Một số bài toán về phương trình vô tỷ

Kính gửi: - Tạp chí Toán học Tuổi thơ 2
- Chuyên mục: Thi giải toán qua th.
Bài toán. Giải phơng trình

4x
4
+ x
2
+3x +4 = 3
3 3
1216 xx
+
(1)
Lời giải: Viết lại phơng trình (1)
8x
4
+ 2x
2
+6x +8 = 3
3
2
)34(4.8
+
xx



8x
4
+ 2x
2

+6x +8= 3
3
2
4).34.(8
+
xx
(2)
Mặt khác: 8x
4
+ 2x
2
+6x +8 = 8x
4
+2(
2
)
2
3
+
x
+
2
7

0,
x

Do đó phơng trình (1) có nghiệm khi:
3
2

)34(4.8
+
xx
0

0

x
áp dụng BĐT Cô Si cho 3 số dơng 8x, 4x
2

+3 và 4 Ta có:
3
3
2
4).34.(8
+
xx
4)34(8
2
+++
xx
hay 3
3
2
4).34.(8
+
xx
784
2

++
xx
(3)
BĐT(3) xẩy ra dấu bằng khi và chỉ khi 8x= 4x
2
+3 = 4
2
1
=
x
(*)
Từ (2) và (3) ta có: 8x
4
+ 2x
2
+6x +8
784
2
++
xx
01228
24
+
xxx

x2(

- 1)
2
.(2x

2
+2x+1)
0

0)12(
2

x
( vì 2x
2
+2x+1
0

,
x

)

12

x
= 0
2
1
=
x
Thoả mãn (*).
Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất
Địa chỉ: Ngô Đức việt
Chuyên viên phòng GD - ĐT huyện Lộc Hà, tỉnh Hà Tĩnh

Điện thoại: 0912539836

Kính gửi: - Tạp chí Toán học Tuổi thơ 2
- Chuyên mục: Thi giải toán qua th.
Bài toán. Giải phơng trình
X=
2
1

X
2
- x = 1004(
x80321
+
+ 1) (1)
Lời giải: Điều kiện: x
8032
1

(*)
Phơng trình (1)

4x
2
- 4x = 4016(
x80321
+
+ 1)

4016.

x80321
+
= 4x
2
- 4x - 4016

4016.
x80321
+
= (2x-1)
2
- 4017
Đặt
x80321
+
= 2y- 1 ( y
2
1

)
(2x

1)
2
= 8032y + 1 (2)
Khi đó phơng trình (1)

(2y 1)
2

= 8032x + 1 (3)
y
2
1

(4)
Trừ PT(2) cho PT(3) theo từng vế ta đợc:
4(x- y)(x+ y- 1) + 8032(x- y) = 0

(x- y)(x + y + 2007)= 0 (5)
Mặt khác: Từ (2), (3) và (4) ta có: 4(x
2
+ y
2
)- 4(x+y) + 2 = 8032(x+y)+2

2009(x+y) = x
2
+ y
2
0

0
+
yx

02007
++
yx
. Từ đó PT(5)

x = y.
Thay vào PT(3) ta đợc: 4y
2
- 4y = 8032y

y
2
- 2009y = 0

y = 2009 ( vì y
2
1

)

x = 2009 thoả mãn (*)
Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất
Địa chỉ: Ngô Đức việt
Chuyên viên phòng GD - ĐT huyện Lộc Hà, tỉnh Hà Tĩnh
Điện thoại: 0912539836


Kính gửi: - Tạp chí Toán học Tuổi thơ 2
- Chuyên mục: Thi giải toán qua th.
X= 2009
X= 2009
Bài toán. Cho một điểm M nằm trong tam giác ABC; các đờng thẳng AM, BM,
CM kéo dài cắt các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại A
1

, B
1
và C
1
. Tìm điểm M sao cho
biểu thức P =
1
1
1
1
1
1
MC
MC
MC
MC
MB
MB
MB
MB
MA
MA
MA
MA
+++++
đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá
trị nhỏ nhất đó.
Lời giải:
Gọi x, y, z theo thứ tự lần lợt là diện tích các tam giác
MBC

,
MCA

,
MAB

( x, y, z dơng).
áp dụng tỷ số diện tích tam giác ta có:
zy
x
SS
S
SS
SS
S
S
S
S
MA
MA
MBAMCA
MBC
MBAMCA
MBAMCA
MBA
MBA
MCA
MCA
+

=
+
=
+
+
===








1111
1
Tơng tự:
zx
y
MB
MB
+
=
1
;
yx
z
MC
MC
+

=
1
Khi đó biểu thức P trở thành:
P =
z
yx
yx
z
y
zx
zx
y
x
zy
zy
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Hay P = (
)()
z

yx
y
zx
x
zy
yx
z
zx
y
zy
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

Dể dàng ta chứng minh đợc:
2
3

+
+
+

+
+
yx
z
zx
y
zy
x
(*), (BĐT này ta đã quen
thuộc đó là BĐT Netsbit). BĐT (*) xẩy ra dấu bằng khi và chỉ khi x=y=z.
áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dơng ta có:
2
+
x
y
y
x
,
2
+
y
z
z
y
và
2
+
z
x
x

z

z
yx
y
zx
x
zy
+
+
+
+
+
=
)()()(
z
x
x
z
y
z
z
y
x
y
y
x
+++++
6

; Dấu đẳng thức có khi và
chỉ khi x = y = z.
Vậy P
2
15
6
2
3
=+
hay P
Min

=
2
15
khi x=y=z.
x=y=z khi và chỉ khi M là trọng tâm của tam giác ABC.
Tóm lại: Biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất P
Min

=
2
15
khi điểm M là trọng tâm
của
ABC

.

Địa chỉ: Ngô Đức việt

Chuyên viên phòng GD - ĐT huyện Lộc Hà, tỉnh Hà Tĩnh
Điện thoại: 0912539836