DẠY các DẠNG TOÁN về PHÂN số CHO học SINH GIỎI lớp 4

PHẦN 1: ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cùng với Tiếng Việt – Toán học là môn học có vị trí và vai trò vô cùng quan
trọng ở bậc tiểu học. Toán học giúp bồi dưỡng tư duy lôgíc, bồi dưỡng và phát sinh
phương pháp suy luận, phát triển trí thông minh, tư suy lôgíc sáng tạo, tính chính
xác, kiên trì, trung thực.
Kể từ năm học 1995- 1996 các vấn đề về phân số được chính thức đưa vào
chương trình môn Toán ở bậc tiểu học và trở thành một chủ đề quan trọng trong
chương trình . Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 4, hơn thế nữa trong
các kì thi học sinh giỏi hiện nay thì các bài toán về phân số luôn xuất hiện . Vì thế ,
việc giải thành thạo các bài toán về phân số là một yêu cầu khó đối với tất cả các
em học sinh, đặc biệt là đối với học sinh khá giỏi .
- Chính vì vậy tôi đã đi sâu tìm tòi và nghiên cứu cách dạy các bài toán về
phân số để bồi dưỡng cho những học sinh khá và giỏi toán ở lớp 4, nhằm giúp các
em có kiến thức một cách hệ thống các dạng toán về phân số, giúp các em tháo gỡ
khó khăn khi gặp các bài toán về phân số trong các đề thi học sinh giỏi.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu về “ Dạy các dạng toán về phân số cho học sinh giỏi toán lớp 4” từ
đó đưa ra những kiến nghị cụ thể nhằm giúp việc giảng dạy đội tuyển đạt kết quả
cao.
III. KẾT QUẢ CẦN ĐẠT ĐƯỢC
- Nâng cao chất lượng học sinh giỏi ở lớp 4 tạo nền tảng cho các em học tốt
toán ở lớp 5 và các lớp trên.
IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Đội tuyển học sinh giỏi toán 4 và 5
V. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Chương phân số – toán 4


PHẦN 2. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN

Trong các môn học ở bậc tiểu học, môn toán có vị trí rất quan trọng. Toán học
với tư cách là một khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới khách quan, có một
hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức rất cần thiết cho đời sống,
sinh hoạt và lao động hằng ngày cho mỗi cá nhân con người. Toán học có khả
năng phát triển tư duy lôgíc, bồi dưỡng và phát triển những thao tác trí tuệ cần thiết
để nhận thức thế giới khách quan như: trừu tượng hoá, khái quát hoá, phân tích
tổng hợp ….nó có vai trò rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy
nghĩ, phương pháp suy luận. Nó có nhiều tác dụng trong việc phát triển trí thông
minh, tư duy độc lập, linh hoạt sáng tạo góp phần vào giáo dục ý chí, đức tính cần
cù, ý thức vượt khó, khắc phục khó khăn của học sinh tiểu học.
Vì nhận thức của học sinh giai đoạn này, cảm giác và tri giác của các em đã đi
vào những cái tổng thể, trọn vẹn của sự vật hiện tượng, đã biết suy luận và phân
tích. Nhưng tri giác của các em còn gắn liền với hành động trực quan nhiều hơn, tri
giác về không gian trừu tượng còn hạn chế. Sự phát triển tư duy, tưởng tượng của
các em còn phù thuộc vào vật mẫu, hình mẫu. Quá trình ghi nhớ của các em còn
phù thuộc vào đặc điểm lứa tuổi, ghi nhớ máy móc còn chiếm phần nhiều so với
ghi nhớ lôgíc. Khả năng điều chỉnh chú ý chưa cao, sự chú ý của các em thường
hướng ra ngoài vào hành động cụ thể chứ chưa có khả năng hướng vào trong ( vào
tư duy ). Tư duy của các em chưa thoát khỏi tinh cụ thể còn mang tính hình thức .
Hình ảnh của tượng tượng, tư duy đơn giản hay thay đổi. Cuối bậc tiểu học các em
biết dựa vào ngôn ngữ để xây dựng hình tượng có tính khái quát hơn. Trí nhớ trực
quan hình tượng phát triển hơn so với trí nhớ từ ngữ lôgíc.
Cuối bậc tiểu học, khả năng tư duy của các em chuyển dần từ trực quan sinh
động sang tư duy trừu tượng, khả năng phân tích tổng hợp đã được diễn ra trong trí
óc dựa trên các khái niệm và ngôn ngữ. Trong quá trình dạy học, hình thành dần
khả năng trừu tượng hoá cho các em đòi hỏi người giáo viên phải nắm được đặc
điểm tâm lí của các em thì mới có thể dạy tốt và hình thành kỹ năng, kỹ xảo, phát
triển tư duy và khả năng sáng tạo cho các em, giúp các em đi vào cuộc sống và học
lên các lớp trên một cách vững chắc hơn.
2

Dựa vào đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học mà trong quá trình dạy học
phải làm cho những tri thức khoa học xuất hiện như một đối tượng, kích thích sự tò
mò, sáng tạo….cho hoạt động khám phá của học sinh, rèn luyện và phát triển khả
năng tư duy linh hoạt sáng tạo, khả năng tự phát hiện, tự giải quyết vấn đề, khả
năng vận dụng những kiến thức đã học vào những trường hợp có liên quan vào đời
sống thực tiễn của học sinh.
II. THỰC TRẠNG VIỆC DẠY VÀ HỌC
1. Về học sinh
- Ở chương trình môn toán lớp 4, nội dung phân số và các phép tính về phân
số được đưa vào dạy học ở kỳ II. Vừa làm quen, học khái niệm phân số các em phải
học ngay các phép toán về phân số, rồi giải các bài toán về phân số cho nên các em
cảm thấy đây là một nội dung khó, khi bồi dưỡng các bài toán khó về phân số nhiều
em cảm thấy " sợ "giải các bài toán về phân số.
- Việc vận dụng các tính chất của phân số, các qui tắc tính chậm.
- Các tính chất của các phép tính về phân số trừu tượng nhiều học sinh khó
nhận biết, mối quan hệ giữa các thành phần trong các phép tính về phân số nhiều
học sinh không phát hiện được do khả năng quan sát chưa nhanh.
- Qua nhiều đề thi kiểm tra chất lượng học sinh giỏi phần nhiều học sinh
không giải quyết được bài toán có nội dung về phân số, giải sai về cách giải, không
chính xác về kết quả.
2. Về giáo viên
- Qua tìm hiểu tôi nhận thấy các đồng chí giáo viên được phân công bồi
dưỡng toán cho học sinh chưa thấy được vị trí quan trọng của các bài toán về phân
số. Trong các bài dạy về phân số giáo viên không mở rộng kiến thức cho học sinh.
Khi bồi dưỡng cho học sinh giỏi không hệ thống được các nội dung kiến thức,
không phân định được rõ dạng bài, để khắc sâu cách giải cho học sinh.
- Phương pháp dạy các bài toán về phân số còn chưa phù hợp với nhận thức
và trình độ của học sinh, không gây được hứng thú và sự say mê học toán của các

em.
3. Kết quả
3


Cuối năm học 2012-2013 tôi thực hiện khảo sát 3 bài về phân số trên 10 em
học sinh giỏi và thu được kết quả như sau:
GIỎI

KHÁ

TRUNG BÌNH

YẾU

1/10=10%

3/10=30%

4/10=40%

2/10=20%

Trước thực trạng trên tôi rất băn khoăn và trăn trở. Khi được ban giám hiệu
nhà trường phân công bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 4, tôi đã nghiên cứu các tài liệu
và tìm ra cho mình một số biện pháp để dạy cho học sinh giải các bài toán về phân
số nhằm nâng cao chất lượng học sinh giỏi ở lớp 4 tạo nền tảng cho các em học tốt
toán ở lớp 5 và các lớp trên.
III. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Trong quá trình bồi dưỡng nội dung về phân số cho học sinh giỏi toán ở lớp

4, tôi phân thành các dạng bài như sau:
DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ CẤU TẠO PHÂN SỐ VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ PHÂN SỐ :

A. Các kiến thức cần ghi nhớ :
Cấu tạo phân số
1. Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên (khác 0) có thể viết thành
phân số, tử số là số bị chia, mẫu số là số chia
a:b=

a
( với b khác 0 )
b

- Mẫu số b chỉ số phần = nhau lấy ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần lấy đi.
2. Mỗi số tự nhiên có thể viết thành phân số có mẫu số là 1
a=

a
1

3. Phân số nào có tử số nhỏ hơn mẫu số thì phân số đó nhỏ hơn 1.
Phân số nào có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số đó lớn hơn 1
Phân số nào có tử số bằng mẫu số thì phân số đó bằng 1.
4. Nếu nhân cả tử số và mẫu số của 1 phân số với một số tự nhiên khác 0 thì được
axn

a

phân số bằng phân số đã cho : b x n = b (n khác 0 )
5. Nếu chia cả tử số và mẫu số của phân số đã cho với 1 số tự nhiên khác 0 ( gọi là

rút gọn phân số ) thì được phân số bằng phân số đã cho.
4


a:m a
=
b:m b

( m khác 0 )
6. Nếu cộng cả tử số và mẫu số (hoặc trừ cả tử số và mẫu số ) của phân số với cùng
1 số thì đươc phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số không thay đổi.(với phân số
<1)
So sánh phân số
1. Muốn quy đồng mẫu số của 2 phân số, ta nhân cả tử số và mẫu số của phân số
thứ nhất với mẫu số của phân số thứ 2. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai
với mẫu số của phân số thứ nhất.
2. Quy đồng tử số của 2 phân số ta nhân cả mấu số và tử số của phân số thứ nhất
với tử số của phân số thứ hai. Nhân cả mẫu số và tử số của phân số thứ hai với tử
số của phân số thứ nhất.
3. Các phương pháp sử dụng so sánh phân số
So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số
So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số
So sánh phân số với đơn vị.
So sánh các phân số dựa vào các tính chất cơ bản của phân số.
So sánh phân số dựa vào phân số trung gian. So sánh qua phân số trung gian là ta
tìm một phân số trung gian sao cho phân số trung gian lớn hơn phân số này nhưng
nhỏ hơn phân số kia.
So sánh hai phân số dựa vào so sánh phần bù đến 1 của mỗi phân số.
Dùng cách nhân tử số của phân số này với mẫu của phân số kia, rồi so sánh hai
tích.

So sánh bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
So sánh nhiều phân số:
B. Các bài toán mẫu :
Cấu tạo phân số
Ví dụ 1 : Rút gọn các phân số sau :
a.

2323
2525

23 x 101

23

= 25 x 101 = 25

5


b.

123 x 1001 123 41
123123
= 345 x 001 = 345 = 115
345345

Ví dụ 2: Viết số tự nhiên 8 thành các phân số có mẫu số lần lượt là 3, 5, 12, 105,
1000
Giải
8=

8 8 x3 24
=
=
1 1x3
3

8=

8 8 x12 96
=
=
1 1x12 12

8=

8 8 x1000 8000
=
=
1 1x1000 1000

Ví dụ 3 : Cho phân số

8=

8 8 x5 40
=
=
1 1x5
5

8 8 x105 840
=
=
1 1x105 105

8=

3
, cộng thêm vào tử số và mẫu số của phân số đó với một
7

số tự nhiên ta được phân số bằng

7
. Tìm số đó
9

Giải :
Hiệu của mẫu số và tử số của phân số

3
là :
7

7 - 3 = 4 ( đơn vị )
Khi cộng vào tử số và mẫu số với cùng 1 số thì hiệu của mẫu số và tử số vẫn
không thay đổi. Nếu coi tử số của phân số mới là 7 phần thì mẫu số của nó là 9
phần.
?

Ta có sơ đồ :
Tử số

4
Mẫu số
?
Số phần bằng nhau của mẫu số hơn số phần bằng nhau của tử số là :
9 - 7 = 2 ( phần )
Tử số của phân số mới là :
Số cộng thêm vào là :

4 : 2 x 7 = 14

14 -3 =11
Đáp số : 11
6


Ví dụ 4 : Cho phân số

11
.Tìm phân số bằng phân số đã cho biết rằng mẫu số của
14

phân số đó lớn hơn tử số của nó là 1995 đơn vị.
Giải
Nếu ta coi mẫu số của phân số phải tìm là 14 phần thì tử số của phân số đó là 11
phần như thế.
Hiệu số phần bằng nhau là : 14 - 11 = 3 (phần)
Tử số của phân số phải tìm là : 1995 : 3 x 11 = 7315

Mẫu số là : 1995 + 7315 = 9310
Vậy phân số phải tìm là :

7315
9310

Ví dụ 5: Hãy viết một phân số lớn hơn

5
5
và nhỏ hơn . Có bao nhiêu phân số
7
6

như vậy?
Giải :
Ta hãy nhân cả tử số và mẫu số của hai phân số

5
5
và
với cùng một số (khác 0) .
7
6

Lúc đó “khoảng cách” giữa hai mẫu số sẽ rộng ra và có thể có rất nhiều số tự nhiên
nằm trong “khoảng cách” ấy . Có thể chọn chúng là mẫu số của các phân số phải
tìm
Ví dụ:
- Nhân cả tử số và mẫu số với 2:

5 5 x 2 10
=
=
7 7 x 2 14

Vì

10
10
10
<
<
14
13
12

8=

5 5 x 2 10
=
=
6 6 x 2 12

5
10
5
<
<
7
13

6

nên

ở đây ta chọn được một phân số là

10
13

- Hoặc nhân cả tử số và mẫu số với 10:
5 5 x10 50
=
=
7 7 x10 70

Ta có

5 5 x 2 50
=
=
6 6 x10 60

5 50
50
50
50
50
50
5
=

<
<
< …. <
<
<
=
7 70
69
68
62
61
60
6

ở đây ta chọn được 9 phân số , từ

50
50
đến
.
61
69

7


* Vậy khi nhân cả tử số và mẫu số với số tự nhiên a (khác 0) thì ta sẽ chọn được ( a1) phân số ở giữa

5
5

và . Nghĩa là có thể tìm được rất nhiều phân số như vậy.
6
7

So sánh phân số
1. So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số:
a - So sánh hai phân số cùng mẫu số.
Ví dụ 1: So sánh hai phân số

Bài giải: Ta thấy 2 < 3 nên

2
3
và
7
7

2
3
<
7
7

Quy tắc: Hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân
số đó lớn hơn và ngược lại.
b- So sánh hai phân số khác mẫu số. (thường dùng cho bài toán có mẫu số
nhỏ).
Ví dụ 2: So sánh các cặp phân số sau: a,

Bài giải: a, Ta có:

Vì

21
>
28

20
28

3
3 x7
21
=
=
4
4 x7
28

nên

b, Vì 12: 6 = 2 nên

;

3
5
và ;
4
7

b,

5
4
và
12
6

5
5x4
20
=
=
7
7 x4
28

3
5
>
4
7

4
4 x2
8
8
5
4

5
=
=
; ta thấy
>
nên >
6
6 x2
12
12
12
6
12

* Chốt kiến thức: Nếu hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số
hai phân số đó rồi so sánh tử số của chúng với nhau.
2. So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số:
a - So sánh 2 phân số cùng tử số.

8


Ví dụ 3: So sánh 2 phân số

Bài giải: 8 < 11 nên

3
3
và
8

11

3
3
> .
8 11

Quy tắc: Hai phân số cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số
đó lớn hơn và ngược lại.
b - So sánh hai phân số khác tử số.
(Thường dùng cho các bài toán có tử số nhỏ)
Ví dụ 4: So sánh các cặp phân số a,

Bài giải :a,

3
3 x5
15
=
=
;
7
7 x5
35

Vì

b,

3

5
và ;
7
8

b,

3
9
và
7
8

5
5 x3
15
=
=
8
8 x3
24

15
15
3
5
<
nên <
35
24

7
8

3
3 x3
9
9
3
9
9
=
=
Vì
< nên <
7
7 x3
21
21
8
7
8

Chốt kiến thức: Muốn so sánh hai phân số không cùng tử số ta có thể quy
đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh mẫu số của chúng với nhau.
3. So sánh phân số với đơn vị.
Ví dụ 5: So sánh phân số sau với 1.
a,

3
;

5

b,

7
2

c,

4
4

Bài giải:
a, Ta thấy

b, Ta có:

3
5
<
mà
5
5

5
3
= 1 nên
<1
5
5

7
2
2
7
>
mà
= 1 nên
>1
2
2
2
2

9


c, Ta có

4
=1
4

Kết luận:
- Nếu phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1.
a
a
nếu a < b thì < 1
b
b

- Nếu phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1.
a
a
nếu a > b thì > 1
b
b

- Nếu phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1.
a
a
nếu a = b thì = 1
b
b

4. So sánh các phân số dựa vào các tính chất cơ bản của phân số.
Ví dụ 6: Trong các phân số sau, phân số nào lớn nhất, phân số nào nhỏ nhất:
307
;
507

307307
;
507507

307307307
507507507

Bài giải: Ta thấy

307307
307 x1001
307
=
=
507507
507 x101
507

307307307
307 x1001001
307
307
307307
307307307
=
=
Vậy
=
=
507507507
507 x1001001
507
507
507507
507507507

*Nhận xét: Gặp bài toán so sánh phân số, học sinh thường nghĩ xem phân
số nào lớn hơn, phân số nào nhỏ hơn nên tìm mọi cách để so sánh. Nhưng điều bất
ngờ là các phân số đó lại bằng nhau. Như vậy để so sánh phân số thì trước hết ta

nên đưa các phân số đó về phân số tối giản (nếu có thể). Sau đó sẽ so sánh.
5. So sánh phân số dựa vào phân số trung gian.
Ví dụ 7: So sánh các cặp số sau mà không quy đồng.
a,

16
15
và
23
29

b,

2
5
và
9
12

c,

7
13
và
9
10

10

Bài giải:
a, + Cách 1: Ta có:

+ Cách 2: Ta thấy

b, + Cách 1:

Vậy

16
16
16
15
16
15
>
và
>
nên
>
23
29
29
29
23
29
16
15
15
15

16
15
>
và
>
nên
>
23
23
23
29
23
29

2
3
<
9
9

;

5
4
3
4
1
>
mà =
=

12
12
9
12
3

2
1
5
2
5
< <
nên <
9
3
12
9
12

+ Cách 2:

c, Ta có:

2
2
2
3
1
< mà = =
4

9
8
8
12

;

3
5
2
5
<
nên
<
12
12
9
12

7
13
7
13
7
13
< 1 và
> 1 Vậy < 1 <
hay <
9
10

9
10
9
10

*Kiến thức cần nhớ:
So sánh qua phân số trung gian là ta tìm một phân số trung gian sao cho phân
số trung gian lớn hơn phân số này nhưng nhỏ hơn phân số kia.
Lưu ý: Có 3 loại phân số trung gian
Loại 1: Phân số trung gian có tử số bằng tử số của một trong hai phân số đã
cho, mẫu trùng với mẫu của phân số còn lại loại phân số trung gian này có hai cách
chọn.
Cách 1: Phân số trung gian có tử số là tử của phân số thứ nhất, mẫu là mẫu
của phân số thứ hai.
Cách 2: Phân số trung gian có mẫu số là mẫu của phân số thứ nhất, tử là tử
của phân số thứ 2.
Loại phân số trung gian này chỉ áp dụng với những bài toán so sánh hai phân
số mà tử của phân số thứ nhất bé hơn tử của phân số thứ hai và mẫu của phân số
thứ nhất lớn hơn mẫu của phân số thứ hai. (như ví dụ 7a).
Loại 2: Phân số trung gian thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai phân
số. (Ví dụ 7 phần b).
11


Loại 3: Phân số trung gian là đơn vị (Ví dụ 7 phần c) áp dụng với các bài
toán so sánh hai phân số mà trong đó một phân số lớn hơn đơn vị, phân số còn lại
nhỏ hơn đơn vị.
6. So sánh hai phân số dựa vào so sánh phần bù đến 1 của mỗi phân số.
Ví dụ 8: So sánh hai phân số:

Bài giải: Ta thấy: 1-

mà

1998
1999
và
1999
2000

1998
1
=
;
1999
1999

1-

1999
1
=
2000
2000

1
1
1998
1999
>

nên
<
1999
2000
1999
2000

* Kết luận: Trong hai phân số nếu phân số nào có phần bù đến 1 lớn hơn
thì phân số đó bé hơn và ngược lại.
1-

a
c
a
c
< 1 - thì
> ;
b
d
b
d

1-

a
c
a
c
> 1 - thì
<

b
d
b
d

Nhận xét: Cách này thường áp dụng với những bài toán so sánh phân số mà
mẫu số 2 phân số cùng lớn hơn tử số hai phân số một lượng như nhau.
7. Dùng cách nhân tử số của phân số này với mẫu của phân số kia, rồi so
sánh hai tích.
Ví dụ 9: So sánh hai phân số:

3
5
và
128
207

Bài giải: Ta thấy: 3 x 207 = 621
5 x 128 = 640
mà 621 < 640 nên

3
5
<
128
207

Kết luận: Muốn so sánh hai phân số ta có thể lấy tử số của phân số này nhân
với mẫu của phân số kia nếu tích nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại.
Nhận xét: Cách so sánh này xây dựng trên cơ sở của việc so sánh 2 phân số

bằng cách quy đồng mẫu số. Cách làm này được áp dụng với những bài so sánh

12


phân số mà việc nhân hai mẫu số gặp phức tạp nhưng tử số của hai phân số không
lớn nó sẽ làm cho ta giảm đi một bước là nhân hai mẫu số với nhau.
8. So sánh bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.
Ví dụ 10: So sánh hai phân số

1
2
và
4
5

Bài giải: Ta có sơ đồ:

Từ sơ đồ trên ta thấy

1
2
<
4
5

*Chốt kiến thức: Ta có thể so sánh hai phân số bằng việc biểu diễn từng
phân số trên các đơn vị độ dài như nhau rồi so sánh độ dài biểu thị từng phân số
với nhau. Phân số nào có độ dài biểu thị lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Lưu ý: Cách này chỉ dùng để so sánh các cặp phân số có tử và mẫu của

mỗi phân số đều nhỏ đủ để có thể biểu thị trên sơ đồ.
9. So sánh nhiều phân số:
Có những bài toán không chỉ so sánh 2 phân số mà yêu cầu so sánh 3; 4;
5 ...phân số. Khi đó ta sẽ phối hợp nhiều phương pháp để giải.
Bài toán 1: Viết các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé.
a.

1
;
2

2
;
5

4
;
7

9
;
8

5
9

b.

12
7

;
;
26
13

8
;
25

5
;
3

2005
2006

Bài giải:
a. Nhìn bao quát ta thấy có

9
> 1 ( lớn hơn tất cả các phân số khác vì các
8

phân số này đều nhỏ hơn 1).
+Ta so sánh 4 phân số còn lại.

1
2
2
= >

5
2
4

1
4
4
= <
2
8
7

13


1
5
5
=
< (so sánh tử số)
2
10
9
4
5
36 35
> (quy đồng mẫu số
> )
7
9

63 63

Vậy ta xếp như sau:
9 4
;
;
8 7

b.

5 1
2
;
;
5
9 2

5
5
> 1, các phân số khác đều nhỏ hơn 1, nên là lớn nhất.
3
3

Ta so sánh các phân số còn lại:
12
6
7
=
<
26

13
13
6
8
150
104
>
(Quy đồng mẫu số:
>
)
13
25
325
325
2005
7
>
(Nhân mẫu số của phân số này với tử số của phân số kia)
2006
13

Vậy ta viết như sau:
5 2005 7 12 8
;
; ;
;
3 2006 13 26 25

Nhận xét: ở bài toán trên ta đã sử dụng các phương pháp như: so sánh
phân số với 1; so sánh bằng cách quy đồng tử số; so sánh bằng quy đồng mẫu số;

so sánh bằng cách nhân mẫu số của phân số nay với tử số của phân số kia...
Vậy những bài toán tổng hợp các phương pháp giải đòi hỏi học sinh không
chỉ nắm kiến thức một cách đơn lẻ mà phải biết tổng hợp các kiến thức đó để lựa
chọn và kết hợp các phương pháp đó vào giải toán.
C. Các bài toán để luyện tập
Cấu tạo phân số
Bài 1: Rút gọn các phân số sau :
14


a.

123123
363363

b.

199619961996
194719471947

c.

1818181818
8181818181

Bài 2 : Tìm phân số biết tổng của tử số và mẫu số bằng 40 và rút gọn phân số đó thì
được

3
.

5
Gợi ý

- Coi tử số của phân số phải tìm là 3 phần thì mẫu số là 5 phần
- Áp dụng toán tìm 2 số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó để tìm tử số và mẫu số
của phân số mới.
Đáp số :
Bài 3 : Cho phân số

15
25

211
. Trừ cả tử số và mẫu số của phân số đó cho cùng 1 số tự
313

nhiên ta được phân số bằng

3
. Tìm số đó.
5

Gợi ý : - Khi trừ cả tử số và mẫu số của phân số

211
đi cùng 1 số thì hiệu của mẫu
313

số và tử số không thay đổi.
- Tìm hiệu của mẫu số và tử số của phân số

211
313

- Coi tử số của phân số mới là 3 phần bằng nhau thì mẫu số là 5 phần bằng nhau
như vậy.
Áp dụng bài toán tìm 2 số khi biết hiệu và tỉ số của 2 số để tìm tử số (hoặc mẫu
số). Lấy tử số cũ trừ đi tử số mới ta được số phải tìm
Đáp số : 28
Bài 4 : Cho phân số
được phân số bằng

35
. Cộng vào tử số một số nào đó và mẫu số trừ đi số đó ta
49

3
. Tìm số đó ?
4

Gợi ý: Khi cộng vào tử số một số nào đó và mẫu số trừ đi số đó ta được phân số
mới có tổng giữa tử số và mẫu số là không thay đổi
Áp dụng bài toán tìm 2 số khi biết tổng và tỉ số của 2 số để tìm tử số (hoặc mẫu số).
Lấy tử số mới trừ đi tử số cũ ta được số phải tìm
15


Đáp số : 1
Bài 5 : Hãy tìm một số nào đó sao cho khi tử số và mẫu số của phân số
đi số đó thì được phân số mới bằng

29
cùng trừ
64

2
.
9

Đáp số : 19
Bài 6 : Tìm một số sao cho cả tử số và mẫu số của phân số
được phân số mới bằng

35
cùng trừ đi số đó thì
49

1
.
3

Đáp số : 28
Bài 7 : Tìm 1 phân số bằng

7
sao cho mẫu số của nó lớn hơn tử số 114 đơn vị .
13

(Giải tương tự ví dụ 3)

Đáp số :

Bài 8 : Tìm 1 phân số bằng

133
247

 133 : 19 7 
= 

 247 : 19 13 

9
sao cho tổng của tử số và mẫu số của phân số ấy
16

bằng 1000.
(HD tương tự bài 2)
Đáp số :
Bài 9 : Tìm 1 phân số bằng

360  360 : 40 9 
= 

640  640 : 40 16 

21
; biết rằng khi ta cộng thêm vào tử số và mẫu số của
23

phân số đó với cùng 1 số tự nhiên ta được phân số
HD : Nhận xét

66
.
72

66
là phân số chưa tối giản ta phải rút gọn
72
66 33 11
=
=
72 36 12

Áp dụng giải như ví dụ 2
Đáp số : 1
Bài 10 : Tìm phân số bằng phân số

15
, biết rằng khi ta trừ cả tử và mẫu của phân
19

số đó đi cùng 1 số tự nhiên ta được phân số bằng

21
.
37

16

Gợi ý : Xét hiệu của mẫu số và tử số của phân số

15
bằng 4
19

Xét hiệu số phần bằng nhau giữa mẫu số và tử số của phân số mới là : 37 - 21 =
16. Ta thấy hiệu của mẫu số và tử số của phân số

15
nhỏ hơn hiệu số phần số lần là
19

:
16 : 4 = 4 ( lần )
Vậy phân số phải tìm là :

15 x 4 60
=
19 x 4 67

Số trừ đi là : 60 - 21 =39 hoặc 76 - 37 = 39
So sánh phân số
Bài 1. Hãy so sánh các phân số sau bằng nhiều cách:
a.

3
4

và
4
5

b.

6
8
và
9
7

Bài 2. Hãy so sánh các phân số sau bằng cách nhanh nhất:
a.

16
15
và
;
27
29

b.

1996
1995
và
;
1996
1997

c.

327
326
và
325
326

Bài 3. Xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần:
a.
b.

1 9
2 4 8 5 7 3 7
; ; ; ; ; ; ; ; .
2 10 3 5 9 6 8 4 8
1992 1993 1994 1995 1996
;
;
;
;
.
1991 1992 1993 1994 1995

c.

7 17 57 97
;
;

;
.
8 18 58 98

Bài 4. Xếp các phân số sau theo thứ tự giảm dần:
a.

5 6 7
; ; .
7 9 9

b.

80
7
750
;
.
.
10 100 1000

Bài 5. Hãy chứng tỏ các phân số sau đều bằng nhau:
a.
b.

23 2323 232323 23232323
;
;
;
31 3131 313131 31313131

1995 19951995 199519951995
;
;
;
1996 19961996 199619961996

c.

1234
2468
8638
;
;
.
5678 11356 39746

Bài 6. Hãy viết 10 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số:
a.

100
101
và
101
102

b.

1996
1993
và

1995
1992

Bài 7. Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân số :
17


a.

999
1001
và
1001
1003

b.

9
11
và
10
13

Bài 8: a. Khoanh vào phân số lớn nhất
3
;
9

5
;

9

9 7 4
; ;
8 9 9

b. Khoanh vào phân số bé nhất
5
;
8

Bài 9: Hoa ăn

7
;
5

3
;
8

2
;
5

2
8

2
2

cái bánh. Mai ăn cái bánh đó. Hỏi ai ăn nhiều bánh hơn? Đúng
5
7

ghi (Đ); sai ghi (S) vào
Hoa ăn nhiều bánh hơn Mai.
Mai ăn nhiều bánh hơn Hoa.
Bài 10: so sánh các phân số.
a,

4
7
và
25
25

b,

245
245
và
12
25

c,

12
9
và
48

24

d,

2005
2004
và
2006
2005

Bài 11: So sánh các phân số sau với 1.
1 3 5 7
19
2005
; ; ;
;
;
4 4 2 3
19
2006

Bài 12: Viết các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn.
a.

1 3 4
9
; ; và ;
5 5 5
7

b.

Bài 13: Tìm 10 phân số khác nhau nằm giữa

2
5

và

3 28 294 5
;
;
;
7 49 343 4

3
5

Bài 14: So sánh các phân số sau bằng các cách khác nhau:
a.

4
5
và
101
303

b.

222

666
và
221
665

c.

315 315 207
;
;
425 429 429

18


Bài 15: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
14
5
và
25
7
1993
997
d.
và
998
1995

13
và

60
47
e.
và
15

a.

b.

27
100
7
2

3
17
và
49
8
43
29
g.
và
25
47

c.

DẠNG 2: 4 PHÉP TÍNH VỀ PHÂN SỐ.

A. Kiến thức cần ghi nhớ :
1. Phép cộng : Muốn cộng hai phân số có cùng mẫu số, ta cộng hai tử số với nhau
và giữ nguyên mẫu số.
a
c
a+c
+
=
b
b
b
Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi cộng
hai phân số đó .
2. Phép trừ : Muốn trừ hai phân số có cùng mẫu số, ta trừ hai tử số với nhau và giữ
nguyên mẫu số.
Muốn trừ hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số hai phân số đó rồi trừ hai
phân số đó
3. Phép nhân: Muốn nhân hai phân số, ta nhân tử số với tử số, mẫu số nhân với
mẫu số
axc
a
c
x
=
bxd
b
d
4. Phép chia: Muốn chia một phân số cho một phân số, ta lấy phân số thứ nhất
nhân với phân số thứ hai đảo ngược .

axd
a
c
a d
:
= x =
bxc
b
d
b c
5. Các tính chất của phép tính trên phân số .
a. Tính chất giao hoán
a
c
c
a
+
=
+
;
b
d
d
b

a
c
c
a
x

= x
b
d
d b

b.Tính chất kết hợp:
a c
e
a c e
 +  + =
+ +  ;
f
b d f 
b d

a c e a c e
 x x = x  x 
b d  f b d f 
19


c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
c e
a
a
c
a
e
x  +  =
x

+
x
b
b
d
b
f
d f 
B. Các bài mẫu :
Ví dụ 1.Tính giá trị của các biểu thức sau đây bằng cách nhanh nhất:
a.

3
7
2 16 19
1995 1990 1997 1993 997
6
+
+
+ +
+
; b.
x
x
x
x
5 11 13 5 11 13
1997 1993 1994 1995 995

HD : Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng , phép nhân phân số .

Giải.
a.

3
7
2 16 19
 3 2   6 16   7 19 
6
+
+
+ +
+
= +  + + + + 
5 11 13 5 11 13
 5 5   11 11   13 13 
=

b.

5
26
22
+
+
= 1 + 2 + 2= 5
5
13
11

1995 1990 1997 1993 997  1995   1997   1990 1993  997

x
x 
 x
x
x
x
x
x
=
1997 1993 1994 1995 995  1997   1994   1993 1995  995

 1995 1990  997
x
=
x
=
1994
1995
995



1990 997
995 x 2 x 1997
x
=
=1
1994 995
997 x 2 x 1995

Ví dụ 2: Tính nhanh.
a/

2 1 3 2
x + x
5 4 4 5

b/

6 2 5 2
: + :
11 3 11 3

Giải:
a/

2
2 1 3 2 2 1 3 2
x + x = x +  = x 1 =
5
5 4 4 5 5 4 4 5

b/

2
3 3
6 2 5 2 6 5 2
: + : =  +  : = 1: = 1 x =
3
2 2

11 3 11 3  11 11  5

Ví dụ 3:

 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1
Tính nhanh hiệu sau:  + + + + +  −  + + + + + 
2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8
Giải

 1 1 1 1 1 1  1 1 1 1 1 1
 + + + + + − + + + + + 
2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8

=

20


1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 3
+ − + − + − + − + − −
= − =
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8
2 8 8
Ví dụ 4: Điền dấu ( < , = , > ) vào ô trống:
1 1
−
2 3

1

2x3

;

1 1
+
2 4

1 1
−
2 3

1−

1
6

;

1 1
−
3 4

1 1 1
3
; + +
2 4 8
4

1

4

1
12

1−

1
3x4

1
8

Giải
1 1
−
2 3

=

1
2x3

1 1
+
2 4

= 1−

1

4

;
=

1 1
−
2 3

=

1 1 1
3
; + +
2 4 8
4

1
6

;
=

1−

1 1
−
3 4

=

1
12

=

1
3x4

1
8

Ví dụ5: Tính nhanh:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x + x + x + x + x + x + x + x
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
HD giải. Phân tích:

1 1
1
1 1
x =
= − ;
2 3 2x3 2 3

1 1
1
1 1
x =
= −

3 4 3x4 3 4

…

Vậy:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
x + x + x + x + x + x + x + x
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
− + − + − + − + − + − + − + −
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

=

1 1 4 2
− = =
2 10 10 5

Ví dụ 6: Tính nhanh tổng sau:
1 1 1 1 1 1
+ + + + +
2 4 8 16 32 64
HD giải: Dựa vào ví dụ 3 để phân tích và giải
21

Ta thấy:

1
1
1 1 3
1
= 1−
+ = = 1−
;
;
2
2
2 4 4
4

1 1 1 7
1
+ + = = 1 − ...
2 4 8 8
8

Từ các kết quả trên suy ra

1 1 1 1 1 1
1 63
+ + + + + = 1− =
2 4 8 16 32 64
64 64
C. Các bài luyện tập.
Bài 1: Tính nhanh

a/

1 2 3
7 8 9
+ + + ... + +
48 48 48
48 48 48

c/

1 4 7 10 13 16 19
+ + + + + +
70 70 70 70 70 70 70

b/

1
3
5
7
9
+
+
+
+
100 100 100 100 100

Bài 2. Tính nhanh.
a/

2 3 3 2
: x : + 1999 =
5 7 7 5

b/

1 2 5 5
x : x =
2 3 6 6

c/

2 4 5 7
: : : =
3 5 6 8

Bài 3. Tính bằng cách thuận tiện nhất.
a/

5 1 1 2
x + x
7 4 4 7

b/

18 2 2 7
x − x
11 3 3 11

Bài 4. Tính nhanh các dãy tính sau:

a/
b/

1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
2 x 3 3 x 4 5 x 6 7 x 8 8 x 9 9 x 10
1 1 1 1 1
1
1
+ + + + +
+
30 42 56 72 90 110 132

Gợi ý: phân tích các mẫu số thành tích 2 số tự nhiên liền nhau:
Chẳng hạn: 30 = 5 x 6; 42 = 6 x 7; 56 = 7 x 8…
c/

2
2
2
2

2
2
2
+
+
+
+
+
+
1 x 3 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 x 11 11x 13 13 x 15

Gợi ý:

2
1
= 1−
1x 3
3

;

2
1 1
= −
3x5 3 5
22


DẠNG 3: TOÁN ĐỐ VỀ PHÂN SỐ:

A. Các bài mẫu
Ví dụ 1: ( Tìm tỉ số của hai số )
3
2
số cam thì bằng số quýt. Tính tỉ số giữa số cam và số quýt .
4
5

Giải :
Cách 1:
Quy đồng tử số :

3
6 2 6
= ; =
4
8 5 15

Vậy

6
6
số cam bằng
số quýt
8
15

Hay

1

1
số cam bằng
số quýt.
8
15

Suy ra nếu số cam gồm 8 phần bằng nhau thì số quýt gồm 15 phần như thế.

Vậy tỉ số giữa số cam và số quýt là

8
15

Cách 2:
Quy đồng mẫu số
Vậy

3
15 2
8
=
; =
4
20 5 20

15
8
số cam bằng
số quýt .
20

20

Suy ra nếu số cam gồm 8 phần bằng nhau thì số quýt gồm 15 phần như thế .
Do đó tỉ số phải tìm là

8
15

Ví dụ 2: ( Tìm số trung bình cộng )
Trung bình cộng của 3 phân số =

phân số thứ hai là

13
. Trung bình cộng của phân số thứ nhất và
36

5
7
, của phân số thứ hai và phân số thứ ba là
. Tìm 3 phân số
12
24

đó.
Hd giải: Vận dụng kiến thức về số trung bình cộng để giải.

23

Tổng của 3 phân số là

13
39 13
x3 = =
36
36 12

Tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai là:
Phân số thứ 3 là:

5
10
x 2=
12
12

13 12 1
− =
12 12 4

Tổng của phân số thứ hai và phân số thứ ba là:
Phân số thứ nhất là:
Phân số thứ hai là:

7
70
x 2=
22
12

13 7 1
− =
12 12 2

7 3 1
− =
12 12 3
Đáp số:

1
1 1
, và
2 3
4

Ví dụ 3: ( Tìm một phân số khi biết giá trị một phân số của số ấy )
Một người bán cam lần thứ nhất người đó bán

1
2
số cam. Lần thứ hai bán số cam
3
5

thì còn lại 12 quả. Hỏi người đó đem bán bao nhiêu quả cam?
Hd giải:
1 2 11
Cả hai lần người đó bán số phần cam là: + =
(số cam)

3 5 15
12 quả cam ứng với số phần cam là: 1 −
Người đó đem bán số quả cam là: 12 :

11 4
=
(số cam)
15 15

4
= 45 (quả cam)
15

Đáp số: 45 quả cam.
Ví dụ 4: Một cửa hàng bán vải, buổi sáng bán được

được

3
tấm vải, buổi chiều bán
11

3
số vải còn lại, thì tấm vải còn lại 20m. Hỏi tấm vải dài bao nhiêu mét và
8

mỗi lần bán bao nhiêu mét ?
Hd giải: Tìm số phần tấm vải còn lại sau buổi sáng.
Tìm số phần tấm vải bán buổi chiều.
24

Tìm số phần tấm vải bán trong cả buổi sáng và buổi chiều.
Tìm số phần tấm vải ứng với 20m.
Tìm số mét của tấm vải và số vải bán được của mỗi buổi.
Giải:
Sau khi bán buổi sáng, còn lại số phần tấm vải là: 1 −

3 8
= (tấm vải).
11 11

Số phần tấm vải bán được trong buổi chiều là:

8 3 3
x = (tấm vải).
11 8 11

Cả sáng và chiều bán được số phần tấm vải là

3 3 6
− =
(tấm vải).
11 11 11

Số phần tấm vải ứng với 20m vải là: 1 −
Tấm vải dài là: 20 :

6 5
= (tấm vải).

11 11

5
= 44(m )
11

Buổi sáng bán được số mét vải là: 44 x

3
= 12 ( m )
11

Buổi chiều cũng bán được số mét vải là: 44 x

3
= 12 ( m )
11

Đáp số: tấm vải: 44 m; sáng :12m ;chiều : 12m.
Ví dụ 5 : (Tìm một phân số của một số )
Ba người chia nhau 720 ngàn ( đồng ). Người thứ nhất được
thứ hai được

1
số tiền, người
6

3
số tiền, còn bao nhiêu là của người thứ ba.
8

Tính số tiền của người thứ ba
Giải
Cách 1:
Người thứ nhất được:
720 : 6 = 120 ( ngàn )
Người thứ hai được:
720 x

3
= 270 ( ngàn )
8

Hai người đầu được:
25