giáo án ôn thi vào 10

Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
Son: 16/4/2016
Ging:18/4/2016
BUI 1: Chuyên đề 1:
CN THC -BIN I CN THC
A.Kiến thức cơ bản :
1.Khái nim: x là cn bc hai ca s không âm a x2 = a. Kí hiu: x = a .
2.iu kin xác nh ca biu thc A
Biu thc A xác nh( có nghĩa ) A 0 .
3.Hng ng thc cn bc hai

A khi A 0
A2 = A =
A khi A < 0
4.Các phép bin i cn thc
1) A.B = A. B ( A 0; B 0 )
2)

A
A
=
B
B

3)

A 2B = A B

( B 0)

4)

A 1
=
A.B
B B

( A.B 0; B 0 )

5)

6)

7)

C
A B
C
A B

=

=

C

( A 0; B > 0 )

(

A mB

(

Am B

A b

C

2

A B

)

(với A 0 và A B2 )

)

(với A 0 , B 0 và A B )

A 2 B = m 2 m.n + n =

(

m n

)

2

=

m n

m + n = A
( m,n > 0 )
m.n = B

vi

8) Nếu A 0 thì A = ( A ) 2 = A 2 = A
*Chú ý : Khi áp dụng các công thức trên ta thờng áp dụng một cách linh hoạt theo chiều
thuận hoặc đảo phù hợp với từng bài .
B.Một số dạng bài tập thờng gặp :
Dạng 1: Tính toán,thu gọn biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai số học
I.Một số ví dụ :
Ví dụ 1: Tính:
1) 12 3
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2006 - 2007,Ngày thi:
15/6/2006)
2) 100 81
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2006 - 2007, Ngày thi:
17/6/2006)

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 1


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
3) 2 . 8 - 3

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2007 - 2008, Ngày thi:
26/6/2007)
4) 3 2 + 2 2
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2008- 2009,Ngày Thi:
22/6/2008)
5) 4 . 25
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2009- 2010,Ngày thi:
08/7/2009)
6) 9 + 4
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2009- 2010 , Ngày thi:
10/7/2009)
7) 5 + 3 5 3
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ptth năm học 2010-2011,Ngày
01/07/2010)
8) 202 162
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ptth năm học 2010-2011,Ngày
03/7/2010)
9) 3. 27 144 : 36 (Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2011-2012,Ngày thi :
01/7/2011)
Ví dụ 2 : Tính: (áp dụng quy tắc khai phơng một tích )
1) 9.16
2) 250.360
3) 12,1.1960
4) 25 2 24 2
5) 125.180
6)

(

3

)(

1 14 63
.2 .2
16 25 81

)

7) 58 2 42 2

Ví dụ 3: Tính ( áp dụng quy tắc nhân,chia các căn bậc hai ):
1) 12 . 3

2) 75. 3

6) 72

7)

2

3) 0,4 . 90

18

8)

0,5

Ví dụ 4 : Tính :
1) 3 2 2
2) 2 1 2

(

)

(

) (

)

2 +1

5) 3 2 2 3 + 2 2
Ví dụ 5 :Tính, trục căn thức :
1)
6)

2

2)

2
1
2 1

5

2 3

3)

2

5) 32 . 1

4) 3 5 . 3 + 5
27 x
3x 3

2

( x > 0)

(

)(

3) 3 2 2 . 3 + 2 2

2
3 +1

4)

)

4)

6
3 2 2 3

(

32

5)

)

2



(

3+2

)

2

1
2010 2009

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2005 - 2006, Ngày thi 02/7/2005)

Ví dụ 6 : So sánh các biểu thức sau ( không sử dụng máy tính ):

1) a= 20 + 5 và b = 4 5
2) a= 2 3 và b= 3 2
3) a= 2008 2007 và b= 2009 2010
4) a = 1997 + 1999 v b = 2 1998
* Chú ý : Để so sánh A và B trong đó A , B là các biểu thức chứa căn bậc 2 ta thờng làm nh
sau :
+ Thực hiện phép biến đổi A = C và B = D rồi so sánh B và D(B và Dso sánh đợc).
+Xét hiệu A-B rồi so sánh với 0.
+Sử dụng tính chất bắc cầu.
+So sánh A2 và B2 ( A,B > 0 ) từ đó so sánh A và B
II.Bài tập áp dụng :(BT 1,2,3 dnh cho lp 9A)
Bài 1 : Tính :

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 2


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
1) 12 + 27

2)3 2 + 5 8 2 50

3) 2 45 + 80 245

3
1
1
+
+
4
3

12
8)(3 5 + 2 )(3 5 2 )

4)3 12 27 + 108

6) 0,4 + 2,5

5)

7)( 2 + 72 18 ) 2

Bài 2 : Tính

1) 2 3 3 12

2) 2 2 5 + 18 20

4)2 27 6 48 + 4 75

5) 28 2 14 + 7 + 63

3)3 3 12 + 24
6) 3 5 + 4 20 2 125

Bài 3 : Tính :
1)( 12 + 27 3 ) : 3

2) ( 27 + 12 108 ) : 3

4)( 4 16 + 25) 4

5)(4 3 + 2)(4 3 2)

BT lp 9D
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau :
2) 2 + 6 2 5
1) 4 + 2 3
4) 8 + 4 3 8 4 3

1
4

+ 3) : 3
3
3
6) ( 6 + 2)( 3 2 )

3) (

3) 3 + 5 3 5

5) 9 4 5 9 + 4 5

6)

6+2 5
5 +1

7) 16 6 7 16 + 6 7
8) 6 + 2 5 13 + 48

Bài 5 : Rút gọn các biểu thức sau
1) G = 4 + 7 4 7

3+ 5 3 5
+
3 5 3+ 5

3) N =

2) I = 9 4 5 9 + 4 5
4) R = 3 + 13 + 48

Bài 6: Tính :

1) 3 5 3 5 .
2) 3 5 .( 10 2 ).(3 + 5 )
Dạng 2: tìm điều kiện xác định của căn thức
I .Kiến Thức cơ bản :
1.Định nghĩa : Với A là biểu thức đại số ,ta gọi
là biểu thức lấ y căn hay biểu thức dới dấu căn .
2.Một số trờng hợp thờng gặp:
+) A xác định A 0
+) A 2 xác định với x R
+)
+)
+)

m
A
m

A 0
A>0
A 0

xác định

A2

xác định A 0

m
xác định A 0
A

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 3

A là căn thức bậc hai của A.Khi đó A gọi


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
A 0

B 0
+) A.B xác định A.B 0
( ta có thể lập bảng xét dấu )
A 0

B 0
A 0

A
B > 0
A
+)
xác định 0
A 0
B
B

B < 0

( ta có thể lập bảng xét dấu )

II.Một số ví dụ :
Ví dụ 1 :
a) Tìm x để x 2 có nghĩa. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2008- 2009,Ngày Thi:
22/6/2007)
b) Với giá trị nào của x thì x 5 có nghĩa?. (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2007- 2008,
Ngày 28/6/2007)
Ví dụ 2: Tìm x để các biều thức sau có nghĩa :
1) 2x
2) 15x
3) 2 x + 1
4) 3 6x
5)

1
2 x

6)

3

7) 2 x 2 + 3

x 1
2

8)

5
x2 2

II.Bài tập áp dụng :
Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau ):

1)
5)
9)

3x 1
1
7x 14
x+3
7x

2)

x2 + 3

6)

x 2 3x + 7

10)

3)
7)

5 2x
2x 1

4)

x2 2

8) x 2 9

6x 1 + x + 3

Dạng 3 : Rút gon biểu thức - phân thức - căn thức bậc hai và các bài toán phụ
I.Kiến thức cơ bản :
1.Các bớc cơ bản để làm bài toán rút gọn :
-Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức .
- Phân tích tử thức,mẫu thức thành nhân tử (nếu có ),giản ớc các nhân tử chung (nếu có ).
- Quy đồng mẫu chung ( nếu có )
-Thực hiện các phép toán thu gọn biểu thức .
*Chú ý : Nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính.
( ) [ ] { } . ; a n ì,: +,

và các phép tính về đơn thức, đa thức, phân thức, căn thức.
*Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử cần nhớ :
1) x 2 x + 1 = ( x + 1) 2 ( với x 0 )
2) x 2 x. y + y = ( x + y ) 2 ( với x,y 0 )
3) x - y =

(

x

)(

y. x+

4)x x y y = x 3 y 3

)
=(
y

( với x,y 0 )
x

)(

)

y . x x. y + y ( với x,y 0 )

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 4

Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
5) x y y x = xy ( x y ) ( với x,y 0 )
6) x 1 = ( x + 1)( x 1) ( với x,y 0

Son:
Ging:

BUI 2: Chuyên đề 1:
CN THC -BIN I CN THC
2.Một vài bài toán phụ thờng gặp :
2.1. Tính giá trị của biểu thức A(x) với x = m.
+ Hớng dẫn:
- Nếu biểu thức đã rút gọn chứa căn, giá trị của biến chứa căn, ta biến đổi giá trị của biến về
dạng HĐT.
- Nếu giá trị của biến chứa căn ở mẫu, ta trục căn thức ở mẫu trớc khi thay vào biểu thức.
2.2 Tìm giá trị của x để : A(x) = a. ( a là hằng số )
+ Hớng dẫn: - Thực chất là giải PT : A(x) = a.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
2.3. Tìm giá trị của x để : A(x) lớn hơn, hoặc bé hơn một số ( một biểu thức).
+ Hớng dẫn: - Thực chất là giải BPT : A(x) > B(x) ( hoặc A(x) < B(x)).
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
2.4. Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức đã rút gọn nhận giá trị nguyên.
+ Hớng dẫn: - Tách phần nguyên, xét ớc.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
2.5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đã rút gọn.
+ Hớng dẫn: Có thể đánh giá bằng nhiều cách, tuỳ bài toán cụ thể mà ta chọn cách nào đó
cho phù hợp.
2.6. So sánh biểu thức đã rút gọn với một số hoặc một biểu thức.

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 5


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
+ Hớng dẫn: Xét hiệu A - m

II.Một số ví dụ :

so sánh với 0
- Nếu A - m > 0 thì A > m.
- Nếu A - m < 0 thì A < m.
- Nếu A - m = 0 thì A = m.

Ví dụ 1. (Đề thi vào 10 THPT năm 2011-2012 (01/7/2011)- Bắc Giang)
a+3 a
a 1

2ữ
.
+
1
, với a 0; a 1

ữ a 1 ữ

a +3


Rút gọn biểu thức A =

Ví dụ 2. (Đề thi vào 10 THPT năm 2010-2011 (03/7/2010)- Bắc Giang)
3
3
Cho biểu thức P = 2a + 1 + 2a 1

a a +1 a + a +1

(với a R )

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P > 3.

x x 1 x x +1 3 x

ữ
ữ: 1 x + 1 ữ
ữ
x

x
x
+
x




Ví dụ 3. Cho biểu thức: A =

a) Rút gọn A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 6 2 5
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
d) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.
e) Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.
Ví dụ 4. Cho biểu thức


1
2
:
+
ữ

ữ
ữ
a 1 a a a + 1 a 1

A =

a



1

a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị A biết a = 4 +2 3
c) Tìm a để A < 0 .
III.Bài tập áp dụng :

Bài 1: (Đề thi vào 10 THPT năm 2009-2010 (10/7/2009)- Bắc Giang)
x+ x
x x

Rút gọn biểu thức A =
+ 1
1 với x 0; x 1
x +1
x 1






Bài 2: (Đề thi vào 10 THPT năm 2008-2009(22/6/2008)- Bắc Giang)


2
+ 1 x :
+ 1 với -1 < x < 1
1+ x
1 x2



2

Rút gọn biểu thức: P =

Bài 3: (Đề thi vào 10 THPT năm 2008-2009(20/6/2008)- Bắc Giang)
Rút gọn biểu thức: P =

a + b 2 ab
a b

:

1
a+ b

Bài 4: (Đề thi vào 10 THPT năm 2007-2008(26/6/2007)- Bắc Giang)
Cho biểu thức: A =
1. Rút gọn A

x + 2 x +1
x +1

+

x 1
x 1

x

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 6


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
2. Tìm x z để

6
z
A

Bài 5: (Đề thi vào 10 THPT năm 2007-2008(28/6/2007)- Bắc Giang)
Rút gọn biểu thức: A =

2+ 2
2 +1



2 2
2 1

x 3
x 1 2

Bài 6: Cho biểu thức P =

a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - 3 ).
c) Tính giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 7: Xét biểu thức A =

a2 + a
2a + a

+ 1.

a a +1
a

a) Rút gọn A.
b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A .
c) Tìm a để A = 2.
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
Bài 8: Cho biểu thức C =

1
1
x

+
2 x 2 2 x + 2 1 x

a) Rút gọn biểu thức C.

b) Tính giá trị của C với x =

4
.
9

c) Tính giá trị của x để C =

1
.
3

Bài 9: Xét biểu thức Q =

2 x 9
x + 3 2 x +1


.
x 5 x +6
x 2 3 x

a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tơng ứng của Q cũng là số nguyên.
x 2
x + 2 x2 2 x + 1

ữ
ữ
2
x 1 x + 2 x +1

Bài 10 Cho biểu thức: M =

a) Rút gọn M.
b) CMR nếu 0
c) Tính giá trị của biểu thức M khi x =
d) Tìm
e) Tìm
f) Tìm

g) Tìm
h) Tìm

4
.
25

giá trị của x để M = -1.
giá trị của x để M < 0 ( M > 0 ).
giá trị của x để M > -2 .
giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
giá trị của x để giá trị biểu thức M đạt GTLN.
----------------------------------

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 7


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT

Son: 24/4/2016
Ging:25/4/2016

Bui 3: Chuyên đề 2:
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
A. kiến thức cơ bản :
Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
1. Khái niệm hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
- Cho hai phơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a'x + b'y = c'. Khi đó ta có hệ hai phax + by = c

ơng trình bậc nhất hai ẩn

a'x + b'y = c'

(I)

2. Nghiệm của hệ phơng trình.
- Nếu hai phơng trình ấy có nghiệm chung (x0; y0) thì (x0; y0) đợc gọi là một nghiệm của hệ
phơng trình (I). Nếu hai phơng trình không có nghiệm chung thì ta nói hệ phơng trình (I) vô
nghiệm.
- Chú ý : Nếu một trong hai phơng trình của hệ vô nghiệm thì hệ vô nghiệm.
3. Định nghĩa về giải hệ phơng trình:
- Giải hệ phơng trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
4. Định nghĩa hệ phơng trình tơng đơng.
- Hai hệ phơng trình gọi là tơng đơng với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.
5.Các phơng pháp giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn thờng dùng :
- Phơng pháp thế
- phơng pháp cộng đại số
- phơng pháp đặt ẩn phụ
...
* Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
a. Qui tắc thế (SGK toán 9 tập 2, trang 16)
b. Tóm tắt cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế.
1) Dùng qui tắc thế biến đổi hệ phơng trình đã cho để đợc một hệ phơng trình mới, trong đó
có một phơng trình một ẩn.
2) Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho.
* Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số.
a. Qui tắc cộng đại số: (SGK toán 9 tập 2, trang 16)
b.Tóm tắt cách giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số.
1) Nhân hai vế của mỗi phơng trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của
một ẩn nào đó trong hai phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

2) áp dụng qui tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình một
ẩn.

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 8


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT

3) Giải phơng trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đã cho.
6. Giải hệ phơng trình gồm một phơng trình bậc nhất và một phơng trình bậc hai hai
ẩn.Thờng dùng phơng pháp thế.
7.Một số bài toán liên quan đến hệ phơng trình chứa tham số :
ax + by = c (1)
(I)
a ' x + b' y = c ' (2)

Bài toán : Cho hệ phơng trình

a/ Chứng minh hệ luôn có nghiệm
b/Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
c/Tìm m để hệ vô nghiệm
d/Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc.
Phơng pháp giải :
*Cách 1:
a/ Rút x ( hoặc y ) từ (1) (hoặc (2) ) thế vào phơng trình còn lại ,ta đa về phơng trình (3) là
phơng trình bậc nhất 1 ẩn.Ta chứng minh phơng trình (3) luôn có nghiệm.
b/ Rút x ( hoặc y ) từ (1) (hoặc (2) ) thế vào phơng trình còn lại ,ta đa về phơng trình (3) là
phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
Hệ (I) có nghiệm duy nhất phơng trình (3) có nghiệm duy nhất.
c/ Rút x ( hoặc y ) từ (1) (hoặc (2) ) thế vào phơng trình còn lại ,ta đa về phơng trình (3) là

phơng trình bậc nhất 1 ẩn.
Hệ (I) vô nghiệm phơng trình (3) vô nghiệm.
d/ Dựa vào điều kiện cuẩ đề bài ta có phơng pháp giải phù hợp.
*Cách 2: (Dựa vào vị trí tơng đối của hai đờng thẳng)
ax + by = c
(a, b, c, a, b, c khác 0)

a'
x
+
b'
y
=
c
'

a b c
+ Hệ có vô số nghiệm nếu
= =
a' b ' c '
a b
c
+ Hệ vô nghiệm nếu
=
a' b ' c '
a b
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu

a' b'
B.Một số ví dụ :

Dạng1: Giải hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn.
Bài 1: Giải các HPT sau:
2 x y = 3
3 x + y = 7

2 x + 3 y = 2
5 x + 2 y = 6

a.

b.

Giải:
2 x y = 3

3 x + y = 7

a. Dùng PP thế:

y = 2x 3
y = 2x 3 x = 2
x = 2




3 x + 2 x 3 = 7
5 x = 10
y = 2.2 3 y = 1
x = 2

y =1

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:

2 x y = 3
5 x = 10
x = 2
x = 2



3 x + y = 7
3x + y = 7
3.2 + y = 7
y =1

Dùng PP cộng:

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 9


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
x = 2
y =1

Vậy HPT đã cho có nghiệm là:

-Nhận xét : Để giải loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.
2 x + 3 y = 2
10 x + 15 y = 10

11 y = 22
y = 2
x = 2





5 x + 2 y = 6
10 x + 4 y = 12
5 x + 2 y = 6
5 x + 2.(2 = 6)
y = 2
x = 2
Vậy HPT có nghiệm là
y = 2

Bài 2 :

2 x + 3 y = 13
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2011-2012,Ngày thi : 01/7/2011)
x 2 y = 4
2 x y = 3
b)
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2010-2011,Ngày thi : 01/7/2010)
3 x + y = 2
x + y = 5
c)
(Đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học 2009-2010,Ngày thi : 10/7/2009)
x y = 3

a)

Giải:

2 x + 3 y = 13
7 y = 21
y = 3
y = 3




2 x 4 y = 8
2 x 2.3 = 4
2 x = 2
x = 1
x = 1
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm
y = 3

a)

2 x y = 3
3 x + y = 2

5 x = 5
x = 1
x = 1

3 x + y = 2
3.1 + y = 2
y = 1
x = 1
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm
y = 1

b)

x + y = 5
x y = 3

2 x = 8
x = 4
x = 4



x + y = 5 4 + y = 5 y = 1
x = 4
Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm
y =1

c)

Bài 2 : Giải các hệ phơng trình sau :
2
x +1 +

a/
2 +
x + 1

3
= 1
y
5
= 1
y

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK: x 1, y 0 .
2
x +1 +


2 +
x + 1

3
2
= 1
1
3
y =1
y =1


y =2

y



x +1 =
x =

2
2

2
2
5
5
2
5
+
=
1
=

4





= 1
+ = 1 x +1 1
y =1

y =1
x +1
x + 1 y
y

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 10


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
3

x =
Vậy HPT có nghiệm là
2
y = 1

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ.
Đặt

ĐK: x 1, y 0 .

1
1
= b . HPT đã cho trở thành:
=a ;
y
x +1

1
3

x + 1 = 2
2a + 3b = 1 2a + 5b = 1 2a + 5.1 = 1 a = 2
x =





2 (TMĐK)

1
2a + 5b = 1
2b = 2
b = 1
b = 1
=1
y = 1
y
3

x =
Vậy HPT có nghiệm là
2
y = 1

*Lu ý: - Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.
- Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.
x + y 2
3 + 3 = 3

b/
4x - y + x = 1.
6
4

(I)
Hớng dẫn:

x + y = 7

(I)

11x - 2y = 12

Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm là S = {(x; y) = (2; 5)}.
( x + 5)( y 2) = ( x + 2)( y 1)
( x 4)( y + 7) = ( x 3)( y + 4)

c/

Giải:

( x + 5)( y 2) = ( x + 2)( y 1)
xy 2 x + 5 y 10 = xy x + 2 y 2


( x 4)( y + 7) = ( x 3)( y + 4)
xy + 7 x 4 y 28 = xy + 4 x 3 y 12
x + 3 y = 8
(HS tự giải tiếp)

3 x y = 16

Son:24/4/2016
Ging:26/4/2016
Bui 4: Chuyên đề 2:
Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

Dạng2: Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số.

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 11


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
mx + y = 3

Bài 1: Tìm m sao cho hệ phơng trình:
a) Vô nghiệm.
b) Có nghiệm duy nhất.

(I)

x + my = 3

Hớng dẫn:
y = 3- mx

a/ (I)

(

)

2
1- m x = 3- 3m ( * )

(I) vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm m = - 1.
b/ Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1 .
mx + y = 3

Bài 2: Tìm m sao cho hệ phơng trình:
a) Vô nghiệm.
b) Có nghiệm duy nhất.

(I)

4x + my = -1

Hớng dẫn:
y = 3- mx

a/ (I)

(

)

2
4 - m x = 1- 3m ( * )

(I) vô nghiệm khi và chỉ khi (*) vô nghiệm m = 2 hoặc m = - 2.
b/Hệ phơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 2.
Dạng 3. Giải hệ phơng trình có phơng trình bậc hai hai ẩn.

x 2 + y 2 = 5
Bài 1: Giải hệ phơng trình:
x + y = 3
Hớng dẫn:

x 2 + y 2 = 5

x + y = 3
(x + y)2 - 2xy = 5

x + y = 3
x + y = 3

xy = 2
x = 2 x = 1

V
y = 1 y = 2

Kết luận: Hệ phơng trình có 2 nghiệm: (x;y) = (1; 2) ; (x;y) = (2; 1)
x + y - 2xy = - 17

Bài 2: Giải hệ phơng trình:

xy - 12 = 0

(I)

Hớng dẫn:
Hệ phơng trình (I) có tập hợp nghiệm là S = {(3; 4); (4; 3)}.
Bài tập áp dụng :

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 12


Chuyên đề ôn thi vào lớp 10 THPT
Bµi 1: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
 4 x + 3 y = −4
a, 
6 x + 5 y = −7

12 x + 16 y + 1 = 0
b, 
 3x + 4 y + 2 = 0

5 x + 6 y = 27
c, 
 7 x − 3 y = 15

 x + 2 y = 11
a, 
5 x − 3 y = 3

 3x − y = 5
b, 
5 x + 2 y = 23

5x − 1 1

=

c, 
5y − 2 2
5( x + 3) − 7( y + 1) = −1

Bµi 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:

Bµi 3: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
1 − 3 y = 2( x − 2)
 1 − 3x = 3 y − 2

a) 

 7(2 x + y ) − 5(3 x + y ) = 6
3( x + 2 y ) − 2( x + 3 y ) = −6

b) 

x y
3 + 2 = 5
d) 
x y
 − =1
2 3
 ( x + 5)( y − 2) = ( x + 2)( y − 1)
g) 

( x − 4)( y + 7) = ( x − 3)( y + 4)
x − y = 1
l) 
3 x + 2 y = 3

x y − 4 y + 2
3 + 2 = 6
e) 
x −1 y −1

=
2
3

2 x + y = 4
h) 
3 x − y = 1
x + 2 y = 5
m) 
3 x − y = 1

y

x − = 5
2

 2 x − y = 6

2 x + 3 y = 6


t)  5
5
 3 x + 2 y = 5

Bµi 4: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
2
 1
 x + y − x − y = 2
a) 
5
4

−
=3
 x + y x − y

3 x − y − 5 = 0
x + y − 3 = 0

c) 

0, 2 x − 3 y = 2
 x − 15 y = 10

f) 

x = 3 − 2 y
 2 x + 4 y = 2007
3 x − y = 2
p) 

; q)
 −3 y + 9 x = 6

k) 

2 x + y = 5

v)  3
3
15
 2 x + 4 y = 2

 4 x 2 + y 2 = 13
b)  2
2
2 x − y = −7

Bµi 5: Cho hÖ ph¬ng tr×nh:

 x + y =1

ax + 2 y = a

a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = 3.
b. T×m ®iÒu kiÖn cña a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm ? cã v« sè nghiÖm.
Bµi 6:Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

 6 x + ay = b

2ax − by = 3

a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi a = b = 1.
b. T×m a, b ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (x=1; y= 0).
Bµi 7: Cho hÖ ph¬ng tr×nh :

 x − y =1

mx + y = m

a. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh víi m = 1.
b. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ (x = 2; y = 1).
c. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt.
a) Gi¶i hÖ khi a=3 ; b=-2
b) T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y)=( 2 ; 3 )
Bµi 8: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau :
 x + 2y = 4
2
2
x + 4 y = 8

a. 

 x y 13
 + =
x 6
 x + y = 5

b.  y

x x + y y = 6

2
2
 x y + xy = 20

c. 

GV:Nguyễn Thị Minh - THCS Hợp Hòa 13

 x + y + xy = 5
2
2
 x + y =5

d. 


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
-------------------------------------

Son:
Ging:

Bui 5:
Chuyên đề phơng trình bậc hai V NH Lí VIET
A.Lý thuyết

1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1)
trong đó a, b, c là các hệ số đẵ biết, x là ẩn.
2. Công thức nghiệm:
= b2 4ac

< 0 phơng trình vô nghiệm
= 0 phơng trình có nghiệm kép: x1= x2 = b
2a
> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1 = b + ; x 2 = b .
2a
2a

= b2 ac. ( b = b 2 )
< 0 phơng trình vô nghiệm.
= 0 phơng trình có nghiệm kép: x1= x2 = b'
a
> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
b + ; x
b' ' .
2 =
x1 =
a
a

3. Hệ thức Vi-ét:
* Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a 0) thì

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 14

b

x1 + x 2 = a

c

x . x
=
2
1
a


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
*ứng dụng:
+Nhẩm nghiệm:

- Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x1 = 1; x2 =

c
a

- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x1 = - 1; x2 =

c
a

+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S 2
4P 0 thì hai số đó là hai nghiệm của phơng trình X2 SX + P = 0 .
4. Một số bài toán biện luận phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0)
1) Phơng trình có nghiệm: , 0 ;
3) Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu

2) Phơng trình có nghiệm: , > 0 ;
4) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu:

5) Phơng trình có hai nghiệm dơng

6) Phơng trình có hai nghiệm âm



, 0

b
x1 + x 2 = 0 ;
a

c
x .x = 0
1 2
a



, 0

b
S = x1 + x 2 = 0 ;
a

c
P = x .x = 0
1
2

a

, 0
x .x = c 0
1 2
a

, 0
x .x = c 0 ;
1 2
a

5.Một số bài toán ứng dụng hệ thức Vi- ét:
1)

1
1 x1 + x 2 S
+
=
= ;
x1 x 2
x1 .x 2
P

2) x1 2 + x 2 2 = x1 2 + 2 x1 . x 2 + x 2 2 2 x1 . x 2 = ( x1 + x 2 ) 2 2 x1 . x 2 = S 2 2P ;
3)
4)

1
x1

2

+

2

1
x2

2

=

x1 + x 2

2

=

( x1 .x 2 ) 2

S 2 2P
;
P2

(

)

x1 + x 2 = ( x 1 + x 2 )( x1 x1 . x 2 + x 2 ) 2 = ( x1 + x 2 ) ( x 1 + 2 x 1 . x 2 + x 2 ) 3 x1 . x 2 = S ( S 2 3P ) = S 3 3PS
3

3

2

2

2

2

IV: Cỏc b iu kin phng trỡnh cú nghim tha món c im cho trc:
Tìm điều kiện tổng quát để phơng trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có:
1. Có nghiệm (có hai nghiệm) 0
2. Vô nghiệm < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu > 0 và P < 0 a.c < 0
7. Hai nghiệm dơng(lớn hơn 0) 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S < 0

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 15

Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT

12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn
a.c < 0 và S > 0
B.Bài tập áp dụng.

Bài tập 1: Giải các phơng trình bậc hai sau:
TT
1
2
3
4

PTBH
x - 11x + 30 = 0
x2 - 10x + 21 = 0
x2 - 12x + 27 = 0
5x2 - 17x + 12 = 0

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

15

3x2 - 19x - 22 = 0
x2 - (1+ 2 )x + 2 = 0
x2 - 14x + 33 = 0
6x2 - 13x - 48 = 0
3x2 + 5x + 61 = 0
x2 - 3 x - 2 - 6 = 0
x2 - 24x + 70 = 0
x2 - 6x - 16 = 0
2x2 + 3x + 1 = 0
x2 - 5x + 6 = 0
3x2 + 2x + 5 = 0

2

KQ

TT
41
42
43
44

5; 6
3; 7
3; 9
12/5;1
22/3;-1
2 ;1

45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55

PTBH
x - 16x + 84 = 0
x2 + 2x - 8 = 0
5x2 + 8x + 4 = 0
x2 2( 3 + 2) x + 4 6 =
0
11x2 + 13x - 24 = 0
x2 - 11x + 30 = 0
x2 - 13x + 42 = 0
11x2 - 13x - 24 = 0
x2 - 13x + 40 = 0
3x2 + 5x - 1 = 0
5x2 + 7x - 1 = 0
3x2 - 2 3 x - 3 = 0
x2 - 2 2 x + 1 = 0
x2 - 2 3 1 x - 2 3 = 0
11x2 + 13x + 24 = 0

2

(

)

Bài tập 2. Tìm x, y trong các trờng hợp sau:
a)
b)
c)
d)

x + y = 17, x.y = 180
x + y = 25, x.y = 160
x + y = 30, x2 + y2 = 650
x + y = 11 x.y = 28

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 16

e)
f)
g)
h)

x2 + y2 = 61 , x.y = 30
x - y = 6, x.y = 40
x - y = 5, x.y = 66
x2 + y2 = 25 x.y = 12

KQ

Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT

Son:
Ging:
Bui 6:
Chuyên đề phơng trình bậc hai V NH Lí VIET
Bài tập 3.Không giải phơng trình,hãy tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình sau.
a)
b)

x2 + 6x + 8 = 0
11x2 + 13x - 24 = 0

e)
f)

x2 + 13x + 42 = 0
11x2 - 13x - 24 = 0

Tính giá trị của biểu thức A = x12 + x22 .
Bài tập 4.a)Tìm một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là: 3 + 2 và
6

3 2.
6

b)Không giải phơng trình, hãy tìm tổng lập phơng các nghiệm của phơng trình sau:
3x2 - 5x - 2 = 0.

Bài tập 5.Với giá trị nào của b thì phơng trình:
a)
b)
c)

2x2 + bx - 10 = 0 có một nghiệm bằng 5.
bx2 - 15x - 7 = 0 có một nghiệm bằng 7.
( b - 1 )x2 - ( b + 1 )x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.

Bài tập 6.Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k phơng trình:
a)
b)
c)

7x2 + kx - 23 = 0 có hai nghiệm trái dấu.
12x2 + 70x + k2 + 1 = 0 không thể có hai nghiệm dơng.
x2 - ( k + 1 )x + k = 0 có một nghiệm bằng 1.

Bài tập 7.Chứng tỏ rằng các phơng trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
tham số m:
a)
b)
c)

x2 - 4x m2 = 0
2x2 - 3x + m - 1 = 0
x2 + 2( m - 2 )x + m2 = 0

d)
e)

f)

x2 + ( m + 3 )x + m + 1 = 0
x2 - ( 1 + 2m )x + m = 0
( 2m2 +1 )x2 - 2( m2 + 2 )x + 1 = 0

Bài tập 8.Tìm điều kiện m để các phơng trình sau đây có nghiệm,vô nghiệm.

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 17


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
a)
b)
c)

x2 + x - m = 0
2x2 - 3x + m - 1 = 0
x2 + 2( m - 2 )x + m2 = 0

d)
e)
f)

x2 - ( m - 1 )x + 1 = 0
x2 + 2x + m2 = 0
( m2 +1 )x2 - 2( m + 3 )x + 1 = 0

Bài tập 9.Với giá trị nào của m thì các phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiệm, có hai
nghiệm phân biệt, có nghiệm kép.

a)
b)

3x2 - 2x + m = 0
5x2 + 18x + m = 0

c)
d)

4x2 + mx + m2 = 0
4x2 + mx - 5 = 0

Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - 3 )x2 - 2( a - 1 )x + a - 15 = 0 .
a)Giải phơng trình khi a = 13.
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 11.Cho phơng trình: x2 + ( m + 1 )x + m = 0 .
a)Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm.
b)Tính y = x12 + x22 theo m, tìm m để y có giá trị nhỏ nhất, biết x1, x2 là nghiệm của phơng
trình đẵ cho.
Bài tập 12.Cho phơng trình: x2 - 2( m + 1 )x + 2m + 10 = 0 .
a)Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình theo m.
b)Tìm m sao cho 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.
Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x2 + mx + 12 = 0 .
a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b)Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại.
Bài tập 14.Cho phơng trình: x2 - 2( k + 3 )x + 2k - 1 = 0 .
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Chứng minh rằng tổng và tích hai nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc vào k.
c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức

1
1
3
+
+
= 2.
x1 x 2 x1 x 2

Bài tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - 1 )x2 - 2( m + 4 )x + 5m + 2 = 0 .
a)Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b)Trong trờng hợp có nghiệm hãy tính theo m tổng S và tích P của các nghiệm.
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa tổng S và tích P.
Bài tập 16.Cho phơng trình: x2 - (2m + 3 )x + m - 3 = 0 .
a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
Bài tập 17.Cho phơng trình: x2 - 2( m - 1 )x + m - 1 = 0 .
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm bằng nhau.

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 18


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT

Son:
Ging:
Bui 7:
Chuyên đề phơng trình bậc hai V NH Lí VIET
Bài tập 18.Cho phơng trình: x2 + 3 x - 5 = 0 , gọi hai nghiệm của phơng trình là x1, x2.
Không giải phơng trình tính giá trị của các biểu thức sau;

a)

1
1
+
x1 x 2

b)

2

x1 + x 2

2

c)

1
x1

2

+

d)

1
x2

2

3

x1 + x 2

3

Bài tập 19.Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1 )x + m - 4 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 1.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, chứng minh rằng biểu thức
A = x1 (1 x 2 ) + x 2 (1 x1 ) không phụ thuộc vào giá trị của m.
Bài tập 20.Cho phơng trình: x2 - m x + m - 1 = 0 .
a)Giải phơng trình khi m = 5.
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m.
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức A = x1 2 + x 2 2 .
Bài tập 21.Cho phơng trình: x2-2(m+1)x + m2+4m-3 = 0.
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm?
b)Xác định m để hiệu giữa tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm đạt giá trị lớn nhất?
Bài tập 22. Cho phơng trình : x2+(2m-5)x-3n = 0
a)Giải phơng trình khi m=3 và n=2/3
b) Xác định m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2
c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng?
Bài tập 23. Cho phơng trình: x2 2(m-1)x +2m 3 = 0
a) Chứng minh với với mọi m phơng trình luôn có nghiệm
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và khi đó hãy tính nghiệm còn lại.
Bài tậ 24. Cho phơng trình : x2 2(m+1)x +m2 + 2 =0
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b)Tìm m để hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1- x2 =4
Bài tập 25. Cho phơng trình : x2 -4x +m =0 (1)

a)Tính hoặc của phơng trình (1) theo m
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm ?
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn x12 + x22 = 12
d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 , hãy tìm giá trị của m để biểu thức A=x12 + x22
đạt giá trị nhỏ nhất .
Bài tập 26. Cho phơng trình x2 -8x +m =0 (1)
a)Giải phơng trình (1) khi m = 12
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 19


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT

c)Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 - x2 =2
Bài tập 27. Cho phơng trình : x2 2(a-1)x + 2a 5 = 0.
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a.
b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1,, x2 thoả mãn : x1 < 1 < x2 .
Bài tập 28. Cho phơng trình : x2 + mx + m-2 =0.
a)Giải phơng trình (1) với m=3.
b)Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình (1) thoả mãn x12 + x22 = 4.
Bài tập 29. Cho phơng trình: x2+ ( m + 1 )x + m - 1 = 0 (1)
a. Chứng minh phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để biểu thức :A= x1 2x2+ x1 x22 + 4 x1
x2 đạt giá trị lớn nhất
Bài tập 30. Cho phơng trình x2- 2mx + m2 - m +1 =0(1)
a.Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép.
b. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 2 +x22 - x1x2 = 15
Bài tập 31. Cho phơng trình x2 - (k+1)x+k = 0 (1) ( ẩn x, tham số k).
a. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k ?

b. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Hãy tìm k để A= x1 2x2+ x1 x22 +2005 đạt giá
trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất ấy ?
Bài tập 32. Cho phơng trình (ẩn x tham số m): x2 + 4x 2m = 0 (1)
a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
b)Giải phơng trình với m = 6
Bài tập 33. Cho phơng trình : 2x2 + (2m - 1)x+ m - 1 =0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài tập 34. Cho phơng trình: x2 + 2(m+1)x + m2 + 4 m + 3 = 0 (1) (x là ẩn, m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt?
b)Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1) Tìm m để biểu thức A= 2x 1+2x2x1x2+7 = 0
Bài tập 35. Cho phơng trình : x 2(m 1) x + 2m 5 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a.
b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 <1c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m..
2
Bài tập 36. Cho phơng trình: x 8 x + m = 0
a) Giải phơng trình (1) khi m = 12.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?
2

c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x 2 = 2
Son:
Ging:

Bui 8: Chuyên đề 4:
Hàm số và đồ thị (Hàm số y = ax+b và y = ax2)

A.KIếN THứC CƠ BảN :

1. Hàm số: y = ax + b (a 0)
a)Tính chất :
* TXĐ : x R.
* Sự biến thiên :

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 20


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT

+ Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên R
+ Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên R
b) Đồ thị: Là đờng thẳng song song với đồ thị y = ax .
- Nếu b 0. cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng b.Trùng với đồ thị y = ax nếu b = 0
(b đợc gọi là tung độ gốc)
c) Cách vẽ đồ thị: Lấy hai điểm khác nhau thuộc đờng thẳng y = ax + b (a 0) Biểu diễn
hai điểm trên hệ trục Oxy kẻ đờng thẳng đi qua hai điểm đó.
Cụ thể nh sau :
- Cho x = 0 y = b ta đợc điểm A ( 0 ; b) thuộc trục 0y
- Cho y = 0 x =

b
b
ta đợc điểm B ( ; 0) thuộc trục 0x
a
a

Vẽ đờng thẳng đi qua A và B ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
* Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) còn gọi là đờng thẳng y = ax + b .
d) Chú ý :

- Đờng thẳng y = ax + b (a 0) có a gọi là hệ số góc.
- Ta có: tg = a (Trong đó là góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a 0) với chiều dơng
trục Ox)
- Nếu a > 0 thì : 0 < < 900
- Nếu a < 0 thì : 900 < < 1800
Minh Hoạ :
y
y
y = ax + b ( a > 0 )



0

x

0



x

y = ax + b ( a <0 )
e.Quan h gia hai ng thng.
Xột hai ng thng :
(d1) : y = a1x + b1.
(d2) : y = a2x + b2.
a) (d1) ct (d2)
a1 a2.
b) (d1) // (d2)

c) (d1)

(d2)

d) (d1)

(d2)

a1 a2 = -1

f) im A(xA; yA) thuc th hm s y = f(x)
yA = f(xA).
2
2. Hàm số: y = ax (a 0)
a) Tính chất :
*TXĐ : x R.
* Sự biến thiên :
- Nếu a > 0 hàm số đồng biến với mọi x > 0 ; nghịch biến vứi mọi x < 0.
- Nếu a < 0 hàm số đồng biến với mọi x < 0 ; nghịch biến với mọi x > 0.
b)Đặc điểm của giá trị hàm số y = ax2 (a 0)
Khi a > 0 : Giá trị hàm số luôn > 0 với mọi x khác 0. y = 0 khi x = 0 0 là giá trị
nhỏ nhất của hàm số đạt đợc khi x = 0.
Khi a < 0 : Giá trị hàm số luôn < 0 với mọi x khác 0. y = 0 khi x = 0 0 là giá trị
lớn nhất của hàm số đạt đợc khi x = 0.

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 21


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
c) Đặc điểm của đồ thị hàm số : y = ax2 (a 0)

- Là đờng cong ( Parabol) đi qua gốc toạ độ nhận trục Oy là trục đối xứng.
* Nếu a > 0 đồ thị nằm phía trên trục hoành. O là điểm thấp nhất của đồ thị.
* Nếu a < 0 đồ thị nằm phía dới trục hoành. O là điểm cao nhất của đồ thị.
Minh hoạ :
y

y
y=ax2 ( a > 0 )

0

x

0

x

y=ax2 ( a < 0 )
3. Điểm thuộc và không thuộc đồ thị hàm số.
*) Điểm thuộc đờng thẳng.
- Điểm A(xA; yA) (d): y = ax + b (a 0) khi và chỉ khi yA = axA + b
- Điểm B(xB; yB) (d): y = ax + b (a 0) khi và chỉ khi yB= axB + b
*) Điểm thuộc Parabol : Cho (P) y = ax2 ( a 0 )
- Điểm A(x0; y0) (P) y0 = ax02.
- Điểm B(x1; y1) (P) y1 ax12.
4. Tơng giao của đờng cong Parabol y = ax2 (a 0) và đờng thẳng y = bx + c
-Toạ độ giao điểm (Nếu có) của Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng
y = ax 2

(d) : y = bx + c là nghiệm của hệ phơng trình:

y = bx + c

- Hay phơng trình hoành độ giao điểm (nếu có) của ( P ) và ( d) là nghiệm của phơng trình :
ax2 = bx + c (1) Vậy:
+ Đờng thẳng (d) không cắt (P) phơng trình (1) vô nghiệm.
+ Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng cong(P) Phơng trình (1) có nghiệm kép.
+ Đờng thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
B.MộT Số DạNG BàI TậP THƯờNG GặP :
Dang 1 : Tìm giá trị của tham số để hầm số là hàm số bậc nhất, đồng biến, nghịch biến :
1) Bài toán : Cho hàm số y = ax + b ( chứa tham số m ) .Tìm m để hàm số
y = ax + b là hàm số bậc nhất,đồng biến ,nghịch biến ?
Phơng pháp giải :
- Hàm số y = ax + b là hàm số bậc nhất a 0
- Hàm số y = ax + b đồng biến a > 0
- Hàm số y = ax + b nghịch biến a < 0
2) Ví dụ :
Ví dụ 1 : (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm học 2011-2012,Ngày thi : 01/7/2011)
Tìm giá trị của tham số m để hàm số bậc nhất y = (m - 2)x + 3 đồng biển trên R.
Giải :

m2>0 m > 2
Hàm số y = (m - 2)x + 3 là hàm đồng biến
Vậy với m > 2 thì hàm số đã cho đồng biến.
Ví dụ 2 (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm học 2009-2010,Ngày thi : 08/7/2009)
Hàm số y = 2009x + 2010 đồng biến hay nghịch biến trên R? vì sao?
Giải :
Vì hàm số có hệ số a = 2009 > 0 hàm số đã cho là hàm số đồng biến.

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 22

Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
Ví dụ 3: (đề thi tuyển sinh lớp 10 thpt, Năm học 2006-2007,Ngày thi : 17/6/2006)
Tìm m dể hàm số y = (2m-1)x + 3 là hàm số bậc nhất.
Giải :
Hàm số y = (2m - 1)x + 3 là hàm bậc nhất 2m 1 0 m
Vậy với m

1
2

1
thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
2

Ví dụ 4 : Cho hàm số : y = ( m-3)x + 2 ( tham số m )
a) Tìm m để hàm số đã cho là hàm bậc nhất ?
b) Tìm m để hàm số đã cho đồng biến ?
c) Tìm m để hàm số đã cho nghịch biến ?
Giải :
a) Hàm số đã cho là hàm bậc nhất m-3 0 m 3
b) Hàm số đã cho đồng biến m - 3 > 0 m > 3
c) Hàm số đã cho nghịch biến m - 3 < 0 m < 3
* KL : ...
Dang 2 : Tính giá trị của hàm số:
1) Bài toán : Cho hàm số y = ax + b (a 0) và y = ax2 (a 0)
Tính giá trị của hàm số tại x = k.
Phơng pháp giải :
Thay x = k vào hàm số để tìm y.

2) Ví dụ :
a) Cho hàm số y = x - 1. Tại x = 4 thì y có giá trị bằng bao nhiêu (Đề thi tuyển sinh vào lớp
10 năm 2009- 2010 , Ngày thi: 10/7/2009)
b) Cho hàm số f(x) = 2x2 . Tính f(1); f(-2). (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 ptth năm học
2010-2011,Ngày 01/07/2010)
Giải:
a) Thay x = 4 vào hàm số y = x- 1 ta đợc y = 4-1=3. Vậy tại x = 4 thì y có giá trị bằng 3.
b) Ta có f(1) = 2.12 = 2
f(-2) = 2.(-2)2 = 2.4 = 8.
Dang 3 : Viết phơng trình đờng thẳng ( xác định hàm số ) y = ax + b biết đờng thẳng
( đồ thị hàm số ) thoả mãn các điều kiện cho trớc :
- Nhận xét : Thực chất việc viết phơng trình đờng thẳng ( xác định hàm số )
y = ax + b biết đờng thẳng ( đồ thị hàm số ) thoả mãn các điều kiện cho trớc chính là đi tìm
a,b.
1)Bài toán : Xác định hàm số y = ax + b biết :
a) Hệ số góc a và đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 )
b) Đồ thị của nó song song với đờng thẳng y = ax + b và đi qua A( x0 ;y0 )
c) Đồ thị của nó vuông góc với đờng thẳng y = ax + b và đi qua A( x0 ;y0 )
d) Đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) và B( x1;y1 )
e) Đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x1
f) Đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y1
Phơng pháp giải :
a) Thay hệ số góc vào hàm số ,Vì đồ thị của nó đi qua A( x0 ;y0 ) nên thay x = x0 ; y = y0 vào
hàm số ta tìm đợc b.
b) Vì đồ thị hàm số y = ax + b song song với đờng thẳng y = ax + b nên a = a thay a =
a vào hàm số rồi làm tơng tự phần b.

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 23

Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT

c) Vì đồ thị hàm số y = ax + b vuông với đờng thẳng y = ax + b nên ta ta có a.a = -1 ta
tìm đợc a = -

1
1
,thay a = - vào hàm số rồi làm tơng tự phần b.
a'
a'

d) Vì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B( x1;y1 ) nên ta có hệ phơng trình :
y 0 = ax 0 + b
(1) ; Giải hệ phơng trình (1) ta tìm đợc a và b.

y1 = ax 1 + b
e) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x 0 ;y0 ) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x 1
tức là đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B ( x1;0 ).Sau đó làm tơng tự phần d.
f) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x 0 ;y0 ) và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng y 1 tức
là đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A( x0 ;y0 ) và B ( 0; y1) .sau đó làm tơng tự phần d.
2) Ví dụ :
Ví dụ 1: Xác định phơng trình đờng thẳng (d) biết:
a) Đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)
b) Đờng thẳng (d) đi qua M (-2; 5) và song song với đờng thẳng:
(d): y = -

1
x+3
2

c) Đờng thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đờng thẳng y = 2x + 7
Giải :
Gọi đờng thẳng (d): y = ax + b ( a, b là các số )
a) Vì (d) đi qua hai điểm A( -1; 3) và B ( 2; -4)
7

a=

a + b = 3

3
nên ta có:

2 a + b = 4
b = 2

3


Vậy phơng trình đờng thẳng (d): y = -

7
2
x+
3
3

1
7
x + 3 a =2

3
7
14
1
(d): y = - x + b mà (d) đi qua M (-2; 5) nên ta có: 5 =
+b b =
3
3
3
7
1
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y = - x +
3
3

b) Vì (d) song song với đờng thẳng: (d): y = -

c) Đờng thẳng (d) đi qua N (-3; 4) và vuông góc với đờng thẳng y = 2x + 7
1
3
5
và 4 = + b b =
2
2
2
1
5
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) : y = - x +
2
2

nên ta có: a.2 = -1 a = -

Ví dụ 2 : Cho hàm số y = (m2 2).x + 3m + 2 Tìm các giá trị của m biết:
a) Đồ thị (d) của hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + 2
b) Đồ thị (d) của hàm số vuông góc với đờng thẳng y = -3x -2
c) Đồ thị (d) đi qua điểm A (2; 3)
Giải
a) Vì đồ thị (d) của hàm số song song với đờng thẳng y = 3x + 2
m = 5
m 2 2 = 3
Nên ta có:

m = 5
3m + 2 2
m 0

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 24


Chuyờn ụn thi vo lp 10 THPT
Vậy m = 5
b) Vì đồ thị (d) của hàm số vuông góc với đờng thẳng : y = -3x -2
Nên ta có: (m2 - 2 ).(- 3) = -1 3m2 -6 = 1 m2 =

7
m = 5
3

Vậy m = 5

c) Vì đồ thị (d) đi qua điểm A( 2; 3) nên ta có :
3 = 2m2 - 4 + 3m + 2
2m2 +3m -5 = 0
Ta có a + b + c = 0 theo hệ quả định lí Viet phơng trình có hai nghiệm :
m1 = - 1; m2 = -

5
5
Vậy m1 = - 1; m2 = 2
2

Son:
Ging:
Bui 9: Chuyên đề 4:
Hàm số và đồ thị (Hàm số y = ax+b và y = ax2)
Dang 4: Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng, của đờng thẳng và Parabol.
1) Bài toán 1 : Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) và y = ax + b (d) (với a a).
Tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d).
Phơng pháp giải :
- Cách 1 : Vẽ đồ thị hai hàm số y = ax + b (d) và y = ax + b (d) trên cùng một hệ trục toạ
độ Oxy,sau đó tìm toạ độ giao điểm ( nếu có )
- Cách 2 : Hoành độ giao điểm của (d) và (d) là nghiệm của phơng trình :
ax + b = ax + b (1)
Giải phơng trình (1) tìm x = x 0 sau đó thay x = x 0 tìm đợc vào (d) hoặc (d) tìm y= y 0 . Toạ
độ giao điểm là A (x 0 ; y 0 )
- Cách 3 : Toạ độ giao điểm của y = ax + b (d) và y = ax + b (d) là nghiệm của hệ phơng
trình :

y = ax + b
(2)

y = a' x + b'

Giải hệ phơng trình (2) tìm đơc x = x 0 ;y = y 0 Toạ độ giao điểm là A (x 0 ; y 0 )
2) Bài toán 2:
Cho hai đờng thẳng y = ax + b (d) và parabol y = ax2 (P) .Tìm toạ độ giao điểm của (d) và
(P).
Phơng pháp giải :
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình :
ax + b = ax2 (1)
Giải phơng trình (1) tìm x sau đó thay x tìm đợc vào (d) hoặc (P) tìm y tơng ứng, Toạ độ giao
điểm là A (x ; y).
3) Ví dụ :
Cho hai hàm số y= x+3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d)
a)Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
b)Tìm toạ độ giao điểm nếu có của hai đồ thị.

GV:Nguyn Th Minh - THCS Hp Hũa 25