Kinh nghiệm và kiến thức cần nhớ khi thi đại học FPT

MỘT SỐ KINH NGHIỆM
CHUẨN BỊ CHO PHẦN THI TOÁN – LOGIC
Contents
KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC FPT .................................................................................................. 3
1.

Lời nói đầu: ................................................................................................................................... 3

2.

Giới thiệu đề thi: (đề cho các ngành khối Công nghệ) .................................................................. 4

3.

Một số kiến thức cần thiết ............................................................................................................. 5
A. Số học và Đại số: ....................................................................................................................... 5
B. Hình Học .................................................................................................................................... 6
C. Giải Tích .................................................................................................................................... 6
D. Logic (phần này chiếm nhiều điểm) .......................................................................................... 6

4.

Tóm tắt 1 số kiến thức ................................................................................................................... 7
Tính chia hết & số nguyên tố ............................................................................................................ 8
Số nguyên tố...................................................................................................................................... 9
Ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất ........................................................................... 10
Bài tập luyện tập: ............................................................................................................................ 11

Tính chẵn – lẻ ..................................................................................................................................... 13
Bài tập luyện tập: ............................................................................................................................ 13
Độ ưu tiên các phép tính ..................................................................................................................... 15

Hình học.............................................................................................................................................. 16
Đa giác ............................................................................................................................................ 16
Tam giác .......................................................................................................................................... 16
Tứ giác ............................................................................................................................................ 17
Bài tập luyện tập: ............................................................................................................................ 18
Chap 1: Hệ phương trình căn bản ....................................................................................................... 20
1) Phương trình bậc nhất một ẩn ..................................................................................................... 20
2) Hệ phương trình bậc nhất với hai hoặc ba ẩn ............................................................................. 20
3) Hệ phương trình dạng khuyết ..................................................................................................... 20
4) Hệ phương trình dạng tổng hợp .................................................................................................. 20
5) Phương trình chứa giá trị tuyệt đối ............................................................................................. 20
Chap 2: Phương trình với số mũ ......................................................................................................... 20
1) Phương trình với số mũ chẵn ...................................................................................................... 20
2) Phương trình với số mũ lẻ ......................................................................................................... 21
3) Phương trình mũ ......................................................................................................................... 21
Page 1 of 51


4) Phương trình với dấu căn ............................................................................................................ 21
Chap 3: Phương trình bậc hai ............................................................................................................. 21
Dạng bị biến đổi (ngụy trang) ......................................................................................................... 21
Dạng đảo ......................................................................................................................................... 21
Phương trình bậc hai chỉ có 1 nghiệm............................................................................................. 21
Chap 4: Phương trình dạng công thức ................................................................................................ 22
Chap 5: Hàm số .................................................................................................................................. 22
1) Phép thế bằng số ......................................................................................................................... 22
2) Phép thế bằng biến ...................................................................................................................... 22
3) Hàm hợp ..................................................................................................................................... 22
4) Hàm số với hệ số chưa biết ......................................................................................................... 22
5) Đồ thị hàm số .............................................................................................................................. 22

6) Các dạng hàm số thường gặp ...................................................................................................... 23
Chap 6: Bất đẳng thức ........................................................................................................................ 23
1: Khái quát về hệ thống số thực ........................................................................................................ 25
Một số Mẹo giải nhanh ....................................................................................................................... 33
Cách tìm nhanh tất cả ước số của 1 số ............................................................................................ 33
“Dịch đề” – Tóm tắt đề ................................................................................................................... 33
Đôi khi có thể tìm ra đáp án mà không cần giải toàn bộ bài toán ................................................... 33
Cách giải câu hỏi tính đầy đủ dữ kiện ............................................................................................. 33
5.

Bài tập luyện tập: ............................................................................................................................ 35

Page 2 of 51


KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC FPT
1. Lời nói đầu:
Kỳ thi tuyển sinh đại học FPT thời gian qua đã thu hút được khá đông sự chú ý của các bạn học
sinh ở sự mới lạ trong cả cách thi, đề thi và tiêu chí chấm điểm. Trong đó, phần thi Toán – Logic
gây thích thú và cũng gây không ít khó khăn cho rất nhiều các bạn thí sinh.
Vì tính chất mới lạ, và khác biệt so với các kỳ thi truyền thống, nhiều bạn thí sinh cảm thấy bối
rối và đôi khi “hơi sợ” kỳ thi, dẫn đến không phát huy hết khả năng của mình. Ngoài ra, nhiều
bạn cũng không biết phải ôn tập cho kỳ thi như thế nào. Chính vì lý do đó, Chúng tôi, một nhóm
“Sinh Viên Rảnh”, đã mạnh dạn tổng hợp lại các kinh nghiệm mà chúng tôi đã tích lũy được, sau
“một vài lần” thi vào ĐH FPT.
Đây không phải là “Tài liệu chính thức”, cũng không phải “300 bài hát thiếu nhi” đủ để các bạn
làm ngon lành đề thi FPT. Chúng tôi chỉ mong rằng qua đây, truyền cho các bạn cảm hứng,
không còn sợ đề FPT nữa, với một số bạn sẽ thấy rằng, được học bổng không phải là quá khó.
Chúc các bạn thành công!

Page 3 of 51


-

2. Giới thiệu đề thi: (đề cho các ngành khối Công nghệ)
Phần 1 gồm 20 câu là các câu hỏi kiểm tra kỹ năng tính toán có
Phần 2 gồm 25 câu (từ câu 21 đến câu 45). Mỗi câu hỏi sẽ 2 dữ kiện đi kèm (1) và (2). Có 5 phương án
trả lời cho trước chung cho tất cả các câu như sau:
(A) Dùng một mình dữ kiện (1) là đủ để có thể trả lời câu hỏi, nhưng dùng một mình dữ kiện (2) thì
không đủ.
(B) Dùng một mình dữ kiện (2) là đủ để có thể trả lời câu hỏi, nhưng dùng một mình dữ kiện (1) thì
không đủ.
(C) Phải dùng cả 2 dữ kiện (1) và (2) mới trả lời được câu hỏi, tách riêng từng dữ kiện sẽ không trả lời
được.
(D) Chỉ cần dùng một dữ kiện bất kỳ trong 2 dữ kiện đã cho cũng đủ để trả lời được câu hỏi.
(E) Dùng cả 2 dữ kiện đã cho cũng không thể trả lời được câu hỏi.
Nhiệm vụ của thí sinh là tìm ra phương án đúng (trong 5 phương án trả lời cho trước) cho mỗi câu hỏi.
5 phương án này sẽ được ghi lại ở đầu mỗi trang để thí sinh tiện tham khảo

-

-

Phần 3 gồm 45 câu (từ câu 46 đến câu 90), trong đó có một số câu hỏi riêng lẻ và một số câu hỏi nhóm.
Các câu hỏi nhóm sẽ có dạng “Câu N – M”, sau đó là đoạn văn tình huống chung cho tất cả các câu
trong nhóm và các câu hỏi lần lượt từ N đến M
Tất cả các số trong bài thi đều là số thực

Page 4 of 51

3. Một số kiến thức cần thiết
Các bạn cần tập sống cuộc sống không có máy tính (phải tính nhẩm, giải toán bằng bút và giấy)
nếu muốn vượt qua kỳ thi Toán – Logic của FPT.)
A. Số học và Đại số:
a. Phân số, tỷ lệ, tỷ lệ phần tram
So sánh phân số
Tăng x% thì ta được (100 + x)% so với ban đầu
Giảm x% thì ta được (100 – x)% so với ban đầu
b. Số nguyên, tính chia hết, Ước, UCLN, Bội, BCNN, Số nguyên tố
c. Các tập hợp số:
Số Tự Nhiên,
Số Nguyên,
Số Hữu tỷ,
Số Vô tỷ
Số Thực
d. Bài toán vận tốc, năng suất:
Vận Tốc (năng suất), Thời gian, Đường đi (công việc)
Vận tốc trung bình
e. Các phép toán:
Cộng, Trừ, Nhân, Chia
Lũy thừa (Mũ), Căn
Giai thừa
Logarit
Giá trị tuyệt đối
Min, Max của 1 tập hợp, của 1 hàm
Thứ tự ưu tiên của các phép tính
f. Dãy số, Cấp số cộng (CSC), Cấp số nhân(CSN)
Tổng 1 dãy số

Trung bình cộng 1 dãy số
Số số hạng
Số hạng tổng quát của CSC, CSN
g. Giải Phương trình, hệ Phương trình
Phương trình bậc nhất 1 ẩn, bậc 2, bậc n, phân thức
Phương trình chưa căn, chứa trị tuyệt đối
Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn 2 phương trình, 3 ẩn 3 phương trình
Phương trình nghiệm nguyên
Giải toán đố bằng cách đặt ẩn, đưa về giải phương trình, hệ phương trình
h. Bất phương trình
i. Hàm số:
Định nghĩa hàm số
Các phép toán
Hàm chẵn, Hàm lẻ và tính chất
Hàm bậc I,
Hàm bậc II, ĐL Viet, dấu của tam thức bậc 2
Hàm phân thức
Page 5 of 51


B. Hình Học
a. Tam giác
b. Góc
c. Hình vuông, HCN, Hình thoi, HBH
d. Đa giác, Đa giác đều góc trong đa giác, đường chéo
e. Hình tròn, các công thức tính chu vi, diện tích
C. Giải Tích
a. Hệ trục tọa độ
b. Biểu diễn Điểm
c. Biểu diễn Vector

d. Biểu diễn đường thẳng: Pt tổng quát, Pt tham số, Pt hệ số góc
D. Logic (phần này chiếm nhiều điểm)
a. Mệnh đề
b. Tập hợp
c. Biểu đố Venn
d. Phép đếm (cộng, nhân), Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp, Xác suất
e. Các phép suy luận: Phép suy ra; Phép tương đương
f. Mệnh đề thuận – Mệnh đề đảo; Mệnh đề tương đương
Chúng tôi có tóm tắt 1 số phần kiến thức, do thời gian có hạn nên chưa thể biên soạn 1 tài liệu đầy đủ hơn.
Các bạn nên tham khảo sách giáo khoa them.

Page 6 of 51


4. Tóm tắt 1 số kiến thức

Page 7 of 51


Tính chia hết & số nguyên tố
Các khái niệm cơ bản
Khi ta lấy a chia cho b được c và dư d, ta gọi:





a là số bị chia
b là số chia
c là thương số

d là số dư

Trong trường hợp số dư d = 0, ta gọi đó là phép chia hết (a chia hết cho b), và gọi:



a là bội số của b
b là ước số của a

Một vài quy tắc về tính chia hết
Một vài dấu hiệu nhận biết của các số chia hết cho:









Chia hết cho 2: là số chẵn (có chữ số cuối cùng chia hết cho 2, nghĩa là bằng 0, 2, 4, 6, hoặc 8)
Chia hết cho 3: tổng các chữ số tạo thành số đó cũng chia hết cho 3
Chia hết cho 4: số được tạo bởi 2 chữ số cuối cùng chia hết cho 4 (ví dụ 15824 chia hết cho 4 vì 24
chia hết cho 4)
Chia hết cho 5: có chữ số cuối cùng là 0 hoặc 5
Chia hết cho 6: vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3, vì vậy thỏa mãn cả hai điều kiện chia hết cho
2 và 3 ở trên
Chia hết cho 8: số được tạo bởi 3 chữ số cuối cùng chia hết cho 8 (ví dụ 83104 chia hết cho 8 vì 104
chia hết cho 8)
Chia hết cho 9: tổng các chữ số tạo thành số đó cũng chia hết cho 9

Chia hết cho 10: có chữ số cuối cùng là 0

Tính chia hết và các phép toán
Với a và b là hai số nguyên chia hết cho n, c là một số nguyên không chia hết cho n:










a + b chia hết cho n
a – b chia hết cho n
a × b chia hết cho n
a ÷ b chưa chắc chia hết cho n
a + c không chia hết cho n
a – c và c – a không chia hết cho n
a × c chia hết cho n
a ÷ c (nếu kết quả là số nguyên) chia hết cho n
c sẽ không chia hết cho a (vì a chia hết cho n mà c không chia hết cho n)
Page 8 of 51


Số nguyên tố
Số nguyên tố:





Là những số nguyên dương
Lớn hơn 1
Có đúng hai ước số là 1 và chính nó, ngoài ra không có một ước số nào khác nữa

Một vài điều cần lưu ý về số nguyên tố:






Số các số nguyên tố là vô hạn. Không có một giới hạn trên nào cho kích thước của một số nguyên tố
cả.
Không có một dấu hiệu nhận biết đơn giản nào cho số nguyên tố. Số 2 là số nguyên tố chẵn duy
nhất, tất cả các số nguyên tố còn lại đều lẻ. Tuy nhiên, không có một cách nhanh chóng nào để xác
định xem một số lẻ có phải là số nguyên tố hay không.
Số 1 không phải là số nguyên tố, vì nó chỉ có duy nhất 1 ước số là chính nó.
Số 0 cũng không phải là số nguyên tố, vì nó chia hết cho mọi số (trừ chính nó).

Phân tích ước số nguyên tố
Một cách hữu hiệu để phân tích một số nguyên dương là phân tích nó ra thành các ước số nguyên tố.
VD: 72 = 2 × 3 × 2 × 2 × 3, trong đó 2 và 3 là các số nguyên tố
Có thể tưởng tượng các ước số của một số nguyên giống như những viên gạch xây dựng nên số đó, và các
ước số nguyên tố là những viên gạch cơ bản, nhỏ nhất, ở dưới cùng, và không thể chia nhỏ hơn được nữa.
Một số quy luật:


Nếu

a là ước số của b
b là ước số của c
 a cũng là ước số của c

VD: 3 là ước số của 6, 6 là ước số của 72  3 là ước số của 72




Tất cả các ước số của một số nguyên ngoại trừ số 1 đều có thể được tạo ra từ các ước số nguyên tố
của số đó.
VD: nhìn hình vẽ trên, chúng ta có thể thấy ngay 8 là ước số của 72 vì có ba con số 2 ở hàng cuối (8
= 2 × 2 × 2)
Số 1 là ước số của mọi số nguyên, nhưng không phải
là
số nguyên tố, và không bao giờ góp mặt trong các
viên gạch xây dựng nên một số nguyên.

Phân tích một số thành các ước số nguyên tố có thể hữu ích
mục đích sau đây:





cho các

Xác định xem một số có chia hết cho một số khác hay
không

Xác định bội số chung nhỏ nhất của hai số
Xác định ước số chung lớn nhất của hai số
Rút gọn phân số
Page 9 of 51





Rút gọn số dưới dấu căn
Xác định số mũ ở một vế của một phương trình với ràng buộc số nguyên

Ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất
Ước số chung lớn nhất (UCLN) của hai số là số lớn nhất có thể mà cả hai số đó cùng chia hết.
Bội số chung nhỏ nhất (BCNN) của hai số là số nhỏ nhất có thể chia hết cho cả hai số đó.
Tìm UCLN và BCNN sử dụng biểu đồ Venn
Một cách để hình dung trực quan về UCLN và BCNN của hai số là đặt các ước số nguyên tố của hai số vào
biểu đồ Venn – một loại biểu đồ biểu thị những thành phần trùng nhau và những thành phần không trùng
nhau của hai tập hợp. Để tìm UCLN và BCNN bằng biểu đồ Venn, hãy thực hiện theo các bước sau:
1. Phân tích hai số thành các ước số
nguyên tố

VD: tìm UCLN và BCNN của hai số 30 và 24
30 = 2 × 3 × 5
24 = 2 × 2 × 2 × 3

2. Vẽ một biểu đồ Venn

30
3. Đặt các ước số nguyên tố chung (bao

gồm cả các ước số xuất hiện nhiều hơn
1 lần) vào vùng giao nhau giữa hai
vòng tròn.

4. Đặt các ước số còn lại (không chung

24

2
3

30

24

5

2

2
Page 10 of 51


nhau) của hai số vào các vùng không
giao nhau

3

2

Từ biểu đồ trên, ta có thể dễ dàng tìm được UCLN và BCNN của 30 và 24:



UCLN là tích của các số bên trong vùng giao nhau = 2 × 3 = 6 (nếu vùng giao nhau rỗng thì UCLN
= 1)
BCNN là tích của tất cả các số bên trong hai vòng tròn = 5 × 2 × 3 × 2 × 2 = 120

Bài tập luyện tập:
1. A là một số nguyên tố. Nếu C = A3 thì có bao nhiêu số nguyên khác nhau là ước số
của C?
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
2. Nếu X là một số nguyên dương và 4054 là bội số của 3X thì giá trị lớn nhất có thể có của X là bao
nhiêu?
(A) 5 (B) 12
(C) 16
(D) 20
(E) 26
3. Số nguyên dương nhỏ nhất chia hết cho mọi số nguyên từ 1 đến 7 là bao nhiêu?
(A) 420
(B) 840
(C) 1260
(D) 2520
(E) 5040
Các câu hỏi về tính đầy đủ của dữ kiện:
4. Tính giá trị của số nguyên x?
1) x có đúng 2 ước số
2) Khi ta x chia cho 2, số dư là 0
5. Số tự nhiên x có chia hết cho 36?
1) x chia hết cho 12

2) x chia hết cho 9

Đáp án:
1. A là một số nguyên tố  A sẽ là “viên gạch cơ bản” để xây dựng nên A3

Page 11 of 51


Các ước số của C = A3 bao gồm tất cả các số nguyên có thể được xây dựng nên từ các ước số
nguyên tố của nó. Nhìn trên hình ta thấy chúng gồm có: A, A2, A3, và có thêm số 1.
Vậy đáp án đúng là (B) 4
2. Ta phân tích 405 thành các ước số nguyên tố: 405 = 5 × 34
Vậy 4054 = 54 × 312

Vì 3X là ước số của 4054, nên 3X phải được tạo nên bởi các “viên gạch cơ bản” trong phân tích ước
số nguyên tố của 4054  giá trị tối đa mà X có thể nhận chính là số lần xuất hiện của “viên gạch” số
3 trong hình trên. Giá trị đó là 12.
Vậy đáp án đúng là (B) 12
3. Để biết một số có chia hết cho mọi số nguyên từ 1 đến 7 hay không, ta chỉ cần kiểm tra điều kiện
chia hết cho 3, 4, 5, 7 (vì mọi số nguyên đương nhiên chia hết cho 1; nếu chia hết cho 4 thì chắc
chắn sẽ chia hết cho 2; và vừa chia chết cho 2 vừa chia hết cho 3 chắc chắn sẽ chia hết cho 6)
Chia hết cho 3: cả 5 số đều có tổng các chữ số chia hết cho 3  đều chia hết cho 3
Chia hết cho 4: cả 5 số đều có 2 chữ số cuối tạo thành số chia hết cho 4  đều chia hết cho 4
Chia hết cho 5: cả 5 số đều có chữ số cuối cùng là 0  đều chia hết cho 5
Chia hết cho 7: ta bắt đầu thử chia cho 7 theo thứ tự từ số nhỏ nhất đến lớn nhất. Ta thấy ngay số đầu
tiên là 420 chia hết cho 7.
Vì đề bài hỏi số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện, nên ta không cần thử với các số còn lại
mà có thể kết luận luôn đáp án là (A)
4. Riêng dữ kiện 1: chỉ biết x là số nguyên tố  chưa tìm được giá trị của x
Riêng dữ kiện 2: chỉ biết x là số chẵn  chưa tìm được giá trị của x

Kết hợp 2 dữ kiện: ta biết số chẵn duy nhất là số nguyên tố là số 2  tìm được giá trị của x
Vậy đáp án là (C)
5. Chỉ nhìn qua, ta có thể thấy riêng dữ kiện 1 hay riêng dữ kiện 2 không thể đủ để trả lời câu hỏi.
Kết hợp cả 2 dữ kiện: x chia hết cho 12  x = 3 × 4 × …
x chia hết cho 9  x = 3 × 3 × …
 trong các ước số nguyên tố của x đã có 2 số 3 và 1 số 4, đủ để chia hết cho 36 (36 = 3 × 3 × 4).
Vậy đáp án đúng là (C)

Page 12 of 51


Tính chẵn – lẻ
Một số nguyên chia hết cho 2 (chia 2 dư 0) được gọi là một số chẵn
Một số nguyên không chia hết cho 2 (chia 2 dư 1) được gọi là một số lẻ
Quy luật chẵn – lẻ với các phép toán
Tổng của 2 số nguyên là một số chẵn khi cả hai cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Ngược lại, tổng sẽ là một số lẻ.

+
Chẵn
Lẻ

Chẵn
Chẵn
Lẻ

Lẻ
Lẻ
Chẵn

Hiệu của 2 số nguyên là một số chẵn khi cả hai cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Ngược lại, hiệu sẽ là một số lẻ.

Chẵn
Lẻ

Chẵn
Chẵn
Lẻ

Lẻ
Lẻ
Chẵn

Tích của 2 số nguyên sẽ là chẵn nếu ít nhất một trong 2 số đó là chẵn. Tích
chỉ có thể là lẻ nếu cả hai số đều lẻ

×
Chẵn
Lẻ

Chẵn
Chẵn
Chẵn

Lẻ
Chẵn
Lẻ

Khả năng chẵn – lẻ của thương giữa 2 số nguyên được tổng hợp theo bảng sau (trong trường hợp chia hết)

Chẵn ÷ Chẵn
Chẵn ÷ Lẻ
Lẻ ÷ Chẵn
Lẻ ÷ Lẻ

Chẵn?
✓
VD: 12 ÷ 2 = 6
✓
VD: 12 ÷ 3 = 4

Lẻ?
✓
VD: 12 ÷ 4 = 3

X

X

X

✓
VD: 15 ÷ 5 = 3

X

Lưu ý:


Trong cả 4 trường hợp đều có thể xảy ra khả năng không chia hết.

Bài tập luyện tập:
1. X, Y, Z là các số nguyên. Biểu thức X – Y – Z là chẵn còn biểu thức Y – Z – W là lẻ. Nếu X chẵn thì
trong các câu sau câu nào đúng?
(A) Y – Z lẻ (B) W chẵn (C) W lẻ
(D) Y chẵn
(E) Z lẻ
2. Nếu a và b đều là những số nguyên tố lớn hơn 10, mệnh đề nào trong số những mệnh đều dưới đây
KHÔNG THỂ là đúng?
I. ab là một số chẵn
II. Hiệu của a và b bằng 117
III. Tổng của a và b là một số chẵn
(A) Chỉ I
Page 13 of 51


(B) Chỉ I và II
(C) Chỉ I và III
(D) Chỉ II và III
(E) I, II và III
3. X là 1 số nguyên tố lớn hơn 10. Y = X + X3 + X5 + X7. Tìm đáp án đúng.
(A) Y là một số nguyên tố
(B) Y lẻ
(C) Y chẵn
(D) Y chia hết cho 3
(E) Y chia hết cho 7

Đáp án:
1. Vì:

X – Y – Z = X – (Y + Z) chẵn
X chẵn
 Y + Z chẵn
 Y và Z phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ
 Y – Z chẵn
mà Y – Z – W lẻ
 W lẻ

Vậy ta có đáp án đúng là (C) W lẻ
2. Ta đã biết số nguyên tố duy nhất là số chẵn là số 2, mà a và b đều là những số nguyên tố lớn hơn
10  a và b đều lẻ.
Tích của hai số lẻ phải là một số lẻ  I chắc chắn sai
Hiệu của hai số lẻ phải là một số chẵn  II cũng chắc chắn sai
Tổng của hai số lẻ phải là một số chẵn  III chắc chắn đúng.
Tuy nhiên, câu hỏi đề bài là mệnh đề nào KHÔNG THỂ là đúng. Vì vậy đáp án sẽ là (B) chỉ I và
II
3. X là một số nguyên tố lớn hơn 10, mà ngoại trừ số 2, tất cả các số nguyên tố còn lại đều là số lẻ.
Như vậy X chắc chắn là số lẻ. Các lũy thừa của X là X3, X5, X7 cũng chắc chắn đều là những số
lẻ vì tích các số lẻ cũng sẽ là số lẻ.
Vì vậy Y = X + X3 + X5 + X7 là tổng của 4 số lẻ. Cộng từng đôi một, ta được 2 số chẵn  Y là
chẵn  (C) đúng và (B) sai.
Các đáp án (A), (D), (E) đều không có căn cứ gì để khẳng định
 Đáp án cuối cùng là (C) Y chẵn.

Page 14 of 51


Độ ưu tiên các phép tính
Trong một biểu thức có nhiều phép tính, thứ tự ưu tiên của các phép tính là (các phép tính có thứ tự ưu tiên
cao hơn được thực hiện trước, dù nó ở trước hay sau các phép tính khác):

1.
2.
3.
4.

Dấu ngoặc
Lũy thừa (số mũ)
Nhân – chia
Cộng – trừ

Lưu ý:



Nếu có nhiều phép tính có thứ tự ưu tiên ngang nhau như nhân – chia, cộng – trừ, các phép tính sẽ
được ưu tiên tính theo thứ tự từ trái sang phải
Dấu giá trị tuyệt đối cũng có thứ tự ưu tiên ngang với dấu ngoặc

Page 15 of 51


Hình học
Đa giác
Đa giác ở đây là các khối hình học 2 chiều, nằm trên một mặt phẳng, được tạo nên từ n đỉnh và n đoạn thẳng
(cạnh) nối các đỉnh với nhau. Các dạng đa giác thường gặp trong bài thi:




Tam giác

Tứ giác
Các đa giác có số cạnh lớn: Ngũ giác (5 cạnh), lục giác (6 cạnh), thất giác (7 cạnh), bát giác (8
cạnh),…

Tổng các góc trong của một tam giác là 180o
Khái quát hơn, tổng các góc trong của một đa giác n cạnh là (n - 2) × 180o
Lý do là vì ta có thể chia một đa giác n cạnh ra thành n – 2 tam giác, và tổng các góc trong của các tam giác
tạo thành đó cộng lại bằng tổng các góc trong của đa giác.

Bảng thống kê tổng các góc trong của đa giác:
Đa giác
Tam giác
Tứ giác
Ngũ giác
Lục giác
Thất giác
Bát giác
Tam giác
Các loại tam giác phổ biến:

Số cạnh
3
4
5
6
7
8

Tổng các góc trong
180o

360o
540o
720o
900o
1080o

Tam giác vuông

Có một góc bằng 90o
a2 = b2 + c2
Với a là cạnh huyền; b, c là 2 cạnh góc vuông

Tam giác cân

Hai cạnh bên bằng nhau
Hai góc đáy bằng nhau

Page 16 of 51


Tam giác đều

Cả ba cạnh bằng nhau
Cả ba góc trong bằng nhau và bằng 60o

Trong một hình tam giác, tổng độ dài 2 cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại
Tam giác có 3 cạnh là a, b, c thì:
a+b>c
b+c>a
c+a>b

Diện tích tam giác (tổng quát):
S=
a là một cạnh bất kỳ
h là chiều cao từ đỉnh đối diện hạ xuống cạnh đó
Diện tích tam giác vuông:
S=
a và b là hai cạnh góc vuông
Diện tích tam giác đều:
S=
a là độ dài một cạnh

Tứ giác
Các loại tứ giác phổ biến:
Hình thang

Có một cặp cạnh đối diện song song với nhau

Hình bình hành

Các cặp cạnh đối diện song song với nhau
Các cặp góc đối diện bằng nhau

Hình chữ nhật

Là hình bình hành có các góc đều là góc vuông

Hình thoi

Là hình bình hành có tất cả các cạnh bằng nhau

Page 17 of 51


Hình vuông

Vừa là hình thoi, vừa là hình chữ nhật
Tất cả các cạnh bằng nhau
Tất cả các góc bằng nhau và bằng 90o

Diện tích hình chữ nhật:
S=a×b
a và b là độ dài 2 cạnh kề nhau (đối với hình vuông thì b = a  S =

)

Diện tích hình thang:
S=
a và b là độ dài 2 cạnh song song
h là chiều cao giữa hai cạnh song song đó
Diện tích hình bình hành:
S=a×h
a là độ dài một cạnh
h là chiều cao hạ từ cạnh song song xuống cạnh đó
Diện tích hình thoi:
S=
d1 và d2 là độ dài 2 đường chéo
Hình tròn



Chu vi đường tròn = 2π r
Diện tích hình tròn

Trong đó: r là bán kính hình tròn

Bài tập luyện tập:
1.
Nếu chu vi của một mảnh đất hình chữ nhật là 34 feet và diện tích
của nó là 60 feet vuông, chiều dài của cạnh dài là bao nhiêu?
(A)
5 ft
(B) 6 ft (C) 10 ft
(D) 12 ft
(E) 15 ft
Các câu hỏi về tính đầy đủ của dữ kiện:
X và Y là 2 cạnh của một tam giác vuông. Diện tích tam giác này

2.
có phải là một số nguyên?
1)

X là số nguyên tố
Page 18 of 51


2)
3.
1)
2)

Y là số nguyên lẻ
Chu vi của đường tròn O là bao nhiêu?
Đường tròn ngoại tiếp một hình vuông
Chu vi của hình vuông là 10

Dáp án:
1.

Nếu gọi 2 cạnh mảnh đất hình chữ nhật là a và b:
Chu vi = 2a + 2b = 34
Diện tích = a × b = 60
Giải hệ 2 phương trình 2 ẩn, ta được 2 nghiệm là 5 và 12. Vậy cạnh dài của hình chữ nhật là 12 feet,
đáp án đúng là (D)

2.

Ta đã biết công thức tính diện tích tam giác vuông S =

với

X và Y là 2 cạnh của tam giác vuông. Để S là số nguyên thì (X × Y) phải chia hết cho 2  hoặc X
hoặc Y, ít nhất 1 trong 2 số phải là số chẵn. Ngược lại, chỉ khi cả 2 số phải cùng lẻ thì (X × Y) mới
không chia hết cho 2 (tham khảo kiến thức phần Tính chẵn – lẻ)
Riêng dữ kiện 1: số nguyên tố có thể là chẵn (số 2) hoặc lẻ  chưa kết luận được gì
Riêng dữ kiện 2: ta biết được Y lẻ, nhưng X là chẵn hay lẻ vẫn chưa xác định  chưa kết luận được
gì.
Kết hợp 2 dữ kiện: ta vẫn chỉ chắc chắn được rằng Y lẻ, X vẫn chưa xác định  vẫn không thể kết
luận.
Vậy đáp án đúng là (E)
3.

Chỉ nhìn qua ta đã có thể thấy chỉ với riêng dữ kiện 1 hay 2 đều
không thể trả lời được câu hỏi. Kết hợp 2 dữ kiện lại: đường tròn ngoại tiếp hình vuông  đường
chéo của hình vuông chính là đường kính của đường tròn. Mà ta đã biết độ dài cạnh hình vuông 
có thể tính được đường chéo  tính được chu vi đường tròn
Vậy đáp án đúng là (C)

Page 19 of 51


Chap 1: Hệ phương trình căn bản
Bài thi GMAT thường yêu cầu thí sinh giải được 5 dạng hệ phương trình căn bản sau:
1) Phương trình bậc nhất một ẩn
3x + 5 = 26

2) Hệ phương trình bậc nhất với hai hoặc ba ẩn
hoặc
Phương pháp để giải hệ phương trình bậc nhất với hai hoặc ba ẩn như trên là phương pháp kết hợp. Bằng
cách kết hợp này, chúng ta sẽ cộng hoặc trừ các biểu thức khử bớt biến số.

3) Hệ phương trình dạng khuyết
(1)

(2) 6y + 10z = 18

Hệ phương trình dạng khuyết là hệ mà số ẩn phải tìm không tương ứng với số phương trình đã cho. Không
nên áp dụng các quy tắc đại số thông thường để giải bài toán dạng này. Các hệ phương trình dạng khuyết
đều có cách giải tùy trường hợp (không có phương pháp chung cố định).

4) Hệ phương trình dạng tổng hợp
Cho x =

Tìm 2x + y = ?

Với dạng hệ này chúng ta không phải đi tìm giá trị cụ thể của biến số x và y, mà phải biết biến đổi làm sao
cho biểu thức cần tìm về riêng một vế trong phương trình.

5) Phương trình chứa giá trị tuyệt đối
12 +

= 30

Giá trị tuyệt đối là một số mà giá trị của nó luôn là số dương (không âm). Nhưng nên lưu ý là biến số của
biểu thức nằm bên trong dấu ngoặc | | có thể là số âm hoặc số dương. Do vậy, phương trình có chứa giá trị
tuyệt đối thường có tới 2 đáp số. Ví dụ nếu |x| = 5 thì x có thể bằng 5 hoặc -5

Chap 2: Phương trình với số mũ
Có hai điều quan trọng cần nắm vững để giải các phương trình với số mũ trong bài thi GMAT đó là:
 Nắm rõ quy tắc số mũ và phần nghiệm
 Luôn luôn cảnh giác với các phương trình với số mũ chẵn vì dạng này thường ra 2 kết quả.
1) Phương trình với số mũ chẵn thì bài toán thường sẽ ra tới 02 kết quả (02 nghiệm)
Page 20 of 51


2) Phương trình với số mũ lẻ thì bài toán chỉ ra 01 kết quả (01 nghiệm)

3) Phương trình mũ
Tìm w biết
Để giải được phương trình mũ, chúng ta cần viết lại phần cơ số để sao cho 2 vế của phương trình mũ sẽ có
cùng cơ số với nhau rồi giải.

4) Phương trình với dấu căn
Tìm s biết
Phương pháp giải phương trình với dấu căn là bình phương cả hai vế để loại bỏ dấu căn.

Chap 3: Phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai là phương trình với 01 ẩn số với dạng ax²+by+c = 0
Đa số các phương trình bậc hai trong GMAT đều có thể chia được thành thừa số và hiếm khi phải dùng đến
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Dạng bị biến đổi (ngụy trang)
Trong bài thi GMAT rất hay sử dụng các phương trình bậc hai dạng đã bị biến đổi để ngụy trang, đánh lừa
thí sinh vì chúng không còn giống dạng truyền thống ax²+by+c = 0 nữa.
Ví dụ:

Dạng đảo
Chuyển (x + 7)(x – 3) về dạng phương trình bậc hai
Với những phương trình bậc 2 dạng đảo như trên, chúng ta sẽ nhân tất cả 4 thành phần trên lại, sau đó rút
gọn để trở thành phương trình bậc 2 dạng truyền thống ax²+by+c = 0

Phương trình bậc hai chỉ có 1 nghiệm
Không phải tất cả phương trình bậc 2 đều có 2 nghiệm, có những dạng chỉ có duy nhất 1 nghiệm:
Ví dụ:

Lưu ý! Khi mẫu số bằng 0 thì phương trình trở nên không xác định:
Ví dụ:

Page 21 of 51


Chap 4: Phương trình dạng công thức
Bài thi GMAT được đưa ra để thử thách khả năng của bạn với những biến số chưa xác định. Công thức là

một dạng hệ phương trình đặc biệt mà rất nhiều biến số cùng tham gia vào.
Có 4 kiểu Công thức chính mà bài thi GMAT hay ra:
1)
2)
3)
4)

Kiểu công thức cho ghép sẵn
Công thức với kí tự lạ
Công thức với các đại lượng chưa được xác định
Dãy công thức

Chap 5: Hàm số
1) Phép thế bằng số
Cho f(x) =

. Tìm giá trị của f(5)?

Đây là một dạng bài căn bản trong các bài liên quan đến hàm số. Chỉ việc thay thế số trực tiếp vào biến (x)
để tìm ra giá trị hàm số.

2) Phép thế bằng biến
Cho f(z) =

. Tìm giá trị f(w + 6)?

Dạng này phức tạp hơn. Thay vì tìm ra giá trị cụ thể của hàm số thì thí sinh sẽ phải tìm giá trị của hàm số
thông qua các biểu thức đại số.

3) Hàm hợp

4) Hàm số với hệ số chưa biết
Bạn sẽ được cho sẵn giá trị cụ thể của hàm số với tham số truyền vào cụ thể.

5) Đồ thị hàm số
Một hàm số có thể được miêu tả bằng một đồ thị hàm số trực quan bằng hình vẽ. Trong đó các giá trị nhập
vào (x) sẽ là trục hoành X, và giá trị kết quả của hàm số sẽ là giá trị (y) nằm trên trục tung (Y). Để vẽ được
đồ thị hàm số, chúng ta cần truyền vào nhiều giá trị x sau đó tính ra giá trị y và lập bảng giá trị rồi vẽ đồ thị.
Ví dụ với đồ thị hàm số: f(x) =

+1

Page 22 of 51


6) Các dạng hàm số thường gặp
Hàm tỷ lệ
6.1) Có hai dạng hàm số tỷ lệ thường gặp là:



Tỷ lệ thuận: hai lượng sẽ luôn luôn thay đổi bởi cùng một thừa số và cùng một hướng. Có thể biểu
diễn mối quan hệ này dưới dạng công thức y = k * x trong đó x là giá trị đầu vào, y là giá trị đầu ra
và k là hằng số đối xứng.
Tỷ lệ nghịch: hai lượng sẽ luôn luôn thay đổi bởi một thừa số nghịch đảo. Có thể biểu diễn mối quan
hệ này dưới dạng công thức y = , trong đó x là giá trị đầu vào, y là giá trị đầu ra và k là hằng số đối
xứng.

6.2) Hàm tuyến tính
Các lượng sẽ được xác định bởi hàm tuyến tính dạng y = mx + b. Trong đó, m là hằng số độ dốc của đường,
b là giá trị tại mốc thời gian 0, và biến x đại diện cho thời gian.

Chap 6: Bất đẳng thức
Bất đẳng thức thường được dùng để thể hiện 4 quan hệ sau
 X<4
 X 4
 X>4
 X 4
Rất nhiều các phép biến đổi, tính toán trong các bất phương trình đều giống với phương trình bình thường,
ví dụ: bạn có thể cộng hoặc trừ một hằng số vào cả hai vế.

Page 23 of 51


Hay cộng hoặc trừ một biến số vào cả hai vế:

Hoặc nhân hay chia một số dương vào cả hai vế:

Nhưng phải lưu ý, nó khác với phương trình bình thường ở chỗ: khi bạn nhân hay chia một hằng số mà là số
âm thì dấu của bất phương trình sẽ đảo chiều!
Ví dụ: Cho 4 – 3x < 10, tìm khoảng giá trị của x

Bất đẳng thức và giá trị tuyệt đối
Giá trị tuyệt đối có thể được thể hiện thông qua một đoạn thẳng đơn giản trên trục số:
Ví dụ: |x| = 5 được thể hiện như sau:

Bất đẳng thức bậc hai
Cũng giống với các hệ phương trình với số mũ chẵn, khi giải bất đẳng thức bậc 2 cũng cần phải xét đến hai
trường hợp.

Page 24 of 51

1: Khái quát về hệ thống số thực (The Real- Number System)
Số thập phân
Số nguyên
(Intergers)

(Fractions)

Số hữu tỉ

Số vô tỉ

(Rational numbers)

(Irrational
numbers)

Số thực
(Real numbers)



Những con số như 1,2,3… được gọi là số nguyên dương, đó là những con số thường được dùng
trong việc đếm.
Page 25 of 51