Phương trình vi phân ôn thi cao học

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
I.
Phương trình vi phân có biến phân ly
Phương trình vi phân có biến phân
phương trình có d ng
( )d

N( )d

( )d

t ch phân h i vế t
Nhận xét
Phương trình

( )N ( )d

( )
d
( )

N ( )
d
N ( )

( )
Nế
Nế N ( )

t i
t i
ươ

Gi i
Nế
√

ư c ∫

( )d

∫ N( )d

T ch phân t ng

v

N( )d

N( )d

( )N ( )d

t th
b t th
ì

( )d

b
â

C

( )N ( )

nế
tc

nghi
nghi
√

t ch phân t ng

phương trình ∫

tc

phương trình

thì t có
( )
d
( )

∫

N ( )

d
N ( )

C

c phương trình
phương trình
√

phương trình có th viết i

d

√
t ch phân h i vế t

d
ư c

√
√
√
√
d
∫
d
C
C
C
√

√
Là tích phân t ng quát c phương trình
T th
v
c ng nghi
phương trình
BÀI TẬP TRONG GIÁO TRÌNH THẦY NGUYỄN HỮU KHÁNH ĐẠI HỌC CẦN THƠ
ươ
ì
â
(
)
(
)
(
)
(
)(
) (
)
Gi i
(
)
(
)
d
d
Phương trình viết i
t ch phân h i vế t ư c
∫

∫

d

d

∫

T ch phân t ng
V i

v

n|C|
tc

V i

|
v

phương trình (

n| |

ư c ∫
n|C|

c ng

nghi

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

d

)(

∫

)

n(

thì t ch phân ư c viết i

t ch phân h i vế t
n|

)

n(

d

)
d

n|C|

C
d

n|C|

(C )

(C )

(C )

(C )
(C )

phương trình
Trang 1




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
c

c tg

V i

v c tg
t ch phân h i vế t

|

n|
V i

ư c ∫
|

n|c

v

C

c ng

(

d

in d
c
t ch phân t ng
∫

nghi

in d
c

C
tc

phương trình

phương trình

)

Đ t

th
c

Khi

d

thì t ch phân ư c viết i

c

c

phương trình ư c viết i

d
∫d
C
c tg

C
c
T ch phân t ng
t c phương trình c tg

v

phương trình t

d
c

d

ư c
t ch phân h i vế t

ư c

∫

C

Khi
c
c ng nghi
phương trình
Phương trình th ần nh t (Phương trình ẳng c p)
)the c c biến v nế
Đ nh ngh H

f( ) ư c g i h
th ần nh t c p n (n
)
v i
i
t có f(
f( )
d
Đ nh ngh Phương trình vi phân
f( ) ư c g i phương trình vi phân th ần nh t the
d
c c biến v nế f( ) h
th ần nh t c p the biến v
Cách gi i
d
Vì f( ) h
th ần nh t n n
f( ) g ( )
d
d
d
d
Đ t
h
t có
g( ) h
g( )
d
d
d

d
d
(phương trình có biến phân )
Nế g( )
thì phương trình có d ng
g( )
T ch phân h i vế t

ư c ∫

Nế g( )

g( )

Nế g( )

t i
ươ

d
g( )

∫

d

C

d
C

nghi
d
b ng c ch th tr c tiếp t ư c
i

thì

phương trình
nghi

phương trình

ì

Gi i
Phương trình
Đ t
r

d
d

ch có th viết i
d
d

d
d

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

d
d

( )

d
d

(

Trang 2

)




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
Nế

t

t ch phân h i vế t
∫

(

)d
)

(
n|

∫

t ch phân t ng
Khi
ư ý

∫(

)d

(

n|C|

â
b
|
b

|

n|C|

)

∫

d

d

(

C

n|C|
)

C

C

t c phương trình
c ng nghi
c phương trình

ì

Nế D

d

)d
)

(

ư c

n| |

|

ươ

(

ư phương trình v d ng phân

c c h ng

(
t

Đ t{
cần ch n

)
tr ng ó t th

ch th

h

{

ch biến
b
b

th

ch biến

c
c

d
t
d
dt
dt
D {
n n t có {
d
d
d
{d
d
d d d
d
b
c
t b
Khi ó
v f(

) f(
)
dt d d dt d
b
c
t b
Nế D
t
tz=
b t có phương trình phân biến s
BÀI TẬP
1. Gi i c c phương trình vi phân
√
(

)

Gi i
√
V i
Đ t
th v

(

)

h
the
phương trình t

| |√

h

ư c (

t có phương trình ư c viết i
∫

d
√
√
√

∫

d

C
C

the h i vế t
√
)

n|
√
√

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

√
√

d

ư c

d

t ch phân h i vế t

√
|

n| |

ư c

nC

C

Trang 3




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
t có phương trình ư c viết i

∫

d
√

∫

d

C

√
√
v

C
c ng

n|

√

d

d

t ch phân h i vế t

√
n| |

|

√

√

nC

C

√
nghi

phương trình

Đi
i n
(
Đ t
h
the )
h
the h i vế t ư c
)
th v phương trình t ư c (
e
e
d
d

d
t ch phân h i vế t ư c ∫
∫d
C
e
e
e
e
n
C
n
C
n (e
)
C
e
e
Đi u ki n c phương trình
(
Đ t
h
the )
h
the
)
th v phương trình t ư c (
in
h
phương trình
d

d
t ch phân h i vế t ư c ∫
in
n |t n |
in

n

n
c ng

C

ư c

t n
nghi

c

t ch phân t ng

tc

pt

h i vế t ư c
in
in
ư c viết

d
d
∫
n
in
C

C

t n

C

t ch phân t ng

tc

pt

phương trình

Đi u ki n c phương trình
(
Đ t
h
the )
h
the h i vế t ư c
)
th v phương trình t ư c (

c
c
c
h
phương trình ư c viết
d
d
d
d
t ch phân h i vế t ư c ∫
∫
C
c
c
t n
n
C
t n
n
C t ch phân t ng
t c pt
c

(

) c ng

nghi

c

phương trình

Đi u ki n c phương trình
(
Đ t
h
the )
h
the h i vế t ư c
)
th v phương trình t ư c (
t n
t n
h
phương trình ư c viết
d
d
d
d
t ch phân h i vế t ư c ∫
∫
nC
t n
t n
n| in | n
nC
in
C t ch phân t ng
t c pt

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

Trang 4

t n




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
t n

(

V i
th v

(
Đ t
phương trình t

V i
∫

nghi
h
ư c

∫

V i
V i

d

d

V i

)

∫

t

t ch phân h i vế t
Ce

d

C

h

(
d

rct n

)

d

n

ư c

ư c

C e

h i vế the

t

ư c

t ch phân h i vế t

C

)

(
)

rct n

n

C

ư c

t ch phân t ng

tc

pt

(

( )

)
(

Đ t
(
)d

∫(
b

∫d
(

C
)

)

th

v

)d

d

d

phương trình ư c viết i
d

∫d

)

ư c

t ch phân h i vế t
)

(

)

ư c

C

v i ( )
th

V i

(

phương trình t

(

C

Đ t

C

n|

v

phương trình t

d

|

là tích phân t ng quát c phương trình
The i

i nb n ầ ( )
C
|
n|
)d
(
)d
c(
V i

h i vế the

)

c ng nghi
phương trình
v
nghi
phương trình
2. Gi i c c phương trình vi phân

(
Gi i

∫

h

(

c ng nghi
phương trình
nghi
phương trình

(
h
the )
phương trình t ư c

d

)

nC

phương trình viết i

∫

phương trình

d

n| |

nC

v

V i
Đ t
th v

c
the
(

phương trình viết i

d

V i
V i

c ng

)

C
Vậ nghi

ư c

t ch phân h i vế t
(

)

n|

ng v i i

ư c
|

C

i nb n ầ

phương trình ư c viết i

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

Trang 5




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
t

Đ t{

th

t

v

t(

Đ t

t
t có

phương trình t
h

the t)

t

∫
t

h

)t

∫

dt
t
t

C

t t

là tích phân t ng quát c
v

nC

t

|
(

C
(

t

t ch phân h i vế

n|
t
t

h i vế t có

dt
t

d
d

(

ư c

n|t|
)

)(

)

nC
(

)(

(

)

)
(

C
)

phương trình

nghi

phương trình

Phương trình t ến tính c p một
Đ nh ngh Phương trình vi phân t ến tính c p một phương trình có d ng:
( ) tr ng ó P( ) ( ) c c h
P( )
i nt c
Nế ( )
thì t ư c
P( )
phương trình t ến t nh th ần nh t
Nế ( )
ư c g i phương trình t ến t nh h ng th ần nh t
phương trình vi phân th ần nh t c p một
d
t phương trình t ến t nh th ần nh t
P( )
d
d

P( )d

Nế

t có

H
Nế

C e ∫ ()
c ng nghi

t ch phân h i vế t

ư c n| |

∫ P( )d

Ce ∫ ( )
c phương trình ng v i C
Ce∫

Vậ nghi
t ng
t c phương trình vi phân th ần nh t c p ột
Cách gi i
Xem C là hàm c
t
c nh C C ( )
ch
( )
∫
C ( )e
th phương trình (Phương ph p biến thi n h ng
d
dC
e ∫ ()
C ( )P( )e ∫ ( )
d
d
Th v phương trình v y tích phân hai vế t ư c

e ∫ ( ) ( ( )e∫ ( )
C) nghi
c phương trình vi phân t
th ần nh t
ì
Gi i
Tìm nghi m t ng quát c

n|C |

ươ
ầ

ì

( )

( )

gr nge)

ến t nh c p

ột h ng

ì

( )

phương trình th ần nh t tương ng :

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

Trang 6




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
Nế
∫

d

∫

V i

d

n|C |

c ng

Vậ nghi
e

d

phương trình tr th nh

C
C

C

c
h

C

C

n| |

nghi

n| |

t ch phân h i vế t

ư c

C

n|C |

c

phương trình

t ng

tc

phương trình vi phân th ần nh t tương ng

the

t có

th

C

t ng

tc

t ch phân h i vế t

ư cC
K

phương trình th ần nh t

∫

d

(K

h ng

V i i
i nb n ầ ( )
K
Vậ nghi
ri ng ng v i i
Phương trình Bern
i
Đ nh ngh Phương trình Bern
i phương trình có d ng
( )
P( )
tr ng ó
R P( ) ( ) c c h
i nt c
Cách gi i
Khi
h
t ư c phương trình t ến t nh
Khi
v
T th
hi
nghi
phương trình
Khi
Chi h i vế phương trình ch

T ư c phương trình
( )
P( )
(

Đ t
P( )
Đâ

C

phương trình th ần nh t ( )

v

C

Vậ nghi

d

( )h

)

(

Th

)P( )

v

(

K (K

h ng

)

)

i n b n ầ

phương trình Bern

it

ư c

) ( )

phương trình vi phân c p tuyến tính c p một
ươ

ì

√

Gi i :
Chi h i vế phương trình ch
T th
V i

nghi

t

ư c

√

phương trình

chi h i vế phương trình ch

t

ư c

( )
Đ t

th
h

v

phương trình ( ) t

ư c

( )

Phương trình th ần nh t tương ng v i ( )
V i
V i
n| |
Đ tC

nghi

phương trình

phương trình tr th nh
n| |
n|C |
C Nghi
t ng

C
tc

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

d

d

t ch phân h i vế t

phương trình th ần nh t tương ng
Trang 7

ư c
C



PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
Ta xem C là hàm s theo x
T có
C
C th v
C

C

C

∫

Nghi

C

d

phương trình ( ) t

C

n| |

K (K

t ch phân h i vế t

Nghi m t ng quát c
( n| |

ư c

)

h ng

phương trình ( )

c

ư c

( n| |

K)

phương trình cần tìm là

K)

K

h ng

Phương trình vi phân t n phần và thừa s tích phân
Phương trình vi phân t n phần
Đ nh ngh Phương trình vi phân t n phần phương trình có d ng : M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Tr ng ó ( )d
N( )d
d ( ), v i
h
n
ó ư c g i là hàm tích phân c phương
trình vi phân.
N( )
( )
Đi
i n
phương trình tr n phương trình vi phân t n phần
( )
Cách gi i
i)Nế biết ( ) t ư c d (
ii) Nế chư biết bi th c (
(

)

∫ (

)d

)
)the

( ) C
nh ý
nh

)d

∫ N(

(

C h

)

tương ương t có
∫ (

)d

)
Tr ng ó (
i
ch c c h
P( ) ( ) i n t c t i i

Tóm l i tích phân t ng quát c phương trình vi phân t n phần là
∫ (

)d

∫ N(

)d

∫ (

Ch

)
ươ
ì (
Gi i
( d
Phương trình viết i d
d( )

d( )

d(

n

C

)

d

d( )

tc

phương trình

ươ

ó
e (
e
Ch n

d )

)d

∫ N(

C

)

T ch phân t ng

Gi i
t

(

)d

)d

∫ N(

N

ì
)N
e

(
e

)

N

t có t ch phân t ng

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

C
ươ

Phương trình
tc

Trang 8

ch

ì

phương trình vi phân t

â

ầ

n phần

phương trình




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
∫e (

)d

T

e

ư c

Vì ∫ e (
∫

∫
e
)d

e d

C

Ch

e (

(

e d

)

)e |

e |

C
(

∫e d

)e

(e

)

e

e

) C (C h ng )
Vậ t ch phân t ng
t c phương trình e (
b. Thừa s tích phân
Một phương trình vi phân c p một có th bi u diễn dư i d ng
d
Nd
(*) Phương trình n
thường không ph i phương trình vi phân t n phần. Tuy nhiên có th nhân một hàm ( ) vào
( )N( )d
phương trình
ư c phương trình ( ) ( )d
( ) phương trình vi
phân toàn phần Khi ó h
( )
ư c g i là thừa s tích phân c phương trình vi phân (*)
Cách tìm thừa s tích phân :
Gi s phương trình (**) phương trình vi phân t n phần Khi ó
( ( ) ( ))

( ( )N( ))
(

h

)

Vi c tìm h

e

∫

(

(

) t có N(

)

e
ươ

ì
Gi i
t

ừ

)(

t trường h p h

d
d

â

∫

(

(

ì

n(

th

) thừ

t ch phân

là hàm một biến
N
d
d
N( )

)

ó

ó

ươ

ì

biến
∫

BÀI TẬP

ih

)

h ng ph th ộc v

)

d

N
)h

( )(

v
Thừ
t ch phân ư c ch b i
e
Nhân h i vế phương trình ch
t ư c(
phần Ch n
v
T ch phân t ng
∫

)

ừ

â

ỉ

ộ

â

N

N

N(

N

)

( ) tương t t có

Khi

)(

h ng ơn gi n. Ta chỉ

( ) từ (

Khi

)

N(

∫

d

C

ươ

ì

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

(

)

tc

n n phương trình có thừ
e∫
e
)d
d
phương trình

t ch phân chỉ ph

phương trình vi phân t

n

C
â
Trang 9




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
(

)

( )

(

(

)

Gi i
(
Phương trình
T có ( )

)
( )
ch có th viết i (
N( )

)d

∫

T tì thừ
t ch phân ( ) e ( )
e∫
Nhân h i vế c phương trình v i e t ư c e (
phân t n phần

T tì t ch phân t ng
t c phương trình ch n
∫

d

(
Vì
∫

(

)

)

)e d

∫(
)e

d

e

)d

e d

phương trình vi

v

C

C

d
)e d

∫(

(

)e

)e d

∫(

(
)e
(
)e
(
)e
e
)e
Vậ t ch phân t ng
t c phương trình (

C
V i i u ki n b n ầu ( )
t ư c C = 1. Vậy tích phân ng v i i u ki n là (
(
)
(
)
T có ( )
N( )
N
Phương trình ch
phương trình vi phân t n phần
Ch n
∫

t ch phân t ng
d

)d

∫(

tc

phương trình

C

C

Vậ t ch phân t ng
t c phương trình
(
)
T có ( ) e N
( e
)
∫

T tì thừ
t ch phân ( ) e ( )
e∫
Nhân h i vế phương trình ch e
t ư c e d
phương trình vi phân t n phần
T tì t ch phân t ng
t c phương trình ch n
∫d

∫(

e

e

e )d

e
e

)e

Kv iK

e
( e

e

C

)d

v

C

C

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

Trang 10




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
Vì
∫d
∫(

e )d

e

e

e

Phương trình viết i (
( )
N( )
T tì

)d

d

t ch phân ( )

thừ

e

e

Nhân h i vế phương trình ch

∫

t

(

e

)

∫

ư c (

)d

d

phương trình vi phân t n phần
T tì t ch phân t ng
t c phương trình ch n
∫

d

∫ d

C

n

| |

e

v

n

C

C

( )
( )
Phương trình viết i in
c
c
V i in
h ng th phương trình ( )
Chi h i vế phương trình ( ) ch

V i in

phương trình ( )
d
c
phương trình ư c viết i
c ng

V i
∫

d

e

∫

c

C

C in

in
h

c

the

t có

c

C
in

C

in

Vậ nghi
(
(
Gi i
(
( )

in
t ng

tc

ươ

ì

)

c

C

in

c

C

in

)

th

c

in

( )

v

C
in

phương trình ( ) t
in

h ng

)

(

)
(

ư c

K

K
(K
in

c

ư c

( )

tc

C

)

(

t ng

(

(

in

t ch phân h i vế t

Vậ nghi

phương trình ( )

(
)

)

C
in
C in

n|C |

d

d

in

c

( )

in

nghi

c

ư c

c

t phương trình th ần nh t tương ng
V i

in t

)

)

)
N(

)

T tì thừ
t ch phân ( )
Nhân h i vế phương trình ch
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

∫

e ( )
t ư c (

e

∫

Trang 11

)d

(

e

∫

(

)

)d

e

| |




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
phương trình vi phân t n phần
T tì t ch phân t ng
t c phương trình ch n
∫ d

)d

∫(

(
(
T tì

C

C

(

)
)

t ch phân t ng

t ch phân ( )

e

∫

(

e

)

∫

e∫

ư c e (

(
(

)d
)

)

in

C
(
N(

c

e (

)

C

)

c

t ch phân t ng

in )d

t ch phân ( )

thừ

Nhân h i vế phương trình ch

∫

e ( in

C

∫

(

t

ư c

e

)

d

∫(

n

t ch phân t ng

Tóm tắt lý thuyết

)d
tc

C

in )d

phương trình

e ( in

e∫

c

e

)d

v
in )

c

C

d

e

∫

d

phương trình vi phân t n phần
T tì t ch phân t ng
t c phương trình ch n
∫

tc

in

t ch phân t ng
t c phương trình
(
)
)d

Phương trình ư c viết i ( n
( )
)
N(
n
T tì

)d

)
∫

∫e ( c

e (

v

T tì thừ
t ch phân ( ) e ( )
e
Nhân h i vế phương trình ch e t ư c e ( c
phương trình vi phân t n phần
T tì t ch phân t ng
t c phương trình ch n
∫ d

e

)d

phương trình vi phân t n phần
T tì t ch phân t ng
t c phương trình ch n
∫e (

phương trình

)

Nhân h i vế phương trình ch e t

∫ d

tc

)

N(

thừ

v

n

e
(

∫

e

n

)d

v
C

n

C

phương trình

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

Trang 12




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
1. Phương trình vi phân t ến tính c p hai h s h ng có vế ph i c bi t
D ng t ng
t
f( ) ( )

Đ gi i t
t phương trình th ần nh t tương ng
( )
( ) phương trình c trưng
G i phương trình
Nế ( ) có h i nghi
phân bi t
thì nghi
t ng
tc ( )
C e
(
)
(
)
(C
)e
Nế
có nghi
p
thì nghi
t ng
tc
C
Nế ( ) có nghi
ph c
i thì nghi
t ng
tc ( )
e (C c

Nế f( ) e P ( )tr ng ó
h ng n
óP( )
th c bậc n
Trường h p I
f( )
α

C e
C in

)

eα P ( )
n
ó

𝛼 không ph i là nghi m
c phương trình c trưng

𝛼 là nghi
ơn c a
phương trình c trưng

𝛼 là nghi m kép c a
phương trình c trưng

𝑦 𝑒 𝛼𝑥 𝑄𝑛 (𝑥) là nghi m
riêng c phương trình ( )

𝑦 𝑥𝑒 𝛼𝑥 𝑄𝑛 (𝑥) là nghi m
riêng c phương trình ( )

𝑦 𝑥 𝑒 𝛼𝑥 𝑄𝑛 (𝑥) là nghi m
riêng c phương trình ( )

Trường h p II
f( )

𝛼
c

eα (P ( )c β
α
n

m(

) inβ )

ó

𝛽𝑖 không ph i là nghi m
phương trình c trưng

𝛼 𝛽𝑖 là nghi m kép c a
phương trình c trưng

𝑦 eα (H ( )c β
( ) inβ )

là nghi m riêng c phương trình ( )
s = max(n,m)
ươ

𝑦
eα (H ( )c β
( ) inβ )
là nghi m riêng c phương trình ( )
s = max(n,m)

ì

( )

Gi i
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
(C
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t
C )e
)v i
Vế ph i c phương trình ( ) f( )
e (
v n
h ng ph i nghi
phương trình c trưng n n nghi
ri ng c ( ) có d ng
h

B
v
th v ( ) t ư c
B
Nghi

ri ng c

ng nh t th c t có {
phương trình ( )

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

Trang 13

B

{

e (

B)

B



PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
Vậ nghi

t ng
ươ

tc
ì

phương trình ( )

(

(C

C )e
)( )

Gi i
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
h c
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t
C e
C e
)v i
Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e (
v n
nghi
ơn c phương trình c trưng n n nghi
ri ng c

e (
B)
e (
B )
(
e (
B ) e (
B) e (
B)
B)
(
(
e (
B)
B) e (
B) e (
Th v phương trình ( ) t ư c:
(
(
e (
B)
B)
e (
B)
B)
e (
e (
Vậ nghi

t ng

ươ

B)

e (

)

tc
ì

phương trình ( )

ng nh t th c t có {
C e
( )

C e

B

phương trình ( )có d ng
B)
B )
{

e (

B)

B

e (

)

)

Gi i
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
Nghi
t ng
t c phương trình c trưng
e (C
C )
Vế ph i c phương trình ( ) f( )
e v i
v n
V i
nghi
p c phương trình c trưng n n nghi
ri ng c phương trình ( )
e B
B e
B e
e ( B
B )
e ( B
B ) e ( B

B) e ( B
B
B)
Th v phương trình t ư c
e ( B
B
B)
e ( B
B )
e B
e
e
B
e
B
Vậ nghi
t ng
t c phương trình ( )
e (C
C )
e
ươ
ì
( )
Gi i
Phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
i
Nghi
t ng

t c phương trình th ần nh t
C c
C in
Vế ph i c phương trình ( ) f( ) f ( ) f ( ) tr ng ó f ( )
e f ( )
e
v if ( )
e v i
v P ( )
v in
V if ( )
e v i
v P ( )
v in
(
)
( )
( ) e (
Nghi
ri ng c phương trình
có d ng
B) e C
Tr ng ó ( ) nghi
ri ng c phương trình h ng th ần nh t ng v i vế ph i f ( )
( ) nghi
ri ng c phương trình h ng th ần nh t n v i vế ph i f ( )
e (
B)
e
Ce

e (
B) Ce
e (
B)
e
Ce
e (
B) Ce
Th v phương trình ( ) t ư c
e (
B) Ce
e (
B) e C
e
e
e (

B)

Ce

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

e

e

ng nh t th c t

Trang 14

ư c

B

C




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
Vậ nghi

t ng

tc

ươ

ì

phương trình ( )

C c

e (

C in

)

e

( )

Gi i:
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
h c
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t
C
C e
Vế ph i c phương trình ( ) f( ) f ( ) f ( ) f ( ) v i f ( ) e f ( ) e f ( )
f ( ) e t có
v n
f ( ) e t có
v n
f ( )
t có
v n
( )
( )
( )v i ( ) ( )v
( )
Nghi
ri ng c phương trình ( ) có d ng
c c nghi
ri ng c phương trình h ng th ần nh t ng v i vế ph i f ( ) f ( )v f ( )

(C
Nghi
ri ng c ( )
e
e B
D)
e
B e
Be
C
D
e
e (B
B)
C
D
e
Be
e (B
B)
C
e
e (B
B)
C
Th v phương trình ( ) t ư c
e
e (B
B)
C ( e

e (B
B)
C
D) e
e
e
Be
C
C D e
e
ng nh t th c t có
B
Vậ nghi

C

D

t ng

tc

phương trình ( )

C

C e

e

e

ươ
ì
( )
Gi i
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
i
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
C c
C in
(
)
)
(
)
Vế ph i c phương trình
f(
in
e
c
in
Khi ó
nghi
c phương trình c trưng v
th c bậc n nh t b ng
Nghi

ri ng c ( )có d ng
[(
(C
(C
B)c
D) in ] [(
B )c
D ) in ]
[(
(
( C
(C
B)c
B ) in
D) in
D )c ]
[(C
(
(
( C B)
D)
B)c
D) in ]
( C
(C
(
D)c
D)
B) in
(

(
( C B)
C B) in
D)c
(
( C B)
( C
(
D)c
D)
C
B) in
Th v phương trình ( ) t ư c:
(
( C B)
( C
(
D)c
D)
C
B) in
(
)c
(C
)
B
D in
in
( C
(

D)c
C
B) in
in
ng nh t th c t ư c
C
C
D
D
{
{
C
Nghi

B
t ng

tc

ươ
Gi i Phương trình

B

phương trình
C c
ì
ch ư c viết l i:

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

C in
( )

Trang 15

c

in




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
c
( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
h c
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t
C
C e
Vế ph i c phương trình ( ) f( ) f ( ) f ( )v i f ( )
f ( ) c
V if ( )
t có
v n
V if ( ) c

t có
v bậc n nh t c
th c b ng
( )
( )v i ( )
Nghi
ri ng c phương trình ( ) có d ng
nghi
ri ng ng v i vế ph i c ( ) f ( ) f ( )
(Bc
T th
C in )
Bc
C in
B in
Cc
Bc
C in
Th v phương trình ( ) t ư c
Bc
C in
B in
Cc
c
( B
( B
C)c
C) in
c
ng nh t th c t ư c

{

B
B

C
C

( ) ần ư t

c c

B
{C

Vậ nghi

t ng

phương trình ( )

tc

C

C e

c

in

2. Phương trình vi phân t ến tính h s h ng có vế ph i h ng c bi t
Đ gi i phương trình n t dùng phương ph p biến thiên h ng s Lagrange:
( )v
( ) h i nghi
Nế
ộc ập t ến t nh c phương trình th ần nh t tương ng thì
nghi
ri ng c phương trình h ng th ần nh t
C ( ) ( ) C ( ) ( ) tr ng ó
C ( ) ( ) C ( ) ( )
C ( ) C ( ) nghi
c h {
C ( ) ( ) C ( ) ( ) f( )
e
V d Gi i phương trình
( )
e
Gi i
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
h c
Nghi
t ng
t c phương trình c trưng
C e
C e
e
Vế ph i c phương trình ( ) f( )

h ng ph i d ng c bi t
e
d ng phương ph p biến thi n h ng
gr nge Tì nghi
c phương trình ( ) dư i
d ng
C ( )e
C ( )e tr ng ó C ( )v C ( ) nghi
c h
(
)e
(
)e
C
C
e gi i r t ư c
{
C ( )e
C ( )e
e
C ( )
vậ nghi

[

)

n(e
t ng

tc

K ] C ( )
phương trình

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

[e
e [
Trang 16

n(e
n(e

)

K ]
)

K ]

e

[e

n(e

)

K ]

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
ươ

ì

BÀI TẬP

â

Gi i

( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
h c
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
C e
C e
(
)
)
(
)
Vế ph i c phương trình

f(
in
e
c
in v i
nghi
c phương trình c trưng
Nghi
ri ng c phương trình ( ) có d ng
c
B in
in
Bc
c
B in th v phương trình ( ) t ư c
c
B in
in
Bc
c
B in
in
(
Nghi

(

B)c
ri ng c

Vậ nghi

B) in

in

ng nh t th c t

phương trình ( )

t ng

tc

c

phương trình ( )

h ng ph i

B
B

ư c {

{
B

in
C e

C e

c

in

( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
ih c
i
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
C c
C in
Vế ph i c phương trình ( ) f( )
e v i
h ng ph i nghi
c phương
trình c trưng
Nghi
ri ng c phương trình ( ) có d ng
e
e
e th v phương trình ( ) t ư c
e
Nghi

e
ri ng c

Vậ nghi

e
phương trình ( )

t ng

tc

e

phương trình ( )

C c

C in

e

( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
h c
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
C

C e
)v i
Vế ph i c phương trình ( ) f( )
e (
nghi
c trưng
(
Nghi
ri ng c phương trình ( ) có d ng
B)
B
B
th v phương trình ( ) t ư c
B
B
ng nh t th c t ư c
{

B

{

ơn c

phương trình

B

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

Trang 17




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
Nghi
ri ng c phương trình ( )
Vậ nghi
t ng
t c phương trình ( )
C
C e
( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
√ ih c
√ i
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
e (C c √
Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e c
e (c
in )
v i
v
h ng ph i nghi
ơn c phương trình c trưng
Nghi

ri ng c phương trình ( ) có d ng
e ( c
B in )
( c
(
(
B in )e
in
Bc )e
e ((
B)c
(
(
e ((
B)c
B) in ) e ((
B) in
B)c )
e ( Bc
in )
th v phương trình ( ) t ư c
(
e ( Bc
in )
e ((
B)c
B) in )
e ( c
(
e ((

B)c
B) in ) e c
ng nh t th c t ư c
B
B

{
Nghi

phương trình ( )

t ng

e (C c √

tc

e

(

c

B

B) in )

B in )

e c

in )

phương trình ( )

C in√

)

e

(

c

in )

( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
i
(C c
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
Vế ph i c phương trình ( ) f( )
in
e ( c
in )
v i

v
nghi
c phương trình c trưng
( c
Nghi
ri ng c phương trình ( ) có d ng
B in )
( B
)c
(
c
in
B in
B c
( B
) in
(
Bc
in
B)c
(
( B
) in
B)c
(
)
th v phương trình
t ư c
(
( B

) in
B)c
c
B in
in
Bc
in
in
ng nh t th c t ư c
{

)

{
B

ri ng c

Vậ nghi

C in√

C in
c

)
B in

B) in

{
B

Nghi

ri ng c

Vậ nghi

t ng

phương trình ( )
tc

c

phương trình ( )

C c

C in

c

( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

Trang 18

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
(C
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e
v i
nghi
p c phương trình c trưng
Nghi
ri ng c phương trình ( ) có d ng
e
e
e
e (
)
)
)
e (
e (
e (
)
th v phương trình ( ) t ư c
)
)
e (

e (
e
e
e
Đ ng nh t t ư c
Nghi
ri ng c phương trình ( )
e
(C
Vậ nghi
t ng
t c phương trình ( )
C )e
( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
h c
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
C e
Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e
v i
nghi
ơn c phương trình c trưng
Nghi
ri ng c phương trình ( ) có d ng
e (
B
C)

(
e (
B
C ) e (
B
C) e (
(
( B
e (
B)
C)
C) e (
(
(
e (
B)
B
C)
B
C)
Th v phương trình ( ) t ư c
(
(
e (
B)
B
C)
B
C)
(

( B
e (
B)
C)
C) e (
(
e [
B)
B C] e
ng nh t th c t ư
B
Vậ nghi

C
t ng

Nghi
tc

ri ng c

phương trình ( )

phương trình ( )
C e

C e

( )
t phương trình th ần nh t tương ng

Phương trình c trưng
h c
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
Vế ph i c phương trình ( ) f( ) e
v i
nghi
ơn c phương trình c trưng
Nghi
ri ng c phương trình ( ) có d ng
e
e
e
e (
)
)
e
e (
e (
)
Th v phương trình ( ) t ư c
)
)
e (
e (
e
e
e
e

ng nh t th c t ư c
Nghi
Vậ nghi

ri ng c
t ng

tc

phương trình ( )
phương trình ( )

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

C )e

e
e

C e
e (
(

B

e

(

)

(

C e

C )

C)

c

e
e

C )
( B
C)
B)
B
C)
B

B)

)

C e

e
C e

Trang 19

C e

e




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
ươ

ì

â

Gi i

( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
i
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
e (C c
C in )
Vế ph i c phương trình ( ) f( )
e c

e ( c
in )
v i
hi ó
i nghi
c phương trình c trưng
(C
Nghi
ri ng c phương trình ( ) có d ng
e ((
B)c
D) in )
(C
e ((
B )c
D ) in )
(
e ((
C
B
D
B)c
C
B
C
D
D) in
e [(
C
B

C
D
B
D)c
(
C
B
C
D
B
C
D) in
Th v phương trình ( ) t ư c
(
e [( C
D)c
B
C) in
e c
ng nh t th c t ư c
B

Nghi

Vậ nghi

t ng

tc

phương trình ( )

ri ng c

phương trình ( )

e (C c

( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
i
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
phương trình ( )

Vế ph i c
V if ( )

f ( )

(

c

C c
)

)

e

in

)

( c

in

)

C in
f ( )

f ( )

n
c

t th

Áp d ng nguyên lý ch ng ch t nghi m
Nghi
ri ng c phương trình ( )
nghi

c

C in

( c

c

f ( )

f ( )

f( )

e

)

ri ng c

phương trình

ươ
( )
v

( ) tr ng ó
c

( )

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

Trang 20

ư

( ) ần ư t

(G
ri ng c ( ) có d ng
B
C (D
E
F)c
( D
B ( D
E)c
E
F) in
( G
( G
H) in
H
I)c
( D
B ( G
D
H
E
I)c
E

G
F
( G
( G
D
H)c
D
H
E
I) in
( D
( D
E
G) in
E
G
F
H)c
( D
( G
G
E
D
F
H)c
D
H
Th v phương trình ( ) t ư c
( D
B

C
G
E
D
F
H)c
Nghi

ì

H

I) in

H) in
E

G

I) in




PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
(

G

D

B
Nghi

H

C
ri ng c

Vậ nghi

G

D

c

I) in

E

F

G

ng nh t th c t

H

phương trình ( )

t ng

C c

E

I

(

)c

(

)c

in

( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
i
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
phương trình ( )

V if ( )

f ( )

c

f ( )

c

f ( )

c

f( )

c

c

C c

C in
f ( )

c

f ( )

c
t th

i h ng ph i

t th

i

Áp d ng nguyên lý ch ng ch t nghi m
Nghi
ri ng c phương trình ( )

( )

nghi

c

ri ng c

in

phương trình ( )

tc

C in

Vế ph i c

ư c

phương trình

nghi

nghi

c

phương trình

phương trình

( ) tr ng ó
v

c

( )

c trưng

c trưng

( ) ần ư t

c

ri ng c ( ) có d ng
(Cc
c

B in
D in )
c
B in
in
Bc
Cc
C in
D in
D c
(C D )c
( C
in
Bc
D) in
( C D ) in
c
B in
Dc
C in
( C
( D
c
B in
D)c
C) in
Th v phương trình ( ) t ư c
( C
( D
c

B in
D)c
C) in
Nghi

c

( C
c

D in
D)c
B in

C c

D in

c
c

B in
B

Nghi
Vậ nghi
C c

C c

C

ri ng c

Dc

C in

C in

c

ng nh t th c t

ư c

D

phương trình ( )

t ng

c

tc

c

in

phương trình ( )
c

in

( )
t phương trình th ần nh t tương ng
Phương trình c trưng
Nghi
t ng
t c phương trình th ần nh t tương ng
Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

Trang 21

e (C

C )



PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ÔN THI CAO HỌC ĐH CẦN THƠ
Vế ph i c

phương trình ( )

V if ( )

e

f ( )

e

f ( )

e

f ( )

f( )

e

e

c

nghi

pc

c

phương trình

t th

Nghi
Th

ri ng c

phương trình

ri ng c ( ) có d ng
e
e (Bc
C in
v

phương trình ( ) t
e [(

e
B
e (
e (
e

B

Vậ nghi
C c

f ( )

c

f ( )

( )
e

)

i

c trưng
nghi

c

( ) tr ng ó
v

e

e

e (Bc

phương trình

( )

c trưng

( ) ần ư t

c
C in

)

ư c
( C

C)c

]

B) in

e

e

c

C
) e [( C
B
) e [( B
C
e ( B c
C in )
[(

Nghi

e

c

Áp d ng nguyên lý ch ng ch t nghi m
Nghi
ri ng c phương trình ( )
nghi

e

ri ng c

)

(

)

phương trình ( )

t ng
C in

tc

( B
( B

C)c
B)c

c

]

B

C) in
C) in ]

C

e

e

c

in

phương trình ( )
c

Người soạn: Nguyễn Anh Quốc

in

Trang 22