Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn toán trung học phổ thông cực hay

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 Môn toán
Biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn
Phần I
tổng hợp kiến thức cơ bản
I. Các phép biến đổi về căn thức
1. Hằng đẳng thức đáng nhớ

( a + b ) = a2 + 2ab + b2
( a + b ) ( a − b ) = a2 − b 2
3
( a − b ) = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
a3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b2 )

( a − b ) = a2 − 2ab + b2
3
( a + b ) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
a3 + b3 = ( a + b ) ( a2 − ab + b2 )

2

2

( a + b + c)

2. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai
- Đều kiện để căn thức có nghĩa A có nghĩa khi A 0
- Các công thức biến đổi căn thức.
A2 = A
AB = A. B
A
=

B

A
B

(A ≥ 0;B > 0)

A B = A 2B (A ≥ 0;B ≥ 0)
A
1
=
B B
C

AB (AB ≥ 0;B ≠ 0)

A 2B = A B

2

= a2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca

(A ≥ 0;B ≥ 0)
(B ≥ 0)

A B = − A 2B (A < 0;B ≥ 0)
A
B

=

A B
(B > 0)
B

C( A mB)
C
C( A m B)
(A ≥ 0;A ≠ B2 )
=
(A ≥ 0;B ≥ 0;A ≠ B)
2
A −B
A −B
A ±B
A± B
3. Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức
Phơng pháp: Bớc 1: Trục căn thức ở mẫu (nÕu cã)
Bíc 2: Qui ®ång mÉu thøc (nÕu cã)
Bíc 3: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn
Bớc 4: Rút gọn biểu thức
Bớc 5: Tính số trị (nếu còn tham số)
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Bớc 2: Trục căn thøc ë mÉu nÕu cã (nÕu cã)
Bíc 3: Qui ®ång mÉu thøc (nÕu cã)
Bíc 4: §a mét biĨu thøc ra ngoài dấu căn
Bớc 5: Rút gọn biểu thức
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Bớc 2: Biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái. Cũng có khi chúng ta phải biến
đổi cả hai vế cùng về biểu thức trung gian
=

II. Phơng trình bậc hai
1. Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
2. C«ng thøc nghiƯm: Ta cã ∆ = b2 − 4ac .
- Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
b
- Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép x1,2 = −
2a


−b − ∆
−b + ∆
; x2 =
2a
2a
−b
c
3. HÖ thøc Viet: Nếu phơng trình có nghiệm x1; x2 thì S = x1 + x 2 =
; P = x1.x 2 =
a
a
Gi¶ sử x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Ta có thể sử dụng định lí Viet để tính
các biĨu thøc cđa x1, x2 theo a, b, c
2
b2 − 2ac
2

S1 = x1 + x 2 = ( x1 + x 2 ) − 2x1x 2 =
2
a2
3
3abc − b3
3
3
S2 = x1 + x 2 = ( x1 + x 2 ) − 3x1x 2 ( x1 + x 2 ) =
a3
- Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt x1 =

S3 = x 1 − x 2 =

( x1 − x 2 )

2

=

( x1 + x 2 )

2

− 4x1x 2 =

b2 − 4ac
a2

4. øng dơng hƯ thức Viet
a) Nhẩm nghiệm: Cho phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).

c
- NÕu a + b + c = 0 ⇒ x1 = 1; x 2 =
a
c
- NÕu a - b + c = 0 ⇒ x1 = -1; x 2 = −
a
b) T×m hai sè khi biÕt tỉng vµ tÝch: Cho hai sè x, y biÕt x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm của ph ơng trình bậc
hai X2 - SX + P = 0
c) Phân tích thành nhân tử: Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã hai nghiƯm x1; x2 th×
ax 2 + bx + c = a ( x − x1 ) ( x − x 2 )
d) Xác định dấu các nghiệm số: Cho phơng tr×nh ax 2 + bx + c = 0 (a 0).
c
- Nếu < 0 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu
a
> 0

- Nếu c
thì phơng trình cã hai nghiÖm cïng dÊu
a > 0



∆ > 0
∆ > 0


c
c
- Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm dơng. Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm âm
a

a
b
b
a >0
a <0


5. Các dạng toán cơ bản:
Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm
c
Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm là = b2 4ac 0 hoặc 0
a
2
Trong trờng hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phơng trình ax + bx + c = 0 ; a' x 2 + b' x + c ' = 0 cã
nghiÖm ngêi ta thờng làm theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Chøng minh ∆1 + ∆ 2 ≥ 0
C¸ch 2: ∆1.∆ 2 0
Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phơng pháp: Bớc 1: Cho hai số x, y biÕt x + y = S; x.y = P th× x, y là hai nghiệm của ph ơng trình bậc hai X2 SX + P = 0
Bớc 2: Giải phơng tr×nh X2 - SX + P = 0
Bíc 3: KÕt luận
Dạng 3: Biểu thức đối xứng hai nghiệm
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
b
c
Bớc 2: TÝnh S = x1 + x 2 =
; P = x1.x 2 = , theo m
a
a
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

2


2
2
2
Bớc 3: Biểu diễn hệ thức đề bài theo S, P víi chó ý r»ng x1 + x 2 = S − 2P ;
1 1 S 1 1 S2 − 2P
3
3
x1 + x 2 = S S2 − 3P ; + = ; 2 + 2 =
x1 x 2 P x1 x 2
P2
Dạng 4: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
b
c
Bớc 2: Tính S = x1 + x 2 =
; P = x1.x 2 = , theo m
a
a
Bíc 3: Khư m ®Ĩ lËp hƯ thức giữa S và P, từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ
thuộc tham số m
Dạng 5: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trớc
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
b
c
Bớc 2: Tính S = x1 + x 2 =
; P = x1.x 2 = , theo m

a
a
Bớc 3: Giải phơng trình với ẩn số m, so sánh điều kiện
Bớc 4: Kết luận

(

)

III. Hệ phơng trình
1. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn số:
Cách 1: Sử dụng phơng pháp cộng đại số:
- Nhân các vế của hai phơng trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai
phơng trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau
- Sử dụng quy tắc cộng đại số để thực hiện phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà hƯ sè cđa mét
trong hai Èn b»ng 0 (tøc lµ phơng trình một ẩn số)
- Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ phơng trình đà cho
Cách 2: Sử dụng phơng pháp thế
- Dùng quy tắc thế biến đổi hệ phơng trình đà cho để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình
một ẩn
- Giải phơng trình một ẩn vừa có, råi suy ra nghiƯm cđa hƯ ® · cho
2. HƯ phơng trình đối xứng
a) Hệ đối xứng loại I: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì từng phơng trình không thay đổi
Phơng pháp: Đa về hệ phơng trình theo hai biến mới là: S = x + y và P = xy với điều kiện S 2 4P
b) Hệ đối xứng loại II: Nếu ta thay đổi vai trò của x, y thì phơng trình này chuyển thành phơng trình kia
Phơng pháp: Trừ hai phơng trình với nhau để nhận dợc phơng trình mới có dạng tích số. Chú ý nếu hệ phơng trình có nghiệm (x0; x0) (tức là x = y). Nếu hệ phơng trình có nghiệm (x, y) thì phơng trình cũng có nghiệm (y, x)
IV. Phơng trình quy về phơng trình bậc nhất (bậc hai)
1. Phơng trình chứa ẩn ở mẫu số:
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa
Bớc 2: Qui đồng mẫu số để đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai)

Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
2. Phơng trình chứa dấu trị tuyệt đối:
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện để phơng trình có nghĩa
Bớc 2: Khử dấu giá trị tuyệt đối, biến đổi đa về phơng trình bậc nhất (bậc hai)
Bớc 3: Giải phơng trình bậc nhất (bậc hai) trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
3. Phơng trình trïng ph¬ng: ax 4 + bx 2 + c = 0 (a 0)
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt x2 = t 0
Bớc 2: Biến đổi đa về phơng trình bậc hai ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
4. Phơng trình có dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e víi a + d = b + c
1
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt t = x2 + (a + d)x + k = x2 + (b + c)x + k víi k = ( ad + bc )
2
Bớc 2: Biến đổi đa về phơng trình bậc hai ẩn t
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

3


Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x
5. Phơng trình hồi qui
a) Dạng 1: Phơng trình có dạng ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 (a 0)
Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế của phơng trình cho x2 0
1
Bớc 2: Đặt t = x + víi ®iỊu kiƯn t ≥ 2 và đa về phơng trình bậc hai ẩn t
x

Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x
b) Dạng 2: Phơng trình cã d¹ng ax 4 − bx 3 + cx 2 bx + a = 0 (a 0)
Phơng pháp: Bớc 1: Chia hai vế của phơng trình cho x2 0
1
Bớc 2: Đặt t = x và đa về phơng trình bậc hai ẩn t
x
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và tìm nghiệm x
2
e d
4
3
2
6. Phơng trình có dạng ax + bx + cx + dx + e = 0 với = ữ ; e 0
a b
2

Phơng pháp:

2

2

d
d
d  d
d

 d

⇒ t 2 =  x + ÷ = x2 + 2 +  ÷ ⇒ x2 +  ÷ = t2 − 2
bx
bx 
b  bx 
b

 bx
Bớc 2: Đa về phơng trình bậc hai ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
Bớc 1: Đặt t = x +

7. Phơng trình có dạng ( x + a ) + ( x + b ) = c
4

Phơng pháp:

4

a+b
a b
a b
x+a = t+
;x + b = t
2
2
2
Bớc 2: Đa về phơng trình trùng phơng ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình trùng phơng trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm

Bớc 1: Đặt t = x +

V. Hµm sè
1. Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b (a ≠ 0)
- Hµm sè bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b trong ®ã a ≠ 0
- Hàm số bậc nhất xác với mọi giá trị x R và có tính chất đồng biến khi a > 0; nghịch biến khi a < 0
- Đồ thị của hàm số bậc nhất là một đờng thẳng. Cắt trục tung tại điểm B(0; b). Cắt trục hoành tại ®iĨm
 b 
A  − ;0 ÷ (trong ®ã a gọi là hệ số góc, b gọi là tung độ góc)
a
- Các đờng thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau. Nếu gọi là góc hợp bới giữa
đờng thẳng và tia Ox thì a = tg
- Nếu đờng thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) vµ ®êng th¼ng (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) thì:
a = a'
(d) cắt (d) a a
(d) song song (d’) ⇔ 
b ≠ b'
a = a'
(d) trïng (d’) ⇔ 
(d) ⊥ (d’) ⇔ a.a’ = -1
b = b'
2. Hµm sè y = ax2 (a ≠ 0)
- Hµm số có tính chất: Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. Nếu a < 0 thì hàm
số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0
- Đồ thị hàm số là một Parabol với đỉnh là góc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
3. Các dạng toán
Dạng 1: Xác định hàm số bậc nhất (phơng trình đờng thẳng)
Phơng pháp: Dựa vào các điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax + b thì ax0 + b = y0

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

4


Các kết quả đà nêu ở phần lý thuyết trên
Dạng 2: Xác định hàm số y = ax2 (a 0)
Phơng pháp: Dựa vào điểm sau: Nếu điểm A(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = ax2 thì ax02 = y0
Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị
Phơng pháp: Lập phơng trình hoành độ giao điểm
Giải phơng trình, từ đó tìm ra toạ độ các giao điểm
Dạng 4: Tơng giao giữa đờng thẳng và Parabol
Phơng pháp: Cho đờng thẳng có phơng trình y = ax + b (a ≠ 0) vµ Parabol y = Ax2 (A ≠ 0). Xét phơng trình
hoành độ giao điểm Ax2 = ax + b (1). Ta cã sè giao ®iĨm cđa hai ®å thị phụ thuộc vào số nghiệm của ph ơng trình
này
- Đờng thẳng cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm
- Đờng thẳng không cắt Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) vô nghiệm
- Đờng thẳng tiếp xúc Parabol khi và chỉ khi phơng trình (1) có nghiệm kép
VI. Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
1. Phơng pháp chung
- Chọn ẩn số và xác định điều kiện của ẩn số (đơn vị tính). ẩn số thờng là đại lợng cha biết trong bài to¸n.
ViƯc chän mét Èn sè hay hai Èn sè t thuộc vào số đại lợng cha biết trong bài toán
- Biểu diễn mối tơng quan giữa đại lợng đà biết và đại lợng cha biết
- Lập phơng trình (hay hệ phơng trình)
- Giải phơng trình (hay hệ phơng trình)
- Nhận định kết quả và trả lời
2. Các dạng toán
Dạng 1: Các bài toán về chuyển động
- Dựa vào quan hệ của ba đại lợng S: quÃng đờng; t: thời gian; v: vận tốc của vật chuyển động đều trong
công thức S = v.t

- Dựa vào nguyên lí cộng vận tốc: Ví dụ khi giải bài toán chuyển động thuyền trên s«ng ta cã: v 1 = v0 + v3; v2
= v0 v3 trong đó v1 là vận tốc thuyền đi xuôi dòng, v 2 là vận tốc thuyền đi ngợc dòng, v0 là vận tốc riêng của thuyền,
v3 là vận tốc dòng chảy
Dạng 2: Các bài toán về năng suất lao động
Dựa vào quan hệ ba đại lợng: N: năng suất lao động (khối lợng công việc hoàn thành trong một đơn vị thời
s
gian); t: thời gian để hoàn thành một công việc; s: lợng công việc đà làm thì N =
t
Dạng 3: Các bài toán về làm chung làm riêng, vòi nớc chảy chung chảy riêng ...
Dựa vào kết quả sau
1
- Nếu x giờ (hoặc ngày) làm xong công việc thì mỗi giờ (hoặc ngày) làm đợc công việc đó
x
1
1
- Nếu trong 1 giờ: Đối tợng A làm đợc công việc, đối tợng B làm đợc công việc thì lợng công việc mà
y
x
1 1
cả hai làm đợc trong 1 giờ là + công việc
x y
1
a
- Nếu mỗi giờ làm đợc công việc thì a giờ làm đợc công việc
x
x
Dạng 4: Các bài toán sắp xếp, chia đều sản phẩm (hàng hóa ...)
Nh dạng 2: Chẳng hạn với ba đại lợng: N: số lợng hàng hoá phân phối cho mỗi xe; t: là số xe chở hàng; s:
s
tổng số lợng hàng hoá trong kho thì N =

t
Dạng 5: Các bài toán tìm số
Dựa vào mối liên hệ giữa các hàng trong một số
Chú ý: ab = 10a + b ; abc = 100a + 10b + c
D¹ng 6: Các bài toán liên quan đến tỉ số %
m
.A
Chú ý các kết quả sau: m% của A nghĩa là
100
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

5


Sè A b»ng m% sè B nghÜa lµ

A
m
m
=
.B
hay A =
B 100
100

Số A sau khi tăng lên m% thì đợc số mới có giá trị là A +

m
.A
100

Dạng 7: Các bài toán có nội dung hình học
Chú ý đến các hệ thức lợng trong tam giác, các công thức tính chu vi, diện tích ... của các hình ...

cạnh đối

VII. Các bài toán hình học phẳng
1. Hệ thức lợng trong tam giác vuông
A
a) Một số hệ thức về cạnh và đờng cao trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông tại A, ®êng cao AH ta cã
b2 = a. b’
c2 = a. c’
b
c
2
2
2
h
b +c =a
h2 = b’. c’
1
1 1
c'
b'
= 2+ 2
a. h = b. c
C
B
2

h
b c
H
a
b) Tỉ số lợng giác của góc nhọn
- Các tỉ số lợng giác của góc nhọn đợc định nghĩa nh sau:
cạnh đối
cạnh kề
sin =
cos =
cạnh huyền
cạnh huyền
cạnh đối
cạnh kề
tg =
cotg =

cạnh kề
cạnh đối
cạnh kề
- Với hai gãc α vµ β phơ nhau ta cã
sinα = cosβ
cosα = sinβ
tgα = cotgβ
cotgα = tgβ
1
2
sin300 = cos60 0 =
- Một số góc đặc biệt
sin450 = cos45 0 =

2
2
3
tg450 = cot g45 0 = 1
cos300 = sin600 =
2
3
t g300 = cot g60 0 =
co t g300 = t g600 = 3
3
c) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin
góc kề. Mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân tang góc đối hoặc nhân víi c«tang gãc kỊ
d) Mét sè c«ng thøc tÝnh diƯn tích tam giác
a.h
a.b.sinC b.c.sin A c.a.sinB
=
=
S=
(h là đờng cao ứng với cạnh a)
S=
2
2
2
2
S = p.r (p là nửa chu vi, r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác)
a.b.c
S=
(R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác)
4R

S=

p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) (p lµ nưa chu vi cđa tam giác)

2. Đờng tròn:
a) Sự xác định đờng tròn. Tính chất đối xứng của đờng tròn
- Đờng tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là hình gồm các điểm cách đều điểm O một khoảng bằng R
- Tuú theo OM = R; OM < R; OM > R mà ta có điểm M nằm trên, nằm bên trong, nằm bên ngoài đờng tròn
- Qua ba điểm không thẳng hàng, bao giờ cũng vẽ đợc một và chỉ một đờng tròn
- Đờng tròn có tâm đối xứng, đó là tâm đờng tròn. Đờng tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đờng kính
nào của nó
b) Đờng kính và dây cung của đờng tròn. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
- Trong một đờng tròn, dây lớn nhất là đờng kính
- Đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy
- Đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

6


- Trong một đờng tròn: Hai dây bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm. Trong hai dây không bằng
nhau, dây lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn
c) Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đờng tròn
Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của đờng thẳng và đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: đờng thẳng và đờng tròn không giao nhau; tiếp xúc nhau; cắt nhau. ứng với mỗi vị trí trên, khoảng cách d từ tâm đờng tròn đến đờng
thẳng và bán kính R của đờng tròn có các liªn hƯ: d > R; d = R; d < R. Ta có các định lí
- Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm
- Nếu một đờng thẳng đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đờng
thẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn
d) Tính chất cđa hai tiÕp tun c¾t nhau:
NÕu hai tiÕp tun cđa một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là
tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm
e) Đờng tròn nội tiếp tam giác, ngoại tiếp tam giác, bàng tiếp tam giác
- Đờng tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đờng tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là
ngoại tiếp đờng tròn. Tâm của đờng tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đờng phân giác các góc trong tam
giác
- Đờng tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đờng tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là nội tiếp
đờng tròn. Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đờng trung trực tam giác
- Đờng tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh kia là đ ờng
tròn bàng tiếp tam giác. Tâm của mỗi đờng tròn bàng tiếp tam giác là giao điểm của hai đờng phân giác của hai góc
ngoài tam giác hoặc giao điểm của tia phân giác của một góc trong và một trong hai đ ờng phân giác của góc ngoài
không kề với nó
f) Vị trí tơng đối của hai đờng tròn
Căn cứ vào số điểm chung 0, 1, 2 của hai đờng tròn mà ta định nghĩa các vị trí: Hai đờng tròn không giao
nhau, tiếp xúc nhau, cắt nhau
Do tính chất đối xứng của đờng tròn, nếu hai đờng tròn cắt nhau thì giao điểm đối xứng với nhau qua đờng
nối tâm, nếu hai đờng tròn tiếp xúc nhau thì giao điểm nằm trên đờng nối tâm
g) Góc với đờng tròn:
+ Góc ở tâm: Góc có đỉnh trùng với tâm đờng tròn đợc gọi là góc ở tâm. Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc
ở tâm chắn cung đó. Số đo cung lớn bằng hiệu giữa 3600 và số đo cung nhỏ. Số đo của nửa đờng tròn bằng 1800.
+ Góc nội tiếp: Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đờng tròn và hai cạnh chứa dây cung của đờng tròn đó.
Cung bên trong của góc gọi là cung bị chắn. Trong một đờng tròn số đo của góc nội tiếp bằng nữa số đo cung bị
chắn
+ Góc tạo bởi giữa tiếp tuyến và dây cung: Cho đờng tròn (O), A là tiếp điểm, xAy là tiếp tuyến của (O) tại A,
AB là một dây cung. Góc tạo bởi tia Ax (hoặc tia Ay) với dây AB đợc gọi là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Số đo
của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nữa số đo cung bị chắn
+ Góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn: Mỗi góc có đỉnh ở bên trong đờng tròn chắn hai cung: một cung nằm
bên trong góc và cung kia nằm bên trong góc đối ®Ønh cđa cung ®ã. Sè ®o cã ®Ønh ë bªn trong đ ờng tròn bằng nửa
tổng số đo hai cung bị chắn

+ Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn: Số đo góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn bằng nửa hiệu hai cung bị
chắn
Chú ý: Trong một đờng tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp chắn các cung b»ng nhau th× b»ng nhau
- Gãc néi tiÕp nhá hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông và ngợc lại góc vuông nội tiếp thì chắn nửa đờng tròn.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
h) Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d
Rn
- Độ dài cung tròn n0 bán kính R : l =
180
I) Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn
- Diện tích hình tròn: S = R2
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

7


- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n 0: S =

R 2n lR
=
360
2

3. Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau.

Cách chứng minh:
- Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba
- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng nhau khác
- Hai góc bằng tổng hoặc hiệu của hai góc theo thứ tự đôi một bằng nhau
- Hai góc cùng phơ (hc cïng bï) víi gãc thø ba
- Hai gãc cùng nhọn hoặc cùng tù có các cạnh đôi một song song hoặc vuông góc
- Hai góc so le trong, so le ngoài hoặc đồng vị
- Hai góc ở vị trí đối đỉnh
- Hai góc của cùng mộ tam giác cân hoặc đều
- Hai góc tơng ứng của hai tam giác bằng nhau hoặc đồng dạng
- Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau.
Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thứ ba
- Hai cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều
- Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau
- Hai cạnh đối của hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông)
- Hai cạnh bên của hình thang cân
- Hai dây trơng ứng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn hoặc hai đờng bằng
nhau. Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng song song
Cách chứng minh:
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng song song với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba
- Chứng minh chúng cùng tạo với một cát tuyÕn hai gãc b»ng nhau: ë vÞ trÝ so le
trong; ở vị trí so le ngoài; ở vị trí đồng vị.
- Là hai dây chắn giữa chúng hai cung bằng nhau trong một đờng tròn
- Chúng là hai cạnh đối của một hình bình hành, chữ nhật, hình vuông, ...
Dạng 4: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc
Cách chứng minh:

- Chúng cùng song song với hai đờng thẳng vuông góc khác.
- Chứng minh chúng là chân đờng cao trong một tam giác.
- Đờng kính đi qua trung điểm của dây và dây không đi qua tâm.
- Chúng là phân gi¸c cđa hai gãc kỊ bï nhau.
- TÝnh chÊt 2 đờng chéo hình thoi, hình vuông
Dạng 5: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đờng thẳng đồng quy.
Cách chứng minh:
- Dùa vµo tỉng hai gãc kỊ bï cã tỉng bằng 180 0
- Dựa vào hai góc đối đỉnh
- Dựa vào hai đờng thẳng đi qua một điểm cùng song song với đờng thẳng khác
- Dựa vào hai góc bằng nhau có 1 cạnh trùng nhau
- Chứng minh chúng là ba ®êng cao, ba trung tuyÕn, ba trung trùc, ba phân giác
trong (hoặc một phân giác trong và phân giác ngoài của hai góc kia)
- Vận dụng định lí đảo của định lí Talet.
Dạng 6: Chứng minh hai tam giác bằng nhau
* Hai tam giác thờng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g)
- Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c)
- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)
* Hai tam giác vuông: - Có một cạnh và mét gãc nhän b»ng nhau
- Cã c¹nh hun b»ng nhau và một cạnh góc vuông bằng nhau
- Cạnh góc vuông đôi một bằng nhau
Dạng 7: Chứng minh hai tam giác đồng dạng
* Hai tam giác thờng: - Có hai góc bằng nhau đôi một (g-g)
- Có một góc bằng nhau xen giữa hai cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-g-c)
- Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ (c-c-c)
* Hai tam giác vu«ng: - Cã mét gãc nhän b»ng nhau
- Cã hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ
- Có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xu©n H·n

8


Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp
Cách chứng minh:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc .
- Dựa vào phơng tích của đờng tròn
VIII. Các bài toán hình học không gian
1. Hình lăng trụ: Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt song song gọi là đáy và các cạnh không thuộc hai đáy
song song với nhau. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều
Sxq = p. l (p là chu vi thiết diện thẳng, l là độ dài cạnh bên)
Lăng trụ đứng: Sxq = p. h (p là chu vi đáy, h là chiều cao)
V = B. h (B là diện tích đáy, h là chiều cao)
Hình hộp chữ nhật:
Stp = 2(ab + bc + ca) (a, b, c là các kích thớc của hình hộp chữ nhật)
V = a. b. c
Các đờng chéo hình hộp ch÷ nhËt d = a2 + b 2 + c 2
Hình lập phơng: V = a3 (a là cạnh)
2. Hình chóp: Hình chóp là hình đa diện có một mặt là đa giác, các mặt khác là tam giác có chung đỉnh. Hình chóp
đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các mặt bên bằng nhau. Hình chóp cụt là phần hình chóp nằm giữa đáy
và thiết diện song song với đáy. Hình chóp cụt từ hình chóp đều gọi là hình chóp cụt đều
1
Hình chóp đều: Sxq = . n .a. d (n là số cạnh đáy; a là độ dài cạnh đáy; d là độ dài trung đoạn)
2
Stp = Sxq + B (B là diện tích đáy)
1
V= .B.h

3
1
Hình chóp cụt đều: Sxq = ( n.a + n.a' ) .d (n là số cạnh đáy; a, a cạnh đáy; d trung đoạn chiều cao mặt bên)
2
V = V1 + V2 (V1 thĨ tÝch h×nh chãp cơt; V2 thể tích hình chóp trên)
1
V = .h B + B'+ B.B' (B, B là diện tích đáy, h là chiều cao)
3
3. Hình trụ: Hình trụ là hình sinh ra bới hình chữ nhật quay xung quanh một cạnh của nã
- DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2π. R. h (R là bán kính đáy; h là chiều cao)
- Diện tích toàn phần: Stp = 2. R. h + 2. R2
- ThĨ tÝch h×nh trơ: V = S. h = . R2. h (S là diện tích đáy)
4. Hình nón: Hình nón là hình sinh ra bởi tam giác vuông quay xung quanh một cạnh góc vuông của nó. Hình nón
cụt là phần hình nón giữa đáy và một thiết diện vuông góc với trục
Hình nón:
- Diện tích xung quanh: Sxq = . R. l (R là bán kính đáy; l là đờng sinh)
- Diện tích toàn phần: Stp = π. R. l + π. R2
1
- ThÓ tÝch: V = .R 2 .h (h là chiều cao)
3
Hình nón cụt: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = π(R1 + R2). l (R1; R2 là bán kính hai đáy; l là đờng sinh)
- Diện tích toàn phần: Stp = (R1 + R2). l + π(R12 + R22)
1
2
- ThÓ tÝch: V = π.h.(R1 + R 2 + R1 R 2 ) (h lµ chiều cao)
2
3
5. Hình cầu:
- Diện tích mặt cầu: S = 4. R2 (R là bán kính)
4

- Thể tích hình cầu: V = .R 3
3
IX. Bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị
1. Định nghĩa:
a>bab>0ba<0
abab0ba0
2. Một số tính chất:
A > B
⇒A >C
1/ 
2/ A > B ⇔ A + C > B + C
B > C

(

)

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

9


 AC > BC,C > 0
3/ A > B ⇔ 
 AC < BC,C < 0
A > B > 0
⇒ AC > BD
5/ 
C > D > 0

A > B
⇒ A +C >B+C
4/ 
C > D
6/ A > B > 0, n ∈ N* ⇒ An > Bn

7/ A > B > 0,n ∈ N,n ≥ 2 ⇒ n A > n B
 A n > A m ,A > 1
n,m ∈ N*

9/ 
⇒ n
m
 A < A ,0 < A < 1
n > m

3. Một số BĐT cơ bản:

( a + b)

2

1 1
 A < B víi AB > 0
8/ A > B ⇒ 
 1 > 1 víi AB < 0
A B

2n +1
2n +1


a > b a > b
⇒
10/ 
n ∈ N 2n+1 a > 2n+1 b

a ≥a

≥ 4ab

a + b ≥ a+b

a − b ≤ a−b

1 1
4
1 1 1
9
+ ≥
+ + ≥
(víi a, b > 0)
(víi a, b, c > 0)
a b a+b
a b c a+b+c
1 1
1
n2
a b
+ + ... + ≥
+ ≥ 2 (víi ab > 0)

(Víi a1, a2, …, an > 0)
a1 a2
an a1 + a 2 + ... + an
b a
a) Bất đẳng thức CauChy: Dạng tổng quát: Giả sử a1, a2, , an là các số thực không âm, khi đó ta có:
n
a1 + a2 + ... + an n
 a1 + a2 + ... + an
a1a2 ...an
Dạng 1:
Dạng 2:
ữ a1a2 ...an
n
n


Đẳng thức xảy ra a1 = a2 = … = an
n

S
S
* NÕu a1 + a2 + ... + an = S (const) th× Max ( a1a2 ...an ) = ữ xảy ra a1 = a2 = … = an =
n
n

HƯ qu¶:

* NÕu a1a2...an = P (const) th× Min ( a1 + a 2 + ... + an ) = n n P x¶y ra ⇔ a1 = a2 = … = an = n P
BÊt đẳng thức CauChy suy rộng: Cho n số dơng a1, a2, , an (n 2) và n số dơng α1, α2, … αn sao cho α1+
α

α
α
α2 + … + αn = 1 th×: a1 1 .a1 1 ....a1 1 ≤ α1a1 + α 2a2 + ... + αnan
DÊu b»ng x¶y ra ⇔ a1 = a2 = … = an
b) Bất đẳng thức: CauChy Bunhiakowski Schwarz (CBS)
Dạng tổng qu¸t: Cho 2n sè thùc tuú ý a1, a2, ..., an; b1, b2, ..., bn khi đó:

(a

2
1

)(

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔
HƯ qu¶:

)

2
2
2
2
+ a2 + ... + an b1 + b 2 + ... + bn ≥ ( a1b1 + a 2b2 + ... + a nbn )
2

2

a1 a2
a

= = ... = n
b1 b2
bn

(

)

2
2
2
* NÕu a1x1 + a2x2 + ... + anxn = c (const) th× Min x1 + x 2 + ... + x n =

c2
2
2 x¶y ra ⇔
a1 + a2 + ... + an
2

x1 x 2
x
= = ... = n
a1 a2
an
2
2
2
2
* NÕu x1 + x 2 + ... + x n = c (const) th×

x1 x 2
x
= = ... = n ≥ 0
a1 a2
an
x1 x 2
xn
2
2
2
= − c . a1 + a 2 + ... + an ⇔ = = ... = ≤ 0
a1 a2
an

2
2
2
Max { a1x1 + a2 x 2 + ... + an x n } = c . a1 + a 2 + ... + an ⇔

Min{ a1x1 + a2 x 2 + ... + an x n }

a2 a2
a2 ( a + a + ... + an )
Dạng khác của CBS: 1 + 2 + ... + n ≥ 1 2
b1 b2
bn
b1 + b2 + ... + bn

2

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

10


Phần II
Một số dạng bài tập tự luyện
Bài tập về biĨu thøc
1
a +2
5
−
+
Bµi 1: Cho biĨu thøc : P =
a +3 a+ a −6 2− a
a) Rót gän P
b) T×m giá trị của a để P < 1

x +3
x
x +2
x +2
+
+
ữ:
ữ
Bài 2: Cho biểu thức: P =  1 −

x + 1÷  x − 2 3 − x x − 5 x + 6 ÷




a) Rút gọn P
b)Tìm giá trị của a để P < 0
 x −1
1
8 x   3 x −2 
−
+
: 1−
Bµi 3: Cho biĨu thøc: P = 
 3 x − 1 3 x + 1 9x − 1 ÷  3 x + 1 ÷
÷
÷

 

a) Rót gän P

b) Tìm các giá trị của x để P =

6
5



a 1
2 a

ữ:

Bài 4: Cho biểu thức P =  1 +
 a + 1÷  a −1 a a + a − a −1÷
÷

 

a) Rót gän P
b) Tìm giá trị của a để P < 1
c) Tìm giá trị của P nếu a = 19 8 3
  1 + a3

a(1 − a)2  1 a 3
:
+ a ữ.
a ữ
Bài 5: Cho biĨu thøc: P =
÷  1+ a
÷
1+ a
 1 − a



1
b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc M = a.(P- )
2
 x +1
2x + x  
x +1
2x + x

+
1ữ: 1 +

ữ
Bài 6: Cho biểu thức: P = 
 2x + 1
÷
2x − 1
2x + 1
2x − 1 ữ



1
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = . 3 + 2 2
2

2 x
1
x

ữ: 1 +
ữ
Bài 7: Cho biểu thức: P = 
 x x + x − x −1
x − 1÷  x + 1÷

 


a) Rót gän P
b) Tìm x để P 0

2a + 1
1 + a3
a

aữ
ữ.
Bài 8: Cho biểu thức: P =  3
 a − 1 a + a + 1 ÷  1+ a
÷



a) Rót gän P
b) XÐt dÊu cđa biĨu thøc P. 1 − a
a) Rót gän P

(

 x+2
x +1
+
−
Bµi 9: Cho biĨu thøc P = 1: 
 x x −1 x + x +1

a) Rót gän P
 1 a a

1+ a
+ a ữ.
Bài 10: Cho biĨu thøc : P = 
 1− a
÷  1+


a) Rót gän P

Bµi 11: Cho biĨu thøc: P =


a) Rút gọn P

)

x + 1
ữ.
x 1 ữ


b) So sánh P với 3

a
aữ
ữ
a

b) Tìm a để P < 7 − 4 3
2 x

x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
− 1÷
÷: 
÷
x +3
x −3 x−9 ÷  x 3


1
b) Tìm x để P <
2

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân H·n

11


c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
x3 x 9x
x 3
x 2
1ữ:


ữ
Bài 12: Cho biểu thøc: P = 
 x−9

÷  x+ x −6 2− x
x +3ữ



a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x ®Ĩ P < 1
15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
Bµi 13: Cho biĨu thøc : P =
x + 2 x − 3 1− x
x +3
a) Rút gọn P
c) Chứng minh P

b) Tìm các giá trị của x để P=

1
2

2
3
2 x

Bài 14: Cho biểu thøc: P=

x +m

x

+

x −m

−

m2
4x − 4m2

víi m > 0

a) Rót gän P
b) TÝnh x theo m ®Ĩ P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mÃn điều kiện x > 1
a2 + a 2a + a
−
+1
Bµi 15: Cho biĨu thøc P =
a − a +1
a
a) Rót gän P
b) BiÕt a > 1 HÃy so sánh P với P
c) Tìm a để P = 2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
 a +1
ab + a   a + 1
ab + a
+
1ữ:

+ 1ữ
Bài 16: Cho biểu thức P = 
 ab + 1
÷  ab + 1
÷
ab − 1
ab − 1

 

a) Rót gän P

b) TÝnh gi¸ trị của P nếu a = 2 3 và b =

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu

3 −1
1+ 3

a+ b =4

a a −1 a a +1 
1  a +1
a −1
−
+ a −
+
÷
÷

a− a a+ a 
a a 1
a +1ữ


a) Với giá trị nào của a thì P = 7
b) Với giá trị nào của a thì P > 6

Bài 17: Cho biểu thức : P =

2

 a
1   a −1
a + 1
Bµi 18: Cho biĨu thøc: P = 
−
−
÷
÷
 2 2 a ÷  a +1
a 1ữ



a) Tìm các giá trị của a để P < 0
b) Tìm các giá trị của a ®Ó P = -2

(

)

2

+ 4 ab a b − b a
.
a+ b
ab
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi a = 2 3 vµ b = 3
 x+2
x
1  x −1
+
+
:
Bµi 20: Cho biĨu thøc : P = 
 x x − 1 x + x + 1 1− x ÷ 2
÷


a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng P > 0 ∀ x ≠ 1
2 x +x
1 
x +2

ữ: 1
ữ
Bài 21: Cho biểu thức : P = 

 x x −1
x −1÷  x + x + 1÷

 

a) Rót gän P
b) TÝnh P khi x= 5 + 2 3
3x


1
2 ữ
1
+ 2
Bài 22: Cho biĨu thøc P = 1: 
÷:
 2+ x 4x 42 x ữ 42 x


a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 20
Bài 19: Cho biểu thức P =

a b

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

12

(

)

2

x − y + xy
 x−y
x3 − y 3 
Bµi 23: Cho biĨu thøc : P = 
÷:
+
 x− y
y−x ÷
x+ y


a) Rót gän P
b) Chøng minh P ≥ 0

1
3 ab
1
3 ab
a b
+

ữ.
ữ:
Bài 24: Cho biÓu thøc P = 

 a + b a a + b b ÷  a − b a a − b b ÷ a + ab + b 


 


a) Rót gän P
b) TÝnh P khi a =16 vµ b = 4
 2a + a − 1 2a a a + a a a

ữ.
Bài 25: Cho biĨu thøc: P = 1 + 
 1− a
÷ 2 a 1
1 a a


a) Cho P=

6

tìm giá trị của a

1+ 6

b) Chøng minh r»ng P >

2
3

 x − 5 x 25 x
x +3
x 5
1ữ:

+
ữ
Bài 26: Cho biĨu thøc: P = 
 x − 25
÷  x + 2 x − 15
x +5
x −3÷

 

a) Rót gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P < 1

a) Rót gän P

Bµi 29: Cho biĨu thøc: P = 


a) Rót gän P
Bµi 30: Cho biĨu thøc : P =

(

)

 ( a − 1) . a − b
÷:
a b ữ 2a + 2 ab + 2b

b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
a +2
ữ
a 1 ữ

1
b) Tìm giá trị của a ®Ó P >
6
1
1 
2
1 1  x3 + y x + x y + y 3
+
+ + :
÷.
x
y ÷ x + y x y
x 3 y + xy 3


b) Cho x.y = 16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất


3 a
3a
Bài 27: Cho biểu thức P = 

−
 a + ab + b a a − b b

a) Rót gän P
 1
1   a +1
−
−
Bµi 28: Cho biĨu thøc P = 
÷: 
a   a −2
 a −1


x3
xy − 2y

+

2x

−

1

.

1− x

x + x − 2 xy − 2 y 1 − x

a) Rót gän P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y = 625 vµ P < 0,2

x +2
x − 2  x +1
−
.
Bµi 31 : Cho biĨu thøc : Q = 
 x + 2 x +1 x −1 ÷
÷
x


a) Tìm x để Q > Q
Bài 32 : Cho biểu thức P =

b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên.
1
x +1

+

x
x x

a) Rút gọn biểu thức sau P.
Bµi 33 : Cho biĨu thøc : A =

b) TÝnh giá trị của biểu thức P khi x =

1
2

x x +1 x −1
−
x −1
x +1

a) Rót gän biĨu thøc

b) TÝnh giá trị của biểu thức A khi x =

c) Tìm x để A < 0.

d) Tìm x để

1
4

A =A

1
1 
3 
+
Bµi 34 : Cho biĨu thøc : A = 
÷ 1 −
÷
a + 3 
a

 a −3
a) Rót gän biểu thức sau A.

b) Xác định a để biểu thức A >

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

1
.
2
13


 x + 1 x − 1 x 2 − 4x − 1  x + 2010
−
+
Bµi 35 : Cho biĨu thøc: A = 
.
÷.
x2 − 1 
x
 x −1 x +1
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức có nghĩa.

(

b) Tìm x Z để A Z

)

 x x −1 x x + 1 2 x − 2 x + 1
Bµi 36 : Cho biĨu thøc: A =
.

:
x x x+ x ữ
ữ
x 1


a) Tìm x để A < 0.
b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên
x+2
x
1 x 1
+
+
:
Bài 37 : Cho biÓu thøc: A = 
 x x − 1 x + x + 1 1− x ÷ 2
÷


a) Rót gän biÓu thøc A.
b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2
a +3
a −1 4 a − 4
−
+
Bµi 38 : Cho biÓu thøc: P =

(a ≥ 0; a ≠ 4)
4−a
a 2
a +2
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P víi a = 9
 a + a  a − a
ữ 1
ữ
Bài 39 : Cho biểu thức: N =  1 +

÷
a + 1 ÷
a −1 


a) Rót gọn biểu thức N.
b) Tìm giá trị của a để N = -2010
x x + 26 x − 19 2 x
x −3
−
+
Bµi 40 : Cho biĨu thøc P =
x+2 x 3
x 1
x +3
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị của P khi x = 7 − 4 3
c) Víi gi¸ trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó
2 x

x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
− 1÷
÷: 
Bµi 41 : Cho biĨu thøc P = 
 x +3
ữ
x +3 x9 ữ x 3



1
a) Tìm x để P <
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
2
 a +1

a −1
1 
−
+ 4 a ÷.  a +
Bài 42: Cho A=
ữ với x > 0 ,x ≠ 1
 a −1
÷
a +1
a



a) Rót gän A

(

)(

b) TÝnh A víi a = 4 + 15 .

)(

10 − 6 .

4 − 15

)

 x−3 x   9−x
x −3
x −2
− 1÷:
+

Bài 43: Cho A=
ữ với x 0 , x ≠ 9, x ≠ 4
 x−9
÷  x+ x 6
x 2
x +3ữ

a) Tìm x để A < 1.
b) Tìm x Z để A Z
15 x 11 3 x − 2 2 x + 3
+
−
Bµi 44: Cho A =
víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
x + 2 x − 3 1− x
x +3
a) Rót gän A.
b) Tìm GTLN của A.
1
2
c) Tìm x để A =
d) CMR : A ≤
2
3
x+2
x +1
1
+
+
Bµi 45: Cho A =
víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
x x − 1 x + x + 1 1− x
a) Rót gän A.
b) T×m GTLN cđa A
1

3
2
−
+
Bµi 46: Cho A =
víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
x +1 x x +1 x − x +1
a) Rót gän A.
b) CMR : 0 ≤ A ≤ 1
 x − 5 x   25 − x
x +3
x 5
1ữ:

+
Bài 47: Cho A = 
÷
 x − 25
÷  x + 2 x − 15
x +5
x 3ữ



a) Rút gọn A.
b) Tìm x Z để A Z

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

14

2 a −9

−

a +3

−

2 a +1

víi a ≥ 0 , a ≠ 9 , a ≠ 4.
a−5 a +6
a −2 3 a
a) Tìm a để A < 1
b) Tìm x ∈ Z ®Ĩ A ∈ Z
 x− x +7
1   x +2
x −2 2 x 
+
−
−
Bµi 49: Cho A = 
÷: 
÷ víi x > 0 , x ≠ 4.
 x−4
x −2÷  x −2
x +2 x−4÷


 

1
a) Rót gọn A.
b) So sánh A với
A
Bài 48: Cho A =

(

3
3
xy
x y
ữ:
Bài 50: Cho A =
+
x y
y−x ÷


a) Rót gän A.
x x −1 x x +1 
−
+ x −
Bµi 51 : Cho A =
x− x x+ x
a) Rút gọn A.

x 4
3 ữ

+
:
Bài 52 : Cho A =
 x x −2
x −2÷ 

 
a) Rót gän A

(

)

x− y

)

2

+ xy

x+ y

b) CMR : A ≥ 0
x +1
x −1
+

÷ Víi x > 0 , x ≠ 1
x −1
x + 1ữ

b) Tìm x để A = 6

1
ữ.
x

x +2
x

víi x ≥ 0 , y ≥ 0, x ≠ y

−

x 
÷
x −2÷


víi x > 0 , x ≠ 4.

b) TÝnh A víi x = 6 − 2 5
1   1
1 
1
 1
+

−
Bµi 53 : Cho A= 
víi x > 0 , x ≠ 1.
÷: 
÷+
 1− x 1+ x   1− x 1+ x  2 x
a) Rót gän A

b) TÝnh A víi x = 6 − 2 5

 2x + 1
1  
x+4 
÷:  1
Bài 54 : Cho A = 3

ữ x + x + 1 ÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
x − 1

 x −1
a) Rót gän A.
b) Tìm x nguyên để A nguyên
1
1
2 x −2
2 
−
:
−
Bµi 55: Cho A= 

 x + 1 x x − x + x − 1 ÷  x − 1 x − 1 ÷ víi x ≥ 0 , x 1.
ữ



a) Rút gọn A.
b) Tìm x ®Ĩ A ®¹t GTNN
 2 x
x
3x + 3   2 x − 2 
+
−
− 1÷ víi x ≥ 0 , x 9
Bài 56 : Cho A =
ữ: 
 x +3
÷
x −3 x−9 ÷  x −3

 

1
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A < 2
x +1
x −1 8 x   x − x − 3
1

Bài 57 : Cho A =
ữ:
ữ với x ≥ 0 , x ≠ 1.
 x −1
÷  x −1
x +1 x −1 
x −1÷


a) TÝnh A víi x = 6 − 2 5
b) CMR : A ≤ 1
1 
x +1
 1
+
Bµi 58 : Cho A = 
víi x > 0 , x ≠ 1.
÷:
x − 1 x − 2 x + 1
x− x
a) Rót gän A
b) So s¸nh A víi 1
 x −1
1
8 x   3 x −2
1
−
+
: 1−
Bµi 59 :

Cho A = 
 3 x − 1 3 x + 1 9x − 1 ÷  3 x + 1 ÷ Víi x ≥ 0,x 9
ữ
ữ



6
a) Tìm x để A =
b) Tìm x ®Ó A < 1.
5
 x −2
x + 2  x 2 − 2x + 1
−
.
Bµi 60 : Cho A = 
víi x ≥ 0 , x ≠ 1.
 x − 1 x + 2 x + 1÷
÷
2


a) Rót gän A.

b) CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

15

c) TÝnh A khi x = 3 + 2 2

d) Tìm GTLN của A

Bài tập về phơng trình bậc hai
Bài 1: Cho phơng trình : m 2x

(

)

2

2 1 = 2 x + m2

a) Giải phơng trình khi m = 2 + 1
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 3 2
c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng duy nhất
2
Bài 2: Cho phơng tr×nh : ( m − 4 ) x − 2mx + m 2 = 0
(x là ẩn )
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = 2 .Tìm nghiệm còn lại
b) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm phân biệt
2
2
c) Tính x1 + x 2 theo m

Bài 3: Cho phơng trình : x 2 ( m + 1) x + m − 4 = 0
(x lµ ẩn )

a) Tìm m để phơng trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m
c) Chøng minh biĨu thøc M = x1 ( 1 − x 2 ) + x 2 ( 1 − x1 ) kh«ng phơ thc vào m.
Bài 4: Tìm m để phơng trình
a) x 2 − x + 2( m − 1) = 0 cã hai nghiệm dơng phân biệt
b) 4x 2 + 2x + m − 1 = 0 cã hai nghiƯm ©m ph©n biÖt
2

(

)

2
2
c) m + 1 x − 2 ( m + 1) x + 2m − 1 = 0 cã hai nghiệm trái dấu

2
2
Bài 5: Cho phơng trình : x ( a − 1) x − a + a − 2 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiƯm tr¸I dÊu víi mäi a
2
2
b) Gäi hai nghiƯm của phơng trình là x1 và x2 .Tìm giá trị của a để x1 + x 2 đạt giá trị nhá nhÊt
1 1 1
Bµi 6: Cho b vµ c lµ hai sè tho¶ m·n hƯ thøc: + = . Chøng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình sau ph¶i
b c 2
2
2
cã nghiƯm x + bx + c = 0 vµ x + cx + b = 0
Bµi 7: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm sè chung:

2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 vµ 4x2 – (9m 2)x + 36 = 0
Bài 8: Cho phơng trình : 2x 2 − 2mx + m2 − 2 = 0
a) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt
b) Giả sử phơng trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dơng lớn nhất của phơng trình
Bài 9: Cho phơng trình bậc hai tham sè m : x 2 + 4x + m + 1 = 0
a) Tìm điều kiện của m để phơng trình có nghiệm
2
2
b) Tìm m sao cho phơng trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mÃn điều kiện x1 + x 2 = 10

2
Bài 10: Cho phơng trình x 2 ( m − 1) x + 2m − 5 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiƯm cung dÊu . Khi ®ã hai nghiƯm mang dấu gì ?
2
Bài 11: Cho phơng trình x 2 ( m + 1) x + 2m + 10 = 0 (với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là x 1; x2 hÃy tìm một hệ thức liên hệ giữa x 1; x2 mà
không phụ thuộc vào m
2
2
c) Tìm giá trị cđa m ®Ĩ 10x1x 2 + x1 + x 2 đạt giá trị nhỏ nhất

2
Bài 12: Cho phơng trình ( m − 1) x − 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số
a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt m 1
b) Xác định giá trị của m dể phơng trình có tích hai nghiƯm b»ng 5, tõ ®ã h·y tÝnh tỉng hai nghiêm của ph ơng
trình

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

16


c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
x1 x 2 5
+ + =0
d) Tìm m để phơng trình có nghiệm x1; x2 thoả mÃn hệ thức:
x 2 x1 2
Bài 13: Cho phơng trình: x 2 − mx + m − 1 = 0 (m là tham số)
a) Chứng tỏ rằng phơnh trình có nghiƯm x 1; x2 víi mäi m; tÝnh nghiƯm kÐp ( nếu có) của phơng trình và giá trị
của m tơng ứng
2
2
b) Đặt A = x1 + x 2 6x1x 2 . Chøng minh A = m2 − 8m + 8 .
c) Tìm m để A = 8 và tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng.
d) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia
n
n
Bài 14: Giả sử phơng trình a.x 2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2. Đặt Sn = x1 + x 2 (n nguyên dơng)
a) Chứng minh: a.Sn+ 2 + bSn+1 + cSn = 0
5

5

 1+ 5 1 5
+
b) áp dụng Tính giá trị cđa : A= 
 2 ÷  2 ÷
÷ 

÷

 

Bµi 15: Cho f(x) = x2 - 2 (m + 2).x + 6m + 1
a) CMR phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m
b) Đặt x = t + 2 .Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có 2 nghiệm lớn hơn 2
2
2
Bài 16: Cho phơng trình: x − 2 ( m + 1) x + m 4m + 5 = 0
a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
2
2
d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính x1 + x 2 theo m
Bài 17: Cho phơng trình x 2 − 4x 3 + 8 = 0 cã hai nghiệm là x1; x2. Không giải phơng trình, hÃy tính giá trị của biểu
6x 2 + 10x x + 6x 2
thøc : M = 1 3 1 2 3 2
5x1x 2 + 5x1 x 2
2
Bài 18: Cho phơng trình x − 2 ( m + 2 ) x + m + 1 = 0
1
a) Giải phơng trình khi m =
2
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
2
c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình. Tìm m để : x1(1 2x 2 ) + x 2 (1 − 2x1 ) = m
Bài 19: Cho phơng trình x 2 + mx + n − 3 = 0 (1) (n , m lµ tham số)
a) Cho n = 0 . CMR phơng trình lu«n cã nghiƯm víi mäi m

 x1 − x 2 = 1
b) Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phơng trình (1) thoả mÃn hệ : 2 2
 x1 − x 2 = 7

Bµi 20: Cho phơng trình: x 2 ( k 2 ) x − 2k − 5 = 0 ( k lµ tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
2
2
b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho x1 + x 2 = 18
2

2
Bµi 21: Cho phơng trình ( 2m 1) x 4mx + 4 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = 1
b) Giải phơng trình (1) khi m bất kì
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có một nghiệm bằng m
2
2
Bài 22: Cho phơng trình: x − ( 2m − 3 ) x + m − 3m = 0

a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mÃn 1 < x1 < x 2 < 6
Bài 23: Cho phơng trình x 2 − 2mx + 2m − 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm x1; x2 với mọi m.
2
2
b) Đặt A = 2(x1 + x 2 ) − 5x1x 2 . CMR A = 8m2 − 18m + 9 . T×m m sao cho A = 27
c) Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm nay bằng hai nghiệm kia
Bài 24: Giải và biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) + 2m + 10 = 0
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

17


Bài 25: Giải và biện luận phơng trình: (m - 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0
Bµi 26: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhÊt
a) 2x2 + 2007x – 2009 = 0
b) 17x2 + 221x + 204 = 0
c) x2 + ( 3 − 5 )x - 15 = 0
d) x2 –(3 - 2 7 )x - 6 7 = 0
Bài 27: Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham sè)
a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0
b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0
2
Bµi 28: Gäi x1 , x2 là các nghịêm của phơng trình : x 3x – 7 = 0
a) TÝnh:
A = x12 + x22
B = x1 − x 2
1
1
+
C=
D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)
x1 1 x 2 1
1
1
b) Lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
và
x1 1
x2 1

2
2
Bài 29: Cho phơng trình: x ( k 1)x - k + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)
a) Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
c) Gọi x1, x2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x13 + x23 > 0
Bài 30: Cho phơng trình: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phơng trình (1) với m = -5
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m
c) Tìm m để x1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là ha1 nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần b)
Bài 31: Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m lµ tham số)
9
a) Giải phơng trình khi m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình đà cho có nghiệm với mọi m
c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần
nghiệm kia.
Bài 32: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) víi m lµ tham sè .
a) BiƯn ln theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Bài 33: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
a) Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
b) Tìm k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mÃn điều kiện : x12 + x22 = 10
Bài 34: Cho phơng trình : x2 6x + 1 = 0, gäi x1 vµ x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình. Không giải phơng trình, hÃy tính:
a) x12 + x22
b) x1 x1 + x 2 x 2
c)

2
x1 + x 2 + x1x x ( x1 + x 2 )

2

(

)

(

)

2
2
x1 x1 − 1 + x 2 x 2 − 1
2
2

.

Bµi 35: Cho phơng trình bậc hai: x2 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0
a) T×m các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm giá trị của m thoả m·n x12 + x22 = 12 (trong ®ã x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).
Bài 36: Cho phơng trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0.
a) Chøng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị cđa m ®Ĩ: x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8.
Bài 37: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
a) Giải phơng trình với m = 0.
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mÃn 5x1 + x2 = 4.
Bài 38: Cho phơng trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1).

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x13 + x23.
Bài 39: Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mÃn x13 + x23 0.
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

18


Bài 40: Cho phơng trình: (m 1)x2 + 2mx + m 2 = 0 (*)
a) Giải phơng trình khi m = 1.
b) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Bài 41: Cho phơng trình (2m - 1)x2 - 2mx + 1 = 0. Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1, 0)
Bài 42: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có nghiệm chung. Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x2 + (3m + 1)x – 9 = 0 vµ 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – 1 = 0 vµ mx2 – x + 2 = 0.
c) x2 – mx + 2m + 1 = 0 vµ mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0.
Bài 43: Xét các phơng trình sau: ax2 + bx + c = 0 (1) vµ cx2 + bx + a = 0 (2)
Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất.
Bài 44: Cho hai phơng trình: x2 2mx + 4m = 0 (1) vµ x2 – mx + 10m = 0 (2)
Tìm các giá trị của tham số m để phơng trình (2) có một nghiệm bằng hai lần một nghiệm của phơng trình (1)
Bài 45: Cho hai phơng trình: x2 + x + a = 0 vµ x2 + ax + 1 = 0
a) Tìm các giá trị của a để cho hai phơng trình trên có ít nhất một nghiệm chung.
b) Với những giá trị nào của a thì hai phơng trình trên tơng đơng.
Bài 46: Cho hai phơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) và x2 + 2x + m = 0 (2)
a) Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung.
b) Định m để hai phơng trình tơng đơng.
c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 47: Cho các phơng trình: x2 5x + k = 0 (1) vµ x2 – 7x + 2k = 0 (2)
Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp 2 lần một trong các nghiệm của phơng trình

(1).
Bài tập về hàm số bậc nhất
Bài 1: a) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4).
b) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung vµ trơc hoµnh
Bµi 2 Cho hµm sè y = (m 2)x + m + 3.
a) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.
b) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.
c) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hµm sè y = -x + 2 ; y = 2x 1 đồng quy
Bài 3: Cho hàm số y = (m 1)x + m + 3.
a) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
b) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1; -4).
c) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m
Bài 4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
a) Viết phơng trình đờng thẳng AB.
b) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m 2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng AB đồng
thời đi qua ®iĨm C(0 ; 2).
Bµi 5: Cho hµm sè y = (2m 1)x + m 3.
a) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)
b) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m. Tìm điểm cố định ấy.
c) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1
6x
4x 5
Bài 6 : Tìm giá trị của k để các đờng thẳng sau : y =
;y=
và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm.
4
3
Bài 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b. Xác định a, b ®Ĩ (d) ®i qua hai ®iĨm A(1; 3) vµ B(-3; -1).
Bµi 8 : Cho hµm sè : y = x + m
(D). Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :

a) Đi qua điểm A(1; 2010).
b) Song song với đờng thẳng x y + 3 = 0.
Bµi 9: Cho hµm sè y = (m - 2)x + n
(d)
Tìm giá trị của m và n để đồ thị (d) của hàm số :
a) Đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4)
b) Cắt trục tung tại điểm cótung độ bằng 1- 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2+ 2 .
c) Cắt đờng thẳng -2y + x – 3 = 0
d) Song song vèi đờng thẳng 3x + 2y = 1
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

19


Bµi 10: Cho hµm sè : y = 2x 2 (P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm trên đồ thị các điểm cách đều hai trục toạ độ
c) Xét số giao ®iĨm cđa (P) víi ®êng th¼ng (d) y = mx 1 theo m
d) Viết phơng trình đờng thẳng (d') ®i qua ®iĨm M(0; -2) vµ tiÕp xóc víi (P)
Bµi 11 : Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = 2x + m
1) Xác định m ®Ĩ hai ®êng ®ã :
a) TiÕp xóc nhau . T×m toạ độ tiếp điểm
b) Cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B , một điểm có hoành độ x= -1. Tìm hoành độ điểm còn lại
Tìm toạ độ A và B
2) Trong trờng hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N. ìm toạ độ trung điểm I của
đoạn MN theo m và tìm quỹ tích của điểm I khi m thay đổi.
Bài 12: Cho đờng thẳng (d) 2(m 1)x + (m 2)y = 2
a) Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P) y = x 2 tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max

d) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
Bài 13: Cho (P) y = − x 2
a) T×m tËp hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ đợc hai đờng thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với
(P)
b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng 2
3
Bài 14: Cho ®êng th¼ng (d) y = x − 3
4
a) VÏ (d). Tính diện tích tam giác đợc tạo thành giữa (d) và hai trục toạ độ
b) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d)
Bài 15: Cho hàm số y = x 1 (d)
a) Nhận xét dạng của đồ thị. Vẽ ®å thÞ (d)
b) Dïng ®å thÞ , biƯn ln sè nghiệm của phơng trình x 1 = m
Bài 16: Với giá trị nào của m thì hai đờng thẳng : (d) y = (m − 1)x + 2
(d') y = 3x − 1
a) Song song víi nhau
b) C¾t nhau
c) Vuông góc với nhau
Bài 17: Tìm giá trị của a ®Ĩ ba ®êng th¼ng : (d1): y = 2x – 5; (d 2): y = x + 2; (d 3): ax - 12 đồng quy tại một điểm trong
mặt phẳng toạ độ
Bài 18: CMR khi m thay đổi thì (d) 2x + (m - 1)y = 1 luôn đi qua một điểm cố định
1
Bài 20: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y=ax + b .Xác định a và b để đờng thẳng (d) đI qua điểm A(-1; 0) vµ tiÕp
2
xóc víi (P).
Bµi 21: Cho hµm sè y = x − 1 + x + 2
a) VÏ đồ thị hàn số trên
b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm của phơng trình x − 1 + x + 2 = m
Bµi 22: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = 2x + m
a) Vẽ (P)

b) Tìm m để (P) tiÕp xóc (d)
2
x
Bµi 23: Cho (P) y = −
vµ (d) y = x + m
4
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ bằng -4
d) Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao ®iĨm cđa (d') vµ (P)
Bµi 24: Cho hµm sè y = x 2 (P) vµ hµm sè y = x + m (d)
a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
c) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì. áp dụng. Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai
điểm A và B bằng 3 2
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

20


Bài 25: Cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng ( d1 ) y = -2(x + 1)
a) Tìm a để hàm số y = a.x 2 (P) đi qua A
b) Xác định phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua A và vuông góc với (d1)
c) Gọi A và B là giao điểm của (P) và (d 2) ; C là giao điểm của (d1) với trục tung. Tìm toạ độ của B và C. Tính
diện tích tam giác ABC
1
Bài 26: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lợt là -2 và 4
4
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d)

c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ x ∈  −2;4  sao cho tam gi¸c MAB cã diện tích lớn nhất.


x2
và điểm M (1; -2)
4
a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
2
2
c) Gọi x A ; xB lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để x A xB + x A xB đạt giá trị nhỏ nhất
d) Gọi A' và B' lần lợt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.
*Tính S theo m;
*Xác định m ®Ĩ S= 4(8 + m2 m2 + m + 2)

Bµi 27: Cho (P) y = −

Bµi 28: Cho hµm sè y = x 2 (P)
a) VÏ (P)
b) Gäi A,B lµ hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB
c) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
1
Bài 29: Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = mx 2m 1
4
a) Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ ®é tiÕp ®iĨm
b) Chøng tá r»ng (d) lu«n ®i qua một điểm cố định
1
Bài 30: Cho (P) y = x 2 và điểm I(0; -2) .Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m.
4
a) Vẽ (P) . CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B m R

b) Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
3
x2
Bài 31: Cho (P) y =
và đờng thẳng (d) đi qua điểm I( ;1) có hệ số góc là m
2
4
a) Tìm m sao cho (d) tiÕp xóc (P)
b) T×m m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
x
x2
Bài 32: Cho (P) y =
và đờng thẳng (d) y = + 2
2
4
a) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
b) Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại ®ã ®êng tiÕp tun cđa (P) song song víi (d)
Bµi 33: Cho (P) y = x 2
a) Gäi A vµ B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết phơng trình đờng thẳng AB
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB vµ tiÕp xóc víi (P)
Bµi 34: Cho (P) y = 2x 2 . Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 và điểm B có hoành độ x=2 . Xác định các giá trị của
m và n để đờng thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) và song song với AB
(d1 )x + y = m
Bài 35: Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình
cắt nhau tại một điểm trên (P)
(d2 )mx + y = 1
y = 2x 2
Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần
Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn
Bài 1: Giải các phơng trình sau đây:

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân H·n

21


x
x
2x 3 - 1
+
=2
b) 3
=2
x - 1 x+2
x + x +1
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình theo m:
(m 2)x + m2 4 = 0
Bài 3: Tìm m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyªn: (2m – 3)x + 2m 2 + m - 2 = 0.
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 7x + 4y = 23.
Bài 4: Giải hệ phơng tr×nh:
2x − 3y = −5
 x + 4y = 6
2x − y = 3
a) 
b) 
c) 
 −3x + 4y = 2
 4x − 3y = 5
5 + y = 4x
5
2

x + x + y = 2
x − y = 1
2x + 4 = 0

d) 
e) 
f) 
 4x + 2y = −3
x + y = 5
 3 + 1 = 1,7
x x + y

a)

mx − y = 2
Bµi 5: Cho hệ phơng trình :
x + my = 1
a) Giải hệ phơng trình theo tham số m.
b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1.
c) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phơ thc vµo m
 x − 2y = 3 − m
Bài 6: Cho hệ phơng trình:
2x + y = 3(m + 2)
a) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1.
b) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhá nhÊt
(a − 1)x + y = a
Bµi 7: Cho hệ phơng trình:
có nghiệm duy nhất là (x; y).
x + (a 1)y = 2
a) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a.

b) Tìm các giá trị của a thoả mÃn 6x2 17y = 5.
2x 5y
c) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức
nhận giá trị nguyên.
x+y
x + ay = 1
(1)
Bài 8: Cho hệ phơng trình:
ax + y = 2
a) Gi¶i hƯ (1) khi a = 2.
b) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất.
mx y = n
Bài 9: Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình
có nghiệm là 1; 3 .
nx + my = 1

(

)

( a + 1) x + y = 4

Bµi 10: Cho hệ phơng trình
(a là tham số).
ax + y = 2a

a) Gi¶i hƯ khi a = 1.
b) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m ·n x + y ≥ 2.
 x - (m + 3)y = 0
Bµi 11: Cho hệ phơng trình :

(m là tham số).
(m - 2)x + 4y = m - 1
a) Gi¶i hƯ khi m = -1.
b) Giải và biện luận phơng trình theo m.
x - m y = 0
Bài 12: Cho hệ phơng trình: 
(m lµ tham sè).
mx − 4y = m + 1
a) Giải hệ khi m = -1.
b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên.
c) Xác định mäi hÖ cã nghiÖm x > 0, y > 0.
( m + 1) x − y = m + 1

Bµi 13: Tìm m để hệ phơng trình
Có nghiệm duy nhất thoả mÃn điều kiện x + y nhỏ nhất
x + ( m − 1) y = 2

Bµi 14: Giải hệ phơnh trình và minh hoạ bằmg đồ thị
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

22


x − y = 2

b)  x y
 + =1
4 4
2x + by = 4
Bài 15: Cho hệ phơng trình : 

bx − ay = −5
 x +1= y

a) 
2y − 5 = x


 y +1 = x −1

c) 
 y = 3x 12


a) Giải hệ phơng trình khi a = b
b) Xác định a và b để hệ phơng trình trên có nghiệm (x; y) = (1; -2)
mx y = 2m
Bài 16: Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số m:
4x my = 6 + m
 x + ay = 1
Bµi 17: Với giá trị nào của a thì hệ phơng tr×nh : 
ax + y = 2
a) Cã mét nghiƯm duy nhÊt
b) V« nghiƯm
2
2
 x + xy + y = 19
Bài 18: Giải hệ phơng trình sau:
x xy + y = −1

x −1 + y − 2 = 1

Bài 19*: Tìm m sao cho hệ phơng trình sau cã nghiÖm: 
2
( x − y ) + m ( x − y − 1) − x + y = 0

 2x 2 − xy + 3y 2 = 13
Bài 20: GiảI hệ phơng trình: 2
2
x 4xy − 2y = −6
a3 + 2b2 − 4b + 3 = 0
Bài 21*: Cho a và b thoả mÃn hệ phơng trình 2 2 2
.Tính a2 + b2
a + a b − 2b = 0
(a + 1)x y = 3
Bài 21: Cho hệ phơng trình
a.x + y = a
a) Giải hệ phơng rình khi a= - 2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả m Ãn điều kiện x + y > 0

Giải toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình
1. Toán chuyển động
Bài 1: Hai tỉnh A và B cách nhau 180 km. Cùng một lúc, một ôtô đi từ A đến B và một xe máy đi từ B về A. Hai xe
gặp nhau tại thị trấn C. Từ C đến B ôtô đi hết 2 giờ , còn từ C về A xe máy ®i hÕt 4 giê 30 phót. TÝnh vËn tèc cđa mỗi
xe biết rằng trên đờng AB hai xe đều chạy với vận tốc không đổi
Bài 2: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B rồi lại ngợc dòng từ bến B về bến A mất tất cả 4 giờ. Tính vận tốc
của ca nô khi nớc yên lặng, biết rằng quÃng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng n ớc là 4 km/h.
Bài 3: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngựơc từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn
thời gian đi ngợc 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h
Bài 4: Một ngời chuyển động đều trên một quÃng đờng gồm một đoạn đờng bằng và một đoạn đờng dốc. Vận tốc
trên đoạn đờng bằng và trên đoạn đờng dốc tơng ứng là 40 km/h và 20 km/h. Biết rằng đoạn đờng dốc ngắn hơn

đoạn đờng bằng là 110km và thời gian để ngời đó đi cả quÃng đờng là 3 giờ 30 phút. Tính chiều dài quÃng đờng ngời
đó đà đi.
Bài 5: Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ A đến B. Xe tảI đi với vận tốc 30 km/h, xe con ®i víi vËn tèc 45
3
km/h. Sau khi ®i ®ỵc qu·ng đờng AB, xe con tăng vận tốc thêm 5 km/h trên qu Ãng đ ờng còn lại. Tính quÃng đờng
4
AB biết rằng xe con đến B sớm hơn xe tải 2giờ 20 phút.
Bài 6: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33 km với một vận tốc xác định. Khi từ B về A ng ời đó đi bằng con đờng khác dài hơn trớc 29 km nhng víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc lóc ®i 3 km/h. TÝnh vËn tèc lóc ®i, biÕt r»ng thời gian về
nhiều hơn thời gian đi là 1 giờ 30 phút.
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

23


Bài 7: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 Km đi ngợc chiều nhau. Sau 1h40 thì gặp nhau. Tính
vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ng ợc 9Km/h và vận tốc dòng nớc là 3 Km/h.
Bài 8: Hai địa điểm A,B cách nhau 56 Km. Lúc 6h45phút một ngời đi xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h. Sau đó 2 giờ
một ngời đi xe đạp tõ B ®Õn A víi vËn tèc 14 Km/h. Hái đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu
Km ?
Bài 9: Một ngời đi xe ®¹p tõ A ®Õn B víi vËn tèc 15 km/h. Sau đó một thời gian, một ngời đi xe máy cũng xuất phát từ
A với vận tốc 30 km/h và nếu không có gì thay đổi thì sẽ đuổi kịp ng ời đi xe máy tại B. Nhng sau khi đi đợc nửa
quÃng đờng AB, ngời đi xe đạp giảm bớt vận tốc 3 km/h nên hai ngòi gặp nhau tại C cách B 10 km. Tính qu Ãng đ ờng
AB
Bài 10: Một ngời đi xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 km/h. Khi ®Õn B ngêi ®ã nghØ 20 phót råi quay trë
vỊ A với vận tốc trung bình là 24 km/h. Tính qu Ãng đ ờng AB biết rằng thời gian cả ®i lÉn vỊ lµ 5 giê 50 phót.
Bµi 11: Mét ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau đó ngợc từ B về A. Thời gian đi xuôi ít
hơn thời gian đi ngợc là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 3 Km/h và vận
tốc riêng của ca nô là không đổi .
Bài 12: Một ô tô dự định đi tõ tØnh A ®Õn tØnh B víi vvËn tèc trung bình là 40 km/h . Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi
còn 60 km nữa thì đợc một nửa quÃng đờng AB, ngời lái xe tăng vận tốc thêm 10 km/h trên qu Ãng đ ờng còn lại. Do

đó ô tô đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính qu Ãng đ ờng AB.
Bài 13: Hai ca nô khởi hành cùng một lúc và chạy từ bến A đến bến B. Ca nô I chạy với vận tốc 20 km/h, ca nô II
chạy với vận tốc 24 km/h. Trên đờng đi ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy. Tính chiều dài qu Ãng đ ờng
sông AB biết rằng hai ca nô đến B cùng một lúc .
Bài 14: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50 km. Sau ®ã 1 giê 30 phót, mét ngời đi xe máy cũng đi từ A và
đến B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc của xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp.
Bài 15: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km. Một lần khác, ca nô đó cũng
chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngợc dòng 84 km. Tính vận tốc dòng nớc chảy và vận tốc riêng (thực) của ca
nô.
Bài 16: Một tầu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km, cả đi và vỊ mÊt 8 giê 20 phót. TÝnh vËn tèc cđa tầu khi n ớc
yên lặng, biết rằng vận tốc dòng níc lµ 4 km/h.
Bµi 17: Mét chiÕc thun khëi hµnh từ bến sông A. Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi
theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 km. Hái vËn tèc cđa thun, biÕt r»ng ca nô chạy nhanh hơn
thuyền 12 km/h.
Bài 18: Một ôtô chuyển ®éng ®Ịu víi vËn tèc ® · ®Þnh ®Ĩ ®i hết qu Ãng đ ờng dài 120 km trong một thời gian đà định. Đi
đợc một nửa quÃng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên nửa qu Ãng
đờng còn lại. Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng.
Bài 19: Một ôtô dự định đi từ A đén B c¸ch nhau 120 km trong mét thêi gian quy định. Sau khi đi đ ợc 1 giờ ôtô bị
chắn ®êng bëi xe ho¶ 10 phót. Do ®ã, ®Ĩ ®Õn B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc lúc đầu
của ôtô.
Bài 20: Một ngời ®i xe ®¹p tõ A ®Õn B trong mét thêi gian đà định. Khi còn cách B 30 km, ng êi ®ã nhËn thÊy r»ng sÏ
®Õn B chËm nưa giê nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhng nếu tăng vận tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn
nửa giờ.Tính vận tốc của xe đạp tren qu Ãng đ ờng đà đi lúc đầu.
Bài 21: Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km. Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô
thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ. Tính vận tốc mỗi xe ô tô .
2
Bài 22: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Sau khi đi đ ợc quÃng đờng với vận tốc đó, vì đờng khó
3
đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên qu Ãng đ ờng còn lại. Do đó ô tô ®Õn B chËm 30 phót so víi dù
®Þnh. TÝnh qu·ng đờng AB

Bài 23: Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm
mất 2 giê . NÕu xe ch¹y víi vËn tèc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ . Tính qu Ãng đ ờng AB và thời gian dự định đi lúc
đầu .
Bài 24: QuÃng đờng AB dài 180 km. Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B. Do vận tốc của ôtô thứ nhất hơn
vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai 2h. Tính vận tốc của mỗi ôtô?
Bài 25: Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km. Một ô tô ®i tõ A ®Õn B, nghØ 90 phót ë B råi trë l¹i tõ B vỊ
A. Thêi gian tõ lóc ®i ®Õn lóc trë vỊ lµ 10 giê. BiÕt vËn tốc lúc về kém vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc lúc đi của
ô tô.
Bài 25: Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ A một bè nứa trôi
với vận tốc dòng nớc 4 km/h. Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôi tại một địa điểm C cách A là 8 km.
Tính vận tốc thực của ca nô.
Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

24


Bài 26: Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến B, mỗi giờ xe thứ
nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B tríc xe thø hai 12 phót. TÝnh vËn tèc mỗi xe
Bài 27: Hai địa điểm A, B cách nhau 56km. Lóc 6h45' mét ngêi ®i tõ A víi vËn tốc 10km/h. Sau 2h, một ngời đi xe
đạp từ B tíi A víi vËn tèc 14km/h . Hái ®Õn mÊy giờ thì họ gặp nhau, chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km
Bài 28: Một ca nô xuôi từ A ®Õn B víi vËn tèc 30km/h, sau ®ã ngỵc tõ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi
ngợc là 40'. Tính khoảng cách giữa A và B. Biết vận tốc ca nô không đổi, vận tốc dòng nớc là 3km/h.
Bài 29: Một ngời đi xe đạp từ A đến B cách nhau 50km. Sau 1h30' một ngời đi xe máy cũng từ A và đến B sớm hơn
một giờ. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần xe đạp
2. Toán năng suất
Bài 1: Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm một mình để làm xong
công việc ấy, thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi mỗi đội làm một mình xong công việc
ấy trong bao lâu?
Bài 2: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nh ng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi ngày
đà vợt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đ à hoàn thành kế hoạch đ à định trong 24 ngày mà còn v ợt mức 104

000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
Bài 3: Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt đợc 20 tấn cá, nhng đà vợt mức đợc 6 tấn mỗi tuần
nên chẳng những đà hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn v ợt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế hoạch đà định
Bài 4: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng. Trớc khi làm việc đội xe đó đợc bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe
chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối
lợng bằng nhau.
Bài 5: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một mức khoán. Nếu làm chung trong 4 giờ tổ 1 và 6 giờ của tổ 2 thì hoàn
2
thành đợc
mức khoán. Nếu để mỗi tổ làm riêng thì tổ này sẽ làm xong mức khoán thì mỗi tổ phải làm trong bao
3
lâu ?
Bài 6: Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong công việc đ Ã định. Họ làm chung với nhau trong
4 giờ thì tổ thứ nhất đợc điều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai làm
một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Bài 7: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ hai làm 6
giờ thì họ làm đợc 25% côngviệc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì xong .
Bài 8: Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm. Đến khi làm việc, do phải điều 3 công nhân đi
làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công
nhân ? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là nh nhau.
Bài 9: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm 3 giờ và ngời thứ 2 làm 6 giờ
thì họ làm đợc 25% công việc. Hỏi mỗi ngời làm một mình công việc đó trong mấy giời thì xong ?.
Bài 10: Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất đợc 800 sản phẩm. Sang tháng thứ hai tổ 1 vợt 15%.tổ 2 vợt 20%. Do đó cuối
tháng cả hai tổ xản xuất đựoc 945 sản phẩm. Tính xem trong tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất đ ợc bao nhiêu sản
phẩm
Bài 11: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12%
nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy ?
Bài 12: Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu ngời. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B
tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 ngời. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm
nay ?

3. Toán thể tích
Bài 1: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đà làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút. Nếu chảy riêng thì
vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bể
?
Bài 2: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút. Nếu chảy riêng, vòi thứ
nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thø hai trong 1 giê 30 phót. Hái nÕu ch¶y riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong
bao lâu ?
Bài 3: Một máy bơm muốn bơm đầy nớc vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải bơm đợc 10
1
m3. Sau khi bơm đợc
thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, mỗi giờ bơm đ ợc 15 m3. Do
3
vậy so với quy định, bể chứa đợc bơm đầy trớc 48 phút. Tính thể tích bể chứa.

Su tầm và biên soạn: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân HÃn

25