Tính toán mối hàn bằng phương pháp phần tử hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGUYỄN QUỐC TUẤN

TÍNH TOÁN MỐI HÀN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN

NGÀNH: KỸ THUẬT CƠ KHÍ CHẾ TẠO MÁY - 605204

S KC 0 0 0 2 6 9

Tp. Hồ Chí Minh, 2005


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGUYỄN QUỐC TUẤN

TÍNH TOÁN MỐI HÀN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
PHẦN TỬ HỮU HẠN
Chuyên ngành: Công nghệ Chế tạo máy.
Mã số ngành: 605204

Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyeãn Ñaêng Höng
Người đồng hướng dẫn: TS Nguyễn Hoài Sơn

Tp. Hồ Chí Minh, 2005


LỜI CẢM ƠN
Với thời gian hạn hẹp, khối lượng công việc tương đối nhiều, lónh vực đang
nghiên cứu ở Việt Nam chưa được phát triển. Tuy nhiên với sự giúp đỡ của thầy hướng
dẫn chính và đặc biệt là thầy hướng dẫn Nguyễn Hoài Sơn. Người đã đònh hướng và
cung cấp những thông tin, kiến thức bổ ích để tôi hoàn thành tập luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Đăng Hưng người hướng dẫn
chính, GVC. TS Nguyễn Hoài Sơn người đồng hướng dẫn đã theo sát trong quá trình
thực hiện.

1


MỤC LỤC

Trang

Chương 1: Tổng quan

3

1.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước

3

1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước.

3

1.3 Tính khoa học, thực tiễn đề tài.

4

1.4 Mục tiêu, phương pháp nghiên cứu đề tài.

4

1.5 Kết luận.

10

Chương 2: Cơ sở lý thuyết

11

2.1 Vấn đề ứng suất dư và biến dạng dư trong mối hàn.

11

2.2 Thiết lập phần tử cơ nhiệt 2 D.

12

2.3 Kết luận.

22

Chương 3: Cấu trúc dữ liệu và sơ đồ phần tử hữu hạn với Matlab

23

3.1 miền hình học

23

3.2 Cấu trúc dữ liệu của miền

24

3.3 Giải thuật phát sinh lưới

24

3.4 Giải thuật tính toán ,lắp ghép trên miền

25

3.5 Giải thuật mã hóa bậc tự do của miền trong toàn kết cấu

25

3.6 Giải thuật lắp ghép miền vào toàn kết cấu

25

3.7 Giải thuật khai báo tải trọng tập trung trên nút và tải trọng phân bố
trên cạnh

26

3.8 Giải thuật áp đặt điều kiện biên trên nút và trên cạnh

26

3.9 Giải thuật giải hệ phương trình đại số tuyến tính

26

Chương 4: Tính một số mối hàn bằng phương pháp phần tử hữu hạn

28

4.1 Mối hàn chồng.

28

4.2 Mối hàn góc

31

4.3 Mối hàn giáp nối

42

4.4 Mối hàn phức tạp.

49

4.5 Kết luận

52

Chương 5: Kết luận và hướng phát triển của đề tài

53

4.1 Kết luận về các kết quả đạt được.

53

4.2 Hướng phát triển đề tài.

54
2


Chương 1: TỔNG QUAN
1.1 Tình hình nghiên cứu ngoài nước:
Mối ghép bằng hàn có nhiều ưu điểm nên được dùng ngày càng rộng rãi trong
các ngành công nghiệp. Trong quá trình hàn, các chi tiết được đốt nóng cục bộ cho tới
nhiệt độ nóng chảy hoặc dẻo và gắn lại với nhau nhờ lực hút giữa các phần tử kim loại.
Hiện nay trên thế giới, có nhiều phương pháp hàn khác nhau tuy nhiên ta có thể phân
theo các nhóm phương pháp hàn như sau:
-

Các phương pháp hàn điện, bao gồm các phương pháp dùng điện năng biến
thành nhiệt năng để cung cấp cho quá trình hàn như là: Hàn hồ quang, hàn điện

tiếp xúc…

-

Các phương pháp hàn cơ học: Bao gồm các phương pháp sử dụng cơ năng để
làm biến dạng kim loại tại các khu vực cần hàn và tạo ra liên kết hàn như là:
Hàn nguội, hàn ma sát, hàn siêu âm …

-

Các phương pháp hàn hóa học: Bao gồm các phương pháp sử dụng năng lượng
do các phản ứng hóa học tạo ra để cung cấp cho quá trình hàn như là: Hàn khí,
hàn hóa nhiệt…

Hiện nay trên thế giới đã sử dụng hàn để chế tạo nhiều sản phẩm khác nhau như
là chế tạo nồi hơi, ống bình chứa, sườn nhà, tàu thuyền, thân máy bay, vỏ máy, tên lửa,
toa xe, ôtô và ngay cả đến tàu vu hành vũ trụ. Nói chung, những bộ phận máy có hình
dáng phức tạp phải chòu lực tương đối lớn, mà lại phải mỏng đều phải chế tạo bằng
phương pháp hàn.
Để tính toán mối hàn người ta dùng những công thức trong sức bền vật liệu
nhưng đối với những chi tiết phức tạp thì gặp khó khăn. Vào cuối những năm 50 đã
xuất hiện ý tưởng của phương pháp phần tử hữu hạn và nhờ vào sự phát triển của máy
tính đặc biệt là Mỹ mà từ đó phương pháp phần tử hữu hạn phát triển rất nhanh, cụ thể
là cách đây khoảng 40 năm các nhà khoa học Mỹ đã dùng phương pháp phần tử hữu
hạn để tính toán thân máy bay Boeing. Từ đó trở đi các nhà lập trình hàng đầu thế giới
thiết lập, nâng cấp, cập nhật thường xuyên và hoàn thiện dần như: SAP, ANSYS,
COSMOS, NASTRAN, …
1.2 Tình hình nghiên cứu trong nước:
Trong những phương pháp hàn thì phương pháp hàn hồ quang tay, hàn khí, hàn
hồ quang dưới lớp thuốc bảo vệ và trong môi trường khí bảo vệ được ứng dụng phổ

biến nhất ở nước ta, các phương pháp này có chi phí không cao. Hàn được dùng trong
cơ khí như chế tạo tàu, vỏ máy, … và trong xây dựng như là thiết kế các dàn xưởng
công nghiệp.
Trước đây việc tính toán mối hàn thường rất hạn chế chỉ tính được các liên kết
thông dụng quen thuộc mà ta sử dụng các công thức trong tài liệu chi tiết máy ở phần
3


ghép bằng hàn, nhưng gần đây đã dùng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán nhờ
sự trợ giúp của máy tính có thể tính toán được các liên kết hàn có biên dạng bất kỳ mà
trước đó chưa làm được. Ở nước ta tại các viện nghiên cứu, các Trường Đại học cũng
dần dần áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để tính toán cho các bài toán cơ học nói
chung, liên kết mối ghép bằng hàn nói riêng. Và cũng đưa vào sử dụng những phần
mềm tính toán cơ học như: SAP2000, ANSYS để thiết kế các kết cấu, chi tiết, thực chất
các phần mềm này được xây dựng như trên nguyên lý của phương pháp phần tử hữu
hạn. Cụ thể là tại xưởng đóng tàu Việt nam đã dùng phần mềm SAP2000, ANSYS để
tính toán nội lực trong hệ kết cấu cũng như các mối hàn để thiết kế các chiếc tàu.
1.3 Tính khoa học, thực tiễn của đề tài:
Hàn tiết kiệm được kim loại do sử dụng mặt cắt làm việc của chi tiết hàn triệt để
hơn so với tán ri vê, bu long. Sử dụng hàn trong xây dựng nhà cao cho phép giảm 15%
trong lượng sườn,kèo, đồng thời việc chế tạo và lắp ráp chúng cũng được giảm nhẹ, độ
cứng của kết cấu cũng tăng , giảm được thời gian và giá thành chế tạo kết cấu. Hàn
cũng có năng suất cao so với các phương pháp khác do giảm được số lượng nguyên
công, giảm được cường độ lao động và tăng độ bền chắc của kết cấu, hàn có thể nối
được các kim loại có tính chất khác nhau, thiết bò hàn tương đối đơn giản và dễ chế tạo.
Việc tính toán mối ghép bằng hàn bằng phương pháp phần tử hữu hạn, cũng như các
phần mềm tính toán cơ học như SAP2000, ANSYS sẽ có kết quả chính xác và đồng
thời cũng có thể mô phỏng đồ họa của chi tiết, kết cấu sau khi chòu tải trọng tác dụng.
Điều đó rất thuận tiện về mặt khoa học trong việc thiết kế mối ghép bằng hàn nói
riêng và kết cấu nói chung.Trước dây chỉ tính được các liên kết hàn đơn giản dựa vào

tài liệu chi tiết máy.Trong đề tài này ta chọn phương pháp số để tính toán liên kết hàn
cụ thể là phương pháp phần tử hữu hạn,phương pháp này có hiệu quả hơn so với
phương pháp tính toán dựa tài liệu chi tiết máy ở chỗ là có thể tính toán được các biên
dạng hàn phức tạp bất kỳ,kết quả thu được đáng tin cậy
1.4 Mục tiêu, phương pháp nghiên cứu đề tài:
Ta chia nhỏ kết cấu hàn thành các phần tử, sau đó tính chuyển vò tại các nút của
hệ và tìm ứng suất hiệu dụng vonmises trên các phần tửù. Nhưng ở đây ta cần quan tâm
đến phần tử tại chỗ hàn vì tại đó chính là nơi bò phá hoại khi kết cấu hàn chòu lực tác
dụng.
σ vm = σ 12 + σ 22 + σ 32 − σ 1σ 2 − σ 2σ 3 − σ 3σ 1

Sau đó tìm ứng suất trong cả hệ,rồi so sánh ứng suất này với ứng suất cho phép
của mối hàn [σ].
Khi tính xong kiên kết mối hàn bằng phương pháp phần tử hữu hạn ta lấy kết
quả này so với cách tính trong tài liệu chi tiết máy:
Theo tính toán trong tài liệu chi máy:
4


a) – Mối hàn giáp nối.
b) – Mối hàn chồng.
c) – Mối hàn góc
a. Mối hàn giáp nối:
Mối hàn giáp mối rất được thông dụng vì nó đơn giản và đảm bảo hơn các loại mối hàn
khác. Tùy theo bề dày của các thành phần ghép, có thể hàn theo các phương án trình
bày trên hình 2.1 sau
F
b

F

δ < 8mm
F

F

60 ÷ 700
δ < 16mm

60 ÷ 700

δ < 40mm

Hình 1.1: Các phương án hàn
™ Giáp mối thẳng góc:
Đối với đường hàn giáp mối, vì các thành phần được hàn lại thành một thể như
nguyên vẹn cho nên trong tính toán cũng áp dụng các công thức dùng cho các chi tiết
máy nguyên vẹn. Đường hàn giáp mối được xem như phần tử kéo dài của thép cơ bản
nên cách tính giống như thép cơ bản
σ k' =

[ ]

F
≤ σ k'
δ .l

Hoặc theo ứng suất nén:
5

σ n' =

[ ]

F
≤ σ n'
δ .l

F

l

δ

F

Hình 1.2: Mối hàn giáp mối chòu kéo
Trong đó:
σ k' , σ n'

: Ứng suất tính toán mối hàn khi kéo và nén

F

: Tải trọng kéo hoặc nén các chi tiết ghép

δ

: Chiều dày nhỏ nhất trong các chi tiết ghép

L

: Chiều dài mối hàn

[ σ k' ], [ σ n' ]

: Ứng suất cho phép mối hàn khi kéo và nén.

™ Đường hàn giáp mối xiên góc:
Khi đường hàn giáp mối thẳng góc không đủ khả năng chòu lực, có thể tăng tiết
diện đường hàn bằng cách sử dụng đường hàn xiên.
Đường hàn giáp mối xiên góc chòu cả hai lực: Lực pháp tuyến và lực cắt
τ’

δ

F

F
α

σ’k

Hình 1.3: Mối hàn giáp mối xiên góc chòu kéo
Điều kiện bền:

6

σ k' =

F . sin α
≤ σ k'
δ .l

[ ]

F . cos α
≤ τ'
δ .l

[ ]

τ' =

[σ ] , [τ ]: Ứng suất cho phép mối hàn khi chòu kéo và cắt.
'
k

'

b. Mối hàn chồng:
-

Mối hàn dọc.

-

Mối hàn ngang.

-

Mối hàn xiên.

Đối với mối hàn chồng ta tính theo ứng suất cắt nằm trên mặt phẳng phân giác
góc vuông mặt cắt ngang của mối hàn.
™ Mối hàn ngang:
Mối hàn ngang chòu tác dụng của lực kéo như hình 1.4
L0

k

c ≥ 4δ

L0

k

l

F

Hình 1.4: Mối hàn ngang
Điều kiện bền:
τ=

[ ]

F

≤ τ'
2.(0.7 kl )

™ Mối hàn dọc:
Mối hàn dọc chòu tác dụng của lực kéo như hình 1.5

7

F


F

k
l ≤ 50k

Hình 1.5: Mối hàn dọc
Điều kiện bền:
τ=

[ ]

F
≤ τ'
2.(0.7 kl )

Trong đó:
τ'

: Ứng suất tính toán trong mối hàn

l

: Chiều dài mối hàn

[τ ]

: Ứng suất cắt cho phép của mối hàn

k

: Bề rộng cạnh hàn

'

™ Mối hàn xiên: Hình 1.6

F

F
α

Hình 1.6: Mối hàn chồng dạng Mối hàn xiên
Điều kiện bền:
τ=

[ ]

F
≤ τ'

(0.7kl )

8


c. Mối hàn góc: Có hai loại
-

Kiểu chữ k

-

Mối hàn góc kiểu hàn 2 bên

Mối hàn góc dùng để ghép các chi tiết máy có bề mặt vuông góc với nhau.
™ Mối hàn chữ K: Chòu kéo như hình 1.7

l

F

L0

δ

k

k

Hình 1.7: Mối hàn chữ K

Điều kiện bền:
τ=

[ ]

F
≤ σ'
δ .l

™ Mối hàn góc kiểu hàn 2 bên: hình 1.8

L

F

L0

δ

k
k

Hình 1.8: Mối hàn gốc kiểu hàn hai bên
9


Điều kiện bền:
τ '=

[ ]

F
≤ τ'
2.(0.7kl )

τ ' : Ứng suất tiếp tính toán trong mối hàn

[ τ ' ]: Ứng suất tiếp cho phép của mối hàn
Trường hợp Hàn chữ K tính toán như mối hàn giáp nối, kiểu hàn hai bên tính
toán như mối hàn chồng.
ỨNG SUẤT CHO PHÉP CỦA MỐI HÀN THÉP KHI CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH
ỨNG SUẤT CHO PHÉP CỦA
MỐI HÀN

PHƯƠNG PHÁP HÀN

KÉO [σ]’k NÉN [σ]’k

CẮT [σ]k

Hàn hồ quang, bằng tay, dùng que hàn ∋42 và ∋50.
Hàn khí

0,9 [σ]’k

[σ]k

0,6 [σ]k

Hàn hồ quang tự động dưới lớp thuốc hàn; hàn bằng

tay, dùng que hàn ∋42A và ∋50A. Hàn tiếp xúc giáp
mối

[σ]k

[σ]k

0,65 [σ]k

Hàn tiếp xúc điểm

0,6 [σ]k

[σ]k – ứng suất kéo cho phép của kim loại được hàn khi chòu tải trọng tónh. Hệ số an toàn
của các kết cấu kim loại [s] ≈ 1,2 ÷ 1,8.

1.5 Kết luận
- Như đã nói ở phần trên, hàn được ứng dụng rất nhiều trong cơ khí, xây dựng.
- Việc tính toán mối hàn sẽ làm cho chi phí giảm trong việc chế tạo lắp ghép
các chi tiết với nhau.

10


Chương 2 : CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 Vấn đề ứng suất dư và biến dạng dư trong mối hàn:
Ứng suất và biến dạng hàn là trạng thái ứng suất và biến dạng do quá trình hàn
gây ra và tồn tại trong kết cấu hàn sau khi hàn. Nó ảnh hưởng nhất đònh đến chất lượng
và khả năng làm việc của kết cấu hàn.Việc tìm hiểu nguyên nhân sinh ra ứng suất và
biến dạng hàn và tìm phương pháp để đề phòng, hạn chế ảnh hưởng của chúng là một

vấn đề quan trọng ngay cả đối với người thợ hàn khi tham gia chế tạo kết cấu hàn.
Quá trình hàn là quá trình nung nóng cục bộ khu vực cần hàn trong thời gian
ngắn tới nhiệt độ rất cao. Khi nguồn nhiệt hàn di động lên phía trước, thì khối lượng
kim loại được nung nóng nguội dần về nhiệt độ ban đầu và kèm theo những biến dạng
nhiệt. Do sự phân bố nhiệt rất khác nhau (không đồng đều) ở các vùng xung quanh mối
hàn nên sự thay đổi thể tích (co, giãn) ở các vùng đó cũng rất khác nhau và ảnh hưởng
lẫn nhau. Điều này dẫn đến sự tạo thành nội lực, ứng suất, biến dạng hàn.
Có thể kể ra 3 nguyên nhân chính sau đây gây ra sự xuất hiện ứng suất và biến dạng
hàn:
1. Nung nóng không đều kim loại ở vật hàn.
2. Độ co ngót của kim loại nóng chảy ở mối hàn sau khi kết tinh.
3. Sự thay đổi tổ chức của vùng kim loại lân cận mối hàn.
Nung nóng không đều kim loại vật hàn làm cho những vùng ở xa nguồn nhiệt
không hoặc rất ít bò biến dạng nhiệt, chúng sẽ cản trở sự biến dạng ở vùng lân cận mối
hàn.
Do vậy sẽ xuất hiện ứng xuất trong mối hàn và vùng kim loại lân cận đó.
Thường ứng suất này vẫn tồn tại cả khi đã kết thúc quá trình hàn và vật hàn đã trở về
nhiệt độ bình thường (đã nguội hoàn toàn).
Kim loại lỏng ở mối hàn bò giảm thể tích do kết quả động đặc tương tự như đúc.
Do sự co ngót của kim loại trong mối hàn xuất hiện các lực nén theo phương dọc cũng
như phương ngang so với trục mối hàn và tạo ra trường ứng suất dư ở đó.
Những thay đổi tổ chức kim loại trong vùng lân cận mối hàn là những thay đổi
về kích thước và vò trí sắp xếp của các tinh thể kim loại, đồng thời kéo theo sự thay đổi
thể tích của kim loại trong vùng ảnh hưởng nhiệt. Sự thay đổi cục bộ như vậy dẫn đến
tạo thành nội ứng suất. Khi hàn các thép hợp kim và cacbon cao có khuynh hướng tôi
thì các ứng suất này có thể đạt đến những giá trò rất cao.
Ứng suất dư trong vật hàn kết hợp với ứng suất sinh ra do ngoại lực tác dụng khi
làm việc có thể làm giảm khả năng làm việc của kết cấu và làm xuất hiện những vết
nứt, gãy.

11


Biến dạng hàn khi làm sai lệch hình dáng, kích thước của các kết cấu hàn, vật
hàn, do đó sau khi hàn thường phải tiến hành các công việc sửa, nắn, v.v… rất phứt tạp
và tốn kém.
2.2 Thiết lập phần tử cơ nhiệt 2D
Bài toán ứng suất phẳng trong đàn hồi

z

O

y

x

Hình 2. 1 : Kết cấu tấm cho bài toán ứng suất phẳng

y

x

tấm
Mô hình toán học

Ω

S

Mặt phẳng
trung hóa
Hình 2.2 : Mô hình toán học

Với các vật thể mỏng (giả sử kích thước theo phương Z rất nhỏ so với hai
phương còn lại) chòu tác dụng của các lực trong mặt phẳng xy, người ta có thể chấp
nhận giả thuyết
σ Z = τ yz = τ zx = 0
Ta biết rằng trong bài tóan khối ta có quan hệ giữa biến dạng và ứng suất như sau:

12


⎡1
⎢E
⎢
−V
⎧ε x ⎫ ⎢
⎪ε ⎪ ⎢ E
⎪ y ⎪ ⎢−V
⎪⎪ε z ⎪⎪ ⎢
⎢ E
⎨ ⎬=⎢
⎪γ xy ⎪ ⎢ 0
⎪γ ⎪ ⎢
⎪ yz ⎪ ⎢
⎪⎩γ zx ⎪⎭ ⎢ 0
⎢
⎢
⎢⎣ 0

-V
E
1
E
-V
E

-V
E
-V
E
1
E

0

0

0

0

0

0

0

0

1
G

0

0

0

0

1
G

0

0

0

0

⎧ σ x − Vσ y ⎫
⎤
0⎥
⎪
⎪
E
⎪

⎪
⎥
σ
− Vσ x ⎪
⎪
y
0 ⎥ ⎧σ x ⎫ ⎪
⎪
⎥⎪ ⎪
E
⎪
⎪
⎥ ⎪σ y ⎪
σ x +σ y ⎪
⎪
0 ⎥ ⎪σ ⎪ ⎪− V .
⎥⎪ z ⎪ ⎪
E ⎪⎪
=
⎨
⎬
⎨
⎬
⎥ τ
τ xy
xy ⎪
⎪
⎪
⎪
0⎥

⎪
⎪
⎪
⎪
G
⎥ τ yz
⎪
⎥⎪ ⎪ ⎪
τ yz
⎪
0 ⎥ ⎪⎩τ zx ⎪⎭ ⎪
⎪
⎪
G
⎥
⎪
⎪
1⎥
τ zx
⎪
⎪
G ⎥⎦
⎪⎩
⎪⎭
G

Đối với bài toán ứng suất phẳng ta có:
⎡1
⎢
⎧ε x ⎫ ⎢ E

⎪
⎪ ⎢ 1
⎨ε y ⎬ = ⎢ −
⎪
⎪ ⎢ E
γ
xy
⎩
⎭
⎢ 0
⎣⎢

ε x = −V
γ yz = 0

σ x +σ

-

V
E
1
E
0

⎤
0 ⎥
⎥ ⎧σ x ⎫
⎪ ⎪
0 ⎥ ⎨σ y ⎬

⎥
⎪ ⎪
1 ⎥⎥ ⎩τ xy ⎭
G ⎦⎥

(1)

y

E

γ zx = 0

xy.

Vì thế các biến sơ cấp là các thành phần ứng suất, biến dạng trong mặt phẳng

Bài tóan ứng suất phẳng có thể phát biểu theo các thành phần chuyển vò u, v trong mặt
phẳng xy như sau:
Các thành phần ứng suất: {σ x

Các thành phần biến dạng: {ε x

σy
εy

τ xy }

γ xy }

Quan hệ biến dạng – chuyển vò (với giả thuyết chuyển vò bé):
⎧
∂u
⎪ε x =
∂u
⎪
⎪
∂v
⎨ε y =
∂y
⎪
⎪
∂u ∂v
+
⎪γ xy =
∂y ∂x
⎩

Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng:
13


σy

τ xy
σx

Hình 2. 3 : Nội lực trong phần tử của tấm ứng suất phẳng

⎧σ x ⎫

⎪ ⎪
E
⎨σ y ⎬ =
2
⎪ ⎪ 1- V
σ
⎩ xy ⎭

⎡
⎢1
⎢
⎢v
⎢
⎢0
⎣

v
1
0

⎤
0 ⎥ ⎧ε x ⎫
⎥⎪ ⎪
0 ⎥ ⎨ε y ⎬ ⇔ {σ } = [C] {ε } ;
1 - v ⎥ ⎪γ xy ⎪
⎥⎩ ⎭
2 ⎦

(2)

Khi có sự thay đổi nhiệt độ ΔT, vectơ biến dạng ban đầu có dạng:
σx +σy
T
{ε 0 } = {αΔT αΔT
0}
; ε z = −V
+ αΔT
E

α : Hệ số giản nở vì nhiệt

{ { }

{σ } = [C ]{ε } − ε o

™ Các phương trình PTHH:
Đối với bài toán phẳng, việc giả sử chiều dày h theo phương z là hằng số dẫn
đến các tích phân thể tích sẽ trở thành các tích phân diện tích phần tử, các tích phân
mặt sẽ trở thành các tích phân trên biên phần tử. Tải trọng tác dụng chỉ có các thành
phần trong mặt phẳng xy. Do đó các phương trình phân tử cho bài tóan phẳng có thể
thiết lập như sau:
14


Lời giải giả đònh:

⎡ N1
⎣0

⎧u ⎫

⎩v ⎭

U(x,y) = ⎨ ⎬ = ⎢

0

N2

0

N3

N1

0

N2

0

⎧ u1 ⎫
⎪v ⎪
⎪ 1⎪
0 ⎤ ⎪⎪u 2 ⎪⎪
T
⎨ ⎬ ≡ [N ] {d }
⎥
N 3 ⎦ ⎪v 2 ⎪
⎪u 3 ⎪
⎪ ⎪

⎪⎩ v3 ⎪⎭

(3)

Quan hệ biến dạng – chuyển vò:
⎫ ⎡
⎧ ∂u
⎪ ⎢ ∂N 1
⎪
⎧ε x ⎫ ⎪ ∂ x
⎪ ⎢ ∂x
⎪ ⎪ ⎪ ∂v
⎪ ⎢
{ε } = ⎨ε y ⎬ = ⎨
⎬=⎢ 0
y
∂
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎩γ xy ⎭ ⎪ ∂ u ∂ v ⎪ ⎢⎢ ∂ N 1
+
⎪
⎪
∂y
⎩ ∂ x ∂ y ⎭ ⎢⎣

0
∂N 1
∂y
∂N 1

∂x

∂N 2
∂x
0
∂N 2
∂y

0
∂N 2
∂y
∂N 2
∂x

∂N 3
∂x
0
∂N 3
∂y

u
⎤⎧ 1 ⎫
⎪
0 ⎥ v1 ⎪
⎥⎪ ⎪
∂ N 3 ⎥ ⎪⎪ u 2 ⎪⎪
T
⎨ ⎬ ≡ [B ] {d }
⎥
v

∂y ⎪ 2 ⎪
∂N 3 ⎥ ⎪u ⎪
⎥ 3
∂ x ⎥⎦ ⎪⎪ v ⎪⎪
⎩ 3⎭

(4 )

Quan hệ ứng xử:
{σ } = [c][{ε } − {ε 0 }]
Với bài tóan ứng suất phẳng:
⎧σ x ⎫
⎪ ⎪
E
⎨σ y ⎬ =
⎪ ⎪ 1−V
⎩τ xy ⎭

2

⎡
⎢1
⎢
⎢v
⎢
⎢0
⎣

v
1

0

⎤
0 ⎥ ⎧ ⎧ ε x ⎫ ⎧α Δ T
⎪ ⎪
⎥ ⎪⎪ ⎪
0 ⎥ ⎨ ⎨ ε y ⎬ − ⎨α Δ T
1 - v ⎥ ⎪⎪ ⎪ γ xy ⎪ ⎪⎩ 0
⎭
⎥⎩⎩
2 ⎦

⎫⎫
⎪ ⎪⎪
⎬⎬
⎪⎪
⎭ ⎪⎭

(5 )

Hệ phương trình phần tử:

[K ]{d } = {rq }+ {rb } + {rε }

(6 )

Ma trận độ cứng của phần tử:

[K ] = h ∫∫ [B ][C ][B ]T dA

(7 )

A

Vectơ tải tương đương do tải phân bố

{r } = h ∫ {N }⎧⎨ q
⎩
q

c

c

qx ⎫
⎬ dc
y ⎭

(8 )

{Ne} : Các hàm nội suy chuyển vò theo tọa độ biên c của phần tử
Vectơ tải tương đương do tải thể tích
15


⎧bx ⎫
⎬dA
⎩b y ⎭

{rb } = h ∫∫ {N }⎨

A

(9)

Vectơ tải tương đương do sự thay đổi nhiệt độ ban đầu

{rε } = h ∫∫ [B ][C ]{ε 0 }dA

(10 )

A

Phần tử tam giác 3 nút:
Hình 4 mô tả phần tử tam giác 3 nút cho bài toán phẳng đàn hồi trong hệ tọa độ Oxy,
với các nút là (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Các ẩn chuyển vò tại 3 nút được gọi là các bậc tự
do tại nút u1.v1, u2.v2, u3.v3. Phương pháp tuyến ngoài và tọa độ biên c của mỗi cạnh
được mô tả trên hình 2.4. Để đơn giản trong việc lấy tích phân, người ta giả sử rằng các
lực tác dụng là hằng số trên mỗi phần tử.
u6
(x3,y3)
u5
3
c n
n
c
v3
u4
u3
u3
3

n
2
c
n
c
y
v2
u2
(x2,y2)
c
y
2 u2
n
u1
1
v1
c
n
(x1,y1)
1 u1
x

x

σ xx

σ yy

σ xx

σ xy
σ yy

Hình 2.4 : Phần tử tam giác 3 nút cho bài tóan phẳng đàn hồi.
Lời giải giả đònh trên phần tử được viết như sau:

16


⎧u ⎫ ⎡ N 1
u ( x, y ) ≡ ⎨ ⎬ = ⎢
⎩v ⎭ ⎣0

0

N2

0

N3

N1

0

N2

0

⎧u1 ⎫

⎪v ⎪
⎪ 1⎪
0 ⎤ ⎪⎪u 2 ⎪⎪
T
⎨ ⎬ ≡ [N ] {d }
⎥
N 3 ⎦ ⎪v 2 ⎪
⎪u 3 ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩v3 ⎪⎭

(11)

Cách thành lập hàm dạng,
Lời giải xấp xỉ PTHH cần có dạng
Bên trong phần tử:
u ( x , y ) = {N 1 ( x , y )

⎧u 1 ⎫
⎪ ⎪
T
N 3 ( x , y )}⎨ u 2 ⎬ = [N ] {d }
⎪u ⎪
⎩ 3⎭

N 2 (x , y )

(12 )

Ở trên biên:

u (c ) = {N 1 (c )

⎧u 1 ⎫
⎪ ⎪
T
N 3 (c )}⎨ u 2 ⎬ = {N c } {d }
⎪u ⎪
⎩ 3⎭

N 2 (c )

(13 )

Thật vậy, lời giải giả đònh trên phần tử được chọn dựa trên đa thức tuyến tính
trong miền hai chiều.
u ( x , y ) = c 0 + c 1 x + c 2 y = {1

x

⎧c 0 ⎫
⎪ ⎪
y }⎨ c 1 ⎬
⎪c ⎪
⎩ 2⎭

(14 )

Biểu diễn các hệ số C0, C1, C2, theo các bậc tự do nút

⎧u 1 ⎫

⎪ ⎪
⎨u 2 ⎬ =
⎪u ⎪
⎩ 3⎭

⎡1
⎢1
⎢
⎢⎣1

x1
x

2

x

3

y 1 ⎤ ⎧c 0 ⎫
⎪ ⎪
y 2 ⎥⎥ ⎨ c1 ⎬
y 3 ⎥⎦ ⎪⎩ c 2 ⎪⎭

⎡ x 2 y 3 − x3 y 2
⎧c 0 ⎫
1 ⎢
⎪ ⎪
⇒ ⎨c1 ⎬ =
⎢ y 2 − y3

2
A
⎪c ⎪
⎢⎣ x 3 − x 2
⎩ 2⎭

(15 )

x 3 y1 − x1 y 3
y 3 − y1
x 1 − x3

Gọi A là diện tích tam giác cho bởi:
17

x1 y 2 − x 2 y1 ⎤ ⎧u1 ⎫
⎪ ⎪
y 1 − y 2 ⎥⎥ ⎨u 2 ⎬
x 2 − x1 ⎥⎦ ⎪⎩u 3 ⎪⎭

(16 )


1
1
1
A = (− x 2 y 1 + x 3 y 1 + x 1 y 2 − x 3 y 2 − x 1 y 3 + x 2 y 3 ) = 1
2
2
1

x

1

y1

x

2

y2

x

3

y3

(17 )

Thay (16, (17) vào (14), ta có:
u ( x, y ) = {1

⎡ x 2 y 3 − x3 y 2
1 ⎢
y}.
y 2 − y3
2A ⎢
⎢⎣ x 2 − x 3

x

Đặt: f1 = x2y3 – x3y2

x 3 y1 - x 1 y 3
y 3 - y1
x 1 - x3

x 1 y 2 - x 2 y1 ⎤ ⎧u1 ⎫
⎪ ⎪
y 1 - y 2 ⎥⎥ ⎨u 2 ⎬
x 2 - x 1 ⎥⎦ ⎪⎩u 3 ⎪⎭

;

f2 = x3y1 – x1y3

;

f3 = x1y2 – x2y1

b1 = y2 – y3

;

b 2 = x3 – y 1

;

b 3 = y 1 – y2

c 1 = x 3 – y2

;

c2 = x 1 – x3

;

c3 = x2 – x1

⇒ u ( x , y ) = {1

⇔ u (x, y ) = {N 1

x

N2

⎡f1
1 ⎢
y }.
b1
2A ⎢
⎢⎣ c 1

f 3 ⎤ ⎧u 1 ⎫
⎪ ⎪
b 3 ⎥⎥ ⎨ u 2 ⎬

c 3 ⎥⎦ ⎪⎩ u 3 ⎪⎭

f2
b2
c2

⎧u1 ⎫
⎪ ⎪
T
N 3 }⎨u 2 ⎬ = [N ] {d } ,
⎪u ⎪
⎩ 3⎭

(18 )

(19)

(20 )

hay ta có :

1
(x 3 ( y − y 2 ) + x ( y 2 − y 3 ) + x 2 (− y + y 3 )) = 1 (xb 1 + yc 1 + f 1 )
2A
2A
1
(x 3 (− y + y 1 ) + x 1 ( y − y 3 ) + x (− y + y 3 )) = 1 (xb 2 + yc 2 + f 2 )
=
2A
2A

1
(x 2 ( y − y 1 ) + x ( y 1 − y 2 ) + x 1 (− y + y 2 )) = 1 (xb 3 + yc 3 + f 3 )
=
2A
2A

N1 =
N2
N3

(21 )

Lưu ý rằng mỗi hàm nội suy ở trên thỏa tích chất delta Kronecker, tức là có giá
trò bằng 1 tại chính nút đó và bằng không tại tất cả các nút còn lại.
Từ đó ta có:
⎧ ∂u ⎫
⎪
⎪
⎧ε x ⎫ ⎪ ∂ x ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ∂v ⎪
1
⎬=
⎨ε y ⎬ = ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ∂y ⎪ 2 A
⎩γ xy ⎭ ⎪ ∂ u ∂ v ⎪
+
⎪
⎪
⎩ ∂y ∂x ⎭

⎡ b1
⎢0
⎢
⎢⎣ c 1

0

b2

0

b3

c1

0

c2

0

b1

c2

b2

c3

⎧u1 ⎫

⎪v ⎪
0 ⎤⎪ 1 ⎪
⎪⎪ u 2 ⎪⎪
T
c 3 ⎥⎥ ⎨ ⎬ ≡ [B ] {d }
v2
b 3 ⎥⎦ ⎪ ⎪
⎪u 3 ⎪
⎪ ⎪
⎪⎩ v 3 ⎪⎭

(22 )

Do [B] là ma trận của các hằng số, nên ma trận độ cứng phần tử có thể tính toán
một cách dễ dàng.
18


[K ] = h ∫∫ [B ][C ][B ]T dA

= hA [B ][C ][B ]

(23 )

T

A

Trong đó [C] là ma trận ứng xử tương ứng
Với bài tóan ứng suất phẳng:

[C ] =

E
1−V

⎡
⎢1
⎢
⎢v
⎢
⎢0
⎣

2

v

⎤
⎥
⎥
0 ⎥
1 - 2v ⎥
⎥
2 ⎦
0

1- v
0

(24 )

Vectơ tải trọng nút tương đương do lực thể tích:
⎧h N 1bx dA ⎫
⎪ ∫∫
⎪
A
⎪
⎪
⎪h ∫∫ N 1b y dA ⎪
⎪ A
⎪
⎪
⎪
h ∫∫ N 2 bx dA ⎪
⎪
b
⎧ ⎫
⎪
{rb } = h ∫∫ {N }⎨ x ⎬dA = ⎪⎨ A
⎬
A
⎩b y ⎭
⎪h ∫∫ N 2 b y dA⎪
⎪ A
⎪
⎪
⎪
⎪h ∫∫ N 3 bx dA ⎪
⎪ A

⎪
⎪h N 3 b y dA ⎪
⎪⎩ ∫∫
⎪⎭
A

(25)

Với giả sử lực thể tích là hằng số trên phần tử ta có:

{rb } = hA {bx

by

3

bx

by

bx

by}

(26)

T

Vectơ tải trọng nút tương đương do sự thay đổi nhiệt độ:

{rε } = h ∫∫ [B ][C ][ε 0 ]dA = hA[B][C ][ε 0 ]

(27 )

A

Với:

{ε 0 } = {αΔT

αΔT

0}

T

Vectơ tải trọng nút tương đương do lực phân bố:
qx ⎫
⎬ dc
⎩ y⎭

{r }= h ∫ {N }⎧⎨ q
q

e

e

(28 )

Trong đó c là phần biên có lực phân bố tác dụng. Trong trường hợp tổng quát,
các lực mặt tác dụng lên biên có thể phân thành 2 thành phần: Một theo phương pháp
tuyến, một theo phương tiếp tuyến với biên. Nếu ta gọi qn, qt là các thành phần pháp
tuyến, tiếp tuyến tương ứng với biên, qx, qy là các thành phần theo phương x, y tương
ứng, ta có mối quan hệ:
19