bài tập về chuỗi số có lời giải chi tiết

Mục lục
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 CHUỖI SỐ
1.1

1.2

1.3

ii
1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA CHUỖI SỐ . . . . . .

1

1.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Phần dư của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Điều kiện để chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4

Các phép toán trên các chuỗi hội tụ . . . . . . . .

3

1.1.5

Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ . . . . . . . .

4

SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ DƯƠNG . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Dấu hiệu so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3

Dấu hiệu tích phân

. . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.4

Dấu hiệu Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.5

Dấu hiệu D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.6

Dấu hiệu Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.7

Dấu hiệu Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI SỐ VỚI CÁC SỐ HẠNG CÓ
DẤU BẤT KỲ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.1

Các định lý Dirichlet và Abel . . . . . . . . . . .

16

1.3.2

Chuỗi hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ . . . . . . .

18

i


Lời mở đầu
....

ii


Chương 1

CHUỖI SỐ
BÀI TẬP
Bài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi
∞

1.

n
n=1 3n − 1

Giải
n
3n − 1
Ta có lim un = lim

Đặt un =

n
1
= =0
n→∞ 3n − 1
3

n→∞

∞

⇒ lim un = 0 Vậy chuỗi
n→∞

∞

2n − 1
2n + 1

2.
n=1

n+1

Giải
Đặt un =

n
là chuỗi phân kỳ
n=1 3n − 1

2n − 1
2n + 1

n+1

Ta có
lim

√
n

n→∞

un = lim

n→∞

n

2n − 1
2n + 1

2n − 1
·
n→∞ 2n + 1

= lim

n

n+1

= lim

n→∞

2n − 1
=1
2n + 1

∞

3.

1
n=1 n!

Giải
1

n

2n − 1
2n + 1

n

·

2n − 1
2n + 1


1
1
, un+1 =
n!
(n + 1)!
un+1
1
n!
Xét lim
= lim

= 0 < 1.
= lim
n→∞ un
n→∞ n + 1
n→∞ (n + 1)!
∞ 1
Vậy theo dấu hiệu D’Alembert thì chuỗi
là chuỗi hội tụ
n=1 n!
Đặt un =

∞

sin

4.
n=1

π
3n

Giải
Đặt un = sin

π
3n

Xét
π
sin

n
π
π
π
1
lim un = lim sin n = lim π3 · n = lim n ⇔ lim n
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞ 3
n→∞ 3
3
3
n
3
1
<1
3
Vậy chuỗi
vì

∞

sin
n=1

π
là chuỗi hội tụ.
3n

∞

n!
,x > 0
n=1 (x + 1)(x + 2)...(x + n)

5.
Giải

Đặt un =

n!
(n + 1)!
; un+1 =
(x + 1)(x + 2)...(x + n)
(x + 1)(x + 2)...(x + n)(x + n + 1)

un+1
(n + 1)!
(x + 1)(x + 2)...(x + n)
= lim
·
n→∞
n→∞ un
n!
(x + 1)(x + 2)...(x + n)(x + n + 1)
n+1
= lim
=1
n→∞ x + n + 1

+) lim

un
+) lim n·
−1
n→∞
un+1
nx
lim
= x.
n→∞ n + 1

= lim n·
n→∞

x+n+1
−1
n+1

∞

= lim n·
n→∞

x
n+1

n!
là chuỗi phân kỳ
n=1 (x + 1)(x + 2)...(x + n)

∞
n!
hội tụ
Nếu x > 1 thì chuỗi
n=1 (x + 1)(x + 2)...(x + n)

Nếu 0 < x < 1 thì chuỗi

+∞

6.
n=1

1
√
và
n + 2n

+∞
n=1

1
.
2n
2

=


Giải

1
1
Do √
, ∀n > 1 nên
>
n + 2n 2n
+∞ 1
phân kỳ.
Vì chuỗi
n
n=1 2

+∞

√
n=1

1
là chuỗi phân kỳ.
n + 2n

+∞

7.

1
2
n=1 n

Giải

Từ bất đẳng thức

1
1
<
n2
(n − 1)n

∀n ≥ 2.

+∞

Suy ra:

1
là chuỗi hội tụ.
2
n=1 n

+∞

8.

sin

1
n

sin

1
n = 1 nên

n=1

Giải
Do lim

n→∞

1
n

+∞

sin
n=1

1
phân kỳ.
n

+∞

9.

1
sin2 .
n
n=1

Giải
sin2
Từ lim

n→∞

1
n2

1
n = 1 ta suy ra

+∞

sin2

n=1

1
là chuỗi hội tụ.
n

+∞

1
n=2 n.lnn

10.)
Giải

Xét hàm số:
1
, x ∈ [2, +∞)
x.lnx
Hàm f là hàm liên tục, xác định dương [2, +∞) và an = fn , ∀n ≥ 2
f (x) =

3


f (x) = −

lnx + 1
< 0 ⇒ f (x) giảm trên [2, +∞).
x2 ln2 x

Mặt khác:
+∞

+∞

dx
=
x.lnx
2

d(lnx)
= ln(lnx)
lnx

2

+∞

= +∞,tích phân này là phân kỳ.
2

+∞

Vậy

1
là phân kỳ.
n=2 n.lnn
+∞

11.

1
2
n=2 n.lnn.ln (lnn)

Giải
Xét hàm số:
f (x) =

1
, x ∈ [2, +∞)
x.lnx.ln2 (lnx)

Hàm f là hàm liên tục, xác định dương và là hàm giảm,∀x ≥ 2 ta xét
tích phân sau:
+∞

+∞

d(ln(lnx))
1
=
ln2 (lnx)
ln(lnx)

dx
=
x.lnx.ln2 (lnx)
2

2

là hội tụ.

+∞

=
2

1
tích phân
ln(ln2)

+∞

Suy ra chuỗi

∞

1
hội tụ.
2
n=2 n.lnn.ln (lnn)

nn .sinn

12.
n=1

2
n

Giải
2
Ta có: an = nn .sinn .
n
Do đó:
lim

n→∞

√
n

an = lim

n→∞

n

nn .sinn

2
2
= lim n.sin = 2. lim
n→∞
n n→∞
n

Vậy chuỗi đã cho phân kỳ.

4

sin
2
n

2
n =2>1


∞

13.
n=1

1
1−
n

n2

.

Giải
Ta có: an =

1
1−
n

n2

Do đó:
lim

n→∞

√
n

an = lim

n

n→∞

1
1−
n

n2

= lim

n→∞

1
1−
n

n

ln. lim

=e

n→∞

lim

n→∞

1− n1

lim

=e

n.ln

1− n1

=e

= e− 1 =

n

n→∞

ln

lim −

= en→∞
1
<1
e

Vậy chuỗi đã cho hội tụ.

5

1− n1

1)
ln(1− n
1
−n

n


∞

14.

(2n)!!
n
n=1 n

Giải
Ta có: an =

(2n)!!
nn

an+1 =

2(n + 1)
(n + 1)n+1

an + 1
2nn
n
2(n + 1!! nn
.
=
=
2.
=
an
(n + 1)n+1 2n!! (n + 1)n
n+1
n
an+1
n
2
= lim 2.
Do đó lim
= <1
n→∞
n→∞ an
n+1
e
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.

+∞

x
15.
n!

n
n=1
Giải

n

n

với x>0
n

n+1

x
x
,
an+1 = (n + 1)!
Ta có: an = n!
n
n+1
an+1
x.nn
=
an
(n + 1)n
x.nn
x
an+1
x
= lim

Do đó: lim
n = .
n = lim
n→∞ (n + 1)
n→∞ an
n→∞
e
1
1+
n
x
Nếu < 1 hay 0 ≤ x < e thì chuỗi đã cho hội tụ.
e
x
Nếu > 1 hay x> e thì chuỗi đã cho phân kỳ.
e
√
n!
√
√
16. lim
√
n→+∞ (2 +
1)(2 + 2)...(2 + n)
Giải
Ta có:

√
n!
√

√
an =
√ ,
(2 + 1)(2 + 2)...(2 + n)

un
⇒ n·
−1
un+1

an+1 =

√

(2 +

n!
(2 +
√
=n
√ ·
(2 + 1)...(2 + n)

6

√

√

(n + 1)!

√
√
1)(2 + 2)...(2 + n + 1)

1)...(2 +

√

(n + 1)!

n+1

=√

2n
n+1


2n
=∞>1
n→∞
n+1
Vậy chuỗi đã cho hội tụ.
Mà: lim √

Bài 2: Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
∞

(−1)

1.

n100
2n

n(n−1)
2

n=1

Đặt un = (−1)

n(n−1)
2

n100
2n

n100
; |un | = n .
2

n100
Ta có dãy {un } là dãy đơn điệu tăng và lim un = lim n → ∞
n→∞
n→∞ 2
100
∞
n(n−1)
n

là chuỗi phân kỳ.
⇒ chuỗi
(−1) 2
2n
n=1
∞
n(n−1)
n100
(−1) 2
Vậy chuỗi
là chuỗi bán hội tụ
2n
n=1
∞

(−1)n−1

n=1

np+ n

2.

1

Giải
Đặt un =

(−1)n−1
p+ n1

và |un | =

1
1

n
np+ n
1
1
Ta có |un | = p+ 1 =
1 .
n n
np · n n
1
1
Đặt an = p , bn = 1
n
nn
1
+) an = p là chuỗi hội tụ nếu p ≥ 1 và là chuỗi phân kỳ nếu p < 1
n
1
1
+) {bn } = 1 = √
là dãy đơn điệu giảm vì
n
n
nn
√

√
√
1
1 − ln n
· ln n = n n
<0
f (n) = ( n n) = n n ·
n
n2
khi 1 − ln n < 0 ⇒ n > e
√
1
⇒ ∀n > e thì dãy { n n} là dãy đơn điệu giảm ⇒ { √
} là dãy đơn
n
n
7


điệu tăng.
1
√
1
ln lim n n
lim 1 ln n
n
n→∞
n
+) lim n = lim n = e
= en→∞ n

= e0 = 1
n→∞
n→∞
1
1
= 1 ⇒ dãy { √
} là dãy bị chặn.
⇒ lim √
n
n
n→∞
n
n
∞

∞

|un | =

Theo dấu hiệu Abel thì
n=1
∞

(−1)n−1

n=1

np+ n

Vậy

1

n=1

1
1
np+ n

hội tụ (p ≥ 1).

là chuỗi hội tụ tuyệt đối

Bài 3: Tính tổng của các chuỗi số sau
x2n−1
1.
n=1 2n − 1
Giải
x2n−1
Đặt un (x) =
2n − 1
(2n − 1)x2n+1
un+1 (x)
| = lim |
| = |x2 | < 1.
+) lim |
n→∞ (2n + 1)x2n−1
n→∞ un (x)
⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1)
∞

+) Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]
Ta có
∞

S (x) =
n=1

x2n−1
2n − 1

∞

x2n−2 1 + x2 + x4 + ... + x2n−2 =

=
n=1

x

x

1
1
dt
=
1 − t2
2

⇒ S(x) =

0

=

1
1
1
1+t x
+
dt = ln
|
1−t 1+t
2
1−t 0
0

1 1+x
ln
2 1−x

x2n−1
Vậy tổng của chuỗi
là
n=1 2n − 1
∞

S(x) =
∞

2.

1
1 − x2

1 1+x
ln
2 1−x

(n + 1)xn

n=0

Giải
8


Đặt un (x) = (n + 1)xn
un+1 (x)
(n + 2)xn+1
n+2
| = lim |
+) lim |
|=
lim
|x| = |x| < 1.
n→∞ un (x)
n→∞
n→∞ n + 1
(n + 1)xn
⇒ khoảng hôi tụ là (−1, 1)

+) Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả tích trên [0, x]
Ta có
∞

x

x

n

S(t)dt =
0

∞

x

(n + 1)t dt =
0
∞

=
0

0

o

0
∞

tn+1 x
| =
(n + 1)
n+1 0
2

3

tn dt

(n + 1)
xn+1
0

= x + x + x + x + ... + xn+1 = x(1 + x + x2 + ... + xn )
x
=
1−x
x

⇒ S(x) =

S(t)dt

=

0
∞

Vậy tổng của chuỗi

4

x
1−x

=

1
(1 − x)2

(n + 1)xn là S(x) =

n=0

1
(1 − x)2

xn
n=1 n
∞

3.
Giải

xn
xn+1
Đặt un (x) = ; un+1 (x) =
n

n+1
n
un+1 (x)
xn+1 · n
+) lim |
| = lim |
|
=
lim
|x| = |x| < 1
n→∞ un (x)
n→∞ (n + 1) · xn
n→∞ n + 1
⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1).
+) Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]
Ta có
∞

S (x) =
n=1

xn
n

∞

=
n=1

xn

n

= 1 + x + x2 + ... + xn−1 =
x

∞

n=1

1
1−x

1
= − ln |1 − t||x0 = − ln |1 − x|
0 1−t
∞ xn
là S(x) = − ln |1 − x|.
Vậy tổng của chuỗi
n=1 n
⇒ S(x)

9

xn−1

=


∞

4.

(−1)n (2n − 1)x2n−2

n=0

Giải
Đặt un (x) = (−1)n (2n − 1)x2n−2 ; un+1 (x) = (−1)n+1 (2n + 1)x2n
un+1 (x)
(−1)n+1 (2n + 1)x2n
2n + 1
1
+) lim |
| = lim |
|
=
lim
·
=
n→∞ un (x)
n→∞ (−1)n (2n − 1)x2n−2
n→∞ 2n − 1
x−2
x2 < 1
⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1).
Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả tích trên [0, x]
Ta có
x ∞

∞

n

2n−2

(−1) (2n − 1)t
0

n=0

(−1)n (2n − 1) ·

dt =
n=0

1
· t2n−1 |x0
2n − 1

∞

(−1)n x2n−1 = −x + x3 − x5 + ... + xn2−1 + ...

=
n=0

= −x(1 + x4 + x8 + ... + x2n+4 ) + x3 (1 + x4 + x8 + ... + x2n+4 )
=

x3 − x
.

1 − x4
x

⇒ S(x) =

(S(t)dt) =

x3 − x
1 − x4

=

(3x2 − 1)(1 − x4 ) + (4x3 (x3 − x)
(1 − x4 )2

0

=

4x6 − 3x5 − 3x4 + 3x2 − 1
(1 − x4 )2
∞

Vậy tổng của chuỗi

(−1)n (2n − 1)x2n−2 là

n=0

4x6 − 3x5 − 3x4 + 3x2 − 1

S(x) =
(1 − x4 )2
∞

5.

(−1)n+1

n=1

Giải

xn
n
n
n+1 x

Đặt un (x) = (−1)

n

n+2

, un+1 (x) = (−1)
10

xn+1
.
n+1

xn+1
(−1)
un+1 (x)
n + 1 | = lim n |x| = |x| < 1
+) lim |
| = lim |
xn
n→∞ un (x)
n→∞
n→∞ n + 1
n+1
(−1)
n
⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1).
n+2

Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]
Ta có
∞

S (x) =

n+1 x

(−1)

∞

n

=

n

n=1

n
n+1 x

(−1)
n=1

n

∞

(−1)n+1 xn−1

=
n=1

= 1 − x + x2 − x3 + ... + x2n − x2n+1 + ...
= (1 + x2 + x4 + ... + x2n − x(1 + x2 + ... + x2n )
1−x
=
1 − x2
x

⇒ S(x) =

0

= ln

x

1−t
dt =
1 − t2

x

1
dt
1 − t2
0

0

1+x
· (1 − x2 )
1−x
∞

=

n
n+1 x

(−1)

Vậy tổng của chuỗi

t
1 1+x 1
dt
=
ln
+ |1 − x2 |
2
1−t
2 1−x 2

n=1

n

1
ln(1 + x)2 = ln(1 + x)
2
là S(x) = ln(1 + x).

x4n−3
6.
n=1 4n − 3
Giải
x4n−3
x4n+1
Đặt un (x) =
; un+1 (x) =

4n − 3
4n + 1
∞

un+1 (x)
x4n+1 · (4n − 3)
+) lim |
| = lim | 4n−3
| = x4 < 1
n→∞ un (x)
n→∞ x
· (4n + 1)
⇒ khoảng hội tụ là (−1, 1).
+) Với mọi x ∈ (−1, 1), tổng của chuỗi là S(x) khả vi trên [0, x]

11


Ta có
∞

S (x) =
n=1

x4n−3
4n − 3

∞

=

n=1

x4n−3
4n − 3

∞

x4n−2

=
n=1

= x2 + x6 + x1 0 + ... + x4n−2 + ...
= x2 (1 + x4 + x8 + ... + x4n + ...)
x2
.
=
1 − x4
x

x

2

t
dt =
1 − t4

⇒ S(x) =
0

= ln

x

0

1+x
· (1 − x2 )
1−x
∞

Vậy tổng của chuỗi
n=1

1 1+x 1
t
dt = ln
+ |1 − x2 |
2
1−t
2 1−x 2

1
dt
1 − t2

(−1)n+1

0

=

1
ln(1 + x)2 = ln(1 + x)
2

xn
là S(x) = ln(1 + x).
n

12