(sin x  cos x)  12  0
(1a)
sin x  cos x  0

12(sin x  cos x)  sin 2 x  12  0 (1b)
(1a)  x 



4

 k

t  1
 t  1
(1b)  t 2  12t  13  0  
t  13
k
 t  1  sin 2 x  0  x 
2

+ Vậy (1) có 2 họ nghiệm là x 



t  sin x  cos x 

 k ; x 

4
Ví dụ 2: (2)  cos x  sin x 8(cos x  sin x)  3 sin 2 x  7  0
( 2a )
sin x  cos x  0

8(cos x  sin x)  3 sin 2 x  7  0 (2b)

k
2

(k  Z )



 k
4
(2b) : Đặt t = cos x  sin x ; ( t  2 )  t 2  1  sin 2 x  sin 2 x  1  t 2
(2a)  x  

t  2
2
 t   , thay t = -2/3 vào (*):
(2b)  3t  8t  4  0  
2
t  
3
3

1
5


x  arcsin  k

5
2
9
Sin2x =  
9
 x    arcsin 5  k
2
9

Ví dụ 3: (3)  (1  cos x)(sin x  cos x  sin x cos x  1)  0
 x  k 2
cos x  1


 x  k
sin
x

cos
x

sin
x
cos
x

1


0

2

Ví dụ 4: (4) 
2

10

(*)


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

 sin x  cos x sin x cos x  12(sin x  cos x)  12  0
sin x  cos x  0

sin x cos x  12(sin x  cos x)  12  0


x  4

 x  k
2

2
Ví dụ 5: (5)  sin x  1  (sin x cos x  cos x)  2 sin 2x(sin x  1)  0

 sin x  1sin x  1  cos xsin x  1  2 sin 2 x(sin x  1)  0
 sin x  1sin x  cos x  2 sin 2 x  1  0





sin x  1

sin x  cos x  2 sin 2 x  1  0





Ví dụ 6: (6)  sin x cos x  1 cos2 x  sin 2 x  cos x  sin x  0
 sin x cos x  1cos x  sin x cos x  sin x   cos x  sin x   0
 (cos x  sin x) sin x cos x  1cos x  sin x   1   0
(6 a )
cos x  sin x  0

(6b)
(sin x cos x  1)(cos x  sin x)  1  0



 k
4
(6b): Đặt t = sinx +cosx ( t  2 ) ; t 2  1  sin 2 x  sin 2 x  t 2  1 (*)
(6a)  x 

 t 2 1 
 1.t  1  0  t 3  3t  2  0  (t  1)(t 2  t  2)  0
(6b)  
 2

t  1
k

 t  1 thay vào (*) thì sin2x = 0  x 
2
t  2
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải các phương trình sau :


1) 2 sin 2 x(sin x  cos x  1)  2 cos x    2 .
4

1
2) sin 4 x  cos4 x  sin 4 x  sin x  cos x
2
3
2
3) cos x  cos x  2 sin x  2  0
4) 3  sin x 3  sin 2 x  8(2  cos x)
5) cos 2 x(1  sin x cos x)  cos x  sin x  0
6) sin 3 x  3 sin 2 x  6 cos x  6  0





D. PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM
2003-2009
(Không hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học)
Baøi 1:Giaûi caùc phöông trình sau :
sin 3x 

a) 4 sin 2 x 
; b) sin 2 2 x  cos2 3x  sin 2 x  cos2 4x
  3  cos 2 x
1  2 cos x 

1
c) sin 3x  4 cos 2 x  3 sin x  4  0
; d) sin 3x  cos 2 x  sin x  sin 2 2 x  1  0
2
6
6
2
2
1
4  sin x cos x
cos x  sin x  sin x cos x  sin x cos x

e)
 0 ; g) cos x. cot 2 x 
cos x
sin x
2 cos x  2

11


Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Baøi 2:Giaûi caùc phöông trình sau :
  

2 sin 4 x  cos4 x  2 sin x   cos x    3
4 
4

a)
0
2  2 sin x
b) sin x  cos xcot x  cos 2x. cos x  2 sin3 x  cos3 x  sin 2 x. cos x
c) 10 cos2 x  cos x  2  3(cos x  cos 2x).cot g 2 x









d) 2 cos x  3 2 sin x  cos x   sin 2 x  3 sin x
Baøi 3:Giaûi caùc phöông trình sau :

a) 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2x  sin3 x  cos3 x  0 ; b) 1  sin x  cos x. cot 2 x 
c) 1  (1  sin 2 x) cos x  sin 2x  sin x(1  cos2 x)
d) tan 2 x  2 tan x  cot 2 x  2 cot x  2  0

;

Baøi 4 : Giaûi caùc phöông trình :
8 sin 6 x  cos6 x sin x  cos x 
 sin 2 x  1  0
a)
4  3 sin 2 2 x
sin 6 x  cos6 x  sin 4 x  cos4 x  2 cos 2 x
0
c)
5 cos 2 x  3
e) 1  (1  sin 2 x) cos x  sin 2x  sin x(1  cos2 x)



1
tan 2 x



; b) sin 2 3x. cos 2x  sin 2 x  0
; d) sin x. tan x  sin 2 x  tan x
; g) 2 cos2 x  cos x  1  cos 7 x

Baøi 5 : Giaûi caùc phöông trình :
2

a) (1  sin x) cos x  (1  cos x) sin x  sin 2x  1
2

2

c) 3 cos x(1  cos 2x)  2 sin 2x  sin x  cos 2x  0
1
1
5 

d)

 4 cos x 


4 

 3


cos x   sin
 x
2

 2

e) 3 cos x(1  cos 2x)  2 sin 2x  sin x  cos 2x  0

x

x

; b)  sin  cos   3 cos x  1  2
2
 2
;

f) sin 3 x  3 cos3 x  cos 2x  sin x cos2 x  3 sin 2 x cos x
Bài 6: a) Giải phương trình
b) Giải phương trình :
c) Giải phương trình

1  2 cos x sin x
(1  2 cos x)(1  cos x)

 3

2 cos x  2 cos3 x  3 sin 3 x
 cos x  2
cos 2 x
3 cos 3 x  4 sin x cos2 x
 3
cos x

12