giáo trình GIải tích : Ôn thi cao học : ôn thi thạc sĩ toán học

Mở đầu
Tiếp theo Giáo trình Không gian Tôpô - Độ đo - Tích phân, giáo trình Giải
tích Hàm đợc tác giả biên soạn trong chơng trình xây dựng bộ giáo trình hoàn
chỉnh cho sinh viên hệ Đại học s phạm ngành Toán Trờng Đại học Tây Bắc.
Học phần Giải tích Hàm hiện nay đang đợc giảng d ạy tại Trờng Đại học
Tây B ắc trong năm đơn vị học trình. Điều kiện tiên quyết là sinh viên đã học
xong các học phần Lý thuyết tập hợp và Lôgic Toán, Đại số tuyến tính, Phép tính
vi phân - tích phân hàm một biến, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến,
Hàm biến phức, Không gian tôpô - Độ đo - Tích phân. Khi biên soạn giáo trình
này, chúng tôi đã chú ý nhiều đến yếu tố s phạm để đảm bảo cho việc trình bày
các vấn cơ bản vừa tinh giản, logic mạch lạc vừa đảm bảo đợc hàm lợng kiến
thức cần thiết nhất, đồng thời chúng tôi chú ý nhiều đến việc hình thành cho sinh
viên những phơng phá p và kĩ năng cần thiết của môn học thông qua kĩ thuật
chứng minh các định lý, mệnh đề quan trọng và qua việc su tầm, phân loại m ột
hệ thống bài tập phong phú kèm theo hớng dẫn giải và lời giải chi tiết. Ngoài
ra, nội dung của giáo trình là một đơn vị kiến thức trọn vẹn, có mối liên hệ chặt
chẽ với nhiều kiến thức toán học quen t huộc nên chúng tôi có thể tin tởng giáo
trình sẽ trở thành tài liệu gần gũi, dễ hiểu đối với sinh viên trong quá trình học
tập.
Nhân dịp giáo trình đợc đa vào sử dụng, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn đối
với những ngời thầy tôn kính đã dạy dỗ trực tiếp cũng nh gián tiếp qua những
tài liệu quý báu của họ mà tác giả đã sử dụng làm nguồn tài liệu tham khảo chính
của giáo trình, qua đó tác giả đã đợc trang bị những tri thức, phơng pháp luận
và sự tự tin sẵn sàng chia sẻ những kinh nghiệm và tri thức trong NCKH dẫn
đến một trong các kết quả của sự dạy dỗ đó là chính là sự ra đời của giáo trình
này. Tá c giả xin cảm ơn các đồng nghiệp trong tổ Giải tích khoa Toán - Lý - Tin,
trờng Đại học Tây Bắc đã dạy thực nghiệm và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích giúp
3
hoàn thiện giáo t rình. Đặc biệt, tác giả xin cảm ơn Ban g iám hiệu, Phòng Quản
lý khoa học và Quan hệ quốc tế, các đồng nghiệp và sinh viên Khoa Toán - Lý
- Tin trờng Đại học Tây Bắc về sự giúp đỡ quý báu cũng nh sự tạo điều kiện

thuận lợi để giáo trình này đợc đa và sử dụng. Do kinh nghiệm khoa học của
tác giả còn nhiều hạn chế, chắc chắn tài liệu không thể tránh khỏi những thiếu
sót. Tác giả mong muốn tiếp tục nhận đợc nhiều góp ý để t ác giả hoàn thiện
giáo trình, góp phần tốt hơn trong việc nâng cao chất lợng giảng dạy và học tập
của sinh viên Khoa Toán - Lý - Tin Trờng Đại học Tây B ắc.
Sơn La, tháng 12 năm 2007
Tác giả
Phạm Minh Thông
4
Mục lục
1 Không gian định chuẩn và không gian Banach 9
1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Chuẩn trên không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Không gian định chuẩn v à không gian Banach . . . . . . . 11
1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . 13
1.4 Một số ví dụ về không gian Banach . . . . . . . . . . . . . 14
2 Không gian các hàm khả tích bậc p 1 22
2.1 BấtđẳngthứcHolder 22
2.2 BấtđẳngthứcMinkowski 23
3 Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.1 Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Chuỗi hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4
ánhxạtuyếntínhliêntục 31
4.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Không gian L(E; F ) 34
4.3 Một số ví dụ v ề ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . 39
5
5 Không gian con và không gian thơng 45
5.1 Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.2 Tổngtrựctiếptôpô 46
5.3 Siêuphẳng 48
5.4 Không gian thơng 50
6 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.1 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . 52
6.2 Không gian khả li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7Bàitậpchơng1 59
2 Ba nguyên lý cơ bản của giải tích hàm 64
1 Nguyên lý bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.1 Nửachuẩnliêntục 64
2 Định lý ánh xạ mở và đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1 Địnhlýánhxạmở 69
2.2 Định lý đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3 ĐịnhlýHahn-Banach 73
3.1 Định lý Hahn-Banach đối với không gian vector thực . . . 73
3.2 Định lý Hahn- Banach đối với không gian vector phức . . 76
3.3 Một số hệ quả quan trọng của định lý Hahn-Banach . . . . 79
4Bàitậpchơng2 81
3 Toán tử trong không gian Banach 84
6
1 Toántửliênhợp 84
2 Toántửcompact 88
3 Toántửhữuhạnchiều 92
4 Phổcủatoántử 94
4.1 Mộtsốkháiniệmcầnthiết 94
4.2 Phổ của toán tử trong không gian Banach . . . . . . . . . . 96
4.3 Phổcủatoántửcompact 103
5Bàitậpchơng3 112
4 Không gian Hilbert và t oán tử trong không gian Hilbert 116
1 Dạnghermite 116

1.1 Định nghĩa và các tính chất đơn giản . . . . . . . . . . . . 116
1.2 Hai bất đẳng thức quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2 Tíchvôhớng và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3 Hệ trực giao, trực chuẩn và phép chiếu trực giao . . . . . . . . . . 124
3.1 Hệtrựcgiaovàtrựcchuẩn 124
3.2 Phépchiếutrựcgiao 127
4 Phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian Hilbert . . . . . . . 131
5 Cơsởtrựcchuẩn 133
6 Toán t ử liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 138
7 Toán tử tự liên hợp và toán tử compact tron g không gian Hilbert . 143
7.1 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . 143
7
7.2 Toán t ử tự liên hợp compact- Định lý Hilbert-Schmidt . . . 148
8Bàitậpchơng4 151
5Hớng dẫn giải bài t ập 157
1Chơng1 157
2Chơng2 172
3Chơng3 182
4Chơng4 197
8
Chơng 1
Không gian định chuẩn và không
gian Banach
Trong suốt tài liệu này chúng ta kí hiệu K là trờng số thực R hoặc trờng
số phức C và các không gian vector đợc nói đến đều là không gian vector trên
trờng K.
1 Định nghĩa và ví dụ
1.1 Chuẩn trên không gian vec tor
Định nghĩa 1.1. Hàm xác định trên không gian vector E đợc gọi là một chuẩn
trên E nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1) (x) 0 với mọi x E và (x)=0 x =0,
2) (x)=||(x) với mọi K và với mọi x E,
3) (x + y) (x)+(y) với mọi x, y E.
Khi thoả mãn các điều kiện 2) và 3), còn điều kiện 1) thay bởi điều kiện:
1) (x) 0 với mọi x E,thì đợc gọi là một nửa chuẩn trên E.
9
Mệnh đề 1.2. Giả sử là một nửa chuẩn trên E. Khi đó, với mọi x, y E ta có:
|(x) (y)| (x y) (3)
Chứng minh. Cho x, y E, từ điều kiện 3) ta có:
(x)=(x y + y) (x y)+(y)
suy ra
(x) (y) (x y)()
Thay đổi vai trò của x và y và kết hợp với điều kiện 2) ta nhận đợc
(y) (x) (y x)=
(x y)()
Cuối cùng, từ () và () ta có |(x) (y)| (x y).
Từ các tính chất của chuẩn và định nghĩa khoảng cá ch chúng ta có mệnh đề
sau:
Mệnh đề 1.3. Nếu là một chuẩn trên E thì công thức:
d(x, y):=(x y), (x, y E) (1.1)
xác định một khoảng cách trên E thoả mãn:
x, y, z E, K,

d(x + z, y + z)=d(x, y),
d(x, y)=||d(x, y)
(1.2)
Khoảng cách d xá c định bởi công thức (1.1) đợc gọi là khoảng cách sinh bởi
chuẩn .
Cho E là không gian véc tơ và a, b K. Ta gọi tập hợp sau đây là đoạn với
các mút a, b:

[a, b]:={x = ta +(1 t)b E : t R
, 0 t 1}
10
Định nghĩa 1.4. Tập con X trong không gian vector E đợc gọi là:
a) Tập lồi nếu [a, b] X với mọi a, b X.
b) Tập cân nếu x X với mọi x X và với mọi K mà || 1.
c) Tập hút nếu với mỗi x E đều tồn tại số >0 sao cho x X với mọi
K mà || .
Mệnh đề 1.5. Giả sử là một nửa chuẩn trên E. Khi đó các tập hợp:
B = {x E : (x) < 1},
B = {x E : (x) 1}
là lồi, cân, hút.
Chứng minh. Trớc tiên ta chứng minh B là tập lồi, cân và hút: Cho a, b B
và 0 t 1.Tacó:
(ta +(1 t)b) (ta)+((1 t)b)=t(a)+(1 t)(b) <t+1 t =1
Mặt khác, (x)=||(x) (x) < 1.SuyraB là lồi v à cân.
Cuối cùng, nếu x E thì do x B, :
|| <
1
(x)+1
nên B là tập hút.
Vi ệc chứng minh
B là lồi, cân và hút hoàn toàn tơng tự.
1.2 Không gian định chuẩn và không gian Banach
Định nghĩa 1.6. Không gian vector E cùng với một chuẩn xác định trên E
đợc gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn.
Một không gian tuyến tính định chuẩn t h ờng gọi ngắn gọn là không gian
định chuẩn.
Khi E là không gian định chuẩn với chuẩn thì với mỗi x E ta viết
(x)=x và gọi số x là chuẩn của vector x.

11
Theo mệnh đề 1.3, không gian định chuẩn E là một không gian metric với
khoảng cách d sinh bởi chuẩn xác định bởi công thức:
d(x, y):= x y,x,y E.
Nh vậy, trong không gian định chuẩn, khi nói tới các khái niệm về giới hạn
của dãy điểm, dãy Cauchy, về tập mở, tập đóng, về giới hạn của ánh xạ giữa các
không gian định chuẩn và các khái niệm liên quan khác thì chúng ta hiểu đó chính
là những khái niệm tơng ứng trong không gian metric với khoảng cách sinh bởi
chuẩn của không gian.
Định nghĩa 1.7. Không gian tuyến tính định chuẩn E đợc gọi là không gi an
Banach nếu E cùng với metric sinh bởi chuẩn trên E là một không gian metr ic
đầy.
Mệnh đề 1.8. Nếu E là không gian định chuẩn thì hàm chuẩn x x là liên
tục đều trên E.
Chứng minh. Trớc hết ta chú ý rằng tính liên tục đều ở đây theo nghĩa của ánh
xạ liên tục đều giữa cá c không gian metric. Cho >0 bất kì, chọn = .Khi
đó, theo mệnh đề 1.3, với mọi x, y E,nếud(x, y)=x y <thì
|xy| x y = d(x, y)= = .
Chứng tỏ hàm
. : E R liên tục đều trên E.
Mệnh đề 1.9. Nếu E là không gian định chuẩn thì các phép toán vec tơ trong E
là liên tục:
Chứng minh. Nhờ các đánh giá dới đây
(x + y) (x
0
+ y
0
) x x
0
+ y y

0

x
0
x
0
||x x
0
+ |
0
|x
0

12
với chú ý E ì E hay K ì E đợc xét nh không gian metric tích của các không
gian metric v ới khoảng cách trên E là khoảng cách sinh bởi chuẩn và khoảng
cách trên K là khoảng cách Euclide thông thờng.
1.3 Tập compact trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.10. Tập con X trong không gian định chuẩn E đợc gọi là:
a) tập bị chặn nếu: sup{x : x X} < +.
b) tập hoàn toàn bị chặn nếu: Với mọi >0 tồn tại tập hữu hạn A E sao
cho
(x X)(y A) |x y < X

y A
B(y,)
Tập con hữu hạn A E thoả mãn b) gọi là một -lới hữu hạn của X.
c) tập compact nếu: mọi dãy {x
n
}X có một dãy con {x

n
k
} hội tụ tới một
phần tử x X.
Nhận xét 1. Nếu X làtậphoàntoànbịchặntrongE thì với mỗi >0 đều có
thể chọn cho X một -lới hữu hạn A gồm toàn các phần tử của X.
Thật vậy, cho >0 có thể chọn cho X một /2 lới hữu hạn A E. Khi đó
X =


y A
B(y,

2
)

X =

y A


B(y,

2
) X

ởđây
B

y,

2

= {x E : x y <

2
} ,A

= {y A : B(y,

2
) X = }
Với mỗi y A

, chọn z
y
B(y,

2
) X.Takiểmlại{z
y
: y A

}X là -lới
hữu hạn của X.Chox X, chọn y A để xy <

2
.SuyraB(y,

2

)X =
nên y A

và
x z
y
x y+ y z
y
<

2
+

2
=
13
Nhận xét 2. Mọi tập hoàn toàn bị chặn đều là tập bị chặn. Thật vậy, nếu X là
tậphoàntoànbịchặnthìvới =1tồn tại x
1
,x
2
, ,x
n
là -lới hữu hạn của
X.Giảsửx X tuỳ ý, chọn 1 k n để x x
k
< 1.Suyra
x x
k
+ x x

k
x
k
+1 max
1kn
x
k
| +1
Do đó
sup
nX
x max
1kn
x
k
+1< +
Vậy X là tập bị chặn.
Đối với không gian định chuẩn, đặc trng Hausdorff của tập compact đợc
phát biểu bởi định lý sau đây:
Định lý 1.11 (Hausdorff). Tập con X trong không gian Banach E là compact
nếu và chỉ nếu X là đóng và hoàn toàn bị chặn.
1.4 Một số ví dụ về không gian Banach
Ví dụ 1. Không gian Euclide n- chiều
Với mỗi số tự nhiên n,kýhiệuK
n
là tích Descartes của n lần trờng vô hớng
K:
K
n
:= {x =(x

1
,x
2
, ,x
n
):x
1
,x
2
, ,x
n
K}
Với mỗi x =(x
1
,x
2
, ,x
n
) K
n
,tađặt:
x =

n

i=1
|x
i
|
2

1
2
. (1)
Ta sẽ chứng tỏ công thức (1) xác định một chuẩn trên K
n
, gọi là chuẩn Euclide.
Thật vậy, hiển nhiên hàm x x thoả mãn các tiên đề 1) và 2) trong định nghĩa
chuẩn. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski sau đây
n

i=1
|a
i
b
i
|

n

i=1
|a
i
|
2

1
2
.

n

i=1
|b
i
|
2

1
2
14
chúng ta có thể chứng minh tiên hàm . thoả mãn điều kiện 3) trong định nghĩa
chuẩn:
Thật vậy, với mọi x =(x
1
,x
2
, ,x
n
),y=(y
1
,y
2
, ,y
n
) K
n
ta có:
n

i=1
|x
i
+ y
i
|
2

n

i=1
(|x
i
| + |y
i
|)
2
=
n

i=1
|x
2
i
| +2
n

i=1
|x
i

y
i
| +
n

i=1
|y
2
i
|

n

i=1
|x
2
i
| +2

n

i=1
|x
2
i
|

1
2
.

n

i=1
|x
2
i
|

1
2
+
n

i=1
|y
2
i
|
=






n

i=1
|x

2
i
| +




n

i=1
|y
2
i
|


2
chứng tỏ
x + y x+ y với mọi x, y K
n
Nh vậy, hàm . thoả mãn cả ba điều kiện t rong định nghĩa chuẩn nên nó là
một chuẩn trên K
n
- gọi là chuẩn Euclide, đồng thời K
n
với chuẩn Euclide là một
không gian định chuẩn - gọi là không gian Euclide n chiều.
Cuối cùng, v ới x =(x
1
, ,x

n
) K
n
,y =(y
1
, ,y
n
) K
n
ta có:
max
1in
|x
i
y
i
| x y n. max
1in
|x
i
y
i
|.
nên x y0 i =
1,n,|x
i
y
i
|0, suy ra, sự hội tụ trong K
n

là sự hội
tụ theo toạ độ và một dãy là dãy Cauchy trong K
n
khi và chỉ khi tất cả các dãy
toạ độ của nó đều là dãy Cauchy trong K.LạidoK là không gian metric đầy
suy ra K
n
là không gian đầy. Vậy K
n
là không gian Banach.
Ví dụ 2. Không gian các hàm liên tục
Ký hiệu C[a; b] là không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn [a, b].Đặt:
f =sup{|f(x)| : x [a, b]},f C[a; b]
Dễ dàng thấy rằng hàm f f xá c định một chuẩn trên không gian C[a; b]
và với chuẩn đó, C[a; b] trở thành một không gian định chuẩn.
15
Ta s ẽ kiểm lại C[a; b] là một không gian Banach: Cho {f
n
} là một dãy Cauchy
trong C[a; b], khi đó với mọi số >0 cho trớc, tồn tại số tự nhiên n
0
sao cho
với mọi m, n N

,m,n n
0
ta đều có:
f
n
f

m
=sup
x[a;b]
f
n
(x) f
m
(x) <
Suy ra
(m, n n
0
) |f
n
(x) f
m
(x)| với mọi x [a, b]. (1.3)
Nh vậy với mỗi x [a, b] cố định, dãy số {f
n
(x)} là một dãy Cauchy tr ong K.
Do K là không gian metric đầy nên dãy đó hội tụ trong K.Đặt
f(x) = lim
n
f
n
(x) K,x [a, b]
ta đợc hàm số f :[a; b] K.Tasẽchỉraf C[a; b] và dãy {f
n
} hội tụ đến
f trong C[a; b], nghĩa là f
n

f0.Thậtvậy,giảsửx
0
[a; b] là điểm tuỳ
ý, ta chứng minh f liên tục tại x
0
. Trong (1.3) bằng cách cố định x [a, b] và
n n
0
,chom ta đợc
|f
n
(x) f(x)| với mọi x [a, b] và n n
0
(1.4)
Cho x
0
[a; b],n= n
0
ta có
|f
n
0
(x
0
) f(x
0
)| (1.5)
Vì f
n
0

liên t ục tại x
0
nên tồn tại >0 sao cho với mọi x [a; b]
|x x
0
| <|f
n
0
(x) f
n
0
(x
0
)| < (1.6)
Từ các bất đẳng thức (1.4), (1.5) và (1.6) ta suy ra: Với mọi x [a; b] thoả mãn
|x x
0
| <ta đều có:
|f(x) f(x
0
)| |f(x) f
n
0
(x)| + |f
n
0
(x) f
n
0
(x

0
)| + |f
n
0
(x
0
) f(x
0
)| < 3
Chứng tỏ f liên tục tại x
0
.Vìx
0
[a; b] là điểm tuỳ ý ta suy ra f liên tục trên
đoạn [a; b], nghĩa là f C[a; b].
16
Cũng từ (1.4) suy ra f
n
f =sup
x[a,b]
|f
n
(x) f(x)| với mọi n n
0
.
Chứng tỏ lim
n
f
n
f =0, nghĩa là dãy {f

n
} hội tụ đến f tr ong C[a; b].
Ví dụ 3. Không gian các hàm bị chặn
Giả sử S là tập tuỳ ý. Ký hiệu
B(S) là không gian tất cả các hàm bị chặn
trên S,tứclàsup{|f(s)| : s S} < +.Đặt
f := sup{|f(s)| : s S} < +,f
B(S) (1.7)
Có thể thấy công thức (1.7) xác định một chuẩn trên
B(S),dođóB(S) là một
không gian định chuẩn. Hơn nữa, có thể chỉ ra
B(S) là không gian Banach.
Ví dụ 4. Không gian các dãy khả tổng bậc p. Kí hiệu
K
N

= {x =(x
1
,x
2
, ,x
n
, ):x
n
K,n N

}
là tập hợp tất cả các dãy số của K. Với mỗi số thực p 1 tuỳý,kýhiệul
p
là

tập hợp tất cả các dãy số khả tổng bậc p:
l
p
= {x =(x
n
) K
N

:


n1
|x
n
|
p
< +}
Chúng ta sẽ chứng tỏ l
p
là một không gian Banach với chuẩn xác định bởi
công thức:
x
p
:=



n=1
|x
n

|
p

1
p
,x=(x
1
,x
2
, ,x
n
, ) l
p
. (1.8)
Để chứng minh l
p
là không gian vector và công thức (1.8) thực sự xá c định một
chuẩn trên l
p
,trớc tiên, chúng ta cần chứng minh các bổ đề quan trọng sau đây:
Bổ đề 1.12. Nếu p, q > 1 với
1
p
+
1
q
=1thì với mọi , R
+
ta có:
.

p
p
+

q
q
(1.9)
17
Chứng minh. Trớc hết, nếu =0hoặc =0thì bổ đề hiển nhiên đúng. Giả
sử >0, >0.Xéthàmsố
f(t)=
t
p
p
+
t
q
q
, (t>0)
Do f

(t)=t
q1
(t
p+q
1) = 0 t =1và f

(t) < 0 trên khoảng (0; 1), f

(t) > 0
trên khoảng (1; +) nên f có giá trị cực tiểu là f(1) =
1
p
+
1
q
=1.Nh vậy
t
p
p
+
t
q
q
1 với mọi t>0
Thay t =
1
q
.
1
p
vào bất đẳng thức trên ta đợc

p
q
.
1
p
+

q
p
.
1
q
1
Nhân hai vế của bất đẳng thức trên với và luýrằng
p
q
+1=p,
q
p
+1=q,
ta đợc

p
p
+

q
q
.
Bổ đề 1.13 (Bất đẳng thức Holder). Cho p, q R,p,q >1,
1
p
+
1
q
=1. Khi đó,

nếu (x
n
) l
p
, (y
n
) l
q
thì:


n=1
|x
n
y
n
|



n=1
|x
n
|
p

1
p
.

n=1
|y
n
|
q

1
q
(1.10)
Gọn hơn, bằng cách sử dụng ký hiệu trong công thức (1.8) ta có:


n=1
|x
n
y
n
| x
p
.y
p
. (1.11)
Chứng minh. Hiển nhiên bổ đề đúng nếu x
p
=0hoặc y
q
=0. Vậy chỉ cần
chứng minh trờng hợp x

p
> 0, y
q
> 0. Với mỗi số tự nhiên n 1, áp dụng
bổ đề 1.12 cho =
|x
n
|
x
p
và =
|y
n
|
y
q
ta đợc
|x
n
y
n
|
x
p
y
q

1
p
|x

n
|
p
x
p
p
+
1
q
|y
n
|
q
y
q
q
18
Lấy tổng hai v ế theo n ta đợc


n=1
|x
n
y
n
|
x
p
y
q

1
px
p
.


n=1
|x
n
|
p
+
1
qy
q
.


n=1
|y
n
|
q
=
1
p
+
1
q

=1
Suy ra


n=1
|x
n
y
n
|



n=1
|x
n
|
p

1
p
.



n=1
|y
n
|
q

1
q
Bổ đề 1.14 (Bất đẳng thức Minkowski). Cho p R,p 1.Nếux, y l
p
thì
x + y l
p
và
x + y
p
x
p
+ y
p
Chứng minh. Từ bất đẳng t hức
|x
n
+ y
n
|
p
(|x
n
| + |y
n
|)
p
2
p

max{|x
n
|
p
, |y
n
|
p
}
2
p
(|x
n
|
p
+ |y
n
|
p
), n 1
ta có


n=1
|x
n
+ y
n
|
p

2
p



n=1
|x
n
|
p
+


n=1
|y
n
|
p

< +
Suy ra x + y l
p
.
Bất đẳng thức Minkowski hiển nhiên đúng với p =1.
Giả sử p>1, chọn q>1 để
1
p
+
1
q

=1.Doq(p 1) = p và do trên ta có


n=1
|x
n
+ y
n
|
(p1)q
=


n=1
|x
n
+ y
n
|
p
< +
Nghĩa là (|x
n
+ y
n
|
p1
)

n=1

l
q
. áp dụng bất đẳng thức Holder tới (x
n
) l
p
và
(|x
n
+ y
n
|
p1
) l
q
với luýthêmrằng
1
q
=
p1
p
ta đợc


n=1
|x
n
|.|x
n
+ y

n
|
p1
x
p



n=1
|x
n
+ y
n
|
(p1)q

1
q
= x
p



n=1
|x
n
+ y
n
|
p

p1
p
19
Tơng tự ta có


n=1
|y
n
|.|x
n
+ y
n
|
p1
y
q



n=1
|x
n
+ y
n
|
p

p1

p
Từ các bất đẳng thức trên ta nhận đợc:


n=1
|x
n
+ y
n
|
p



n=1
|x
n
|.|x
n
+ y
n
|
p1
+


n=1
|y
n
|.|x

n
+ y
n
|
p1
(x
p
+ y
p
)



n=1
|x
n
+ y
n
|
p

p1
p
Chia hai vế bất đẳng thức trên cho



n=1
|x
n

+ y
n
|
p

p1
p
ta đợc:
x + y
p
= x
p
+ y
p
.
Mệnh đề 1.15. Nếu p 1 thì l
p
là một không gian Banach.
Chứng minh. Trớc hết, hiển nhiên .
p
thoả mãn điều kiện thứ nhất trong định
nghĩa chuẩn. Cho x, y l
p
và K theo bổ đề 1.14 ta có x + y l
p
và hiển
nhiên x := (x
n
) l
p

, đồng thời ta có
x
p
=



n=1
||
p
.|x
n
|
p

1
p
= ||.



n=1
|x
n
|
p

1
p
= ||.x

p
Nh vậy .
p
thoả mãn điều kiện thứ hai trong định nghĩa chuẩn. Sử dụng bất
đẳng thức Minkowski ta có .
p
thoả mãn điều kiện còn lại. Vậy l
p
là một không
gian định chuẩn với chuẩn .
p
.
Bây giờ ta chứng minh l
p
là không gian Banach: Cho {x
(k)
}

k=1
là dãy Cauchy
trong l
p
, x
(k)
=(x
(k)
n
)

n=1

, khi đó, với mọi số >0 cho trớc, tồn tại số tự nhiên
k
0
sao cho với mọi k, l N

: k,l k
0
ta đều có: Suy r a, với mọi m N

ta có:
x
(k)
x
(l)
=

m

n=1
|x
(k)
n
x
(l)
n
|
p

1
p

<.
20
Suy ra, với mọi m 1 và k,l k
0
ta có:
x
(k)
x
(l)
=

m

n=1
|x
(k)
n
x
(l)
n
|
p

1
p
<. (1.12)
Từ (1.12) suy ra với mọi n 1 dãy {x
(k)
n
}

k1
là dãy Cauchy trong K.VìK là
không gian Banach nên tồn tại x
n
= lim
k
x
(k)
n
,n N

.Đặtx =(x
n
)

n=1
,tasẽ
chứng tỏ rằng x l
p
và x
(k)
x trong l
p
. Trong (1.12), cố định m 1 và k k
0
cho l ta đợc

m

n=1

|x
(k)
n
x
n
|
p

1
p
với mọi m 1, k k
0
suy ra



n=1
|x
(k)
n
x
n
|
p

1
p
, (k k
0
)

Chứng tỏ (x
(k
0
)
n
x
n
)

n=1
l
p
. áp dụng bất đẳng thức Minkovski cho các dãy
(x
(k
0
)
n
)

n=1
l
p
, (x
(k
0
)
n
x
n

)

n=1
l
p
ta đợc:



n=1
|x
n
|
p

1
p




n=1
|x
(k
0
)
n
|
p

1
p
+



n=1
|x
(k
0
)
n
x
n
|
p

1
p
< +
suy ra x l
p
. Cũng từ (1.12), cố định k k
0
và cho l ta đợc
x
(k)
x
p
, k k

0
điều này chứng tỏ x
(k)
x
p
0 khi k , nghĩa là x
(k)
x trong l
p
.
Ví dụ 5. Không gian l

và không gian c
0
Đặt
l

= {(x
n
) K
N

:sup
n
|x
n
| < +} và c
0
= {(x
n

) l

: lim
n
x
n
=0}.
Khi đó, l

= B(N

) không gian các hàm bị chặn trên N

nên l

là không gian
Banach với chuẩn cảm sinh bởi chuẩn trên l

.
Có thể chứng minh rằng c
0
là không gian con đóng của l

nên c
0
cũng là
không gian Banach.
21
2 Không gian các hàm khả tích bậc p 1
Cho X là tập đo đợc Lebesgue trong R

k
và là độ đo Lebesgue tr ên -đại
số
L các tập đo đợc Lebesgue trên R
k
.Vớimỗip 1,kýhiệuL
p
(X) là tập tất
cả các hàm khả tích (Lebesgue) bậc p tr ên X (hai hàm tơng đơng xem là m ột)
L
p
(X)={f : x R đo đợc :

X
|f|
p
d < +}
Chúng ta sẽ chứng tỏ L
p
(X) là không gian Banach với chuẩn xác định bởi
công thức:
f
p
:=


X
|f|
p
d

1
p
Vi ệc chứng minh L
p
(X) là không gian vector và hàm L
p
(X) f :f
p
R
là một chuẩn hoàn toàn tơng tự nh đối với không gian l
p
các dãy khả tổng bậc
p, thay cho phép lấy t ổng là phép lấy tích phân. Trớc hết chúng ta chứng minh
các bất đẳng thức Holder và bất đẳng thức Minkowski trong L
p
(X) bởi các Bổ
đề sau đây.
2.1 Bất đẳng thức Holder
Định lý 2.1. Giả sử p, q > 1 sao cho
1
p
+
1
q
=1. Khi đó với mọi f L
p
(X),g
L
q

(X),tacó

X
|f.g|d


X
|f|
p
d

1
p


X
|g|
q
d

1
q
(2.1)
Hay với những ký hiệu đã nêu thì
fg
1
f
p
g
q

Chứng minh. Nếu f =0hoặc g =0thì f =0h.k.n hoặc g =0h.k.n. Suy
ra f.g =0h.k.n. và do đó fg
1
=0. Vậy bất đẳng thức Holder là đúng trong
22
trờng hợp này. Xét trờng hợp f
p
> 0, g
q
> 0.Vớimỗix X áp dụng
bổ đề 1.12 với
=
|f(x)|
f
p
và =
|g(x)|
g
q
ta đợc
|f(x)g(x)|
f
p
g
q

1
p
|f(x)|
p

f
p
p
+
1
q
|g(x)|
q
g
q
q
Lấy tích phân hai vế theo độ đo ta có
1
f
p
g
q

X
|f(x)g(x)|d
1
pf
p
p

X
|f(x)|
p
d +
1

qg
q
q

X
|g(x)|
q
d
Hay
fg
1
f
p
g
q

1
p
|f
p
p
|f
p
p
+
1
q
|g
q
q

|g
q
q
=
1
p
+
1
q
=1
Suy ra
fg
1
f
p
g
q
Bất đẳng thức đợc chứng minh.
2.2 Bất đẳng thức Minkowski
Bổ đề 2.2. Nếu f,g L
p
(X),p 1 thì f + g L
p
(X) và f L
p
(X) với mọi
K. Ngoài ra
f + g
p
f

p
+ g
p
và f
p
= ||f
p
(2.2)
Chứng minh. Do
|f(x)+g(x)|
p
(|f(x)|+ |g(x)|)
p
2
p
max(|f(x)|
p
, |g(x)|
p
)
2
p
(|f(x)|
p
+ |g(x)|
p
), x X
nên

X

|f + g|
p
d 2
p

X
|f|
p
d +2
p

X
|g|
p
d < +
23
Suy ra f + g L
p
(X). Hiển nhiên f L
p
(X) và
f
p
= ||f
p
, K
Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:
f + g
p
f

p
+ g
p
Trớc hết do (p 1)q = p nên

X
(|f + g|
p1
)
q
d =

X
|f + g|
p
d < +
Suy ra |f + g|
p1
L
q
(X). áp dụng bất đẳng thức Holder tới f và |f + g|
p1
với luýrằng(p 1)q = p

X
|f|.|f + g|
p1
d

X
|f|
p
d

1
p


X
|f + g|
p
d

p1
p
Hay

X
|f(x)f + g|
p1
d f
p
f + g
p1
p
Tơng tự

X
|g(x)f + g|

p1
d g
p
f + g
p1
p
Các bất đẳng thức trên cho ta
f + g
p
p
=

X
|f(x)+g(x)|
p
d


X
|f(x)f + g|
p1
d +

X
|g(x)f + g|
p1
d
f
p
f + g

p1
p
+ g
p
f + g
p1
p
suy ra f + g
p
f
p
+ g
p
.
24
Định lý 2.3. L
p
(X) là không gian Banach với chuẩn
f
p
=


X
|f(x)|
p
d

1
p

(2.3)
Chứng minh. Bổ đề 2.2 chứng tỏ L
p
(X) là không gian vector và hàm f f
p
là một chuẩn trên L
p
(X), ở đây cần chú ý phần tử 0 L
p
(X) chính là hàm bất
kỳ bằng không h.k.n. trên X. Bây giờ ta chứng minh L
p
(X) là đầy, muốn vậy
chỉ cần chứng minh mọi chuỗi tr ong L
p
(X) hội tụ tuyệt đối là hội tụ. Thật vậy,
cho chuỗi


n=1
f
n
trong L
p
(X) với


n=1
f
n

p
< +.Tacóthểxemf
n
nhận giá
trị hữu hạn khắp nơi. Với mỗi n 1,đặt
g
n
(x)=
n

k=1
|f
k
(x)|,x X
Khi đó g
n
L
p
(X) và
g
n

p

n

k=1
f
k

p
C :=


n=1
f
k

p
< +
Suy ra

X
g
p
n
(x)d C
p
với mọi n 1
Bởivìvớimọix X,dãysốg
n
(x) đơn điệu tăng nên tồn tại
g(x) = lim
n
g
n
(x)=

k=1
|f
k
(x)| với mọi x X
Do đó g và g
p
là đo đợc. Theo bổ đề Fatou ta có

X
g
p
(x)d =

X
lim
n
g
p
n
(x)d lim
n

X
g
p
n
(x)d C
p
Bất đẳng thức này suy ra g
p

và vị vậy g là hữu hạn h.k.n. Nh vậy tồn tại tập
N X với (N)=0sao cho
g(x)=


k=1
|f
k
(x)| < + với mọi x X \ N
25
Suy ra chuỗi


n=1
f
n
hội tụ h.k.n. đến hàm đo đợc f. Hơn nữa

X
|f(x)|
p
d

X
|g(x)|
p
d C
p
Nói cách khác f L
p

(X). Tiếp theo chúng ta chứng minh


n=1
f
n
hội tụ tới f
trong L
p
(X).Cóthểxemf hữu hạn khắp nơi. Với mỗi n 1 đặt
h
n
(x)=



n

k=1
f
k
(x) f(x)



p
,x X
Khi đó {h
n
} là dãy các hàm đo đợc hội tụ h.k.n. đến 0 và

|h
n
(x)|



k=1
|f
k
(x)| + f(x)|

p
2
p
g
p
(x), h.k.n
Do g
p
khả tích, theo định lý Lebesgue và qua giới hạn dới dấu tích phân ta đợc
lim
n

X
|h
n
(x)|d =0
Do đó lim
n

n

k=1
f
k
f
p
= lim
n

X
|
n

k=1
f
k
(x) f(x)|
p
d =0.
3 Chuỗi trong không gian định chuẩn
3.1 Chuỗi và sự hội tụ của chuỗi
Định nghĩa 3.1. Giả sử E là một không gian định chuẩn và {x
n
}
nN

là một dãy
các phần tử của E. Ta gọi tổng hình thức sau:
x

1
+ x
2
+ + x
n
+ =


n=1
x
n
(3.1)
là một chuỗi tr ong không gian định chuẩn E.
26
Phần tử x
n
đợc gọi là phần tử tổng quát của chuỗi (3.1).
Với mỗi n N

,phầntửs
n
= x
1
+ x
2
+ + x
n
đợc gọi là tổng riêng thứ
n và dãy {s
n

}
nN

đợc gọi là dãy tổng riêng của chuỗi (3.1).
Định nghĩa 3.2. Nếu dãy các tổng riêng { s
n
} hội tụ tới phần tử s E thì chuỗi
(3.1) đợc gọi là hội tụ về s và s đợc gọi là tổng của chuỗi. Kí hiệu là:


n=1
x
n
= s.
Trờng hợp ngợc lại, ta nói chuỗi (3.1) là phân kỳ.
Mệnh đề 3.3. Nếu chuỗi (3.1) hội tụ thì phần tử tổng quát dần đến 0,tứclà
lim
n
x
n
=0
Chứng minh. Giả sử


n=1
x
n
= s, khi đó, gọi {s
n
} là dãy tổng riêng của chuỗi

thì theo định nghĩa ta có lim
n
s
n
= s.Dox
n
= s
n
s
n1
với mọi n>1 nên
lim
n
x
n
= lim
n
[s
n
s
n1
] = lim
n
s
n
lim
n
s
n1
= s s =0

Định lý 3.4 (Tiêu chuẩn Cauchy). C huỗi


n=1
x
n
trong không gian Banach E hội
tụ khi và chỉ khi
(>0)(n
0
) | (n n
0
), (p 1) x
n+1
+ + x
n+p
<
Thật vậy, vì E là không gian Banach nên chuỗi hội tụ nếu và chỉ nếu dãy các
tổng riêng s
n
của nó là dãy Cauchy, tức là
>0, n
0
, n>n
0
, p 1:s
n+p
s
n
= x

n+1
+ + x
n+p
<.
27