Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 pot
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (303.94 KB, 21 trang )
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
BÀI TẬP THƯỜNG KỲ
MÔN TOÁN CAO CẤP A2 – C2 ĐẠI HỌC
(
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
)
GVHD: ThS. Đoàn Vương Nguyên
Lớp học phần:……………………… Khoa: KHCB
Học kỳ:………Năm học: 2011 – 2012
Danh sách nhóm: (ghi theo thứ tự ABC)
1. Nguyễn Văn A
2. Lê Thị B
………
HƯỚNG DẪN TRÌNH BÀY
1) Trang bìa như trên (đánh máy, không cần in màu, không cần lời nói đầu).
2) Trong phần làm bài tập, chép đề câu nào xong thì giải rõ ràng ngay câu đó.
3) Trang cuối cùng là Tài liệu tham khảo:
1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Toán cao cấp A2 – ĐH Công nghiệp TP. HCM.
2. Đỗ Công Khanh – Toán cao cấp A2 – NXB ĐHQG TP. HCM.
3. Nguyễn Đình Trí – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục.
4. Nguyễn Viết Đông – Toán cao cấp A2 – NXB Giáo dục.
5. Lê Sĩ Đồng – Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – NXB Giáo dục.
6. Hoàng Xuân Sính – Bài tập Toán cao cấp Đại số Tuyến tính – NXB Giáo dục.
7. Bùi Xuân Hải – Đại số tuyến tính – ĐH KHTN TP. HCM.
Chú ý
• Phần làm bài bắt buộc phải viết tay (không chấp nhận đánh máy) trên 01 hoặc 02 mặt giấy A4 và đóng
thành tập cùng với trang bìa.
• Thời hạn nộp bài: Tiết học cuối cùng (sinh viên phải tự đọc trước bài học cuối để làm bài!).
• Nếu nộp trễ hoặc ghi sót tên của thành viên trong nhóm sẽ không được giải quyết và bị cấm thi.
• Mỗi nhóm chỉ từ 01 đến tối đa là 07 sinh viên. Sinh viên tự chọn nhóm và nhóm tự chọn bài tập.
• Phần làm bài tập, sinh viên phải giải bằng hình thức tự luận rõ ràng.
* Sinh viên làm đúng yêu cầu mà chỉ chọn toàn câu hỏi dễ thì điểm tối đa của nhóm là 8 điểm.
• Cách chọn bài tập như sau
1) Nhóm chỉ có 1 sinh viên thì chọn làm 40 câu hỏi nhỏ (các câu hỏi nhỏ phải nằm trong các câu hỏi
khác nhau) gồm:
Chương 1: chọn 12 câu hỏi nhỏ trong 16 câu hỏi;
Chương 2: chọn 4 câu hỏi nhỏ trong 4 câu hỏi;
Chương 3: chọn 8 câu hỏi nhỏ trong 10 câu hỏi;
Chương 4: chọn 10 câu hỏi nhỏ trong 11 câu hỏi;
Chương 5: Nhóm A-2 chọn 4 câu hỏi nhỏ trong 7 câu của phần I và 2 câu hỏi nhỏ trong 2 câu của
phần II. Nhóm C-2 chọn 6 câu hỏi nhỏ trong 7 câu của phần I.
2) Nhóm có t
ừ 2 đến tối đa 7 sinh viên thì làm như nhóm có 1 sinh viên, đồng thời mỗi sinh viên tăng
thêm phải chọn làm thêm 20 câu hỏi nhỏ khác (nằm trong các câu hỏi khác nhau).
………………………………………………………
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 2
ĐỀ BÀI TẬP
CHƯƠNG I. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
Câu 1. Thực hiện các phép tính về ma trận sau
1)
1 4
1 1 0 2
1 2 3 2 1
0 1 1 0
3 0 4 3 2
1 0 2 1
4 3
−
; 2)
1 4
1 1 0 2
1 2 4 2 1
0 1 1 0
3 0 1 3 2
1 0 2 1
4 3
−
;
3)
1 4
1 1 0 2
1 2 3 2 1
0 1 1 0
0 3 4 3 2
1 0 2 1
4 3
− −
−
; 4)
1 4
1 1 0 2
1 2 3 2 1
0 1 1 0
3 0 4 3 2
1 0 2 1
4 3
− −
− −
− −
;
5)
1 1 0 1 2 3 1 1 0 1
0 1 1 3 2 1 0 1 1 0
1 0 1 2 1 3 1 1 1 1
− −
− −
− − −
; 6)
1 1 0 1 2 3 1 1 0 1
0 1 1 3 2 1 1 1 1 0
1 1 1 2 1 3 0 1 1 1
− −
− −
− − − −
;
7)
1 3
1 3 1 0 2 1 2
2 2
2 1 0 3 1 1 0
3 1
T
−
− − −
−
− − −
; 8)
1 2 3
2 0 3 2 1
3 2 1
1 5 1 3 0
0 1 2
T
−
−
.
Câu 2. Thực hiện các phép tính về ma trận sau
1)
1 1
0 1
n
; 2)
6
2 1
1 3
; 3)
5
3 2
4 2
− −
; 4)
1
0
n
x
x
;
5)
3
1 1 0
0 1 1
1 0 1
−
−
; 6)
4
1 0 0
0 1 1
1 0 0
; 7) Cho
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
A
=
, tính
T
A A
và
T
AA
;
8*) Cho
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
A
=
, hãy tính: a)
2011
0
2
n n
n
A
=
∑
; b)
(
)
2011
4
A I+
.
Câu 3. Thực hiện các phép tính về ma trận sau
1) Cho
0 0
1 0
A
=
, tính
(
)
2011
2
A I−
; 2) Cho
0 0
1 0
A
=
−
, tính
(
)
2011
2
I A−
;
3) Cho
3
1 1 1
1
1 1 1
3
1 1 1
A I
= −
, tính
4
A
; 4*) Cho
1 1 1 0 2 1
1 2 0 1 1 1
A
−
=
− −
, tính
2011
A
;
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 3
5) Cho
0 1 0
0 0 1
0 0 0
A
=
, tìm số nguyên dương
n
nhỏ nhất để
n
A
là ma trận không;
6) Cho
0 0 1
0 0 0
0 0 0
A
=
, tìm số nguyên dương
n
nhỏ nhất để
n
A
là ma trận không;
7) Cho
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
A
=
, tìm số nguyên dương
n
lớn nhất để
n
A
khác ma trận không.
Câu 4. Tìm phần tử
ij
a
của ma trận
2
A
, với
( )
ij n
A a
=
sau
1) Cho
2011
( )
ij
A a
=
, trong đó phần tử ở cột thứ
j
là
( 1)
i j
+
−
. Tìm phần tử
32
a
của
2
A
;
2) Cho
2011
( )
ij
A a
=
, trong đó phần tử ở dòng thứ
i
là
( 1)
i j
+
−
. Tìm phần tử
32
a
của
2
A
;
3) Cho
2011
( )
ij
A a
=
, trong đó phần tử ở dòng thứ
i
là
( 1) .
i
i
−
. Tìm phần tử
32
a
của
2
A
;
4) Cho
2011
( )
ij
A a
=
, trong đó phần tử ở cột thứ
j
là
( 1) .
j
j
−
. Tìm phần tử
32
a
của
2
A
;
5*) Cho
2011
( )
ij
A a
=
, trong đó phần tử ở cột thứ
j
là
2
j
. Tìm phần tử
32
a
của
2
A
;
6*) Cho
2011
( )
ij
A a
=
, trong đó phần tử ở dòng thứ
i
là
2
i
. Tìm phần tử
32
a
của
2
A
;
7*) Cho
2011
( )
ij
A a
=
, trong đó phần tử ở dòng thứ
i
là
1
2
i
−
. Tìm phần tử
32
a
của
2
A
;
8*) Cho
2011
( )
ij
A a
=
, trong đó phần tử ở cột thứ
j
là
1
2
j
−
. Tìm phần tử
32
a
của
2
A
;
9*) Cho
2011
( )
ij
A a
=
, trong đó phần tử ở dòng thứ
i
là
1
2011
i
C
−
. Tìm phần tử
32
a
của
2
A
;
10*) Cho
2011
( )
ij
A a
=
, trong đó phần tử ở cột thứ
j
là
1
2011
j
C
−
. Tìm phần tử
32
a
của
2
A
.
Chú ý: 1)
2 2 2 2 *
( 1)(2 1)
1 2 3 ,
6
n n n
n n
+ +
+ + + + = ∈
ℕ
;
2)
2 *
1
. , & 1
1
n
n
q
a aq aq aq a n q
q
−
+ + + + = ∈ ≠
−
ℕ
;
3)
0 1 2 *
!
(1 1) , &
!( )!
n n k
n n n n n
n
C C C C n C
k n k
+ = + + + + ∈ =
−
ℕ
.
Câu 5. Tìm hạng của các ma trận
A
sau
1)
1 2 3 4 5
2 4 6 8 11
3 6 9 12 14
4 8 12 16 20
A
=
; 2)
1 3 5 7 9
2 4 6 9 10
3 5 7 9 11
4 6 8 10 12
A
=
; 3)
1 2 3 4 5
5 10 15 20 35
3 7 9 12 14
4 8 13 16 20
A
=
;
4)
1 1 1 1 3
1 2 1 1 3
2 0 1 2 3
4 0 2 4 7
A
−
− − − −
=
; 5)
1 3 2 5
2 1 3 2
3 5 4 1
1 17 4 21
A
−
=
− −
; 6)
2 3 3 1 5
4 4 6 2 10
8 6 12 4 20
10 8 15 5 26
A
=
;
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 4
7)
1 3 4 8
2 1 1 2
3 2 5 10
3 5 2 4
1 17 18 36
A
−
=
− − −
; 8)
4 1 3 4 5
1 5 2 1 4
5 4 1 5 9
2 5 7 2 3
A
−
=
− −
; 9)
2 1 1 2 1
3 1 0 2 1
7 1 2 2 1
13 1 2 2 1
A
− −
−
=
− −
−
;
10)
2 1 1 2 1
3 1 0 2 1
9 2 3 4 2
15 0 3 0 2
A
− −
−
=
− −
; 11)
1 2 1 1 2
2 4 1 0 2
4 8 1 2 2
7 15 9 8 18
A
−
−
=
−
−
; 12)
3 1 1 2 1
3 1 0 2 1
9 1 2 2 1
15 1 2 2 1
A
− −
−
=
− −
−
.
Câu 6. Biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số
m
:
1)
1 1 2
2 3 1 2 4
4 5 1 4 2 7
2 2 2 4
m
m m
A
m m m
m
− +
=
− + +
; 2)
1 1 2
2 3 1 2 4
4 5 1 4 2 7
2 2 2 4
m
m m
A
m m m
m m
− +
=
− + +
+
;
3)
3 0 1
6 2 2
9 3 0 2
15 5 1 0 7
m
m m
A
m m
m
=
+
+
; 4)
1 1 2
2 3 1 2 3
4 5 1 4 2 7
2 2 2 4
m
m m m
A
m m m
m
− + +
=
− + +
;
5)
1 1 2
2 3 1 2 4
4 5 1 4 2 7
4 4 4 8
m
m m
A
m m m
m
− +
=
− + +
; 6)
1 1 3 4
8 4 16 2 5
3 2 7
5 2 9
m
A
m
m
−
− +
=
−
−
;
7)
1 2 1 1
2 5 4 5
1 3 4 4
4 10 9 10
A
m
m
=
+
+
; 8)
1 2 3 4
5 8 11 15
2 3 4 5
3 5 7 10
m
A
m
+
=
+
;
9)
1 2 3 4 5
4 6 8 9 10
5 8 11 13 16
10 16 22 26
A
m
=
; 10)
2 1 0 1 1
2 5 3 1 2 3
3 7 4 1 3 4
5 12 7 2 5
m
m
A
m
m m
=
;
11)
1 2 3 4 5
4 6 8 9 10
5 8 11 13 16
10 16 22 26
A
m
=
; 12)
2 1 3 4 2 8
1 0 1 1 0 0
3 4 2 4 1 1
5 5 5 8 3
A
m
=
−
;
13)
1 2 1 1 1
1 1 1 1
1 0 1 1
1 2 2 1 1
m
A
m
− −
− − −
=
−
; 14)
1 2 1 0 1
2 5 3 1 2 3
3 7 4 1 3 4
5 12 7 2 5
m
m
A
m
m m
=
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 5
Câu 7. Tính các định thức sau
1)
1 0 1 2 0
2 2 2 7 0
0 7 3 4 1
3 7 4 4 1
5 1 1 3 5
A =
và
2 1 1 1 1
1 2 1 1 1
1 1 2 1 1
1 1 1 2 1
1 1 1 1 2
B =
; 2)
1 5 1 2 0
2 2 2 7 2
1 5 1 4 1
3 1 2 1 3
5 1 1 2 5
A =
và
0 1 1 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
B =
;
3)
1 1 0 0 3
2 2 2 7 5
1 7 3 4 1
3 2 3 4 0
5 1 1 3 5
A =
và
3 1 1 1 1
1 3 1 1 1
1 1 3 1 1
1 1 1 3 1
1 1 1 1 3
B =
; 4)
1 3 1 2 0
2 2 2 7 2
0 7 3 3 1
0 1 2 2 3
5 1 3 0 5
A =
và
4 1 1 1 1
1 4 1 1 1
1 1 4 1 1
1 1 1 4 1
1 1 1 1 4
B =
;
5)
1 1 0 0 3
1 2 2 7 3
1 7 3 4 3
3 2 2 1 2
5 1 1 3 5
A =
và
5 1 1 1 1
1 5 1 1 1
1 1 5 1 1
1 1 1 5 1
1 1 1 1 5
B =
; 6)
1 3 1 2 0
2 2 2 7 3
2 7 3 0 3
2 1 2 1 3
5 1 3 0 5
A =
và
6 1 1 1 1
1 6 1 1 1
1 1 6 1 1
1 1 1 6 1
1 1 1 1 6
B =
;
7)
1 1 2 2 3
2 2 2 7 5
1 7 3 4 1
1 1 2 2 0
2 1 1 3 5
A =
và
1 1 1 1 7
1 1 1 7 1
1 1 7 1 1
1 7 1 1 1
7 1 1 1 1
B =
; 8)
1 2 3 4 5
2 2 2 7 2
0 7 3 0 1
0 1 2 1 3
1 2 3 0 5
A =
và
1 1 1 1 8
1 1 1 8 1
1 1 8 1 1
1 8 1 1 1
8 1 1 1 1
B =
.
Câu 8*. Không tính định thức, hãy chứng minh rằng:
1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
y z z x x y x y z
y z z x x y x y z
y z z x x y x y z
+ + +
+ + + =
+ + +
;
2)
3
3
3
1
1 ( )( )( )( )
1
a a
b b a b b c c a a b c
c c
= − − − + +
;
3)
1 1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
(1 )
a b x a x b c a b c
a b x a x b c x a b c
a b x a x b c a b c
+ +
+ + = −
+ +
.
Câu 9. Tính các định thức cấp cao sau
1)
a x x x
x a x x x
x x a x x
A
x x x a
=
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
(cấp
n
); 2*)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1
1
1
1
n
n
n
n
a a a a
a a a a
a a a a
A
a a a a
+
+
+
=
+
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
(cấp
n
);
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 6
3*)
1 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
A =
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
(cấp
n
); 4*)
1 2
1 1 2
1 2 2
1 2
1
1
1
1
n
n
n
n n
a a a
a b a a
a a b a
A
a a a b
+
+
=
+
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
(cấp
1
n
+
);
5*)
2 2 3
1 3 3
1 2 4
1 2 3 1
n
n
n
A
n
=
+
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
(cấp
n
); 6*)
1 2
2
1
1 2
1
1
1
1
n
n
n
x x x
a x x
x a x
A
x x a
=
⋯
⋯
⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
(cấp
1
n
+
).
Câu 10. Giải các phương trình sau
1)
1 1 1
1 1 1
0
1 1 1
1 1 1
x
x
x
x
=
; 2)
2
1 1 1
2 1 1
0
1 0 1
0 1
x x
x
x
x x
+
=
; 3)
2
1 1 1
1 1 1
0
0 1 1 1
0 2 0 2
x
x
− −
− −
=
;
4)
1 2 1 1
1 1 1
0
3 1 1 1
0 2 0 2
x
x
− −
− −
=
; 5)
1 1 1
1 1 1
0
0 1 1 1
0 2 0 2
x
x
− −
=
; 6)
2
1 1
1 1 1
0
1 1 1 1
1 0 1 1
x x
x
− −
=
;
7)
1
1 1 1
0
2 1
1 3
x x x
x
x x
x x
=
; 8)
1 0
1 2 1 1
0
2 2 1 2
2
x x
x x x
=
; 9)
2
5 100
1 1 2
0 0 1 0
0
1 2
0 0 1
x x x
x
x x x
x x
− +
−
=
−
+
.
Câu 11. Tìm điều kiện của
m
để
0
∆ ≥
1)
8 7 6
1 2 1
1 1 1
m
m m m
m m m
+
∆ = + −
− − −
; 2)
8 7 6
1 2 1
1 1 1
m
m m m
m m m
+
∆ = + −
+ + +
;
3)
8 7 6
1 2 1
1 1 1
m
m m m
m m m
+
∆ = + −
+ + +
; 4)
1 1 3
1 2
1 1
m
m
∆ =
;
5)
1 0
2 1 2 2
1 0 2
m
m
∆ = −
; 6)
1 2
2 5 1
3 7 2
m
m
m
∆ = +
+
;
7)
2 2 4
0
1 2
m
m m
m
+
∆ =
; 8)
2 2 2 4
1 2 1 2
1 2 2
m
m m
m
+
∆ = + +
;
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 7
9)
2 2 1 4
3 1
3 1
m
m
m m
+
∆ = − − −
+
; 10)
2 2 5 12
3 1 3
3 1 3
m
m m m
m m m
+ −
∆ = − + −
+ − −
.
Câu 12. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp biến đổi sơ cấp trên dòng
1)
1 0 3
2 1 1
3 2 2
A
=
; 2)
0 1 2
1 1 0
2 0 1
A
=
; 3)
1 3 2
2 1 3
3 2 1
A
=
; 4)
1 3 5
5 0 1
3 1 0
A
=
;
5)
4 1 1
2 1 3
3 2 4
A
−
= −
−
; 6)
1 2 1
2 6 3
1 5 3
A
=
; 7)
1 1 2
2 1 3
4 1 3
A
= − −
; 8)
3 6 2
4 9 4
1 3 1
A
=
;
9)
1 2 0 1
1 1 2 0
0 1 1 2
2 0 1 1
A
=
; 10)
2 1 0 2
2 2 1 0
0 2 2 1
1 0 2 2
A
=
; 11)
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
1 0 0 1
A
=
; 12)
1 1 0 1
0 1 1 0
1 0 1 1
0 1 0 1
A
=
.
Câu 13. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau bằng phương pháp dùng ma trận phụ hợp (
adj
A
)
1)
1 0 3
2 1 1
3 2 2
A
=
; 2)
0 1 2
1 1 0
2 0 1
A
=
; 3)
1 3 2
2 1 3
3 2 1
A
=
; 4)
1 3 5
5 0 1
3 1 0
A
=
;
5)
4 1 1
2 1 3
3 2 4
A
−
= −
−
; 6)
1 2 1
2 6 3
1 5 3
A
=
; 7)
1 1 2
2 1 3
4 1 3
A
= − −
; 8)
3 6 2
4 9 4
1 3 1
A
=
;
9)
1 2 0
3 1 1
4 2 2
A
=
; 10)
0 1 2
1 1 2
2 0 3
A
=
; 11)
1 3 2
2 1 3
0 2 1
A
=
; 12)
1 2 5
5 0 1
2 1 2
A
=
;
13)
2 3 3
1 2 5
3 1 4
A
= −
; 14)
1 3 4
1 2 1
1 2 3
A
−
= −
−
; 15)
2 1 2
3 2 1
4 3 1
A
−
= − −
−
; 16)
1 1 1
2 3 1
3 4 3
A
=
.
Câu 14. Tính
det
A
, cho biết
1)
1 1
1 0 3 0 1 2 1 3 2
2 1 1 1 1 0 2 1 3
3 2 2 2 0 1 3 2 1
T
A
− −
=
; 2)
1 1
1 0 3 0 1 2 1 3 5
2 1 1 1 1 0 5 0 1
3 2 2 2 0 1 3 1 0
T
A
− −
=
;
3)
1 1
1 0 3 0 1 2 1 2 0
2 1 1 1 1 0 3 1 1
3 2 2 2 0 1 4 2 2
T
A
− −
=
; 4)
1 1
1 0 3 0 1 2 0 1 2
2 1 1 1 1 0 1 1 2
3 2 2 2 0 1 2 0 3
T
A
− −
=
;
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 8
5)
1 1
1 0 3 0 1 2 1 3 2
2 1 1 1 1 0 2 1 3
3 2 2 2 0 1 0 2 1
T
A
− −
=
; 6)
1 1
1 0 3 0 1 2 1 2 5
2 1 1 1 1 0 5 0 1
3 2 2 2 0 1 2 1 2
T
A
− −
=
;
7)
1 1
1 3 2 0 1 2 1 3 2
2 1 3 1 1 0 2 1 3
3 2 1 2 0 1 0 2 1
T
A
− −
=
; 8)
1 1
1 3 5 0 1 2 1 2 5
5 0 1 1 1 0 5 0 1
3 1 0 2 0 1 2 1 2
T
A
− −
=
;
9)
1 1
1 2 0 0 1 2 1 3 2
3 1 1 1 1 0 2 1 3
4 2 2 2 0 1 0 2 1
T
A
− −
=
; 10)
1 1
0 1 2 0 1 2 1 2 5
1 1 2 1 1 0 5 0 1
2 0 3 2 0 1 2 1 2
T
A
− −
=
.
Câu 15. Cho hai ma trận
0 1 1
1 2 1
1 1 1
P
− −
=
và
1
1 0 1
0 1 1
1 1 1
P
−
= −
− −
. Tính
det
A
và
1
A
−
, biết
1)
1
.dig(1 1 1).
A P P
−
= −
; 2)
1
.dig( 1 1 1).
A P P
−
= −
; 3)
1
.dig(1 1 1).
A P P
−
= −
;
4)
1
.dig(1 1 1).
A P P
−
= −
; 5)
1
.dig( 1 1 1).
A P P
−
= −
; 6)
1
.dig(1 1 1).
A P P
−
= −
;
7)
1
.dig(1 2 3).
A P P
−
=
; 8)
1
.dig(1 3 2).
A P P
−
=
; 9)
1
.dig(3 1 2).
A P P
−
=
;
10)
1
.dig(1 2 3).
A P P
−
=
; 11)
1
.dig(1 3 2).
A P P
−
=
; 12)
1
.dig(3 1 2).
A P P
−
=
.
Câu 16. Cho hai ma trận
0 1 1
1 2 1
1 1 1
P
− −
=
và
1
1 0 1
0 1 1
1 1 1
P
−
= −
− −
. Tính
2011
A
, biết
1)
1
.dig(1 1 1).
A P P
−
= −
; 2)
1
.dig( 1 1 1).
A P P
−
= −
; 3)
1
.dig(1 1 1).
A P P
−
= −
;
4)
1
.dig(1 1 1).
A P P
−
= −
; 5)
1
.dig( 1 1 1).
A P P
−
= −
; 6)
1
.dig(1 1 1).
A P P
−
= −
;
7)
1
.dig(1 1 1).
A P P
−
= − −
; 8)
1
.dig( 1 1 1).
A P P
−
= − −
; 9)
1
.dig( 1 1 1).
A P P
−
= − −
;
10)
1
.dig(1 1 1).
A P P
−
= − −
; 11)
1
.dig( 1 1 1).
A P P
−
= − −
; 12)
1
.dig( 1 1 1).
A P P
−
= − −
.
CHƯƠNG 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Câu 1. Giải các hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp Cramer và Gauss
1)
4 2
2 3 1
3 2 4 3
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ − =
+ − =
2)
2 1
2 6 3 2
5 3 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
3)
2 3
2 3 1
4 3 2
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − = −
+ + =
4)
3 6 2 11
4 9 4 17
3 5
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
5)
2 3 3 0
2 5 7
3 4 1
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
+ + =
6)
3 4 4
2 11
2 3 3
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + = −
+ − =
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 9
7)
2 2 1
3 2 3
4 3 5
x y z
x y z
x y z
− + =
− − = −
− + =
8)
12
2 3 4
3 4 3 1
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
9)
2 3
4 2
2 2 5 1
x y z
x y z
x y z
− − =
+ + =
− − =
10)
3 4 1
2 5 2
5 13 6 0
x y z
x y z
x y z
− + =
− + =
− + =
11)
3 13
2 2 6
5 5 12
x y z
x y z
x y z
− − =
+ − =
+ − =
12)
3 4 3 2
5 2 4 6
2 3 2 2
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ − =
+ − =
Câu 2. Tìm nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của các hệ phương trình tuyến tính sau
1)
2
2 3 1
3 2 4 3
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ − =
+ − =
2)
2 1
3 12 7 1
5 3 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
3)
2 3
2 4
4 3 2
x y z
x y z
x y z
+ + =
− − = −
+ + =
4)
3 6 2 11
4 9 3 1
3 5
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
5)
2 3 3 0
2 1
3 4 1
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
+ + =
6)
3 4 4
2 11
2 3 13
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + = −
+ − =
7)
2 1
3 2 3
4 3 5
x y z
x y z
x y z
− + =
− − = −
− + =
8)
2 12
2 3 4
3 4 3 1
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
9)
2 3
3 12
2 2 5 1
x y z
x y z
x y z
− − =
− − =
− − =
10*)
7
3 2 3 2
2 2 6 23
5 4 3 3 12
x y z t u
x y z t u
y z t u
x y z t u
+ + + + =
+ + + − = −
+ + + =
+ + + − =
11*)
2 1
2 0
3 3 3 3 4 2
4 5 5 5 7 3
x y z t u
x y z t u
x y z t u
x y z t u
+ − − + =
− + + − =
+ − − + =
+ − − + =
12*)
2 2 1
2 2 1
4 10 5 5 7 1
2 14 7 7 11 1
x y z t u
x y z t u
x y z t u
x y z t u
− + − + =
+ − + − =
− + − + =
− + − + = −
13*)
3 2 1
2 7 3 5 2
3 2 5 7 3
3 2 7 5 8 3
x y z t u
x y z t u
x y z t u
x y z t u
+ − + − =
− + − + =
+ − + − =
− + − + =
14*)
0
3 2 3 0
2 2 6 0
5 4 3 3 0
x y z t u
x y z t u
y z t u
x y z t u
+ + + + =
+ + + − =
+ + + =
+ + + − =
15*)
2 0
2 0
3 3 3 3 4 0
4 5 5 5 7 0
x y z t u
x y z t u
x y z t u
x y z t u
+ − − + =
− + + − =
+ − − + =
+ − − + =
16*)
2 2 0
2 2 0
4 10 5 5 7 0
2 14 7 7 11 0
x y z t u
x y z t u
x y z t u
x y z t u
− + − + =
+ − + − =
− + − + =
− + − + =
17*)
3 2 0
2 7 3 5 0
3 2 5 7 0
3 2 7 5 8 0
x y z t u
x y z t u
x y z t u
x y z t u
+ − + − =
− + − + =
+ − + − =
− + − + =
Câu 3. Biện luận số nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính theo tham số
m
1)
2 3 1
4 2
8 12 ( 6) 5
x y z
x my z
x y m z
+ − =
+ + =
+ + + =
2)
2 2
2 5 1
3 6 1
x y z m
x my z
x y mz
+ − =
+ − =
+ + =
3)
0
2 1
2 3 2 1
mx y z
x y mz
x y z
+ + =
+ − =
+ + =
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 10
4)
2 2 2
3 7 5
2 4 7
x y z m
x y z
x y mz
+ − =
+ − =
+ + =
5)
2 2 2
2 4 5 5
3 6 7
mx y z
x y z
x y mz
+ − =
+ − =
+ − =
6)
2 3
2 4
4 3 2
mx y z
x my z
x y z m
+ + =
− − = −
+ + =
7)
2 3 0
4 ( 5) ( 3) 0
8 ( 11) ( 5) 0
x y z
x m y m z
x m y m z
+ − =
+ + + − =
+ + + − =
8)
2 3 0
4 ( 5) ( 3) 0
8 12 ( 4) 0
x y z
x m y m z
x y m z
+ − =
+ + + − =
+ + − =
9)
2 3 0
4 ( 5) 0
8 12 ( 4) 0
x y z
x m y mz
x y m z
+ − =
+ + + =
+ + − =
10)
4 (7 ) 0
2 ( 4) 5 0
5 10 ( 5) 0
x y m z
x m y z
x y m z
+ + − =
+ + − =
+ + − =
11)
( 3) 2 0
( 1) 0
3( 1) ( 3) 0
m x y z
mx m y z
m x my m z
+ + + =
+ − + =
+ + + + =
12)
(3 1) 2 (3 1) 0
2 2 (3 1) 0
2 0
m x my m z
mx my m z
x y z
− + + + =
+ + + =
+ + =
13)
2 2
2 2 1
2 3
x y z t m
x y z t m
x y mz t m
− + + =
+ − + = +
− − + = −
14)
2
2 5 2 2 2 1
3 3 3 1
x y z t m
x y z t m
x my z t
+ − + =
+ − + = +
+ − + =
15)
2 2 0
2 3
3 3
5
x y z t
x y z t
x z t
x y m
− + − =
+ − + =
+ − =
+ =
16)
2 2 3 3
1
3 3 4 6
5 2 5 7 9
x y z t u
x y z t u
x y z t u
x z t u m
− + − + =
+ − − + =
+ + − + =
+ − + = −
17)
2 1
2 4 2
7 4 11
4 8 4 16 1
x y z t
x y z t
x y z t m
x y z t m
− + + =
+ − + =
+ − + =
+ − + = +
18)
2 2 4
2 3
2 2 2 3
2
x y z t
x y z t
x y z t
x y z t m
+ − + =
− + + =
+ − + =
+ − + =
Câu 4. Tìm điều kiện của tham số
m
để hai hệ phương trình tuyến tính (trong mỗi câu) có nghiệm chung
1)
2 1
7 5
x y z t m
x y z t m
+ − + = +
+ − − = −
và
2
2 5 2 2 2 1
x y z t m
x y z t m
+ − + =
+ − + = +
;
2)
2 2
7 5
x y z t m
x y z t m
− + + =
+ − − = −
và
2
3 7 3 3 1
x y z t m
x y z t
+ − + =
+ − + =
;
3)
2 2
2 1
x y z t m
x y z t m
− + + =
+ − + = +
và
2 5 2 2 2 1
3 7 3 3 1
x y z t m
x y z t
+ − + = +
+ − + =
;
4)
2 2 0
2 3
x y z t
x my z t
− + − =
+ − + =
và
2 2 3 3
x y z t u
x y z t u m
− + − + =
+ − − + =
;
5)
2 2 0
5
x y z t
x y m
− + − =
+ =
và
2 2 3 3
5 2 5 7 9
x y z t u
x z t u m
− + − + =
+ − + = −
;
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 11
6)
2
3 3
x y z t m
x z t
+ − + =
+ − =
và
1
3 3 4 2
x y z t u
x y z t u m
+ − − + =
+ + − + =
;
7)
2 4 2
7 4 11
x y z t
x y z t m
+ − + =
+ − + =
và
2 2 4
2
x y z t
x y z t m
+ − + =
+ − + =
;
8)
2 4 2
4 8 4 16 1
x y z t
x y z t m
+ − + =
+ − + = +
và
2 2 2 3
2
x y z t
x y z t m
+ − + =
+ − + =
;
9)
2 1
7 4 11
x y z t
x y z t m
− + + =
+ − + =
và
2 2 2 3
2
x y z t
x y z t m
+ − + =
+ − + =
;
10)
2 1
4 8 4 16 1
x y z t
x y z t m
− + + =
+ − + = +
và
2 2 4
2
x y z t
x y z t m
+ − + =
+ − + =
;
11)
2 2
2 1
x y z t m
x y z t m
− + + =
+ − + = +
và
2
2 5 2 2 2 1
3 7 3 3 1
x y z t m
x y z t m
x y z t
+ − + =
+ − + = +
+ − + =
;
12)
2 2
2 1
7 5
x y z t m
x y z t m
x y z t m
− + + =
+ − + = +
+ − − = −
và
2
3 7 3 3 1
x y z t m
x y z t
+ − + =
+ − + =
;
13)
2 2 0
2
x y z mt
x y z t m
− + − =
+ − + =
và
2 2 3 3
1
3 3 4 2
x y z t u
x y z t u
x y z t u m
− + − + =
+ − − + =
+ + − + =
;
14)
2 2 0
2 3
3 3
x y z t
x y z t m
x z mt
− + − =
+ − + =
+ − =
và
2 2 3 3
1
x y z t u m
x y z mt u
− + − + =
+ − − + =
;
15)
2 1
2 4 2
7 4 11
x y z t
x y z t
x y z t m
− + + =
+ − + =
+ − + =
và
2 2 2 3
2
x y z t
x y z t m
+ − + =
+ − + =
;
16)
2 1
2 4 2
4 8 4 16 1
x y z t
x y z t
x y z t m
− + + =
+ − + =
+ − + = +
và
2 2 4
2
x y z t
x y z t m
+ − + =
+ − + =
;
17)
7 4 11
4 8 4 16 1
x y z t m
x y z t m
+ − + =
+ − + = +
và
2 2 4
2 2 2 3
2
x y z t
x y z t
x y z t m
+ − + =
+ − + =
+ − + =
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 12
CHƯƠNG III. KHÔNG GIAN VECTOR
Câu 1. Xét xem các tập hợp với các phép toán xác định sau đây, tập hợp nào là không gian vector trên
ℝ
?
1) Tập hợp các đa thức hệ số thực, có bậc tùy ý với phép cộng đa thức và phép nhân một số với một đa thức;
2) Tập hợp
2
ℝ
với phép cộng và phép nhân vô hướng:
( ; ) ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) , , , ,
a b c d a c d a b a b a b c d
λ λ λ λ
+ = + = ∀ ∈
ℝ
;
3) Tập hợp
2
ℝ
với phép cộng và phép nhân vô hướng:
( ; ) ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) , , , ,
a b c d a c b d a b a b a b c d
λ λ λ
+ = + − = + ∀ ∈
ℝ
;
4) Tập hợp
2
ℝ
với phép cộng và phép nhân vô hướng:
( ; ) ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) , , , ,
a b c d a d a b a b a b c d
λ λ λ
+ = = ∀ ∈
ℝ
;
5) Tập hợp
2
ℝ
với phép cộng và phép nhân vô hướng:
( ; ) ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) , , , ,
a b c d ac bd a b a b a b c d
λ λ λ
+ = = + ∀ ∈
ℝ
;
6) Tập hợp
2
ℝ
với phép cộng và phép nhân vô hướng:
( ; ) ( ; ) ( ; ), ( ; ) ( ; ) , , , ,
a b c d ac bd ad bc a b a b a b c d
λ λ λ λ
+ = + − = ∀ ∈
ℝ
.
Câu 2. Xét xem các tập hợp xác định sau đây, tập hợp nào là không gian vector con của
n
ℝ
?
1) Tập hợp
{
}
1 2 1
( ; ; ; ) 2
n
n n
A x x x x x
= ∈ =ℝ
;
2) Tập hợp
{
}
2
1 2 1 2
( ; ; ; )
n
n
B x x x x x
= ∈ =ℝ
;
3) Tập hợp
{
}
1 2 1
( ; ; ; ) 1, 1,2, , 1
n
n i i
C x x x x x i n
+
= ∈ = + = −
ℝ
;
4) Tập hợp
{
}
1 2 1
( ; ; ; ) 0
n
n n
D x x x x x= ∈ = =ℝ
;
5) Tập hợp
{
}
2 2
1 2 1 2
( ; ; ; ) 1
n
n
E x x x x x= ∈ = =ℝ
;
6) Tập hợp
{
}
1 2
( ; ; ; ) , 1,2, ,
n
n i
C x x x x i n
= ∈ ∈ =ℝ ℚ
.
Câu 3. Trong
3
ℝ
, xét xem vector
u
có phải là tổ hợp tuyến tính của
1
u
,
2
u
,
3
u
không?
1)
1
( 2; 1; 0)
u
= −
,
2
(3; 1; 1)
u
= −
,
3
(2; 0; 2)
u
= −
;
(1; 1; 1)
u
=
;
2)
1
(2; 1; 3)
u
= −
,
2
(0; 1; 1)
u
= −
,
3
(2; 2; 2)
u
=
;
(2; 1; 5)
u
= −
;
3)
1
(2; 4; 3)
u
=
,
2
(1; 1; 0)
u
= −
,
3
(3; 3; 3)
u
=
;
( 1; 2; 0)
u
= −
;
4)
1
( 2; 1; 0)
u
= −
,
2
(3; 2; 1)
u
= −
,
3
(1; 2; 3)
u
= −
;
(2; 1; 1)
u
= −
;
5)
1
(2; 1; 3)
u
= −
,
2
(3; 1; 2)
u
= −
,
3
(1; 2; 2)
u
= −
;
(2; 4; 3)
u
= −
;
6)
1
(2; 4; 3)
u
=
,
2
(1; 1; 3)
u
= −
,
3
(1; 3; 3)
u
= −
;
( 1; 2; 4)
u
= −
.
Câu 4. Trong
3
[ ]
P x
, xét xem vector
u
có phải là tổ hợp tuyến tính của
1
u
,
2
u
,
3
u
không?
1)
3 2
1
3 1
u x x
= − +
,
3
2
2 1
u x x
= − +
,
2
3
2 3
u x
= − +
;
2 2
5 4 2
u x x x
= − −
;
2)
3 2
1
2 2 1
u x x x
= + − +
,
3 2
2
3 4
u x x x
= + − +
,
3 2
3
2 5 3 5
u x x x
= + − +
;
2
3 2
u x x
= − +
;
3)
2 2
1
5 4 2
u x x x
= − −
,
3
2
2 1
u x x
= − +
,
2
3
2 3
u x
= − +
;
3 2
3 1
u x x
= − +
;
4)
2
1
3 2
u x x
= − +
,
3 2
2
3 4
u x x x
= + − +
,
3 2
3
2 5 3 5
u x x x
= + − +
;
3 2
2 2 1
u x x x
= + − +
;
5)
3 2
1
3 1
u x x
= − +
,
2 2
2
5 4 2
u x x x
= − −
,
2
3
2 3
u x
= − +
;
3
2 1
u x x
= − +
;
6)
3 2
1
2 2 1
u x x x
= + − +
,
2
2
3 2
u x x
= − +
,
3 2
3
2 5 3 5
u x x x
= + − +
;
3 2
3 4
u x x x
= + − +
;
7)
3 2
1
3 1
u x x
= − +
,
3
2
2 1
u x x
= − +
,
2 2
3
5 4 2
u x x x
= − −
;
2
2 3
u x
= − +
;
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 13
8)
3 2
1
2 2 1
u x x x
= + − +
,
3 2
2
3 4
u x x x
= + − +
,
2
3
3 2
u x x
= − +
;
3 2
2 5 3 5
u x x x
= + − +
.
Câu 5. Trong
3
ℝ
, tìm
m
để
u
là tổ hợp tuyến tính của
1
u
,
2
u
,
3
u
trong các trường hợp sau
1)
1
( ; 2; 1)
u m
= −
,
2
( 2; 1; 3)
u
= −
,
3
(0; 1; 1)
u
= −
;
(1; ; 2)
u m
=
;
2)
1
(1; 2; 3)
u
= −
,
2
(0; 1; )
u m
= −
,
3
(1; 3; 1)
u
= −
;
( ; 1; 2)
u m
= −
;
3)
1
(1; 2; )
u m
= −
,
2
( 2; 1; 3)
u
= −
,
3
(1; 3; 1)
u
=
;
( ; 1; 1)
u m
= −
;
4)
1
( ; 2; 1)
u m
= −
,
2
(1; ; 2)
u m
=
,
3
(0; 1; 1)
u
= −
;
( 2; 1; 3)
u
= −
;
5)
1
(1; 2; 3)
u
= −
,
2
(0; 1; )
u m
= −
,
3
( ; 1; 2)
u m
= −
;
(1; 5; 1)
u
= −
;
6)
1
(1; 2; )
u m
= −
,
2
( 2; 1; 3)
u
= −
,
3
(1; 1; 1)
u
= −
;
( ; 1; )
u m m
= −
;
7)
1
(3; 2; 3)
u
= −
,
2
(2; ; )
u m m
= −
,
3
( ; 1; 2)
u m
= −
;
(0; 2; 1)
u
=
;
8)
1
(1; ; )
u m m
= −
,
2
( 2; 1; 1)
u
= −
,
3
(2; 1; 1)
u
= − −
;
( 1; 1 ; )
u m m m
= + − +
.
Câu 6. Trong
3
ℝ
, xác định
, ,
a b c
để
( ; ; )
u a b c
=
là tổ hợp tuyến tính của
1
u
,
2
u
,
3
u
1)
1
(1; 2; 1)
u
= −
,
2
( 2; 1; 3)
u
= −
,
3
(0; 1; 1)
u
= −
;
2)
1
(1; 2; 3)
u
= −
,
2
(0; 1; 3)
u
= −
,
3
(1; 2; 1)
u
=
;
3)
1
(1; 3; 0)
u
= −
,
2
( 3; 1; 2)
u
= −
,
3
(1; 4; 1)
u
= −
;
4)
1
(0; 2; 1)
u
= −
,
2
(1; 5; 2)
u
= −
,
3
(2; 1; 1)
u
= −
;
5)
1
(1; 2; 3)
u
= −
,
2
(2; 1; 4)
u
= −
,
3
( 1; 1; 2)
u
= − −
;
6)
1
(1; 2; 3)
u
= − −
,
2
(5; 1; 3)
u
=
,
3
(1; 1; 1)
u
= −
;
7)
1
(0; 2; 3)
u
= −
,
2
(2; 3; 4)
u
= −
,
3
(7; 1; 2)
u
= −
;
8)
1
(1; 2; 7)
u
= −
,
2
( 2; 1; 3)
u
= −
,
3
(3; 1; 2)
u
= − −
.
Câu 7. Trong
4
ℝ
, biện luận sự độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của hệ các vector sau theo
m
1)
{( ; 1; 3; 4), ( ; ; 2; 6), (2 ; 2; 6; 10)}
A m m m m m
= +
;
2)
{(2; 8; 4; 7), (2; 3; 1; 4), (4; 11; 5; 10), (6; 14; 5
; 18)}
B m
= +
;
3)
{(1; 2; 1; 4), (2; 3; ; 7), (5; 8; 2 1; 19), (4; 7; 2; 1
5)}
C m m m
= + +
;
4)
{( 2; 3; 2), (1; ; 1), ( 2; 2 1; 2)}
D m m m m m
= + + + +
;
5)
{(2; 1; 1; ), (2; 1; 1; ), (10; 5; 1; 5 )}
E m m m
= − −
;
6)
{(2; 3; 1; 4), (3; 7; 5; 1), (8; 17; 11; ), (1; 4; 4; 3
)}
F m
= −
;
7*)
{( ; 2 ; 3; 4), (1; 2; 3 ; 4 ), (1; 2 ; 3; 4 ), ( ; 2; 3; 4 )}
G m m m m m m m m
=
;
8*)
{( ; 2 ; 3; 4), (1; 2 ; 3 ; 4), (1; 2 ; 3; 4 ), (1; 2; 3 ; 4 )}
H m m m m m m m m
=
.
Câu 8. Trong
3
ℝ
, tìm ma trận chuyển từ cơ sở
1 2 3
{ , , }
U u u u
=
sang cơ sở
1 2 3
{ , , }
V v v v
=
và tìm
[ ]
V
x
trong các trường hợp sau
1)
1 2 3
{ (1; 1; 1), (1; 1; 0), (2; 0; 0)}
U u u u
= = − = =
,
[ ] (1 0 0)
T
U
x
=
và
1 2 3
{ (1; 1; 0), (1; 0; 1), (1; 1; 1)}
V v v v
= = = − =
;
2)
1 2 3
{ (1; 1; 1), (1; 1; 0), (2; 0; 0)}
U u u u
= = − = =
,
[ ] (1 0 2)
T
U
x
=
và
1 2 3
{ (1; 1; 0), (2; 1; 0), (1; 1; 1)}
V v v v
= = − = − = −
;
3)
1 2 3
{ (3; 2; 1), (1; 2; 1), (2; 2; 3)}
U u u u
= = = − =
,
[ ] (3 2 1)
T
U
x
=
và
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 14
1 2 3
{ (1; 1; 0), (1; 0; 1), (1; 1; 1)}
V v v v
= = = − =
;
4)
1 2 3
{ (2; 0; 0), (1; 1; 0), (1; 1; 1)}
U u u u
= = = = −
,
[ ] (1 0 0)
T
U
x
=
và
1 2 3
{ (1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}
V v v v
= = = − =
;
5)
1 2 3
{ (1; 1; 1), (2; 0; 0), (1; 1; 0)}
U u u u
= = − = =
,
[ ] (1 0 2)
T
U
x
=
và
1 2 3
{ (1; 1; 0), (1; 1; 1), (2; 1; 0)}
V v v v
= = − = − = −
;
6)
1 2 3
{ (3; 2; 1), (2; 2; 3), (1; 2; 1)}
U u u u
= = = = −
,
[ ] (3 2 1)
T
U
x
=
và
1 2 3
{ (1; 1; 0), (1; 1; 1), (1; 0; 1)}
V v v v
= = = = −
;
7)
1 2 3
{ (1; 1; 0), (1; 1; 1), (2; 1; 0)}
U u u u
= = − = − = −
,
[ ] (1 0 2)
T
U
x
=
và
1 2 3
{ (1; 1; 1), (2; 0; 0), (1; 1; 0)}
V v v v
= = − = =
;
8)
1 2 3
{ (1; 1; 0), (1; 1; 1), (1; 0; 1)}
U u u u
= = = = −
,
[ ] (3 2 1)
T
U
x
=
và
1 2 3
{ (3; 2; 1), (2; 2; 3), (1; 2; 1)}
V v v v
= = = = −
.
Câu 9. Tìm 1 cơ sở và số chiều của các không gian con
W
sinh bởi hệ vector sau trong
n
ℝ
1)
1
(2; 3; 4)
u
=
,
2
(5; 4; 0)
u
= −
,
3
(7; 1; 5)
u
= −
,
4
(3; 2; 6)
u
= −
trong
3
ℝ
;
2)
1
( 2; 1; 1)
u
= −
,
2
(2; 3; 1)
u
= −
,
3
(0; 1; 4)
u
= −
,
4
(1; 2; 7)
u
= −
trong
3
ℝ
;
3)
1
(1; 0; 0; 1)
u
= −
,
2
(2; 1; 1; 0)
u
=
,
3
(1; 1; 1; 1)
u
=
trong
4
ℝ
;
4)
1
(1; 0; 0; 1)
u
= −
,
2
(2; 1; 1; 0)
u
=
,
3
(1; 2; 3; 4)
u
=
trong
4
ℝ
;
5)
1
(1; 1; 1; 1)
u
=
,
2
(1; 2; 3; 4)
u
=
,
3
(0; 1; 2; 3)
u
=
trong
4
ℝ
;
6)
1
(1; 1; 1; 1; 0)
u
=
,
2
(1; 1; 1; 1; 1)
u
= − − −
,
3
(2; 2; 0; 0; 1)
u
= −
trong
5
ℝ
;
7)
1
(1; 1; 1; 1; 0)
u
=
,
2
(2; 2; 0; 0; 1)
u
= −
,
3
(1; 1; 5; 5; 2)
u
=
trong
5
ℝ
;
8)
1
(2; 2; 0; 0; 1)
u
= −
,
2
(1; 1; 5; 5; 2)
u
=
,
3
(1; 1; 1; 0; 0)
u
= − −
trong
5
ℝ
.
Câu 10. Tìm một cơ sở và số chiều của không gian nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau
1)
2 3 3 0
2 0
3 4 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
− + =
+ + =
2)
3 4 0
2 0
3 2 0
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
− − =
3)
5 12 12 0
2 5 5 0
3 7 7 0
x y z
x y z
x y z
+ − =
+ − =
+ − =
4)
2 0
3 2 0
4 3 0
x y z
x y z
x y z
− + =
− − =
− + =
5)
0
2 3 0
3 4 2 0
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
6)
3 0
4 0
2 2 5 0
x y z
x y z
x y z
− − =
+ + =
− − =
7)
3 5 2 0
4 7 5 0
2 9 6 0
4 0
x y z
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
+ − =
8)
3 2 0
2 5 0
2 7 6 0
2 4 0
x y z
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
+ − =
9)
3 5 2 0
7 15 0
2 7 6 0
5 3 4 0
x y z
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
− − =
10)
2 2 2 0
2 3 2 0
2 4 7 0
x y z t u
x y z t u
x y z t u
+ − + − =
+ − + − =
+ − + + =
11)
2 3 4 0
2 4 2 5 0
2 2 0
x y z t u
x y z t u
x y z t u
+ − + − =
+ − − + =
+ − + − =
12)
2 3 4 0
2 2 0
2 2 0
x y z t u
x y z t u
x y z t u
+ − + − =
+ − + + =
+ − + − =
…………………………………………………….
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 15
CHƯƠNG IV. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Câu 1. Tìm biểu thức của các ánh xạ tuyến tính
:
n m
f
→
ℝ ℝ
, biết ảnh của các vector trong các không gian
tương ứng như sau:
1)
(1; 1) (1; 2; 2)
f
= − −
và
(3; 5) (1; 0; 3)
f
= −
;
2)
(1; 2) (1; 2; 8)
f
= −
và
(2; 3) (2; 3; 5)
f
− = −
;
3)
(1; 1) (3; 1; 2)
f
− = − −
và
( 3; 5) (1; 2; 3)
f
− = −
;
4)
(1; 2) (1; 2; 1)
f
− = −
và
(1; 3) (2; 0; 5)
f
− = −
;
5)
(1; 1; 0) (1; 2)
f
=
,
(1; 0; 1) (2; 1)
f
= −
và
(0; 1; 1) ( 1; 1)
f
= − −
;
6)
(1; 1; 0) (3; 1; 2)
f
= −
,
(1; 0; 1) (1; 2; 2)
f
=
và
(0; 1; 1) (0; 1; 2)
f
= −
;
7)
(1; 1; 1) (1; 2)
f
=
,
(1; 1; 0) (2; 1)
f
= −
và
(1; 0; 0) ( 1; 1)
f
= − −
;
8)
(1; 0; 0) (3; 1; 2)
f
= −
,
(1; 1; 0) (1; 2; 2)
f
=
và
(1; 1; 1) (0; 1; 2)
f
= −
.
Câu 2. Tìm
Ker( )
f
,
( )
d f
,
Im( )
f
và
( )
r f
của các ánh xạ tuyến tính sau:
1)
2 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ) ( ; 2 ; 2 )
f x y x y x y x y
= − + +
;
2)
2 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ) (2 ; 2 ; )
f x y x y x y x y
= − + −
;
3)
3 2
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) ( ; 2 3 )
f x y z x y x y z
= + − −
;
4)
3 2
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) (2 3 ; )
f x y z x y z x y
= − − +
;
5)
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) (3 ; ; 2 )
f x y z x x z x y z
= − + +
;
6)
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) ( ; ; )
f x y z x y z x y z x y z
= + + − + + −
;
7)
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) ( ; ; )
f x y z x y z x y z x y z
= + + + + − −
;
8)
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) ( 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 )
f x y z x y z x y z x y z
= + + + + + +
.
Câu 3. Tìm
m
để các toán tử tuyến tính sau là song ánh:
1)
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) ( 2 ; ; 2 )
f x y z x y mz my z x y mz
= − + + + −
;
2)
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) (3 5 2 ; 4 7 ( 1) ; 4 )
f x y z x y z x y m z x y mz
= + + + + + + −
;
3)
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) ( 2 3 ; ; 2 )
f x y z x y z mx y z x y mz
= − + − + + −
;
4)
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) ( 5 2 ; 4 7 ; )
f x y z x y mz x y mz x y z
= + + + + + −
;
5)
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) ( 2 ; ; 2 )
f x y z x y z y mz x my z
= − − + + −
;
6)
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ) (3 2 ; 3 ( 1) ; )
f x y z x my z x y m z x y z
= + + + + + + −
;
7)
4 4
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z t x y mz x my z y z mt mz t
= + + + + + + +
;
8)
4 4
:
f
→
ℝ ℝ
,
( ; ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z t mx y z x my z my z t mz t
= + + + + + + +
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 16
Câu 4. Trong
2
ℝ
cho cơ sở chính tắc
2
E
và cơ sở
1 2
{ (3; 1), (1; 2)}
B u u
= = = −
. Cho toán tử tuyến tính
2 2
:
f
→
ℝ ℝ
và vector
v
. Tìm
1
[ ( )]
B
f v
−
trong các trường hợp sau:
1)
1 2
3 4
B
f
=
và
2
2
[ ]
1
E
v
−
=
; 2)
1 4
3 2
B
f
=
và
2
2
[ ]
1
E
v
=
−
; 3)
4 1
3 2
B
f
=
và
2
1
[ ]
2
E
v
−
=
;
4)
1 3
2 4
B
f
=
và
2
1
[ ]
2
E
v
=
−
; 5)
3 1
2 4
B
f
=
và
2
3
[ ]
1
E
v
=
; 6)
4 2
3 1
B
f
=
và
2
1
[ ]
3
E
v
=
;
7)
1 5
3 4
B
f
=
và
2
2
[ ]
0
E
v
=
; 8)
5 1
3 4
B
f
=
và
2
0
[ ]
1
E
v
=
; 9)
1 2
5 4
B
f
=
và
2
0
[ ]
1
E
v
=
−
;
10)
1 3
5 7
B
f
=
và
2
0
[ ]
1
E
v
=
; 11)
1 7
3 5
B
f
=
và
2
1
[ ]
0
E
v
=
; 12)
7 1
5 3
B
f
=
và
2
0
[ ]
1
E
v
=
.
Câu 5. Trong
3
ℝ
, xét cơ sở chính tắc
1 2 3
{ (1; 0; 0), (0; 1; 0), (0; 0; 1)}
E e e e
= = = =
. Toán tử tuyến tính
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
có
2 1 0
[ ] 0 1 1
0 0 1
E
f
−
= −
. Tìm
[ ]
B
f
trong các trường hợp cơ sở
B
sau:
1)
1 1 2 2 2 3 3 1 3
{ 2 , 2 , 3 }
B u e e u e e u e e
= = + = − + = +
;
2)
1 1 3 2 1 3 3 1 3
{ 2 , 2 , 3 }
B u e e u e e u e e
= = + = − + = +
;
3)
1 1 2 2 1 3 3 2 3
{ 2 , 2 , 3 }
B u e e u e e u e e
= = + = − + = +
;
4)
1 1 2 3 2 2 3 3 1 3
{ 2 , 2 , 3 }
B u e e e u e e u e e
= = + + = − + = +
;
5)
1 1 2 2 1 2 3 3 1 3
{ 2 , 2 , 3 }
B u e e u e e e u e e
= = + = − + = +
;
6)
1 1 2 2 2 3 3 1 2 3
{ 2 , 2 , 3 }
B u e e u e e u e e e
= = + = − + = − +
;
7)
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 3
{ 2 , 2 , 3 }
B u e e e u e e e u e e
= = + − = − + = +
;
8)
1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3
{ 2 , 2 , 3 }
B u e e e u e e e u e e e
= = + − = − + = − +
.
Câu 6. Trong
4
ℝ
cho cơ sở
{(1; 1; 0; 0), (0; 1; 1; 0), (0; 0; 1; 1), (0; 0; 0; 1)
}
B
= − − −
. Cho ánh xạ tuyến
tính
3 4
:
f
→
ℝ ℝ
, tìm
3
[ ]
B
E
f
trong các trường hợp sau:
1)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z x y z x y x z y z
= + + + + −
; 2)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z x y x y z x z y z
= + + + + −
;
3)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z x y z x y x z y z
= + + − − +
; 4)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z x y x y z x z y z
= − − + + −
;
5)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z x y z x z x z y z
= − + − + −
; 6)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z x y x y z x z y z
= − + + − −
;
7)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z x y z x y x z y z
= + − − + +
; 8)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z x y x y z x z y z
= + − − + −
;
9)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z x y z x y x z y z
= − − − + −
; 10)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z x y x y z x z y z
= + − − − +
;
11)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z y z x y y z x y z
= − − + − −
; 12)
( ; ; ) ( ; ; ; )
f x y z x y y z x y z x z
= + − + − +
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 17
Câu 7. Cho các ánh xạ tuyến tính
2 3
:
f
→
ℝ ℝ
và
2 3
:
g
→
ℝ ℝ
. Xác định ánh xạ tuyến tính
2
f g
−
biết:
1)
( ; ) ( ; 2 ; )
f x y x x y x y
= + −
và
( ; ) ( ; 2 ; 3 )
g x y x y x y y
= + −
;
2)
( ; ) ( 2 ; ; )
f x y x y x y x y
= + + −
và
( ; ) ( ; 2 ; 3 )
g x y x y x y y
= + −
;
3)
( ; ) ( ; 2 ; )
f x y x x y x y
= + −
và
( ; ) ( ; 2 ; 3 )
g x y x y x y x y
= + − +
;
4)
( ; ) ( ; 2 ; )
f x y x y x y x
= − +
và
( ; ) ( ; 2 ; 3 )
g x y x y x y y
= + −
;
5)
( ; ) ( ; 2 ; )
f x y x x y x y
= + −
và
( ; ) ( ; 2 ; )
g x y x y x y x y
= − − +
;
6)
( ; ) ( ; 2 ; )
f x y x y x y x y
= + + −
và
( ; ) ( ; 2 ; )
g x y x y x y x y
= + − −
;
7)
( ; ) ( 4 ; 2 ; )
f x y x y x y x y
= − + −
và
( ; ) ( 2 ; ; 2 )
g x y x y x y x
= + −
;
8)
( ; ) (2 ; 3 ; 5 2 )
f x y y x y x y
= − −
và
( ; ) (3 ; 2 3 ; 3 5 )
g x y x y x y x y
= + − +
.
Câu 8. Tìm trị riêng và vector riêng của các toán tử tuyến tính sau:
1)
( ; ; ) ( ; 2 3 2 ; 2 )
f x y z x y x y z x y z
= − + + + +
; 2)
( ; ; ) ( ; ; 2 )
f x y z x y y z y z
= + + − −
;
3)
( ; ; ) ( 2 ; 2 3 2 ; )
f x y z x y z x y z x y
= − + + + +
; 4)
( ; ; ) ( ; ; 2 )
f x y z x y y z x y z
= + + − −
;
5)
( ; ; ) ( ; 2 3 2 ; 2 )
f x y z x y x y z y z
= − + + +
; 6)
( ; ; ) ( ; ; 2 )
f x y z x y z y z x y z
= + − + − −
;
7)
( ; ; ) ( ; 2 3 ; )
f x y z x y z x y z x y z
= − − + + + +
; 8)
( ; ; ) ( 2 3 ; 2 ; 2 )
f x y z x y z y z y z
= + − + − −
;
9)
( ; ; ) ( 2 ; 2 3 ; 3 5 )
f x y z x y y z y z
= − − +
; 10)
( ; ; ) (3 ; 3 ; 2 2 )
f x y z y z y z x y z
= − + − −
;
11)
( ; ; ) (2 3 ; 2 5 ; 2 3 )
f x y z x z x z x y z
= − − + +
; 12)
( ; ; ) ( 3 ; 3 2 ; 2 )
f x y z y z y z x y z
= − + − −
.
Câu 9. Tìm trị riêng và một cơ sở của các không gian con riêng của toán tử tuyến tính
3 3
:
f
→
ℝ ℝ
, biết:
1)
3
2 1 2
[ ] 5 3 3
1 0 2
E
f
−
= −
− −
; 2)
3
0 1 0
[ ] 4 4 0
2 1 2
E
f
= −
−
; 3)
3
1 3 3
[ ] 2 6 13
1 4 8
E
f
−
= − −
− −
;
4)
3
4 5 2
[ ] 5 7 3
6 9 4
E
f
−
= −
−
; 5)
3
1 3 4
[ ] 4 7 8
6 7 7
E
f
−
= −
−
; 6)
3
7 12 6
[ ] 10 19 10
12 24 13
E
f
−
= −
−
;
7)
3
1 4 8
[ ] 4 7 4
8 4 1
E
f
− −
= − −
− −
; 8)
3
15 18 16
[ ] 9 12 8
4 4 6
E
f
− −
= − −
− −
.
Câu 10. Dùng định lý Cayley – Hamilton để tính
det
B
trong các trường hợp sau:
1)
8 6 5 3
3 3 3
B A A A A A
= − + − +
, với
1 1 0
0 1 0
5 3 2
A
=
−
;
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 18
2)
5 4 3 2
5 8 3 7
B A A A A A
= − + − +
, với
4 2 1
6 4 3
6 6 5
A
−
= − −
− −
;
3)
5 4 3 2
3
5 8 4 7
B A A A A I
= − + + −
, với
4 2 1
6 4 3
6 6 5
A
−
= − −
− −
;
4)
5 4 2
3
3 6 7
B A A A I
= + − −
, với
2 4 3
4 6 3
3 3 1
A
= − − −
;
5)
5 4 2
3 2 7
B A A A A
= + + −
, với
2 4 3
4 6 3
3 3 1
A
= − − −
;
6)
5 4 3 2
3
5 8 3 7
B A A A A I
= − + − −
, với
3 1 1
2 2 1
2 2 0
A
−
= −
;
7)
5 4 3 2
5 8 3 2
B A A A A A
= − + + −
, với
3 1 1
2 2 1
2 2 0
A
−
= −
;
8)
6 5 3 2
3 4 3
B A A A A A
= − − + + −
, với
1 3 3
3 5 3
3 3 1
A
= − − −
.
Câu 11*. Chéo hóa các ma trận vuông sau:
1)
1 4 2
3 4 0
3 1 3
A
− −
= −
−
; 2)
2 2 1
1 3 1
1 2 2
B
−
= −
− −
; 3)
1 3 3
3 5 3
6 6 4
C
−
= −
−
;
4)
3 1 1
1 1 1
1 1 1
D
−
= −
; 5)
1 3 3
3 5 3
3 3 1
E
= − − −
; 6)
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
F
− −
=
− −
− −
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 19
CHƯƠNG V. DẠNG TOÀN PHƯƠNG
PHẦN I. PHẦN CHUNG CHO A-2 VÀ C-2
Câu 1. Trong
2
ℝ
, cho
1 2
( ; )
x x x
=
và
1 2
( ; )
y y y
=
. Xét xem các ánh xạ sau đây có phải là dạng song tuyến
tính trên
2
ℝ
không. Nếu có, hãy lập ma trận của dạng song tuyến tính đó trong cơ sở chính tắc.
1)
1 2 1 2 2 1
( , ) 3 3
f x y x x y y x y
= + −
; 2)
1 1 1 2 2 1
( , ) 3 3
f x y x y x y x y
= + −
;
3)
1 1 2 2 1 2 2 1
( , ) 3 5 7
f x y x y x y x y x y
= − + +
; 4)
2 2
1 2 2 1 2 2
( , ) 3 5
f x y x x y x y y
= − + +
;
5)
1 1 1 2 2 1 2 2
( , ) 3 2
f x y x y x y x y x y
= − + −
; 6)
2
1 1 1 2 2 1 1
( , ) 3 3 2
f x y x y x y x y y
= + − +
;
7)
2
1 1 1 2 2 2 2
( , ) 3 5
f x y x y x y x y y
= − + +
; 8)
2 2
1 2 1 2 1 2
( , ) 3 5 4
f x y x x y x y y
= − + −
.
Câu 2. Trong
2
ℝ
, cho hai cơ sở
A
và
B
. Cho dạng song tuyến tính trên
2
ℝ
xác định như sau:
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
(( ; ), ( ; )) 2 5 5
f x x y y x y x y x y x y
= − + +
.
Chứng tỏ rằng
f
là đối xứng và kiểm chứng
[ ] [ ]
T
B A
f P f P
=
, với
A B
P P
→
=
trong các trường hợp sau:
1)
{(1; 1), (2; 1)}
A
= −
và
{(1; 1), (2; 1)}
B
= −
; 2)
{(2; 1), ( 1; 1)}
A
= − −
và
{(2; 3), (2; 5)}
B
= −
;
3)
{(1; 2), (2; 1)}
A
= −
và
{(1; 1), (2; 1)}
B
= −
; 4)
{(2; 1), ( 1; 1)}
A
= − −
và
{(2; 5), (2; 3)}
B
= −
;
5)
{(1; 3), (2; 1)}
A
= −
và
{(1; 1), (2; 1)}
B
= −
; 6)
{(2; 1), ( 1; 1)}
A
= − −
và
{(1; 3), (3; 5)}
B
= − −
;
7)
{(1; 4), (2; 1)}
A
= −
và
{(1; 1), (2; 1)}
B
= −
; 8)
{(2; 1), ( 1; 1)}
A
= − −
và
{(3; 5), (1; 3)}
B
= − −
;
9)
{(3; 1), (2; 1)}
A
= −
và
{(1; 1), (2; 1)}
B
= −
; 10)
{(2; 1), ( 1; 1)}
A
= − −
và
{(2; 5), (3; 4)}
B
= −
;
11)
{(4; 1), (1; 2)}
A
=
và
{(1; 1), (2; 1)}
B
= −
; 12)
{(2; 1), ( 1; 1)}
A
= − −
và
{(3; 4), (2; 5)}
B
= −
.
Câu 3. Tùy theo
m
, hãy biện luận tính suy biến hay không suy biến của các dạng toàn phương trên
3
ℝ
xác định như sau:
1)
2 2 2
( ; ; ) 2 2
f x y z x y z xz myz
= + + + +
; 2)
2 2 2
( ; ; ) 2 2
f x y z x y z mxz yz
= + + + +
;
3)
2 2 2
( ; ; ) 2 2
f x y z x y mz xz yz
= + + + +
; 4)
2 2 2
( ; ; ) 2 2
f x y z x my z xz yz
= + + + +
;
5)
2 2 2
( ; ; ) 2 3 2 2
f x y z x y z xy mxz
= + + + +
; 6)
2 2 2
( ; ; ) 2 3 2 2
f x y z x y z mxy xz
= + + + +
;
7)
2 2 2
( ; ; ) 2 3 2 2
f x y z x y mz xy xz
= + + + +
; 8)
2 2 2
( ; ; ) 2 2 2
f x y z x my z xy xz
= + + + +
;
9)
2 2 2
( ; ; ) 3 2 4 2
f x y z x y mz xy xz
= + + + +
; 10)
2 2 2
( ; ; ) 3 4 2
f x y z x my z xy xz
= + + + +
;
11)
2 2 2
( ; ; ) 3 2 2 2
f x y z x y z mxy xz
= + + + +
; 12)
2 2 2
( ; ; ) 3 2 4 2
f x y z x y z xy mxz
= + + + +
.
Câu 4. Tìm ma trận trực giao
P
làm chéo hóa các ma trận
A
sau:
1)
5 4 2
4 5 2
2 2 2
A
− −
= −
−
; 2)
3 1 1
1 3 1
1 1 3
A
=
; 3)
6 2 2
2 5 0
2 0 7
A
−
= −
;
4)
1 3 1
3 1 1
1 1 5
A
−
= − −
−
; 5)
3 2 0
2 2 2
0 2 1
A
=
; 6)
7 2 1
2 10 2
1 2 7
A
−
= − −
−
.
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 20
Câu 5. Dùng thuật toán chéo hóa trực giao để đưa các dạng toàn phương
( ; ; )
f f x y z
≡
trên
3
ℝ
xác định như
sau về dạng chính tắc:
1)
2 2 2
5 5 2 8 4 4
f x y z xy xz yz
= + + − − +
; 2)
2 2 2
6 5 7 4 4
f x y z xy xz
= + + − +
;
3)
2 2 2
3 3 3 2 2 2
f x y z xy xz yz
= + + + + +
; 4)
2 2 2
3 3 3 2 2 2
f x y z xy xz yz
= − − − + + +
;
5)
2 2 2
5 5 5 2 2 2
f x y z xy yz xz
= + + + + +
; 6)
2 2 2
5 5 5 2 2 2
f x y z xy yz xz
= − − − + + +
;
7)
2 2 2
9 9 9 2 2 2
f x y z xy yz xz
= − − − + + +
; 8)
2 2 2
9 9 9 2 2 2
f x y z xy yz xz
= + + + + +
;
9)
2 2 2
8 8 8 2 2 2
f x y z xy yz xz
= − − − + + +
; 10)
2 2 2
8 8 8 2 2 2
f x y z xy yz xz
= + + + + +
;
11)
2 2 2
10 10 10 2 2 2
f x y z xy yz xz
= + + + + +
; 12)
2 2 2
10 10 10 2 2 2
f x y z xy yz xz
= − − − + + +
;
13)
2 2 2
6 3 3 4 8 4
f x y z xy yz xz
= + + + − +
; 14)
2 2 2
2 5 2 4 4 2
f x y z xy yz xz
= + + − + −
;
15)
2
3 4 4 10
f y xy yz xz
= − + − +
; 16)
2 2 2
5 4 6
f x y z yz xz
= − + − + +
.
Câu 6*. Dùng thuật toán Lagrange để đưa các dạng toàn phương
1 2 3
( ; ; )
f f x x x
≡
trên
3
ℝ
xác định như sau
về dạng chính tắc và tìm ma trận đổi biến
P
:
1)
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3
5 4 2 4
f x x x x x x x
= + − + −
; 2)
1 2 2 3 1 3
f x x x x x x
= + +
;
3)
1 2 2 3 1 3
2 4
f x x x x x x
= + +
; 4)
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 1 3
4 4 3 4
f x x x x x x x x x
= + + − − +
;
5)
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3
2 2 4 2
f x x x x x x x
= + + − −
; 6)
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
3 6 2 2 2
f x x x x x x x x x
= + + + + −
;
7)
2 2
1 3 1 2 1 3 2 3
2 2 2 4
f x x x x x x x x
= − + − + +
; 8)
2 2 2
1 2 3 1 2 1 3 2 3
2 3 2 2 2
f x x x x x x x x x
= − − − + + −
.
Câu 7. Dùng thuật toán Jacobi hoặc thuật toán biến đổi sơ cấp ma trận đối xứng để đưa các dạng toàn phương
xác định như sau về dạng chính tắc:
1)
2 2
( ; ) 2 6
q x y x y xy
= + −
;
2)
2 2
( ; ) 3 8
q x y x y xy
= − +
;
3*)
2
( ; ; ) 4 2
q x y z x xy yz
= + −
;
4*)
2 2
( ; ; ) 2 2 2 4
q x y z x z xy xz yz
= − + − + +
;
5*)
2 2 2
( ; ; ) 7 8 6 4 10
q x y z x y z xy xz yz
= + + − + −
;
6*)
2 2 2
( ; ; ) 6 4 4 6 18
q x y z x y z xy xz yz
= + + − + −
;
7*)
2 2 2 2
( ; ; ; ) 2 6 11
q x y z t x y z t
= + + +
2 4 6 10 2 18
xy xz xt yz yt zt
+ − − − − +
.
………………………………….
PHẦN II. PHẦN RIÊNG CHO A-2
Câu 1. Nhận dạng và lập phương trình chính tắc (nếu đường không suy biến) các đường bậc hai cho bởi
phương trình tổng quát sau:
1)
2 2
2 4 8 0
x y xy
− − + =
; 2)
2 2
11 4 24 15 0
x y xy
+ + − =
;
3)
2 2
2 8 0
x y xy x y
+ + + + =
; 4)
2 2
2 4 6 8 25 0
x y xy x y
− − − + − =
;
ThS. Đoàn Vương Nguyên Bài tập thường kỳ Toán cao cấp A2 – C2 Đại học 2011 – 2012
Trang 21
5)
2 2
0
x y xy x y
+ + + + =
; 6)
2
3 4 16 12 36 0
y xy x y
+ + + − =
;
7)
2 2
9 4 12 8 14 3 0
x y xy x y
+ + + + + =
; 8)
2 2
9 6 12 24 15 0
x y xy x y
+ + − + + =
;
9)
2 2
27 3 10 0
x y xy
+ − =
; 10)
2 2
5 8 4 36 0
x y xy
+ − − =
;
11)
2 2
2 4 8 0
x y xy
− − + =
; 12)
2 2
2 8 0
x y xy x y
+ + + + =
;
13)
2 2
5 5 4 9 0
x y xy
+ + − =
; 14)
2 2
18 0
x y xy
+ + − =
;
15)
2 2
11 4 24 15 0
x y xy
+ + − =
; 16)
2 2
9 16 24 20 110 50 0
x y xy x y
+ − − + − =
.
Câu 2. Nhận dạng và lập phương trình chính tắc (nếu mặt không suy biến) của các mặt bậc hai cho bởi
phương trình tổng quát sau:
1)
2 2 2
5 5 5 10 30 20 15 0
x y z x y z
+ + − + − + =
;
2)
2 2 2
5 3 4 2 4 2 4 2 4 0
x y z xy xz yz x y z
+ + + + + − − − − =
;
3)
2 2 2
6 14 4 2 8 2 4 2 1 0
x y z xy xz yz x y z
+ + − + + + − + − =
;
4)
2 2 2
5 4 4 4 8 4 2 4 6 0
x y z xy xz yz x y z
+ + − + − − − − − =
;
5)
2 2 2
4 2 5 0
x y z y z
+ + − + + =
;
6)
2 2 2
3 8 8 8 6 9 0
x y z yz x
+ + − − − =
;
7)
2 2 2
20 3 14 48 0
x y z xz y
− − + − =
;
8)
2 2 2
48 14 96 48 0
x y z xy z
+ + − − + =
;
9)
2 2 2
2 2 3 2 2 16 0
x y z xz yz
+ + − − − =
;
10)
2 2 2
2 2 5 4 2 2 10 2 26 0
x y z xy xz yz x z
+ + − − + + − − =
;
11)
2 2
3 3 4 4 2 4 1 0
y z xy xz yz x
+ + + − + + =
;
12)
2 2 2
11 5 2 16 4 20 2 2 2 1 0
x y z xy xz yz x y z
+ + + + − + + + + =
.
……………………………………………Hết…………………………………………
