Bai tap chuong 1 toán cao cấp

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (217.19 KB, 5 trang )

Chương 1 – Ma Trận, Định thức

Bài tập: Chương 1
 Ma trận
Bài 1. Cho các ma trận
 0 1
1 2 5 
 3 2 1
A
; B
và C  


.
1 2 
 1 1 3 
 4 2 0

Tính A3  3A; BT A  3BT ; A B  C  ; A  BC T .
Bài 2. Với A, B, C cho như trong bài 1, hãy tìm ma trận X sao cho
B  2 X  C; AX  B; A  X  C   B; XB  C.

Bài 3. Với mọi đa thức P  x   a0 x k  a1 x k 1  ...  ak và ma trận vuông A cấp n, đặt
P  A  a0 Ak  a1 Ak 1  ...  ak I n . Ma trận A được gọi là nghiệm của P  x  nếu
P  A   n .
 5 2 3 
a) Tìm P  A nếu P  x   x  7 x  13x  5 và A   1 3 1 ;
 2 2 1


3

2

2

1

b) Chứng minh rằng A  
là một nghiệm của đa thức P  x   x 2  5x  3 .

 3 3 
Bài 4. Tìm các ma trận nghịch đảo của các ma trận sau
2
A  6

5

1
C  2

3


7
3 4 ;

2 3 
3 2
1 3;


2 1 
5

 1
B 2

 2

a
D  0

0


3
0
1
0
b
0

4
3 ;

3 
0
0.

c 
1

Chương 1 – Ma Trận, Định thức

Bài 5. Tìm X sao cho
 4 6 
 2 5
 3 2   2 4 
a) 
X 
; b) X 



.
2 1 
 1 3
 5 4   6 8 

Bài 6. Tìm các ma trận X và Y sao cho AX  B, YA  B nếu
 1 2 3 
A   3 2 4  ;


 2 1 0 



 1 3 0 
B   10 2 7  .



 10 7 8 


x

y

 2 1  x

y  1 1

Bài 7. Tìm ma trận X  
 sao cho  4 2  z t    2 2  .
z t 


 

a

b

Bài 8. Cho A  

c d
a) Chứng minh rằng A2   a  d  A   ad  bc I  0 .
b) Chứng minh rằng nếu An  0 với n  2 thì A2  0 .
Bài 9. Tìm hạng của các ma trận sau

 1 3 1 2 
a )  2 1 3 5  ;
 1 10 3 1 


2 0
 1 2
c) 
 3 2

 5 2

3 1 
2 3 
;
5 4 

8 5 

2
1
b) 
 11

2
2
3
d) 
1


5

1

11

0

4

4

56

1

5

1 2 1
4 3 4
2 1 2
5 6 7

2
1 
;
5

6 
2 1

3 4 
.
1 2

5 5

Bài 10. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau

2

Chương 1 – Ma Trận, Định thức

1
1

a ) 1


1

1
0

c)  0


0


0
0

0;


1 
0
0 
0 ;


1 

0 0
1 0
1 1
1 1
1 0
1 1
0 1
0 0

1
1

b)  1


1



1
1

1 ;


0 

1 1
0 1
1 0
1 1

 1 a a2

0 1 a
d) 


0 0 0

an 

a n 1 
.


1 

Bài 11. Tìm X sao cho

1
0

0


0


1
1

0
1

1 X   0





0
1


1 1
1 1

0 1
0 0

2 3
1 2
0 1
0 0

n 
n  1 
n  2


1 

 Định thức
Bài 1. Tính các định thức cấp 2 sau
a)
b)

cos 

sin 

sin 

cos 

;

a  b

a   b

c  a

c  a

.

Bài 2. Tính các định thức cấp 3 sau

3

Chương 1 – Ma Trận, Định thức

cos 2

cos2 

sin 2 

a ) cos 2 

cos 

sin  ;

cos 2

cos 

sin 

2

2

2

1

1

1

b) a

b

c ;

3

3

2

a

a  b ab a 2  b2
c) b  c

bc

c3

1 a bc

b c ;
2

b

2

d ) 1 b ca .

c  a ca c 2  a 2

1 c ab

Bài 3. Tính các định thức cấp 4 sau

a)

2

1 0 2

3

2 1 0

1 0 1 3

;

b)

1 2 1 3

c)

0 a

b c

1 x

0 0

1 0

y 0

1 0 0

a

b

c

d

b

a

d

c

c

d

a

b

d

c

a2
;

d)

b  a

b2
c2
d2

;

z

 a  1
2
 b  1
2
 c  1
2
 d  1

a  2
2
b  2
2
c  2
2
d  2

2

 a  3
2
 b  3
.
2
 c  3
2
 d  3

2

2

Bài 4. Tính các định thức cấp 5 sau
3 1

2

1 1

1 1

2

2

3

5

2

1

2

0

1

3

1

2

a ) 9 1

1

3

4;

b) 4 2

1

3

1 .

3

0

6

1 3

0

5

1

1

4

5

2

3

2 1

5

3

5

1

2

1

Bài 5. Tính các định thức cấp n sau

4

Chương 1 – Ma Trận, Định thức

1 2 2 ... 2

2 1 0 0 ... 0

2 2 2 ... 2

1 2 1 0

a ) 2 2 3 ... 2 ;
2 2 2

c)