MỘT số bài TOÁN về PHƯƠNG TRÌNH TRÊN tập số NGUYÊN

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN

Bài 1. Tìm tất cả các cặp

Lời giải. Giả sử

các số nguyên thỏa mãn

là một cặp thỏa mãn.

Ta thấy

và

cũng là một cặp thỏa mãn.

Bây giờ ta chỉ xét
Nếu

ta có

Nếu

ta có

là số lẻ. Viết lại phương trình đã cho dưới dạng

Vì chỉ có đúng một trong hai số

chia hết cho

nên

và phải xảy ra một trong

hai trường hợp sau
1/. Nếu
Từ

, với
ta có

Suy ra

, do vậy

2/. Nếu
Từ

là số nguyên dương lẻ.

, với
ta có

. Thay vào

ta thấy không thỏa mãn.

là số nguyên dương lẻ.

Suy ra

và

. Do đó

Thay vào

ta được

, bởi vậy

Thử lại thấy đúng.
Vậy các cặp số nguyên

phải tìm là

Bài 2. Tìm tất cả các bộ ba

Lời giải. Giả sử
Nếu
Như vậy
Do đó

các số tự nhiên thỏa mãn

là một bộ ba thỏa mãn.

là các số lẻ thì
phải chia hết cho

là số lẻ, suy ra
suy ra

là số lẻ, vô lý!
chia hết cho

là các số chẵn. Viết

(

là các số tự nhiên.)

Từ phương trình đầu ta có
Với cùng phương pháp ta sẽ chứng minh được

là các số tự nhiên chẵn.

Bằng quy nạp ta tìm được dãy các bộ ba các số tự nhiên

thỏa mãn
với mỗi số tự nhiên

Suy ra với mỗi số nguyên dương , cả ba số
Do đó
Vậy bộ ba phải tìm là

Thử lại thấy đúng.

đều chia hết cho

Bài 3. Với mỗi số nguyên dương
, với

gọi

là tập các số nguyên có thể biểu diễn dưới dạng

là số nguyên lớn hơn

a/. Chứng minh rằng
b/. Tìm
Lời giải.
a/. Nếu ngược lại thì có các số nguyên dương

Từ

ta có

lớn hơn

suy ra hai số

nhau. Bởi vậy, tồn tại các số nguyên dương

sao cho

là hai số nguyên tố cùng

sao cho

Ta có
Phép so sánh đơn giản chỉ ra rằng

không thể xảy ra.

Như vậy
b/. Trên tập các số nguyên dương ta xét hai hàm số
Dễ thấy đây là các hàm số tăng và với mỗi
số nguyên dương , ta có


Suy ra nếu có các số nguyên dương

lớn hơn

thỏa mãn

thì

Khi đó

Như vậy giao phải tìm là

Bài 4. Cho

là một bộ ba các số nguyên dương thỏa mãn

tồn tại các số nguyên

Chứng minh rằng

thỏa mãn

Lời giải 1. Từ giả thiết ta có
Ta viết

Ở đây các

khác nhau. Từ

là các số nguyên tố Gauss không cần

không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
.

Suy ra

và

Từ đẳng thức cuối ta có
Bài toán được giải.
Lời giải 2. Nếu tồn tại những bộ ba thỏa mãn điều kiện đề bài nhưng không có dạng mong muốn,
ta chọn

là một bộ ba như vậy có tổng ba thành phần nhỏ nhất. Ta thấy

tính tổng quát ta giả sử

.

Từ

và

ta có

Không mất


Nếu

ta có

và ta có thể viết
với

Trái với cách chọn bộ ba

.

Như vậy là
Dễ chứng minh được
Xét bộ ba các số nguyên dương

Ta có

với

và

Suy ra tồn tại các số nguyên

thỏa mãn

Từ đây ta có
Trái với cách chọn bộ ba

.

Bài toán được giải.

Bài 5. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương

thỏa mãn

có nghiệm nguyên dương.

Bài 6. Tìm tất cả các số nguyên dương

sao cho phương trình

phương trình


có nghiệm nguyên dương.

Bài 7. Tìm tất cả các bộ ba

các số tự nhiên thỏa mãn

Bài 8. Tìm tất cả các số nguyên dương
có nghiệm nguyên dương.

sao cho phương trình