CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN BỘI 2

Chương 3: Tích phân bội 2
( tích phân hàm nhiều biến)
3.1. Tích phân bội 2
3.1.1. Khái niệm:
a) Định nghĩa: f(x;y) xác định trên D: đóng và bị
chặn.
d
i;
d= max{d
i
}.
i
S (i 1..n) =
i i i i
M (x ; y ) S (i 1..n) =
n
n i i i
i 1
I f (x ; y ) S
=
=

n
n
D
hh I f (x; y)dS Lim I f (x; y) kt / D
+
= =

Chó ý:
ý nghÜa h×nh häc:
b) §iÒu kiÖn kh¶ tÝch:
D D
I f (x; y)dS f (x; y) dxdy= =
∫∫ ∫∫
D
V f (x; y) dxdy
=
∫∫

3.1.2. TÝnh chÊt cña tÝch ph©n béi 2:
[ ]
1 2
D D D
D D
1 2 1 2
D D D
D
a) f (x; y) g(x; y) dxdy f (x; y)dxdy g(x; y)dxdy
b) kf (x; y)dxdy k. f (x; y)dxdy (k const)
c) D D D ;D D :
f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy f (x; y)dxdy
d) f (x; y) g(x; y) (x; y) D : f (x; y)dxdy g(x; y)dxdy
+ = +
= =
= = φ
= +
≤ ∀ ∈ ≤
∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫
IU
D
o o o o
D
e) (x ; y ) D : f (x; y)dxdy f (x ; y ).S(D)∃ ∈ =
∫∫
∫∫

3.2. C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 2 trong hÖ to¹ ®é
§Ò c¸c:
3.2.1. MiÒn lÊy tÝch ph©n D = [a; b] x [c; d];
f(x;y) liªn tôc trªn D.
VÝ dô: TÝnh tÝch ph©n:
b d d b
D a c c a
f (x; y)dxdy f (x; y)dy dx f (x; y)dx dy (3.1)
   
= =
 ÷  ÷
   
∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1
1
2

2
1
1
dxdy dy 1
I dx ( ) dx
(x y) (x y) x y
1 1 x 1 9
dx ln ln
x 1 x 2 x 2 8
= = = −
+ + +
+
 
= − = =
 ÷
+ + +
 
∫∫ ∫ ∫ ∫
∫

3.2.2.MiÒn D bÞ chÆn bÊt kú:
{ }
{ }
2
1
2
1
1 2
y (x )
b

D a y (x )
1 2
x (y)
d
D c x (y)
* D (x; y) : a x b; y (x) y y (x)
f (x; y) dxdy f (x; y)dy dx (3.2)
* D (x; y) : c y d; x (y) x x (y)
f (x; y) dxdy f (x; y)dx dy (3.3)
= ≤ ≤ ≤ ≤
 
=
 ÷
 ÷
 
= ≤ ≤ ≤ ≤
 
=
 ÷
 ÷
 
∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫ ∫

VÝ dô 1: TÝnh
Víi D lµ h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi:
2 2
D
I (x y )dx dy= +
∫∫

2
2
a) 0 x 1;0 y 1
b) 0 x 1;0 y x
c) 0 y 1;0 x y
≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤
≤ ≤ ≤ ≤