SKKN phát triển tư duy giải phương trình lượng giác

MỤC LỤC
MỤC LỤC………………………………………………………………. Trang 1
PHẦN I. MỞ ĐẦU……………………………………………………………..…2
I. Lý do chọn đề tài ……………………………………………………………..…2
II. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….…..3
III. Đối tượng nghiên cứu……………………………………………………….…3
IV. Đối tượng khảo sát thực nghiệm………………………………………….…...3
V. Phương pháp nghiên cứu…………….………………………………………....3
VI. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu………………………………………….…...3
PHẦN II. NỘI DUNG……………… ………………………………………….…...5

I. Những cơ sở lý luận, thực tiễn……………………………………..……….…...5
II. Thực trạng vấn đề……………………………………………………………....7
III. Một số giải pháp…………………………………………………………….....7
IV. Kết quả thực hiện…………………………………………………….............23
PHẦN III. KẾT LUẬN – KHUYẾN NGHỊ…………………………………..25
I. Kết luận………………………………………..................................................25
II. Khuyến nghị………………………………………..........................................25
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………......................28


PHẦN I. MỞ ĐẦU
I.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong công tác giảng dạy, ngoài việc phải đảm bảo chất lượng học tập của
học sinh thật tốt, đạt chuẩn bên cạnh đó công tác bồi dưỡng học sinh giỏi cũng là
một trong những nhiệm vụ quan trọng của mỗi người giáo viên.
Được sự tín nhiệm của BGH trường THPT Tiến Thịnh, trong những năm
gần đây tôi luôn được phân công trực tiếp giảng dạy các lớp 11A1, là lớp có chất

lượng học sinh đầu vào khá tốt. Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy tôi luôn chú trọng
đến việc đào tạo học sinh mũi nhọn, là những học sinh có năng lực tư duy toán
học tốt để có thể tham dự các kì thi HSG cấp trường, liên trường và chuẩn bị cho
kì thi HSG lớp 12 cấp thành phố.
Tuy nhiên mặc dù nói là lớp có chất lượng học sinh khá tốt nhưng một thực
trạng của trường THPT Tiến Thịnh đó chỉ là “so bó đũa để chọn cột cờ” do chất
lượng tuyển sinh vào 10 của trường khá thấp.
Vì vậy để có được những học sinh mũi nhọn là một điều không dễ dàng.
Nhiệm vụ đặt ra là người giáo viên cần có sự chuẩn bị thật tốt về kiến thức, nắm
được lực học của từng em học sinh để có thể bồi dưỡng, phát triển tư duy, năng
lực nhận thức của các em cho phù hợp từng bước một, không nóng vội, đốt cháy
giai đoạn, từ đó mới có thể giúp các em có thể tiếp cận được đến các đề thi HSG
cấp trường, liên trường, cấp thành phố.
Trong suốt 3 năm qua, tôi thường xuyên tham gia vào việc bồi dưỡng đội
tuyển HSG toán lớp 11, qua quá trình tham gia vào việc giảng dạy và nghiên cứu
tôi thấy rằng trong các mảng kiến thức trọng tâm của Đại số và Giải tích 11 thì
“Phương trình lượng giác” là một trong những mảng kiến thức khó đối với các em
học sinh và nó cũng là mảng kiến thức thường xuyên xuất hiện trong các đề thi
học sinh giỏi lớp 11, 12, các đề thi tuyển sinh Đại học- Cao đẳng trong những năm
gần đây.
Trong khi đó nếu chỉ học phương trình lượng giác bằng cách nghiên cứu
các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập thì chưa đủ để các em có thể phát
triển tư duy, nâng cao năng lực nhận thức vươn tới các bài tập phương trình lượng
giác trong các đề thi học sinh giỏi, các đề thi tuyển sinh.
Chính vì vậy, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy chuyên đề phương trình lượng
giác cho các em học sinh khối 11 ở trường THPT Tiến Thịnh, cùng với kinh
nghiệm trong thời gian giảng dạy, tôi đã nghiên cứu, khai thác, tổng hợp và hệ
thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề “PHÁT TRIỂN TƯ DUY, BỒI
DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU


Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho các em học
sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản, khi giải phương
trình lượng giác.
Cùng với việc rèn kĩ năng là phát triển tư duy, nhận thức, nâng cao năng lực
phân tích, tổng hợp của các em đối với bài toán giải phương trình lượng giác nói
riêng và bộ môn Toán nói chung.
Giúp các em làm quen và tiếp cận đến bài toán giải phương trình lượng giác
trong các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 cấp trường, cấp thành phố cũng như các
đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng.
Giới thiệu lớp các bài toán được giải quyết bằng phương pháp lượng giác
hóa để mở rộng kiến thức cho các em học sinh, đặc biệt là những em học sinh khá,
giỏi.
Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn sâu
sắc hơn về các bài toán giải phương trình lượng giác, nâng cao được năng lực tư
duy, sáng tạo trong cách nghĩ và cách giải quyết lớp các bài toán phương trình
lượng giác.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Phương trình lượng giác (Đại số và giải tích 11)
IV. ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM
Học sinh lớp 11A1 niên khóa 2012- 2013 và 2013- 2014
V.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Nghiên cứu, tham khảo đề thi HSG cấp trường, cấp tỉnh, cấp thành phố các năm,
đề thi tuyển sinh đại học- cao đẳng để tổng hợp nên các dạng bài toán.

- Tổng hợp so sánh, kiểm tra, đánh giá và đúc rút kinh nghiệm.
2. Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình
giảng dạy.
- Thông qua việc bồi dưỡng HSG trực tiếp ở các lớp khối 11 trong năm học từ
2012- 2013 và 2013- 2014.
VI.

PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU

1. Phạm vi nghiên cứu:


Phương pháp giải phương trình lượng giác trong chương trình toán THPT,
trong các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 các cấp, đề thi tuyển sinh đại học- cao
đẳng trong những năm gần đây.
2. Kế hoạch nghiên cứu:
Để phục vụ cho quá trình thực hiện đề tài, tôi nghiên cứu các tài liệu về
phương trình lượng giác trong chương trình toán THPT; phương pháp lượng giác
hóa trong các sách tham khảo; một số các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 của các
trường THPT; đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố của Hà nội và một số tỉnh
thành trên cả nước và cả các đề thi tuyển sinh đại học- cao đẳng trong những năm
gần đây.
Tôi thường xuyên trao đổi chuyên môn với các đồng nghiệp trong tổ, tiến
hành tìm hiểu đối tượng học sinh, kiểm tra khả năng nhận thức của các em để đưa
ra phương pháp giảng dạy phù hợp.
Tôi trực tiếp thực hiện các nội dung của sáng kiến kinh nghiệm với học sinh
các lớp khối 11, chủ yếu là lớp 11A1 niên khóa 2012- 2013 và 2013- 2014.

PHẦN II. NỘI DUNG
I.

CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TIẾN

1. Cơ sở lí luận
“Phương trình lượng giác” là một trong những mảng kiến thức mới, lạ và
khó đối với các em học sinh khi bắt đầu được làm quen từ chương VI của Sách
giáo khoa Đại số 10 cho đến chương đầu tiên của Sách giáo khoa Đại số và giải
tích 11.
Để có thể làm tốt được các bài giải phương trình lượng giác các em cần kết
hợp được tốt các công thức lượng giác đã học cuối lớp 10 với các phương pháp
giải phương trình lượng giác ở lớp 11, cùng với đó là sự tích cực tư duy, chủ
động, sáng tạo khi tiếp cận từng phương trình lượng giác.
Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp
các em học sinh lớp 11 hiểu sâu hơn về phương trình lượng giác, rèn luyện kỹ
năng, nâng cao năng lực nhận thức, vận dụng tìm ra phương pháp giải khi gặp các
bài toán dạng này.
Trong Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 chỉ nêu một số phương pháp
giải các phương trình lượng giác cơ bản nhất( như phương trình bậc nhất và bậc
hai đối với 1 hàm số lượng giác, phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx,) cộng
với một số lượng rất ít các bài tập ứng dụng.
Tuy nhiên khi gặp bài toán giải phương trình lượng giác, đặc biệt là các bài
toán trong các đề thi học sinh giỏi cũng như trong các đề thi tuyển sinh có nhiều
bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng,
phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản.
Trong giới hạn của sáng kiến kinh nghiệm này, tôi không đi sâu vào việc
trình bày từng phương pháp giải phương trình lượng giác mà tôi chỉ hướng dẫn
học sinh hai dạng bài tập hay gặp nhất, đó là giải phương trình lượng giác bằng

cách sử dụng các công thức lượng giác và hướng dẫn loại nghiệm khi giải các
phương trình lượng giác có điều kiện. Bên cạnh đó tôi cũng giới thiệu cho các em
phương pháp lượng giác hóa khi giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
của các hàm số hoặc các biểu thức đại số, bài toán giải phương trình chứa căn.
Dạng 1: Giải phương trình lượng giác bằng cách sử dụng các công thức
lượng giác
Khi giải các phương trình lượng giác nên quan tâm đến các công thức lượng giác
đã học và cách vận dụng nó để có thể biến đổi phương trình theo một trong các
hướng sau:
+) Đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos dạng a sin x + b cos x
+) Đưa về phương trình chỉ chứa một loại hàm số lượng giác.


+) Đưa về phương trình tích: chú ý cần tạo ra thừa số chung
Dạng 2: Phương trình lượng giác có điều kiện
+) Phương trình lượng giác có điều kiện (chủ yếu là phương trình có chứa ẩn ở
mẫu số hoặc chứa ẩn trong hàm số tang, cotang) là dạng toán cơ bản, hay và khá
phức tạp, thường xuyên được đề cập đến trong các đề thi học sinh giỏi cũng như
các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng trong những năm gần đây.
+) Một số phương pháp đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm của phương trình
lượng giác có điều kiện
1. Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một hàm số
lượng giác
2. Phương pháp thử trực tiếp
3. Phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Dạng 3: Giúp học sinh làm quen với phương pháp lượng giác hóa
Phương pháp lượng giác hóa có thể áp dụng để giải nhiều dạng bài toán Đại
số và Giải tích khác nhau như: giải phương trình, hệ phương trình, tìm miền giá trị
của hàm số, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
hoặc các biểu thức đại số.

Nội dung của phương pháp là tìm cách đổi biến lượng giác phù hợp với yêu
cầu và giả thiết của bài toán để đưa một biểu thức đại số hoặc một hàm số đại số
phức tạp về một biểu thức lượng giác đơn giản và từ đó sử dụng các công thức
biến đổi lượng giác quen thuộc để tìm ra lời giải cho bài toán.
Một trong những áp dụng của phương pháp lượng giác hóa rất hay gặp
trong các đề thi học sinh giỏi cũng như các đề thi đại học cao đẳng đó chính là
dùng phương pháp này để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số hoặc các biểu
thức đại số hay giải quyết các bài toán giải phương trình chứa căn.
2. Cơ sở thực tiễn
Trong chương trình toán THPT, có thể nói bài toán giải phương trình lượng
giác được học ở lớp 11 là một trong những bài toán quan trọng, thường xuyên
xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 các cấp và các đề thi tuyển sinh.
Trong khi đó học sinh nói chung và học sinh trường THPT Tiến Thịnh nói
riêng, kể cả những học sinh được đánh giá là khá, giỏi thì kĩ năng giải phương
trình lượng giác còn yếu dẫn đến tâm lí chung của các em đều cảm thấy ngại,
không muốn làm khi gặp phải dạng toán này.
II.
THỰC TRẠNG
1. Thuận lợi
Học sinh trường THPT Tiến Thịnh rất ngoan, chịu khó tìm hiểu tiếp thu
kiến thức. Ý thức học của các em tốt, đặc biệt là những em học sinh khá, giỏi luôn
có ý chí vươn lên trong học tập.
Đội ngũ giáo viên của trường luôn tích cực nghiên cứu, tự bồi dưỡng
chuyên môn, nghiệp vụ để nâng cao hơn nữa chất lượng giảng dạy.


Và quan trọng hơn cả là nhà trường luôn quan tâm sát sao đến chất lượng
dạy và học của cả thầy và trò đặc biệt là công tác đào tạo những học sinh mũi
nhọn.
2. Khó khăn

Học sinh trường THPT Tiến Thịnh có chất lượng tuyển sinh đầu vào lớp 10
tương đối thấp, do đó năng lực tiếp thu của các em còn hạn chế.
Năm học 2012- 2013, điểm tuyển sinh vào 10 của trường là 29,5 trong đó
chỉ có khoảng 20 em là học sinh giỏi cấp 2 dự thi vào trường và được duy nhất 1
học sinh có điểm tuyển sinh vào trường là 60 điểm.
Năm học 2013- 2014, điểm tuyển sinh vào 10 của trường là 31,5 trong đó
cũng chỉ có khoảng 15 em là học sinh giỏi cấp 2 dự thi vào trường.
Chính vì vậy, khi mới tiếp cận với các kiến thức lượng giác đa phần các em
đều thấy choáng ngợp trước một hệ thống các công thức lượng giác vừa khó nhớ,
vừa khó vận dụng. Kể cả các em học khá cũng rất vất vả để có thể ghi nhớ được
hết tất cả các công thức đó.
Khi gặp các phương trình lượng giác đơn giản, đúng dạng thì các em có thể
giải quyết được bài toán nhưng nếu gặp những phương trình đòi hỏi kỹ năng tổng
hợp, phân tích công thức để giải thì hầu hết các em đều thụ động và mắc lỗi trong
quá trình giải toán.
Do vậy nếu chỉ nắm vững kiến thức sách giáo khoa thôi thì chưa đủ mà cần
rèn luyện kỹ năng thật tốt để có thể làm chủ được kiến thức và vận dụng vào bài
tập.
Đối với các em học sinh có tư duy và năng lực nhận thức khá tốt nhưng khi
học vẫn bị thụ động, chưa tích cực, sáng tạo để giải quyết các bài toán giải phương
trình lượng giác theo hướng tích cực. Đặc biệt là các em rất lúng túng khi gặp các
bài toán giải phương trình lượng giác có sử dụng nhiều công thức lượng giác kết
hợp hay phương trình lượng giác có điều kiện (còn yếu trong khâu loại nghiệm).
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp
cho các em học sinh khá, giỏi lớp 11 vận dụng và rèn kỹ năng khi gặp các bài toán
giải phương trình lượng giác, nâng cao năng lực nhận thức, tư duy và sự sáng tạo
cho các em.
III. MỘT SỐ GIẢI PHÁP
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của
đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ

năng khi biến đổi và giải phương trình lượng giác.
1. Xây dựng bảng các công thức lượng giác
Hệ thống tất cả các kiến thức lượng giác quan trọng ở lớp 10 thành một
bảng ghi nhớ để giúp các em khắc sâu lí thuyết làm nền tảng để vận dụng vào giải
bài tập.


Bảng các công thức lượng giác này sẽ giúp các em ghi nhớ công thức và
hình thành óc quan sát, định hướng được những công thức nào có thể sử dụng
trong bài. Quan trọng hơn hết là chọn đúng công thức và áp dụng đúng công thức
sẽ giúp các em đi đúng hướng giải cho từng bài toán.
Các em có thể sử dụng bảng các công thức lượng giác như một cẩm nang
các công thức toán học.
Đối với mỗi công thức đều có nhiều cách vận dụng khác nhau và tôi luôn
nhấn mạnh các cách sử dụng khác nhau của cùng một công thức, như vậy sẽ phát
triển tư duy cho các em, giúp các em linh hoạt, sáng tạo hơn khi giải toán.
CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả:
1/ sin 2 a + cos 2 a = 1 ⇒ sin 2 a = 1 − cos 2 a ; cos 2 a = 1 − sin 2 a
1
1
⇒ cos 2 a =
2
cos a
1 + tan 2 a
1
1
3/ 1 + cot 2 a = 2 ⇒ sin 2 a =
sin a
1 + cot 2 a

kπ
1
1
, k ∈ Z ⇒ cot a =
; tan a =
4/ tan a. cot a = 1 ; a ≠
2
tan a
cot a

2/ 1 + tan 2 a =

II. Công thức cộng
1/ cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
2/ cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
3/ sin(a + b) = sin a cos b + co s a sin b
4/ sin(a − b) = sin a cos b − co s a sin b
tan a + tan b
1 − tan a tan b
tan a − tan b
6/ tan(a − b) =
1 + tan a tan b

5/ tan(a + b) =

III. Công thức góc nhân đôi:
1/ cos 2a = cos 2 a − sin 2 a
= 2 cos 2 a − 1 = 1 − 2 sin 2 a
1
2

2/ sin 2a = 2 sin a. cos a ⇒ sin a. cos a = sin 2a
3/ tan 2a =

2 tan a
1 − tan 2 a


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
IV.

Công thức hạ bậc hai:
2
1/ sin a =

1- cos2a
tg2a
=
2
1+ tg2a

2
2/ cos a =

1+ cos2a
cot g2a
=
2
1+ cot g2a

3/ tg2a =

1- cos2a
1+ cos2a

V. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
2

1/ cos a. cos b = [ cos( a − b ) + cos( a + b ) ]
1
2
1
3/ sin a. cos b = [ sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ]
2

2/ sin a. sin b = [ cos( a − b ) − cos( a + b ) ]

VI. Công thức biến đổi tổng thành tích:
a+b
a- b
.cos
2
2
a+b
a- b
cosa - cosb = - 2sin
.sin
2

2
a+b
a- b
sina + sinb = 2sin
.cos
2
2
a+b
a- b
sina - sinb = 2cos
.sin
2
2
sin ( a + b)
tga + tgb =
cosa.cosb
sin ( a - b)
tga - tgb =
cosa.cosb

1/ cosa + cosb = 2cos
2/
3/
4/
5/
6/

VII. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt:
Hai cung đối nhau: α ; −α
Hai cung bù nhau (tổng = π ):

co s(−α ) = co s α

co s(π − α ) = −co s α

sin(−α ) = − sin α

sin(π − α ) = sin α

tan(−α ) = − tan α

tan(π − α ) = − tan α

cot(−α ) = − cot α

cot(π − α ) = − cot α

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

α ;π − α

Trang

9


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
Hai cung hơn kém π :

α ;α + π

π

co s(α + π ) = −co s α

Hai cung phụ nhau ( tổng = 2 ) :

sin(α + π ) = − sin α

;

tan(α + π ) = tan α
cot(α + π ) = cot α

π

co s  − α ÷ = sin α
2

π

tan  − α ÷ = cot α
2


;

α;

π

−α
2

π

sin  − α ÷ = co s α
2

π

cot  − α ÷ = tan α
2


2. Hướng dẫn học sinh tự học ở nhà
Tự học là một khâu quan trọng nhất trong quá trình học tập của học sinh, nó
tạo hứng thú cho học sinh khi học ở lớp vì những thành quả mà các em lao động ở
nhà đã được phát huy tích cực khi đến lớp thông qua các bài tập, các trắc nghiệm
mang tính đánh giá sự nhạy bén của học sinh, và các kết quả đạt được thường
được khuyến khích thông qua điểm số và thông qua lời khen ngợi của giáo viên.
Tôi thường đưa ra phương pháp chung để giải với từng dạng phương trình
lượng giác rồi đưa ra các bài tập cho các em về nhà nghiên cứu trước , qua đó
nâng cao năng lực làm việc, phát hiện và giải quyết vấn đề, gợi mở tính sáng tạo
của học sinh khi giải các phương trình lượng giác.
3. Giúp học sinh ghi nhớ công thức nghiệm của các phương trình lượng giác
cơ bản
3.1. Công thức: Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản
cũng là yếu tố quan trọng để giúp các em hoàn thành bài giải chính xác.
•
•

 u = v + k 2π
sin u = sin v ⇔ 
, k∈Z
u = π − v + k 2π
 u = v + k 2π
cos u = cos v ⇔ 
, k∈Z
u = −v + k 2π
tan u = tan v ⇔ u = v + kπ , k ∈ Z
cot u = cot v ⇔ u = v + kπ , k ∈ Z

•
•
3.2. Ví dụ:
Một số ví dụ về phương trình lượng giác cơ bản và các phương trình lượng giác
thường gặp.
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
3
2
0
c, tan( x − 60 ) = 1

a, s inx = −

Hướng dẫn:

π
6
d, s in3x = cos2 x

b, 3cos(2 x + ) = 1
Học sinh tự giải và so sánh kết quả.

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

10


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
π

x = − + k 2π

π


3 ⇔ sin x = sin −
3

⇔
a) s inx = −
4
π
3



2
x =
+ k 2π
3

1
1 π
b) x = ± arccos − + kπ , k ∈ Z
2
3 12
0
c) x = 105 + k .180 0 , k ∈ Z
π k 2π
π
, x = + k 2π , k ∈ Z
d) x = +
10
5
2

, k ∈Z

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a, 4 cos 4 x + 10sin 2 x − 7 = 0
b, 3.cos3x + sin 3x = 2
c, sin 2 x − 2(sin x + cos x) + 1 = 0
d, 6sin 2 x − 3sin x.cosx − cos 2 x = 1
Hướng dẫn: Học sinh tự giải và so sánh kết quả.
a) Đây là phương trình đưa về bậc hai đối với hàm số lượng giác sin2x
Phương trình có nghiệm là:

x=

π
5π
1
3
+ kπ , x =
+ kπ , x = ± arcsin + kπ , k ∈ Z
12
12
2
4

b, Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương trình có nghiệm là x = −

π k 2π
5π k 2π
+
, x=
+
,k ∈ Z
36
3
36
3

c, Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx
Đặt sin x + cos x = t , đk t ≤ 2 khi đó sin 2 x = t 2 − 1
π

4

Phương trình có nghiệm là x = − + kπ , k ∈ Z
d, Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
Phương trình có nghiệm là

x=

π
 2
+ kπ , x = arctan −  + kπ , k ∈ Z
4
 5

3.3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Giải phương trình

3
− 4 tan x − 2 = 0
cos 2 x
3.sin x − cosx + 2 = 0
(2s inx-1)(2s in2x+1) = 3 − 4 cos 2 x

Bài 2: Giải phương trình
Bài 3: Giải phương trình
Bài 4: Giải phương trình
sin 2 x + 2sin x.cosx + 3cos 2 x − 3 = 0
4. Giải phương trình lượng giác bằng cách sử dụng các công thức lượng
giác
4.1. Phương pháp:

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

11


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
Khi giải các phương trình lượng giác nên quan tâm đến các công thức
lượng giác đã học và cách vận dụng nó để có thể biến đổi phương trình theo
một trong các hướng sau:
+) Đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos dạng a sin x + b cos x
+) Đưa về phương trình chỉ chứa một hàm số loại hàm số lượng giác.
1
2

VD: sin 4 a + cos 4 a = 1 − sin 2 2a
3
sin 6 a + cos 6 a = 1 − sin 2 2a
4

+) Đưa về phương trình tích: chú ý cần tạo ra thừa số chung
VD: 1 + sin 2 x, cos 2 x, 1 + tan x, 1 + cot x đều có thừa số chung là
sin x + cos x
sin x − cos x

1 − sin 2 x, cos 2 x, 1 − tan x, 1 − cot x đều có thừa số chung là
tan 2 x, sin 2 x có thừa số chung là (1 − cos x )(1 + cos x)

cot 2 x, cos 2 x có thừa số chung là (1 − sin x )(1 + sin x )

4.2. Ví dụ:
1
2

Ví dụ 1: Giải phương trình sin 2 2 x. cos 6 x + sin 2 3x = sin

11x
9x
. sin
2
2

Lời giải:

1
11x
9x
1 − cos 4 x
1 − cos 6 x 1
sin
. sin
⇔
. cos 6 x +
= (cos x − cos10 x )
2
2
2
2

2
4
⇔ 2 − 2. cos 4 x. cos 6 x = cos x − cos10 x ⇔ 2 − cos 2 x − cos10 x = cos x − cos10 x

sin 2 2 x. cos 6 x + sin 2 3 x =

cos x = 1 ⇔ x = k 2π , k ∈ Z
⇔ 2 cos 2 x + cos x − 3 = 0 ⇔ 
3
cos x = − (vn)

2

x
=
k
2
π
,
k
∈
Z
Phương trình có nghiệm là

Ví dụ 2: Giải phương trình 3 (sin 2 x + sin x) + cos 2 x − cos x = 2
Hướng dẫn:
Bài này cần biến đổi khéo léo để có thể tạo ra các công thức cộng và
làm xuất hiện thừa số chung.
Lời giải:
3

1
3
1
sin 2 x + cos 2 x +
sin x − cos x = 1
2
2
2
2
π
π
π
π
⇔ cos . cos 2 x + sin sin 2 x + cos sin x − sin cos x = 1
3
3
6
6
3 (sin 2 x + sin x) + cos 2 x − cos x = 2 ⇔

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

12


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
π

π
π
π




⇔ 1 − cos 2 x −  − sin  x −  = 0 ⇔ 2 sin 2  x −  − sin  x −  = 0
3
6
6
6





π
π

 sin  x − 6  = 0 ⇔ x = 6 + kπ



⇔
, k∈Z
π

π 1


x
=
+
k
2
π
sin  x −  = ⇔ 
3
6 2
 x = π + k 2π
 


π
π
Phương trình có nghiệm là x = + kπ , x = + k 2π , x = π + k 2π , k ∈ Z
6
3
π
π
2


Ví dụ 3: Giải phương trình sin  2 x −  = sin x −  +
4
4 2



Hướng dẫn: Đưa

2
π
= sin
2
4

Lời giải:
π
π
π
π
π




sin  2 x −  − sin = sin  x −  ⇔ 2. cos x. sin  x −  = sin  x − 
4
4
4
4
4




 
π
π

sin  x − 4  = 0 ⇔ x = 4 + kπ

⇔ 
, k∈Z
 cos x = 0 ⇔ x = π + kπ

2
π
π
Phương trình có nghiệm là x = + kπ , x = + kπ , k ∈ Z
4
2
9π 

Ví dụ 4: Giải phương trình cos 2 x − 3 sin 2 x + 5 2 sin x +  = 3
4 


Hướng dẫn:
Phân tích phương trình có thể thấy được các công thức có thể sử dụng
trong bài: cos 2 x = cos 2 x − sin 2 x ; sin 2 x = 2 sin x. cos x
9π 
π
2

(sin x + cos x) .
 = sin  x +  =
4 
4
2


Vì vậy có thể tạo ra thừa số chung là sin x + cos x nếu tạo thêm biểu thức
1 + sin 2 x = (sin x + cos x) 2



và sin  x +

Lời giải:
9π 

cos 2 x − 3 sin 2 x + 5 2 sin  x +
=3
4 

⇔ (cos 2 x − sin 2 x) − 3(1 + sin 2 x) + 5(sin x + cos x) = 0

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

13


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
⇔ (sin x + cos x)(−4 sin x − 2 cos x + 5) = 0

π


sin x + cos x = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ
⇔
,k ∈ Z
4

4 sin x + 2 cos x − 5 = 0(vn)

π
KL: Phương trình có nghiệm là x = − + kπ , k ∈ Z
4
Ví dụ 5: Giải phương trình 3 cos 5 x − 2 sin 3x. cos 2 x − sin x = 0

Lời giải:
3 cos 5 x − 2 sin 3x. cos 2 x − sin x = 0 ⇔ 3 cos 5 x − sin 5 x − sin x − sin x = 0
π

⇔ 3 cos 5 x − sin 5 x = 2 sin x ⇔ sin  − 5 x  = sin x
3

π kπ

 x = 18 + 3
⇔
,k ∈ Z
π kπ
x = − +
6
2

π kπ

π kπ
,k ∈ Z
Phương trình có nghiệm x = + , x = − +
18 3
6
2

π 3

.sin  3 x −  − = 0
4
4 2


1
Lời giải: Áp dụng hằng đẳng thức cos 4 x + sin 4 x = 1 − sin 2 2 x ta có
2

4
4
Ví dụ 6: Giải phương trình cos x + sin x + cos x −

π

phương trình:
 3
1
1 
π
1 − sin 2 2 x + sin  4 x −  + sin 2 x  − = 0

2
2 
2
 2
⇔ 2 − sin 2 2 x − cos 4 x + sin 2 x − 3 = 0

π

sin 2 x = 1 ⇔ x = + kπ

⇔ sin 2 x + sin 2 x − 2 = 0 ⇔
, k ∈Z
4

sin
2
x
=
−
2
(
vn
)

π
Phương trình có nghiệm x = + kπ , k ∈ Z
2

4
Ví dụ 7: Giải phương trình cos 2 3x. cos 2 x − cos 2 x = 0

Lời giải:

1 + cos 6 x
1 + cos 2 x
1
. cos 2 x −
= 0 ⇔ cos 6 x. cos 2 x = 1 ⇔ ( cos 8 x + cos 4 x ) = 1
2
2
2
π kπ

cos 4 x = −1 ⇔ x = +
,k ∈ Z

4
2
⇔ 2 cos 2 4 x − cos 4 x − 3 = 0 ⇔ 
3

cos 4 x = (vn)
2


Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

14

SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
π kπ
+
, k∈Z
4
2
Ví dụ 8: Giải phương trình sin 2 3x. cos 2 x + sin 2 x = 0

Phương trình có nghiệm x =

(HSG lớp 11 Đà Nẵng năm 2010- 2011)
Hướng dẫn: Có: sin 3 x = 3sin x − 4sin 3 x = (3 − 4sin 2 x)sin x = (1 + 2 cos 2 x) sin x,
Lời giải: PT ⇔ [(1 + 2 cos 2 x) 2 cos 2 x + 1]sin 2 x = 0
⇔ (4 cos3 2 x + 4 cos 2 2 x + cos 2 x + 1)sin 2 x = 0
⇔ (1 + cos 2 x)(1 + 4 cos 2 2 x) sin 2 x = 0
 sin x = 0
kπ
⇔
⇔x=
,k ∈ Z
2
cos 2 x = −1
kπ
Phương trình có nghiệm x = , k ∈ Z
2

Ví dụ 9: Giải phương trình 2 2 cos 2 x + sin 2 x. cos x +



3π 
π

 − 4 sin  x +  = 0
4 
4


(HSG lớp 11 cụm Lạng Giang năm 2012- 2013)
Hướng dẫn:
3π 
2
( sin x + cos x ) và sin  x + π  = 2 ( sin x + cos x )
=−
4 
2
4
2


nên ta có thể tạo ra thừa số chung là sin x + cos x

Ta có cos x +

Lời giải:

(

)

2
sin 2 x.( sin x + cos x ) − 2 2 ( sin x + cos x ) = 0
2
⇔ ( sin x + cos x )( 2 cos x − 2 sin x − sin x. cos x − 2 ) = 0
2 2 cos 2 x − sin 2 x −

π

sin x + cos x = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z
⇔
4

2 cos x − 2 sin x − sin x. cos x − 2 = 0 (*)

Giải (*) bằng phép đặt ẩn phụ cos x − sin x = t , t ≤ 2 ta có phương trình:
t = 1 (t / m)
1− t2
2t −
− 2 = 0 ⇔ t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔ 
2
 t = −5 (l )
π
π 1


Với t = 1 ⇒ cos x − sin x = 1 ⇔ 2 cos x +  = 1 ⇔ cos x +  =
 x = k 2π
π

⇔
 x = − 2 + k 2π



4



4

2

,k ∈ Z

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

15


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
π
4

π
2

Phương trình có nghiệm x = − + kπ , x = k 2π , x = − + k 2π , k ∈ Z
Ví dụ 10: Giải phương trình
sin 2 x. cos 2 x + 4 sin x. cos 2 x − 3 sin 2 x − cos 2 x − 2 cos x + 3 = 0

(HSG lớp 11 Bắc Giang năm 2012- 2013)
Hướng dẫn:
Chú ý các công thức của góc nhân đôi, cần sử dụng khéo léo các công thức
để tạo ra thừa số chung
Lời giải:
sin 2 x. cos 2 x + 4 sin x. cos 2 x − 3 sin 2 x − cos 2 x − 2 cos x + 3 = 0

(

)

⇔ sin 2 x. 2 cos 2 x − 1 + 4 sin x. cos 2 x − 3 sin 2 x − 2 cos 2 x + 1 − 2 cos x + 3 = 0

(

) (

)

⇔ 2 sin 2 x. cos x − 2 cos 2 x + 4 sin x. cos 2 x − 2 cos x − ( 4 sin 2 x − 4) = 0
2

⇔ ( sin 2 x − 1).2 cos x + ( sin 2 x − 1).2 cos x − 4( sin 2 x − 1) = 0
2

(

)

⇔ ( sin 2 x − 1) 2 cos 2 x + 2 cos x − 4 = 0


π

sin 2 x = 1 ⇔ x = + kπ


sin 2 x − 1 = 0
⇔
⇔  cos x = 1 ⇔ x =4k 2π
2
2
cos
x
+
2
cos
x
−
4
=
0



 cos x = −2(vn)

π
Phương trình có nghiệm x = + kπ , x = k 2π , k ∈ Z
4

,k ∈ Z

4.3. Bài tập tự luyện:
1 + sin x + cos x + sin 2 x + cos 2 x = 0
Bài 1: Giải phương trình
Bài 2: Giải phương trình
sin 6 x + cos 6 x = sin 2 x
2 sin 2 x − cos 2 x = 7 sin x + 2 cos x − 4
Bài 3: Giải phương trình
Bài 4: Giải phương trình
2 cos 2 2 x + cos 2 x. sin 3 x + 3 sin 2 2 x = 3
5. Phương trình lượng giác có điều kiện
5.1 Phương pháp:
• Phương trình lượng giác có điều kiện (chủ yếu là phương trình có
chứa ẩn ở mẫu số hoặc chứa ẩn trong hàm số tang, cotang) là dạng toán cơ
bản, hay và khá phức tạp, thường xuyên được đề cập đến trong các đề thi
học sinh giỏi cũng như các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng trong những
năm gần đây.
• Một số phương pháp đối chiếu điều kiện để kết luận nghiệm của
phương trình lượng giác có điều kiện
a.
Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng
một hàm số lượng giác

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

16


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
Ta có thể biến đổi điều kiện và nghiệm tìm được thông qua cùng một hàm
số lượng giác. Từ đó chuyển việc đối chiếu điều kiện của x về đối chiếu điều
kiện của y đơn giản hơn nhiều(giống như trong đại số).
b.
Phương pháp thử trực tiếp
Đối với những phương trình mà điều kiện và nghiệm tìm được khó đưa về
cùng một hàm số lượng giác, ta có thể tìm nghiệm cụ thể rồi thay vào điều
kiện để kiểm tra lại.
c.
Phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượng giác
Ta biểu diễn trên đường tròn lượng giác những điểm không thỏa mãn điều
kiện (đánh dấu x) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu o). Những
điểm đánh dấu o mà không trùng với điểm đánh dấu x chính là những điểm
thỏa mãn điều kiện.
Phương pháp này có hiệu quả khi số điểm không thỏa mãn điều kiện là ít và
ở vị trí đặc biệt, đồng thời các phương pháp ở trên tỏ ra không hiệu quả.
Chú ý: Mỗi cung(hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên
đường tròn lượng giác(quy định gọi tắt là đường tròn)
i) x = α + k 2π , k ∈ Z được biểu diễn trên đường tròn bởi một điểm.
ii) x = α + kπ , k ∈ Z được biểu diễn trên đường tròn bởi hai điểm đối xứng
với nhau qua gốc O.
iii) x = α +

k 2π
, k ∈ Z được biểu diễn trên đường tròn bởi ba điểm cách
3

đều nhau, tạo thành ba đỉnh một tam giác đều nội tiếp đường tròn.
Tổng quát: x = α +

k 2π
, k , n ∈ Z , n ≥ 3 được biểu diễn trên đường tròn bởi
n

n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh một đa giác đều nội tiếp đường tròn.
5.2 Ví dụ:
Ví dụ 1: Giải phương trình cos 2 x − tan 2 x =

cos 2 x − cos 3 x − 1
cos 2 x

Hướng dẫn:
Ta biến đổi điều kiện và nghiệm tìm được của phương trình thông qua
hàm số y = cos x .
Lời giải: Điều kiện cos x ≠ 0
(*). Ta có phương trình
(1) ⇔ 2 cos 2 x − 1 − tan 2 x = 1 − cos x − 1 − tan 2 x
cos x = −1
1
⇔ 2 cos 2 x + cos x − 1 = 0 ⇔ 
 cos x = 2

Đối chiếu điều kiện (*) ta thấy cả 2 giá trị cosx trên đều thỏa mãn.

π
3

Phương trình có nghiệm là x = π + k 2π , x = ± + k 2π , k ∈ Z

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

17


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
Nhận xét: Trong phương trình ở ví dụ này, ta đã biến đổi điều kiện và
nghiệm tìm được thông qua hàm số y = cos x . Từ đó chuyển việc đối chiếu
điều kiện của x về đối chiếu điều kiện của y đơn giản hơn nhiều.
Ví dụ 2: Giải phương trình

1
1
2
+
=
cos x sin 2 x sin 4 x

Lời giải:


sin 2 x ≠ 0

 sin x ≠ 0
cos x ≠ 0

⇔  sin x ≠ ±1
Điều kiện 
(*). Khi đó ta có phương trình
sin 4 x ≠ 0

2

sin x ≠ ± 2

4 sin x. cos 2 x + 2 cos 2 x = 2 ⇔ sin x 2 sin 2 x + sin x − 1 = 0

(

)


 sin x = 0
⇔ sin x = −1

1
 sin x =

2
1
2
π
5π

Phương trình có nghiệm là x = + k 2π , x = + k 2π , k ∈ Z
6
6
Ví dụ 3: Giải phương trình cos 3x. tan 5 x = sin 7 x

Đối chiếu điều kiện (*) ta chọn được sin x =

Hướng dẫn:
Lời giải: Điều kiện cos 5 x ≠ 0

(*). Ta có phương trình

kπ

 x= 2
2 sin 5 x. cos 3 x = 2 sin 7 x. cos 5 x ⇔ sin 8 x = sin 12 x ⇔ 
π kπ
x =
+
20 10

kπ
5kπ
kπ
⇒ cos 5 x = cos
= cos
≠ 0 ⇔ k = 2m ( m ∈ Z )
Với x =
2
2

2
π kπ
 π kπ 
Với x = + ⇒ cos 5 x = cos +  ≠ 0
20 10
2 
4
π kπ
, k, m ∈ Z
Phương trình có nghiệm là x = mπ , x = +
20 10
π

2
Ví dụ 4: Giải phương trình tan − x  = 5 sin x + 1
4


,k ∈ Z

Hướng dẫn: Chú ý điều kiện của phương trình.
Biến đổi

π
 1 − tan x cos x − sin x
tan − x  =
=
.
4
 1 + tan x cos x + sin x

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

18


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
π
4

Lời giải: Điều kiện x ≠ − + kπ , k ∈ Z (*)
Khi đó ta có phương trình

cos x − sin x
= 5 sin 2 x + 1 ⇔ 5 sin 3 x + 5 sin 2 x. cos x + 2 sin x = 0
cos x + sin x
 sin x = 0 ⇔ x = kπ , k ∈ Z
⇔ sin x. 5 sin 2 x + 5 sin x. cos x + 2 = 0 ⇔ 
2
5 sin x + 5 sin x. cos x + 2 = 0 (vn)

(

)

y

3π
4

O

−

π

x

4

π
4

Trên đường tròn lượng giác ; biểu diễn x = − + kπ , k ∈ Z bởi 2 điểm (đánh
dấu x); biểu diễn x = kπ , k ∈ Z bởi 2 điểm (đánh dấu o). Ta thấy các điểm
đánh dấu o không trùng với các điểm đánh dấu x .
Phương trình có nghiệm là x = kπ , k ∈ Z
tan 2 x + tan x
2 
π
=
sin  x + 
Ví dụ 5: Giải phương trình
2
2
4
tan x + 1



(HSG lớp 11 Vĩnh Phúc năm 2011- 2012)
Hướng dẫn:
Quan sát mẫu ta có thể áp dụng công thức 1 + tan 2 x =
cũng sẽ tạo ra được thừa số chung là sin x + cos x

1
khi đó
cos 2 x

π
+ kπ (*)
2
2
2
Phương trình đã cho tương đương với: 2 cos x(tan x + tan x) = sin x + cos x

Lời giải: Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

⇔ 2sin 2 x + 2sin x.cos x = sin x + cos x ⇔ 2sin x(sin x + cos x) = sin x + cos x
⇔ (sin x + cos x)(2sin x − 1) = 0

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

19

SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
π
4

+) Với sin x + cos x = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − + kπ
1
2

+) Với 2sin x − 1 = 0 ⇔ sin x = ⇔ x =

π
5π
+ k 2π ; x =
+ k 2π
6
6

Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là :
π
π
5π
+ kπ , x = + k 2π , x =
+ k 2π , k ∈ Z
4
6
6
x

Ví dụ 6: Giải phương trình cot x + sin x1 + tan x. tan  = 4

2

x=−

Lời giải:
 sin x ≠ 0
cos x ≠ 0
kπ
⇔x≠
Điều kiện  x
2
cos ≠ 0

2

,k ∈ Z

(*)

Phương trình đã cho tương đương với: cot x + tan x = 4 ⇔ tan 2 x − 4 tan x + 1 = 0
 tan x = 2 − 3 ⇔ x = arctan(2 − 3 ) + kπ
⇔
,k ∈ Z
 tan x = 2 + 3 ⇔ x = arctan(2 + 3 ) + kπ

Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là :
x = arctan(2 − 3 ) + kπ , x = arctan(2 + 3 ) + kπ , k ∈ Z
(1 − 2 sin x ). cos x
Ví dụ 7: Giải phương trình (1 + 2 sin x ) (1 − sin x) = 3

Lời giải:

π


 x ≠ 2 + k 2π
 sin x ≠ 1

π
1
⇔
Điều kiện sin x ≠ −
 x ≠ − + m2π , k , m ∈ Z
(*)
6


2

 x ≠ 7π + m2π


6
Khi đó ta có phương trình: cos x − sin 2 x = 3 1 + sin x + 2 sin 2 x

(

)

⇔ cos x − sin 2 x = 3 sin x + 3 cos 2 x ⇔ cos x − 3 sin x = sin 2 x + 3 cos 2 x

π

x = + l 2π

π
π




2
⇔ cos x +  = cos 2 x −  ⇔ 
π l 2π
3
6


x = − +
18
3


,l ∈ Z

Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là :
x=−

π l 2π
+

,l ∈ Z
18
3

Ví dụ 8: Giải phương trình

cos 2 x(cos x − 1)
= 2(1 + sin x )
sin x + cos x

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

20


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
Lời giải:

π
4

Điều kiện sin x + cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ − + kπ , k ∈ Z

(*)

Khi đó ta có phương trình:

(1 − sin x )( cos x − 1) = 2(1 + sin x )( sin x + cos x )
2

( sin x + 1) [ (1 − sin x )( cos x − 1) − 2( sin x + cos x ) ] = 0
π

sin x + 1 = 0 ⇔ sin x = −1 ⇔ x = − + l 2π , l ∈ Z
⇔
2

sin
x
+
cos
x
+
sin
x
.
cos
x
+
1
=
0 (**)

Giải (**) bằng phép đặt ẩn phụ sin x + cos x = t , t ≤ 2 ta có phương trình:
t 2 −1
+ 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0 ⇔ t = −1 (t / m)
2

π
π
1


Với t = −1 ⇒ sin x + cos x = −1 ⇔ 2 sin x +  = −1 ⇔ sin  x +  = −
4
4
2


 x = π + m2π
π
⇔
,m∈ Z
 x = − 2 + m2π
t+

Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là :
x=−

π
+ m2π , x = π + m2π , m ∈ Z
2

x π
(2 − 3 ) cos x − 2 sin 2  − 
Ví dụ 9: Giải phương trình
 2 4  =1
2 cos x

(HSG lớp 11 Vĩnh Phúc năm 2010- 2011)
Lời giải:
Điều kiện cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

π
+ kπ , k ∈ Z
2

(*)


π 

Khi đó ta có phương trình: ( 2 − 3 ) cos x − 1 − cos x −  = 2 cos x
2


⇔ − 3 cos x − 1 + sin x = 0 ⇔ sin x − 3 cos x = 1

π

 x = 2 + l 2π
π 1

⇔ sin  x −  = ⇔ 
7π
3 2

x =

+ l 2π
6




,l ∈ Z

Đối chiếu điều kiện (*), suy ra nghiệm của phương trình đã cho là :

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

21


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
x=

7π
+ l 2π , l ∈ Z
6

Ví dụ 10: Giải phương trình

2 3 sin x. ( 1 + cos x ) − 4 cos x.sin 2
2sin x − 1

x
−3
2
=0

(HSG lớp 11 Hà Tĩnh năm 2012- 2013)
Lời giải:
π

x
≠
+ k 2π

1
6
sin
x
≠
⇔
, k,l ∈ Z
Điều kiện:

5π
2
x ≠
+ l 2π
6


(*)

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương:
x
−3 = 0
2
⇔ 2 3 sin x + 2 3 sin x.cos x − 2 cos x ( 1 − cos x ) − 3 = 0
2 3 sin x. ( 1 + cos x ) − 4 cos x.sin 2

⇔2

(

) (

)

3 sin x − cos x − 3sin 2 x − 2 3 sin x.cos x + cos 2 x = 0

 3 sin x − cos x = 0
3 sin x − cos x − 2 = 0 ⇔ 
 3 sin x − cos x = 2
π
TH1: 3 sin x − cos x = 0 ⇔ cot x = 3 ⇔ x = + kπ , k ∈ Z
6
π
π
π


TH2: 3 sin x − cos x = 2 ⇔ 2  sin x cos − cos x sin ÷ = 2 ⇔ sin  x − ÷ = 1

6
6
6


π π
2π
⇔ x − = + k 2π ⇔ x =
+ k 2π , k ∈ Z
6 2
3
⇔

(

3 sin x − cos x

)(

)

Đối chiếu điều kiện (*) ta thấy phương trình đã cho có nghiệm là
x=

7π
2π
+ k 2π , x =
+ k 2π , k ∈ Z
6
3

5.3 Bài tập tự luyện
tan 2 x + cot 2 x +

Bài 1: Giải phương trình

1
=3
sin 2 x

Bài 2: Giải phương trình

( sin x + cos x ) 2 − 2 sin 2 x =
1 + cot x
2

Bài 3: Giải phương trình
Bài 4: Giải phương trình

2  π

π

 sin  − x  − sin  − 3 x  
2  4

4


1

2 ( sin x − cos x )
=
tan x + cot 2 x
cot x − 1
sin x + sin 2 x + sin 3x
= 3
cos x + cos 2 x + cos 3 x

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

22


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
3( sin x + tan x )
− 2 cos x = 2
tan x − sin x

Bài 5: Giải phương trình
Bài 6: Giải phương trình
3 tan 3 x − tan x +

3(1 + sin x )
π x 
− 8 cos 2  −  = 0
2
cos x

 4 2

6. Phương pháp lượng giác hóa
Phương pháp lượng giác hóa trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của biểu thức đại số và bài toán giải phương trình chứa căn.
6.1 Phương pháp:
Ta có thể nhận biết dạng này khi gặp các biểu thức lượng giác dạng
sin 2 x + cos 2 x = 1 ; 1 + tan 2 x =

sau:

1
;... Từ đó có thể nghĩ đến các hướng đặt
cos 2 x

+) x ≤ a

thì đặt x = a cos t , y = a sin t , t ∈ [ 0 ; 2π ]
(hoặc x = a sin t , y = a cos t , t ∈ [ 0 ; 2π ] )
thì đặt x = a cos t , t ∈ [ 0 ; π ]

+) x ∈ R


thì đặt x = tan t , t ∈  −

+) x 2 + y 2 = a 2

π π
; 

 2 2

Khi đó bài toán sẽ đưa về việc tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm
số lượng giác đơn giản hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
bậc nhất đối với sinnx và cosnx; còn đối với bài toán giải phương trình chứa
căn sẽ là một phương trình lượng giác với biến mới đơn giản hơn.
6.2. Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho 2 số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x 2 + y 2 = 1 . Tìm giá
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

(

)

2 x 2 + 6 xy
1 + 2 xy + 2 y 2

(ĐH khối B năm 2008)
Lời giải:
Do x 2 + y 2 = 1 nên tồn tại góc α sao cho x = cos α , y = sin α . Lúc đó:

(

)

2 cos 2 α + 6 cos α . sin α
1 + cos 2α + 6 sin 2α
P=
=
2

2 + sin 2α − cos 2α
1 + 2 cos α . sin α + 2 sin α
⇔ (1 + P ) cos 2α + ( 6 − P ) sin 2α = 2 P − 1 (*)
Phương trình (*) có nghiệm theo α khi và chỉ khi

(1 + P ) 2 + ( 6 − P ) 2 ≥ ( 2 P − 1) 2
⇔ −6 ≤ P ≤ 3

4
5

3
5

• Với P=3 từ (*) suy ra 4 cos 2α + 3 sin 2α = 5 ⇔ cos 2α + sin 2α = 1 (1)
Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

23


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
4
3
π
, sin ϕ =
(0 < ϕ < ) . Từ (1) suy ra
5

5
2
ϕ
cos( 2α − ϕ ) = 1 ⇔ α = + kπ . Do đó:
2

 3
1 

ϕ

;
 khi k = 2m
x
=
cos
+
k
π


 ( x ; y ) = 

2
⇔
 10 10 



3

1 
 y = sin  ϕ + kπ 
(
x ; y ) =  −
;−
 khi k = 2m + 1


2

10
10 



Đặt cos ϕ =

m, k ∈ Z

• Với P=-6 từ (*) suy ra

5
12
cos 2α − sin 2α = 1 (2)
13
13
π
(0 < φ < ) . Từ (2) suy ra
2

− 5 cos 2α + 12 sin 2α = −13 ⇔

5
12
, sin φ =
13
13
φ
cos( 2α + φ ) = 1 ⇔ α = − + kπ , k ∈ Z . Do đó:
2

 3
2 

 φ

;−
 khi k = 2m
 ( x ; y ) = 
 x = cos − 2 + kπ 
13 

⇔
 13


 y = sin  − φ + kπ 
( x ; y ) =  − 3 ; 2  khi k = 2m + 1



 2

13 13 



Đặt cos φ =

m, k ∈ Z

Từ các kết quả trên suy ra minP=-6 và maxP=3
Ví dụ 2: Giải phương trình: 1 + 1 − x 2 = 2 x 2 .
Hướng dẫn:
Với bài toán này, học sinh có thể giải bằng phương pháp bình phương
hoặc đặt ẩn phụ. Hai phương pháp này tuy khác nhau nhưng cùng một mục
đích là làm mất căn thức. Tuy nhiên, chúng ta có thể gợi ý từ ĐK xác định
của phương trình −1 ≤ x ≤ 1 và phải biến đổi 1 − x 2 = a 2 gợi ý cho chúng ta
nghĩ đến công thức lượng giác cơ bản giữa sin và cosin.Vậy ta có cách giải
như sau:
Lời giải:
ĐK: x ≤ 1.
Đặt x = cos t , t ∈ [0; π ] . Khi đó phương trình trở thành:
1 + 1 − cos 2 t = 2 cos 2 t ⇔ 2sin 2 t + sin t − 1 = 0 ⇔ sin t =

Vậy: x = cos t = ± 1 − sin 2 t = ±

1
(do sin t ≥ 0) .
2

3
là nghiệm của phương trình đã cho.
2

Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

24


SKKN: Phát triển tư duy, bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 thông qua chuyên đề
giải phương trình lượng giác
Ví dụ 3: Cho x, y là 2 số thực không âm thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và

( x − y )(1 − xy )

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (1 + x ) 2 (1 + y ) 2
(ĐH khối D năm 2008)
Lời giải:
π

Đặt x = tan α y = tan β  0 ≤ α , β <  . Khi đó ta có:
P=


( tan α − tan β )(1 − tan α . tan β )

(1 + tan α ) 2 (1 + tan β ) 2

=

2
( sin α . cos β − cos α . sin β )( cos α . cos β − sin α . sin β )

( sin α + cos α ) 2 ( sin β + cos β ) 2


sin(α − β ). cos(α + β ) 1
sin 2α − sin 2β
1
1
1

=
= 
−
(1 + sin 2α )(1 + sin 2β ) 2 (1 + sin 2α )(1 + sin 2β ) 2  1 + sin 2β 1 + sin 2α 
1
1
Do 0 ≤ 2α , 2β ≤ π nên 0 ≤ sin 2α ≤ 1 , 0 ≤ sin 2β ≤ 1 suy ra − ≤ P ≤
4
4
 sin 2α = 1
π

x =1
1

α=

P
=
⇔
⇔


• Với
4 ⇒
4
y = 0
sin 2 β = 0
 β = 0
sin 2α = 0
 α = 0
x = 0
1
• Với P = − 4 ⇔  sin 2β = 1 ⇔ β = π ⇒  y = 1



4
1
1
Từ các kết quả trên suy ra min P = − , max P =
4
4
=

Ví dụ 4: Giải phương trình: 1 +

2
x − x 2 = x + 1 − x (1)
3

Hướng dẫn:
Ngoài các cách đặt ẩn phụ thông thường để có thể đưa về phương trình
mới không còn biểu thức chứa căn, ta còn thấy mối quan hệ khác giữa các
biểu thức tham gia trong phương trình:

( x) +(
2

1− x

)

2

= x + 1 − x = 1 (*).

Đẳng thức này giúp ta liên tưởng đến hệ thức cơ bản nào mà chúng ta đã
biết? Chắc hẳn học sinh dễ dàng trả lời được đó là đẳng thức lượng giác:
sin 2 α + cos 2 α = 1 . Điều này dẫn đến cách giải sau:
Lời giải:
ĐK: 0 ≤ x ≤ 1
 π
2
Đặt: x = sin t , t ∈ 0;  . (Điều này hoàn toàn hợp lí vì x ∈ [ 0;1] ).


2

Khi đó phương trình đã cho trở thành:
Dương Thu Hoài- Trường THPT Tiến Thịnh

Trang

25