chuyên đề hình học oxyz phần tọa độ không gian luyện thi đại học

Gia sư Thành Được

www.daythem.com.vn

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG
b) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C.
CMR: ABC là tam giác đều.
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0)
0

Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 30 .
Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

2 x  y  3z  5  0
2 x  2 y  3z  17  0
(d1 ) : 
và (d 2 ) : 
x  2 y  z  0
2 x  y  2 z  3  0
Lập phương trình mặt phẳng đi qua (d1 ) và song song với (d 2 ) .
Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

 x  5  2t

(d1 ) :  y  1  t
z  5  t


x  y  z  7  0
và (d 2 ) : 

2 x  3 y  z  16  0

Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1 ) và (d2 )
Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d):

2 x  y  z  5  0
(
d
)
:

( P) : x  y  z  7  0 ;
2 x  z  3  0
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P).
Bài 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0
và 2 đường thẳng:


(d1 ) :

x
y  3 z 1
x 4 y z 3


và (d 2 ) :
 
1
2
3

1
1
2

a) CM: (d1 ) và (d2 ) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P) cắt cả (d1 ) và (d2 ) .
Bài 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

(d1 ) :

x y 1 z


1
2
1

3x  z  1  0
và (d 2 ) : 
2 x  y  1  0

a) CM: (d1 ) và (d2 ) chéo nhau.
b) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả (d1 ),(d2 ) và song song với

( ) :

x4 y 7 z 3


1

4
2

Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng (d1 ),(d2 ) và mặt
phẳng (P) có phương trình:

(d1 ) :

x 1 y 1 z  2


2
3
1

và (d 2 ) :

x2 y2 z


1
5
2

( P) : 2 x  y  5z  1  0
a) CM:. (d1 ) và (d2 ) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng.
b) Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với (P), cắt cả (d1 ),(d2 ) .
Bài 9: Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp ( ) :2 x  y  2 z  15  0 và điểm J(-1;-2;1). Gọi I
là điểm đối xứng của J qua ( ) . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( )
theo một đường tròn có chu vi là 8π.

Bài 10: Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có
phương trình lần lượt là:
(P): x+2y-4=0 và

(Q): x+2y+6=0

Bài 11: Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0)


1
2

1 1
2 2

Và mặt cầu (S’) đi qua 4 điểm: A '( ;0;0), B '(0; ; ), C '(1;1;0), D '(0;1;1) .
Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu đó.
Bài 12: Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 đường thẳng có PT:

x  t
 x  5  2s


(d1 ) :  y  t và (d 2 ) :  y  2
z  0
z  s


Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d1 và I cách d2 một khoảng bằng 3. Biết
rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5.

Bài 13: Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 điểm: A(0;-1;1) và B( 1;2;1) .
Viết PT mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và
đường thẳng chứ trục Ox.

ƯỚNG DẪN GI I
Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm G(1;1;1)
c) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua G và vuông góc với OG
d) Mặt phẳng (P) ở câu (1) cắt các trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C.
CMR: ABC là tam giác đều.
Giải:

a) Do OG  ( P) nên n( P )  OG  (1;1;1;)

 ( P) :1( x  1)  1( y  1)  1( z  1)  0 hay ( P) : x  y  z  3  0
y  0
b) Vì Ox : 
 A(3;0;0)
z

0

Tương tự : B(0;3;0) và C (0;3;0)
Ta có: AB=BC=CA=3 2  ABC là tam giác đều
Bài 2: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 điểm I( 0;0;1) và K( 3;0;0)


0

Viết phương trình mặt phẳng qua I, K và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc bằng 30 .
Giải:

Giả sử mặt phẳng cần có dạng :

( ) :

x y z
   1(a, b, c  0)
a b c
x y z
  1
3 b 1
n( ) .n( xOy )
3 2
 (0; 0;1)  cos300 
b
2
n( ) . n( xOy )

Do I  ( )  c  1 và do K  ( )  a  3  ( ) :
1 1
 n( )  ( ; ;1) và
3 b
 ( ) :

n( xOy )

x
y
z

 1

3 3 2 1
2

Bài 3: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

2 x  y  3z  5  0
2 x  2 y  3z  17  0
(d1 ) : 
và (d 2 ) : 
x  2 y  z  0
2 x  y  2 z  3  0
Lập phương trình mặt phẳng đi qua (d1 ) và song song với (d 2 ) .
Giải:

Do u ( d1 )  (1; 1; 1); u ( d2 )  (1; 2; 2)  n(Q )  u ( d1 ) .u ( d2 )   (4; 3; 1)
Hay n(Q )  (4;3;1)
Mặt khác:

I (2; 1;0)  d1 ; J (0; 25;11)  d 2
 (Q) : 4( x  2)  3( y  1)  z  0 hay (Q) : 4 x  3 y  z  5  0
Bài 4: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình:

 x  5  2t

(d1 ) :  y  1  t
z  5  t


x  y  z  7  0
và (d 2 ) : 

2 x  3 y  z  16  0

Viết phương trình mặt phẳng chứa (d1 ) và (d2 )


Giải:
Giả sử mặt phẳng cần lập là (Q) ta có:

M (5;1;5)  d1; N (5; 2;0)  d 2  MN  (0;1; 5)
và n(Q )  u ( d1 ) .MN   (0;1; 5)  (Q) : 3( x  5)  5( y  1)  z  5  0
hay (Q) : 3x  5 y  z  25  0
Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d):

2 x  y  z  5  0
( P) : x  y  z  7  0 ; (d ) : 2 x  z  3  0

Giải:
Đường thẳng (d ) cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q)
chứa (d) và có VTCP là n ( P )

Ta có : u ( d )  (1; 4; 2) và M(-2;0;-1)  (d)  n(Q )  u ( d ). n( P )   (6; 1; 5)
 (Q) : 6( x  2)  y  5( z  1)  0 hay 6 x  y  5 z  7  0
6 x  y  5 z  7  0
 Hình hình chiêu (d ) : 
x  y  z  7  0
Bài 6: Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng(P) : 4x-3y+11z-26=0
và 2 đường thẳng:

(d1 ) :

x
y  3 z 1
x 4 y z 3


và (d 2 ) :
 
1
2
3
1
1
2

c) CM: (d1 ) và (d2 ) chéo nhau.
d) Viết phương trình đường thẳng  nằm trong (P) cắt cả (d1 ) và (d2 ) .
Giải:

a) Ta có : u ( d1 )  (1;2;3) u ( d2 )  (1;1;2)và M1 (0;3; 1)   d1  ; M 2 (4;0;3)   d 2 
 M1M 2  (4; 3;4)  u ( d1 ) .u ( d2 )  .M1M 2  23  0   d1  và  d 2  chéo nhau


d1  ( P)  A  A(2;7;5) và d 2  ( P)  B  B(3; 1;1)

b) GS

 KQ : ( AB) :

x  2 y 7 z 5



5
8
4

Bài 7: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng có phương trình

(d1 ) :

x y 1 z


1
2
1

3x  z  1  0
và (d 2 ) : 
2 x  y  1  0

c) CM: (d1 ) và (d2 ) chéo nhau.
d) Viết phương trình đường thẳng d cắt cả (d1 ),(d2 ) và song song với

( ) :

x4 y 7 z 3


1
4

2
Giải:

a) Ta có : u ( d1 )  (1; 2;1) ; u ( d2 )  (1; 2;3)và M1 (0; 1;0)   d1  ; M 2 (0;1;1)   d 2 
 M1M 2  (0; 2;1)  u ( d1 ) .u ( d2 )  .M1M 2  8  0   d1  và  d 2  chéo nhau
b) GS d1  d  A  A(t1 ; 1  2t1; t1 ) và d 2  d  B  B(t2 ;1  2t2 ;1  3t2 )
 AB  (t2  t1 ; 2  2t1  2t2 ;1  3t2  t1 )
t2  t1 1  t1  t2 t1  3t2  1


1
2
2
 t1  2; t2  1  A  2;3; 2  : B 1; 1; 4 
Do d song song   u (  )  AB 

 KQ : (d ) :

x4 y 7 z 3


1
4
2

Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng (d1 ),(d2 ) và mặt phẳng (P) có
phương trình:

(d1 ) :

x 1 y 1 z  2


2
3
1

và (d 2 ) :

x2 y2 z


1
5
2

( P) : 2 x  y  5z  1  0
a) CM:. (d1 ) và (d2 ) chéo nhau và tính khoảng cách giữa chúng.
b) Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với (P), cắt cả (d1 ),(d2 ) .


Giải:

a) Ta có : u ( d1 )  (2;3;1) ; u ( d2 )  (1;5; 2) và M1 (1;1; 2)   d1  ; M 2 (2; 2;0)   d 2 
 M1M 2  (3; 3; 2)  u ( d1 ) .u ( d2 )  .M1M 2  62  0   d1  và  d2  chéo nhau

u1.u 2  .MN
62



Ta có : d (d1  d 2 ) 

195
u1.u 2 


b) GS d1    A  A(2t1  1;3t1  1; t1  2) và d 2    B
 B(t2  2;5t2  2; 2t2 )  AB  (t2  2t1  3;5t2  3t1  3; 2t2  t1  2)
Do   ( P)  (2; 1; 5)  n( P )  AB 
 KQ : () :

t2  2t1  3 5t2  3t1  3 2t2  t1  2


2
1
5

x 1 y  4 z  3


2
1
5

Bài 9:Trong hệ trục tọa độ Oxyz cho mp ( ) :2 x  y  2 z  15  0 và điểm J(-1;-2;1). Gọi I là
điểm đối xứng của J qua ( ) . Viết phương trình mặt cầu tâm I, biết nó cắt ( ) theo một đường
tròn có chu vi là 8π.
Giải:
Gọi I(a;b;c) ta có:

IJ  (a  1; b  2; c  1). Do IJ  n ( ) 

a  1 b  2 c  1 a  2b  3



2
1
2
c  2b  3

Nhưng trung điểm M của IJ lại nằm trên ( ) nên ta có : b= -4 và I (-5;-4;5)
Ta tính được khoảng cách từ I đến ( ) là IO’=3.
Vì C=2πR0=8π nên R0=4 . => R  IA IO '2  AO '2  42  32  5
Vậy:

(C) :( x  5)2  ( y  4)2  ( z  5)2  25

Bài 10:
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu đi qua gốc tọa độ và tiếp xúc với 2 mặt phẳng có phương
trình lần lượt là:
(P): x+2y-4=0 và

(Q): x+2y+6=0
Giải:

Ta nhận thấy (P) song song với (Q) nên 2R= d( (P), (Q)).


Lấy M(0;2;0) thuộc (P) ta có: d( (P), (Q))= d( M, (Q)) = 2 5  R  5 .

Lúc này PT mặt cầu có dạng: (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=5
Vì C đi qua O(0;0;0) nên: a2  b2  c2  5  I  (S ) : x2  y 2  z 2  5
Mặt khác: Mặt phẳng song song và cách đều (P) và (Q) có PT:
(α):

( x  2 y  4)  ( x  2 y  6)
 x  2 y 1  0
2

x  2 y 1  0
 I  ( )
 I  ( )  ( S ) :  2
Do 
( Cố định )
2
2
 I  (S )
x  y  z  5

Bài 11:Trong KG cho mặt cầu (S) đi qua 4 điểm: A(0;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1), D(0;1;0)
1
2

1 1
2 2

Và mặt cầu (S’) đi qua 4 điểm: A '( ;0;0), B '(0; ; ), C '(1;1;0), D '(0;1;1) .
Tìm độ dài bán kính đường tròn giao tuyến của 2 mặt cầu đó.
Giải:
Lần lượt ta lập các PT mặt cầu với dạng tổng quát chung là:

x2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
 Với

(S)

ta

có:

1  2c  d  0
1  2a  d  0
1

 a  b  c   ; d  0  x 2  y 2  z 2  x  y  z  0(1)

2
1  2b  d  0
3  2a  2b  2c  d  0
1
4  a  d  0

7
1
7
1
7
1
2
2

2
 Với (S’)  2  b  c  d  0  a  c  ; b  ; d  2  x  y  z  x  y  z  2  0(2)
4
4
2
2
2

2  2a  2b  d  0
2  2b  2c  d  0


Từ (1) và (2) ta thấy mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến có PT:

( ) : 9 x  y  9 z  4  0
Vậy PT đường tròn giao tuyến cần tìm là:
 9x  y  9z  4  0

(C ) : 
1 2
1 2
1 2 3
( x  2 )  ( y  2 )  ( z  2 )  4


Bài 12:Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 đường thẳng có PT:

x  t
 x  5  2s



(d1 ) :  y  t và (d 2 ) :  y  2
z  0
z  s


Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d1 và I cách d2 một khoảng bằng 3. Biết
rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng 5.
Giải:
Vì I thuộc d1 nên I( t;-t;0)

u.IM 
u d2  (2;0;1)


(d 2 ) có 
 IM  (5  t; t  2;0)  d ( I  d 2 ) 
u
Qua M (5; 2;0)
u.IM   (t  2;5  t; 2t  4)  d ( I  d 2 ) 



6t 2  30t  45
3
5

t  0  I (0;0;0)

t  5  I (5; 5;0)

Vậy có 2 PT mặt cầu thõa mãn đk bài toán là:

( S1 ) : x 2  y 2  z 2  25
( S2 ) : ( x  5) 2  ( y  5) 2  z 2  25
Bài 13:Trong hệ trục TĐ Oxyz cho 2 điểm: A(0;-1;1) và B( 1;2;1) .
Viết PT mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của đường thẳng AD và
đường thẳng chứ trục Ox.
Giải:
Lập PT đường thẳng đi qua AB ta có:

x  t

( AB) :  y  1  3t
z  1


Gọi M (t;3t  1;1)  ( AB)

Và N(s;0s0) thuộc Ox  MN  (t  s;3t  1;1) .
 MN  AB
1
Sử dụng : 
Ta tìm được t  s  .
3
 MN  Ox


1
3

1
3

1
3

1
2

Ta tìm được : M ( ;0;1), N ( ;0;0)  O( ;0; ) là trung điểm của MN.
Và R 
Vậy:

MN 1
 .
2
2

1
1
( x  3)2  y 2  ( z  )2 
2
4

…………………. ết…………………