CÁC DẠNG BÀI TẬP HAY KHÓ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG OXY CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT

Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

LUYỆN TẬP VỀ HÌNH VUÔNG, HÌNH CHỮ NHẬT
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Bài 1: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (C):
( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 10 . Xác định toạ độ các đỉnh A, C của hình vuông, biết cạnh AB đi qua điểm M(–3; –2)
và điểm A có hoành độ xA > 0.
Lời giải :

• (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R = 10 .
PT AB đi qua M(–3; –2) có dạng ax + by + 3a + 2b = 0 (a2 + b2 ≠ 0) .
Ta có d ( I , AB) = R ⇔ 10 =

2a + 3b + 3a + 2b

 a = −3b
.
⇔ 10(a2 + b2 ) = 25(a + b)2 ⇔ 
 b = −3a

a2 + b 2
• Với a = −3b ⇒ AB: 3 x − y + 7 = 0 . Gọi A(t;3t + 7),(t > 0) .

Ta có IA = R 2 ⇒ t = 0; t = −2 (không thoả mãn).
• Với b = −3a ⇒ AB: x − 3y − 3 = 0 . Gọi A(3t + 3; t ), (t > −1) .
t = 1
Ta có IA = R 2 ⇒ 
⇒ A(6; 1) ⇒ C(–2; 5).

 t = −1 (loaïi)
Bài 2: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(−2;6) , đỉnh B thuộc
đường thẳng d : x − 2 y + 6 = 0 . Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên 2 cạnh BC, CD sao cho BM = CN. Xác
 2 14 
định tọa độ đỉnh C, biết rằng AM cắt BN tại điểm I  ;  .
5 5 
Lời giải :
Giả sử B(2 y − 6; y ) ∈ d .
Ta thấy ∆ AMB = ∆BNC ⇒ AI ⊥ BI ⇒ IA.IB = 0 ⇒ y = 4 ⇒ B(2; 4)
Phương trình BC : 2 x − y = 0 ⇒ C (c;2c) , AB = 2 5, BC = (c − 2)2 + (2c − 4)2
AB = BC ⇒ c − 2 = 2 ⇒ C (0; 0); C (4;8)
Vì I nằm trong hình vuông nên I , C cùng phía với đường thẳng AB ⇒ C(0;0) .

Bài 3: [ĐVH]. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của BC, phương
trình đường thẳng DM : x − y − 2 = 0 , đỉnh C(3; −3) , đỉnh A nằm trên đường thẳng d : 3 x + y − 2 = 0 . Xác
định toạ độ các đỉnh còn lại của hình vuông đó.
Lời giải :
4t − 4 2.4
t = 3
Giả sử A(t;2 − 3t ) ∈ d . Ta có: d ( A, DM ) = 2d (C , DM ) ⇔
=
⇔ 
.
 t = −1
2
2
⇒ A(3; −7) hoặc A(−1;5) . Mặt khác, A và C nằm về hai phía đối với DM nên chỉ có A(−1;5) thoả mãn.
Gọi D(m; m − 2) ∈ DM ⇒ AD = (m + 1; m − 7) , CD = (m − 3; m + 1) .

(m + 1)(m − 3) + (m − 7)(m + 1) = 0


ABCD là hình vuông nên  DA.DC = 0 ⇔ 
2
2
2
2 ⇔m=5
 DA = DC
(m + 1) + (m − 7) = (m − 3) + (m + 1)
⇒ D(5;3) ; AB = DC ⇒ B(−3; −1) .
Vậy: A(−1;5) , B(−3; −1) , D(5;3) .
Chương trình Luyện thi PRO–S 2017: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Bài 4: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) = 10 . Tìm tọa độ các đỉnh của
2

2

hình vuông MNPQ, biết M trùng với tâm của đường tròn ( C ) ; hai đỉnh N, Q thuộc đường tròn ( C ) ; đường
thẳng PQ đi qua điểm E ( −3;6 ) và xQ > 0

Lời giải :
Do M trùng với tâm của đường tròn ⇒ M ( 2;1) và EQ là tiếp tuyến của ( C )

Khi đó phương trình EQ có dạng: a ( x + 3) + b ( y − 6 ) = 0 ⇔ ax + by + 3a − 6b = 0
 a = 3b

2
= 10 ⇔ 5 ( a − b ) = 2 ( a 2 + b 2 ) ⇔ 
a +b
b = 3a
• a = 3b → phương trình EQ là: 3 x + y + 3 = 0 . Khi đó đỉnh Q là nghiệm của hệ:
( x − 2 )2 + ( y − 1)2 = 10
 x = −1
⇔
( L ) Vì xQ > 0

y = 0
3 x + y + 3 = 0
• b = 3a → phương trình EQ: x + 3 y − 15 = 0 . Khi đó đỉnh Q là nghiệm của hệ:
2
2
x = 3
( x − 2 ) + ( y − 1) = 10
⇔
⇒ Q ( 3; 4 )

y = 4
 x + 3 y − 15 = 0
Do E ∈ PQ ⇒ P ∈ EQ : x + 3 y − 15 = 0 ⇒ P (15 − 3x; x ) .

Ta có: d ( M ; EQ ) = R = 10 ⇔

5a − 5b
2

2

 x = 3  P ( 6;3)
2
2
Mà PQ = MQ ⇔ (12 − 3 x ) + ( 4 − x ) = 10 ⇔ x 2 − 8 x + 15 = 0 ⇔ 
⇒
 x = 5  P ( 0;5 )
Với P ( 6;3) ; M ( 2;1) ⇒ tâm của hình vuông là I ( 4; 2 ) . Mà Q ( 3; 4 ) ⇒ N ( 5;0 )

Với P ( 0;5 ) ; M ( 2;1) ⇒ tâm của hình vuông là I (1;3) . Mà Q ( 3; 4 ) ⇒ N ( −1; 2 )
Vậy có 2 bộ điểm các đỉnh hình vuông MNPQ thỏa mãn yêu cầu đề bài:
M ( 2;1) , N ( 5;0 ) , P ( 6;3) , Q ( 3; 4 ) và M ( 2;1) , N ( −1; 2 ) , P ( 0;5) , Q ( 3;4 )
Bài 5: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có các đường thẳng AB, AD
lần lượt đi qua các điểm M (2;3), N (−1;2) . Hãy lập phương trình các đường thẳng BC và CD, biết rằng hình
5 3
chữ nhật ABCD có tâm là I  ;  và độ dài đường chéo AC bằng
2 2
Lời giải :

26 .

Giả sử đường thẳng AB có VTPT là nAB = (a; b) (a2 + b2 ≠ 0) , do AD vuông góc với AB nên đường thẳng
AD có vtpt là nAD = (b; − a) .

Do đó phương trình AB, AD lần lượt là AB : a( x − 2) + b( y − 3) = 0; AD : b( x + 1) − a( y − 2) = 0 .
Ta có AD = 2d ( I ; AB) =

a − 3b
a2 + b2

; AB = 2d ( I ; AD ) =

7b + a
a2 + b2

 a = −b
⇔ 3a2 − ab − 4b2 = 0 ⇔ 
4b
a =
a2 + b2
3

Gọi M', N' lần lượt là điểm đối xứng của M, N qua I suy ra M ′(3; 0) ∈ (CD ), N ′(6;1) ∈ ( BC )
Do đó: AC 2 = AB 2 + AD 2 ⇔ 26 =

(a − 3b)2 + (7b + a)2

+) Nếu a = − b , chọn a = 1, b = −1 suy ra nAB = (1; −1), nAD = (1;1)
PT đường thẳng CD có VTPT là nAB = (1; −1) và đi qua điểm M ′(3;0) : (CD) : x − y − 3 = 0
PT đường thẳng BC có VTPT là nAD = (1;1) và đi qua điểm N ′(6;1) : (BC ) : x + y − 7 = 0
+) Nếu a =

4b
, chọn a = 4, b = 3 suy ra nAB = (4;3), nAD = (3; −4)
3

Chương trình Luyện thi PRO–S 2017: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

PT đường thẳng CD có VTPT là nAB = (4;3) và đi qua điểm M ′(3;0) : (CD ) : 4 x + 3y − 12 = 0
PT đường thẳng BC có VTPT là nAD = (3; −4) và đi qua điểm N ′(6;1) : ( BC ) : 3 x − 4 y − 14 = 0

Vậy: (BC ) : x + y − 7 = 0 , (CD) : x − y − 3 = 0 hoặc ( BC ) : 3 x − 4 y − 14 = 0 , (CD ) : 4 x + 3y − 12 = 0 .
Bài 6: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm
9 3
I  ;  và trung điểm M của cạnh AD là giao điểm của đường thẳng d: x − y − 3 = 0 với trục Ox. Xác định
2 2
toạ độ của các điểm A, B, C, D biết y A > 0
Lời giải :
x − y − 3 = 0 x = 3
⇒
⇒ M ( 3;0 )
Theo bài, suy ra tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: 
y = 0
y = 0
3
Từ đó ta tính được: MI =
⇒ AB = 2 MI = 3 2
2
Mà: S ABCD = AB. AD = 12 ⇒ AD = 2 2 ⇒ AM = 2
Ta có: MI = (1;1) chính là vecto pháp tuyến của AD, M ( 3;0 ) ∈ AD ⇒ pt AD : x + y − 3 = 0
a = 4 ( L )
2
2
Giả sử: A ( a;3 − a ) ( a < 3 do y A > 0 ) ⇒ AM 2 = 2 ( a − 3) = 2 ⇔ ( a − 3) = 1 ⇔ 
a = 2

Vậy ⇒ A ( 2;1) ,M là trung điểm của AD ⇒ D ( 4; −1)

Mặt khác I là tâm hình chữ nhật, có tọa độ A và D nên dễ dàng tìm được tọa độ 2 điểm: B ( 5;4 ) , C ( 7; 2 )

Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là: ⇒ A ( 2;1) , B ( 5; 4 ) , C ( 7; 2 ) , D ( 4; −1)

Bài 7: [ĐVH]. Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tọa độ đỉnh D (1;1) và diện tích bằng 6.
Phân giác trong góc A có phương trình: x − y + 2 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh B của hình chữ nhật biết điểm A có
tung độ nhỏ hơn 3.
Lời giải :
Gọi E là điểm đối xứng của D qua đường phân giác ( d ) x − y + 2 = 0 thì điểm E thuộc AB
Khi đó phương trình DE dạng: DE : x + y + m = 0 . Mà D ∈ DE ⇒ pt DE : x + y − 2 = 0
x + y − 2 = 0 x = 0
Giả sử I = ( d ) ∩ DE ⇒ tọa độ I là nghiệm của hệ: 
⇒
⇒ I ( 0; 2 ) ⇒ E ( −1;3)
x − y + 2 = 0  y = 2
2
⇒ ID = 2, đường tròn ( C ) tâm I bán kính R = ID = 2 có phương trình: x 2 + ( y − 2 ) = 2
2
2
 x = −1
 x + ( y − 2 ) = 2
Vậy tọa độ A là nghiệm của hệ: 
⇔
⇒ A ( −1;1)( do y A < 3)
y =1
 x − y + 2 = 0

Suy ra ⇒ AE = ( 0; 2 ) ⇒ nAE = nAB = ( 2;0 ) , và A ∈ AB → pt AB : x + 1 = 0 ⇒ B ( −1; b )

 B ( −1; 4 )
b = 4
2
Tính được: AD = 2 , mà S ABCD = 6 ⇒ AB = 3 ⇔ ( b − 1) = 9 ⇔ 
⇒
b = −2  B ( −1; −2 )
Vậy có 2 tọa độ điểm B thõa mãn yêu cầu đề bài là: B ( −1; 4 ) ∨ B ( −1; −2 )

Bài 8: [ĐVH]. (Trích đề thi ĐH khối A năm 2009)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6; 2) là giao điểm của hai đường
chéo AC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆: x
+ y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB.

Đ/s: (AB): y − 5 = 0; x − 4y + 19 = 0.
Chương trình Luyện thi PRO–S 2017: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!


Khóa học CHINH PHỤC ĐIỂM 8-9 MÔN TOÁN – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

FB: LyHung95

Bài 9: [ĐVH]. Trong mặt phẳng tọa độ cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao của hai
đường thẳng d: x – y – 3 = 0 và d’: x + y – 6 = 0. Trung điểm một cạnh là giao điểm của d với tia Ox. Tìm
tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
Đ/s: Tọa độ các đỉnh là (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; –1)
Bài 10: [ĐVH]. Cho hình chữ nhật ABCD có D(–1; 3), đường thẳng chứa phân giác trong góc A là
x − y + 6 = 0. Tìm tọa độ B biết x A = y A và dt(ABCD) = 18.

Đ/s: B ( −3; −12 )

Bài 11: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD, tâm I ( −1; 2 )
Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua M ( −1;5 ) , đường thẳng chứa CD đi qua N ( 2;3) . Viết pt cạnh BC.
Đ/s: BC : 3 x + 4 y − 23 = 0
Bài 12: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B (1; −2 ) . Trọng tâm
tam giác ABC nằm trên đường thẳng d : 2 x − y − 2 = 0 và N (5; 6) là trung điểm cạnh CD. Tìm tọa độ các

đỉnh của hình chữ nhật đã cho.
Đ/s: A ( −3; 2 ) , B ( 2;10 ) , C ( 7; 4 ) , D ( 3;8)
Bài 13: [ĐVH]. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 2 2 , điểm

M ( 0;1) là trung điểm của BC, N là trung điểm CD. Biết AN : 2 2 x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ điểm A.
Đ/s: A

(

 2 8
2; 0 , A 
; 
 3 3

)

Thầy Đặng Việt Hùng

Chương trình Luyện thi PRO–S 2017: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!