bài tập tam giác đồng dạng

BÀI TẬP HÌNH HỌC 8 - CHƯƠNG 3

BÀI TẬP HÌNH HỌC
I. Khái niệm tam giác đồng dạng
Bài 1. Cho hai tam giác A B C và ABC đồng dạng với nhau theo tỉ số k. Chứng minh rằng tỉ
số chu vi của hai tam giác cũng bằng k.
Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 5cm và CA = 7cm. Tam giác A B C đồng
dạng với tam giác ABC có cạnh nhỏ nhất là 4, 5cm. Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác
ABC .
Bài 3. Cho tam giác ABC có AB = 16, 2cm; BC = 24, 3cm; AC = 32, 7cm. Tính độ dài các
cạnh của tam giác A B C , biết rằng tam giác A B C đồng dạng với tam giác ABC và:
a) A B lớn hơn cạnh AB là 10, 8cm.
b) A B bé hơn cạnh AB là 5, 4cm.
Bài 4. Gọi D là chân đường phân giác AD của góc A của tam giác ABC. Từ D kẻ đường thẳng
song song với AB cắt AC tại E. Biết AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 9cm. Tính các cạnh của
tam giác EDC.
Bài 5.
a) Hai tam giác bằng nhau có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?
b) Hai tam giác đồng dạng với nhau có bằng nhau không ? Vì sao ?
Bài 6. Cho tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB.
Chứng minh

ABC. Tìm tỉ số đồng dạng.

MNP

Bài 7. Cho tam giác ABC có A , B , C lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB và G là trọng
tâm của tam giác đó. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG. Chứng minh:
a)

ABC

b)

MNP

Bài 8. Cho

ABC .
A B C . Tìm tỉ số đồng dạng (bằng hai cách khác nhau).
ABC

A B C . Biết AB = 3cm; AC = 4, 5cm; BC = 6cm và

AB
= 1, 5. Tính
AB

các cạnh của tam giác A B C .
Bài 9. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A B C theo tỉ số k1 và tam giác A B C đồng
dạng với tam giác A”B”C” theo tỉ số k2 . Chứng minh

ABC

A”B”C”. Tìm tỉ số đồng

dạng.
Bài 10. Cho tam giác ABC và M thuộc AB sao cho

MA
1

= . Kẻ M N AC (N ∈ BC) và
MB
2

M P BC (P ∈ AC). Nối N với P .
a) Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng.
b) Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng, viết các cặp góc bằng nhau và tỉ số đồng dạng tương


1

hotline: 0977442256


BÀI TẬP HÌNH HỌC 8 - CHƯƠNG 3

ứng.
Bài 11. Cho

A B C và AB = 3, 5cm; BC = 4cm; AC = 4, 5cm. Tính độ dài các

ABC

cạnh của tam giác A B C trong các trường hợp sau:
a) Chu vi tam giác A B C bằng 18cm.
b) A B nhỏ hơn AB là 0, 7cm.
Bài 12. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo BD chia tứ giác đó thành hai tam giác đồng
dạng

ABD

BDC.

a) Chứng minh AB CD.
b) Tính độ dài BD, BC biết AB = 2cm, AD = 3cm, CD = 8cm.
1
MB
= . Đường thẳng đi qua
Bài 13. Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho
MC
2
M và song song với AC cắt AB ở D. Đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt AC ở E.
Biết chu vi tam giác ABC bằng 24cm. Tính chu vi của các tam giác DBM và EM C.
Bài 14. Hình thang ABCD (AB CD) có AB = 10cm; CD = 25cm, hai đường chéo cắt nhau
tại O. Chứng minh rằng

AOB

COD và tìm tỉ số đồng dạng.

Bài 15. Cho tam giác ABC có ba cạnh bằng 12cm, 15cm, 18cm. Tính các cạnh của một tam
giác đồng dạng với tam giác ABC và có cạnh nhỏ nhất bằng 8cm.
Bài 16. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho AC = 3AE.
Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N .
a) Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác ADC và tìm tỉ số đồng dạng.
b) Điểm E ở vị trí nào trên AC thì E là trung điểm của M N ?
Bài 17.

DEF theo tỉ số k1 ;

ABC

MNP

DEF theo tỉ số k2 ;

ABC

MNP

theo tỉ số đồng dạng nào ?
Bài 18. Ta có
a) Vì sao

ABC

ABC

2
A1 B1 C1 với tỉ số đồng dạng ,
3
A2 B2 C2 ?

A1 B1 C1

3
A2 B2 C2 với tỉ số .
4

b) Tìm tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó.

Bài 19. Chứng minh rằng tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng của
hai tam giác ấy.
II. Trường hợp đồng dạng thứ nhất
Bài 1. Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không ?
a) 4cm; 5cm; 6cm và 8mm; 10mm; 12mm.
b) 3cm; 4cm; 6cm và 9cm; 15cm; 18cm.
c) 1dm; 2dm; 2dm và 1dm; 1dm; 0, 5dm.



2

hotline: 0977442256


BÀI TẬP HÌNH HỌC 8 - CHƯƠNG 3

d) 8cm; 10cm; 6, 4cm và 8cm; 10cm; 12, 5cm.
e) 12m; 18m; 9m và 12m; 16m; 25m.
Bài 2. Tam giác ABC và tam giác A B C có đồng dạng với nhau khôn, nếu
a) AB = 3dm; BC = 5dm; CA = 7dm và A B = 4, 5cm; B C = 7, 5cm; C A = 10, 5cm.
b) AB = 1, 7cm; BC = 3cm; CA = 4, 2cm và A B = 68mm; B C = 120mm; C A = 168mm.
Bài 3. Tam giác vuông ABC (A = 90◦ ) có AB = 6cm, AC = 8cm và tam giác vuông A B C (A =
90◦ ) có A B = 9cm; B C = 15cm. Hỏi hai tam giác vuông ABC và A B C có đồng dạng với
nhau không ? Vì sao ?
Bài 4. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nahu tại O. Gọi P, Q, R thứ tự là trung
điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC. Chứng minh rằng

P QR

ABC.

Bài 5. Tam giác ABC có ba góc nhọn và có trực tâm là điểm H. Gọi K, M, N thứ tự là trung
điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH. Chứng minh rằng KM N
ABC với tỉ số đồng
1
dạng k = .
2
Bài 6. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Gọi P, Q, R lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC.
a) Chứng minh rằng

P QR

ABC.

b) Tính chu vi của tam giác P QR, biết rằng tam giác ABC có chu vi p bằng 543cm.
Bài 7. Cho tam giác ABC và một điểm S tùy ý. Gọi A , B và C là ba điểm lần lượt trên
SB
SC
1
SA
=
=
= . Chứng minh rằng A B C
ABC, tìm tỉ
SA, SB và SC sao cho
SA
SB
SC

3
số đồng dạng.
Bài 8. Tứ giác ABCD có AB = 8cm, BC = 15cm, CD = 18cm, AD = 10cm, BD = 12cm.
Chứng minh rằng
a)

ABD

BDC.

b) ABCD là hình thang.
Bài 9. Tam giác ABC có AC > BC > AB, AC = 36cm, AB = 25cm. Tính độ dài BC để tam
giác ABC đồng dạng với một tam giác mà độ dài ba cạnh là chiều cao của tam giác ABC.
Bài 10. Tam giác ABC có đồng dạng với tam giác mà ba cạnh bằng ba đường cao của tam
giác ABC không, nếu các cạnh của tam giác ABC bằng
a) 9cm; 12cm; 16cm ?
b) 2cm; 3cm; 4cm ?
c) 16cm; 20cm; 25cm ?
d) 4dm; 5dm; 6dm ?



3

hotline: 0977442256


BÀI TẬP HÌNH HỌC 8 - CHƯƠNG 3

Bài 11. Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB.

Các điểm A , B , C theo thứ tự là trung điểm của EF, DF, DE. Chứng minh rằng

ABC

ABC.
Bài 12. Cho tam giác ABC trên cạnh AB, AC thứ tự lấy các điểm D, E sao cho AD =
1
1
AB, AE = AC và M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BE, DM ; K là giao
3
3
điểm của DC, M E.
a) Chứng minh

ADE

ABC;

DIE

M IB;

DKE

CKM ;

IKM

DEM .

b) Tính IK, biết BC = 5, 5cm.
Bài 13. Tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm. Tam giác M N P có M N : M P :
N P = 2 : 3 : 4.
a) Chứng minh

ABC

MNP .

b) Cho chu vi của tam giác M N P là 21, 6cm. Tính các cạnh của tam giác M N P và tỉ số đồng
dạng của hai tam giác ABC, M N P .
Bài 14. Cho tam giác ABC, kẻ DE AC (D ∈ AB, E ∈ BC). Tính AD, nếu AB = 16cm, AC =
20cm, DE = 15cm.
Bài 15. Tam giác ABC vuông tại A và có AB = 3cm, AC = 4cm. Tam giác M N P vuông tại M
và M P = 8cm, N P = 10cm. Chứng minh

ABBC

M N P và tìm tỉ số đồng dạng.

Bài 16. Cho tam giác ABC và O là một điểm ở trong tam giác đó. Gọi M, N, P lần lượt là các
OB
OC
OA
=
=
. Chứng minh rằng
điểm nằm trên các đoạn thẳng OA, OB, OC sao cho
OM
ON

OP
ABC
M N P . Xác định vị trí M, N, P lần lượt trên OA, OB, OC để tỉ số đồng dạng
bằng 2.
Bài 17. Cho tam giác ABC có B > 90◦ và gọi H là trực tâm của tam giác. Từ M thuộc đoạn
thẳng AH, kẻ đường thẳng song song với AB cắt HB tại N , từ M kẻ đường thẳng song song
với AC cắt HC tại P . Chứng minh rằng

MNP

ABC. Tìm tỉ số đồng dạng khi M là

trung điểm của AH.
Bài 18. Cho tam giác ABC và O là một điểm nằm trong tam giác. Gọi P, Q, R lần lượt là giao
điểm của tia AO với BC, tia BO với CA, tia CO với AB. Kẻ đường thẳng qua C song song với
OB cắt tia AP tại E. Kẻ đường thẳng qua A song song với OB, cắt tia CR tại D.
a) Chứng minh EP C
OP B; RAD
RBO.
P B QC RA
b) Tính
·
·
.
P C QA RB
Bài 19. Cho tam giác ABC, các điểm P, Q, R lần lượt nằm trên các cạnh BC, AB và đường
thẳng CA sao cho P, Q, R thẳng hàng. Kẻ AA , BB , CC vuông góc với đường thẳng P R

4

hotline: 0977442256


BÀI TẬP HÌNH HỌC 8 - CHƯƠNG 3

(A , B , C thuộc P R).
a) Chứng minh AA Q
BB Q; BB P
CC P .
P C QB RA
·
·
.
b) Tính
P B QA RC
Bài 20. Cho tam giác ABC, các điểm P, Q, R lần lượt nằm trên các cạnh BC, AB và đường
thẳng AC và P, Q, R thẳng hàng. Gọi I là giao điểm của AP, QC và M là giao điểm của tia
MA
RA
BI và AC (M ∈ AC). Chứng minh
=
.
MC
RC
III. Trường hợp đồng dạng thứ hai
Bài 1. Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 90◦ ) có AB = 16cm, CD = 25cm, BD = 20cm.
a) Chứng minh rằng

ABD

BDC.

b) Tính độ dài BC.
Bài 2. Chứng minh rằng nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường trung tuyến tương
ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng.
Bài 3. Cho tam giác ABC có AB = 9cm, AC = 12cm. Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho
AD = 8cm và điểm E là trung điểm của đoạn thẳng AC. Nối D với E, B với E, D với C.
a) Tam giác ADE đồng dạng với tam giác nào ? Cho DE = 7cm, tính độ dài đoạn thẳng BC.
b) Tam giác ADC đồng dạng với tam giác nào ? So sánh BDC và BEC.
Bài 4. Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 15cm, BC = 18cm, đường phân giác của
BAC.
a) Tính BD, DC.
b) Chứng minh

DBA

c) Chứng minh

ADC cân tại D.

ABC.

Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB CD).
a) Tính AD, biết AB = 4cm, BD = 10cm, BC = 20cm, CD = 25cm.
b) Tính ADB, biết AB = 4cm, BD = 6cm, CD = 9cm, C = 40◦ .
Bài 6. Hình thang vuông ABCD có A = D = 90◦ , AB = 10cm, CD = 30cm, AD = 35cm.
Điểm E thuộc cạnh AD sao cho AE = 15cm. Tính số đó của BEC.
Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 18cm, BC = 27cm. Điểm D thuộc cạnh BC

sao cho CD = 12cm. Tính AD.
Bài 8. Tam giác ABC có B = 70◦ , AB = 12cm, AC = 16cm. Điểm D thuộc cạnh AC sao cho
AD = 9cm. Tính số đo của BDC.
Bài 9. Cho tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 16cm. Điểm D thuộc cạnh AB sao cho
BD = 2cm. Điểm E thuộc cạnh AC sao cho CE = 13cm. Chứng minh rằng



5

hotline: 0977442256


BÀI TẬP HÌNH HỌC 8 - CHƯƠNG 3

a)

AED

ABC.

b) ABE = ACD.
Bài 10. Cho tam giác ABC, đường cao AH (H thuộc cạnh BC). Biết HA = 2cm, HB =
1cm, HC = 4cm. Tính số đo của BAC.
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC có C = 40◦ . Vẽ hình bình hành ABCD. Gọi AH, AK theo
thứ tự là các đường cao của các tam giác ABC, ACD.
a) Chứng minh rằng

AKH

ACB.

b) Tính số đo AKH.
Bài 12. Cho hình thoi ABCD. Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối của các tia BA, DA
theo thứ tự tại E, F . Chứng minh rằng
AD
EB
=
.
a)
BA
DF
b) EBD
BDF .
c) BID = 120◦ (I là giao điểm của DE và BF ).
IV. Trường hợp đồng dạng thứ ba
Bài 1. Chứng minh rằng nếu hai tam giác đồng dạng thì
a) Tỉ số hai đường phân giác tương ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng.
b) Tỉ số hai đường cao tương ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng.
Bài 2. Cho hình thang ABCD (BC AD). M ∈ AD và M D = BC. Qua I ∈ CD kẻ đường
thẳng song song với AB cắt AD và đường thẳng BC lần lượt tại N, K. Chứng minh
a)

IN D

BAM .

b)

IKC

BAM .

Bài 3. Cho hình thoi ABCD, M ∈ AB, N ∈ BC sao cho BM = BN .
a) Chứng minh

BM N

DAC.

b) Tính M N , biết BD = 6cm; CD = 5cm; BM = 3, 5cm.
Bài 4. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Biết rằng ABD = ACE. Chứng
minh
a)

ABD

ACE.

b) Tam giác ABC cân tại A.
c) Nếu ABD = ACE = 30◦ thì

ABC là tam giác đều.

Bài 5. Cho hai tam giác ABC và DEF có A = D, B = E, các cạnh của tam giác ABC tỉ lệ với
2 : 5 : 4, chu vi tam giác DEF bằng 5, 5cm. Tính các cạnh của tam giác DEF .
Bài 6. Cho hai tam giác ABC và DEF có A = D, B = E, AB = 16cm, BC = 20cm, DE =

6

hotline: 0977442256


BÀI TẬP HÌNH HỌC 8 - CHƯƠNG 3

12cm, AC − DF = 6cm . Tính cạnh AC, EF của hai tam giác đó.
Bài 7. Cho tam giác ABC, phân giác AD và tam giác A B C phân giác A D . Chứng minh
AD
= k.
ABC
A B C theo tỉ số k thì ABD
A B D theo tỉ số k và
AD
Bài 8. Tam giác ABC, AA ⊥BC (A ∈ BC), BB ⊥AC (B ∈ AC), H là trực tâm, G là trọng
tâm của tam giác ABC, M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC và OM ⊥BC, ON ⊥AC.
Chứng minh
a)

ABH

M N O.

1
1
b) OM = AH, ON = BH.
2
2
c) AHG

M OG và H, O, G thẳng hàng.
Bài 9. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó, AB = 2cm; BC = 2, 5cm và tia Bx
không nằm trên đường thẳng AC. Điểm M thuộc tia Bx sao cho AM B = ACM .
a) Chứng minh

AM B

ACM .

b) Tính AM .
Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy điểm D thuộc cạnh AB,
điểm E thuộc cạnh AC sao cho DM E = B. Chứng minh
a)

DBM

M CE.

b) DM là tia phân giác của BDE.



7

hotline: 0977442256