bài giảng kỹ thuật số ( điện)

Chương 1

Hệ thống số đếm

Chương 1

HỆ THỐNG SỐ ĐẾM
1.1 Hệ thống số :
Hệ thống số thường sử dụng là hệ thống số có vị trí. Trong một hệ thống như vậy
một số biểu diễn bằng một chuỗi các ký tự số (digit); Ở đó mỗi vị trí của ký tự số
sẽ có một trọng số nhất định.
Trọng số ở đây chính là cơ lũy thừa vị trí của ký tự số trong chuỗi.
Cơ số chính là số ký tự số được dùng để biểu diễn trong một hệ thống.
Các hệ thống số thường gặp là hệ thống số thập phân (Decimal system), hệ thống
số nhị phân (Binary system), hệ thống số bát phân (Octal system), hệ thống
số thập lục phân (Hexa-decimal) v.v…Giá trị thập phân của một số được tính theo
công thức sau :
n

G = ∑ C × At +
t

t =0

m

t′
C
∑ × At′

t ′ = −1

Trong đó :
- G : là giá trị.
- t : vị trí của ký tự số đứng trước dấu ngăn cách thập phân (0, 1, 2, 3, …).
- n : số ký tự số đứng trước dấu ngăn cách thập phân của số trừ đi 1.
- C : cơ số.
- A : ký tự số.
- t’ : vị trí của ký tự số đứng sau dấu ngăn cách thập phân ( -1, -2, -3, …).
- m : số ký tự số đứng sau dấu ngăn cách thập phân của1 số.
Trong các hệ thống số người ta thường quan tâm đến số có ý nghĩa cao nhất (số có
trọng số lớn nhất) ký hiệu là MSB (Most Significant Bit) và số có ý nghĩa thấp
nhất (số có trọng số nhỏ nhất) ký hiệu là LSB (Less Significant Bit)

Ví dụ :
Trang 1


Chương 1

MSD : Most Significant Digit

10010[2]
MSB

Hệ thống số đếm

LSB
LSD : Less Significant Digit

1998[10]

1.1.1.Hệ thống số đếm thập phân (Decimal) :
• Ký tự số : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Cơ số : 10
Vị trí

Ví dụ :
3 2

1 0

1 9

9 9[10] = 1.103 + 9.102 + 9.101 + 9.100
= 1000 + 900

0

-1

+ 90

+ 9

-2

1 , 2

5[10] = 1.100 + 2.10-1 + 5.10-2
= 1,00 + 0,2

+ 0,05

1.1.2. Hệ thống số nhị phân (Binary) :
• Ký tự số : 0, 1
• Cơ số : 2
Mỗi con số trong số nhị phân (0 hoặc 1) đưực gọi là một bit (viết tắt của binary
digit).
Các đơn vị khác :
Tên gọi

Viết tắt

Giá trị

Byte

B

8 bit

Kilo Byte

KB

1024 byte = 210 B

Mega Byte

MB

1024 KB = 2 20 B

Giga

GB

1024 MB = 230 B

Trang 2


Chương 1

Hệ thống số đếm

Vị trí

Ví dụ :

4 3

2 1 0

1 0 1 0 1[2] = 1.2 4 + 0.23 + 1.22 + 0.21 + 1.20
= 16 + 0

+ 4 + 0

+ 1 = 21[10]

(Số nhị phân trên có 5 bit)
1

0

-1 -2

1

1 , 1 0

-3
1 [2] = 1.21 + 1.20 + 1.2-1 + 0.2-2 + 1.2-3
= 2

+ 1

+ 0,5 + 0

+ 0,125 = 3,625[10]

(Số nhị phân trên có 5 bit)
Nhận xét : - Nếu bit cuối cùng là 0 ⇒ số nhị phân đó là số chẳn.
- Nếu bit cuối cùng là 1 ⇒ số nhị phân đó là số lẻ.
1.1.3. Hệ thống số bát phân (Octal) :
• Ký tự số : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• Cơ số : 8
Ví dụ : Vị trí

1

0

4

6[8] = 4.8 1 + 6.8 0 = 32 + 6 = 38[10]

0

-1

2 , 3

-2
7[ 8] = 2.80 + 3.8-1 + 7.8-2
= 2 + 3.0,125 + 7.0,02 = 2,515[10]

1.1.4. Hệ thống số thập lục phân (Hexa-decimal) :
• Ký tự số : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
• Cơ số : 16

Trang 3


Chương 1

Hệ thống số đếm

Ví dụ :

Vị trí
1
2

0
E[16] = 2.161 + 14.160 = 46[10]
3 2 1 0
-1
0

1

2

C , D[16] = 0.163 + 1.162 + 2.161 + 12.160 + 13.16-1
= 0

+ 256

+ 32

+

12

+ 0,0625

= 300,0625[10]
Ghi chú : Nếu số haxa-decimal bắt đầu bằng chữ thì khi viết phải thêm số 0 vào
trước (Vd : EF → 0EF).

1.2. Chuyển đổi cơ số :
1.2.1. Chuyển đổi cơ số nhị phân, bát phân, thập lục phân sang cơ số thập
phân:
Nguyên tắc : lấy mỗi số hạng trong chuỗi số nhân với cơ số lũy thừa vị trí của nó
sau đó lấy tổng tất cả ⇒ kết quả (các ví dụ trên).
1.2.2. Chuyển đổi cơ số từ nhị phân sang thập lục phân :
Nguyên tắc : Nhóm từ phải qua trái đủ bốn số (bốn bit); nhóm cuối cùng nếu thiếu
thì ta cứ thêm các số 0 vào. Thay thế các nhóm 4 bit thành các mã thập lục phân
tương ứng.
Ví dụ :
0010 1101[2] = 2D[16]
2
D

1100 1010 1111 1110 1101 1010[2] = 0CAFEDA[16]
C
A
F
E
D
A

Trang 4


Chương 1

Hệ thống số đếm

Bảng mã thập lục phân :

Thập phân

Nhị phân

Thập lục phân

0

0000

0

1

0001

1

2

0010

2

3

0011

3

4

0100

4

5

0101

5

6

0110

6

7

0111

7

8

1000

8

9

1001

9

10

1010

A

11

1011

B

12

1100

C

13

1101

D

14

1110

E

15

1111

F

1.2.3. Chuyển đổi cơ số từ nhị phân sang bát phân :
Nguyên tắc : Nhóm từ phải qua trái đủ ba số (ba bit); nhóm cuối cùng nếu thiếu
thì ta cứ thêm các số 0 vào. Thay thế các nhóm ba bit thành các mã thập lục phân
tương ứng.

Trang 5


Chương 1

Hệ thống số đếm

Ví dụ :
100 111 010[2] = 472[8]
4 7
2

001 000[2] = 10[8]

1
0

1.2.4. Chuyển đổi cơ số từ bát phân sang nhị phân :
Nguyên tắc : Thay thế một ký tự số bằng một số nhị phân ba bit tương ứng theo
bảng sau.
0

Bát phân

Nhị phân 000

1

2

3

4

5

6

7

001

010

011

100

101

110

111

Ví dụ :
3
011

5[8] = 11100101[2] 1

4
100

101

001

3

7[8] = 1011111[2]
011

111

1.2.5. Chuyển đổi cơ số từ thập lục phân sang nhị phân :
Nguyên tắc : Thay thế một ký tự số bằng một số nhị phân bốn bit tương ứng.
Ví dụ :
2 F E

(H)

= 1011111110[2]

0010 1111 1110
1.2.6. Chuyển đổi cơ số thập phân sang cơ số nhị phân, bát phân, thập lục
phân :
Chia làm hai phần : phần nguyên (phần N) và phần thập phân (phần L).
* Phần nguyên N :
- Lấy N chia cho cơ số (2 hoặc 8 hoặc 16), thương số là N0, số dư là n0.
- Lấy N0 chia cho cơ số (2 hoặc 8 hoặc 16), thương số là N1, số dư là n1.
- Lấy N1 chia cho cơ số (2 hoặc 8 hoặc 16), thương số là N2, số dư là n2.
.....
Trang 6


Chương 1

Hệ thống số đếm

- Tiếp tục chia cho đến khi thương số Ni = 0, số dư là ni .Khi đó số N biểu diễn
dạng nhị phân là :
N[2] = ni ni-1 … n2 n1 n0

(Các số dư được lấy theo thứ tự từ dưới lên)

Ví dụ 1 :
64[10] = ?[2]

35[10] = ?[2]

35 2
64 2
1 17 2
0 32 2
0 16 2
1 8 2
0 8 2
0 4 2
0 4 2
0 2 2
0 2 2
0 1 2
0 1 2
1
0
1 0
= 1000000[2]
= 100011[2]
Ví du ï2 :

Trang 7


Chương 1

16

=

1997[10]

423[10]

16

Hệ thống số đếm

= 1A7[16]

7CD[16]

13

124 16

7

12 7

26 16

16

7

10 1

0

1

16
0

Ví dụ 3 :
266[10] 8

= 412[8] 1999[10] 8

=
3717[8]

2

33 8
1

7

4 8

249 8
1 31 8

4 0

7

3

8

3

0

* Phần thập phân L :
- Lấy phần L nhân cơ số thành là L’ có phần nguyên là d1, phần thập phân là
L 1.
- Lấy phần L1 nhân cơ số thành là L1’ có phần nguyên là d2, phần thập phân
là L2.
- Lấy phần L2 nhân cơ số thành là L2’ có phần nguyên là d3, phần thập phân
là L3.
......
- Tiếp tục cho đến khi phần thập phân của tích số bằng 0 hay đạt được số lẻ
cần thiết.

Khi đó phần lẻ sẽ là :
L[2] = d1 d2 d3 d4 … dk
Trang 8


Chương 1

Ví dụ 1 :

Hệ thống số đếm

L[10] = 0.6875 ⇒ L[2]

_ 0.6875 x 2 = 1.3750 (L’)

⇒ d1 = 1; L1 = 0.3750

_ 0.3750 x 2 = 0.750 (L1’)

⇒ d2 = 0; L2 = 0.750

_ 0.750 x 2 = 1.50 (L2’)

⇒ d3 = 1; L3 = 0.50

_ 0.50 x 2 = 1.0 (L3’)

⇒ d4 = 1; L4 = 0

⇒ L[2] = 0.1011

Ví dụ 2 :

L[10] = 0.6875 ⇒ L[8]

_ 0.6875 x 8 = 5.5 (L’)

⇒ d1 = 5; L1 = 0.5

⇒ d2 = 4; L2 = 0

_ 0.5 x 8 = 4.0(L1’)
⇒ L[8] = 0.54

Ví dụ 3 :

L[10] = 0.6875 ⇒ L[16]
_ 0.6875 x 16 = 11 (L’) ⇒ d1 = B; L1 = 0
⇒ L[16] = 0.B

1.2.3. Các phép toán nhị phân :
Cũng như số học thập phân, số học nhị phân cũng có bốn phép tính cơ bản là
: Cộng (+), Trừ (-), Nhân (*), Chia (/) .
1.2.3.1. Phép toán cộng :

Trang 9


Chương 1

Nguyên tắc :

Hệ thống số đếm

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 0 nhớ 1 (carry)

Ví dụ :
100110
+ 001
100111
1.2.3.2. Phép toán trừ :

Nguyên tắc :

1010110
+ 1000101

1001010
+ 1010010

10011011

10011100

0–0=0
0 – 1 = 1 mượn 1 (borrow)
1–0=1
1 –1 = 0

Ví dụ :
1111
- 0110
1001

1000
- 0011

0101

1.2.3.3. Phép toán nhân :
Nguyên tắc :

0 x 0 = 0
0 x 1 = 0
1 x 0 = 0
1 x 1 = 1

Trang 10


Chương 1

Hệ thống số đếm

Ví dụ :

10001
x1000
10001000

1010
x101
1010
0000
1010
110010
1.2.3.4. Phép toán chia :

Ví dụ :
1
0

101000 [2] / 11 = ?; 1010[2] / 101 = ?; 111111[2] / 110 = ?
0
1
0
0 0
11
1
1
1101
1
0
0
- 1
1
0
0
1
0
Thương số
- 0
0
1
0 0
- 1 1
0
0 1

Số dư

1010 101
- 101 10
00

111111 110
- 110000 1010
001110
- 1100
11

Thông thường để tính toán không bị nhằm lẫn ta có thể chuyển sang số thập
phân tính toán ,sau đó chuyển kết quả sang số nhị phân.Tuy nhiên trong kỹ
thuật điện tử cũng như trong máy tính việc tính toán này hoàn toàn được thực
hiện rất đơn giản ta không cần phải chuyển đổi.
Ví dụ:1000[2] (8) – 0011[2] (3) = 0101[2] (5)
1.3. Mã nhị phân :

Trang 11


Chương 1

Hệ thống số đếm

Mã nhị phân là một mã sử dụng hệ thống nhị phân và được sắp xếp theo một
cấu trúc nào đó.
Trong các máy tính hoặc các mạch số luôn làm việc ở hệ thống nhị phân; Các
thiết bị xuất hay nhập ( hiển thị) thường làm việc ở hệ thống thập phân .Vì thế

các giá trị thập phân phải được mã hóa bằng các giá trị nhị phân.
1.3.1. Mã BCD (Binary Coded Decimal) :
Mã số BCD là số thập phân mã hóa theo nhị phân. Mã số này dùng nhóm bốn
bit để biểu thị số thập phân từ 0 đến 9.
Ví dụ :
1 2

0

(D)

1 9 9 9 (D)

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0(BCD) 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1(BCD)
Lưu ý: Mã BCD chỉ có giá trị từ 0 cho đến 9 nên khi ta chuyển đổi từ
mã BCD sang giá trị thập phân cần chú ý trường hợp cấm ( không tồn tại mã
BCD).
Ví dụ :
0010 1000 0111

2

8

0101 1100 0101

7

5

(cấm) 5

1.3.2. Mã quá 3 :
Mã quá 3 (thừa 3, dư 3) là mã có được khi tăng 3 đơn vị từ Binary.Tức là
cộng thêm 011[2].
Ví dụ :
(Quaù3)

* 0101  →1000

Trang 12


Chương 1

Hệ thống số đếm

1.3.3. Mã quá 6 :
(Quaù3)

* 1001  →1100

Mã quá 6 (thừa 6, dư 6) là mã có được khi tăng 6 đơn vị từ Binary.Tức
cộng thêm 0110[2]
Ví dụ:
(Quaù 6)

* 0101  →1011

1.3.4. Mã Gray (mã vòng) :

Mã Gray hay còn gọi là mã vòng suy ra từ mã nhị phân. Giả sử cho mã nhị
nhị phân có bốn bit B3 B2 B1 B0, mã Gray tương ứng là G3 G2 G1 G0 thì có thể
tính theo công thức sau :
G i = B i+1 + B i

Để đơn giản khi đổi từ nhị phân sang Gray ,ta căn cứ từ số nhị phân theo qui
luật sau : sau bit 0 thì giữ nguyên, sau bit 1 thì đổi 1 thành 0 và 0 thành 1
Ví dụ :
(Gray)

* 0100  
→ 0110

1.3.5. Mã ký tự (alphanumeric) :
Là mã biểu diễn các ký tự (vd: ký tự bàn phím).
Mã ASCII : là mã mà hầu hết các máy tính đều dùng (Mã chuẩn của Mỹ
American Standard Code for Information Interchange). Mỗi ký tự (chữ cái,
chữ số , dấu, ký hiệu đặt biệt …) tương ứng với một mã 8 bit (là dãy liên tiếp
các chữ số 0 và 1)
Ví dụ :
Trang 13


Chương 1

Hệ thống số đếm

Ký tự

Mã ASCII

Ký tự

Mã ASCII

.....

.....

.....

.....

0

00110000

A

01000001

1

00110001

B

01000010

2

00110010

Y

01011001

3

00110011

Z

01011010

4

00110100

.....

.....

5

00110101

a

01100001

6

00110100

b

01100010

.....

.....

.....

.....

Bộ mã ASCII có 128 ký hiệu được mã hóa :
- 26 chữ cái Latin in hoa : A → Z.
- 26 chữ cái Latin in thường : a → z.
- 10 chữ số thập phân.
- Các ký tự toán học thông thường : +, -, *, / =, >, <, …
- Các dấu chính tả : ?, ., “, :, …
- Một số ký tự điều khiển.
Bảng mã ASCII mở rộng có 256 ký tự được mã hóa. Mỗi nước có một bảng
mã riêng, gồm 128 ký tự đầu giống bảng mã ASCII, từ mã thứ 128 trở đi được
cài các ký tự đặt biệt của nước mình.
Ví dụ:mã ASCII của GOTO 25 như sau:
G

1000111

O

1001111

T

1010100

O

1001111
Trang 14


Chương 1

Hệ thống số đếm

Khoảng trắng 0100000
2

0110010

5

0110101

1.3.6.Bảng của một số mã :

Thập phân Nhị phân

Mã BCD

Mã quá 3

Mã quá 6

Mã Gray

0

0000

0000

0011

0110

0000

1

0001

0001

0100

0111

0001

2

0010

0010

0101

1000

0011

3

0011

00 11

0110

1001

0010

4

0100

0100

0111

1010

0110

5

0101

0101

1000

1011

0111

6

0110

0110

1001

1100

0101

7

0111

0111

1010

1101

0100

8

1000

1000

1011

1110

1100

9

1001

1001

1100

1111

1101

10

1010

“

1101

0000

1111

11

1011

“

1110

0001

1110

12

1100

“

1111

0010

1010

13

1101

“

0000

0011

1011

14

1110

“

0001

0100

1001

15

1111

“

0010

0101

1000

1.4. Số có dấu _ Bù 1 _ Bù 2 :
1.4.1. Số có dấu (signed number) :

Trang 15


Chương 1

Hệ thống số đếm

Khi biểu diễn số có dấu thông thường sử dụng thêm 1 bit gọi là bit dấu
(thường đặt ở vị trí số có trọng số cao nhất MSB) : bit này là không (0) để chỉ
số dương;bit này là một (1) để chỉ số âm.
Ví dụ :

1. 0101 = - 5
Bit dấu

0. 0101 = + 5

1.4.2. Số bù 1
Số bù 1 được định nghĩa cho một số N có n số sẽ bằng : r n -1 – N (với r là cơ
số).
1.4.2.1. Hệ thống số nhị phân (bù 1) :
Cho số N = 1010 [2] (r = 2; n = 4)

rn = 2 4 = 10000.

rn – 1 - N = 10000 – 1 – 1010 = 1111 – 1010 = 0101.
Buø1)
1010(
→0101

Lưu ý : Ta có thể tìm bù 1 của một số nhị phân đơn giản bằng cách thay 0 à
1; 1 à 0.
1.4.2.2. Hệ thống số bát phân (bù 7) :
Cho số N = 234 [8] (r = 8; n = 3)

rn = 8 3 = 512=1000[8]

à rn – 1 - N = 1000 – 1 – 234 = 543[8]=355
Buø7)
234 (
→ 355

1.4.2.3. Hệ thống số thập phân (bù 9) :
Cho số N = 15249[10] (r = 10; n = 5)
Trang 16

rn = 10 5 = 100000.


Chng 1

H thng s m

rn 1 - N = 100000 1 15249 = 99999 15249 = 84750.

Buứ9)
15249 (
84750

1.4.2.4. H thng s thp lc phõn (bự 15) :
Cho s N = 45[16] (r = 16; n = 2)

rn = 16 2 = 256=100[16]

rn 1 - N = 100 1 45 = 0FF 45 = 0BA[16]=186
Buứ15)
45 (

186

1.4.3. S bự 2:
S bự 2 c nh ngha cho mt s N cú n s s bng : r n N (vi r l c
s). T nh ngha trờn ta cú s bự 2 chớnh l s bự 1 cng 1.
Vớ d :
1)
2)
* Nhũ phaõn : 1010 [2] (Buứ

0101 (Buứ

0110
7)
8)
* Baựt phaõn : 234 [8] (Buứ

355 (Buứ

356

9)
10)
* Thaọp phaõn : 15249 [10] (Buứ

84750 (Buứ

84751

15)
16)
* Thaọp luùc phaõn : 45[16] (Buứ

186 (Buứ

187

Trang 17


Chương 1

Hệ thống số đếm

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1.Chuyển đổi từ số Binary sang Decimal
a.10110

b.10001101

c.100100001001

d.1111010111

e.10111111

f.101010101010

2. Chuyển đổi từ số Decimal sang Binary
a.37

b.14

c.189

d.205

e.2313

3.Một số nhị phân 8 bit có giá trị thập phân tương ứng lớn nhất là bao nhiêu?
4.Chuyển đổi từ số Octal sang decimal
a.743

b.36

c.3777

d.257

e.1204

5. Chuyển đổi từ số Decimal sang Octal
a.59

b.372

c.919

d.65536

e.255

6. Chuyển đổi sang số Binary các số từ bài 2 đến bài 4
7.Chuyển đổi từ số Hex sang Decimal
a.92

b.1A6

c.37FD

d.2CO

8.Chuyển đổi từ Decimal sang Hex
a.75

b.314

c.2048

d.25619

9.Mã hóa những số decimal sau sang mã BCD
a.47

b.962

c.187

d.1204

10.Chuyển đổi từ mã BCD sang Decimal
a.1001011101010010

b.000110000100

c.0111011101110101

d.010010010010

11.Dịch sang mã ASCII các ký tự sau: CDDTK5=2005

Trang 18

e.7FF


Chương 2

Đại số Boole và cổng Logic

Chương 2

ĐẠI SỐ BOOLE VÀ CỔNG LOGIC
2.1. Đại số Boole :
2.1.1. Định nghĩa :

Đại số Boole (hay còn gọi là đại số logic do George Boole, nhà toán học
người Anh, sáng tạo vào thế kỷ XIX) là một cấu trúc đại số được xây dựng
trên tập các phần tử nhị phân (Binary) cùng với 2 phép toán cộng và nhân
thỏa các điều kiện sau :
a) Kín với các phép toán cộng (+) và nhân (*).Tức là ∀ A,B €X thì:
A+B €X và A.B €X.
b) i- Đối với phép cộng sẽ có phần tử trung hòa 0 (đồng nhất) : x + 0 =
x.
ii- Đối với phép toán nhân sẽ có phần tử trung hòa 1 ( đồng nhất) : x
* 1 = x.
c) Giao hoán :
i- x + y = y + x.
ii- x . y = y . x.
d) Phân bố và kết hợp :
i- a . (b + c) = (a . b) + (a . c)
ii- a + (b . c) = (a + b) .(a + c)
e) Luôn luôn tồn tại một phần tử nghịch (bù) sao cho :
i- x + x = 1
ii- x. x = 0

Trang 19


Chương 2

Đại số Boole và cổng Logic

+ Ghi chú: Trong chương này và các chương sau các ký hiệu 0 và 1 là
ký hiệu cho 2 mức Logic 0 và 1 chứ không phải là ký hiệu của số nhị
phân.Do đó các phép toán phải tuân thủ theo nguyên tắt riêng của nó.

2.1.2. Các phép toán (gồm có ba phép toán cơ bản) :
a) Phép cộng (OR) :

a

b

a+b

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

a

b

a.b

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

b) Phép nhân (AND) :

c) Phép bù (NOT) :

a

a

0

1

1

0

2.1.3. Các công thức và định lý :
Trang 20


Chương 2

Đại số Boole và cổng Logic

a) Quan hệ giữa các hằng số :
Những quan hệ dưới đây giữa hai hằng số ( 0, 1) làm tiên đề của đại số Boole.
Đó là các quy tắc phép toán cơ bản đối với tư duy logic.

Công thức 1-1:

0 . 0= 0

Công thức 1-2

1 + 1= 1

Công thức 2-1:

0 . 1= 0

Công thức 2-2:

1+ 0 = 1

Công thức 3-1:

0+ 0= 0

Công thức 3-2:

1. 1= 1

Công thức 4-1:

0 =1

Công thức 4-2:

1=0

b) Quan hệ giữa biến số và hằng số :
Công thức 5-1:

x . 1= x

Công thức 5-2:

x+0=x

Công thức 6-1:

x.0= 0

Công thức 6-2:

x + 1= 1

Công thức 7-1:

x.x = 0

Công thức 7-2:

x + .x = 1

Biến số ở đây đặt là x, hai hằng số Logic là 0 và 1.
c) Luật giao hoán :
Công thức 8-1:

x + y = y+ x

Công thức 8-2:

x . y = y. x

d) Luật kết hợp :
Công thức 9-1:

(x . y).z = x.(y. z)

Công thức 9-2:

(x + y) + z = x + (y+ z)

Công thức 10-1:

x . (y + z) = x.y+x.z

Công thức 10-2:

x + y . z = (x+y) . (x +z)
Trang 21


Chương 2

Đại số Boole và cổng Logic

e) Luật phân phối :
Công thức 11-1:

x+x =x

Công thức 11-2:

x.x =x

f) Luật đồng nhất :
Công thức 12:
x=x
g) Định lý De_Morgan :
Công thức 13-1:

x + y = x. y

Công thức 13-2:

x. y = x + y

h) Định lý hấp thu :
Công thức 14-1:

x + x.y = x

Công thức 14-2:

x . (x+y) = x

Công thức 15:

x+ x .y=x+y

2.1.4. Chứng minh các công thức :
Mệnh đề đối ngẫu:
Trong cấu trúc đại số Boole ,một mệnh đề được gọi là đối ngẫu với mệnh đề
khác nếu ta thay thế 0 thành 1 và 1 thành 0,dấu cộng (+) thành dấu nhân(.) và
ngược lại.
Khi đã chứng minh một mệnh đề là đúng thì mệnh đề đối ngẫu của nó cũng
đúng.
VD: 2 mệnh đề A+1=1 và
A.0 = 0 là 2 mệnh đề đối ngẫu.
Phương pháp chứng minh các công thức trên là lập bảng tất cả các giá trị có
thể có của các biến và tính tương ứng với vế phải, vế trái riêng rẽ. Nếu đẳng
thức tồn tại với tất cả các giá trị thì công thức đúng. Sau đây sẽ là ví dụ :

Trang 22


Chương 2

Đại số Boole và cổng Logic

Ví dụ 1 : Chứng minh công thức 10-2 x + y . z = (x + y) . (x + z).
x

y

z

y.z

x+y.z

x+y

x + z (x + y) . (x + z)

(Vế trái)

(Vế phải)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Tất cả các giá trị của ba biến x, y, z tạo thành 8 tổ hợp. Giá trị của vế trái x +
y . z trùng với giá trị của vế phải (x + y).(x + z). Suy ra ta có x + y . z = (x +
y).(x + z). Vậy công thức 10-2 đã được chứng minh.
Công thức 13-1:

x + y = x. y

Công thức 13-2:

x. y = x + y

Ví dụ 2 : Chứng minh định lý De_Morgan
Giải :
* Công thức 13-1:
x

y

x.y

x. y

x

y

x+y

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

Trang 23


Chương 2

Đại số Boole và cổng Logic

* Công thức 13-2 :
x

y

x+y

x+ y

x

y

x. y

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

Lý luận như ví dụ 1 suy ra định lý De_Morgan đã được chứng minh.
Tương tự như vậy ta có thể chứng minh tất cả các công thức trên bằng phương
pháp này hoặc dùng công thức này suy ra công thức kia.
2.1.5. Ba quy tắc về đẳng thức :
a) Quy tắc thay thế :
Trong bất kỳ đẳng thức nào, nếu thay thế một biến nào đó bằng một hàm số
(nhiều biến) thì đẳng thức vẫn thiết lập.
Quy tắc này được ứng dụng rất nhiều trong việc biến đổi các công thức đã
biết để cho ra một công thức mới hay để rút gọn một hàm Boole nào đó.
Ví dụ :
Cho một hàm Boole F1 = (A + B) . C
Vì : x= x
Thay thế (A + B) . C = x ta có
(A + B).C= (A + B).C

b) Quy tắc tìm đảo của một hàm số :

Trang 24


Chương 2

Đại số Boole và cổng Logic

Z là đảo của hàm số Z sẽ có bằng cách đổi dấu “.” thành dấu “+”; “+”
thành dấu “.”; “0” thành “1”; “1” thành “0”; biến số thành đảo của biến số đó;
đảo biến số thành nguyên biến số.

c) Quy tắc đối ngẫu :

Hàm Z và Z’ được gọi là đối ngẫu khi các dấu cộng “+” và dấu “.” ; các
giá trị “0” và “1” đổi chỗ cho nhau một cách tương ứng.

Ví dụ :
Z=(A+B).C thì hàm Y=A.B+C là đối ngẫu của Z
2.2. Hàm Boole :
Một biến nhị phân (x, y, z, …) có thể lấy giá trị 0 hoặc 1. Hàm Boole là một
biểu thức tạo bởi các biến nhị phân, các phép toán cộng “+”; nhân “.”; phép
bù (đảo); các dấu bằng “=”; dấu ngoặc “( )”.
Một hàm Boole có thể được biểu diễn bằng các phương pháp khác nhau tùy
theo đặc điểm của từng hàm. Thường dùng bốn phương pháp. Đó là:
2.2.1.Bảng giá trị (hay còn gọi là bảng sự thật,bảng chân lý-Truth table)
Bảng giá trị là bảng miêu tả quan hệ giữa các giá trị của hàm số tương
ứng với mọi giá trị có thể có của các biến số.
Khi lập bảng ta cho biến số giá trị 0 và 1 để tạo thành các tổ hợp biến (không
trùng nhau) rồi tính giá trị hàm. Đặc điểm của phương pháp này tương đối rõ
ràng, trực quan nhưng sẽ rắc rối nếu biến số nhiều, không áp dụng được các
công thức và định lý logic để tính toán.

Trang 25