Bài tập về VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

VIẾT PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
I.Lý thuyết: Bài toán về tiếp tuyến với đƣờng cong:
Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x0). (x – x0) + y0
1.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(x0, y0) thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếp
tuyến duy nhất nhận M(x0; y0) làm tiếp điểm).
Phương trình tiếp tuyến với hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x0; y0) ∈ (C)
(hoặc tại h x = x0 ) có dạng: y =f’(x0).(x – x0) + y0.
2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A (xA, yA) cho trước, kể cả điểm
thuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua A(xA, yA)).
Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x0, y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y
= f’(x).(x – x0) + y0 (d).
Điểm A(xA, yA) ∈ d, ta được: yA = f’(x0). (xA – x0) + y0 => x0
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.
3. Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k
Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x0;y0), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng:
d: y = f’(x0).(x – x0) + y0.
Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình:
f’(x0) = k => x0, thay vào hàm số ta được y0 = f(x0).
Ta lập được phương trình tiếp tuyến d: y = f’(x0). (x – x0) + y0.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc
Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x0; y0) có hệ số góc k có dạng;
d:y = g’(x) = k.(x – x0) + y0.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


Điều kiện để đường thằng y = g(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) là hệ phương trình sau có
nghiệm: {

( )
( )

( )
( )

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.
II. Bài tập
Loại 1: Cho hàm số y =f(x). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C).
Giải
Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*)
Với x0 là hoành độ tiếp điểm;
Với y0 = f(x0) là tung độ tiếp điểm;
Với k = y’(x0) = f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến.
Để viết được phương trình tiếp tuyến ta phải xác định được x0; y0 và k.
MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M0(x0;y0) ∈ (C)
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc
Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x0
-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm.
Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y0
-Giải phương trình y0 = f(x0) để tìm x0.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x0 ta được hệ số góc.
Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.
Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’(x0) = f’(x0)
-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y’(x0) = f’(x0) để tìm x0
- Thay x0 vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm.
Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x0 thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.
Chú ý: Một số dạng khác
-Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng :
y = ax + b thì điều này ⇔ y’(x0). a = -1 ⇔ y’(x0) =

… Quay về dạng 4.

- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = ax + b thì điều này ⇔ y’(x0) = a… Quay về dạng 4.
- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì
việc đầu tiên là tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng… Quay về dạng 1.
Chú ý:
Cho hai đường thẳng d1: y = a1x + b1 với a1 là hệ số góc của đường thẳng d1 và y = a2x + b2 với a2
là hệ số góc của đường thẳng d2.
+Nếu d1 ⊥ d2 ⇔ a1.a2 = -1
+Nếu d1 // d2 ⇔ {
-Nếu đường thẳng cho ở dạng Ax + By + C = 0 (A2 + B2 ≠ 0) thì có hệ số góc là
-Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm M1(x1; y1) và M2(x2; y2) là

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3

VÍ DỤ MINH HỌA
( ). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C)

Ví dụ 1: Cho hàm số
tại điểm có hoành độ = 1.

Giải
Gọi M0(x0;y0) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*).
Đạo hàm y’(x0) = 2x03 – 6x0.
Theo giả thiết x0 = 1 => y(1) = 0 và k = y’(1) = -4 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là
y = -4 (x – 1) = -4x + 4.
Ví dụ 2: Cho hàm số:

( )

( ). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại

điểm trên (C) có hoành độ x0, với f’’(x0) = 6.
Giải
Gọi M0(x0; y0) ∈ (C).
Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*)
Tính f’(x0) = -x02 + 4x0 - 3; f’’(x0) = -2x0 + 4.
Theo giả thiết f’’(x0) = 6 ⇔ -2x0 + 4 = 6 ⇔x0 = -1 =>y0 (-1) =
k=f’(x0) = f’(-1) = - (-1)2 + 4 (-1) – 3 = - 8
Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm là
(

)⇔

Ví dụ 3: Cho hàm số
tung độ bằng

.
(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có

.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Giải
Gọi M0(x0; y0) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*).
Theo giả thiết:
⇔
⇔[

⇔
⇔

Tính y’(x0) =

.

Với x0 = 2 => k = y’(2) = -12 và y0 =
(

)

.

Với x0 = -2 => k = y’(-2) = 12 và y0 =
(

thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:

)

thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:

.

Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

(C) có hệ số góc bằng 2.

Giải
Gọi M0(x0; y0) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*).
Đạo hàm

( )

(

)

Theo giả thiết:

k=y’(x0) = 2 ⇔(

)

⇔(

)

⇔

⇔[

Với x0 = 0 => y0 = -1 và k = 2. Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến:
y = 2(x – 0) – 1 = 2x -1.
Với x0 = -2 => y0 = 3 và k = 2. Thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


y = 2(x + 2) + 3 = 2x + 7.
Ví dụ 5: Cho hàm số: y = x3 – 3x2 + 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song
song với đường thẳng có phương trình y = 3x.
Giải
Gọi M0(x0; y0) ∈ (C). Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng: y = k(x – x0) + y0 (*).
Tiếp tuyến song song với ∆: y = 3x nên có hệ số góc k = f’(x0) = 3
Do đó:

⇔

⇔[

Với x0 = 0 thì y0 = 03 – 3. 02 + 3. 0 = 0
Và f’(x0) = 3 nên pttt là: y – 0 = 3(x – 0) ⇔ y = 3x (loại vì trùng với ∆).
Với x0 = 2 thì y0 = 23 – 3. 22 + 3. 2 = 2 và f’(x0) = 3 nên phương trình tiếp tuyến là:
y – 2 = 3(x – 2) ⇔ y =3x – 4 .
Vậy có một tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là: y = 3x – 4.
Ví dụ 6: Cho hàm số y = x4 – 2x2, có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
giao điểm của (C) với trục hoành.
Giải
Giao điểm của đồ thị (C) với trục Ox là

⇔[

√

Với x0 = 0 thì y0 = 0 và k = 0 suy ra phương trình tiếp tuyến là y = 0.
Với x0 = √ thì y0 = -4 và
Với x0 = √ thì y0 = -4 và
Vậy có 3 tiếp tuyến là y = 0;

√ suy ra phương trình tiếp tuyến là
√ suy ra phương trình tiếp tuyến là
√

√

√
√

.

.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6


Ví dụ 7: Cho hàm số y = -x4 – x2 + 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C). Biết tiếp tuyến
vuông góc với đường thẳng

.
Giải

Tiếp tuyến ∆ vuông góc d:

=>Phương trình tiếp tuyến ∆: y = -6x + b.

∆ tiếp xúc (C) ⇔ hệ số có nghiệm: {
Vậy ∆ vuông góc d:

⇔{

=> Phương trình ∆: y = -6x + b

∆ tiếp xúc (C) ⇔hệ sau có nghiệm: {

⇔{

.

Vậy ∆: y = -6x + 10.
Hoặc:
Hệ số góc của tiếp tuyến là y’ = -4x3 – 2x. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
⇔(

)

⇔(

)(

)

⇔

(

)

Vậy ∆: y = -6(x – 1) + 4 = -16 + 10.
Loại 2: Tiếp tuyến đi qua một điểm
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số: y = 2x3 – 3x2 + 5 (C). Tìm phương trình các đường thẳng qua (

) và

tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

Giải
Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) ⇔ y0 = 2x03 – 3x02 + 5.
Ta có: y’ = 6x2 – 6x =>y’(x0) = 6x02 – 6x0.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

7


Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M có dạng: y – y0 = y’(x0)(x – x0)
⇔

(

⇔

(

)

(

)(

)

)
(

A ∈ ∆⇔

)

⇔

⇔

Vậy có 3 tiếp tuyến thỏa mãn là y = 4 hoặc y = 12x – 15 hoặc
Ví dụ 2: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1),
biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1; - 9)
Giải
Tiếp tuyến qua M(-1;-9) có dạng ∆: y = k(x + 1) – 9.
Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến
(

⇔{

)

(

⇔

)(

⇔*

Khi đó:

⇔*

(

)

⇔

(
)⇔

)(
(

)
)(

)

⇔[

( )

Vậy phương trình tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hoặc hay
Loại 3: Một số dạng khác về viết phƣơng trình tiếp tuyến
VÍ DỤ MINH HỌA

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

8

( ). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết rằng khoảng

Thí dụ 1: Cho hàm số

cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải
Giả sử

(

) ∈ ( ) mà tiếp tuyến với đồ thị tại đó có khoảng cách từ tâm đối xứng đến

tiếp tuyến là lớn nhất.
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

⇔

(

)

Ta có (

(

Ta có

(

(

)(
(

)

)

√

(

(

. Đặt

√

( )

)

)

)

Xét hàm số ( )

(

)(

)
)

)√

f’(t)=0 khi t =1

Bảng biến thiên, từ bảng biến thiên ta có d(I; tt) lớn nhất khi và chỉ khi t = 1 hay
⇔[
Với x0 = 0 ta có y = -x

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

9


Với x0 = 2 ta có tiếp tuyến là y = -x + 4.
Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

. Viết phương trình tiếp

tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng √ .
Giải
Tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0;f(x0)) ∈ (C) có phương trình
y=f’(x0)(x – x0) + f(x0) ⇔ x + (x0 – 1)2y – 2x02 + 2x0 – 1 = 0. (*)
Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng √
⇔

√

(

)

√ ⇔[

Các tiếp tuyến cần tìm: x + y – 1= 0 hoặc x + y – 5 = 0.
( ). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt trục

Ví dụ 3: Cho hàm số
hoành tại A sao cho OA = 1.

Giải
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C) có dạng:
( )(
⇔

(

)

( )⇔

(

)

⇔

(

)

( ) với x0 ≠ 1.

Tiếp tuyến (*) cắt trục Ox tại điểm (
Ta có

)

⇔

).
(loại),

Vậy các tiếp tuyến cần tìm là: x + 2y +1 = 0 hoặc x + 8y – 1 = 0
Ví dụ 4: Cho hàm số

( ). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) cắt 2

trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

10


Giải

Giả sử M0(x0; y0) ∈ (C) với

( )

và

Phương trình tiếp tuyến tại M0 có dạng d:

(

)

(

)

(

.

)

Tọa độ điểm A = d ∩ Ox là nghiệm của hệ
{

(

)

(

)

⇔{

(

)

Tọa độ điểm B = d ∩ Oy là nghiệm của hệ:
{

(

)

(

)

⇔{

(
(

)

(

)

)

Theo giả thiết
⇔

⇔[

⇔

(

⇔

)

(

)

⇔ [

Với

(

Với

(

Ví dụ 5: Cho hàm số

)
)

( ). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C), biết tiếp

tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại
gốc tọa độ O.
Giải
Cách 1:
Giả sử M0(x0; y0) ∈ (C) với

và

( )

(

)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

11


Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0 có dạng:
(

(

)

)

.

Tọa độ điểm A = d∩ Ox là nghiệm của hệ
{

(

)

(

)

=> (

⇔{

)

Tọa độ diểm B = d ∩ Ox là nghiệm của hệ
{

(

)

(

)

⇔{
(

=> (

(

)

)

)

Theo giả thiết tam giác OAB vuông cân tại O nên
OA = OB ⇔
⇔(

(

)

⇔[

)

⇔[

Với

=>Phương trình tiếp tuyến là y = -x (loại)

Với

=>Phương trình tiếp tuyến là y = -x – 2

Cách 2: Vì tam giác OAB vuông cân tại O nên tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) ∈ (C) phải song
song với hai đường phân giác
⇔(
⇔[

⇔(

)

)

⇔[

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

12


Với

=> Phương trình tiếp tuyến là y = -x (loại)

Với

=> Phương trình tiếp tuyến là y = -x – 2.

Ví dụ 6: Cho hàm số

. Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M

(

)

tạo với trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.
Giải
Gọi

(

)

∈ ( ) là điểm cần tìm. Gọi ∆ tiếp tuyến với (C) tại M ta có phương trình:

∆:y = f’(x0)(x – x0) +

(

Gọi A = ∆ ∩ Ox =>

(

)

=>

(

)

(

)

); B = ∆ ∩ Oy =>

(

.

)

(

Khi đó tam giác tạo với hai trục tọa độ ∆AOB có trọng tâm là: (

)

(

)

).

Do G ∈ đường thẳng: 4x + y = 0
⇔
⇔

(

(

)

)

(vì A, B ≠ 0 nên

⇔[

⇔[

Với

(

Với

(

)

).
).

Bài tập vận dụng

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

13


Bài 1: Cho hàm số

đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm thuộc (C) biết tiếp

tuyến đó cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho côsin góc ̂ bằng

√

,

với I là giao 2 tiệm cận của (C).
Giải
)∈( )

(

Gọi

Phương trình tiếp tuyến tại M:
(

Tọa độ

)

Do os ̂

( )

(

Vậy: Tại
(

Tại

(

)

√

̂

)

⇔

⇔(

Ta được:

)

(∆)

, tọa độ B(2x0 -2; 2) = (C) ∩ TCN

nên t n ̂

√

(

.

) phương trình tiếp tuyến:

) phương trình tiếp tuyến:

Bài 2: Cho hàm số

.

. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rẳng khoảng cách

từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
Giải

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ a ≠ -2 thuộc đồ thị (C) có phương trình:
(

)

(

)

⇔

(

)

.

Tâm đối xứng I(-2; 2).
Ta có (

)

=>d(I,d)max ⇔ (

√

(

)

)

√

(

)

√

√

⇔*

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

14


Từ đó suy r

ó h i tiếp tuyến y

x và y

x

( ). Viết phương tình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến với 2 tiệm

Bài 3: Cho hàm số

cận một tam giác vuông cân.
Giải
Tiếp tuyến luôn tạo với 2 tiệm cận một tam giác vuông tại I, để tam giác đó cân, tiếp tuyến phải
vuông góc với đường phân giác của góc tạo bởi 2 tiệm cận .
Phương trình đường phân giác đó lần lượt là y = x + 2 và y = - x.
Không có tiếp tuyến nào vuông góc với đường thẳng y = x + 2
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = -x có hệ số góc thỏa mãn:
( )

⇔(

)

⇔*

Với x = 0 thì tiếp tuyến có phương trình: y = x
Với x = -4 thì tiếp tuyến có phương trình y = x + 8
Vậy: y = x hoặc y = x +8 là tiếp tuyến thỏa mãn.
Bài 4: Cho hàm số y = x4 – 4x2 + 3 (C). Gọi (C1) là đồ thị đối xứng của đồ thị qua điểm (

).

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C1) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
16x + y – 2 = 0
Giải
Giả sử M(x1, x2) ∈ (C1), N(x2; y2) ∈ (C2) là điểm đối xứng nh u qu A khi đó t
{

=>M(1-x2; 4 – y2).

Vì M ∈ (C) nên t

ó

– y2 = (1 – y2)4 – 4 (1- x2)2 + 3

Vậy (C1) ó phương trình y
T

ó

ó f’(x)

f(x)

-x4 + 4x3 – 2x2 – 4x + 4.

-4x3 + 12x2 – 4x – 4

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

15


Phương trình tiếp tuyến tại M0(x0; y0) ó dạng y

f’(x0)(x – x0) + y0

Vì tiếp tuyến song song với d nên

f’(x0) = -

⇔ - 4x3 + 12x2 – 4x – 4 = -

⇔ x0 = 3.

Suy r phương trình tiếp tuyến cần tìm là y

-16x + 49.

Bài 5: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C)
biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thỏa mãn OB = 9OA.
Giải
Gọi tọa độ điểm M(x0; f(x0)) là tọa độ của tiếp điểm .
Theo giả thiết OB = 9OA suy ra hệ sô góc của tiếp tuyến bằng 9 hoặc -9
[

( )
( )

⇔[

⇔[

( )
( )

Phương trình (2) vô nghiệm.
Phương trình (1) suy ra x0 = -1, x0 = 3
Với x0 = -1 suy ra phương trình tiếp tuyến y = 9x + 7

Với x0 = 3 suy ra phương trình tiếp tuyến y = 9x – 25 .

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

16