phân tích ổn định cho tấm chữ nhật bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn với 24 bậc tự do

Luận văn Thạc Sĩ

LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan rằng luận văn “PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH CHO TẤM CHỮ NHẬT
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN VỚI 24 BẬC TỰ DO” này là
công trình nghiên cứu của tôi.
Ngoại trừ những tài liệu tham khảo được trích dẫn trong luận văn này, tôi cam
đoan rằng toàn phần hay những phần nhỏ của luận văn này chưa từng được công bố
hoặc được sử dụng để nhận bằng cấp ở những nơi khác.
Không có sản phẩm/nghiên cứu nào của người khác được sử dụng trong luận văn
này mà không được trích dẫn theo đúng quy định.
Luận văn này chưa bao giờ được nộp để nhận bất kỳ bằng cấp nào tại các trường
đại học hoặc cơ sở đào tạo khác.

TP. HCM, ngày 15 tháng 09 năm 2015

Nguyễn Lê Minh

Trang i


Luận văn Thạc Sĩ

TÓM TẮT
Luận văn này sử dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ24 (Phần tử tứ giác phẳng bốn
nút với sáu bậc tự do tại mỗi nút) để phân tích ổn định của tấm chữ nhật Mindlin –
Reissner. Ảnh hưởng của các đại lượng biến dạng, ứng suất và chuyển vị được tính toán
so với trạng thái ban đầu theo lý thuyết tấm dày của Reissner-Mindlin. Nhiều loại tải
trọng được đưa vào tính toán bao gồm cả tải phân bố đều và lực cắt. Tỷ lệ cạnh của tấm
được chứng minh là có tác dụng gây mất ổn định. Với lý thuyết phần tử hữu hạn trơn,
ma trận độ cứng uốn được xây dựng dựa trên tích phân biên phần tử, vẫn cho kết quả

chính xác ngay cả khi phần tử có dạng tứ giác lõm và giảm sai số khi hệ lưới phần tử
thô so với phần tử dựa trên kỹ thuật tích phân trên miền phần tử thông thường.
Sử dụng phần mềm Matlab để lập trình mô phỏng tính toán cho một số bài toán
tấm điển hình. Các kết quả phân tích sẽ được so sánh với các kết quả của những nghiên
cứu khác để đánh giá độ tin cậy của phương pháp này.

T r a n g iii


Luận văn Thạc Sĩ

ABSTRACT
The static buckling and the dynamic instability analysis of Reissner-Mindlin
rectangular plates are studied in this thesis using MISQ24 (Mixed Integration Smoothed
Quadrilateral Element with 24 drilling DOFs). The effects of transverse shear
deformation and rotary inertia are also included following the Reissner-Mindlin plate
theory. Numerous kinds of loading are considered including uniform compressive
loading, shearing force. The aspect ratio of the plate is shown to have a destabilizing
effect.
A finite element code, written in Matlab, has been developed and solved numerical
examples which are compared to published outputs in other studies and good agreement
was obtained throughout.

T r a n g iv


Luận văn Thạc Sĩ

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ············································································· i

LỜI CẢM ƠN ··················································································ii
TÓM TẮT ····················································································· iii
ABSTRACT ··················································································· iv
MỤC LỤC ······················································································ v
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ····························································· vii
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ·························································· ix 
CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU ............................................................................................ 1 
1.1. Giới thiệu............................................................................................................. 1 
1.2. Mục tiêu nghiên cứu............................................................................................ 1 
1.3. Phương pháp nghiên cứu..................................................................................... 2 
1.4. Ý nghĩa của đề tài................................................................................................ 2 
1.5. Tóm tắt các chương trong luận văn..................................................................... 3 
CHƯƠNG 2. TỔNG QUAN TÌ NH HÌNH NGHIÊN CỨU .................................. 4 
2.1. Sự phát triể n các loa ̣i phầ n tử tấ m ....................................................................... 4 
2.2. Phân tı́ch tuyế n tính hı̀nh ho ̣c kế t cấ u tấ m .......................................................... 4 
2.3. Phần tử hữu hạn trơn (Smoothed finite element method- SFEM) ...................... 5 
2.4. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước ....................................................... 6 
CHƯƠNG 3. CƠ SỞ LÝ THUYẾT........................................................................ 8 
3.1. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho tính toán tấm ........................................... 8 
3.2. Công thức phầ n tử hữu ha ̣n ................................................................................. 9 
3.2.1  Phần tử màng ...........................................................................................9 
3.2.2  Tấ m chịu uốn theo lý thuyết của Mindlin-Reissner ..............................12 
3.3. Phân tích ổn định tĩnh ....................................................................................... 16 
3.3.1  Xây dựng phần tử hữu hạn cho ma trận phần tử ...................................16

Trang v


Luận văn Thạc Sĩ

3.3.2  Phương trình phần tử hữu hạn chủ đạo .................................................19 
3.4. Phân tích ổn định động...................................................................................... 20 
3.5. Phương pháp phần tử hữu hạn trơn MISQ24 .................................................... 22 
3.5.1  Biến dạng màng trơn với bậc tự do xoay (drilling DOF) ......................24 
3.5.2  Biến dạng trơn uốn ................................................................................26 
3.5.3  Biến dạng trượt ......................................................................................27 
3.5.4  Ma trận độ cứng trơn .............................................................................28 
3.5.5  Ma trận độ cứng trơn hình học ..............................................................28 
CHƯƠNG 4. MÔ PHỎNG SỐ.............................................................................. 30 
4.1. Phân tích ổn định tĩnh tấm chữ nhật chịu lực nén một trục .............................. 30 
4.2. Phân tích ổn định tĩnh tấm chữ nhật chịu lực nén hai trục................................ 35 
4.3. Phân tích ổn định tĩnh tấm Reissner-Mindlin chịu tác dụng lực cắt trong mặt
phẳng .............................................................................................................. 37 
4.4. Phân tích ổn định tĩnh tấm hình bình hành chịu lực nén một trục .................... 38 
4.5. Phân tích ổn định tĩnh tấm hình bình hành chịu lực nén hai trục ..................... 43 
CHƯƠNG 5. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................ 45 
5.1. Kết luận ............................................................................................................. 45 
5.2. Kiến nghị ........................................................................................................... 45 
TÀ I LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 46 
PHỤ LỤC ................................................................................................................ 55 

T r a n g vi


Luận văn Thạc Sĩ

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Trang
Hình 3.1: Nguyên dạng và biến dạng hình học trên cạnh của tấm theo lý thuyết
biến dạng cắt bậc nhất ................................................................................... 08

Hình 3.2: Phần tử đẳng tham số 4 nút với bậc tự do xoay ........................... 09
Hình 3.3: Phần tử tấm chịu uốn dạng tứ giác 4 nút ...................................... 13
Hình 3.4: Phần tử tứ diện bốn nút với 6 bậc tự do mỗi nút MISQ24 ........... 23
Hình 3.5: Sự chia nhỏ phần tử ra thành nc phần tử con (subcells) và giá trị hàm
dạng tại các nút .............................................................................................. 23
Hình 3.6: Trung điểm dùng để nội suy các biến dạng trượt ngang .............. 27
Hình 4.1: Tấm liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén một trục .................. 30
Hình 4.2: Tấm liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén một trục với lưới đều và
không đều (a) 6x6, (b) 10x10, (c) 14x14, (d) 18x18 ..................................... 31
Hình 4.3: Sự hội tụ của hệ số lực tới hạn ..................................................... 32
Hın
̀ h 4.4: Sự ổn định của tấm chữ nhật chia lưới đều và không đều chịu lực nén
một trục với h/b=0.05 và các tỷ lệ: (a) a/b=0.5, (b) a/b=1, (c) a/b=1.5, (d) a/b=2,
(e) a/b=2.5 ..................................................................................................... 34
Hình 4.5: Tấm chữ nhật chịu lực nén hai trục .............................................. 35
Hın
̀ h 4.6: Tấm chữ nhật chia lưới đều và không đều chịu lực nén hai trục . 35
Hình 4.7: Sự ổn định của tấm chữ nhật chia lưới đều và không đều chịu lực nén
hai trục với a=b=10m, h=0.06m (a) tựa đơn, (b) ngàm................................. 36
Hình 4.8: Tấm chữ nhật liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu tác dụng lực cắt trong
mặt phẳng ...................................................................................................... 37
Hình 4.9: Sự ổn định tấm chữ nhật liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu tác dụng lực
cắt với a=b=10m ............................................................................................ 38
Hình 4.10: Tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén một trục
....................................................................................................................... 38

T r a n g vii


Luận văn Thạc Sĩ

Hình 4.11: Tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chia lưới 14x14 đều
và không đều với tỷ lệ a/b=1 với góc xiên (a) 150, (b) 300, (c) 450............... 39
Hình 4.12: Sự ổn định của tấm hình bình hành chia lưới đều và không đều với
tỷ lệ h/b=0.05 và góc xiên=450 (a) a/b=0.5, (b) a/b=1.0, (c) a/b=1.5, (d) a/b= 2,
(e) a/b=2.5 ..................................................................................................... 42
Hình 4.13: Tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực nén hai trục
....................................................................................................................... 43
Hình 4.14: Sự ổn định của tấm hình bình hành liên kết tựa đơn chịu lực nén hai
trục chia lưới đều và không đều với (a) a/b=1 và góc xiên= 300 (b) a/b=1 và góc
xiên= 450, (c) a/b=2 và góc xiên= 300 (d) a/b=2 và góc xiên= 450 ............... 44

T r a n g viii


Luận văn Thạc Sĩ

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Trang
Bảng 4.1: So sánh hệ số lực tới hạn của tấm liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực
nén một trục với a/b =1 và h/b=0.05 ............................................................. 32
Bảng 4.2: So sánh hệ số lực tới hạn của tấm liên kết tựa đơn bốn cạnh chịu lực
nén một trục với các tỷ số a/b và h/b thay đổi ............................................... 33
Bảng 4.3: So sánh hệ số lực tới hạn của tấm vuông chịu lực nén hai trục
(a=b=10m, h=0.06m)..................................................................................... 35
Bảng 4.4: Hệ số lực tới hạn cho tấm liên kết tựa đơn chịu lực cắt trong mặt
phẳng trên cả bốn cạnh .................................................................................. 37
Bảng 4.5: So sánh hệ số lực tới hạn của tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn
cạnh chịu lực nén một trục với h/b=0.001..................................................... 40
Bảng 4.6: So sánh hệ số lực tới hạn của tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn

cạnh chịu lực nén một trục với h/b=0.05....................................................... 41
Bảng 4.7: So sánh hệ số lực tới hạn của tấm hình bình hành liên kết tựa đơn bốn
cạnh chịu lực nén hai trục với h/b=0.001 ...................................................... 43

T r a n g ix


Luận văn Thạc Sĩ

CHƯƠNG 1. MỞ ĐẦU
1.1. Giới thiệu
Ngày nay, các công trình xây dựng ngoài việc đảm bảo về khả năng làm việc của
kết cấu còn đòi hỏi kiến trúc phải có tính thẩm mỹ. Trong thực tế, kết cấu tấm hoặc có
dạng tấm là cấu kiện được sử dụng rất phổ biến trong các ngành công nghiệp và dân
dụng. Các nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn đối với các kết cấu tấm thường
phức tạp hơn nhiều so với các dạng kết cấu khác. Do đó, phân tích ổn định là một vấn
đề phức tạp đòi hỏi phải tính toán lại nhiều lần độ cứng kết cấu với các loại tải trọng
khác nhau. Công việc này mất rất nhiều thời gian ngay cả với những chiếc máy tính
mạnh mẽ nhất. Vì vậy, việc tìm kiếm những phương pháp tính toán hiệu quả với độ tin
cậy cao trong phân tích ổn định luôn là một nhu cầu thiết yếu.
1.2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của nghiên cứu này là nhằm phân tích ổn định của kết cấu tấm bằng phần
tử MISQ24. Cụ thể là phát triển phương pháp phân tích ổn định cho bài toán tấm
chữ nhật Mindlin – Reissner dựa trên phương pháp phần tử hữu hạn trơn với 24
bậc tự do MISQ24 được xây dựng bởi Nguyễn Văn Hiếu [17] với các đặc điểm như
sau:
(i) có thể áp dụng cho vật liệu đẳng hướng
(ii) chịu uốn tốt,
(iii) không bị “Shear locking” khi bề dày phần tử mỏng,
(iv) ít nhạy cảm với phần tử bị méo,

(v) chính xác khi dùng lưới thô,
(vi) đơn giản và dễ tích hợp các luật ứng xử tuyến tính và
(vii) hiệu quả cũng như đáng tin cậy.
Qua đó kiểm tra và đánh giá những ưu điểm kể trên của phần tử MISQ24 khi phân
tích ổn định kết cấu tấm từ mỏng đến dày vừa phải.

T r a n g 1 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

1.3. Phương pháp nghiên cứu
Để đánh giá được tính hiệu quả của phần tử MISQ24 cho phân tích phân tích ổn
định của kết cấu tấm dày Mindlin - Reissner, một số lý thuyết sau cần được sử dụng:
Trước tiên, đề tài sử dụng các công thức ma trận độ cứng phần tử và ma trận độ
cứng hình học của phần tử MISQ24 để xây dựng ma trận độ cứng tổng thể của phần tử
dựa trên tích phân trên biên phần tử.
Tiếp theo đó là lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin- Reissner (First-order
shear deformation theory - FSDT) cũng sẽ được áp dụng trong việc xây dựng phần tử
do sự đơn giản trong công thức và khả năng linh động trong tính toán các loại tấm từ
dày tới mỏng tương đối.
Cuối cùng, lập trình tính toán để mô phỏng các bài toán điển hình về phân tích ổn
định của kết cấu tấm. Kết quả sẽ được đem so sánh với các kết quả của các nghiên cứu
trước đó để đánh giá tính hiệu quả và chính xác khi dùng phần tử MISQ24.
1.4. Ý nghĩa của đề tài
Tính mới: Các phương pháp phần tử hữu hạn trơn trước đây chưa kể đến bậc tự
do xoay trong các dạng bài toán phân tích ổn định kết cấu tấm. Vì vậy điểm mới của đề
tài là việc nghiên cứu và cải tiến cho các kỹ thuật phần tử trơn MISQ24 để phân tích các
bài toán tính toán ổn định của kết cấu tấm có lưới đều/không đều một cách tổng quát.
Tính thời sự: Việc đề xuất các mô hình phần tử hữu hạn chính xác, hiệu quả và

đáng tin cậy trong phân tích kết cấu tấm luôn là một thách thức trong tính toán cơ học.
Chính vì vậy mà việc nghiên cứu trong lĩnh vực này luôn mang tính thời sự và nhận
được nhiều sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trên thế giới suốt nhiều năm qua.
Ý nghĩa khoa học: Kết quả nghiên cứu này sẽ tạo cơ sở làm tiền đề cho các nghiên
cứu sâu thêm về ổn định động và ứng xử sau ổn định cho kết cấu tấm. Điều này góp
phần cho việc tiếp tục cải tiến không ngừng cho các nghiên cứu áp dụng phần tử hữu
hạn trơn MISQ24.

T r a n g 2 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

1.5. Tóm tắt các chương trong luận văn
Chương 1. Mở đầu
Chương này giới thiệu tổng quát về đề tài nghiên cứu.
Chương 2. Tổng quan tình hình nghiên cứu
Chương này tổng hợp những nghiên cứu trong và ngoài nước có liên quan đến đề
tài và đánh giá về các ưu điểm, hạn chế của những nghiên cứu đó.
Chương 3. Cơ sở lý thuyết
Chương này trình bày cách xây dựng phần tử MISQ24 theo Nguyễn Văn Hiếu
[17], lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất của Mindlin-Reissner.
Chương 4. Mô phỏng số
Chương này trình bày kết quả của các mô phỏng số cho các bài toán tiêu biểu về
phân tích ổn định kết cấu tấm cùng với sự so sánh, nhận xét các nghiên cứu tương tự
trước đây.
Chương 5. Kết luận và kiến nghị
Chương này trình bày các kết luận dựa trên kết quả đã đạt được đồng thời nêu ra
kiến nghị cho những nghiên cứu kế tiếp.

T r a n g 3 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

CHƯƠNG 2. TỔNG QUAN TÌ NH HÌ NH NGHIÊN CỨU
2.1. Sư ̣ phát triể n các loa ̣i phầ n tử tấ m
Một báo cáo tổng hợp khá đầy đủ về nghiên cứu phát triển các loại phần tử tấm/vỏ
trong suốt 20 năm qua đã được Yang và các cộng sự thực hiện [54]. Những nghiên cứu
mở rộng và chi tiết hơn có thể tìm thấy trong bài báo của Zhang và Yang [55]. Theo
khảo sát của các nghiên cứu [9],[26-27],[45] phần tử tấm thường được sử dụng rộng rãi
vì tính chất dễ kết hợp với các loại phần tử khác cũng như sự đơn giản trong công thức
và hiệu quả trong tính toán.
2.2. Phân tı́ch tuyế n tính hın
̀ h ho ̣c kế t cấ u tấ m
Phân tích sự làm việc tuyến tính hình học của các kết cấu có dạng tấm/vỏ đóng vai
trò rất quan trọng trong việc đánh giá bản chất ứng xử của chúng khi có biến dạng lớn.
Những phương pháp mô phỏng số như phần tử hữu hạn đã được phát triển và sử dụng
rộng rãi trong khảo sát phi tuyến hình học các dạng kết cấu này với các dạng hình học
phức tạp và tải trọng khác nhau. Các nghiên cứu báo cáo quốc tế về lĩnh vực này rất
nhiều và rất khó có thể liệt kê chi tiết đầy đủ ở đây. Nội dung trình bày sau đây sẽ cung
cấ p mô ̣t cái nhıǹ tổ ng quan về vấ n đề này.
Đầ u tiên, kế t cấ u tấ m/vỏ đươ ̣c phân tıć h tuyế n tı́nh bởi Clough và Tocher [10] và
Zienkiewicz [55]. Phầ n tử đẳ ng tham số với hê ̣ to ̣a đô ̣ tự nhiên kế t hơ ̣p với ma trâ ̣n
Jacobi và phép cầ u phương Gauss cũng đươ ̣c áp du ̣ng cho phân tı́ch tuyế n tính kế t cấ u.
Lúc đầ u, tı́ch phân đươ ̣c thực trên suố t chiề u dày phầ n tử, nhưng sau đó để giảm thời
gian tı́nh toán, người ta chı̉ thực hiê ̣n điề u này khi phân tı́ch cho vâ ̣t liê ̣u tuyế n tính.
Mô ̣t vấ n đề quan tro ̣ng đươ ̣c xem xét bởi nhiề u tác giả là bâ ̣c tự do thứ sáu xoay
quanh tru ̣c z vuông góc với mă ̣t phẳ ng phầ n tử, hay còn go ̣i là ‘Drilling rotation’. Trong
công thức cổ điể n của tấ m chịu lực màng (Membrane), ta chı̉ có 5 bâ ̣c tự do trong đó có

2 bâ ̣c tự do xoay quanh 2 tru ̣c x, y. Tuy nhiên, để xây dựng đươ ̣c ma trâ ̣n chuyể n từ hê ̣
to ̣a đô ̣ điạ phương sang hê ̣ to ̣a đô ̣ tổ ng thể cũng như để thực hiê ̣n ghép nố i ma trâ ̣n giữa
các phầ n tử, bâ ̣c tự do thứ sáu cầ n đươ ̣c kể đế n. Khi đó ta có sáu bâ ̣c tự do ta ̣i mô ̣t nút
trong đó có 3 bâ ̣c tự do xoay quanh 3 tru ̣c. Để vươ ̣t qua vấ n đề này, mô ̣t số tác giả đã đề
xuấ t dùng kỹ thuâ ̣t đô ̣ cứng lò xo giả ta ̣o, như Zienkiewicz và Providas [45],[56] hoặc
T r a n g 4 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

sử dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ24. Cho đến hiện nay các kỹ thuâ ̣t này cho kết quả
chính xác với phân tı́ch tuyế n tı́nh.
2.3. Phần tử hữu hạn trơn (Smoothed finite element method- SFEM)
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn (Smoothed finite element method viết tắt SFEM) được đề xuất và phát triển bởi Giáo sư G.R. Liu và các cộng sự tại trung tâm tính
toán kỹ thuật cao (ACES) thuộc đại học quốc gia Singapore (NUS). Phần lớn những
nghiên cứu ứng dụng của phương pháp này giới hạn trong phân tích tuyến tính [30-36].
S-FEM được đề cập đến như là một lớp đặc biệt của thuật toán mô phỏng số để mô
phỏng các hiện tượng vật lý. Nó được phát triển bằng cách kết hợp phương pháp không
lưới (meshfree method) với phương pháp phần tử hữu hạn. S-FEM được áp dụng cho
cơ học vật rắn cũng như động lực học chất lỏng, nhưng cho đến nay chủ yếu áp dụng
cho các bài toán cơ học vật rắn.
Ý tưởng cơ bản trong S-FEM là sử dụng lưới phần tử hữu hạn (đặc biệt là lưới tam
giác) để xây dựng các mô hình số có hiệu suất tốt. Điều này có thể đạt được bằng cách
thay đổi trường biến dạng tương thích, hoặc xây dựng trường biến dạng chỉ sử dụng các
chuyển vị, đặt hy vọng vào mô hình Galerkin sử dụng trường biến dạng xây dựng/cải
tiến có thể đem lại các hiệu quả khả quan. Việc cải tiến/xây dựng như vậy có thể được
thực hiện bên trong các phần tử nhưng thường lại là bên ngoài các phần tử (khái niệm
không lưới): mang lại những thông tin từ các phần tử lân cận. Thông thường, trường
biến dạng phải đáp ứng các điều kiện nhất định, và dạng yếu Galerkin tiêu chuẩn cần
được sửa đổi cho phù hợp để đảm bảo sự ổn định và hội tụ.

Sự phát triển của S-FEM bắt đầu từ những công trình về phương pháp không lưới,
phát triển công thức “weaken weak” (W2) dựa trên lý thuyết không gian G. Công thức
W2 cung cấp khả năng xây dựng các mô hình "mềm" khác nhau (đồng dạng) hoạt động
tốt với lưới tam giác. Vì lưới tam giác có thể được tạo ra tự động, việc chia lại lưới và
do đó tự động hóa trong việc mô hình và mô phỏng trở nên dễ dàng hơn nhiều. Ngoài
ra, mô hình W2 có thể được tạo đủ mềm (đồng dạng) để cho ra các nghiệm cận trên (đối
với các bài toán động lực). Cùng với mô hình cứng (chẳng hạn như các mô hình FEM
tương thích hoàn toàn), có thể cho ra biên nghiệm số từ cả hai cận một cách thuận lợi.

T r a n g 5 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

Điều này dễ dàng cho phép ước lượng sai số cho các bài toán phức tạp tổng quát, miễn
là có thể tạo ra được lưới hình tam giác. Mô hình W2 điển hình là phương pháp nội suy
điểm trơn (Smooth Point Interpolation Methods hoặc S-PIM). S-PIM có thể là trơn nút
(Node based PIM hay còn gọi là NS-PIM hoặc LC-PIM), trơn cạnh (ES-PIM), và trơn
phần tử (CS-PIM). NS-PIM được phát triển bằng cách sử dụng kỹ thuật gọi là SCNI
(stabilized conforming nodal integration). Sau đó NS-PIM được phát hiện có khả năng
cho ra nghiệm cận trên và không bị khóa cứng do biến dạng thể tích (volumemetric
locking free). ES-PIM cho thấy có độ chính xác cao, và CS-PIM nằm giữa NS-PIM và
ES-PIM. Hơn nữa, công thức W2 cho phép sử dụng các hàm cơ sở xuyên tâm và đa thức
trong việc tạo các hàm dạng (bao gồm các hàm chuyển vị liên tục, miễn là hàm nằm
trong không gian G1), mở rộng không gian phát triển hơn nữa trong tương lai.
S-FEM gần như là phiên bản tuyến tính của S-PIM, với hầu hết các tính chất của SPIM và đơn giản hơn nhiều. S-FEM cũng có các biến thể NS-FEM, ES-FEM và CSFEM. Các tính chất chủ yếu của S-PIM cũng có thể tìm thấy ở S-FEM.
Phần tử MISQ24 của tác giả Nguyễn Văn Hiếu [17] đã được phát triển song song
từ những nghiên cứu của Nguyễn Xuân Hùng và các cộng sự [22] dựa trên phần tử tấm
tứ giác được làm trơn dùng cho phân tích tuyến tính với 6 bậc tự do tại mỗi nút, trong
đó có kể đến bậc tự do thứ 6 xoay quanh trục z. Khi phân tích kết cấu tấm/vỏ, phần tử

MISQ24 cho kết quả chính xác hơn đối với độ cứng của kết cấu so với phần tử MISQ20
(5 bậc tự do ở mỗi nút), nó cũng giải quyết được hiện tượng “locking” khi bề dày tấm
mỏng, lưới thô vẫn cho kết quả chính xác hơn.
2.4. Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước
Vấn đề phân tích kết cấu tấm là một vấn đề rất phức tạp và được rất nhiều tác giả
trong nước nghiên cứu bằng nhiều phương pháp khác nhau, để cho ra những kết quả
phân tích chính xác nhất. Tình hình nghiên cứu trong nước trong những năm gần đây về
vấn đề phân tích kết cấu tấm, nội dung sau đây sẽ trình bày sơ lược về vấn đề này của
một số tác giả.
Tiến sĩ Nguyễn Văn Hiếu và cộng sự [18],[19] đã phân tích phi tuyến hình học kết
cấu tấm vỏ bằng phương pháp phần tử hữu hạn dùng phần tử tứ giác trơn [17]. Lý thuyết

T r a n g 6 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

chuyển vị lớn của Von-Karman và cách tiếp cận Total Lagrangian được sử dụng trên cơ
sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Kết quả phân tích cho thấy kỹ thuật phần tử hữu hạn
trơn giúp cho kết quả tính toán vẫn chính xác ngay cả khi lưới phần tử có hình dạng méo
hay thô.
Ngoài ra Tiến sĩ Nguyễn Văn Hiếu và cộng sự [20] còn tiếp tục nghiên cứu phát
triển phần tử tứ giác phẳng với bậc tự do thứ 6 xoay quanh trục z và kết hợp với phương
pháp phần tử hữu hạn trơn. Kết quả của nghiên cứu này cho thấy độ chính xác ngay cả
với những phần tử lưới không đều. Tuy nhiên nghiên cứu này chỉ dừng lại ở vấn đề phân
tích tuyến tính của kết cấu tấm/vỏ.
Tác giả Nguyễn Hoài Nam [40] cũng phân tích vấn đề trên bằng phương pháp phần
tử hữu hạn trơn MISQ20 [17]. Nghiên cứu này phát triển khả năng ứng dụng của phần
tử MISQ20 với 5 bậc tự do tại nút cho phân tích phi tuyến hình học của kết cấu tấm/vỏ
với quan hệ phi tuyến giữa tải trọng và chuyển vị có dạng Snap - through, Snap - back

và các dạng phức tạp khác. Kết quả phân tích của nghiên cứu cho thấy độ chính xác với
trường hợp lưới không đều và lưới thô. Trong nghiên cứu này tác giả chỉ sử dụng phần
tử MISQ20 với 5 bậc tự do tại nút và bậc tự do thực sự quay quanh trục z chưa được kể
đến.
Tương tự như tác giả Nguyễn Hoài Nam, tác giả Bạch Quang Trung [51] mở rộng
nghiên cứu phân tích phi tuyến hình học của kết cấu tấm/vỏ sử dụng phần tử MISQ24
với 6 bậc tự do tại nút.
Ngoài ra tác giả Nguyễn Thời Trung [52] còn sử dụng phương pháp phần tử trơn
cắt khoảng (cell-based smoothed discrete shear gap method CS-DSG3) để phân tích tĩnh
và phân tích rung động của tấm Reissner – Mindlin. Phương pháp này sử dụng kỹ thuật
trơn kết hợp với phương pháp cắt khoảng (Shear gap) với phần tử 3 nút tam giác. Nhờ
đó cũng giải quyết được hiện tượng “shear Locking” và kết quả phân tích của nghiên
cứu này cho thấy giải pháp chính xác trong việc phân tích tấm.
Phương pháp phần tử trơn 3 nút được tác giả Phùng Văn Phúc [44] sử dụng trong
phân tích phi tuyến tấm dựa trên cơ sở lý thuyết tấm Mindlin. Lý thuyết phi tuyến được
xây dựng dựa trên cơ sở lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất và chuyển vị lớn Von – Karman.

T r a n g 7 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

CHƯƠNG 3. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
3.1. Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho tính toán tấm
Đối với các tấm mỏng, lý thuyết tấm cổ điển dựa trên những giả thiết của Kirchhoff
mà biến dạng cắt được bỏ qua, vẫn cho kết quả khá chính xác. Theo đó, các thành phần
chuyển vị được tính theo chuyển vị tại mặt trung hòa u0 , v0 , w0 :
u  x, y,z   u0  x, y 
v  x, y,z   v0  x, y 

(3.1)

w  x, y,z   w0  x, y 

Hın
̀ h 3.1. Nguyên dạng và biến dạng hình học trên cạnh của tấm theo lý thuyết
biến dạng cắt bậc nhất
Với các tấm dày, ảnh hưởng của biến dạng cắt cần được kể đến. Khi đó, ta cần áp
dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất, hay còn được biết đến như là lý thuyết của
Mindlin-Reissner (Reissner [46]; Mindlin, [38]). Điểm khác biệt lớn nhất trong giả thiết
tính toán của lý thuyết này là các đoạn thẳng pháp tuyến sau biến dạng tuy vẫn còn thẳng
nhưng không còn vuông góc với mặt trung hòa nữa, mà xoay quanh trục x, y 1 góc tương
ứng  y , x . Khi đó các thành phần chuyển vị trong công thức (3.1) trở thành:
u  x, y,z   u0  x, y   z x
v  x, y,z   v0  x, y   z y

(3.2)

w  x, y,z   w0  x, y 

T r a n g 8 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

Và các thành phần biến dạng trong mặt phẳng ε   x

T

 y  xy  được tính từ

thành phần biến dạng uốn εb

  xb    x ,x 
  

ε b    yb     y ,y 
 xyb   x ,y   y ,x 

  
Vector biến dạng cắt γ   xz

(3.3)

T

 yz  được tính theo công thức

 x  w,x 
γ

 y  w,y 

(3.4)

Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất với các quan điểm cơ bản được nêu ở bên trên sẽ
được chọn để áp dụng trong luận văn này khi tính toán tuyến tính hình học cho tấm dày.
Chi tiết về lý thuyết này sẽ được trình bày cụ thể ở phần sau.
3.2. Công thức phầ n tử hữu ha ̣n
3.2.1 Phần tử màng

Phần tử màng có kể đến bậc tự do xoay quanh trục z trong mặt phẳng tấ m đươ ̣c
mô phỏng bởi phầ n tử đẳ ng tham số bố n nút, mỗi nút có 3 bâ ̣c tự do là 2 chuyể n vi ̣u, v
theo 2 phương x, y tương ứng, và  z xoay quanh trục z như hình 3.2.

Hı̀nh 3.2. Phầ n tử đẳ ng tham số 4 nú t với bậc tự do xoay

T r a n g 9 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

Chuyể n vi u,
̣ v theo 2 phương x, y và  z xoay quanh trục z đươ ̣c nô ̣i suy từ chuyể n
vi ̣của bố n nút ui , vi , zi bởi các hàm nô ̣i suy N i
4

u   Ni  ,  ui 
i 1
4

v   Ni  ,  vi 
i 1

1 8
 N k  ,  (  zj   zi )yij
8 i 5
1 8
 N k  ,  (  zj   zi ) xij
8 i 5

(3.5)

4

 z   N i  ,  zi
i 1

Với xij  x j  xi , yij  y j  yi

(3.6)

Hàm da ̣ng N i đươ ̣c xây dựng theo to ̣a đô ̣ tự nhiên của phầ n tử
Ni 

1
1   i 1   i 
4

i=1,2,3,4

(3.7)

Nk 

1
1   2  1   k 
2

k=5,7

(3.8)

Nk 

1
1   k   1   2 
2

k=6,8

(3.9)

Với  k,i, j = (5,1, 2), (6, 2,3), (7,3, 4), (8, 4,1)
Công thức chuyển vị u và v trong (3.5) có thể viết lại như sau
 yij 
ui  1 8
u  4
N
,
N
,
(
)

















i
k
zj
zi 
 
v 
  i 1
 vi  8 i 5
 xij 

(3.10)

Và các thành phầ n biế n da ̣ng trong mă ̣t phẳ ng có đươ ̣c từ đa ̣o hàm của chuyể n vi ̣
theo to ̣a đô ̣
4

ε m   B mi q i

(3.11)

i1

trong đó, qi  ui

vi  zi  là vector chuyể n vi nu
̣ ́ t phầ n tử và Bm là ma trâ ̣n quan
T

hệ giữa biế n da ̣ng và chuyển vị màng

T r a n g 10 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

 Ni ,x

Bmi   0
 Ni ,y


0
Ni ,y
Ni ,x


Nxi ,x

Nyi ,y

Nxi ,y  Nyi ,x 

(3.12)

Trong đó Nx, Ny là hàm dạng được định nghĩa như sau
Nxi 

1
 yij N l  yik N m 
8

(3.13)

Nyi 

1
 xij Nl  xik N m 
8

(3.14)

Với:
i = 1, 2, 3, 4; m = i + 4;
l = m -1 + 4 * floor(1 / i);

(3.15)

k = mod (m, 4) + 1; j = l - 4

Hàm floor là làm tròn về âm vô cùng.
Hàm mod là lấy phần dư của phép chia.

Nế u xét vâ ̣t liê ̣u đàn hồ i, đẳ ng hướng, tuyế n tın
́ h thı̀ ứng suấ t sẽ đươ ̣c tı́nh

 x 
E
 
 m   y  
1  2
 xy 
 



1 
0 


0   m  Dm  m
 1

1  
0 0


2 

(3.16)

Trong đó Dm là ma trận độ cứng vật liệu khi chịu kéo nén, E là module đàn hồi
Young còn ν là hệ số Poisson của vật liệu.

Thế năng toàn phầ n của phầ n tử  m với fb là vector lực trên phầ n tử đươ ̣c tı́nh
Πm 

1
1
ε Tm D m ε m d    (ε sk   z )2 d    q T f b d 



2
2 

(3.17)

Trong đó tensơ biến dạng ε sk có dạng
4

ε sk   b i q mi +  z
i 1

T r a n g 11 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

1


 Ni ,y



2


1


 Ni ,x
Với bi 


2
1

 (  yij Nl ,y  yik Nm,y  xij Nl ,x  xik N m,x )  Ni 
16


(3.18)

i, k, l, m được xác định như trong công thức (3.15)
Và vector lực nút của phầ n tử: f   NT fb d 


(3.19)

Suy ra đô ̣ cứng màng của phầ n tử:
K mem  K m  P   BTm D m B m d     bT bd 




(3.20)

3.2.2 Tấ m chịu uốn theo lý thuyết của Mindlin-Reissner
Lý thuyết tấm Mindlin hoặc lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất cho tấm bao gồm các
ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang. Nó có thể được coi là một phần mở rộng của lý
thuyết Timoshenko cho tấm chịu uốn. Sự khác biệt chính đối với lý thuyết Kirchhoff
cho tấm mỏng là trong lý thuyết Mindlin các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian
của tấm trước biến dạng vẫn thẳng, nhưng không nhất thiết phải vuông góc với mặt
trung hòa khi biến dạng.
Tấm chịu uốn có kể đến biến dạng cắt theo lý thuyết của Mindlin-Reissner được
mô phỏng bởi phần tử tứ giác đẳng tham số với 3 bậc tự do tại mỗi nút. 1 bậc tự do là
chuyển vị thẳng đứng theo trục z, 2 bậc tự do còn lại là 2 chuyển vị xoay x ,  y xoay
quanh trục y và trục x tương ứng.

T r a n g 12 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

Hı̀nh 3.3. Phần tử tấm chịu uốn dạng tứ giác 4 nút

Các thành phần chuyển vị cũng được nô ̣i suy từ thành phần chuyể n vi ̣tương ứng
của bố n nút bởi các hàm nô ̣i suy N i
4

u   w  x  y    Ni qi
T

(3.21)

i 1

Trong đó, N i là hàm nội suy song tuyến tính, được thiết lập theo tọa độ tự nhiên
phần tử
N i  i ,  

1
1  i 1  i  ,
4

i=1, 2, 3, 4

(3.22)

Và qi   wi  xi  yi  là vector chuyển vị nút của phần tử.
Biến dạng uốn trong mặt phẳng phần tử được xấp xỉ từ chuyển vị nút phần tử theo
công thức

  x    x ,x 
  

ε b    y     y ,y   Bbq
 xy   x ,y   y ,x 
  


(3.23)

Biến dạng trượt do lực cắt gây ra cũng được xấp xỉ từ chuyển vị nút phần tử
  xz 
γ     B sq
 yz 

(3.24)

Biến dạng hình học

T r a n g 13 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

 u u v v w w 
ε g   , , , , ,   Bgq
 x y x y x y 
0 Ni ,x

trong đó, với nút thứ i : Bbi  0 0
0 Ni ,y

N
B si   i ,x
 Ni

Ni
0

0 


Ni ,y 
Ni ,x 

(3.25)

0
N i 

(3.26)

Với B b , B s , Bg lần lượt là ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị uốn, ma
trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị cắt, ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển
vị hình học.
Mối quan hệ đàn hồi tuyến tính giữa ứng suất – biến dạng trong mặt phẳng phần
tử khi uốn trong trường hợp vật liệu đồng chất đẳng hướng được thể hiện như sau:



1 
 x 
0 

E 
 
 1
0  εb
σb   y  
2 
1  

 xy 
1  
 
0 0

2 


(3.27)

Và mối quan hệ đàn hồi tuyến tính giữa ứng suất tiếp ngoài mặt phẳng và biến
dạng trượt khi uốn cũng được biểu diễn qua biểu thức
 xz 
1
E
σs    

 yz  2 1     0

0
γ
1 

(3.28)

Thế năng toàn phầ n của phầ n tử tấm chịu uốn  p bởi lực phân bố đều trên diện
tích p, được tính theo công thức
p 

h 2

k
1
σTb ε b dzd   s


2  h 2
2

 

h 2

h 2

σTs γdzd    pwd 

(3.29)



Với hệ số điều chỉnh ks  5 6 cho vật liệu đẳng hướng.
Thế các phương trình từ (3.23) đến (3.28) của biến dạng do uốn và do trượt vào
phương trình (3.29), thế năng toàn phần của phần tử được viết lại như sau

T r a n g 14 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

Πp 

k
1 T
ε b Dbε b d   s  γ T D s γd    pwd 

2
2


(3.30)

Với D b và D s là ma trận độ cứng của vật liệu tương ứng khi chịu uốn và chịu cắt



1 

0

E  h3 
Db 
 1
0 
2 
12 1   
1  
0 0


2 

Ds 

(3.31)

E  h 1 0 
2 1     0 1 

(3.32)

Từ đó, độ cứng của phần tử tấm được thiết lập với 2 thành phần tương ứng với
biến dạng uốn và biến dạng cắt
K p   BTb Db B b d   k s  BTs D s B s d   K b  K s




 

Kb

(3.33)

Ks

Hoặc
1 1

1 1

K p    B Db Bb J d d  ks   BTs Ds B s J d d

T
b

1 1

1 1

Trong đó J là định thức của Ma trận Jacobi.
Và vector lực nút được tổng hợp theo hàm dạng

f   NT pd 

(3.34)



1 1

Hoặc f    NT p J d d

(3.35)

1 1

Cả tích phân ma trận độ cứng và vector lực được tính bằng tích phân số. Tích phân
độ cứng được giải bằng cách sử dụng phần tử Q4, cầu phương Gauss 2 × 2 cho phần
uốn và 1 điểm cho phần cắt. Tích phân có chọn lọc này được chứng minh là một trong
những biện pháp khắc phục đơn giản nhất để tránh “shear locking”.

T r a n g 15 | 59

Luận văn Thạc Sĩ

3.3. Phân tích ổn định tĩnh
3.3.1 Xây dựng phần tử hữu hạn cho ma trận phần tử
Thế năng toàn phần có thể được viết như sau:

Π  Πb  Πs  Πg

(3.36)

Trong đó

Π b là thế năng được tạo ra bởi biến dạng uốn, và
Πb 

1
σ bT ε b d 

2

(3.37)

Π s là thế năng được tạo ra bởi biến dạng trượt, và
Πs 

1
σ sT ε s d 


2

(3.38)

Π g là thế năng được tạo ra bởi bởi ứng suất trước, và

Πg   σ0ε2d 

(3.39)



Trong đó  là miền của tấm. Sau khi rời rạc hóa phần tử hữu hạn, thế các phương
trình trước đó vào phương trình trên cho ra kết quả

1
Π b   q e T  B b T Db B b d  q e
e 2
e
1
Π s   q e T  Bs T Ds Bs d  q e
e 2
e

(3.40)

1
Π g   q e T  B G T σB G d  q e
e 2
e

Trong đó:

K b    B b T Db B b d 
e e

K s    Bs T Ds Bs d 

(3.41)

e e

K g    B G T σB G d 
e e

T r a n g 16 | 59


Luận văn Thạc Sĩ

Với K b , K s , K g lần lượt là ma trận độ cứng uốn, ma trận độ cứng cắt, và ma trận
độ cứng hình học.
Trong đó theo Deolasi và Datta [13]:
Bb   B b1 ,B b2 ,B b3 ,B b4 
 N i

 x

Bbi   0

 N i


 y

0
N i
y
N i
x


0


0


0


(3.42)

i  1, 2 ,3, 4;
B s   Bs1 , Bs2 , Bs3 , Bs4 
 N i
 x N i
B si  
 N i 0
 y
i  1, 2 ,3, 4;


0


Ni


B g  B g1 , B g2 , B g3 , B g4 
 N i N i
0
0
 x
y



N i N i
B gi   0
0
x
y


0
0
0
 0

i  1, 2 ,3, 4;

(3.43)

0
0
N i
x


0 


0 

N i 

y 

(3.44)

Với B b , B s , Bg lần lượt là ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị uốn, ma
trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị cắt, ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển
vị hình học. Cùng với ma trận ứng suất được thể hiện như sau:

T r a n g 17 | 59