Đề thi thử THPT Quốc Gia 2016 Môn ToánTHPT Phù Cừ

www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com
ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TRƯỜNG THPT PHÙ CỪ
TỔ TOÁN - TIN
ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN – Lần 1
Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề

Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

m

Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y = −x 3 + 3x .

x −1
trên đoạn 2; 4  .
2x − 1

(

)

(

3

x 2 −1
1 3

b) Giải bất phương trình: 22x +1 <  
8
π

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

.

HV
N.
co

Câu 3 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình: log 3 x 2 − x + log 1 x + 4 = 1 .

)

∫ (2x − 1 − sin x ) dx .
2

0

( )

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x − y − 2z − 1 = 0 và

(

) (

)

( )

( )

hai điểm A 2; 0; 0 , B 3; −1;2 . Viết phương trình mặt cầu S tâm I thuộc mặt phẳng P và đi qua các
điểm A, B và điểm gốc toạ độ O .
Câu 6 (1,0 điểm).

M
AT

cos2α -3
.
sin2 α
b) Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh của trường THPT Phù Cừ có 10 học sinh đạt giải trong đó có 4
học sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhà trường muốn chọn một nhóm 5 học sinh trong 10 học sinh trên
để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ 1 năm học 2015 – 2016 do huyện uỷ Phù
Cừ tổ chức. Tính xác suất để chọn được một nhóm gồm 5 học sinh mà có cả nam và nữ, biết số học
sinh nam ít hơn số học sinh nữ.
Câu 7 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' , đáy ABCD là hình chữ nhật có

a) Cho góc lượng giác α , biết tan α = 2 . Tính giá trị biểu thức P =

(

)

AB = a, AD = a 3 . Biết góc giữa đường thẳng A 'C và mặt phẳng ABCD bằng 600 . Tính thể tích

2

+ y 2 − 2x − 12y + 27 = 0 . Tìm toạ độ điểm B và viết phương trình đường thẳng BC , biết điểm

ww

(C ) : x

w.

khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B 'C và C ' D theo a .
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC vuông cân tại A . Gọi G
là trọng tâm tam giác ABC . Điểm D thuộc tia đối của tia AC sao cho GD = GC . Biết điểm G thuộc
đường
thẳng
d : 2x + 3y − 13 = 0
và
tam
giác
BDG
nội
tiếp
đường
tròn
B có hoành độ âm và toạ độ điểm G là số nguyên.
Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình sau trên tập ℝ :

5x − 13 − 57 + 10x − 3x 2
x + 3 − 19 − 3x

≥ x 2 + 2x + 9

Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

(

)

6 a +b +c
2a
3b
c
+
+
≤
a + 2 b + 3 c +1 a +b +c + 6
-----------------Hết----------------Thí sinh không được dùng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

www.DeThiThuDaiHoc.com


www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com
TRƯỜNG THPT PHÙ CỪ

ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016

TỔ TOÁN TIN

MÔN: TOÁN – Ngày thi: 31/01/2016 – Lần 1

(Đáp án gồm có 6 trang)

Đáp án
Câu 1 (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số y = −x 3 + 3x .
Tập xác định: D = ℝ
x = 1
Ta có y ' = −3x 2 + 3 ⇒ y ' = 0 ⇔ 
x = −1
Giới hạn

3 
lim y = lim −x 3 + 3x = lim x 3  −1 + 2  = −∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
x 


3 
lim y = lim −x 3 + 3x = lim x 3  −1 + 2  = +∞
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x 

Bảng biến thiên
x
−∞
−1
1

+∞
−
0
+
0
−
f' x

(

)

(

)

HV
N.
co

Câu

m

Thời gian làm bài: 180 phút không kể giao đề

( )

M
AT

+∞

Điểm

0,25

0,25

2

( )

f x

1

(

Hàm số đồng biến trên khoảng −1;1

(

)

0,25

−2

)

(

Hàm số nghịch biến trên khoảng −∞; −1 và 1; +∞

−∞

)

w.

Hàm số đạt cực đạt tại điểm x = 1 và yCĐ = 2
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và yCT = -2
Đồ thị:
Bảng giá trị
x
-2
-1
0
1
2
y
2
-2
0
2
-2

ww

y

-8

-6

-4

f(x)=-x^3+3*x

5

0,25
x

-2

2

4

6

8

-5

www.dethithudaihoc.com

1

www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com
Câu 2 (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

()

m

(

0,25

)

0,25

()

HV
N.
co

2

đoạn 2; 4  .
Hàm số liên tục trên đoạn 2; 4 
1
Ta có y ' =
> 0, ∀x ∈ 2; 4 

2
2x − 1

x −1
trên
2x − 1

1
3
;y 4 =
3
7
3
1
Vậy
max y = khi x = 4 và min y = khi x = 2
2;4 


2;4
7
3
 
Câu 3 (1,0 điểm).
a) Giải phương trình log 3 x 2 − x + log 1 x + 4 = 1 .

Có y 2 =

(

)

(

3

x > 1
Điều kiện: 
 −4 < x < 0

(

)

)
(
3 ( x + 4 ) ⇔ x



(

(

)

)

(
− x = 3 (x + 4 )

)

x = −2
⇔ x 2 − 4x − 12 = 0 ⇔ 
(thoả mãn)
x = 6

M
AT

3

2

0,25

)

log 3 x 2 − x − log 3 x + 4 = 1 ⇔ log 3 x 2 − x = log 3 x + 4 + log 3 3
⇔ log 3 x 2 − x = log 3

0,25

0,25

0,25

Vậy phương trình có hai nghiệm x = −2; x = 6 .
x 2 −1

1 3

b) Giải bất phương trình 22x +1 <  
8
Bất phương trình tương đương với
22x +1 <

x 2 −1
2−3 3

( )

.

⇔ 22x +1 < 2−x

2

+1

0,25

⇔ 2x + 1 < −x 2 + 1

(

)

w.

⇔ x 2 + 2x < 0 ⇔ −2 < x < 0 . Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = −2; 0 .
π

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =

ww

π

I =

∫(
2

)

π

4

2

A = ∫ 2x .dx = x 2

0

π

π

π

2

2

2

0

0

0

0

π
2

0

π

=

π2
4

(

C = ∫ sin xdx = −cosx
0

Vậy I = A − B + C =
www.dethithudaihoc.com

2

; B = ∫ dx = x
0

π

2

∫ (2x − 1 − sin x ) dx .
2

2x − 1 − sin x dx = ∫ 2x .dx − ∫ dx − ∫ sin xdx = A − B − C

0

)

0,25

π
2
0

=

π

0,25

0,25

2

π
2
0

π2
4

=1
−

π
2

0,25
−1

0,25

2

www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng

( )

(

Bán kính mặt cầu (S) là R = IA = 6

(

) (
2

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x − 1 + y + 2
Câu 6 (1,0 điểm).

()
2

) + ( z − 1)
2

2

)

cos2α -3 2cos2α − 4
=

sin2 α
1 − cos2α

0,25
0,25

cos2α -3
.
sin2 α

0,25

1
1
1
9
2
⇒
cos
α
=
=
.
Suy
ra
P
=
−
2
cos2α

1 + tan2 α 5
b) Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh của trường THPT Phù Cừ có 10 học sinh đạt giải
trong đó có 4 học sinh nam và 6 học sinh nữ. Nhà trường muốn chọn một nhóm 5 học
sinh trong 10 học sinh trên để tham dự buổi lễ tuyên dương khen thưởng cuối học kỳ 1
năm học 2015 – 2016 do huyện uỷ Phù Cừ tổ chức. Tính xác suất để chọn được một
nhóm gồm 5 học sinh mà có cả nam và nữ, biết số học sinh nam ít hơn số học sinh nữ.

M
AT

1 + tan2 α =

6

0,25

=6

a) Cho góc lượng giác α , biết tan α = 2 . Tính giá trị biểu thức P =

P =

0,25

HV
N.
co

5

x − y + 2z = 5
Do A, B,O ∈ S ⇒ IA = IB = IO . Suy ra 
x = 1
x − y − 2z − 1 = 0
x = 1


Từ (1) và (2) ta có hệ x − y + 2z = 5
⇔ y = −2 ⇒ I 1; −2;1
x = 1
z = 1



m

(P ) : x − y − 2z − 1 = 0 và hai điểm A (2; 0; 0 ) , B ( 3; −1;2 ) . Viết phương trình mặt cầu
(S ) tâm I thuộc mặt phẳng (P ) và đi qua các điểm A, B và điểm gốc toạ độ O .
Giả sử I ( x , y, z ) . Ta có I ∈ ( P ) ⇒ x − y − 2z − 1 = 0
(1)

0,25

( )

Không gian mẫu n Ω = C 105 = 252

w.

Gọi A là biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời số học sinh nam ít

hơn học sinh nữ.
Trường hợp 1: Chọn 1 học sinh nam và 4 học sinh nữ nên ta có C 41.C 64

0,25

Trường hợp 2: Chọn 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ nên ta có C 42 .C 63

( )

Suy ra n A = C 41.C 64 + C 42 .C 63 = 180

( )

5
7
Câu 7 (1,0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABCD.A ' B 'C ' D ' , đáy ABCD là hình chữ

7

ww

Vậy xác suất cần tìm là P A =

(

nhật có AB = a, AD = a 3 . Biết góc giữa đường thẳng A 'C và mặt phẳng ABCD

0,25

)

bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' và khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau B 'C và C ' D theo a .

www.dethithudaihoc.com

3


www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com

(

)

D'

A'

Do ABCD.A ' B 'C ' D ' là lăng trụ đứng nên
A ' A ⊥ ABCD .

)

B'

C'

m

(

Suy ra góc giữa A 'C và mặt phẳng ABCD là
A 'CA = 600

0,25

HV
N.
co

H

A

D

M

600

C

B

Có AC = AB 2 + BC 2 = 2a ⇒ A ' A = AC . tan 600 = 2a 3

ABCD là hình chữ nhật có AB = a, AD = a 3 ⇒ S ABCD = AB.AD = a 2 3

0,25

Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A ' B 'C ' D ' là V = A ' AS
. ABCD = 6a 3
Do C’D//AB’ nên C’D//(AB’C)

(

)

(

(

Suy ra d C ' D, B 'C = d C ' D, A B 'C

) ) = d (C ', ( A B 'C ) ) = d ( B, ( A B 'C ) )

0,25

Do BC’ giao với mp(AB’C) tại trung điểm của BC’ (vì BCC’B’ là hình chữ nhật)

(

) (
) (
)
Kẻ BH ⊥ B ' M ⇒ BH ⊥ ( AB 'C ) hay d ( B, ( A B 'C ) ) = BH
Có

M

AT

Kẻ BM ⊥ AC ⇒ AC ⊥ BB ' M ⇒ AB 'C ⊥ BB ' M theo giao tuyến B’M

1
1
1
1
1
1
17
2a 51
=
+
=
+
+
=
⇒ BH =
2
2
2
2
2
2
2
17
BH
B 'B
BM

B 'B
BC
AB
12a

(

0,25

)

2a 51
17
Câu 8 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho tam giác ABC
vuông cân tại A . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Điểm D thuộc tia đối của tia
AC sao cho GD = GC . Biết điểm G thuộc đường thẳng d : 2x + 3y − 13 = 0 và tam

Vậy d C ' D, B 'C =

( )

w.

giác BDG nội tiếp đường tròn C : x 2 + y 2 − 2x − 12y + 27 = 0 . Tìm toạ độ điểm B

ww

và viết phương trình đường thẳng BC , biết điểm B có hoành độ âm và toạ độ điểm
G là số nguyên.
C

Tam giác ABC vuông cân tại A có G là trọng tâm
nên GB = GC
Mà GD = GC nên tam giác BCD nội tiếp đường
(?)
tròn tâm G.
M
Suy ra
d: 2x + 3y - 13 = 0

BGD = 2BCD = 2BCA = 900 ⇒ BG ⊥ GD
Hay tam giác BDG vuông cân tại G

Đường tròn (C) tâm I(1;6) bán kính R = 10
ngoại tiếp tam giác BDG nên I là trung điểm của
BD
Do đó IG = 10 và IG ⊥ BD

www.dethithudaihoc.com

G

0,25
A

F
B(?)
I(1;6)

D

4


www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com
 13 − 2m 
Vì G ∈ d : 2x + 3y − 13 = 0 ⇒ G  m;

3


G 2; 3

Từ IG = 10 ⇒   28 75  , do toạ độ điểm G là số nguyên nên G(2;3).
G − ;
  13 13 

 
BD đi qua I(1;6) và IG ⊥ BD nên phương trình x − 3y + 17 = 0

( )
( )

m

( )

( )

(

Vậy B −2;5

HV
N.
co

B −2;5
B, D ∈ BD ∩ C ⇒ 
(do hoành độ điểm B âm)
D 4;7

)

0,25

Gọi M là trung điểm của BC ta có AM = MB = MC (do ABC vuông cân tại A)
1
1
Suy ra AM ⊥ BC ⇒ GM ⊥ MB và GM = AM = MB
3
3
MG 1
3
Nên tan GBM =
= ⇒ cosGBM =
MB 3
10

(

( )

)

Gọi n = a, b với a 2 + b 2 ≠ 0 là VTPT của BC.

(

)

( )

Ta có VTCP của BG là BG = 4; −2 ⇒ nBG = 1;2 là VTPT của BG

(

)

(

)

(

)

⇔

3
10

=

M
AT

Có cos BG, BC = cos nBG , n ⇔ cosGBM = cos nBG , n ⇔
a + 2b

(

5 a 2 + b2

)

3

10

=

0,25

nBG .n

nBG . n

a − b = 0
⇔ 35a 2 − 40ab + 5b 2 = 0 ⇔ 
7a − b = 0



( )
Trường hợp 2: Với 7a − b = 0 ⇒ n = (1;7 ) nên phương trình BC : x + 7y − 33 = 0
Trường hợp 1: Với a − b = 0 ⇒ n = 1;1 nên phương trình BC : x + y − 3 = 0

Do hai điểm D và G cùng mằn về một phía đối với đường thẳng BC nên phương trình

0,25

w.

BC thoả mãn là x + y − 3 = 0

(

Vậy BC : x + y − 3 = 0 và B −2;5

)

Câu 9 (1,0 điểm). Giải bất phương trình sau trên tập ℝ :
5x − 13 − 57 + 10x − 3x 2

ww

9

x + 3 − 19 − 3x



19
 −3 ≤ x ≤
Điều kiện 
3
x ≠ 4

Bất phương trình tương đương

(

x + 3 − 19 − 3x

)(2

x + 3 + 19 − 3x

x + 3 − 19 − 3x
⇔ 2 x + 3 + 19 − 3x ≥ x 2 + 2x + 9

www.dethithudaihoc.com

) ≥x

≥ x 2 + 2x + 9

0,25
2

+ 2x + 9

0,25

5


www.MATHVN.com – Facebook.com/mathvn.com

13 − x 
x + 5 
2
⇔ 2 x + 3 −
 +  19 − 3x −
 ≥x +x −2
3  
3 


(

)


x + 5
9 x + 3 +

3 


+

−x 2 − x + 2
≥ x2 + x − 2


13 − x
9  19 − 3x +

3 


m

⇔

2 −x 2 − x + 2





2
1
2

≤0
⇔ x +x −2
+
*
 


x + 5
13 − x  
9  x + 3 +
 9  19 − 3x +

3 
3  
 

 19 
2
1
Vì
+
> 0 với mọi x ∈  −3;  \ 4
3


x + 5
13 − x 

9 x + 3 +
 9  19 − 3x +

3 
3 



)

()

HV
N.
co

(

0,25

{}

()

Do đó * ⇔ x 2 + x − 2 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ 1 (thoả mãn)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  −2;1 .
Câu 10 (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c . Chứng minh rằng:

(

)

6 a +b +c
2a
3b
c
+
+

≤
a + 2 b + 3 c +1 a +b +c + 6
Bất đẳng thức tương đương với

(1 )

(

)

2

10

M
AT

a + 2
2a   b + 3
3b   c + 1
c  a +b +c + 6 6 a +b +c
−
−
−
−

+
+
≥
4

a +2  4
b + 3  4
c + 1
a +b +c + 6
 4

(a − 2 ) + (b − 3 ) + (c − 1) ≥ (a + b + c − 6 )
⇔
4 (a + 2 ) 4 (b + 3 ) 4 (c + 1) 4 (a + b + c + 6 )
(a − 2 ) + (b − 3 ) + (c − 1) ≥ (a + b + c − 6 )
⇔
2

2

2

2

2

) (
) (

) (
) (

0,25

2

)
)

2

(

(2 )
)

2

0,25

w.

 a −2 + b − 3 + c −1 
 = a + b + c − 6 = VP 2
VT 2 ≥ 
a +b +c + 6
a +2 + b +3 + c +1

()

0,25

2

a +2

b+3
c +1
a +b +c + 6
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

(
(

0,25

()

0,25

ww

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2;b = 3; c = 1 .
Vậy bất đẳng thức (2) đúng. Do đó bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Chú ý: Mọi cách làm khác của học sinh nếu đúng vẫn chấm điểm bình thường!
Giáo viên ra đề: Quách Đăng Thăng

www.dethithudaihoc.com

6