Tài liệu ôn thi váo lớp 10 chuyên Toán

TRƯỜNG THPT THÀNH PHỐ CAO LÃNH

TÀI LIỆU
ÔN THI VÀO CÁC LỚP CHUYÊN

MÔN TOÁN

Giáo viên biên soạn và giảng dạy :

Huỳnh Chí Hào


Chuyên đề 1:

ĐA THỨC

I. Đa thức : (Đa thức một biến)
1. Đònh nghóa: Đa thức bậc n theo x (n∈  ) là biểu thức có0 dạng
P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a

với an ≠ 0

Các số a0 ,a1,...,an gọi là các hệ số , n gọi là bậc của đa thức P(x)
P(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 4 là đa thức bậc ba.

Ví dụ:

2. Đa thức đồng nhất:
a) Đa thức đồng nhất:
Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất là những đa thức luôn luôn có cùng giá trò với bất cứ giá trò
nào của biến số.

•

Nếu P(x)
 và Q(x) là hai đa thức đồng nhất ta ký
 hiệu : P(x) ≡ Q(x)
P(x) ≡ Q(x) ⇔ ∀x ∈  : P(x) = Q(x)

b) Đa thức đồng nhất không:
Đònh nghóa : Đa thức đồng nhất không là những đa thức luôn luôn bằng 0 với bất cứ giá trò
nào của biến số
•

Nếu P(x) đa thức đồng nhất không ta ký hiệu : P(x) ≡ 0
an = 0

[P(x) ≡ 0] ⇔ [∀x ∈  : P(x) = 0]

an−1 = 0
.
.
.

Hệ quả:

P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 ≡ 0 ⇔ 

Ví dụ: Tìm các hằng số A, B, C sao cho 3x2 + 3x + 3 = A ( x + 2) + B( x −1) ( x + 2) + C ( x −1)


với mọi x

a0 = 0

2

Ví dụ: Tìm các hệ số a, b để đa thức P(x) = x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b là bình phương của một đa thức


Bài giải:
Giả sử

x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b = (x2 + mx + n)
2

⇒ x + 2x + ax + 2x + b = x
4

3

2

+ m x + n + 2mx + 2nx + 2mnx
4

2 2

2

3

2

với mọi x
với mọi x
với mọi x

⇒ (2m − 2) x3 + (m2 + 2n − a) x2 + (2mn − 2) x + n2 − b = 0

m2 + 2n − a = 0
Áp dụng định lý về đa thức đồng nhất khơng ta được:
2m − 2 = 0

n2 − b = 0


2mn − 2 = 0

Giải hệ ta được: 
. Vậykhi a = 3; b = 1 thì x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x2 + x + 1)
 = 1
m
b
n ==11

2

a=3


 



3. Nghiệm của đa thức:
• Nếu khi x = a đa thức P(x) có giá trò bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của P(x)
đn

a là một nghiệm của P(x) ⇔ P(a) = 0
Ví dụ: Cho phương trình 2x4 − 5x3 + 6x2 − 5x + 2 = 0
(1)
Chứng minh rằng x = 1 là nghiệm của phương trình (1)
4. Phép chia đa thức:
Đònh lý: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) khác không. Tồn tại duy nhất đa thức h(x) và r(x) sao cho
P(x) = Q(x).h(x) + r(x)
Trong đó r(x) = 0 hoặc r(x) ≠ 0 và bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)
Đa thức Q(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư của phép chia P(x) cho Q(x)
Ví du 1ï: Tìm thương và dư của phép chia đa thức P(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 4 cho đa thức x −1
x2 − 1
4
3
2
Ví dụ 2: Cho đa thức P(x) = x − 3x + bx + ax + b và Q(x) = x2 − 1
Tìm a, b để f(x) chia hết cho g(x).
Từ (2) và (3) ta suy ra được a = 3; b = −
Bài giải:

.

Vì P(x)Q(x) nên ta có thể giả sử rằng P(x) =

(

).Q(x) (1) với mọi x

Thay x = 1 vào hai vế của (1) ta được: P(1) = 1 − 3 + b + a + b = 0 ⇒ a + 2b = 2
(2)
Thay x = −1 vào hai vế của (1) ta được: P(−1) = 1 + 3 + b − a + b = 0 ⇒ −a + 2b = −4 (3)
1
2


5. Đònh lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783)
Đònh lý BEZOUT:
Đònh lý: Trong phép chia P(x) cho (x - a) thì số dư là R = P(a)

Chứng minh:
Chia đa thức P(x) cho (x - a), giả sử được thương là Q(x) và dư là hằng số R. Ta có:
P(x) = (x − a).Q(x) + R với mọi x
Do đó với
= a :thì P(a) = 0.Q(a) + R ⇒ R = P(a)
(đpcm)
Hệxquả





 P(x) chia hết cho (x − a) ⇔ P(a) = 0
Hệ
 quả: Đa
 thức P(x) có nghiệm là a khi và chỉ khi P(x) (x-a)



P(a) = 0  ⇔ P(x) = (x − a).Q(x), trong đó Q(x) là một đa thức
Ví dụ: Cho P(x) = x + x3 + x9 + x27 + x81 + x243
Tìm dư của phép chia P(x) cho x −1
6. Sơ đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837)
Để tính các hệ số của đa thức thương và dư của phép chia đa thức
P(x) = anxn + an−1xn−1 + ... + a1x + a0 cho (x - a) ta có thể dùng sơ đồ HOOCNE sau đây

Trong đó:
bn = an
bn−1 = a.bn + an−1
bn−2 = a.bn−2 + an−2
.
.
.
b0 = a.b1 + a0
• P(x) = (x − a).Q(x) + r
Khi đó:
• Thương là : Q(x) = bnxn−1 + bn−1xn−2 + ...
• Dư là

+ b1

: r = b0

Ví dụ 1: Tìm thương và dư của phép chia đa thức P(x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 4 cho đa thức x −1

Vớ d 2: Tỡm thửụng vaứ dử cuỷa pheựp chia ủa thửực P(x) = 2x4 3x2 + 4x 5 cho ủa thửực x + 1


7. Phân tích đa thức ra thừa số
Định lý: Giả sử đa thức P(x) = anxn + an−1xn−1 + ...
thì
P(x) = an (x − x1)(x − x2 )...

+ a1x + a0(an ≠ 0) có n nghiệm là x1, x2,..., xn

(x − x )
n

Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x3 + 9x2 + 11x − 21 thành nhân tử
x3 − 4x2 − x + 4
Ví dụ: Rút gọn phân thức A = x3 − 7x2 +14x − 8
--------------------------Hết--------------------------


Chuyên đề 2:

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VÀ PHÂN THỨC

I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng :
1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
b)23 == aa23 −+ 2ab
3a b+ +b23ab2 + b3 → a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
− b)
2. (a

(a +
3a −
b+
3. (a
a2 −− bb)2 3==(aa3+−b)(a
b)3ab2 − b3
2
4.
2
5.
3
3
6. a + b = (a + b)(a2 − ab + b2 )
7. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )
+ 2ab
8. (a + b ++c)
c)32 ==aa3 2++b3b+2 +c3c+2 3a
2ac
2bc
9)
b ++3ab
2 ++3a
c + 3ac2 + 3b c + 3bc2 + 6abc
2

2

2

= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)

10) a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc =
+ b++a c =b0+thì
+ b) 3 + c3 = 3abc
11) aHệ
n − quả
bn =: (aNế
− b)(a
... +ab3 n−1
u a n−1

1
(a + b + c) (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 
2

n−2

1) A =
+
−
4x − 2thức4x
Ví dụ 1: Rút gọn các phân
sau+2
4x − ( x − 3)
x2 − 9
2x +1 1− 2x
2
9 (x2 −1 )
2 (2x
1− +4x32) − x

2

(2x − 3) − x2
4x2 − ( x + 3)

2

2) B =

−

+

2

2

2

Ví dụ 2: 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 − 6x +1
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B = −x2 − y2 + xy + 2x + 2y
Phương pháp:
Để tìm GTLN của biểu thức A (phụ thuộc vào một hay nhiều biến) ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Chứng minh : A ≤ hằng số M
Bước 2: Chỉ ra các biến để A = M
Bước 3: Kết luận GTLN của A là M.
Để tìm GTNN của biểu thức A (phụ thuộc vào một hay nhiều biến) ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Chứng minh : A ≥ hằng số m
Bước 2: Chỉ ra các biến để A = m

Bước 3: Kết luận GTNN của A là m


Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c
II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
2x
2
2 2 4x
3x x 1 +− −
−
3x + x 1= 3
 :+

3x
+
−  x + 1
1) Rút gọn M thành một phân thức
2) Với giá trị nào của x thì M < 0
3) Tìm x ∈  để 1
M ∈

Bài 1: Cho M

Bài giải:


x≠0

1) Điều kiện của biến là: x + 1 ≠ 0 ⇔ x
 ≠ −1



2 4x 0 1 −
≠

x ≠


2
Khi đó:
2x
2
2 2 4x
3x x 1 +− −
−
M
3x + x 1= 3
 :+

3x
+
−  x + 1
)( ) ( ) 2x 2 x 1 6x 9x x 1 2 4x − 3x x 1+ + +
= (
:
− − −3x
+ (x + 1)
x+1
3x
22 2

8x 2
4x 3x x 1−−
−
=
−
:+
3x (x + 1) x + 1
3x
x ≠ 0

)( ) 22 1 2x 1 2x
x 1 3x x 1+ −
−
.
+
−
+
3x (x + 1)
2(1 − 2x)
3x
21
2x 3x x 1+ −
+ −
=
3x
3x
2
x
1x x− −
=

=
3x
3
2) Ta có: M < 0 ⇔ x − 1 < 0 ⇔ x < 1
x < 1

 x 0≠
Kết hợp với điều kiện của biến ta có kết quả: x 1 ≠ −

 1x
 ≠ 2
3
3) Ta có: 1
M
x 1= −
Để 1
M ∈  khi x ∈  thì ta phải có:
x − 1 = 1
x = 2


x 0x 1
1

  =−
x 1− là ước của 3 ⇔  = −
⇔ 
x − 1 = 3
x = 4



x 2x 1
3  = −−


=−
Đối chiếu với điều kiện của x ta có đáp số là: x = −2; x = 2; x = 4
=

(

−


Bài 3: Cho biểu thức P = 
3x +
 x+

9x − 3
x−2

+

1
x−1

+

1
x +2

− 2 :

1
 x−1

Bài
ải: của biến là : 
Điềugikiện
x
 ≥0
Đặt:

x = a với  x ≠ 1

a ≥ 0
P =. 
Khi đó:
a ≠ 1 

+

+

− 2 : 2

3a22 ++ 3a
3 + a + 21 + a − 1 1− 2(a2 +
3a
 a − 12

−3
3a −
(aa −− 1)(a
 a2 + a − 2
+2
 a −1
1 +a2)
a + 3a + 2
1
=
=
Vậy: P = (

x + 1)

1
a −1
2

2

(a − 1)(a + 2)
= (a + 2)(a + 1)
(a − 1)(a + 2)
2

:

.(a2 − 1) = (a + 1)
:

a2 − 1
2


BÀI TẬP TƯƠNG TỰ TỰ GIẢI:  x x + 1
Bài 1: Cho biểu thức: M = 

x − 1 
 : 



x +
x −x 1

−


 x−1
x − 1 
Đáp số: 
Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M.

x > 0
2− x
x +2
x +3
x + 2 ;M = x x 
≠ 1: 2 −
x 

Bài 2: Cho biểu thức: M = 
x + 1



− số: x ≠ 4; M =

Đáp
x−5 x +6
2− x
x−3 
x ≠ 9
Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M.
x ≥ 0
2x − 1 + x
2x x + x −  x  (x − x x)(1+ −1 x )


 
x−4

−



x ≥ 0
Đáp số: x ≠ 1. ; M =
Bài 3: Cho biểu thức: M = 1 − 
+


1−x
1 + x x
2 x−1
x ≠
Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M.
Bài 4: Cho biểu thức: M =

+

+




1

Đáp số: 
x ≠ 4
4; M =

1
x− x +1

+3 ≠9
2 x−9
2 x +1
x x
x−5 x +6
x−3
2− x

Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút gọn M.
x ≥ 0




x +1
x−3




BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho x ≠ 0 và x +

1 = a là một hằng số . Tính theo a các biểu thức :
B = x6 + 16
C = x7 + 7 1
;
;

A = x3 +

3x

1
x

Bài giải:
Cho

n =có2hệtathức:
sẽ có:xn+1
x3 ++
Ta ln

1
= x +


x
Với x2 + 1

x

x



 

= xn + n x +
 − xn−1 +
x 
x 
x 

n−1  với n > 1
3 = x2 +
2 x +  − x + 
1

1
1
1
n+1
x
−12 = a2 − 2 1 
1 
1




x
x
x
x

2

x
 3 21 
x + 3  − 2 = (a3 − 3a) − 2 = a6 − 6a4 + 9a2 − 2
Ta tính được:
A = a3 − 3a
C = x4 + 4 x3 +3  − x +  = a7 − 7a5 + 14a3 − 7a
2
2
B=

x 


1 
1  
1 = 7 . Chứng minh rằng x5 +
x

x 
x  
x
Bài 2: Cho x > 0 thỏa mãn x2 +
x

= x4 +

Bài giải:

1
Do:
Ta có:x x+5 +  1= x2 +
5


1

2

1
2

4

x +  − x3 + 3 

+ 12 =7 + 21=9 ⇒ x +
x 

x



5

là một số ngun. Tìm số ngun đó

1
x

1
1 = 3 (do x > 0)
x 

2

x3 + 3 = x2 + 2 x +  − x +  = 7.3 − 3 = 18
x
x
x
Mặt khác:

1 

1
x + 4 = x2 + 2  − 2 = 49 − 2 = 47

1
1 
1 
1





x5 + x 5 = x4 + x 4 x x+  − x3x + 3  = 47.3 − 18 = 123
4
2
Và

x
x 
Nên

1
1 
1 
1 

x
x 
x 
x 

 2
Bài 2: Cho ba số x,y,z thỏa mãn đồng thời :
z2 + 2x +1 = 0
x + 2y + 1 = 0
y + 2z +1 = 0
2
Tính giá trò của biểu thức : A = x2009 + y2009 + z2009
Bài giải:
Cộng từng vế các đẳng thức đã cho và biến đổi ta được;



x + 1 = 0
(x + 1) 2 + (y + 1) 2+ (z + 1) =2 0 ⇒ y + 1 = 0 ⇒ x = y = x = −1


z + 1 = 0
+ (−1)

Vậy A = (−1)
2009



+ (−1)
2009

2009

= −3

a4 −16
Bài 4: Cho M = a4 − 4a3 + 8a2 −16a + 16 . Tìm các giá trò nguyên của a để M có giá trò nguyên

Bài giải:
Rút gọn biểu thức M
M=

a4 −16
a4 − 4a3 + 8a2 −16a + 16
=
a4 −16

((aa −+ 24)) ((aa +−2)2a( a +− 4a2) − 8)
3

=

2

2

(a − 2)(a − 2) (a2 + 4)
Với a ≠ ±2 thì A = a + 2
Tiếp tục biến đổi A thành
a − A2 =

=1+

Tìm a ∈  để A ∈ 

a+2
4
a−2
a−2
Để A ∈  khi a ∈  thì ta phải có:
a − 2 là ước của 4 ⇔

a = 3
a=1
a=0


a − 2 = −4
a = −2


a − 2 = 4
a = 6



−
=
2
2
a
a = 4







x(x + 1)
x x + 1= −
Đối chiếu với điều kiện của a ta có đáp số là: a = 0;a = 1;a = 3;a = 4;a = 6
=
−

(3x − 1)(3x + 2)1
1 
1
1 
Bài 6: Chứng minh rằng: =
2
1
1
1
1)
2)
3)


a − 2 = −1
a − 2 = −2
a − 2 = 1 ⇔


−

1
3  3x − 1
1

1
3x + 2
1





(x − 1) x (x + 1)

(x − 1) x

x(x + 1)


Áp dụng: Tính các tổng sau:
1) Sn =
+
+
+ ... +
1
1
1
2) Sn = 1.2 +2.3

+ ... +

3.4

1
n.(n +1)

1
1
1
+
+
+ ... +
(3n − 1)(3n + 2)
2.5 5.8
1
1
1
1
1.2.3 2.3.4 3.4.5
n(n +1)(n + 2)
III. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ TRONG GIẢI TOÁN:
3) Sn =

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x2 − 6x + 1

Bài giải:
9 
Biến đổi biểu thức
A 2 − 3x +
= 2x
 + 1 −

A = 2 (x2 −3
3x) + 7
1
7
= 2x −  − ≥ −

9

4
2
2

2
Dấu đẳng thức xảy ra khi x =

2
2
3 . Vậy min A = −
2

7
2

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x − 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

Bài giải:
= (x2 + 5x) − 36 ≥ −36
Biến đổi biểu thức A
A = (x − 1)(x + 6)(x + 2)(x + 3)
= (x2 + 5x − 6)(x2 + 5x + 6)

2

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 0 hoặc x = −5 . Vậy min A = −36
y2 ++y42 −+ 3x
2xy− −3y4x+ −2012
4y
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xx22 ++ xy
= (x−y

)

+ 3 (x + y − 2

)

+ 4.2009

Bài giải:


Biến đẳng
đổi biểu
Dấu
thứcthức
xảy4A
ra khi 

x + y − 2 =2 0
y = 1
2

4A = 4x + 4xy + 4y − 12x − 12y + 4.2012
= x2 + 2xy + y2 + 3
2

⇒ A ≥ 2009
x − y = 0

(

) + 4.2012 − 12
2

x = 1

⇔





. Vậy min A = 2009

-------------------------------Hết--------------------------------


Chuyên đề 3:

BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC

I. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC CƠ BẢN:

Biến đổi căn thức bậc hai:
•
A2 = A (thường dùng)
•
•

( AA )

2

(A ≥ 0)
=AA
B = B A. B
A.B
(A ≥ 0;B ≥ 0)

•

(A ≥ 0 , B > 0)

=

A2.B = A . B

•

Chú ý:

(B ≥ 0)

A có nghóa khi A ≥ 0

Biến đổi căn thức bậc ba:
• 3 AA3 == A A
B = 3BA.3 B
• 3 A.B
3

•
•

3
3

3

(B ≠ 0)

A3.B = A.3 B

2) Rút gọn biểu thức: B =   : a −1a −1 a +1
 1

Ví dụ 1: 1) Tính: A = 20 + 3 45 − 5a −1
125 4a + 4

 14 − 7
15 − 5 
1) A = 

 : +

a +1
với a ≥ 0;a ≠ 1

Ví dụ 2: Hãy rút gọn các biểu thức sau:
+

Ví dụ 3: Cho biểu thức2 −1
K = 
2) B =

x − 2x − x
x −1 x − x

3 −1 

1
7− 5
  1
 : 

2 


( x ≥ 0; x ≠ 1)

−

+

 a −1

a − a   a +1

1) Rút gọn biểu thức K.
2) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2

2

a −1 


II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Chứng minh đẳng thức : 2 3 +

5 − 13 + 48

= 1 (1)

6+ 2
Bài giải:

2 3 + 5 − 13 + 48

VT (1) =

(

2 3+ 5− 2

)

2

6 +2 23 + 1

=
6+ 2

2 3+ 5−

=

3+1

23+
=

(

)

6+ 2
4−23
6 + 32 −1

( )

2 3+

6+ 2

=
=

2

=

=

2 3 + 3 −1 2 2 +
3
6 +2 2
6 +3 2
3

Bài 2: Chứng minh đẳng thức :

Bài giải:
VT (1) =

3
2

+

+

3
2

1− 1−

3
2

3
2

1+
1+ 1+

=
3
2

1+

6+ 2

=1

=
6+ 2
6+ 2

= 1 (1)
3

2
3
2

1+
+
4 + 23 3
24

(

=

)
2

8+4 3
6+ 2

3
2

1−
1− 1−

6+ 2

2

1+
1+ 1+
1−

(

=

1+ 3
1+
4
1+
1+ 2
1+
3

1−

1−

4−23

)

(

1−
+

2

1−

2
1−

3
42
3 −1
4

)
2

2

2

1−
3

2+ 3 2−
3
=
+
=
+ +
=
=
1+ 3

3 −1 3 + 3 3 −
3
2
2
2
2
2 + 3 2 − 3 (2 +
3)(3 − 3) + (2 − 3)(3 + 3) 3 +
+
−
3
3 3
3
6

=1

3+3− 3
6


Bài 3:

Chứng minh đẳng thức :

Bài giải:
VT(1) =

4

49 + 20 6 + 4 49 − 20 6
=
2

4

49 + 20 6 + 4 49 − 20
2

4

=

(5 + 2 6 )

(1)

6 4 (5 + 2 6 ) + 4 ( 5 − 20 6 )
=
2

2

2

5 − 20 6

2

3

+4

(

)

2

2
3 + 2 +4
3− 2 4
=
2
= 3+ 2+ 3− 2 =2 3
2
Bài 4: Cho a ≥ 0 . Chứng minh rằng : 2a2 − a − 2a2 + a + a + 1 = ( a −1)2
a + a+1 a − a+1
Hướng dẫn:
Đặt ẩn phụ: a = x
4

(

)

4

Bài 5: Xét biểu thức P = 3a + 9a − 3
Hướng dẫn:

a+ a−2
Đặt ẩn phụ: a = x
Bài 6: Rút gọn biểu thức : A =
Đáp số: A = 1
Bài 7: Thu gọn biểu thức : P =
Đáp số: P = 1 +
Bài 8: Cho M =

(

−

)

a−2
a −1

+

1
a+2

−1 . Tìm a để P = 1

5 − 3 − 29 −12 5

2+ 3+ 6+ 8+4
2+ 3+ 4

2

x2 −

x

−

x2 +

x

+x+1

x+ x+1 x− x+1
Rút gọn M với 0 ≤ x ≤ 1
Hướng dẫn:
+ Đặt x = a
+ Kết quả: M = 1 −
x
( 5 + 2) 17 5 − 38
Bài 9:

Tính giá trò của biểu thức : A = (3x3 + 8x2 + 2)2009 với

x=

3

5 + 14 − 6 5
Hướng dẫn:
+ Rút gọn x sẽ được x =

1
3
+ Thay x vào A sẽ được A = 32009


Bài 10: Cho x =

1

2
−

. Tính giá trò của biểu thức : A = (x4 − x3 − x2 + 2x −1)2007

1

2 −1
2 +
1
Hướng dẫn:
+ Rút gọn x
+ Thay x vào A
Bài 11: Tính giá trò của biểu thức : P = (x4 − 4x2 + 3)2007
3 10 − 9
với giá trò x = 6 + 19 − 6 10 ( 10 + 3)
Hướng dẫn:
+ Rút gọn x
+ Thay x vào A

Bài 12:

Cho số x = 3 9 + 4 5 + 3 9 − 4 5
1) Chứng tỏ x là nghiệm của phương trình x3 − 3x −18 = 0 .
2) Tính⇔
x. x3 = 18 + 3.x. 9 + 4 5 9 − 4 5
Hướng dẫn:
1) Ta có:
x =39+ 4 5+39 −4 5

(

3

⇔ x3 = 18 + 3x
Bài 13: Chứng ⇔
minh
ng−18
x ==3 03 +
x3 −rằ3x

)

3

9+

− 3 −3 + 9 +

Suy ra x là nghiệm của phương trình x3 − 3x −18 = 0

2) Giải phương trình (1) được x = 3
125
125
27
ướng
dẫn:
H
Giải tương tự bài 12
Bài 14: Chứng minh rằng số : x0 =

là một số nguyên.

27

2 + 2 +x2 −3 8− 6 − 3 2 + 3

là mộ
t nghiệ
Ta sẽ chứng
minh:
(x20m−củ
8)a phương
= 32 trình : x4 −16x2 + 32 = 0 .
Bài giải:
Biến đổi phương trình:
2
2 = 32 (1)
x4 −16x2 + 32 = 0 ⇔

(

2− 3

)

2

Thật vậy:
x0 = 2 + 2 + 3 − 6 − 3 2 + 3 ⇒ x0 = 8 − 2 2 + 3 − 2 3

(

)


⇒ x0 − 8 = −2 2 + 3 − 2 3
⇒

(

)

2

=4

(

(

)

) = 32

Vậy x0 là nghiệm của phương trình x4 −16x2 + 32 = 0

2

x02 − 8

2 + 3 + 6 − 3 3 − 3 3(4 − 3)

2− 3


Bài 18:
1) Chứng minh rằng : (n + 1)
2) Tính tổng:

S=

1
2+ 2

+

n 1+ n n + 1

n 1n + 1= − 1

+

+ ... +
1
4 3+3 4

1
3 2+2 3

-----------------------------Hết---------------------------

1
100 99 + 99 100


Chuyên đề 4:

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

Nhắc lại:
1) Một số phép biến đổi tương đương phương trình thường sử dụng
a) Chuyển vế một biểu thức từ vế này sang vế kia (nhớ đổi dấu của biểu thức).
b) Nhân hoặc chia hai vế của phương trình với một hằng số (khác 0) hoặc với một biểu thức
(khác khơng).
c) Thay thế một biểu thức bởi một biểu thức khác bằng với biểu thức đó.
Chú ý: Sử dụng dấu ⇔ khi thực hiện các phép biến đổi tương đương.
Lưu ý:
+ Chia hai vế của phương trình cho biểu thức chứa ẩn đề phòng mất nghiệm.
+ Bình phương hai vế của phương trình đề phòng dư nghiệm.
2) Các bước giải một phương trình

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghóa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
a, b : tham số
I. Phương trình bậc nhất:
1. Dạng :

ax + b = 0 (1)

x : ẩn số


• n Nế
2. Giải và biệ
luậun:a ≠ 0 thì (2) ⇔ x = −
Ta có :

(1) ⇔ ax = -b

(2)

b
a
• Nếu a = 0 thì (2) trở thành 0.x = -b
* Nếu b ≠ 0 thì phương trình (1) vô nghiệm
* Nếu b = 0 thì phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x
Tóm lại :
b
• a ≠ 0 : phương trình (1) có nghiệm duy nhất x = −

a
Ví dụ : Giải các phương trình sau: m x + 2 = x + 2m
• a = 0 và b ≠ 0 : phương trình (1) vô nghiệm
• a = 0 và b = 0 : phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x

Áp dụng:
2


3. Điều kiện về nghiệm số của phương trình:
Xét phương trình ax + b = 0
Đònh lý:

(1) ta có:

•
•

(1) có nghiệm duy nhất
(1) vô nghiệm

⇔
⇔

•

(1) nghiệm đúng với mọi x

⇔

a ≠0
a =≠ 00
b

b = 0
a = 0


Áp dụng:
Ví dụ :

x−m x−2
1) Với giá trò nào của a, b thì phương
sau nghiệm đúng với mọi x
x + 1 trình
x −1
a 4 − (x + 1)a 2 + x − b = 0
2) Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm
=

II. Phương trình bậc hai:

(1)

ax2 + bx + c = 0

( a≠0)

1. Cách giải:
Tính biệt số ∆ = b2 − 4ac

( hoặc ∆' = b '2 − ac với b' = b )
 Nếu ∆ < 0 thì pt (1) vô nghiệm
2
 Nếu ∆ = 0 thì pt (1) có nghiệm số kép x1 = x2 = −
b ( x1 = x2 = − b' )
=
( x1,2 =
2a
a
−b ±∆
−b' ± ∆' )
x
−
2
6
−
x+=
2
 Nếu ∆ > 0 thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt x1,2
2a
a
1
3
Ví dụ: Giải phương trình
 Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c = 0 thì pt (1) có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 =
2. Trường hợp đặc biệt:
c
a
 Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a-b+c = 0 thì pt (1) có hai nghiệm là x1 = −1 và x2 = −
3. Điều kiện về nghiệm số của bậc hai:

Xét phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) ( a ≠ 0 )
Đònh lý :
 Pt (1) vô nghiệm
⇔
∆< 0
 Pt (1) có nghiệm kép
⇔
∆= 0
 Pt (1) có hai nghiệm phân biệt
⇔
∆> 0
 Pt (1) có nghiệm ( hoặc có hai nghiệm)
⇔
∆≥ 0
Đặc biệt :
Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
4. Đònh lý VIÉT đối với phương trình bậc hai:
 Đònh lý thuận: Nếu phương trình bậc hai :
ax2 ++ xbx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1, x2 thì
S = x1 2 = − a
P = x .x = c b
a

1

2

c
a

 Đònh lý đảo :

Nếu có hai số x, y mà
phương trình

x + y = S và x.y = P (S 2 ≥ 4P) thì x, y là nghiệm của

X2 − S.X + P = 0
 Ý nghóa của đònh lý VIÉT:
Cho phép tính giá trò các biểu thức đối xứng của các nghiệm và xét dấu các nghiệm mà không cần
giải phương trình .
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1và x2 của phương trình ax2 + bx + c = 0
là biểu thức có giá trò không thay đổi khi ta hoán vò x1 , x2
Ta có thể biểu thò được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 theo S và P
n

VÍ DỤ:

n

Ký hiệu Sn = x1 + x2 . Ta lần lượt có:

S1 = x1 + x2 = S
S2 = x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1x2 = S2 − 2P
S3 = x13 + x32 = (x1 + x2 )3 − 3x1x2 (x1 + x2 ) = S3 − 3PS
S4 = x14 + x24 = (x12 + x22 )2 − 2x12x22 = S22 − 2P2
S5 = x15 + x52 = (x13 + x32 )(x12 + x22 ) − x12x22 (x1 + x2 ) = S3S2 − P2S1
S6 = x16 + x62 = (x13 + x32 )2 − 2x13x32 = S32 − 2P3
S7 = x17 + x72 = (x14 + x24 )(x13 + x32 ) − x13x32 (x1 + x2 ) = S4S3 − P3S1

S8 = x18 + x82 = (x14 + x24 )2 − 2x14x24 = S24 − 2P 4
S9 = x19 + x92 = (x15 + x52 )(x14 + x24 ) − x14x24 (x1 + x2 ) = S5S4 − P 4S1
a) A = x1 + x2

b) B = x1 + x2
c) C = x1 + x2
S10 = x101 + x102 = (x15 + x52 )2 − 2x15x52 = S25 − 2P5
e) E = x1 + x62
f) F = x1 + x2
d) D = x1 + x52 ;
Tính tương tự cho: S11, S12, ...
Ví dụ 2: Cho phương trình: x + 5x + 2 = 0
Ví dụ 1:
Cho x1, x2 là hai nghiệm của phương trình:
a) A = x1 + x2
b) B = x1 + x2

x2 − x − 1 = 0

1. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 - x2 và 2x2 - x1
2. Hãy tính giá trò của biểu thức
6x12 + 10x1x2 + 6x22
2

2

3

3

4

5x1x32 + 5x13x2
7
Ví dụ 4: Cho x1, x2 là hai nghiệm
củ
a
phương
trình
:
ax
+
bx
+
c
=
0
(
a
≠
0)
2
Gọi x1, x2 là các nghiệm. Tính giá trò của các biểu thức:
6

6

8

8

7