CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ BỘ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (CÓ LỜI GIẢI)

Tài li u ôn thi i H c hay và chi ti t nh tệ Đạ ọ ế ấ
CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ BỘ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC(CÓ L ỜI GIẢI )
Lo¹i 1. Biện luận theo k
1. sin (πcosx) = 1
2. cos(8sinx) = -1
3. tan(πcosx ) = cot(π sinx)
4. cos(πsinx) = cos(3πsinx)
5. tan(π cosx) = tan(2π cosx)
6. sinx
2
=
1
2
8. cot(x
2
+ 4x + 3) = cot6
9. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
cos
22
)1(cos += xx
ππ
10. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
sin
)2(sin
22
xxx
+=
ππ
11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt
cos
0sin)2/12(

22
=−−+
xxx
ππ
Lo¹i 2. Công thức hạ bậc
1. 4cos
2
(2x - 1) = 1
2. 2sin
2
(x + 1) = 1
3. cos
2
3x + sin
2
4x = 1
4. sin(1 - x) =
2
3

5. 2cosx + 1 = 0
6. tan
2
(2x –
3
π
) = 2
7. cos
2
(x –

5
π
) = sin
2
(2x +
4
5
π
)
Lo¹i 3. Công thức cộng, biến đổi
1. sin2x + cos2x =
2
sin3x
2. cos3x – sinx =
3
(cosx –sin3x )
3.
05cos
2
1
5sin
2
3
)3
2
cos( =++− xxx
π
4. sin3x =
2
cos(x – π /5) + cos3x

5. sin(x + π /4) + cos(x + π /4) =
2
cos7x
6. Tìm tất cả các nghiệm x
);
2
3
(
π
π
−∈
của pt: sinxcos
8
π
+ cosxsin
8
π
=
1
2
Lo¹i 4. Bài toán biện luận theo m
1. Giải và biện luận
2sin(1-2x) = m
2. 3cos
2
3x = m
3. sin3x + cos3x = m
4. m.sin
2
2x + cos4x = m

5. Giải và biện luận
sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x
6. Giải và biện luận
(3m + 5).sin(x + π/2) = (2m + 3)cosx -m
7. Giải và biện luận
cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x
8. Cho pt sin
4
x + cos
4
x = m
a) Xác định m để pt có nghiệm
b) Giải pt với m = ¾
1
Tài li u ôn thi i H c hay và chi ti t nh tệ Đạ ọ ế ấ
Lo¹i 5. Tổng hợp
1. cos
2
2x – sin
2
8x = sin(
x10
2
17
+
π
)
2. sin
2
3x – cos

2
4x = sin
2
5x – cos
2
6x
3.
x
x
x
cos2
sin1
2sin
−=
+
4.
xxx 4sin
2
2sin
1
cos
1
=+
5. Tìm tất cả các nghiệm x
)3;
2
(
π
π
∈

của pt:
sin(2x +
)
2
7
cos(3)
2
5
ππ
−−
x
= 1 + 2sinx
6. Giải pt:
4sin
3
xcos3x +4cos
3
xsin3x + 3
3
cos4x = 3
7.
)
8
(cos2)
8
cos()
8
sin(32
2
πππ

−+−−
xxx

=
x))
3
x)cos(-
3
cos(x(sin43
2
+++
ππ
8. 4sin
3
2x + 6sin
2
x = 3
9. Tìm nghiệm nguyên của pt:
1)80016093(
8
cos
2
=






++−

xxx
π
D¹ng 2: Ph ¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè
l îng gi¸c
1/
2cos2x - 4cosx =1
sinx 0





≥
2/ 4sin
3
x + 3
2
sin2x = 8sinx
3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/
1-5sinx + 2cosx = 0
cosx 0





≥

5/ Cho 3sin
3

x - 3cos
2
x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) vµ cos
2
x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2)
T×m n
0
cña (1) ®ång thêi lµ n
0
cña (2) ( nghiÖm chung sinx =
1
3
)
6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx +
3
cotx
- 2 = 0
b /
2
4
cos x
+ tanx = 7 c

/

sin
6
x + cos
4
x = cos2x

8/ sin(
5π
2x +
2
) - 3cos(
7
2
x
π
−
) = 1 + 2sinx
9/
2
sin x-2sinx + 2 = 2sinx -1
10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0
11/ tanx + cotx = 4 12/
2 4
sin 2x +4cos 2x -1
= 0
2sinxcosx
13/
sin 1 cos 0x x
+ + =
14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0
2
Ti li u ụn thi i H c hay v chi ti t nh t
15/
2 4
4sin 2 6sin 9 3cos2
0

cos
x x x
x
+
=
16/ 2cosx -
sinx
= 1
17.
4 4
1
sin x co s x
2
+ =
18.
4 4
sin x co s x cos2x+ =
19.
4 4
x
4 4
1
sin x sin


+
ữ

+ =
20.

2 2 2
2 2 3
sin x sin x sin x
3 3 2

ữ ữ


+ + + =
21.
( )
6 6 4 4
5
sin x cos x sin x co s x
6
+ = +
22.
6 6
1
2
sin x cos x sinxcosx 0+ + =
23.
4 4 4 4
4sin x co s x sin x cos 4x+ = +
24.
( )
24 4 2
1
2
sin x cos x sin xcos x sinxcosx+ = +

25.
3 3
2
cos xcos3x sin xsin3x=
4
+
25.
3 3 3
cos 4x cos xcos3x sin xsin3x= +
Dạng 3: Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng:
2. Ph ơng pháp:
Đăc
biệt :
1.

sinx + 3cosx = 2sin(x + ) = 2cos(x - )
3 6
2.
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x x x

= =
m
3.

sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + )
3 6
giải phơng trình:

1.
3cosx sinx 2 =
, 2.
cosx 3sinx 1
=
3
a.sinx b.cosx c+ =
Cách 1: asinx + bcosx = c
Đặt cosx=
2 2
a
a +b
; sinx=
2 2
b
a + b
2 2
a + b sin(x +) = c

Cách 2:
b
a sinx + cosx = c
a



Đặt
b
= tan a sinx +cosx.tan = c
a

c
sin(x +) = cos
a

Cách 3: Đặt
x
t = tan
2
ta có
2
2 2
2t 1- t
sinx = ; cosx =
1+ t 1+ t
2
(b+c)t -2at -b+c = 0

Chú ý: Điều kiện PT có nghiệm:
2 2 2
a + b c

Ti li u ụn thi i H c hay v chi ti t nh t
3.
3
3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x
= +
, 4.

4 4
1
sin x cos (x )
4 4

+ + =
5.
3(1 cos2 )
cos
2sin

=
x
x
x
, 6.
2
1
sin 2 sin
2
+ =x x

7.
1
3sinx +cosx =
cosx
8.
tan 3cot 4(sin 3cos )
= +
x x x x

9.
cos7x - 3sin7x + 2 = 0
;
2 6
x ( ; )
5 7

10. 2sin15x +
3
cos5x + sin5x = 0 (4)
2.
6
11. sinx +3cosx + = 6
4sinx +3cosx +1
12.
1
3sinx +cosx = 3+
3sinx +cosx +1

13. ( cos2x -
3
sin2x) -
3
sinx cosx + 4 = 0 14.
2
cosx -2sinx.cosx
= 3
2cos x +sinx -1

15.
2
1+cosx +cos2x +cos3x 2
= (3- 3sinx)
2cos x +cosx-1 3
16.
cos7x sin5x 3(cos5x sin7x)
=
17. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a. y = 2sinx + 3cosx + 1 b.
1 cosx
y
sinx cosx 2

=
+ +
c.
2 cosx
y
sinx cosx 2
+
=
+

Dạng 4: Ph ơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng:
2. Ph ơng pháp:
Giải
phơng
trình

1. 3sin
2
x -
3
sinxc
osx+2cos
2
x cosx=2 2. 4 sin
2
x + 3
3
sinxcosx - 2cos
2
x=4
3. 3 sin
2
x+5 cos
2
x-2cos2x - 4sin2x=0 4. sinx - 4sin
3
x + cosx = 0
4
2 2
3 2 2
a.sinx b.cosx 0 (1)
a.sin x b.sinxcosx c.cos x d (2)
a.sin x b.sin xcosx c.sinxcos x d.sinx e.co sx 0 (3)
+ =
+ + =
+ + + + =

Đẳng cấp bậc 2: asin
2
x + bsinx.cosx + c cos
2
x = 0
Cách 1: Thử với cosx = 0; với cosx

0, chia 2 vế cho cos
2
x ta đợc:
atan
2
x + btanx + c = d(tan
2
x + 1)
Cách 2: áp dụng công thức hạ bậc
Đẳng cấp bậc 3: asin
3
x + bcos
3
x + c(sinx + cosx) = 0
Hoặc asin
3
x + b.cos
3
x + csin
2
xcosx + dsinxcos
2
x = 0

Xét cos
3
x = 0 và cosx

0, chia 2 vế cho cos
3
x ta đợc phơng trình bậc 3 đối với tanx
Ti li u ụn thi i H c hay v chi ti t nh t
5. 2 sin
2
x + 6sinxcosx + 2(1 +
3
)cos
2
x 5 -
3
= 0
6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7. sin3x - sinx + cosx sinx = 0
8. tanxsin
2
x - 2sin
2
x = 3(cos2x + sinxcosx) 9. 3cos
4
x - 4sin
2
xcos
2
x + sin
4

x = 0
10. 4cos
3
x + 2sin
3
x - 3sinx = 0 11. 2cos
3
x = sin3x
12. cos
3
x - sin
3
x = cosx + sinx 13. sinxsin2x + sin3x = 6cos
3
x
14. sin
3
(x -

/4) =
2
sinx
Dạng 5: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
1. Nhận dạng:
2. Ph ơng pháp:
1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2. sinxcosx = 6(sinx cosx 1)
3.
sin2x 2 sin x 1
4

ữ


+ =
3.
tanx 2 2sinx 1 =
1. 1 + tanx = 2sinx +
1
cos x
2. sin x + cosx=
1
tanx
-
1
cot x

3. sin
3
x + cos
3
x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4. 1- sin
3
x+ cos
3
x = sin2x
5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6.
2
sin2x(sin x + cosx) = 2
7. (1+sin x)(1+cosx)=2 8.
2

(sin x + cosx) = tanx + cotx
9. 1 + sin
3
2x + cos
3
2

x =
3
2
sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
11.* cos
4
x + sin
4
x - 2(1 - sin
2
xcos
2
x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
12.
sin cos 4sin 2 1x x x
+ =
13. sinxcosx +
sinx + cosx
= 1
5
( )
( )
a sinx cosx b.sinxcosx c

a sinx cosx b.sinxcosx c




+ + =
+ =
* a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x + cosx
t 2


at + b
2
t -1
2
= c

bt
2
+ 2at 2c b = 0
* a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x - cosx
t 2

at + b
2
1- t
2
= c

bt

2
- 2at + 2c b = 0
Ti li u ụn thi i H c hay v chi ti t nh t
14. cosx +
1
cosx
+ sinx +
1
sinx
=
10
3

Dạng 6: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx
Giải phơng trình
1/ sin
2
x + sin
2
3x = cos
2
2x + cos
2
4x 2/ cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos

2
4x = 3/2
3/ sin
2
x + sin
2
3x - 3cos
2
2x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin
2
(
5x
+
4 2
) - 2cos
2
9
2
x
5/ cos
4
x 5sin
4
x = 1 6/ 4sin
3
x - 1 = 3 -
3
cos3x
7/ sin
2

2x + sin
2
4x = sin
2
6x 8/ sin
2
x = cos
2
2x + cos
2
3x
9/ (sin
2
2x + cos
4
2x - 1):
sinxcosx
= 0 10/ 2cos
2
2x + cos2x = 4 sin
2
2xcos
2
x
11/ sin
3
xcos3x +cos
3
xsin3x=sin
3

4x 12/ 8cos
3
(x +

3
) = cos3x
13/
sin5x
5sinx
= 1 14/ cos7x + sin
2
2x = cos
2
2x - cosx 15/
sin
2
x + sin
2
2x + sin
2
3x = 3/2 16/ 3cos4x 2cos
2
3x =1
17/ sin
2
4

x+ sin
2
3x= cos

2
2x+ cos
2
x với
x (0;)

18/ sin
2
4x - cos
2
6x = sin(
10,5 +10x
) với

x (0; )
2


19/ 4sin
3
xcos3x + 4cos
3
x sin3x + 3
3
cos4x = 3
20/ cos4xsinx - sin
2
2x = 4sin
2
(

4 2
x


) -
7
2
với
x -1
< 3
21/ 2cos
3
2x - 4cos3xcos
3
x + cos6x - 4sin3xsin
3
x = 0
22/ cos10x + 2cos
2
4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos
2
3x
Dạng 7: Ph ơng trình l ợng giác bậc cao

6
* a
3

b
3

=(a

b)(a
2
m
ab + b
2
) * a
8
+ b
8
= ( a
4
+ b
4
)
2
- 2a
4
b
4
* a
4
- b
4
= ( a
2
+ b
2
)(a

2
- b
2
) * a
6

b
6
= ( a
2

b
2
)( a
4
m
a
2
b
2
+ b
4
)
Công thức hạ bậc 2 cos
2
x =
1 cos2
2
x
+

; sin
2
x=
1-cos2x
2
Công thức hạ bậc 3 cos
3
x=
3cosx +cos3x
4
; sin
3
x=
3sinx -sin3x
4
Tài li u ôn thi i H c hay và chi ti t nh tệ Đạ ọ ế ấ
Gi¶i ph¬ng tr×nh
1. sin
4
2
x
+cos
4
2
x
=1-2sinx 2. cos
3
x-sin
3
x=cos

2
x-sin
2
x
3. cos
3
x+ sin
3
x= cos2x 4.
4 4
sin x +cos x 1
= (tanx +cotx)
sin2x 2

5. cos
6
x - sin
6
x =
13
8
cos
2
2x 6. sin
4
x + cos
4
x =
7π π
cot(x + )cot( -x)

8 3 6
7. cos
6
x + sin
6
x = 2(cos
8
x + sin
8
x) 8. cos
3
x + sin
3
x = cosx – sinx
9. cos
6
x + sin
6
x = cos4x
10. sinx + sin
2
x + sin
3
x + sin
4
x = cosx + cos
2
x + cos
3
x + cos

4
x
11. cos
8
x + sin
8
x =
1
8
12. (sinx + 3)sin
4
x
2
- (sinx + 3)sin
2
x
2
+ 1 = 0
D¹ng 8: Ph ¬ng tr×nh l îng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0
1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin
3
x + 2cosx – 2 + sin
2
x = 0
5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/
3
2
sin2x +
2

cos
2
x +
6
cosx = 0
7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
8/
sin3 sin5
3 5
x x
=
9/ 2cos2x - 8cosx + 7 =
1
cosx

10/ cos
8
x + sin
8
x = 2(cos
10
x + sin
10
x) +
5
4
cos2x
11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
13/ sin

2
x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
14/ 2sin3x -
1
sinx
= 2cos3x +
1
cosx

15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx -
1
cosx
) = 0
16/ cos
3
x + cos
2
x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos
3
x + sinx = 0
18/ sin2x = 1+
2
cosx + cos2x 19/ 1 + cot2x =
2
1-cos2x
sin 2x

20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x +
1
sin2x

21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0
22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx
7
Tài li u ôn thi i H c hay và chi ti t nh tệ Đạ ọ ế ấ
24/ 2
2
π
sin(x + )
4
=
1 1
+
sinx cosx
25/ 2tanx + cotx =
2
3
sin 2x
+

26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8
1. Tìm TXĐ của hàm số: a.
2 cos
sin 2
x
y
x
−
=
b. y =
xsin1

1
xtan
−
+
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
a. y =
2 2 cos 3x+ −
b. y =
xcos.xsin2x2cos.3
−
3. Gi¶I ph¬ng tr×nh:
sinx +
2
= 0.
3 tan 2 1 0x + =
sin
2
x - sinx – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx –
cos2x – 2 = 0
3sinx cos 1x− =

2
4 tan 7 tan 3 0x x
− + =

2cos2 5sin 3x x+ =
2 2
3sin 3sin .cos 2cos 2x x x x− − =
1. cos
3

x+cos
2
x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS:
2 ; 2
2
x k x n
π
π π
= = +
2. tanx.sin
2
x−2sin
2
x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin
2
x ĐS:
; 2
4 3
x k x n
π π
π π
= − + = ± +
3. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin
3
x-4cos
3
x +3cosx)=sinx+cosx
ĐS:

7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
π π π π
π π
= ± + = − + = +
4. 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin
3
x-4cos
3
x +3cosx)=sinx+cosx
ĐS:
7
; ; .
4 4 12 12
x k x n x m
π π π π
π π
= ± + = − + = +
5. 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) ĐS:
2 ; 2 ; 2 ;
2
x k x n x l
π
π α π π α π
= + = + = − +
với
1

sin
4
α
= −
.
6. sinx−4sin
3
x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:
4
x k
π
π
= +
.
HD:sin3x-sin2x+cosx=0; 3sinx-4sin
3
x-2sinxcosx+cosx=0(chia cho cosx)
7.
sin 3 sin 2 .sin
4 4
x x x
π π
   
− = +
 ÷  ÷
   
; (Học Viện BCVT) ĐS:
4 2
x k
π π

= +
Doi sin(x+II/4) thanh cos(II/2 –x) råi dïng CT biÕn tÝch thµnh tæng.
8. sin
3
x.cos3x+cos
3
x.sin3x=sin
3
4x
HD: sin
2
x.sinx.cos3x+cos
2
x. cosx.sin3x=sin
3
4x ĐS:
12
x k
π
=
.
8
Tài li u ôn thi i H c hay và chi ti t nh tệ Đạ ọ ế ấ
9.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin cosx x x x x x− = −
HD: Chia hai vế cho cos
3
x ĐS: x =
3

k
π
π
− +
,
4
x k
π
π
= ± +
10.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số ĐS:
2
2 ( )
4 3
x k x k k
π π
π π
= + ∨ = ± + ∈¢
11.sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải ⇔2sinxcosx+2cos
2
x–1=1+sinx–3cosx. ⇔2cos
2
x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
⇔2cos
2
x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK
1t ≤
, ta được: 2t

2
+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0.
∆=(2sinx+3)
2
+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)
2
.
⇒
( )
1
1
2
cos
2
sin - 2
t
x
t x

=

⇒ =

=


loaïi
…(biết giải)
12.1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)

2
+(sinx+cosx)+2(cos
2
x–sin
2
x)=0.
(sinx+cosx)
2
+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp …
13.Giải phương trình lượng giác:
( )
2 cos sin
1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x
−
=
+ −
Giải
Điều kiện:
( )
cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
+ ≠


≠



Từ (1) ta có:
( )
2 cos sin
1 cos .sin 2
2 sin
sin cos 2 cos
cos
1
cos sin 2 sin
x x
x x
x
x x x
x
x x x
−
= ⇔ =
+ −
2sin .cos 2 sinx x x⇔ =
( )
2
2
4
cos
2
2
4
x k

x k
x k
π
π
π
π

= +

⇔ = ⇔ ∈


= − +


¢
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là
( )
2
4
x k k
π
π
= − + ∈¢
14.Giải phương trình cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2

8
+
GiảiTa có: cos3xcos
3
x – sin3xsin
3
x =
2 3 2
8
+
⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =
2 3 2
8
+
⇔
( )
2 2
2 3 2
cos 3 sin 3 3 cos3 cos sin 3 sin
2
x x x x x x
+
+ + − =
⇔
2
cos4 ,
2 16 2
x x k k Z
π π
= ⇔ = ± + ∈

.
9
Tài li u ôn thi i H c hay và chi ti t nh tệ Đạ ọ ế ấ
15.Giải phương trình:
cos 2 5 2(2 cos )(sin cos )x x x x+ = − −
Giải
Phương trình ⇔ (cosx–sinx)
2
– 4(cosx–sinx) – 5 = 0
cos sin 1
cos sin 5 ( cos sin 2)
x x
x x loai vi x x
− = −

⇔

− = − ≤

10