Dai so chuong 4 toán cao cấp

Chương 4.
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
NỘI DUNG CHÍNH

4.1 – Ánh xạ tuyến tính
4.1.1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính.
4.1.2. Các tính chất cơ bản.
4.1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính.

4.2 – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
4.2.1. Nhân và ảnh.
4.2.2. Tìm cơ sở của Imf và Kerf


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

4.1. Ánh xạ tuyến tính
4.1.1. Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 4.1.1. Cho U và V là hai không gian vectơ trên .
Ánh xạ f :U V được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn các
điều kiện sau đây:
i) f (x y) f (x ) f (y), x, y U ;
ii) f ( x )

f (x ), x U ,

Một ánh xạ tuyến tính f :V

.
V được gọi là phép biến đổi tuyến

tính của V hay còn gọi là toán tử tuyến tính trên V .


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Nhận xét 4.1.1. Hai điều kiện trong Định nghĩa 4.1.1 tương đương
với điều kiện sau đây:
f( x

y)

f (x )

f (y),

,

R, x, y U .

(*)

Thật vậy, từ i), ii) suy ra
f( x

y)

f ( x ) f ( y)

Ngược lại, trong (*) nếu chọn
chọn

f (x )

f (y).

1 ta có được i) và nếu

0 ta được ii).

Như vậy, ta có thể sử dụng (*) để kiểm tra một ánh xạ có phải là
ánh xạ tuyến tính hay không mà không phải kiểm tra lần lượt i) và ii


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 4.1.1. 1) Ánh xạ không 0 : U
0(x )

V , xác định bởi

0, x U

là một ánh xạ tuyến tính.
2) Ánh xạ đồng nhất idV :V

V , xác định bởi

id(x )

x, x V

là một ánh xạ tuyến tính.
3) Kí hiệu [x ] là tập các đa thức biến x , hệ số thực. Khi đó, ánh
xạ đạo hàm : [x ]
[x ], xác định bởi
(f )

là một ánh xạ tuyến tính.

f (x ), f

[x ]


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

4) Phép chiếu p :

3

2

xác định bởi

p(x1, x2, x 3 ) (x1, x2 )

là ánh xạ tuyến tính.
5) Ánh xạ f :

3

2

, xác định bởi

f (x1, x2, x 3 ) (4, x1 x2 x 3 )

không phải là ánh xạ tuyến tính.
Sinh viên tự chứng minh các kết luận trên như bài tập.


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

4.1.2. Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính
Định lí 4.1.1. Cho U , V là các không gian vectơ trên
f :U

và

V là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, ta có

1) f (0U ) 0V .
2) f ( x )
3)

f (x ), x U .

1, 2,..., n

f ( 1x1

x

2 2

; x1, x2,..., xn U , thì

...

x )

n n

1

f (x1)

2

f (x2 ) ...

n

f (xn ).

Phép chứng minh định lí được suy trực tiếp từ định nghĩa ánh xạ
tuyến tính.


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Định lí 4.1.2. 1) Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vectơ phụ
thuộc tuyến tính được biến thành một hệ phụ thuộc tuyến tính.
2) Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một hệ vectơ, nghĩa
là với mọi x1, x2,..., xn U , ta có
rank{f (x1), f (x 2 ),..., f (xn )}

rank{x1, x 2,..., xn }.

Chứng minh. 1) Giả sử x1, x 2,..., xn
tính. Khi đó, tồn tại

,

1

2

,...,

U là một hệ phụ thuộc tuyến

không đồng thời bằng không sao

n

cho
x

x

1 1

...

2 2

x

0.

n xn )

f (0)

n n

Do đó
f ( 1x1
1

f (x1 )

2x 2
2

...

f (x 2 )

...

n

f (xn )

0
0.


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Mặt khác, vì

,

1

2

,...,

không đồng thời bằng không nên hệ

n

vectơ
{f (x1 ), f (x 2 ),..., f (xn )}

là phụ thuộc tuyến tính trong V .
2) Giả sử

là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại

f (x i ),..., f (x i )
k

1

của hệ vectơ
{f (x1), f (x 2 ),..., f (xn )}.

Khi đó, ta có
rank {f (x1 ), f (x 2 ),..., f (xn )}

và theo 1), hệ vectơ xi , ..., xi
1

k

k

độc lập tuyến tính. Do đó, hệ con độc

lập tuyến tính tối đại của hệ vectơ x1, x 2, ..., xn có không ít hơn k
vectơ.
Suy ra
rank {x1, x 2,..., xn }

rank {f (x1 ), f (x 2 ),..., f (xn )}.

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Định lí 4.1.3. (xác định ánh xạ tuyến tính) Cho U là không gian
vectơ n chiều trên và {x1, x2,..., xn } là cơ sở tùy ý của nó, V là
không gian vectơ bất kì nào đó và y1, y2,..., yn là hệ vectơ tùy ý của V .
Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f :U
f (xi ) yi , i

1, n.

V thỏa mãn


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Khi đó, dễ kiểm tra rằng f là ánh xạ tuyến tính và thỏa mãn
f (xi ) yi , i

1, n.

Tính duy nhất: Giả sử có hai ánh xạ tuyến tính f , g thỏa mãn điều
kiện của định lí, nghĩa là f (xi ) yi , g(xi ) yi , i 1, n. Khi đó, với
mọi
x

ta có

x

1 1

x

2 2

...

x

n n

U


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Chứng minh. Sự tồn tại: Với mỗi x U , vì {x1, x 2,..., xn } là cơ sở
của U nên tồn tại duy nhất bộ số ( 1,
x

x

1 1

Ta định nghĩa ánh xạ f : U
f (x )

y

1 1

x

2 2

2

,...,

n

...

) sao cho
x .

n n

V như sau

y

2 2

...

y .

n n

Khi đó, dễ kiểm tra rằng f là ánh xạ tuyến tính và thỏa mãn
f (xi )

yi , i

1, n.

Tính duy nhất: Giả sử có hai ánh xạ tuyến tính f , g thỏa mãn điều
kiện của định lí, nghĩa là f (xi )

yi , g(xi )

yi , i

x

n n

1, n. Khi đó, với

mọi
x

x

1 1

2 2

...

x

U


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

ta có
f (x )

f ( 1x1

x

2 2

1 f (x1 )

y

1 1

g(x1 )

1

g( 1x1 )
g( 1x1

2 f (x 2 )

y

n n

n f (x n )

...
y

...

2 2

x )

...

n n

g(x 2 ) ...

n

2

g( 2x 2 ) ...
x

2 2

...

g(x ).

Vậy
f (x )

g(x ).

g(x n )

g( n x n )
x )

n n


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
3

Ví dụ 4.1.2. Tìm ánh xạ tuyến tính f :
f (xi )

yi , i

2

biết

1, 3 ,

trong đó

Giải.

x1

(1, 0, 0); x 2

y1

(1, 0); y2
3

(x, y, z )

(x, y, z )

(0,1, 0); x 3
(2,1); y3

(0, 0,1);

( 2, 4).

, ta có
x(1, 0, 0)

y(0,1, 0)

z(0, 0,1) .

Do đó
f (x , y, z )

f [x (1, 0, 0)

y(0,1, 0)

z(0, 0,1)]

xf (1, 0, 0)

yf (0,1, 0)

zf (0, 0,1)

x (1, 0)
(x

y(2,1)

2y

2z, y

z( 2, 4)

4z).

Vậy biểu thức của ánh xạ cần tìm là
f (x, y, z )

(x

2y

2z, y

4z).


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 4.1.3. Tìm ánh xạ tuyến tính f :

3

2

biết f (xi )

trong đó
x1

(1, 0, 0); x 2

y1

(1, 5); y2

(0,1, 0); x 3

(0, 0,1); x 4

(2,1); y3

( 3, 0); y4

1x1

7x 3.

(1, 5, 7);

(1, 3).

Giải. Ta có
x4

5x 2

Do đó
f (x 4 )

1f (x1 )

5 f (x 2 )

7 f (x 3 )

(1, 5)

5(2,1)

7( 3, 0)

(32,10).

Điều này trái với giả thiết f (x 4 )

y4

(1, 3).

Vậy không tồn tại ánh xạ tuyến tính thỏa yêu cầu bài toán

yi ,


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

4.1.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 4.1.2. Cho U và V là các không gian vectơ trên ,
B {u1,..., un } là cơ sở của U , B {v1,..., vm } là cơ sở của V và
f:U

V là ánh xạ tuyến tính. Giả sử f (ui ) biểu thị tuyến tính được

qua cơ sở {v1,..., vm } như sau:


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

f (u1 )

a11v1

a12v2

... a1mvm ,

f (u2 )

a21v1

a22v2

... a2mvm ,

an1v1

an 2v2

... anmvm .

...
f (un )

Khi đó ma trận
a11

a21

... an1

a12

a22

... an 2

a1m a2m ... anm

được gọi là ma trận của f đối với cặp cơ sở B, B và kí hiệu là
[ f ]B,B .


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Đặc biệt, khi f là phép biến đổi tuyến tính của V thì ma trận của
f trong cặp cơ sở B, B được gọi là ma trận của f trong cơ sở B. Lúc
này [ f ]B,B được viết gọn là [ f ]B .
Với cách xây dựng ma trận [ f ]B,B như trên, ta có thể thiết lập mối
quan hệ giữa tọa độ [x ]B và tọa độ [ f (x )]B như sau
[ f (x )]B

[ f ]B,B [x ]B .

 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Ví dụ 4.1.4. Cho ánh xạ tuyến tính f :
f (x1, x 2 )

(x1

và cặp cơ sở tương ứng của
B

{

B

{

2

3

,

1

(1,1),

1

(1,1,1),

2x 2, x1

2

3

xác định bởi

x 2, x 2 ),

là
(1, 0)};

2
2

( 1, 2,1),

3

(1, 3, 2)}.

1) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở B, B .
2) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc của

Giải. 1) Giả sử
f ( 1 ) a1

1

a2

2

a 3 3,

f ( 2 ) b1

1

b2

2

b3 3.

2

và

3

.


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Theo giả thiết bài toán, ta có hai hệ phương trình sau

a1

a2

a1

2a2

a1

a2

a3

b1

3

3a3

0 và b1

2a3

b1

1

b2

b3

2b2

1

3b3

b2

2b3

1
0

Vì ma trận hệ số của hai phương trình trên là như nhau nên ta sẽ
giải một lúc hai hệ trên bằng ma trận mở rộng sau

d2

1
1

1 1 3 1
2 3 0 1

1

1

d2 d 3

d2
d3

d2 d1
d3 d1

2 10

1
0

1 1 3 1
1 1 1 1

0

2

1 4 1

d3

1
0

1 1 3 1
3 2 3 0

0

2

d3 2d2

1 4 1

1
0

1
1

1 3 1
1 1 1 .

0

0

1 6 3


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Từ ma trận bậc thang sau cùng, ta được
a1

8, a2

5, a3

6, b1

4, b2

2, b3

Vậy ma trận của ánh xạ f trong cặp cơ sở B, B ' là
[ f ]B,B

a1 b1
a2 b2
a3 b3

8
5
6

4
2.
3

3.


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

2) Kí hiệu E2

{(1, 0), (0,1)}, E3

lượt là cơ sở chính tắc của
được kết quả là

2

và

[ f ]E

2 ,E 3

3

{(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} lần

. Thực hiện tương tự ở câu 1) ta

1
1

2
1.

0

1

Ta thấy rằng, ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở chính
tắc có các dòng (1 2), (1

1), (0

của x1, x 2 trong biểu thức vectơ (x1

1) lần lượt trùng với các hệ số

2x 2, x1

x 2, x 2 ). Với nhận xét

này ta có thể viết nhanh ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
chính tắc của

n

mà không nhất thiết phải tính toán theo định nghĩa


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

4.2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
4.2.1. Nhân và ảnh
Định nghĩa 4.2.1. Cho U , V là các không gian vectơ trên
f :U

và

V là ánh xạ tuyến tính. Tập hợp
{x U | f (x )

0} U

được gọi là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f và kí hiệu là ker f .
Định nghĩa 4.2.2. Cho U , V là các không gian vectơ trên
f :U

V là ánh xạ tuyến tính. Tập hợp
{f (x ) | x U } V

được gọi là ảnh của ánh xạ tuyến tính f và kí hiệu là Im f .

và


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính

Định lí 4.2.1. Cho U , V là các không gian vectơ và f :U

V là

ánh xạ tuyến tính. Khi đó
1) ker f , Im f lần lượt là các không gian vectơ con của U và V .
2)

Nếu

{x1, x 2,..., xn }

là

một

cơ

sở

của

U

{f (x1), f (x 2 ),..., f (xn )}

là một tập sinh của Im f

f (U ).

Chứng minh. 1) Rõ ràng với f :U
ker f

vì 0U

ker f .

V là ánh xạ tuyến tính thì

{x U | f (x )

0}

thì


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
Với mọi x, y

ker f , ta có
f (x )

f (y )

0,

do đó
f( x

y)

f (x )

f (y )

0,

,

.

Suy ra
x

y

ker f .

Vậy
ker f
, vì f (0U )

Ta có Im f
Với mọi x , y

U.

f (U )

Im f .

Im f , tồn tại x , y
f (x )

U sao cho

x , f (y )

y.

Do đó

x

y

f (x )

f (y )

f( x

Vậy
Im f

V.

y)

Im f ,

,

.


 Chương 4. Ánh xạ tuyến tính
2) Giả sử {x1, x 2,..., xn } là một cơ sở của U , x
một vectơ bất kì của Im f . Vì x
n

x

i xi , i

i 1

.

Suy ra
n

f

n

x

i 1

i i

i 1

i

f (xi ) ,

nghĩa là
x

f (x1 ), f (x 2 ), ..., f (xn ) ,

x

Im f .

Vậy
Im f

U là

U và cơ sở {x1, x 2,..., xn } là một cơ

sở của U nên

x

f (x ), x

f (x1 ), f (x 2 ), ..., f (xn ) .