99 bài toán cực trị và 200 câu khảo sát hàm số

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

TUYỂN TẬP
99 BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN
CỰC TRỊ VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số f ( x) = x 4 + 2(m − 2) x 2 + m 2 − 5m + 5 ; (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vng cân.
2.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh
độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
3.Câu I (2 điểm). Cho hàm số y = x3 + 3x 2 + m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −4.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho AOB = 1200.
4.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y = x 3 + (1 − 2m) x 2 + (2 − m) x + m + 2
(1) ( m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hồnh
độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
5.Câu I .(2 điểm) Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 1200 .
3
2

1
2

6.Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x3 − mx 2 + m3

14.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: y = x − 3 ( m + 1) x + 9 x + m − 2 (1) có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m =1.
2) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua
3

y=

1

2

x

2 .
đường thẳng
15.Câu I: Cho hàm số y = x3 + mx + 2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -3.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hòanh tại một điểm duy nhất.

y = x3 −

3

mx 2 +

1

m3

16.Câu ICho hàm số :
2
2
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1.
2/ Xác định m để đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đt y = x
y=

mx 2 + (m 2 + 1) x + 4m3 + m
x+m

(C m )
17.Câu I
Cho hàm số:
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m= -1

2.Tìm các giá trò của tham số m để đồ thò (Cm ) có 1 điểm cực trò thuộc góc phần tư thứ
(II) và 1
điểm cực trò thuộc góc phần tư thứ (IV) của mặt phẳng toạ độ
x
18.Câu I. (2.0 điểm)
Cho hàm số y =
(C)
x-1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ
thị (C)
đến tiếp tuyến là lớn nhất.
19.Câu I. (2,0 điểm)Cho hàm số y = − x3 − 3x2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0.

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.
2) Xác định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường
thẳng y = x.
7.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 + mx3 − 2 x 2 − 3mx + 1 (1) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
2) Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.
(1)
8.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x 4 − 2(m2 − m + 1) x 2 + m − 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
9.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = 2 x 3 + 9mx 2 + 12m2 x + 1 (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn:
x 2CĐ = xCT .
10.Câu 1: ( 2điểm)
Cho hàm số y = 4x3 + mx2 – 3x
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số có hai cực trị tại x1 và x2 thỏa x1 = - 4x2
11.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = mx 3 + 3mx 2 − ( m − 1) x − 1 , m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2. Xác định các giá trị của m để hàm số y = f ( x) khơng có cực trị.

20.Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = − x3 − 3x2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực.
3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0.
4. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞).
21.Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + 9 x − m , với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 .
3

2

2. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x2 sao cho x1 − x 2 ≤ 2 .
22.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = x3 – 3(m+1)x2 + 9x – m (1), m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Xác định các giá trị m để hàm số (1) nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 2.

4
3
2
12.Câu I: Cho hàm số y = x + mx − 2x − 3mx + 1 (1) .

www.MATHVN.com

1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
2). Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.
1
y = (m − 1) x 3 + mx 2 + (3m − 2) x
3
13.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2
2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.

1

www.MATHVN.com

2

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM
mx 2 + (m 2 + 2) x + 4m 2 + 2m
34.Câu 1: Cho hàm số: y =
x+m

23.Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham số) (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2
2. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành
độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
24.Câu I (2 điểm): Cho hàm số y =

1 3
x – mx2 +(m2 – 1)x + 1 ( có đồ thị (Cm) )
3

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2. Tìm m, để hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu và yCĐ+ yCT > 2 .
25.Câu I (2 điểm): Cho hàm số : y = (x – m)3 – 3x (1)
1. Xác định m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1.
26.Câu I. (2 điểm)
Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 + m − 1 (1) , với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 .
2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

27.Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = –x3 + 3x2 + mx – 2 (1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (0; 2).
28.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x +1 có đồ thị (Cm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞ )
29.Câu I.(2đ)
Cho hàm số y = ( m − 1) x 4 − 3mx 2 + 5
1.Khảo sát với m=2
2.Tìm m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu.
30.Câu I ( 2,0điểm) Cho hàm số y = f ( x ) = x 4 + 2 ( m − 2 ) x 2 + m 2 − 5m + 5
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = 1
2/ Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác
vuông
cân.
31.Câu I: (2 điểm) Cho hàm số: y = x 3 − 3 ( m + 1) x 2 + 9x + m − 2 (1) có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m=1.
1) Xác định m để (Cm) có cực đại, cực tiểu và hai điểm cực đại cực tiểu đối xứng với nhau qua
1
2

đường thẳng y = x .
32.Câu I:(2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 − (3 x − 1) m (C ) với m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) khi m = 1 .
2. Tìm các gíá trị của m để đồ thị của hàm số (C) có hai điểm cực trị và chứng tỏ rằng hai
điểm cực trị này ở về hai phía của trục tung.
33.Câu 1: Cho hàm số y = (m − 1) x 4 + 2(m + 1) x 2 + m − 7
1) Định m để hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu
2) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=0
b) Dùng (C), biện luận theo tham số a số nghiệm của phương trình:

(
www.MATHVN.com

1) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm tương ứng có 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ
(II) và 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV) của mặt phẳng toạ độ.
2) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=-1. Dùng (C), biện luận theo a số nghiệm
thuộc [0;3π ] của phương trình: cos 2 x + (m − 1) cos x + 4 − m = 0
35.Câu 1: Cho hàm số y = (m + 1) x 3 − 3(m + 1) x + 2 − m (Cm)
1) Chứng minh họ đồ thị (Cm) có 3 điểm cố định thẳng hàng
2) Khảo sát hàm số khi m=1
3) Tìm phương trình parabol (P) qua điểm cực đại, cực tiểu của (C) và tiếp xúc với y=4x+9
36.Câu 1: Cho hàm số y = x 3 − 3ax 2 + 4a 3 (a là tham số) có đồ thị là (Ca)
1) Xác định a để (Ca) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đừơng thẳng y=x
2) Gọi (C’a) là đừơng con đối xứng (Ca) qua đừơng thẳng: x=1. Tìm phương trình của (C’a).
Xác định a để hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến của (C’a) là 12
37.Câu I: (2 điểm). Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số
có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0.
38.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2 x3 − 3(2m +1) x2 + 6m(m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞ )
39.Câu I : ( 2 điểm ).
Cho hàm số y = x3 + ( 1 – 2m)x2 + (2 – m )x + m + 2 . (Cm)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có cực trị đồng thời hoành độ cực tiểu nhỏ hơn 1.
40.Câu I. (2,0 điểm)
Cho hàm số y = − x3 − 3x2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực.
5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0.
6. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞).

41.Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 − m − 1 (1) , với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = −1 .
2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một
tam giác
có diện tích bằng 4 2 .
42.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3 x + 1 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2. Đường thẳng ( ∆): y = mx + 1 cắt (C) tại ba điểm. Gọi A và B là hai điểm có hoành độ khác
0 trong ba điểm nói ở trên; gọi D là điểm cực tiểu của (C). Tìm m để ADB là góc vuông.
43.Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = x 4 − 2m 2 x 2 − 1 (1), trong đó m là tham số thực.
7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
8. Tìm giá trị của tham số m để hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác có
diện tích bằng 32.
44.Câu I (2 điểm)

x2 − 2x + 1 2
x2 − 2x + 1
) −8 2
+a =0
2
x − 4x + 4
x − 4x + 4
3

www.MATHVN.com

4

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Cho hm s y = x 4 + 2mx 2 + m2 + m (1) , vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 2 .
2. Xỏc nh m hm s (1) cú ba im cc tr, ng thi cỏc im cc tr ca th to
thnh mt tam giỏc cú gúc bng 1200.
45.Cõu I (2 im)
Cho hm s y = x 4 2mx 2 (1), vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 .
2. Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tiu v hỡnh phng gii hn bi th hm s vi
ng thng i qua hai im cc tiu y cú din tớch bng 1.
1
3

46.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x3 2 x 2 + 3x (1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) .
2. Gi A, B ln lt l cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s (1). Tỡm im M thuc
trc honh sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng 2.
47.Cõu I (2 im)
Cho hm s y = x3 + 3x 2 + 3 ( m2 1) x 3m 2 1 (1), vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 .
2. Tỡm m hm s (1) cú cc i v cc tiu, ng thi cỏc im cc tr ca th cựng vi
gc to O to thnh mt tam giỏc vuụng ti O.
48.Cõu I (2 im)
Cho hm s y = x 3 3 x 2 mx + 2 (1) vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.
2. nh m hm s (1) cú cc tr, ng thi ng thng i qua hai im cc tr ca th

hm s to vi hai trc ta mt tam giỏc cõn.
49.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x 4 2mx 2 + 2m 2 m (1) vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2 nh m th ca hm s (1) cú ba im cc tr l ba nh ca mt tam giỏc vuụng.
50.Cõu 1. ( 2,0 im )
Cho hm s y = x3 + 2(m 1)x2 +(m2 4m + 1)x 2(m2 + 1) (1).
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2. Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s cú cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc i,
cc tiu ca th hm s (1) vuụng gúc vi ng thng y =

9
x + 5.
2

51.Cõu 1: ( 2,0 im)Cho hm s y = x3 2(m 1) x 2 + 9 x + 2 m (1)
1) Vi m = 4 . Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s.
2) Tỡm m ( m ) hm s (1) t cc tr ti x1 , x2 tho món x1 x2 = 2.

2. Tỡm m ng thng i qua im cc i, cc tiu ca ( Cm ) ct ng trũn tõm I (1;1) ,
bỏn kớnh bng 1 ti hai im phõn bit A, B sao cho din tớch tam giỏc IAB t giỏ tr ln
nht
55.Cõu I: ( 2,0 im ) Cho hm s y = x 4 2 mx 2 + 1
(1).
1/.Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi m = 1 .
2/.Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m th hm s (1) cú ba im cc tr v ng trũn i qua
ba im ny cú bỏn kớnh bng 1.
56.Cõu I:(2.0 im).
Cho hm s y = x 4 2(1 m 2 ) x 2 + m + 1 (1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) vi m = 0.
2. Tỡm m hm s cú i cc, cc tiu v cỏc im cc tr ca th hm s lp thnh tam

giỏc cú din
tớch ln nht.
57.Cõu I (2,0 im) Cho hm s y = x4 2x2 + 2 (1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1).
2. Tỡm ta hai im A, B thuc (C) sao cho ng thng AB song song vi trc honh v
khong cỏch t im cc i ca (C) n AB bng 8.
58.Cõu I (2 im)
Cho hm s y = x 4 + 2mx 2 m 1 (1) , vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 1 .
2. Xỏc nh m hm s (1) cú ba im cc tr, ng thi cỏc im cc tr ca th to thnh mt
tam giỏc
cú din tớch bng 4 2 .
59.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x3 3 x + 1 (1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1).
2. ng thng ( ): y = mx + 1 ct (C) ti ba im. Gi A v B l hai im cú honh khỏc
0 trong ba im núi trờn; gi D l im cc tiu ca (C). Tỡm m ADB l gúc vuụng.
60.Cõu I (2 im)
Cho hm s y = x 4 2mx 2 (1), vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 .
2. Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tiu v hỡnh phng gii hn bi th hm s vi
ng thng i qua hai im cc tiu y cú din tớch bng 1.
1
3

61.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x3 2 x 2 + 3x (1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) .
2. Gi A, B ln lt l cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s (1). Tỡm im M thuc
trc honh sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng 2.
62.Cõu I (2 im)
Cho hm s y = x3 + 3x 2 + 3 ( m2 1) x 3m 2 1 (1), vi m l tham s thc.

52.Câu I: (2 im) Cho h m s f ( x ) = x 3 3(m + 1) x 2 + 3m(m + 2) x 2 + m (1) (m là tham số)
1. Kho sát s bin thiên v v đồ th h m s (1) khi m = 2 .
2. Tìm m để đồ th h m s (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của th
h m s (1)
tới trục Ox bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu của th h m s (1) tới trục Oy .
53.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x3 3x 2 3m(m + 2) x 1 (1) , vi m l tham s thc.

1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 .
2. Tỡm m hm s (1) cú cc i v cc tiu, ng thi cỏc im cc tr ca th cựng vi
gc to O to thnh mt tam giỏc vuụng ti O.
63.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x 3 3 x 2 mx + 2 (1) vi m l tham s thc.
1.Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.
2.nh m hm s (1) cú cc tr, ng thi ng thng i qua hai im cc tr ca th hm
s to vi hai trc ta mt tam giỏc cõn.
64.Cõu I (2,0 im) Cho hm s y = x 4 4 ( m 1) x 2 + 2m 1 cú th ( Cm )

1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m=0.
2. Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) cú hai giỏ tr cc tr cựng du.
54.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x3 3mx + 2 ( Cm )
www.MATHVN.com

1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ( C1 )

5

www.MATHVN.com

6

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số khi m = .
2

75.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x + m +

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 1.
2.Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cách
đường
thẳng d: x – y + 2 = 0 những khoảng bằng nhau.
76.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ
nhất.
77.Câu I: (2,0 điểm). Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + (m-1)x + 2.
1. Chứng minh rằng hàm số có cực trị với mọi giá trị của m.
2. Xác định m để hàm số có cực tiểu tại x = 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
số
trong trường hợp đó.
78.Câu I (2 điểm):
Cho hàm số
y = x3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1) x − m3 + m (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến
góc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ O.

79.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ
nhất.
80.Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 4 + (3m + 1) x 2 − 3 (với m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = −1 .
2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân
sao

2. Xác định tham số m để hàm số có 3 cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều
65.Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2(m2 – m + 1)x2 + m – 1
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
66.Câu I (2.0 điểm).
Cho hàm số: y = f(x) = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – m3 (Cm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m = –2.
2. Chứng minh rằng (Cm) ln có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi
đường thẳng cố định
3
2
67.Câu I. (2 điểm) Cho hàm số y = x − 3 x + 2

(C )

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số

2.Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của ( C ) tiếp xúc với đường tròn có phương
trình

( x − m ) + ( y − m − 1)
2

2

=5

68.Câu I.(2 điểm) Cho hàm số y =

x3 1
− (m + 3) x 2 − 2(m + 1) x + 1
3 2

(1) ( m là tham số thực)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 .
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị với hồnh độ lớn hơn 1.
69.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = f ( x) = mx 3 + 3mx 2 − ( m − 1) x − 1 , m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2. Xác định các giá trị của m để hàm số y = f ( x) khơng có cực trị.
70.Câu I (2 điểm):
Cho hàm số
y = x3 − 3mx 2 + 3(m2 − 1) x − m3 + m (1)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) ứng với m=1
2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến góc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến góc tọa độ
O.
71.Câu I : ( 2 điểm ). Cho hàm số y = x3 + ( 1 – 2m)x2 + (2 – m )x + m + 2 . (Cm)
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có cực trị đồng thời hồnh độ cực tiểu nhỏ hơn 1.

72.Câu I ( 2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 + 6mx 2 + 9 x + 2m (1), với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị thoả mãn khoảng cách từ gốc toạ độ O đến
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng

4

cho độ dài cạnh đáy bằng

2

82.Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m , với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1 .
2. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1 , x 2 sao cho x1 − x 2 ≤ 2 .

.

83.Câu I (2 điểm)Cho hàm số y = x 4 − 2(m − 1) x 2 + m − 2
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 .
2. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 3) .
84.Câu I (2 điểm)Cho hàm số y = x 4 − 2(m − 1) x 2 + m − 2
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 2 .
2. Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 3) .
85.Câu I :( 2, 0 điểm) Cho hàm số y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx − 5 , m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số khi m = 0

2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại , cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam
giác
ABC bằng 7, với điểm C( – 2; 4 ).
74.Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = 2 x3 − 3(2m +1) x2 + 6m(m + 1) x + 1 có đồ thị (Cm).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2. Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞ )
www.MATHVN.com

2
lần độ dài cạnh bên.
3

81.Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2(m2 – m + 1)x2 + m – 1
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.

5
73.Câu I ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = x − 3x + m − m + 1 (1)
3

m
x−2

7

www.MATHVN.com

8

WWW.MATHVN.COM

WWW.MATHVN.COM

Cho hm s y = x3 + 3x 2 + 3 ( m2 1) x 3m 2 1 (1), vi m l tham s thc.

2. Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s ó cho cú honh
l cỏc s dng.
86.Cõu 1: ( 2 im) Cho hm s y = x 4 + 2(m 2) x 2 + m 2 5m + 5
(C m )
1, Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2, Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th ( Cm) cú im cc i v im cc tiu, ng thi
cỏc im
cc i v im cc tiu lp thnh mt tam giỏc u.
87.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x3 3mx + 2 ( Cm )
3. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ( C1 )

Tỡm m ng thng i qua im cc i, cc tiu ca ( Cm ) ct ng trũn tõm I (1;1) , bỏn
kớnh bng 1 ti
hai im phõn bit A, B sao cho din tớch tam giỏc IAB t giỏ tr ln nht
88.Cõu I: ( 2,0 im ) Cho hm s y = x 4 2 mx 2 + 1
(1).
1/.Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi m = 1 .
2/.Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m th hm s (1) cú ba im cc tr v ng trũn i qua
ba im ny cú bỏn kớnh bng 1.
89.Cõu I:(2.0 im).
Cho hm s y = x 4 2(1 m 2 ) x 2 + m + 1 (1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) vi m = 0.

2. Tỡm m hm s cú i cc, cc tiu v cỏc im cc tr ca th hm s lp thnh tam
giỏc cú din
tớch ln nht.
90.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x3 3 x + 1 (1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1).
2. ng thng ( ): y = mx + 1 ct (C) ti ba im. Gi A v B l hai im cú honh khỏc

1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 .
2. Tỡm m hm s (1) cú cc i v cc tiu, ng thi cỏc im cc tr ca th cựng vi
gc to O to thnh mt tam giỏc vuụng ti O.
96.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x 3 3 x 2 mx + 2 (1) vi m l tham s thc.
3. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.
4. nh m hm s (1) cú cc tr, ng thi ng thng i qua hai im cc tr ca th
hm s to vi hai trc ta mt tam giỏc cõn.
97.Cõu I (2,0 im) Cho hm s y = x 4 4 ( m 1) x 2 + 2m 1 cú th ( Cm )
3
2

1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ( C ) ca hm s khi m = .
2. Xỏc nh tham s m hm s cú 3 cc tr to thnh 3 nh ca mt tam giỏc u
98.Cõu I (2,0 im) Cho hm s y = x 4 2( m + 1 )x 2 + m (1), m l tham s.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 1.
2. Tỡm m th hm s (1) cú ba im cc tr A, B, C sao cho OA = BC, O l gc ta , A l
cc tr thuc trc tung, B v C l hai im cc tr cũn li.
99. Câu I.(2 điểm). Cho hàm số y = x3 +( 1-2m)x2 +(2-m)x + m +2. ( m là tham số )
(1)
1. Khảo sát Sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
2.Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại ,điểm cực tiểu ,đồng thời hoành
độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.

www.MATHVN.com

0 trong ba im núi trờn; gi D l im cc tiu ca (C). Tỡm m ADB l gúc vuụng.
91.Cõu I (2,0 im)
Cho hm s y = x 4 2m2 x 2 1 (1), trong ú m l tham s thc.
9. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
10. Tỡm giỏ tr ca tham s m hm s (1) cú ba im cc tr l ba nh ca mt tam giỏc cú
din tớch bng 32.
92.Cõu I (2 im)
Cho hm s y = x 4 + 2mx 2 + m2 + m (1) , vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 2 .
2. Xỏc nh m hm s (1) cú ba im cc tr, ng thi cỏc im cc tr ca th to
thnh mt tam giỏc cú gúc bng 1200.
93.Cõu I (2 im)
Cho hm s y = x 4 2mx 2 (1), vi m l tham s thc.
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 .
2. Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tiu v hỡnh phng gii hn bi th hm s vi
ng thng i qua hai im cc tiu y cú din tớch bng 1.
1
3

94.Cõu I (2 im) Cho hm s y = x3 2 x 2 + 3x (1)
1. Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) .
2. Gi A, B ln lt l cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s (1). Tỡm im M
thuc trc honh sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng 2.
95.Cõu I (2 im)
www.MATHVN.com

9

www.MATHVN.com

10


Trần Sĩ Tùng

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

Khảo sát hàm số

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

TRẦN SĨ TÙNG

A. Kiến thức cơ bản
Giả sử hàm số y = f ( x ) có tập xác định D.

---- ›š & ›š ----

· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì:
+ y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0

ì
îD £ 0

+ y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0

ì
îD £ 0

· Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) :
+ Nếu D < 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a.
+ Nếu D = 0 thì g( x ) luôn cùng dấu với a (trừ x = -

b
)
2a

+ Nếu D > 0 thì g( x ) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g( x ) khác dấu
với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g( x ) cùng dấu với a.
· So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g( x ) = ax 2 + bx + c với số 0:

TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

ìD ³ 0
ï

ìD ³ 0
ï

ïîS < 0

ïîS > 0

+ x1 £ x2 < 0 Û í P > 0 + 0 < x1 £ x2 Û í P > 0 + x1 < 0 < x2 Û P < 0
· g( x ) £ m, "x Î (a; b) Û max g( x ) £ m ;
( a;b )

g( x ) ³ m, "x Î (a; b) Û min g( x ) ³ m
( a;b )

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng
xác định).
· Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm
thuộc D.
· Nếu y ' = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) thì:
+ y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0

ì
îD £ 0

+ y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0

ì
îD £ 0

2. Tìm điều kiện để hàm số y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng (a ; b ) .
Ta có: y¢ = f ¢( x ) = 3ax 2 + 2bx + c .
a) Hàm số f đồng biến trên (a ; b ) Û y¢ ³ 0, "x Î (a ; b ) và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu
hạn điểm thuộc (a ; b ) .
Trường hợp 1:

· Nếu bất phương trình f ¢( x ) ³ 0 Û h(m) ³ g( x )

Năm 2012

(*)

thì f đồng biến trên (a ; b ) Û h(m) ³ max g( x )
(a ; b )

www.MATHVN.com

Trang 1

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

Trn S Tựng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

ã Nu bt phng trỡnh f Â( x ) 0 h(m) Ê g( x )

(a ; b )

Trng hp 2: Nu bt phng trỡnh f Â( x ) 0 khụng a c v dng (*) thỡ t t = x - a .
Khi ú ta cú: y = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c .
ỡa > 0
ùùD > 0

ỡa > 0
Hm s f ng bin trờn khong (-Ơ; a) g(t ) 0, "t < 0 ớ
ớ
ợD Ê 0
ùS > 0
ùợ P 0
ỡa > 0
ùù
ỡ
Hm s f ng bin trờn khong (a; +Ơ) g(t ) 0, "t > 0 ớa > 0 ớD > 0
ợD Ê 0
ùS < 0
ùợ P 0

b) Hm s f nghch bin trờn (a ; b ) y 0, "x ẻ (a ; b ) v y = 0 ch xy ra ti mt s hu
hn im thuc (a ; b ) .
(*)

Kho sỏt hm s

ỡ -e ỹ
adx 2 + 2aex + be - dc
f ( x)
=
ý , y' =
2
2
ợd ỵ
( dx + e )
( dx + e )

Tp xỏc nh: D = R \ ớ

Trng hp 1
Nu: f ( x ) 0 g( x ) h(m) (i)

Trng hp 2
Nu bpt: f ( x ) 0 khụng a c v dng (i)
thỡ ta t: t = x - a .
Khi ú bpt: f ( x ) 0 tr thnh: g(t ) 0 , vi:
g(t ) = adt 2 + 2a(da + e)t + ada 2 + 2aea + be - dc

a) (2) ng bin trờn khong (-Ơ;a )
ỡ -e
ù
ớ d a
ùợ g( x ) h(m), "x < a

(a ; b )

(**)

thỡ f nghch bin trờn (a ; b ) h(m) Ê min g( x )
(a ; b )

Trng hp 2: Nu bt phng trỡnh f Â( x ) Ê 0 khụng a c v dng (*) thỡ t t = x - a .
Khi ú ta cú: y = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c .
ỡa < 0
ùù
ỡ

Hm s f nghch bin trờn khong (-Ơ; a) g(t ) Ê 0, "t < 0 ớa < 0 ớD > 0
ợD Ê 0
ùS > 0
ùợ P 0
ỡa < 0
ùù
ỡ
Hm s f nghch bin trờn khong (a; +Ơ) g(t ) Ê 0, "t > 0 ớa < 0 ớD > 0
ợD Ê 0
ùS < 0
ùợ P 0

a) (2) ng bin trờn khong (-Ơ;a )
ỡ -e
ù
ớ d a
ùợ g(t ) 0, "t < 0 (ii)
ỡa > 0
ùùD > 0
ỡa > 0
(ii) ớ
ớ
ợD Ê 0
ùS > 0
ùợ P 0

ỡ -e
ù a
ớd
ùh(m) Ê min g( x )

( -Ơ;a ]
ợ

b) (2) ng bin trờn khong (a ; +Ơ)

thỡ f nghch bin trờn (a ; b ) h(m) max g( x )
ã Nu bt phng trỡnh f Â( x ) 0 h(m) Ê g( x )

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

c) ng bin trờn (a ; b ) .

(**)

thỡ f ng bin trờn (a ; b ) h(m) Ê min g( x )

Trng hp 1:
ã Nu bt phng trỡnh f Â( x ) Ê 0 h(m) g( x )

Trn S Tựng

b) (2) ng bin trờn khong (a ; +Ơ)

ỡ -e
ù
ớ d Êa
ợù g( x ) h(m), "x > a

ỡ -e
ù

ớ d Êa
ợù g(t ) 0, "t > 0 (iii)

ỡ -e
ù Êa
ớd
ùh(m) Ê min g( x )
[a ; +Ơ )
ợ

ỡa > 0
ùùD > 0
ỡa > 0
(iii) ớ
ớ
ợD Ê 0
ùS < 0
ùợ P 0

c) (2) ng bin trờn khong (a ; b )
ỡ -e
ù
ớ d ẽ (a ; b )
ợù g( x ) h(m), "x ẻ (a ; b )
ỡ -e
ù ẽ (a ; b )
ớd
ùh(m) Ê min g( x )
[a ; b ]
ợ

3. Tỡm iu kin hm s y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d n iu trờn khong cú di
bng k cho trc.
ã f n iu trờn khong ( x1; x2 ) y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 ớ a ạ 0 (1)
D>0
ỡ
ợ

ã Bin i x1 - x2 = d thnh ( x1 + x2 )2 - 4 x1x2 = d 2

(2)

ax 2 + bx + c
(2), (a, d ạ 0)
dx + e

a) Nghch bin trờn (-Ơ;a ) .

ã S dng nh lớ Viet a (2) thnh phng trỡnh theo m.
ã Gii phng trỡnh, so vi iu kin (1) chn nghim.
4. Tỡm iu kin hm s y =

5. Tỡm iu kin hm s y =
b) Nghch bin trờn (a ; +Ơ) .
c) Nghch bin trờn (a ; b ) .

ax 2 + bx + c
(2), (a, d ạ 0)
dx + e

ỡ -e ỹ
adx 2 + 2aex + be - dc
f ( x)
=
ý , y' =
2
2
ợd ỵ
dx
+
e
dx
(
)
( + e)

Tp xỏc nh: D = R \ ớ

a) ng bin trờn (-Ơ;a ) .
b) ng bin trờn (a ; +Ơ) .
Trang 2

www.MATHVN.com

Trang 3

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

Trn S Tựng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trng hp 1
Nu f ( x ) Ê 0 g( x ) h(m) (i)

Trng hp 2
Nu bpt: f ( x ) 0 khụng a c v dng (i)
thỡ ta t: t = x - a .
Khi ú bpt: f ( x ) Ê 0 tr thnh: g(t ) Ê 0 , vi:
g(t ) = adt 2 + 2a(da + e)t + ada 2 + 2aea + be - dc

a) (2) nghch bin trờn khong (-Ơ;a )

a) (2) ng bin trờn khong (-Ơ;a )

ỡ -e
ù
ớ d a
ợù g( x ) h(m), "x < a

ỡ -e
ù
ớ d a
ợù g(t ) Ê 0, "t < 0 (ii)

ỡ -e
ù a

ớd
ùh(m) Ê min g( x )
( -Ơ;a ]
ợ

ỡa < 0
ùùD > 0
ỡa < 0
(ii) ớ
ớ
ợD Ê 0
ùS > 0
ùợ P 0

b) (2) nghch bin trờn khong (a ; +Ơ)

ỡ -e
ù
ớ d Êa
ợù g(t ) Ê 0, "t > 0 (iii)

ỡ -e
ù Êa
ớd
ùh(m) Ê min g( x )
[a ; +Ơ )
ợ

ỡa < 0
ùùD > 0

ỡa < 0
(iii) ớ
ớ
ợD Ê 0
ùS < 0
ùợ P 0

Cõu 1.

Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
1
3

Cho hm s y = (m - 1) x 3 + mx 2 + (3m - 2) x (1)

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1) khi m = 2 .
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn tp xỏc nh ca nú.

ã Tp xỏc nh: D = R. y Â= (m - 1) x 2 + 2mx + 3m - 2 .
(1) ng bin trờn R y  0, "x m 2
Cho hm s y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0 .
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) ng bin trờn khong (-Ơ;0) .

Cõu 2.

b) (2) ng bin trờn khong (a ; +Ơ)

ỡ -e
ù
ớ d Êa
ợù g( x ) h(m), "x > a

Trn S Tựng

ã Tp xỏc nh: D = R. y Â= 3 x 2 + 6 x - m . y cú D = 3(m + 3) .
+ Nu m Ê -3 thỡ DÂ Ê 0 ị y 0, "x ị hm s ng bin trờn R ị m Ê -3 tho YCBT.
+ Nu m > -3 thỡ D > 0 ị PT y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 ( x1 < x2 ) . Khi ú hm s
ng bin trờn cỏc khong (-Ơ; x1 ),( x2 ; +Ơ) .
ỡDÂ > 0
ù

ỡm > -3
ù

ùợS > 0

ùợ-2 > 0

Do ú hm s ng bin trờn khong (-Ơ;0) 0 Ê x1 < x2 ớ P 0 ớ-m 0 (VN)
Vy: m Ê -3 .
Cho hm s y = 2 x 3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 cú th (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm s ng bin trờn khong (2; +Ơ)

Cõu 3.

c) (2) ng bin trong khong (a ; b )
ỡ -e
ù
ớ d ẽ (a ; b )
ùợ g( x ) h(m), "x ẻ (a ; b )
ỡ -e
ù ẽ (a ; b )
ớd
ùh(m) Ê min g( x )
[a ; b ]
ợ

ã Tp xỏc nh: D = R. y ' = 6 x 2 - 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) cú D = (2m + 1)2 - 4(m 2 + m) = 1 > 0
ộx = m
y' = 0 ờ
. Hm s ng bin trờn cỏc khong (-Ơ; m), (m + 1; +Ơ)
ởx = m +1
Do ú: hm s ng bin trờn (2; +Ơ) m + 1 Ê 2 m Ê 1

Cho hm s y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm ng bin trờn khong K = (0; +Ơ) .

Cõu 4.

ã Hm ng bin trờn (0; +Ơ) y Â= 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + (2 - m) 0 vi "x ẻ (0; +Ơ)
f ( x) =

3x 2 + 2 x + 2
m vi "x ẻ (0; +Ơ)

4x + 1

1
6(2 x 2 + x - 1)
Ta cú: f Â( x ) =
= 0 2 x 2 + x - 1 = 0 x = -1; x =
2
2

(4 x + 1)

ổ1ử

5

Lp BBT ca hm f ( x ) trờn (0; +Ơ) , t ú ta i n kt lun: f ỗ ữ m m .
4
ố2ứ
Cõu hi tng t:
1
3
1
b) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ạ -1) , K = (1; +Ơ) .
3
1
c) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ạ -1) , K = (-1;1) .
3

a) y = (m + 1) x 3 - (2m - 1) x 2 + 3(2m - 1) x + 1 (m ạ -1) , K = (-Ơ; -1) .

Trang 4

www.MATHVN.com

Trang 5

S: m

4
11

S: m 0
S: m

1
2

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s
Cõu 5.

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trn S Tựng

1
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K = (-Ơ;2) .

ộ( x ; x ) = (0; m)

ờ 1 2
v x2 - x1 = 1 ờ m - 0 = 1 m = 1 .
ở0 - m = 1
ở( x1; x2 ) = (m;0)

ã Tp xỏc nh: D = R; y = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 .
t t = x 2 ta c: y = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10
Hm s (1) nghch bin trong khong (-Ơ;2) g(t ) Ê 0, "t < 0

ợD Ê 0

Vy: Vi

Cõu 6.

ợù3m - 2m - 1 Ê 0

-1
Ê m < 1 thỡ hm s (1) nghch bin trong khong (-Ơ;2) .
3

Cho hm s y = x 4 - 2mx 2 - 3m + 1 (1), (m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) ng bin trờn khong (1; 2).

1
3

ã Ta cú y ' = 4 x 3 - 4mx = 4 x( x 2 - m)
+ m Ê 0 , y  0, "x ẻ (0; +Ơ) ị m Ê 0 tho món.
+ m > 0 , y Â= 0 cú 3 nghim phõn bit: - m , 0,

Cõu 10. Cho hm s y =

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm nghch bin trờn khong K = (2; +Ơ) .

m.

Vy m ẻ ( -Ơ;1ựỷ .
Hm s (1) ng bin trờn (1; 2) m Ê 1 0 < m Ê 1 .
Cõu hi tng t:
S: m Ê 2 .
a) Vi y = x 4 - 2(m - 1) x 2 + m - 2 ; y ng bin trờn khong (1;3) .

Cho hm s y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ạ 1) .

mx + 4
x+m

(1)

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = -1 .
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m hm s (1) nghch bin trờn khong (-Ơ;1) .

ã Tp xỏc nh: D = R; y = (m2 - 1) x 2 + 2(m - 1) x - 2 .
t t = x 2 ta c: y = g(t ) = (m 2 - 1)t 2 + (4m 2 + 2m - 6)t + 4m 2 + 4m - 10
Hm s (1) nghch bin trong khong (2; +Ơ) g(t ) Ê 0, "t > 0

ã Tp xỏc nh: D = R \ {m}.

ỡm2 - 1 < 0
ỡa < 0
ù 2
ùùD > 0
ỡùm 2 - 1 < 0
ùù3m - 2m - 1 > 0
ỡa < 0
TH1: ớ
ớ 2
TH2: ớ
ớ4m2 + 4m - 10 Ê 0
D
Ê
0
S
<
0
3
m
2
m
1
Ê
0

ợ
ùợ
ù
ù -2m - 3
ùợ P 0
ù
<0
ùợ m + 1
Vy: Vi -1 < m < 1 thỡ hm s (1) nghch bin trong khong (2; +Ơ)

y Â=

m2 - 4
( x + m)2

.

Hm s nghch bin trờn tng khong xỏc nh y Â< 0 -2 < m < 2
(1)
hm s (1) nghch bin trờn khong (-Ơ;1) thỡ ta phi cú - m 1 m Ê -1 (2)
Kt hp (1) v (2) ta c: -2 < m Ê -1 .
Cõu 11. Cho hm s y =

2 x 2 - 3x + m
(2).
x -1

Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (-Ơ; -1) .

Cho hm s y = x 3 + 3 x 2 + mx + m (1), (m l tham s).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 3.
2) Tỡm m hm s (1) nghch bin trờn on cú di bng 1.

Cõu 7.

ã Tp xỏc nh: D = R \ {1} . y ' =

ã Ta cú y ' = 3 x 2 + 6 x + m cú DÂ = 9 - 3m .
+ Nu m 3 thỡ y 0, "x ẻ R ị hm s ng bin trờn R ị m 3 khụng tho món.
+ Nu m < 3 thỡ y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 ( x1 < x2 ) . Hm s nghch bin trờn on
m
ởộ x1; x2 ỷự vi di l = x1 - x2 . Ta cú: x1 + x2 = -2; x1x2 = 3 .
9
.
4

Cho hm s y = -2 x 3 + 3mx 2 - 1 (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) ng bin trong khong ( x1; x2 ) vi x2 - x1 = 1 .

ã y ' = -6 x 2 + 6mx , y ' = 0 x = 0 x = m .
+ Nu m = 0 ị yÂ Ê 0, "x ẻ Ă ị hm s nghch bin trờn Ă ị m = 0 khụng tho YCBT.

www.MATHVN.com

2x2 - 4x + 3 - m
2

( x - 1)

=

f (x)
( x - 1)2

.

Ta cú: f ( x ) 0 m Ê 2 x 2 - 4 x + 3 . t g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 ị g '( x ) = 4 x - 4
Hm s (2) ng bin trờn (-Ơ; -1) y ' 0, "x ẻ (-Ơ; -1) m Ê min g( x )
( -Ơ;-1]

Da vo BBT ca hm s g( x ), "x ẻ (-Ơ; -1] ta suy ra m Ê 9 .
Vy m Ê 9 thỡ hm s (2) ng bin trờn (-Ơ; -1)
Cõu 12. Cho hm s y =

Cõu 8.

Trang 6

ộ

Cõu 9.

ỡm2 - 1 < 0
ỡa < 0
ù 2
ùùD
ùù3m - 2m - 1 > 0
TH2: ớ > 0 ớ4m2 + 4m - 10 Ê 0
S

>
0
ù
ù -2m - 3
ùợ P 0
ù
>0
ợù m + 1

YCBT l = 1 x1 - x2 = 1 ( x1 + x2 )2 - 4 x1x2 = 1 m =

Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

+ Nu m ạ 0 , y 0, "x ẻ (0; m) khi m > 0 hoc y 0, "x ẻ (m; 0) khi m < 0 .
Vy hm s ng bin trong khong ( x1; x2 ) vi x2 - x1 = 1

Cho hm s y = (m 2 - 1) x 3 + (m - 1) x 2 - 2 x + 1 (1) (m ạ 1) .

ỡù 2
ỡ
TH1: ớ a < 0 ớm 2- 1 < 0

Trn S Tựng

2 x 2 - 3x + m
(2).
x -1

Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (2; +Ơ) .

ã Tp xỏc nh: D = R \ {1} . y ' =

2x2 - 4x + 3 - m
( x - 1)2

=

f (x)
( x - 1)2

.

Ta cú: f ( x ) 0 m Ê 2 x 2 - 4 x + 3 . t g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 ị g '( x ) = 4 x - 4
Hm s (2) ng bin trờn (2; +Ơ) y ' 0, "x ẻ (2; +Ơ) m Ê min g( x )
[2; +Ơ )

Trang 7

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

Trn S Tựng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Da vo BBT ca hm s g( x ), "x ẻ (-Ơ; -1] ta suy ra m Ê 3 .

Vy m Ê 3 thỡ hm s (2) ng bin trờn (2; +Ơ) .
Cõu 13. Cho hm s y =

Trn S Tựng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Kho sỏt hm s

KSHS 02: CC TR CA HM S
Dng 1: Cc tr ca hm s bc 3: y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
A. Kin thc c bn
ã Hm s cú cc i, cc tiu phng trỡnh y = 0 cú 2 nghim phõn bit.
ã Honh x1, x2 ca cỏc im cc tr l cỏc nghim ca phng trỡnh y = 0 .

2 x 2 - 3x + m
(2).
x -1

Tỡm m hm s (2) ng bin trờn khong (1;2) .

Ta cú: f ( x ) 0 m Ê 2 x 2 - 4 x + 3 . t g( x ) = 2 x 2 - 4 x + 3 ị g '( x ) = 4 x - 4
Hm s (2) ng bin trờn (1;2) y ' 0, "x ẻ (1;2) m Ê min g( x )

ã vit phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu, ta cú th s dng
phng phỏp tỏch o hm.
Phõn tớch y = f Â( x ).q( x ) + h( x ) .
Suy ra y1 = h( x1 ), y2 = h( x2 ) .
Do ú phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu l: y = h( x ) .

Da vo BBT ca hm s g( x ), "x ẻ (-Ơ; -1] ta suy ra m Ê 1 .
Vy m Ê 1 thỡ hm s (2) ng bin trờn (1;2) .

ã Gi a l gúc gia hai ng thng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 thỡ tan a =

ã Tp xỏc nh: D = R \ {1} . y ' =

2x2 - 4x + 3 - m
2

( x - 1)

=

f (x)
2

( x - 1)

.

[1;2]

B. Mt s dng cõu hi thng gp
Gi k l h s gúc ca ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu.
1. Tỡm iu kin ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu song song (vuụng
gúc) vi ng thng d : y = px + q .
Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu.
Vit phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu.

x 2 - 2mx + 3m2
Cõu 14. Cho hm s y =
(2).
2m - x

Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong (-Ơ;1) .

ã Tp xỏc nh: D = R \ { 2m} . y ' =

- x 2 + 4mx - m 2
( x - 2m)2

=

f (x)
( x - 2m)2

. t t = x - 1 .

1
p

Gii iu kin: k = p (hoc k = - ).

Khi ú bpt: f ( x ) Ê 0 tr thnh: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 Ê 0
Hm s (2) nghch bin trờn (-Ơ;1) y ' Ê 0, "x ẻ (-Ơ;1) ớ2m > 1

ỡ
ợ g(t ) Ê 0, "t < 0 (i)

ộm = 0
ộD ' = 0
ờ ỡm ạ 0
ờ ỡD ' > 0
ộm = 0
(i) ờ ù
ờ
ờù
ờ ớ 4m - 2 > 0
ờ ớS > 0
ởm 2 + 3
ờ ùợm2 - 4m + 1 0
ờở ùợ P 0
ở

Tỡm m hm s (2) nghch bin trờn khong (1; +Ơ) .
- x 2 + 4mx - m 2
( x - 2m)2

=

k-p
= tan a . (c bit nu d Ox, thỡ gii iu kin: k = tan a )
1 + kp

3. Tỡm iu kin ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu ct hai trc Ox, Oy
ti hai im A, B sao cho DIAB cú din tớch S cho trc (vi I l im cho trc).
Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu.
Vit phng trỡnh ng thng D i qua cỏc im cc i, cc tiu.
Tỡm giao im A, B ca D vi cỏc trc Ox, Oy.

Gii iu kin SDIAB = S .

x 2 - 2mx + 3m2
(2).
2m - x

ã Tp xỏc nh: D = R \ { 2m} . y ' =

2. Tỡm iu kin ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu to vi ng thng
d : y = px + q mt gúc a .
Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu.
Vit phng trỡnh ng thng i qua cỏc im cc i, cc tiu.
Gii iu kin:

Vy: Vi m 2 + 3 thỡ hm s (2) nghch bin trờn (-Ơ;1) .
Cõu 15. Cho hm s y =

k1 - k2
1 + k1k2

f (x)
( x - 2m)2

. t t = x - 1 .

Khi ú bpt: f ( x ) Ê 0 tr thnh: g(t ) = -t 2 - 2(1 - 2m)t - m2 + 4m - 1 Ê 0
Hm s (2) nghch bin trờn (1; +Ơ) y ' Ê 0, "x ẻ (1; +Ơ) ớ2m < 1

ỡ
ợ g(t ) Ê 0, "t > 0 (ii )

ộm = 0
ộD ' = 0
ờ ỡm ạ 0
ờ ỡD ' > 0
(ii) ờ ù
m Ê2- 3
ờù
ờ ớ 4m - 2 < 0
ờ ớS < 0
ờ ùợm2 - 4m + 1 0
ờở ùợ P 0
ở

4. Tỡm iu kin th hm s cú hai im cc tr A, B sao cho DIAB cú din tớch S
cho trc (vi I l im cho trc).
Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu.
Vit phng trỡnh ng thng D i qua cỏc im cc i, cc tiu.
Gii iu kin SDIAB = S .
5. Tỡm iu kin th hm s cú hai im cc tr A, B i xng qua ng thng d
cho trc.
Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu.
Vit phng trỡnh ng thng D i qua cỏc im cc i, cc tiu.
Gi I l trung im ca AB.
ỡ
Gii iu kin: ớ D ^ d .

Vy: Vi m Ê 2 - 3 thỡ hm s (2) nghch bin trờn (1; +Ơ)

ợI ẻ d

5. Tỡm iu kin th hm s cú hai im cc tr A, B cỏch u ng thng d cho
trc.
Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu.
Trang 8

www.MATHVN.com

Trang 9

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trn S Tựng

Gii iu kin: d ( A, d ) = d (B, d ) .
6. Tỡm iu kin th hm s cú hai im cc tr A, B v khong cỏch gia hai
im A, B l ln nht (nh nht).
Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu.
Tỡm to cỏc im cc tr A, B (cú th dựng phng trỡnh ng thng qua hai im
cc tr).
Tớnh AB. Dựng phng phỏp hm s tỡm GTLN (GTNN) ca AB.
7. Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu v honh cỏc im cc tr tho h
thc cho trc.
Tỡm iu kin hm s cú cc i, cc tiu.
Phõn tớch h thc ỏp dng nh lớ Vi-et.

8. Tỡm iu kin hm s cú cc tr trờn khong K1 = (-Ơ;a ) hoc K2 = (a ; +Ơ) .
y ' = f ( x ) = 3ax 2 + 2bx + c .

Trn S Tựng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Kho sỏt hm s

Cho hm s y = - x 3 + 3mx 2 + 3(1 - m 2 ) x + m3 - m2 (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 .
2) Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1).

Cõu 1.

ã y Â= -3x 2 + 6mx + 3(1 - m2 ) .
PT y Â= 0 cú D = 1 > 0, "m ị th hm s (1) luụn cú 2 im cc tr ( x1; y1 ), ( x2 ; y2 ) .
Chia y cho y ta c:
Khi ú:

ổ1
mử
y = ỗ x - ữ y Â+ 2 x - m 2 + m
3ứ
ố3

y1 = 2 x1 - m2 + m ; y2 = 2 x2 - m2 + m

PT ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1) l y = 2 x - m2 + m .
Cho hm s y = x 3 + 3 x 2 + mx + m - 2 (m l tham s) cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa i vi trc honh.
ã PT honh giao im ca (C) v trc honh:

Cõu 2.

t t = x - a . Khi ú: y ' = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c
Hm s cú cc tr thuc K1 = (-Ơ;a )
Hm s cú cc tr trờn khong (-Ơ;a )
f ( x ) = 0 cú nghim trờn (-Ơ;a ) .
g(t ) = 0 cú nghim t < 0

Hm s cú cc tr thuc K2 = (a ; +Ơ)
Hm s cú cc tr trờn khong (a ; +Ơ)
f ( x ) = 0 cú nghim trờn (a ; +Ơ) .
g(t ) = 0 cú nghim t > 0

ộP < 0
ờ ỡD ' 0
ờù
ờ ớS < 0
ù
ởờ ợ P 0

ộP < 0
ờ ỡD ' 0
ờù
ờ ớS > 0
ù
ởờ ợ P 0

ộ x = -1
(1) ờ
2
(2)
ở g( x ) = x + 2 x + m - 2 = 0
(Cm) cú 2 im cc tr nm v 2 phớa i vi trc Ox PT (1) cú 3 nghim phõn bit
ỡ Â
(2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1 ớD = 3 - m > 0
m<3
ợ g(-1) = m - 3 ạ 0
x 3 + 3 x 2 + mx + m - 2 = 0

Cho hm s y = - x 3 + (2m + 1) x 2 - (m2 - 3m + 2) x - 4 (m l tham s) cú th l (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca trc tung.

Cõu 3.

9. Tỡm iu kin hm s cú hai cc tr x1, x2 tho:
a) x1 < a < x2
b) x1 < x2 < a
c) a < x1 < x2

ã y Â= -3 x 2 + 2(2m + 1) x - (m 2 - 3m + 2) .

2

y ' = f ( x ) = 3ax + 2bx + c .

(Cm) cú cỏc im C v CT nm v hai phớa ca trc tung PT y = 0 cú 2 nghim trỏi

t t = x - a . Khi ú: y ' = g(t ) = 3at 2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c

du 3(m2 - 3m + 2) < 0 1 < m < 2 .

a) Hm s cú hai cc tr x1, x2 tho x1 < a < x2
g(t ) = 0 cú hai nghim t1, t2 tho t1 < 0 < t2 P < 0

Cõu 4.

1
3

Cho hm s y = x 3 - mx 2 + (2m - 1) x - 3 (m l tham s) cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i, cc tiu nm v cựng mt phớa i vi trc tung.

b) Hm s cú hai cc tr x1, x2 tho x1 < x2 < a
ỡD ' > 0
ù
g(t ) = 0 cú hai nghim t1, t2 tho t1 < t2 < 0 ớS < 0
ùợ P > 0

ã TX: D = R ; y Â= x 2 - 2mx + 2m - 1 .
th (Cm) cú 2 im C, CT nm cựng phớa i vi trc tung y Â= 0 cú 2 nghim phõn

c) Hm s cú hai cc tr x1, x2 tho a < x1 < x2

2
ỡ Â
bit cựng du ớD = m - 2m + 1 > 0

ợ2 m - 1 > 0

ỡD ' > 0
ù
g(t ) = 0 cú hai nghim t1, t2 tho 0 < t1 < t2 ớS > 0
ùợ P > 0

ỡm ạ 1
ù
ớ
1.
ùợm > 2

Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 (m l tham s) cú th l (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu cỏch u ng thng y = x - 1 .

Cõu 5.

ã Ta cú: y ' = 3 x 2 - 6 x - m .
Hm s cú C, CT y ' = 3 x 2 - 6 x - m = 0 cú 2 nghim phõn bit x1; x2
D ' = 9 + 3m > 0 m > -3 (*)
Trang 10

www.MATHVN.com

Trang 11

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trn S Tựng

Gi hai im cc tr l A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )

Hm s cú cc i, cc tiu y Â= 0 cú hai nghim phõn bit DÂ = 9 - 3m > 0 m < 3

TH1: ng thng i qua 2 im cc tr song song hoc trựng vi ng thng y = x - 1
2m
9
- 2 = 1 m = (khụng tha (*))
3
2

ổ1

1ử

ổ2

1

ử

Ta cú: y = ỗ x - ữ y Â+ ỗ m - 2 ữ x + m
3ứ
3
ố3
ố3
ứ
ổ2

1

ử

ị ng thng D i qua cỏc im cc tr cú phng trỡnh y = ỗ m - 2 ữ x + m
3
ố3
ứ
2
3
1
5
1
d: x - 2 y - 5 = 0 y = x - ị d cú h s gúc k2 =
2
2
2

nờn D cú h s gúc k1 = m - 2 .

TH2: Trung im I ca AB nm trờn ng thng y = x - 1
y1 + y2 x1 + x2
ổ 2m
ử
ổ
mử
=
-1 ỗ
- 2 ữ ( x1 + x2 ) + 2 ỗ 2 + ữ = ( x1 + x2 ) - 2
2
2
3ứ
ố 3
ứ
ố
ổ 2m
ử
ổ
mử
ỗ
- 2 ữ .2 + 2 ỗ 2 + ữ = 0 m = 0
3ứ
ố 3
ứ
ố
yI = x I - 1

Vy cỏc giỏ tr cn tỡm ca m l: m = 0 .
Cho hm s y = x 3 - 3mx 2 + 4m3 (m l tham s) cú th l (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.

2) Xỏc nh m (Cm) cú cỏc im cc i v cc tiu i xng nhau qua ng thng y = x.

Cõu 6.

ộ
ã Ta cú: y = 3 x 2 - 6mx ; y = 0 ờ x = 0 . hm s cú cc i v cc tiu thỡ m ạ 0.
ở x = 2m

uuur

th hm s cú hai im cc tr l: A(0; 4m3), B(2m; 0) ị AB = (2m; -4m3 )
Trung im ca on AB l I(m; 2m3)
3
ỡù
2
ỡ
A, B i xng nhau qua ng thng d: y = x ớ AB ^ d ớ2m3- 4m = 0 m =
2
2
m
=
m
ợI ẻ d
ùợ

hai im cc tr i xng qua d thỡ ta phi cú d ^ D
1ổ2

ử

ị k1k2 = -1 ỗ m - 2 ữ = -1 m = 0
2ố3
ứ
Vi m = 0 thỡ th cú hai im cc tr l (0; 0) v (2; 4), nờn trung im ca chỳng l
I(1; 2). Ta thy I ẻ d, do ú hai im cc tr i xng vi nhau qua d.
Vy: m = 0
Cho hm s y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x + m - 2 (1) cú th l (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi

Cõu 9.

1
2

nhau qua ng thng d: y = x .

ã y ' = 3 x 2 - 6(m + 1) x + 9
Hm s cú C, CT D ' = 9(m + 1)2 - 3.9 > 0 m ẻ (-Ơ; -1 - 3) ẩ (-1 + 3; +Ơ)
ổ1
ố3

Ta cú y = ỗ x -

2

Cho hm s y = - x + 3mx - 3m - 1 .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d: x + 8y - 74 = 0 .

Cõu 7.

Kho sỏt hm s

ã Ta cú y = x 3 - 3 x 2 + mx ị y ' = 3 x 2 - 6 x + m

ổ 2m
ử
m
ị Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l D: y = ỗ
- 2ữ x + 2 +
3
3
ố
ứ
Cỏc im cc tr cỏch u ng thng y = x - 1 xy ra 1 trong 2 trng hp:

3

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s (1) cú cỏc im cc i v im cc tiu i xng
vi nhau qua ng thng d: x - 2 y - 5 = 0 .

ổ1
ổ 2m
ử
ổ

1ử
mử
Thc hin phộp chia y cho y ta c: y = ỗ x - ữ y '+ ỗ
- 2ữ x + ỗ2 + ữ
3
3
3
3ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
ổ 2m
ử
ổ 2m
ử
m
m
ị y1 = y( x1 ) = ỗ
- 2 ữ x1 + 2 + ; y2 = y( x2 ) = ỗ
- 2 ữ x2 + 2 +
3
3
ố 3
ứ
ố 3
ứ

Trn S Tựng

m +1ử Â
2
ữ y - 2(m + 2m - 2) x + 4m + 1
3 ứ

Gi s cỏc im cc i v cc tiu l A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) , I l trung im ca AB.
ị y1 = -2(m 2 + 2m - 2) x1 + 4m + 1 ; y2 = -2(m 2 + 2m - 2) x2 + 4m + 1
ỡ x + x = 2(m + 1)

ã y Â= -3 x 2 + 6mx ; y Â= 0 x = 0 x = 2m .

v: ớ 1 2
ợ x1.x2 = 3

Hm s cú C, CT PT y Â= 0 cú 2 nghim phõn bit m ạ 0 .

Vy ng thng i qua hai im cc i v cc tiu l y = -2(m 2 + 2m - 2) x + 4m + 1

uuur
Khi ú 2 im cc tr l: A(0; -3m - 1), B(2m;4m3 - 3m - 1) ị AB(2m;4m3 )
3

1

A, B i xng qua (d): y = x ớ AB ^ d m = 1 .
2
ợI ẻ d

Trung im I ca AB cú to : I (m;2m - 3m - 1)
r

ng thng d: x + 8y - 74 = 0 cú mt VTCP u = (8; -1) .
ỡù + 8(2m3 - 3m - 1) - 74 = 0
ỡ
uuur r
A v B i xng vi nhau qua d ớ I ẻ d ớm
m=2
AB
^
d
ợ
ợù AB.u = 0

Cõu hi tng t:
1
2

5
2

a) y = x 3 - 3 x 2 + m2 x + m, d : y = x - .
Cõu 8.

Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + mx

Cõu 10. Cho hm s y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 9 x - m , vi m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho ng vi m = 1 .

2) Xỏc nh m hm s ó cho t cc tr ti x1, x2 sao cho x1 - x2 Ê 2 .

ã Ta cú y ' = 3 x 2 - 6(m + 1) x + 9.
+ Hm s t cc i, cc tiu ti x1, x2 PT y ' = 0 cú hai nghim phõn bit x1, x2

S: m = 0 .

PT x 2 - 2(m + 1) x + 3 = 0 cú hai nghim phõn bit l x1 , x2 .

(1).
Trang 12

ỡ

www.MATHVN.com

Trang 13

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trn S Tựng

ộ m > -1 + 3
(1)
D ' = (m + 1)2 - 3 > 0 ờ

ở m < -1 - 3
+ Theo nh lý Viet ta cú x1 + x2 = 2(m + 1); x1x2 = 3. Khi ú:
2

Trn S Tựng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
ỡ x + x = 2(m - 1)

Khi ú ta cú: ớ 1 2
ợ x1x2 = 3(m - 2)

2

x1 - x2 Ê 2 ( x1 + x2 ) - 4 x1x2 Ê 4 4 ( m + 1) - 12 Ê 4 (m + 1)2 Ê 4 -3 Ê m Ê 1 (2)

+ T (1) v (2) suy ra giỏ tr ca m cn tỡm l -3 Ê m < -1 - 3 v -1 + 3 < m Ê 1.
Cõu 11. Cho hm s y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 , vi m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho ng vi m = 1 .
1
2) Xỏc nh m hm s ó cho t cc tr ti x1, x2 sao cho x1 - x2 > .
3

ã Ta cú: y ' = 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + (2 - m)

8m 2 + 16m - 9 = 0 m =

ộ
5
D ' = (1 - 2m)2 - 3(2 - m) = 4m 2 - m - 5 > 0 ờ m > 4

(*)
ờ
ở m < -1
2(1 - 2m)
2-m
; x1x2 =
Hm s t cc tr ti cỏc im x1, x2 . Khi ú ta cú: x1 + x2 = 3
3
2
2
1
1
x1 - x2 > ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4 x1x2 >
3
9
3 + 29
3 - 29
2
2
4(1 - 2m) - 4(2 - m) > 1 16m - 12m - 5 > 0 m >
m<
8
8
3 + 29
Kt hp (*), ta suy ra m >
m < -1
8

Cõu 14. Cho hm s y = 4 x 3 + mx 2 - 3 x .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm m hm s cú hai im cc tr x1, x2 tha x1 = -4 x2 .

ã y Â= 12 x 2 + 2mx - 3 . Ta cú: DÂ = m2 + 36 > 0, "m ị hm s luụn cú 2 cc tr x1, x2 .
m
6

ỡ

Khi ú: ớ x1 = -4 x2 ; x1 + x2 = - ; x1x2 = Cõu hi tng t:
a) y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 ;

1
4

ịm=

9
2

S: m = -105 .

x1 + 2x2 = 3

1
Cõu 15. Cho hm s y = x 3 - ax 2 - 3ax + 4 (1) (a l tham s).
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi a = 1.
2) Tỡm a hm s (1) t cc tr ti x1 , x2 phõn bit v tho món iu kin:

x12 + 2ax2 + 9a
a

2

+

a2
2

x2 + 2ax1 + 9a

=2

(2)

ã y = x 2 - 2ax - 3a . Hm s cú C, CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2
ộ a < -3
D = 4a2 + 12a > 0 ờ
ởa > 0

(*). Khi ú x1 + x2 = 2a , x1x2 = -3a .

Ta cú: x12 + 2ax2 + 9a = 2a ( x1 + x2 ) + 12a = 4a2 + 12a > 0

1
Cõu 12. Cho hm s y = x 3 - mx 2 + mx - 1 , vi m l tham s thc.
3

Tng t: x22 + 2ax1 + 9a = 4a2 + 12a > 0

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho ng vi m = 1 .
2) Xỏc nh m hm s ó cho t cc tr ti x1, x2 sao cho x1 - x2 8 .

Do ú: (2)

2

ã Ta cú: y ' = x - 2mx + m .

Hm s cú C, CT y ' = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 (gi s x1 < x2 )

4a2 + 12a
a

2

+

a2
2

4a + 12a

=2

4a2 + 12a
a2

= 1 3a ( a + 4 ) = 0 a = -4

Cõu 16. Cho hm s y = 2 x 3 + 9mx 2 + 12m 2 x + 1 (m l tham s).

ộ
DÂ = m 2 - m > 0 ờ m < 0 (*). Khi ú: x1 + x2 = 2m, x1x2 = m .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1.

ởm > 1

ộ
1 - 65
ờm Ê
2
2
2
x1 - x2 8 ( x1 - x2 ) 64 m - m - 16 0 ờ
(tho (*))
1 + 65
ờ
ờở m
2

2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s cú cc i ti xC, cc tiu ti xCT tha món: x 2Cẹ = xCT .

ã Ta cú: y = 6 x 2 + 18mx + 12m2 = 6( x 2 + 3mx + 2m 2 )
Hm s cú C v CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 D = m 2 > 0 m ạ 0
1
( -3m - m ) , x2 = 1 ( -3m + m ) .
2

2
Da vo bng xột du yÂ, suy ra xCẹ = x1, xCT = x2

Khi ú: x1 =

1
1
Cõu 13. Cho hm s y = x 3 - (m - 1) x 2 + 3(m - 2) x + , vi m l tham s thc.
3
3
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s ó cho ng vi m = 2 .
2) Xỏc nh m hm s ó cho t cc tr ti x1, x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1 .

2

ổ -3m - m ử
-3m + m
m = -2 .
ữ =
2
2
ố
ứ

Do ú: x 2Cẹ = xCT ỗ

ã Ta cú: y Â= x 2 - 2(m - 1) x + 3(m - 2)

Hm s cú cc i v cc tiu y Â= 0 cú hai nghim phõn bit x1, x2

Cõu 17. Cho hm s y = (m + 2) x 3 + 3 x 2 + mx - 5 , m l tham s.

DÂ > 0 m 2 - 5m + 7 > 0 (luụn ỳng vi "m)
Trang 14

ùỡ x = 3 - 2m

ớ 2
ùợ x2 (1 - 2 x2 ) = 3(m - 2)

-4 34
.
4

ợ

Hm s cú C, CT y ' = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 (gi s x1 < x2 )

Kho sỏt hm s

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.

www.MATHVN.com

Trang 15

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trn S Tựng

2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s ó cho cú honh
l cỏc s dng.
ã Cỏc im cc i, cc tiu ca th hm s ó cho cú honh l cỏc s dng
PT y ' = 3(m + 2) x 2 + 6 x + m = 0 cú 2 nghim dng phõn bit
ỡa = (m + 2) ạ 0
ùD ' = 9 - 3m(m + 2) > 0
ỡ D ' = - m 2 - 2m + 3 > 0
ỡ-3 < m < 1
ù
m
ù
ù
ù
ớP =
ớm < 0
ớm < 0
-3 < m < -2
>0
3(m + 2)
ù
ùm + 2 < 0
ùợm < -2
ợ
-3
ù

ùợS = m + 2 > 0
1
1
Cõu 18. Cho hm s y = x 3 - mx 2 + (m 2 - 3) x
3
2

5
x12 + x22 = .
2

(2)

ỡD > 0
ùP > 0
ỡ 314
ù
ù
YCBT ớS > 0
ớ
14 m = 2 .
m=
ù 2
ù
5
2
2
ợ
ù x1 + x2 =

ợ
2
Cõu 19. Cho hm s y = x 3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2 (m l tham s) (1).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 2.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s (1) cú im cc i, im cc tiu, ng thi
honh ca im cc tiu nh hn 1.

ã y Â= 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m = g( x )
YCBT phng trỡnh y Â= 0 cú hai nghim phõn bit x1, x2 tha món: x1 < x2 < 1 .
ỡDÂ = 4m2 - m - 5 > 0
ớ
ù S = 2m - 1 < 1
ùợ 2
3



5
7
4
5

m
Cõu 20. Cho hm s y = x 3 + (m - 2) x 2 + (m - 1) x + 2
3

Cõu 21. Cho hm s y = x3 + (1 - 2m) x 2 + (2 - m) x + m + 2

(Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú ớt nht 1 im cc tr cú honh thuc khong (-2; 0) .

ã Ta cú: y = 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m ; y = 0 3 x 2 + 2(1 - 2m) x + 2 - m = 0
(*)
Hm s cú ớt nht 1 cc tr thuc (-2; 0) (*) cú 2 nghim phõn bit x1, x2 v cú ớt nht 1
ộ-2 < x1 < x2 < 0

(1)
(2)
(3)

Ta cú:
ỡ 4m 2 - m - 5 > 0
ỡD ' = 4 m 2 - m - 5 > 0
ù
ù
ù-2 < 2m - 1 < 0
ùù-2 < x1 + x2 < 0
ùù
3
10
(1) ớ
ớ
- < m < -1
4(2m - 1) 2 - m
2
7
+

>0
ù( x + 2 )( x + 2 ) > 0
ù4 +
3
2
ù 1
ù2 - m 3
ù
ợù x1x2 > 0
>0
ùợ 3
ỡ 4m 2 - m - 5 > 0
ỡD ' = 4 m 2 - m - 5 > 0
ù
ù
ùm 2
=
Ê
f
m
0
2
0
(
)
ù
ù 2m - 1
(2) ớ
ớ
m2

> -2
ù( x1 + 2 ) + ( x2 + 2 ) > 0
ù 3
4
2
m
1
(
)+4>0
ù( x1 + 2 )( x2 + 2 ) > 0
ù2 - m
ợ
ù 3 +
3
ợ
ỡ 4m 2 - m - 5 > 0
ỡD ' = 4 m 2 - m - 5 > 0
ù
ù
ù3m + 5 0
5
ù f ( -2 ) = 10 + 6m Ê 0
ù
(3) ớ
ớ 2m - 1 < 0
- Ê m < -1
3
ù x1 + x2 < 0
ù 3
ùợ x1x2 > 0

ù2 - m
ùợ 3 > 0
ộ 5
ử
Túm li cỏc giỏ tr m cn tỡm l: m ẻ ờ - ; -1ữ ẩ ởộ2; +Ơ )
ở 3
ứ
Cõu 22. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + 2

(Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú cc i ti x1, cc tiu ti x2 tha món x1 < x2 < 1 .
ã Ta cú: y = mx 2 + 2(m - 2) x + m - 1 ; y = 0 mx 2 + 2(m - 2) x + m - 1 = 0 (1)
Hm s cú C ,CT tha món x1 < x2 < 1 khi m > 0 v (1) cú 2 nghim phõn bit bộ hn 1

t t = x - 1 ị x = t + 1 , thay vo (1) ta c:

(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1).
2) Tỡm im M thuc ng thng d: y = 3 x - 2 sao tng khong cỏch t M ti hai im cc
tr nh nht.
ã Cỏc im cc tr l: A(0; 2), B(2; 2).
Xột biu thc g( x, y ) = 3 x - y - 2 ta cú:
g( x A , y A ) = 3 x A - y A - 2 = -4 < 0; g( xB , yB ) = 3 xB - yB - 2 = 6 > 0

ị 2 im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca ng thng d: y = 3 x - 2 .
Do ú MA + MB nh nht 3 im A, M, B thng hng M l giao im ca d v AB.
Phng trỡnh ng thng AB: y = -2 x + 2

m(t + 1)2 + 2(m - 2)(t + 1) + m - 1 = 0 mt 2 + 4(m - 1)t + 4m - 5 = 0

(1) cú 2 nghim phõn bit bộ hn 1 (2) cú 2 nghim õm phõn bit

Trang 16

Kho sỏt hm s

ỡm > 0
5
4
ùùDÂ > 0
ớ
4
3
ùP > 0
ùợS < 0

ờ
ờở x1 Ê -2 < x2 < 0

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 0.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m hm s (1) cú cỏc im cc tr x1, x2 vi x1 > 0, x2 > 0 v

ùù g(1) = -5m + 7 > 0

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

nghim thuc (-2; 0) ờ -2 < x1 < 0 Ê x2

(1), m l tham s.

ã y = x 2 - mx + m 2 - 3 ; y = 0 x 2 - mx + m2 - 3 = 0

Trn S Tựng

ỡ
ổ4 2ử
4
2
ỡ
Ta im M l nghim ca h: ớ y = 3 x - 2 ớ x = ; y = ị M ỗ ; ữ
5
5
ợ y = -2 x + 2
ợ
ố 5 5ứ

www.MATHVN.com

Trang 17

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

Trn S Tựng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + m (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) cú cc tr ng thi khong cỏch t im cc i ca th hm s
n gc ta O bng 2 ln khong cỏch t im cc tiu ca th hm s n gc ta
O.

Cõu 23. Cho hm s

ã Ta cú y Â= 3 x 2 - 6mx + 3(m2 - 1) . Hm s (1) cú cc tr PT y Â= 0 cú 2 nghim phõn bit
x 2 - 2mx + m2 - 1 = 0 cú 2 nhim phõn bit D = 1 > 0, "m
Khi ú: im cc i A(m - 1;2 - 2m) v im cc tiu B(m + 1; -2 - 2m)
ở m = -3 - 2 2

Cõu 24. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 cú th l (Cm).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (Cm) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr song
song vi ng thng d: y = -4 x + 3 .
ã Ta cú: y ' = 3 x 2 - 6 x - m . Hm s cú C, CT y ' = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2
D ' = 9 + 3m > 0 m > -3 (*)
Gi hai im cc tr l A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )
1ử

ổ 2m

ử

mử

ổ

Thc hin phộp chia y cho y ta c: y = ỗ x - ữ y '- ỗ
+ 2ữ x + ỗ2 - ữ
3ứ
3ứ
ố3
ố 3
ứ
ố

ỡ ổ 2m
ử
+ 2 ữ = -4
ù- ỗ
ù ố 3
ứ
D // d: y = -4 x + 3 ớ
m = 3 (tha món (*))
ùổ 2 - m ử ạ 3
ỗ
ữ
ùợố
3ứ

S: m = 0; m = 5 .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 5.
2) Tỡm m (Cm) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr

vuụng gúc vi ng thng d: y = 3 x - 7 .
ã Ta cú: y ' = 3 x 2 + 2mx + 7 . Hm s cú C, CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit x1, x2 .
D ' = m 2 - 21 > 0 m > 21 (*)

Gi hai im cc tr l A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )

1ử

2

ổ

7m ử

Thc hin phộp chia y cho y ta c: y = ỗ x + ữ y '+ (21 - m 2 ) x + ỗ 3 ữ
9ứ
9
9 ứ
ố3
ố
ổ
ổ
2
7m ử
2
7m ử
2
ị y1 = y( x1 ) = (21 - m2 ) x1 + ỗ 3 ữ ; y = y( x2 ) = (21 - m ) x2 + ỗ 3 ữ
9
9 ứ 2

9
9 ứ
ố
ố

Trang 18

Cõu 26. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 cú th l (Cm).

ã Ta cú: y ' = 3 x 2 - 6 x - m . Hm s cú C, CT y ' = 0 cú 2 nghim phõn bit x1; x2
D ' = 9 + 3m > 0 m > -3 (*)
Gi hai im cc tr l A ( x1; y1 ) ; B ( x2 ; y2 )
ổ1

1ử

ổ 2m

ử

ổ

mử

Thc hin phộp chia y cho y ta c: y = ỗ x - ữ y '- ỗ
+ 2ữ x + ỗ2 - ữ
3ứ
3ứ
ố3
ố 3

ứ
ố
ổ 2m
ử
ổ
ổ 2m
ử
ổ
mử
mử
ị y1 = y ( x1 ) = - ỗ
+ 2 ữ x1 + ỗ 2 - ữ ; y2 = y ( x2 ) = - ỗ
+ 2 ữ x2 + ỗ 2 - ữ
3ứ
3ứ
ố 3
ứ
ố
ố 3
ứ
ố
ổ 2m
ử
ổ
mử
ị Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l D: y = - ỗ
+ 2ữ x + ỗ2 - ữ
3ứ
ố 3
ứ

ố
ổ 2m
ử
1
+ 2 ữ . ng thng d: x + 4 y - 5 = 0 cú h s gúc bng - .
4
ố 3
ứ

ộ
ộ
1
ộ
3
39
1
1
ờk = 5
ờ m = - 10
ờk + 4 = 1 - 4 k
4
Ta cú: tan 45 =
ờ
ờ
ờ
1
ờk = - 5
ờm = - 1
ờ k + 1 = -1 + 1 k
1- k

ờ
ờở
ờ
4
4
3
ở
2
ở
4
1
Kt hp iu kin (*), suy ra giỏ tr m cn tỡm l: m = - .
2
o

k+

a) y = x 3 - 3(m - 1) x 2 + (2m2 - 3m + 2) x - m(m - 1) , d : y =

Cõu 25. Cho hm s y = x 3 + mx 2 + 7 x + 3 cú th l (Cm).

ổ1

2
7m
ị Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l D: y = (21 - m 2 ) x + 3 9
9
ỡ m > 21
3 10
ù

D ^ d: y = -4 x + 3 ớ 2
m=
.
2
2
(21
).3
=
1
m
ùợ 9

Cõu hi tng t:

Cõu hi tng t:
1
3

Kho sỏt hm s

t k = - ỗ

ổ 2m
ử
ổ
ổ 2m
ử
ổ
mử
mử

ị y1 = y ( x1 ) = - ỗ
+ 2 ữ x1 + ỗ 2 - ữ ; y2 = y ( x2 ) = - ỗ
+ 2 ữ x2 + ỗ 2 - ữ
3ứ
3ứ
ố 3
ứ
ố
ố 3
ứ
ố
ổ 2m
ử
ổ
mử
ị Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l D: y = - ỗ
+ 2ữ x + ỗ2 - ữ
3ứ
ố 3
ứ
ố

a) y = x 3 - mx 2 + (5m - 4) x + 2 , d : 8 x + 3y + 9 = 0

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (Cm) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr to
vi ng thng d: x + 4 y - 5 = 0 mt gúc a = 450 .

ộ
Ta cú OA = 2OB m 2 + 6m + 1 = 0 ờ m = -3 + 2 2 .

ổ1

Trn S Tựng

www.MATHVN.com

-1
3 15
x + 5 , a = 450 . S: m =
4
2

Cõu 27. Cho hm s y = x3 - 3 x 2 + 2

(C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s .
2) Tỡm m ng thng i qua hai im cc tr ca (C) tip xỳc vi ng trũn (S) cú
phng trỡnh ( x - m)2 + ( y - m - 1)2 = 5 .

ã Phng trỡnh ng thng D i qua hai im cc tr 2 x + y - 2 = 0 .
(S) cú tõm I (m, m + 1) v bỏn kớnh R= 5 .

D tip xỳc vi (S)

2m + m + 1 - 2
5

= 5 3m - 1 = 5 m = 2; m =

-4
.
3

Cõu 28. Cho hm s y = x 3 - 3mx + 2

(Cm ) .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1 .
2) Tỡm m ng thng i qua im cc i, cc tiu ca ( Cm ) ct ng trũn tõm I(1;1) ,

bỏn kớnh bng 1 ti hai im phõn bit A, B sao cho din tớch DIAB t giỏ tr ln nht .
Trang 19

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trn S Tựng

2

ã Ta cú y ' = 3 x - 3m . Hm s cú C, CT PT y ' = 0 cú hai nghim phõn bit m > 0
1
Vỡ y = x.y - 2mx + 2 nờn ng thng D i qua cỏc im C, CT ca th hm s cú
3

phng trỡnh l: y = -2mx + 2

Ta cú d ( I , D ) =

2m - 1
4m 2 + 1

< R = 1 (vỡ m > 0) ị D luụn ct ng trũn tõm I(1; 1), bỏn kớnh R

= 1 ti 2 im A, B phõn bit.
1
1
1
1
: D khụng i qua I, ta cú: SD ABI = IA.IB.sin AIB Ê R2 =
2
2
2
2
1
R
1
ã
Nờn SDIAB t GTLN bng
khi sin AIB = 1 hay DAIB vuụng cõn ti I IH =
=
2
2
2
2m - 1

1
2 3

=
m=
(H l trung im ca AB)
2
2
4m2 + 1

Vi m ạ

3

2

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t gc to O n
4
5

.

ã Ta cú: y = 3x 2 + 12mx + 9 . Hm s cú 2 im cc tr PT y = 0 cú 2 nghim phõn bit
D ' = 4m2 - 3 > 0 m >
ổx
ố3

Khi ú ta cú: y = ỗ +

3
2

m<

hoc

- 3
2

(*)

2m ử
2
ữ .y + (6 - 8m ) x - 4m
3 ứ

ộ m = 1
-4m
4
d (O, D) =
=
64m 4 - 101m2 + 37 = 0 ờ
m = 1 .
ờ m = 37 (loaùi)
5
(6 - 8m2 )2 + 1
ờở
8
Cõu 30. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + (m - 6) x + m - 2 (1), vi m l tham s thc.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t im A(1; -4) n
12
265

.

ã Ta cú: y = 3 x 2 - 6 x + m - 6 . Hm s cú 2 im cc tr PT y = 0 cú 2 nghim phõn bit
2

DÂ = 3 - 3(m - 6) > 0 m < 9 (*)
1
3

ổ2
ố3

ử
ứ

4
3

Cõu 31. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + mx + 1 (1), vi m l tham s thc.

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
ổ 1 11 ử
ữ
ố2 4 ứ

2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc tr sao cho khong cỏch t im I ỗ ;
n ng thng i qua hai im cc tr l ln nht.

ã Ta cú: y = 3 x 2 - 6 x + m . Hm s cú 2 im cc tr PT y = 0 cú 2 nghim phõn bit
DÂ > 0 m < 3 .
ổx
ố3

1ử
3ứ

ổ 2m
ử
m
- 2ữ x + +1
3
ố 3
ứ

Ta cú: y = ỗ - ữ y + ỗ

ổ 2m
ử
m
- 2ữ x + +1.
3
ố 3
ứ
ổ 1 ử uur ổ 3 ử

D dng tỡm c im c nh ca D l A ỗ - ;2 ữ . AI = ỗ 1; ữ .
ố 2 ứ
ố 4ứ

ị PT ng thng qua hai im cc tr l: D : y = ỗ

Gi H l hỡnh chiu vuụng gúc ca I trờn D.
ổ 2m
ử 3
- 2 ữ. = 0 m = 1.
ố 3
ứ 4

Vy max(d ( I , D)) =

5
khi m = 1 .
4

Cõu 32. Cho hm s y = x 3 + 3(m + 1) x 2 + 3m(m + 2) x + m3 + 3m 2

(Cm ) .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Chng minh rng vi mi m, th (Cm) luụn cú 2 im cc tr v khong cỏch gia 2
im cc tr l khụng i.

th (Cm) cú im cc i A(-2 - m;4) v im cc tiu B(-m;0) ị AB = 2 5 .
Cõu 33. Cho hm s y = 2 x 2 - 3(m + 1) x 2 + 6mx + m3 .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.

2) Tỡm m th hm s cú hai im cc tr A, B sao cho AB = 2 .
ã Ta cú: y = 6( x - 1)( x - m) . Hm s cú C, CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit m ạ 1 .
Khi ú cỏc im cc tr l A(1; m3 + 3m - 1), B(m;3m 2 ) .
AB = 2 (m - 1)2 + (3m 2 - m3 - 3m + 1) = 2 m = 0; m = 2 (tho iu kin).
Cõu 34. Cho hm s y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 + 4m - 1

(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = -1 .
2) Tỡm m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho DOAB vuụng ti O.
ộ
ởx = m -1 ị y = m +1
uuur
uuur
ị A(m + 1; m - 3) , B(m - 1; m + 1) ị OA = (m + 1; m - 3) , OB = (m - 1; m + 1) .
uuur uuur
ộ
DOAB vuụng ti O OA.OB = 0 2m2 - 2m - 4 = 0 ờ m = -1 .
ởm = 2

ổ2
ử
4
3
ố3
ứ
ộm = 1
6m - 18
12
ờ
=

1053 (tho (*))
ờm =
265
4m 2 - 72m + 333
249
ở

ị PT ng thng qua 2 im cc tr D: y = ỗ m - 6 ữ x + m - 4

Trang 20

ộ
ở x = -m

ã Ta cú: y Â= 3 x 2 - 6mx + 3(m2 - 1) ; y Â= 0 ờ x = m + 1 ị y = m - 3

Ta cú: y = ( x - 1).y + ỗ m - 6 ữ x + m - 4

ị d ( A, D) =

Kho sỏt hm s

ã Ta cú: y = 3 x 2 + 6(m + 1) x + 6m(m + 2) ; y = 0 ờ x = -2 - m .

ị ng thng i qua 2 im cc tr ca th hm s (1) cú PT l: D : y = (6 - 8m2 ) x - 4m

ng thng i qua hai im cc tr bng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Ta cú d ( I , D) = IH Ê IA . Du "=" xy ra IA ^ D 1 + ỗ

Cõu 29. Cho hm s y = x + 6mx + 9 x + 2m (1), vi m l tham s thc.

ng thng i qua hai im cc tr bng

Trn S Tựng

www.MATHVN.com

Trang 21

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

Trn S Tựng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Cõu 35. Cho hm s y = 2 x 2 - 3(m + 1) x 2 + 6mx + m3

(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1 .
2) Tỡm m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho tam giỏc ABC vuụng ti
C, vi C(4;0) .

ã Ta cú: y = 6( x - 1)( x - m) . Hm s cú C, CT y = 0 cú 2 nghim phõn bit m ạ 1 .
3

2

Khi ú cỏc im cc tr l A(1; m + 3m - 1), B(m;3m ) .
uuur uuur

DABC vuụng ti C AC.BC = 0 (m + 1) ộở m2 (m 2 - m + 1) + 3m 2 - 5m + 4 ựỷ = 0
m = -1
(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = -4 .
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho ã
AOB = 1200 .

ã Ta cú: y Â= 3 x 2 + 6 x ; y Â= 0 ờ x = -2 ị y = m + 4
ộ
ởx = 0 ị y = m

Vy hm s cú hai im cc tr A(0 ; m) v B(-2 ; m + 4)

uuur
uuur
1
OA = (0; m ), OB = (-2; m + 4) . ã
AOB = 1200 thỡ cos AOB = 2
ỡ-4 < m < 0
1
m(m + 4)
2
2

= - m ( 4 + (m + 4) ) = -2m(m + 4) ớ 2
2
2
2
ợ3m + 24m + 44 = 0
m ( 4 + (m + 4) )
ỡ-4 < m < 0
-12 + 2 3
ù
ớ
-12 2 3 m =
3
ùợm =
3

ỡ2 + 2 m - 1 = 0
ù

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m th hm s (1) cú hai im cc i, cc tiu l A v B sao cho din tớch tam
giỏc ABC bng 7, vi im C(2; 4 ).

ã Ta cú y ' = 3 x 2 - 6 x ; y ' = 0 3 x 2 - 6 x = 0 x = 0; x = 2 ị Hm s luụn cú C, CT.
Cỏc im C, CT ca th l: A(0; m2 - m + 1) , B(2; m 2 - m - 3) , AB = 22 + (-4)2 = 2 5
x - 0 y - m2 + m - 1
=
2 x + y - m2 + m - 1 = 0
2
-4

1
1 m2 - m + 1
ộm = 3
.
SD ABC = d (C , AB). AB = .
.2 5 = m2 - m + 1 = 7 ờ
2
2
ở m = -2
5

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Tỡm m (Cm ) cú hai im cc tr M1, M2 sao cho cỏc im M1, M2 v B(0; 1) thng
hng.

ổ1
ố3

Chia f ( x ) cho f Â( x ) ta c: f ( x ) = f Â( x ) ỗ x +

m-3ử
2
ữ - (m - 3) x + 11 - 3m
6 ứ

ị phng trỡnh ng thng M1M2 l: y = -(m - 3)2 x + 11 - 3m
M1, M2 , B thng hng B ẻ M1M2 m = 4 (tho (*)).
1
Cõu 40. Cho hm s y = x 3 - mx 2 + (m 2 - 1) x + 1 (Cm ) .
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2 .
2) Tỡm m hm s cú cc i, cc tiu v yCẹ + yCT > 2 .

ã Ta cú: y = x 2 - 2mx + m 2 - 1 . y = 0 ờ x = m + 1 .
ộ
ởx = m -1
ộ1
> 2 2 m3 - 2 m + 2 > 2 ờ
.
ởm > 1

(1) (m l tham s thc).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m cỏc im cc i v cc tiu ca th (1) nm v 2 phớa (phớa trong v phớa
ngoi) ca ng trũn cú phng trỡnh (C): x 2 + y 2 - 4 x + 3 = 0 .

ã y = x 2 - 2(m + 1) x . y = 0 ờ x = 0

ộ
. Hm s cú cc tr m ạ -1
ở x = 2(m + 1)
ổ 4
ử
Gi hai im cc tr ca th l: A ỗ 0; (m + 1)3 ữ , B(2(m + 1);0) .
ố 3
ứ

(1)

16
(m + 1)6 , IB = 4m2 .
9
1
2

A, B nm v hai phớa ca (C) (IA2 - R2 )( IB2 - R 2 ) < 0 4m 2 - 1 < 0 - < m <

S: m = 2 .

Cõu 38. Cho hm s y = x 3 - 3(m + 1) x 2 + 12mx - 3m + 4 (C)

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s m = 0.
2) Tỡm m hm s cú hai cc tr l A v B sao cho hai im ny cựng vi im
ổ
9ử
C ỗ -1; - ữ lp thnh tam giỏc nhn gc ta O lm trng tõm.
2ứ
ố

ã Ta cú y ' = 3x 2 - 3(m + 1) x + 12m . Hm s cú hai cc tr y = 0 cú hai nghim phõn bit
3

2

D = (m - 1) > 0 m ạ 1 (*). Khi ú hai cc tr l A(2;9m), B(2m; -4m + 12m - 3m + 4) .
Trang 22

2

ợ

Cõu 39. Cho hm s y = f ( x ) = 2 x 3 + 3(m - 3) x 2 + 11 - 3m ( Cm ).

(C) cú tõm I(2; 0), bỏn kớnh R = 1. IA = 4 +

Cõu hi tng t:

2

1

1
4
Cõu 41. Cho hm s y = x 3 - (m + 1) x 2 + (m + 1)3
3
3

Cõu 37. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + m2 - m + 1 (1)

a) y = x - 3mx + 2, C (1;1), S = 18 .

Kho sỏt hm s

DABC nhn O lm trng tõm ớ
m = - (tho (*)).
9
3

2
2
ù-4m + 12m + 6m + 4 - = 0

yCẹ + yCT

3

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

ã y = 6 x 2 + 6(m - 3) . y = 0 ộờ x = 0
. Hm s cú 2 cc tr m ạ 3 (*).
ởx = 3 - m

Cõu 36. Cho hm s y = x 3 + 3 x 2 + m

Phng trỡnh ng thng AB:

Trn S Tựng

www.MATHVN.com

1
2

Kt hp (1), (2), ta suy ra: - < m <

1
(2)
2

1
.
2

Cõu 42. Cho hm s y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - m3 (Cm)

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = -2 .
2) Chng minh rng (Cm) luụn cú im cc i v im cc tiu ln lt chy trờn mi
ng thng c nh.
ộ
ã y Â= 3 x 2 - 6mx + 3(m2 - 1) ; y Â= 0 ờ x = m + 1
ởx = m -1

Trang 23

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trn S Tựng

ỡ
im cc i M (m - 1;2 - 3m) chy trờn ng thng c nh: ớ x = -1 + t

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th (Cm) cú 2 im cc tr v khong cỏch gia 2 im cc tr l nh nht.

ã Ta cú: y = x 2 - 2mx - 1 ; y = 0 cú D = m 2 + 1 > 0, "m ị hm s luụn cú hai im cc tr
x1 , x2 . Gi s cỏc im cc tr ca (Cm) l A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) .
2
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú cc tr trong khong (1; +Ơ) .

ã Tp xỏc nh D = R. y = x 2 - 2mx + m2 - m + 1 .

ộ m 2 - 3m + 2 < 0
ộP < 0
ờ
ờ ỡD ' 0
ỡ
g(t ) = 0 cú nghim t > 0 ờ ù
ờ ùm - 1 0
1< m
S
>
0
ờ ớ2 m - 2 > 0
ờớ
ờ ùm2 - 3m + 2 0
ờở ợù P 0
ởợ
Vy: Vi m > 1 thỡ hm s (1) cú cc tr trong khong (1; +Ơ)

2 13

2 13
. Du "=" xy ra m = 0 . Vy min AB =
khi m = 0 .
3
3

Cõu 44. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 - mx + 2 (1) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.
2) Tỡm m hm s (1) cú 2 cc tr v ng thng i qua 2 im cc tr ca th hm s
to vi hai trc to mt tam giỏc cõn.

ã y = 3 x 2 - 6 x - m . Hm s cú 2 cc tr y = 0 cú 2 nghim phõn bit m > -3 .
1
3

ổ 2m
ử
m
- 2ữ x + 2 ị ng thng D i qua 2 im cc tr ca
3
ố 3
ứ
ổ 2m
ử
m
th cú phng trỡnh: y = ỗ - 2ữ x + 2 - .
3
ố 3
ứ

ổ m-6
ử
ổ 6-mử
D ct Ox, Oy ti A ỗ
;0 ữ , B ỗ 0;
ữ (m ạ 0).
3 ứ
ố
ố 2(m + 3) ứ

Ta cú: y = ( x - 1).y + ỗ -

m-6
6-m
9
3
m = 6; m = - ; m = - .
=
2(m + 3)
3
2
2

3
i chiu iu kin ta cú m = - .
2
Cõu 45. Cho hm s : y =

1 3
x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1).

3

Hm s(1) cú cc tr trong khong (1; +Ơ) f ( x ) = 0 cú nghim trong khong (1; +Ơ) .

2
2
y2 = - (m2 + 1) x2 + m + 1
3
3
ộ 4 2
ự
ổ 4ử
2
2
2
2
Do ú: AB = ( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = (4m + 4) ờ1 + (m + 1)2 ỳ 4 ỗ 1 + ữ
ở 9
ỷ
ố 9ứ

Tam giỏc OAB cõn OA = OB

Cõu 46. Cho hm s : y =

2

t t = x - 1 ị x = t + 1 ta c : y ' = g(t ) = t 2 + 2 (1 - m ) t + m2 - 3m + 2

Ta cú: y = ( x - m).y - (m2 + 1) x + m + 1

ị AB

Kho sỏt hm s

ộ m - 3m + 2 < 0
ờ
ỡ
1< m < 2
ờ ùm - 1 0
ờ ớ2 m - 2 < 0
ờ ùm2 - 3m + 2 0
ởợ
Vy: Vi 1 < m < 2 thỡ hm s (1) cú cc tr trong khong (-Ơ;1)

1
Cõu 43. Cho hm s y = x 3 - mx 2 - x + m + 1 (Cm ) .
3

2
3
2
2
ị y1 = - (m 2 + 1) x1 + m + 1 ;
3
3

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

ộP < 0

ờ ỡD ' 0
g(t ) = 0 cú nghim t < 0 ờ ù
ờ ớS < 0
ù
ởờ ợ P 0

ợ y = 2 - 3t
ỡ
im cc tiu N (m + 1; -2 - m) chy trờn ng thng c nh: ớ x = 1 + t
ợ y = -2 - 3t

1
3

Trn S Tựng

Cõu 47. Cho hm s : y =

1 3
x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1).
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú hai cc tr x1, x2 tho món x1 < 1 < x2 .

ã Tp xỏc nh D = R. y = x 2 - 2mx + m2 - m + 1 .
t t = x - 1 ị x = t + 1 ta c: y ' = g(t ) = t 2 + 2(1 - m)t + m2 - 3m + 2
(1) cú hai cc tr x1, x2 tho x1 < 1 < x2 g(t ) = 0 cú hai nghim t1, t2 tho t1 < 0 < t2
P < 0 m 2 - 3m + 2 < 0 1 < m < 2
Vy: Vi 1 < m < 2 thỡ hm s (1) cú hai cc tr x1, x2 tho món x1 < 1 < x2 .

Cõu 48. Cho hm s : y =

1 3
x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1).
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú hai cc tr x1, x2 tho món x1 < x2 < 1 .

ã Tp xỏc nh D = R. y = x 2 - 2mx + m2 - m + 1 .
t t = x - 1 ị x = t + 1 ta c : y ' = g(t ) = t 2 + 2 (1 - m ) t + m2 - 3m + 2

1 3
x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1).
3

(1) cú hai cc tr x1, x2 tho x1 < x2 < 1 g(t ) = 0 cú hai nghim t1, t2 tho t1 < t2 < 0

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú cc tr trong khong (-Ơ;1) .

ỡm - 1 > 0
ỡD ' > 0
ù
ù
ớS < 0 ớm 2 - 3m + 2 > 0 m ẻ ặ . Vy: Khụng cú giỏ tr no ca m no tho YCBT.
ùợ P > 0
ù 2m - 2 < 0
ợ

ã Tp xỏc nh D = R. y = x 2 - 2mx + m2 - m + 1 .
t t = x - 1 ị x = t + 1 ta c : y ' = g(t ) = t 2 + 2 (1 - m ) t + m2 - 3m + 2
Hm s(1) cú cc tr trong khong (-Ơ;1) f ( x ) = 0 cú nghim trong khong (-Ơ;1) .

Cõu 49. Cho hm s : y =

1 3
x - mx 2 + (m 2 - m + 1) x + 1 (1).
3

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s cú hai cc tr x1, x2 tho món 1 < x1 < x2 .
Trang 24

www.MATHVN.com

Trang 25

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
2

Trn S Tựng

2

Trn S Tựng

Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam
4

Dng 2: Cc tr ca hm s trựng phng: y = f ( x ) = ax + bx 2 + c

ã Tp xỏc nh D = R. y = x - 2mx + m - m + 1 .
t t = x - 1 ị x = t + 1 ta c : y ' = g(t ) = t 2 + 2 (1 - m ) t + m2 - 3m + 2
(1) cú hai cc tr x1, x2 tho 1 < x1 < x2 g(t ) = 0 cú hai nghim t1, t2 tho 0 < t1 < t2
ỡm - 1 > 0
ỡD ' > 0
ù
ù
ớS > 0 ớm 2 - 3m + 2 > 0 m > 2
ùợ P > 0
ù 2m - 2 > 0
ợ
Vy: Vi m > 2 thỡ hm s (1) cú hai cc tr x1, x2 tho món 1 < x1 < x2 .

A. Kin thc c bn
ã Hm s luụn nhn x = 0 lm 1 im cc tr.
ã Hm s cú 1 cc tr phng trỡnh y = 0 cú 1 nghim.
ã Hm s cú 3 cc tr phng trỡnh y = 0 cú 3 nghim phõn bit.
ã Khi th cú 3 im cc tr A(0; c), B( x1; y1), C ( x2 ; y2 ) thỡ DABC cõn ti A.
B. Mt s dng cõu hi thng gp
1. Tỡm iu kin th hm s cú cỏc im cc tr to thnh tam giỏc vuụng cõn

hoc tam giỏc u.
Tỡm iu kin phng trỡnh y = 0 cú 3 nghim phõn bit.
Tỡm to cỏc im cc tr A, B, C. Lp lun ch ra DABC cõn ti A.
uuur uuur
Gii iu kin:
DABC vuụng ti A AB. AC = 0
DABC u AB = BC
2. Tỡm iu kin th hm s cú cỏc im cc tr to thnh mt tam giỏc cú din
tớch S cho trc.
Tỡm iu kin phng trỡnh y = 0 cú 3 nghim phõn bit.
Tỡm to cỏc im cc tr A, B, C. Lp lun ch ra DABC cõn ti A.
K ng cao AH.
1
2

Gii iu kin: S = SABC = AH .BC .
Cõu 50. Cho hm s y = x 4 - 2(m2 - m + 1) x 2 + m - 1 .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s .
2) Tỡm m th (C) cú khong cỏch gia hai im cc tiu ngn nht.

ã y = 4 x 3 - 4(m 2 - m + 1) x ;

ộx = 0
y = 0 ờ
.
2
ờở x = m - m + 1
ổ
ố

1ử
2ứ

2

Khong cỏch gia cỏc im cc tiu: d = 2 m2 - m + 1 = 2 ỗ m - ữ +

ị min d = 3 m =

Cõu 51. Cho hm s y =

3
4

1
.
2

1 4
3
x - mx 2 +
2
2

(1)

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 3 .
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú cc tiu m khụng cú cc i.
ộx = 0

2
ởx = m

ã y Â= 2 x 3 - 2mx = 2 x( x 2 - m) . y Â= 0 ờ

th ca hm s (1) cú cc tiu m khụng cú cc i PT y Â= 0 cú 1 nghim m Ê 0
Cõu 52. Cho hm s y = - x 4 + 2mx 2 - 4

(Cm ) .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 2 .
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m tt c cỏc im cc tr ca (Cm ) u nm trờn cỏc trc to .

Trang 26

www.MATHVN.com

Trang 27

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trn S Tựng

Trn S Tựng

+ Nu m > 0 thỡ (Cm ) cú 3 im cc tr A(0; -4), B(- m ; m2 - 4), C ( m ; m2 - 4) .

ỡm > 0
m=2.
2
ợm - 4 = 0

A, B, C nm trờn cỏc trc to thỡ B, C ẻ Ox ớ
Vy: m Ê 0 hoc m = 2 .
2

Cõu 53. Cho hm s y = x + (3m + 1) x - 3 (vi m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = -1 .
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m th hm s cú ba im cc tr to thnh mt tam giỏc
2
cõn sao cho di cnh ỏy bng ln di cnh bờn.
3
3m + 1
3
ã Ta cú: y ' = 4 x + 2(3m + 1) x ; y ' = 0 x = 0, x 2 = .
2
1
th hm s cú ba im cc tr m < (*). Ba im cc tr l:
3
ổ -3m - 1 -(3m + 1)2
ử ổ -3m - 1 -(3m + 1)2
ử
A(0; -3) ; B ỗ
;
- 3ữ ; C ỗ ;
- 3ữ
2

4
2
4
ố
ứ ố
ứ
ổ -3m - 1 (3m + 1)4 ử
ổ -3m - 1 ử
2
5
D ABC cõn ti A ; BC = AB 9.4 ỗ
+
ữ m = - , tho (*).
ữ = 4ỗ
3
16
ố 2 ứ
3
ố 2
ứ
Cõu 54. Cho hm s y = f ( x ) = x 4 + 2(m - 2) x 2 + m2 - 5m + 5 (Cm ) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th (Cm ) ca hm s cú cỏc im cc i, cc tiu to thnh 1
tam giỏc vuụng cõn.
ộx = 0
2
ởx = 2 - m

ã Ta cú f Â( x ) = 4 x 3 + 4(m - 2) x = 0 ờ

Hm s cú C, CT PT f Â( x ) = 0 cú 3 nghim phõn bit m < 2

Khi ú to cỏc im cc tr l: A ( 0; m 2 - 5m + 5) , B ( 2 - m ;1 - m ) , C ( - 2 - m ;1 - m )
uuur
uuur
ị AB = ( 2 - m ; - m2 + 4m - 4 ) , AC = ( - 2 - m ; -m2 + 4m - 4 )

Do DABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi DABC vuụng ti A
uuur uuur
AB. AC = 0 (m - 2)3 = -1 m = 1
(tho (*))

S: m = 3 3

b) y = x 4 - 4(m - 1) x 2 + 2m - 1 .

S: m = 1 +

3

3
2

c) y = x 4 - 4(m - 1) x 2 + 2m - 1

Cho hm s y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m 4 cú th (Cm) .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (Cm) cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr
ú lp thnh mt tam giỏc cú din tớch S = 4 .

Cõu 56.

ộx = 0
2
ở g( x ) = x - m = 0

ã Ta cú y ' = 4 x 3 - 4mx = 0 ờ

Hm s cú 3 cc tr y ' = 0 cú 3 nghim phõn bit Dg = m > 0 m > 0

(*)

Vi iu kin (*), phng trỡnh y Â= 0 cú 3 nghim x1 = - m ; x2 = 0; x3 = m . Hm s t

cc tr ti x1; x2 ; x3 . Gi A(0;2m + m 4 ); B ( m ; m 4 - m2 + 2m ) ; C ( - m ; m 4 - m2 + 2m ) l 3 im
cc tr ca (Cm) .
Ta cú: AB 2 = AC 2 = m 4 + m; BC 2 = 4m ị D ABC cõn nh A
Gi M l trung im ca BC ị M (0; m 4 - m 2 + 2m) ị AM = m 2 = m 2
Vỡ D ABC cõn ti A nờn AM cng l ng cao, do ú:
5

SD ABC =

1
1
AM .BC = .m2 . 4m = 4 m 2 = 4 m 5 = 16 m = 5 16 . Vy m = 5 16 .
2
2

S: m = 2

1
b) y = x 4 - 2mx 2 + m , S = 32 2 .
4

S: m = 2

c) y = x 4 - 2m 2 x 2 + m 4 + m , S = 32.

S: m = 2

2

2

d) y = x - 2mx + 2m - 4, S = 1 .

S: m = 1

Cõu 57. Cho hm s y = x 4 + 2mx 2 + m2 + m cú th (Cm) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (Cm) cú im cc i v im cc tiu, ng thi
cỏc im cc i v im cc tiu lp thnh mt tam giỏc u.
ộx = 0
ã Ta cú f Â( x ) = 4 x 3 + 4(m - 2) x = 0 ờ 2

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 2.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (Cm) cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr

ú lp thnh mt tam giỏc cú mt gúc bng 1200 .
ộx = 0

ã Ta cú y = 4 x 3 + 4mx ; y = 0 4 x ( x 2 + m) = 0 ờ

ờở x = -m

ởx = 2 - m

(m < 0)

Khi ú cỏc im cc tr l: A(0; m 2 + m), B ( -m ; m ) , C ( - -m ; m )

(*)

Khi ú to cỏc im cc tr l: A ( 0; m - 5m + 5) , B ( 2 - m ;1 - m ) , C ( - 2 - m ;1 - m )
2

uuur

a) y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m 4 .

4

( Cm )

Hm s cú C, CT PT f Â( x ) = 0 cú 3 nghim phõn bit m < 2

(Chỳ ý: Cú th dựng tớnh cht: DABC u AB = BC = CA).
Cõu hi tng t:

Cõu hi tng t:
a) y = x 4 - 2m 2 x 2 + 1 , S = 32.

(*)

2

uuur uuur
AB. AC
1
uuur uuur = m = 2 - 3 3 .
AB . AC 2

+ Nu m Ê 0 thỡ th cú 1 im cc tr duy nht (0; -4) ẻ Oy .

Cõu 55. Cho hm s y = x 4 + 2(m - 2) x 2 + m 2 - 5m + 5

Kho sỏt hm s

1
Do DABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi àA = 600 cos A =

ộx = 0
.
2
ởx = m

ã Ta cú: y = -4 x 3 + 4mx ; y = 0 ờ

4

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

uuur
uuur
AB = ( - m ; -m 2 ) ; AC = (- -m ; -m2 ) . DABC cõn ti A nờn gúc 120o chớnh l àA .

uuur

ị AB = ( 2 - m ; - m2 + 4m - 4 ) , AC = ( - 2 - m ; -m2 + 4m - 4 )
Trang 28

www.MATHVN.com

Trang 29

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trn S Tựng

uuur uuur
AB. AC
1
- -m . -m + m 4

1
àA = 120o cos A = - 1 uuu
=r uuur = -
2
2
2
m4 - m
AB . AC
ộ
m
=
0
(
loaù
i)
m + m4
1
1
1

= - ị 2m + 2m 4 = m - m 4 3m 4 + m = 0 ờ
. Vy m = - 3 .
ờm = - 3
2
3
m4 - m
3
ởờ

Cõu 58. Cho hm s y = x 4 - 2mx 2 + m - 1 cú th (Cm) .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (Cm) cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr
ú lp thnh mt tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip bng 1 .
ộx = 0
2
ởx = m

ã Ta cú y Â= 4 x 3 - 4mx = 4 x ( x 2 - m) = 0 ờ

Trn S Tựng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Kho sỏt hm s

1
2
=1 m = 0.

Ta cú: S ABC = d ( A, BC ).BC = (1 - m2 )2 Ê 1 . Du "=" xy ra m = 0 .
Vy max SABC

Cõu 61. Cho hm s y =

1 4
x - (3m + 1) x 2 + 2(m + 1) (Cm).
4

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0 .

2) Tỡm m th (Cm) cú 3 im cc tr to thnh mt tam giỏc cú trng tõm l gc to
O.
ộx = 0
1
. Hm s cú 3 cc tr m > 2
3
ở x = 2(3m + 1)

ã y = x 3 - 2(3m + 1) x ; y = 0 ờ

(*)

Khi ú to 3 im cc tr l:

Hm s ó cho cú ba im cc tr PT y Â= 0 cú ba nghim phõn bit v y  i du khi x
i qua cỏc nghim ú m > 0 . Khi ú ba im cc tr ca th (Cm) l:
A(0; m - 1), B ( - m ; -m 2 + m - 1) , C ( m ; - m2 + m - 1)
1
y - y A . xC - xB = m2 m ; AB = AC = m 4 + m , BC = 2 m
2 B
ộm = 1
AB. AC.BC
(m 4 + m)2 m
R=
=1
= 1 m3 - 2m + 1 = 0 ờ
ờm = 5 - 1
4SV ABC
4m 2 m
ờở

2

SV ABC =

A(0;2m + 2), B(- 6m + 2; -9m 2 - 4m + 1), C ( 6m + 2; -9m 2 - 4m + 1)
2
1
DABC cú trng tõm O -18m2 - 6m + 4 = 0 m = - ; m =
3
3
1
i chiu vi iu kin (*), suy ra m = .
3

Cõu hi tng t:
a) y = x 4 - 2mx 2 + 1

S: m = 1, m =

-1 + 5
2

Cõu 59. Cho hm s y = x 4 - 2mx 2 + 2

(Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1 .
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m (Cm) cú 3 im cc tr to thnh mt tam giỏc cú ng trũn
ổ3 9ử
ố5 5ứ

ngoi tip i qua im D ỗ ; ữ .
ộx = 0
. Hm s cú 3 im cc tr m > 0 .
2
ởx = m

ã Ta cú: y = 4 x 3 - 4mx; y = 0 ờ

Khi ú cỏc im cc tr ca (Cm) l: A(0;2), B(- m ; -m 2 + 2), C ( m ; -m 2 + 2) .
Gi I ( x; y) l tõm ca ng trũn (P) ngoi tip DABC.
ỡ IA2 = ID 2
ỡ3 x - y + 1 = 0
ỡx = 0
ù
ù
ù
Ta cú: ớ IB2 = IC 2 ớ2 x m = -2 x m
ớ y = 1 . Vy m = 1 .
ù IB2 = IA2
ùợm = 1
ù( x + m )2 + ( y + m 2 - 2)2 = x 2 + ( y - 2)2
ợ
ợ
Cõu 60. Cho hm s y = x 4 - 2(1 - m2 ) x 2 + m + 1

(Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0 .
2) Tỡm m th (Cm) cú 3 im cc tr to thnh mt tam giỏc cú din tớch ln nht.
ộx = 0
2

2 . Hm s cú 3 cc tr -1 < m < 1 .
ởx = 1- m

ã y = 4 x 3 - 4(1 - m 2 ) x ; y = 0 ờ

Khi ú cỏc im cc tr ca (Cm) l:

(

) (

A(0;1 + m) , B - 1 - m2 ; 1 - m2 , C

Trang 30

1 - m2 ; 1 - m2

)
www.MATHVN.com

Trang 31

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

Trn S Tựng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

KSHS 03: S TNG GIAO

bng s nghim ca phng trỡnh ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1)
B. Mt s dng cõu hi thng gp
1. Tỡm iốu kin th (C) v trc honh cú 1 im chung duy nht.
ộ f khoõng coự cửùc trũ

ờớ
ởờ ợ yCẹ .yCT > 0

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Kho sỏt hm s

5. Tỡm iốu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh õm.

Dng 1: S tng giao ca th hm s bc 3: y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ạ 0)
A. Kin thc c bn
ã Cho hai th (C1): y = f ( x ) v (C2): y = g( x ) . tỡm honh giao im ca (C1) v
(C2) ta gii phng trỡnh: f ( x ) = g( x ) (*) (gi l phng trỡnh honh giao im).
S nghim ca phng trỡnh (*) bng s giao im ca hai th.
ã S giao im ca th (C) ca hm s bc ba: y = f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d vi trc honh

ờ ỡ f coự 2 cửùc trũ

Trn S Tựng

ỡ f coự 2 cửùc trũ
ùù y .y < 0
Phng trỡnh (1) cú 3 nghim õm phõn bit.

ớ Cẹ CT
ù xCẹ < 0, xCT < 0
ợùa. f (0) > 0 (hay ad > 0)

6. Tỡm iốu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh to
thnh mt cp s cng.
a, b, c lp thnh mt cp s cng a + c = 2b
Gi s (1) cú 3 nghim x1, x2 , x3 lp thnh cp s cng.

Phng trỡnh (1) cú 1 nghim duy nht

Vit (1) di dng: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 a( x - x1 )( x - x2 )( x - x3 ) = 0
a ộở x 3 - ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x - x1x2 x3 ựỷ = 0
x1, x2 , x3 lp thnh cp s cng x1 + x3 = 2 x2 ị x2 = 2. Tỡm iốu kin th (C) v trc honh cú 2 im chung phõn bit.
ỡ f coự 2 cửùc trũ
(C) tip xỳc vi Ox ớ
Phng trỡnh (1) cú ỳng 2 nghim
ợ yCẹ .yCT = 0

Th x2 = -

b
l 1 nghim ca (1).
3a

b
vo (1) suy ra iu kin cn tỡm.
3a

Chỳ ý: õy ch l iu kin cn nờn phi th li kt qu tỡm c.

7. Tỡm iốu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh to
thnh mt cp s nhõn.
a, b, c lp thnh mt cp s nhõn ac = b2
Gi s (1) cú 3 nghim x1, x2 , x3 lp thnh cp s nhõn.
Vit (1) di dng: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 a( x - x1 )( x - x2 )( x - x3 ) = 0
a ộở x 3 - ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + ( x1x2 + x2 x3 + x3 x1 ) x - x1x2 x3 ựỷ = 0

3. Tỡm iốu kin th (C) v trc honh cú 3 im chung phõn bit.
ỡ f coự 2 cửùc trũ
ớ
ợ yCẹ .yCT < 0

Phng trỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit

Th x2 = 3 -

4. Tỡm iốu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh dng.
ỡ f coự 2 cửùc trũ
ùù y .y < 0
ớ Cẹ CT
ù xCẹ > 0, xCT > 0
ùợa. f (0) < 0 (hay ad < 0)

x1, x2 , x3 lp thnh cp s nhõn x1x3 = x22 ị x23 = -

d
l 1 nghim ca (1).
a

d

vo (1) suy ra iu kin cn tỡm.
a

Chỳ ý: õy ch l iu kin cn nờn phi th li kt qu tỡm c.

Phng trỡnh (1) cú 3 nghim dng phõn bit.

Trang 32

www.MATHVN.com

Trang 33

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trn S Tựng

Cho hm s y = x 3 + mx + 2 cú th (Cm)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 3.
2) Tỡm m th (Cm) ct trc honh ti mt im duy nht.

Cõu 1.

2
x

2
x

2

=

2
( x ạ 0)
x

-2 x 3 + 2
x2

Ta cú bng bin thiờn:
x -Ơ
f Â(x)
f (x)
-Ơ

+Ơ

Cho hm s y = x 3 - 3m 2 x + 2m cú th (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th (Cm) ct trc honh ti ỳng hai im phõn bit.
ã (Cm) ct trc honh ti ỳng hai im phõn bit thỡ (Cm) phi cú 2 im cc tr
ị y Â= 0 cú 2 nghim phõn bit 3 x 2 - 3m 2 = 0 cú 2 nghim phõn bit m ạ 0
Khi ú y ' = 0 x = m .
(Cm) ct Ox ti ỳng 2 im phõn bit yC = 0 hoc yCT = 0

Ta cú:
+ y(-m) = 0 2m3 + 2m = 0 m = 0 (loi)
Vy: m = 1

+Ơ

-Ơ

-Ơ

Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + 1 .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm m ng thng (D): y = (2m - 1) x - 4m - 1 ct th (C) ti ỳng hai im phõn
bit.

Cõu 5.

Cho hm s y = f ( x ) = x 3 - mx 2 + 2m (Cm) ( m l tham s).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 3.
2) Tỡm m th (Cm) ct trc honh ti mt im duy nht.

Cõu 2.

ã Phng trỡnh honh giao ca (C) v (D): x 3 - 3 x 2 - (2m - 1) x + 4m + 2 = 0

ã Ta cú: y = 3 x 2 - 2mx = x (3 x - 2m)

ộx = 2

( x - 2)( x 2 - x - 2m - 1) = 0 ờ

2
ở f ( x ) = x - x - 2m - 1 = 0 (1)

+ Khi m = 0 thỡ y = 3 x 2 0 ị (1) ng bin trờn R ị tho yờu cu bi toỏn.
2m
. Do ú th ct Ox ti duy nht 1 im khi
3
ỡm ạ 0
ổ
ổ 2m2 ử
4 m3 ử
ù
f ( x1 ). f ( x2 ) > 0 2m ỗ 2m ữ > 0 4m2 ỗ 1 ữ>0 ớ 3 6
3 6
27 ứ
27 ứ
ố
ố
ùợ- 2 < m < 2
ổ 3 6 3 6ử
Kt lun: khi m ẻ ỗ ;
ữ thỡ th (Cm) ct Ox ti duy nht mt im.
2 ứ
ố 2

+ Khi m ạ 0 thỡ (1) cú 2 cc tr x1 = 0 , x2 =

Cõu hi tng t:
a) y = x 3 + 3(m + 1) x 2 + 3(m2 + 1) x + 1

S: m ẻ R .

Cho hm s y = 2 x 3 - 3(m + 1) x 2 + 6mx - 2 cú th (Cm)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m th (Cm) ct trc honh ti mt im duy nht.

Cõu 3.

ộ2 ạ x1 = x2
ở x1 = 2 ạ x2

(D) ct (C) ti ỳng 2 im phõn bit (1) phi cú nghim x1, x2 tha món: ờ
ộ ỡD = 0
ộ ỡ8m + 5 = 0
ộ
5
ờ ùớ b
ờ ùớ 1
ờm = - 8
ờ ùờ ạ2
ạ2
ờ ợ 2a
ờ ùợ 2
ờ
.
ờm = 1
ờỡD > 0
ờỡ8m + 5 > 0
ờở
2

ờ ớ f (2) = 0
ờ ớ-2m + 1 = 0
ởợ
ởợ

Vy: m = -

5
1
; m= .
8
2

Cho hm s y = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 6 cú th l (C).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) nh m ng thng (d ) : y = mx - 2m - 4 ct th (C) ti ba im phõn bit.

Cõu 6.

ã PT honh giao im ca (C) v (d): x 3 - 6 x 2 + 9 x - 6 = mx - 2m - 4
ộx = 2

( x - 2)( x 2 - 4 x + 1 - m) = 0 ờ
2
ở g( x ) = x - 4 x + 1 - m = 0

ã y = 6 x 2 - 6(m + 1) x + 6m ; Dy ' = 9(m + 1)2 - 36m = 9(m - 1)2 .
+ Nu m = 1 thỡ y 0, "x ị hm s ng bin trờn R ị th ct trc honh ti 1 im
duy nht ị m = 1 tho món YCBT.
+ Nu m ạ 1 thỡ hm s cú cỏc im cc tr x1, x2 ( x1, x2 l cỏc nghim ca PT y = 0 )

ị x1 + x2 = m + 1; x1x2 = m .

ổx
ố3

Kho sỏt hm s

+ y(m) = 0 -2m3 + 2m = 0 m = 0 m = 1

th (Cm) ct trc honh ti mt im duy nht m > -3 .

Ly y chia cho y ta c: y = ỗ -

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Cõu 4.

ã PT honh giao im ca (Cm) vi trc honh: x 3 + mx + 2 = 0 m = - x 2 Xột hm s: f ( x ) = - x 2 - ị f '( x ) = -2 x +

Trn S Tựng

m +1ử
2
ữ y - (m - 1) x - 2 + m(m + 1) .
6 ứ

(d) ct (C) ti ba im phõn bit PT g( x ) = 0 cú 2 nghim phõn bit khỏc 2 m > -3
Cho hm s y = x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - (m 2 - 1) ( m l tham s) (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 0.

2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s (1) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh
dng.

Cõu 7.

( -(m - 1)2 x1 - 2 + m(m + 1) ) . ( -(m - 1)2 x2 - 2 + m(m + 1) ) > 0

ỡ(1) coự 2 cửùc trũ
ùù y .y < 0
ã th (1) ct trc Ox ti 3 im phõn bit cú honh dng ớ Cẹ CT
ù xCẹ > 0, xCT > 0
ợùa.y(0) < 0

(m - 1)2 (m2 - 2m - 2) < 0 m 2 - 2m - 2 < 0 (vỡ m ạ 1) 1 - 3 < m < 1 + 3 .

+ y = 3 x 2 - 6mx + 3(m 2 - 1)

ị PT ng thng i qua 2 im cc tr l: y = -(m - 1)2 x - 2 + m(m + 1)
th hm s ct trc honh ti 1 im duy nht yCẹ .yCT > 0

ộ x = m - 1 = xCẹ

+ Dy  = 9(m2 - m 2 + 1) = 9 > 0, "m + y Â= 0 ờ

ở x = m + 1 = xCT

Kt lun: 1 - 3 < m < 1 + 3 .
Trang 34

www.MATHVN.com

(*)

Trang 35

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Trn S Tựng

1
3

x 3 - 3mx 2 - mx = x + 2 g( x ) = x 3 - 3mx 2 - (m + 1) x - 2 = 0

k cn: Gi s (C) ct d ti 3 im phõn bit cú honh x1; x2 ; x3 ln lt lp thnh cp
s nhõn. Khi ú ta cú: g( x ) = ( x - x1 )( x - x2 )( x - x3 )
ỡ x1 + x2 + x3 = 3m
ù

2
cú th (Cm ) .
3

Cho hm s y = x 3 - mx 2 - x + m +

Suy ra: ớ x1x2 + x2 x3 + x1x3 = - m - 1

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (Cm ) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú tng bỡnh phng cỏc honh ln
hn 15.
1 3
2
x - mx 2 - x + m + = 0 (*) cú 3 nghim phõn bit tha x12 + x22 + x32 > 15 .
3
3
ộx = 1
Ta cú: (*) ( x - 1)( x 2 + (1 - 3m) x - 2 - 3m) = 0 ờ
2
ở g( x ) = x + (1 - 3m) x - 2 - 3m = 0

5
33 2 + 1

5
33 2 + 1

, thay vo tớnh nghim thy tha món.

.
S: m = 2 .

y = x3 - 3x 2 + 2 .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m ng thng d : y = m( x - 2) - 2 ct th (C) ti 3 im
phõn bit A(2; 2), B, D sao cho tớch cỏc h s gúc ca tip tuyn ti B v D vi th (C)

t giỏ tr nh nht.

Cõu 12. Cho hm s

Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 - 9 x + m , trong ú m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho khi m = 0 .
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m th hm s ó cho ct trc honh ti 3 im
phõn bit cú honh lp thnh cp s cng.
ã th hm s ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh lp thnh cp s cng
Phng trỡnh x 3 - 3 x 2 - 9 x + m = 0 cú 3 nghim phõn bit lp thnh cp s cng
Phng trỡnh x 3 - 3 x 2 - 9 x = -m cú 3 nghim phõn bit lp thnh cp s cng
ng thng y = -m i qua im un ca th (C) - m = -11 m = 11.

Cõu 10. Cho hm s y = x 3 - 3mx 2 + 9 x - 7 cú th (Cm), trong ú m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho khi m = 0 .
2) Tỡm m (Cm) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh lp thnh cp s cng.

(1)

ộm = 1
ờ
-1 + 15
-1 - 15
ị -2m + 9m - 7 = 0 ờ m =
l giỏ tr cn tỡm.
. Th li ta cú m =
ờ
2
2
ờ

-1 - 15
ờm =
2
ở
3

ã PT honh giao im ca (C) v d: x 3 - 3 x 2 + 2 = m( x - 2) - 2
ộx = 2

ờ
.
2
ở g( x ) = x - x - 2 - m = 0 (1)
9

(C) ct d ti 3 im phõn bit A(2; 2), B, D ớ D = 9 + 4m > 0 - < m ạ 0
4
ợ g(2) = - m ạ 0
Vi iu kin (*), gi x1, x2 l cỏc nghim ca (1) thỡ x1 + x2 = 1, x1x2 = -2 - m .
ỡ

(*)

9
4

Ta cú: k = yÂ( x1).yÂ( x2 ) = (3 x12 - 6 x1)(3 x22 - 6 x2 ) = 9(m + 1)2 - 9 -9 vi - < m ạ 0 .
Du "=" xy ra m = -1 . Vy giỏ tr m cn tỡm l m = -1 . Khi ú kmin = -9 .
Cõu 13. Cho hm s y = -2 x 3 + 6 x 2 + 1

(C)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (C) ca hm s.
2) Tỡm m ng thng d : y = mx + 1 ct (C) ti 3 im phõn bit A(0; 1), B, C sao cho B
l trung im ca on thng AC.
ộ x = 0 ( y = 1)

ã PT honh giao im ca (C) v d: -2 x 3 + 6 x 2 + 1 = mx + 1 ờ 2
ở2 x - 6 x + m = 0 (1)
d ct (C) ti 3 im phõn bit A(0; 1), B, C (1) cú 2 nghim phõn bit x1, x2 ạ 0

S: m = 1 .

ỡ
9
ỡ Â
ớD > 0 ớm < ; m ạ 0 . Khi ú B( x1; mx1 + 1), C ( x2 ; mx2 + 1) .
ợm ạ 0

2

Cõu 11. Cho hm s y = x - 3mx - mx cú th (Cm), trong ú m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho khi m = 1 .
2) Tỡm m (Cm) ct ng thng d: y = x + 2 ti 3 im phõn bit cú honh lp thnh

cp s nhõn.
Trang 36

5
33 2 + 1

Cõu hi tng t:
a) y = x 3 - (3m + 1) x 2 + (5m + 4) x - 8 , d Ox .

Cõu 9.

3

Vỡ x1x3 = x22 ị x23 = 2 ị x2 = 3 2 nờn ta cú: - m - 1 = 4 + 3 2.3m m = -

Vy: m = -

YCBT g( x ) = 0 cú 2 nghim x1, x2 phõn bit khỏc 1 v tha x12 + x22 > 14 m > 1
Cõu hi tng t:
a) Vi y = x 3 - 3mx 2 - 3 x + 3m + 2

ã Honh cỏc giao im l nghim ca phng trỡnh: x 3 - 3mx 2 + 9 x - 7 = 0
Gi honh cỏc giao im ln lt l x1; x2 ; x3 ta cú: x1 + x2 + x3 = 3m
x1; x2 ; x3 lp thnh cp s cng thỡ x2 = m l nghim ca phng trỡnh (1)

ùx x x = 2
ợ 1 2 3

k : Vi m = -

ã YCBT

Cõu hi tng t:
a) y = x 3 - 3mx 2 + 2m(m - 4) x + 9m2 - m .

Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

ã Xột phng trỡnh honh giao im ca (Cm) v d:

ỡm - 1 > 0
ùùm + 1 > 0
Suy ra: (*) ớ 2
3 < m < 1+ 2
2
2
ù(m - 1)(m - 3)(m - 2m - 1) < 0
2
ợù-(m - 1) < 0
Cõu 8.

Trn S Tựng

www.MATHVN.com

ợ

2

ỡ x1 + x2 = 3
ù
m
ùợ x1x2 = 2

Vỡ B l trung im ca AC nờn x2 = 2 x1 (2). Mt khỏc: ớ

T (2) v (3) suy ra m = 4 .
Trang 37

(3)

www.MATHVN.com


Kho sỏt hm s

Trn S Tựng

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

Cõu 14. Cho hm s y = x 3 - 6 x 2 + 9 x

(1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s (1).
2) Tỡm m ng thng d : y = mx ct (C) ti 3 im O(0; 0), A, B phõn bit. Chng t
rng khi m thay i, trung im I ca on AB luụn nm trờn mt ng thng song song
vi trc tung.
ộ x = 0 ( y = 0)

ã PT honh giao im ca (C) v d: x 3 - 6 x 2 + 9 x = mx ờ 2
ở x - 6 x + 9 - m = 0 (1)
d ct (C) ti 3 im phõn bit O(0; 0), A, B (2) cú 2 nghim phõn bit x A , xB khỏc 0
x +x
ỡ Â
ớD > 0 0 < m ạ 9 (*) . Vỡ I l trung im ca AB nờn xI = A B = 3
2

ợ9 - m ạ 0
ị I ẻ D: x = 3 (D // Oy).
3

2

Cõu 15. Cho hm s y = x - 3mx + (m - 1) x + m + 1 (Cm).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1 .
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m ng thng d : y = 2 x - m - 1 ct th (Cm) ti 3 im phõn bit

cú honh ln hn hoc bng 1.

ã PT honh giao im ca (Cm) v d: x 3 - 3mx 2 + (m - 1) x + m + 1 = 2 x - m - 1 (1)
ộx = 1

ờ 2
ở x + (1 - 3m) x - 2m - 2 = 0 (2)
YCBT (1) cú 3 nghim phõn bit ln hn hoc bng 1 (2) cú 2 nghim phõn bit ln
hn 1
Xột PT (2) ta cú: D = 9m 2 + 2m + 9 > 0, "m ị (2) luụn cú 2 nghim phõn bit x1, x2 .

Do ú: (2) cú 2 nghim phõn bit ln hn 1 1 < x1 < x2 0 < x1 - 1 < x2 - 1 (*)
t t = x - 1 . Khi ú (2) t 2 + 3(1 - m)t - 5m = 0 (3)

Cõu 17. Cho hm s y = 4 x 3 - 6mx 2 + 1 (C) (m l tham s).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s khi m = 1 .
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m ng thng d : y = - x + 1 ct th (C) ti 3 im A(0; 1), B, C
phõn bit sao cho B, C i xng nhau qua ng phõn giỏc th nht.
ộx = 0

ã PT honh giao im ca (C) v d: 4 x 3 - 6mx 2 + 1 = - x + 1 ờ 2
ở 4 x - 6mx + 1 = 0 (1)
d ct (C) ti 3 im phõn bit A(0; 1), B, C (1) cú 2 nghim phõn bit khỏc 0
ộ
2
ờm < - 3
(*). Khi ú gi s B( x1; - x1 + 1), C ( x2 ; - x2 + 1) .
ờm > 2
ờở
3
ỡx = y
B, C i xng nhau qua ng thng y = x ớ 1 2
ợ y1 = x2

ờ



Cõu 18. Cho hm s y = x 3 + 2mx 2 + (m + 3) x + 4 cú th l (Cm) (m l tham s).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C1) ca hm s trờn khi m = 1.
2) Cho ng thng (d): y = x + 4 v im K(1; 3). Tỡm cỏc giỏ tr ca m (d) ct (Cm) ti
ba im phõn bit A(0; 4), B, C sao cho tam giỏc KBC cú din tớch bng 8 2 .

ã Phng trỡnh honh giao im ca (Cm) v d l: x 3 + 2mx 2 + (m + 3) x + 4 = x + 4
ộ x = 0 ( y = 4)
ờ
2
ở g( x ) = x + 2mx + m + 2 = 0 (1)

(d) ct (Cm) ti ba im phõn bit A(0; 4), B, C (1) cú 2 nghim phõn bit khỏc 0.

SD KBC = 8 2

Cõu 16. Cho hm s y = x 3 - 3 x + 2 .

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Vit phng trỡnh ng thng d ct th (C) ti 3 im phõn bit A, B, C sao cho
x A = 2 v BC = 2 2 .

ã Vi x A = 2 ị y A = 4 . PT ng thng d ia qua A(2; 4) cú dng: y = k ( x - 2) + 4 .
ộx = 2

PT honh giao im ca (C) v d: x 3 - 3 x + 2 = k ( x - 2) + 4 ờ
2
ở g( x ) = x + 2 x - k + 1 = 0
d ct (C) ti 3 im phõn bit ớ D > 0 ớ k > 0 . Khi ú to ca B( x1; y1), C ( x2 ; y2 )
ợ g(2) ạ 0
ợk ạ 9
ỡ Â

(*)

Mt khỏc: d ( K , d ) =

1- 3 + 4
2

= 2 . Do ú:

1
BC.d (K , d ) = 8 2 BC = 16 BC 2 = 256
2

( xB - xC )2 + ( yB - yC )2 = 256 ( xB - xC )2 + (( xB + 4) - ( xC + 4))2 = 256
2( xB - xC )2 = 256 ( x B + xC )2 - 4 xB xC = 128
4m 2 - 4(m + 2) = 128 m 2 - m - 34 = 0 m =

1 137
1 137
(tha (*)). Vy m =
.
2
2

Cõu hi tng t:
a) y = x 3 + 2mx 2 + 3(m - 1) x + 2 , d : y = - x + 2 , K (3;1), A(0;2), S = 2 2 . S: m = 0, m = 3

ỡ

ỡ 2
tho h phng trỡnh: ớ x + 2 x - k + 1 = 0 (1)
ợ y = kx - 2k + 4

ỡ x1 = - x2 + 1
ớ x = - x + 1 x1 + x2 = 1
ợ 2
1

3
2
m = 1 m = (khụng tho (*)). Vy khụng cú giỏ tr m tho YCBT.
2
3

Khi ú: xB + xC = -2m; xB .xC = m + 2 .

Kt lun: khụng cú giỏ tr m tho YCBT.

Kho sỏt hm s

www.MATHVN.com - Toỏn Hc Vit Nam

2
ỡ /
ỡm < -1 m > 2
ớD = m - m - 2 > 0 ớ
g
(0)
=
m
+2 ạ 0
ợm ạ -2
ợ

ỡD > 0
ù
(*) (3) cú 2 nghim dng phõn bit ớS = 3(m - 1) > 0 (vụ nghim)
ùợ P = -5m > 0

(2)

Ta cú: (1) ị x1 - x2 = 2 k ; (2) ị y1 - y2 = k ( x1 - x2 ) = 2k k
BC = 2 2

Trn S Tựng

4k + 4k 3 = 2 2 4k 3 + 4k - 8 = 0 k = 1 . Vy d : y = x + 2 .

Trang 38

www.MATHVN.com

Cõu 19. Cho hm s y = x 3 - 3 x 2 + 4 cú th l (C).

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Gi dk l ng thng i qua im A(-1;0) vi h s gúc k (k ẻ Ă ) . Tỡm k ng
thng dk ct th (C) ti ba im phõn bit A, B, C v 2 giao im B, C cựng vi gc to
O to thnh mt tam giỏc cú din tớch bng 1 .
ã Ta cú: dk : y = kx + k kx - y + k = 0
PT honh giao im ca (Cm) v d l:
Trang 39

www.MATHVN.com