Nội dung ôn thi học kì 2 môn toán lớp 11

HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

HTTP://THAYHUY.NET

Giáo viên : LÊ ANH

1


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì limun = 0
Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim

-

1
n

 0 , lim

1

1
 0 , lim 3  0 , lim q n  0 với |q| < 1
n
n

2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limun = + thì lim

-

1
un

0

limun

limvn = L

lim(unvn)



L >0





L<0





L >0





L<0



limun=L
L >0
L>0
L<0
L<0

limvn

Dấu của
vn

0

+

+
-

lim

un
vn






Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:

+) Nếu lim f  x    thì lim
x  x0

lim f ( x)

x x 0

+∞
-∞
+∞

x  x0

lim g ( x)

x x0

1
f  x

0

lim f ( x) lim g ( x) Dấu của
x x 0
g(x)

lim f ( x).g ( x)

x x 0

x x0

+∞
-∞
-∞

L>0
L<0

L>0
0
L<0

+∞

- ∞

+
+
-

lim

x x 0

f ( x)
g ( x)

+∞
-∞
-∞
+∞

 0
; ;   ;0. ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia
 0
tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử
và mẫu với một lượng liên hợp;…
Phương pháp chung:
- Sử dụng kết quả của đlí 2 và các giới hạn cơ bản sau:
1. lim C  C
(C = const)
-

Chú ý khi gặp các dạng vô định:

x  x0

2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x0 thì lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0

1
3. lim n  0
x  x0 x

(với n > 0)

- Khử dạng vô định

0 
; ;  ; 0 x ∞
0 

Ghi chú:
2


HTTP://THAYHUY.NET
* Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x0 thì f(x) = (x-x0).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
1. a  b là a  b
2. a  b là
3

2

2

3. 3 a  b là a  3 a .b  b
Bài toán 1. Tính giới hạn của dãy sô:
Ví dụ: Tìm các giới hạn:
1/ lim 3

8n 2  3n
n2

2/ lim

3

4.

2n 2  3n  1
n 2  2



a b
3

a  b là

3/ lim n  1  n 2  1

Thầy: Lê Anh

2

a  3 a .b  b 2

 3n  4 n  1 
4/ lim 
n
n 
 2.4  2 



Giải:
1/ lim 3

8n 2  3n
3
 lim 3 8   3 8  2
2
n
n





2n

3/ lim n  1  n 2  1  lim

2

2

 lim

n  1 n  1

1

n

1
1
 1 2
n
n

 1 .

n

3
1
  1  
n
n
 3  4 1
1

4
4
4/ lim 
=lim  

n
n 
n
2
 2.4  2 
1
2 
 2

3 1
2  2
2n 2  3n  1
n n  2  2
2/ lim
 lim
2
n 2  2
1
1  2
n

3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức: S 

u1

,| q | 1
1 q

Bài toán 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1
2

Ví dụ: Tính tổng S  1  

1
1
 ...  n  ....
2
2
2

Giải:
1
2

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với q   1 và u1  1 . Vậy: S 

u1
1

2
1  q 1 1
2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:
a ) un 
e ) un 

 1

n

2

2n  1

 1

b) un 

n

n 1

sin 2n
n 1
n

f ) un 

2
3 1

g ) un 

n

3
Bài 2: Tính các giới hạn sau:
2n3  5n  3
(1  2 n)(2  3n)
1) Lim 2
2) lim
n  3n3
(4n  5) 2
5) lim(n – 2n3)
8) lim

(1  n) 3 (3  2n )
(3n 2  1) 2

n  cos 3n
n2  n

c ) un 

 1

n

n 1

3

3) lim



d ) un 

1
5n1

n n 1

h) un  n  1  n

n 3  2n
1  3n 2

4) lim

n 2  3n 3
2n 3  5n  2

2n 3  4n 2  3n  3
n 3  5n  7
n
4  5n
10) lim n
2  3.5n

6) lim ( n  1  n )

7) lim

9) lim( 3n  1  2n  1)

Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
2n  3n3  1
n3  3n  2
a) lim
b) lim
n3  n2
2n 2  1

cos n

3n  2
c) lim 3
n  2n  1

3

d ) lim

1  2n  3n5
(n  2)3 (5n  1) 2


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

3n  2.5n
3n  4n  1
g
)
lim
3.5n  4n
2.4n  2n
1
1
1
1
i) lim un với un 


 ... 
1.2 2.3 3.4
n  n  1
4n 2  n  1
1  2n

e) lim

f ) lim

ĐS: a) -3 b) + c) 0 d) -3/25

e) -1

f) -2/3 g) -1/2

4n 2  1  9 n 2  2
2n

h) lim

h) 1

i) 1

Bài 4 : Tính các giới hạn sau:

a) lim(3n 2  n  1)



e) lim 2.3n  5.4n
i) lim





3n 2  6n  1  7n
b) - 

ĐS: a) +



c) +





b) lim(2n4  n2  n  3)

c) lim 3n 2  n sin 2n d ) lim 3n2  n  1

f ) lim 3n 2  1  2n

 n  n  n
l ) lim  n  3n  n  m) lim  n  n  n 

k ) lim n
d) +



n 1  n

e) - 

g ) lim n 2  1  n



2

f) - 

g) 0

2

h) lim

3

h) + i) -

3

2

k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3

Bài 5: Tính tổng
n

1
1
 1
1/ S  1   2  ...  n 1  ...
10 10
10
3/

 1
1 1 1

,  , ,...,
3 9 27
3n

2/ S = 1 

2
2
2

 ... 
 ...
2
100 100
100 n

n 1

,...

Bài 6: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:
n1

1 1 1
 1
a) 1,  , ,  ,...,    ,...
2 4 8
 2
ĐS: a) 2/3
b) 3/2

Bài 7: Tính các giới hạn sau:
1, lim

x 2



1 1 1
1
b) 1, , , ,...,  
3 9 27
 3

x 1
x 3 x  2
x2  2 x  3
6, lim 2
x 1 2 x  x  1



x2  5  1

2, lim

5, lim ( x 3  x 2  x  1)
x 

x2  x  4 x2  1
2x  3

1 1

10, lim 
 1
x0 x  x  1

x3
12, lim x 2  x  x 2  1
13, lim 2
x 1 x  2 x  3
x 
3
( x  3)  27
x22
15, lim
16, lim
x 2
x 0
x
x  7 3

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):

3
3
 x  5x  1
3 x  2
a) lim 3
b) lim

x  2 x  3 x 2  1
x  2 x  1
9, lim

x 





x5  2 x3  4 x
5x2  1
e
)
lim
x 1  3 x 2  2 x 3
x  2 x 3  3 x 2  1
ĐS: a) -1/2
b) - c) -  d) - e) 0 f) -1/5
d) lim

n1

,...

3, lim
x 3

7, lim

1 x
( x  4)2
2 x3  3 x  4
8, lim
x   x 3  x 2  1

2x 1
x3
2 x

x 2

4, lim
x 4

x7 3

11, lim ( 4 x 2  x  2 x )
x 

2 x3  5 x 2  2 x  3
x 3 4 x 3  13 x 2  4 x  3
2 x 3
17, lim 2
x 7
x  49

14, lim

5x 3  x 2  1

x 
3x 2  x

c) lim
f) lim

x

x 2  2 x  4x2  1
2  5x

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):
a) lim (2 x3  x 2  3x  1)
x 

b) lim ( x 4  x3  5 x  3)
x 

4

c) lim

x 

4x2  x  2


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

x 2  3x  2

d) lim

x 

e) lim

x



3x 2  x  2 x



f) lim

x



ĐS: a) + b) -  c) +  d) + e) -  f) + 
Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
2 x x
x 1
1 x
2x 1
2 x  1

a) lim
b) lim
c) lim
d) lim
e) lim 2
2
x 4
x3 x  3
x3 x  3
x2
x0 x  x
x2
 x  4
c) + 

2 x2  x  x

f) lim
x1

3x  1
x 1

e) 1
f) + 
0
Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):
0
2
2

x 9
x  3x  2
x3
x3  1
x2  2x  3
a/ lim
b/ lim
c) lim 2
d) lim 2
e) lim 2
x3 x  3
x 1
x 1 x  1
x 1 2 x  x  1
x 3 x  2 x  3
x 1
2
2 x
x 9
2x 1  3
x  2 1
x 2  3x  2
f) lim
g) lim
h) lim
i) lim
k) lim
x 2
x3
x 4

x 1
x 2
x 7 3
x 1  2
x 2
x5 2
2 x
ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6
g) 24
h) 4/3 i) 2 k) 0
ĐS: a) -  b) - 

d) + 



Bài 12: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ):
2x  3
2x  1
a) lim  x  1
b) lim x 2  9.
c/ lim x3  8
2
x 1
x3
x 2
x 1
x 3
ĐS: a) -1 b) 0 c) +
d) 0





x
2  x2

Bài 13: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng  - ):
a) lim

x



x2  1  x

d) lim

x

ĐS: a) 0



b) 1



b) lim

x



x2  x  x 2  1
c) 1/4

x 2  2 x  x2  1



c) lim

x



4x2  x  2 x





d) 1/2

Bài 14: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng lim
x 0

sin 3 x

sin x sin 2 x
1  cos 2 x
b) lim
c)
lim
x 0
x 0
x 0
x
3x 2
x sin x
ĐS: a) 3 b) 2/3
c) 1
d) n!
a) lim

4/ Xét tính liên tục của hàm số
* Xét tính liên tục của hàm số tại điểm:
khi x  x0
 f ( x)
– Dạng I: Cho h/s f ( x)   1
khi x  x0
 f 2 ( x)

sin x
1)
x
sin x.sin 2 x....sin nx
d) lim
x 0

xn

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?

Phương pháp chung:
B1: Tìm TXĐ: D = R
B2: Tính f(x0); lim f ( x)
x x0

B3: lim f ( x) = f(x0)  KL liên tục tại x0
x x 0

khi x  x0
 f ( x)
– Dạng II: Cho h/s f ( x)   1
Xét tính liên tục của h/s tại điểm x0 ?
khi x  x0
 f 2 ( x)
* Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp chung:
B1: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn
B2: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B3: Kết luận
5


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

* Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên  a; b  :
B1: Tính f(a), f(b)  f(a).f(b) < 0
B2: Kết luận về số nghiệm của PT trên  a; b 
Ví dụ:CMR phương trình x 7  3x5  2  0 có ít nhất một nghiệm
Xét hàm số f  x   x 7  3 x5  2 liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]

f  0   2  0 
  f  0  . f 1  0
f 1  2  0 
Nên phương trình f  x   0 có ít nhất một nghiệm x0   0;1 , vậy bài toán được chứng
Và

minh.

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
 x2  4
voi x  2

1, f ( x)   x  2
tại x = -2
4
voi x  2

2
voi x  0
x
3, f ( x)  
1 x voi x  0

tai x = 0

2  x 1

nÕu x  3
2, f(x) =  3  x
4
nÕu x  3

2 x  1 , x  1
4, f ( x)   2
tại x = 1
,x 1
 x

Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
 x2  2
 1 x
voi x  2


1, f ( x)   x  2
2, g(x)  ( x  2)2
3
2 2
voi x  2


1 


3, f ( x)  



1 x , x  0
x
1
,x  0
2

2 x
Bài 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
2

x
1, f ( x)  
2ax  3

voi x  1
voi x  1

voi

x2

6, f  x   x  3  1

 x2  4 x  3


b) f ( x)   x  3

5

 2  x 1

d) f ( x)   3  x

3


2

khi x  1

x2

 x2  x  2
khi x  1

f  x    x 1
2,

a
khi x = -1


Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
 x2  4
khi x  -2


a) f (x)   x  2
tại x0 = -2
 4
khi x  -2


 2 x  3x  5

c) f ( x)  
x 1

7


voi

 x2  x  2
khi x > 2

4, f  x    x  2
 5 x
khi x  2


1

5, f  x  

tại x = 3

tại x0 = 1

khi x  1

6

khi x<3

tại x0 = 3

khi x  3
khi x  3
khi x  3

tại x0 = 3


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

2

 x 2
 x2
khi x  2
khi x  2



e/ f ( x)   x  2
tại x0 = 2
f) f ( x)   x  1  1
2 2
 3x  4
khi x  2
khi x  2


ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục

Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
 1 x
 x 2  3x  2
khi x  2
2


a) f ( x)   x  2
b) f ( x)    x  2 

 3
1
khi x  2


khi x  2
khi x  2

ĐS: a) hsliên tục trên R ;

c) hsliên tục trên R ;

khi x  2
khi x  2

x
khi x  0


2
d) f  x   
x
khi 0  x  1
 2
 x  2 x  1 khi x  1

2

x  x2

c) f  x    x  2
 5 x


tại x0 = 2

b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x = 2.
d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1.

Bài 6: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.

 x2  x  2
 x2
khi x  1
khi x  1

a) f  x    x  1
với x0 = -1
b) f (x)  
với x0 = 1
2ax  3 khi x  1


a
khi x  1

 x7 3
3x2 1 khi x  1

khi x  2
c) f ( x)   x  2
với x0 = 2
d) f (x)  
với x0 = 1
2a 1 khi x  1

 a 1
khi x  2

ĐS: a) a = -3 b) a = 2
c) a = 7/6

d) a = 1/2
Bài 7:
a) CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: 2 x3  10 x  7  0
b) CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x 3  1000 x  0,1  0
c) CMR: Phương trình x4-3x2 + 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
d) Chứng minh phương trình x 2 sin x  x cos x  1  0 có ít nhất một nghiệm x0   0;   .
3

e) Chứng minh phương trình m  x  1  x  2   2 x  3  0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài 8:
a) x 4  5 x  2  0 có ít nhất một nghiệm.
b) x 5  3x  7  0 có ít nhất một nghiệm.
c) 2 x3  3x 2  5  0 có ít nhất một nghiệm
d) 2 x3  10 x  7  0 có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g) x 3  3x 2  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
3



  x  1  x  x  3  0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.
i) m  x  1  x  4   x  3  0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
h) 1  m2

3

2

2

4

7


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Các công thức tính đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản



C  =0

(C lµ h»ng sè)
(kx)’=k (k lµ h»ng
sè )

x  =1

x  =n.x
n

n-1



1
1
   2
x
x
1
( x ) =
2 x
/
sin x   cos x

cos x /

(n  N, n  2)

U  =n.U

(x  0)


U
1
   2
U
U
 

n



n-1

.U 

(U  0)

 U   2UU

(x>0)

(U  0)

sin U /  cosU .U /
cosU /   sin U .U /

  sin x

1
 1  tg 2 x
2
cos x
cot gx /   12   1  cot g 2 x
sin x

tgx /

Đạo hàm của hàm số hợp

1

U/
2
cos U
cot gU /   12 U /
sin U

.tgU  
/







- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).


U  V

 U  V 


 U  U.V  U.V
  
V2
V



 UV 

(k.U)  k.U

 U V  UV

(k là hằng số)


1
1
 V    V2
 

- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g ' x = f ' u . U x
- Đạo hàm cấp cao của hàm số
Đạo hàm cấp 2 :
f "(x) =  f(x)' '
Đạo hàm cấp n : f n (x) =  f(x)n-1  '
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x0) (x – x 0) + f(x0)
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm: df ( x0 )  f '( x0 ).x
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x
- Vi phân của hàm số: df ( x)  f '( x)dx hay dy  y ' dx

BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) y  x 3

b) y  3x 2  1

c) y  x  1

d) y 

Bài 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
1
a) y = x2 + x ; x0 = 2
b) y = ; x0 = 2
x
8

c) y =

1
x 1

x 1
; x0 = 0
x 1

d) y =

x - x; x0 = 2


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

e) y = x3 - x + 2; x0 = -1

f) y =

2x 1
; x0 = 3
x 1

h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x0 =

π
3

i) Cho f ( x)  3 x  1 , tính f ’’(1)

g) y = x.sinx; x0 =

π
3

k) Cho y = x cos2x . Tính f”(x)

 

 ;f ''  0 f ''  
 2
 18 

6

m) Cho f  x    x  10  . TÝnhf ''  2 

l) f  x   sin 3x . Tính f ''  

Bài 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1. y  x 3  2 x  1
5. y  5 x 2 ( 3x  1)

x
3
2
6. y  ( x 2  5) 3

2. y  2 x 5 

9. y  ( x  1)( x  2) 2 ( x  3) 3
5x  3
x  x 1
x 2  2x  3
16. y 
2x  1

12. y 

2

2
x2

7. y  ( x 2  1)(5  3 x 2 )

10. y 

13. y  x 2  6 x  7
17. y 

2x
2
x 1

11. y 

3x  2
x x2

18) y =

2 3
3 2

21) y  (a  b )

22) y  x 2 3 x 2

24) y  (x 7  x)2

25) y  x 2  3x  2

26) y 

30/ y=

1 x

15. y  ( x  1) x 2  x  1

x2

23) y 

1 x
1 x

29/ y=

x x

(x  2)2
(x  1)3 (x  3)4

27) y 

31/ y= (2x+3)10

1 x

2 x 2  6x  5
2x  4

19) y  a  b
3
3

2

20) y  3 a  bx 3

28/ y= x 1  x 2

8. y  x (2 x  1)(3 x  2)

14. y  x  1  x  2

3x 2  2 x  1
2x  3
2
3

4. y  ( x 3  2)( x  1)

3. y  10 x 4 

1
x x
x (x2- x +1)

32/ y= (x2+3x-2)20
Bài 4: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1) y  3 sin 2 x. sin 3 x

2) y  (1  cot x ) 2

sin x  cos x
sin x  cos x
x
10) y ­ 1  cos 2
2


7) y  cot 3 (2x  )
4
1
11) y 
(1  sin 2 2 x ) 2

14) y= 5sinx-3cosx
18) y  sin 2 (cos3x)

6) y 

3) y  cos x. sin 2 x
8) y  2  tan2 x
12) y = sin 4   3x

13) y = cos ( x3 )

15) y = x.cotx

16) y  cot 3 1  x 2

17) y= sin(sinx)

19) y  x sin x

20) y  sin x  x

1  tan x

y  1  2 tan x
Bài 5: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
ax  b
ax 2  bx  c
y
y
cx  d
dx  e

Áp dung:

y

1  sin x
x
5) y  sin 4
2  sin x
2
cos x 4
9) y  
 cot x

3sin3 x 3

4) y ­

3x  4
 2x  1

y

x

y

Bài 6: Cho hai hàm số : f ( x)  sin 4 x  cos 4 x và g ( x) 

9

x 1
22)
2

ax 2  bx  c
mx 2  nx  p

 x2  x  2
2x  1

Bài 7: Cho y  x 3  3 x 2  2 . Tìm x để: a) y’ > 0
x  0
ĐS: a) 

b) 1  2  x  1  2
x  2

sin x

21) y  tan

y

x 2  3x  4
2x 2  x  3

1
cos 4 x Chứng minh rằng: f '(x)  g '(x)
4
b) y’ < 3

(x ) .


HTTP://THAYHUY.NET
Thầy: Lê Anh
Bài 8: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.
b) f(x) = 3 sin x  cos x  x
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x
d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1
Bài 9: Cho hàm số f(x)  1  x. Tính : f(3)  (x  3)f '(3)
Bài 10:
a) y 

x3
;
x4

2y '2  (y  1)y "

c) Cho hàm số y =

b) y  2x  x 2 ;

sin 3 x  cos 3 x
; y’' = - y
1  sin x. cos x

d) Cho y =

y 3 y" 1  0

x3
; 2(y’)2 =(y -1)y’’
x4

cos 2 x


f)Chof(x)=
; f ( )  3f ' ( )  3
2
1  sin x

4
4

1
e) Cho y =  cot g 3 x  cot gx  x  3  7 ; y’ = cotg4x
3

g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0
x2  2x  2
h) Cho hàm số: y 
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
2
i) Cho hàm số y = cos22x.
a) Tính y”, y”’.
b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.
Bài 11: Chứng minh rằng f '( x)  0 x   , biết:
2
a/ f ( x)  x9  x6  2 x3  3 x 2  6 x  1
b/ f ( x)  2 x  sin x
3
x2  x
Bài 12: Cho hàm số y 
(C)
x2
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.

Bài 14: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y  x3  5 x 2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
1
c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – 4.
7
Bài 15: Cho đường cong (C): y 

x2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x2

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng

1
3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4
Bài 16: Tính vi phân các hàm số sau:
x
a) y  x 3  2 x  1
b) y  sin 4
2

c) y  x 2  6 x  7

Bài 17: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x 1
2x 1

1) y 
2) y  2
x2
x  x2

3) y 
10

x
x 1
2

d) y  cos x. sin 2 x

e) y  (1  cot x ) 2

4) y  x x 2  1


HTTP://THAYHUY.NET
2

5) y  x sin x
ĐS: 1) y '' 

Thầy: Lê Anh
2

6) y  (1  x ) cos x

6

 x  2

3

2) y '' 

5) y ''   2  x 2  sin x  4 x cos x

7) y = x.cos2x

4 x3  10 x 2  30 x  14

x

2

 x2



3

3) y '' 

6) y ''  4 x sin x  ( x 2  3) cos x

8) y = sin5x.cos2x



2 x x2  3

x

2

3



1



4) y '' 

2 x3  3 x

x

2



1

x2  1

7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 18: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:

a) y 

1
x 1

ĐS: a) y  n    1

11

n

b) y = sinx

n!

 x  1

n 1



n
b) y    sin  x  n 
2


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh
B. HÌNH HỌC

I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
0
 Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 90 .

 
 Phương pháp 2: a  b  u.v  0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
 Phương pháp 3: Chứng minh a  ( )  b hoặc b  (  )  a
 Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a  b  a  b ' với b’ là hình chiếu của đt b
lên mp chứa đt a).
 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
 Phương pháp 1: Chứng minh: d  a và d  b với a  b = M; a,b  (P)
 Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a  (P)
 Phương pháp 3: Chứng minh: d  (Q)  (P), d  a = (P)  (Q).
 Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q)  (R) và (Q) (P), (R)  (P).
 Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
 Phương pháp 1: Chứng minh (P)  a  (Q).
 Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R)  (Q).
 Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a  (Q).
 Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
 Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
 Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).

 Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là 
+) Nếu d  (P) thì  = 900.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó:  = (d,d’)
 Dạng 6: Tính góc  giữa hai mp (P) và (Q).
 Phương pháp 1:
- Xác định a  (P), b  (Q).
- Tính góc  = (a,b)
 Phương pháp 2: Nếu (P)  (Q) = d
- Tìm (R)  d
- Xác định a = (R)  (P)
- Xác định b = (R)  (Q)
- Tính góc  = (a,b).
 Dạng 7: Tính khoảng cách.
 Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: d ( M , a )  MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).
 Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
 Tính khoảng giữa đt  và mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ).
 Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a  b :
12


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

- Dựng (P)  a và (P)  b

- Xác định A = (P)  b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P)  a và (P) // b.
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’  a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 2:
- Dựng đt (P)  a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
- Kẻ IK  b’ tại K.
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.

II. BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC).
a) Chứng minh: BC  (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC.
Bài 2:
a)
b)
c)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA  (ABCD). Chứng minh rằng:
BC  (SAB).
SD  DC.
SC  BD.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC  AD.
b) Gọi AH là đường cao của ADI. Chứng minh: AH  (BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2 .
a) Chứng minh SO  (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB  CD, BC  AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh:
a) H là trực tâm BCD.
b) AC  BD.
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau
từng đôi một.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3 , SA 
(ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).

13


HTTP://THAYHUY.NET
Thầy: Lê Anh
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA  (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình
chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC).
b) Chứng minh SC  (AHK).
c) Chứng minh HK  (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA  (ABC).
Gọi I là trung điểm BC.

a) Chứng minh BC  (SAI).
b) Tính SI.
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC) và SA = a, AC = 2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC)  (SAB).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC.

BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC.
1. CMR: BC  (OAI).
2. CMR: (OAI)  (OHK).
3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC).
ĐS: a / 3
ĐS: cos   6 / 3

5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK).

6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC).
ĐS: tan   2
7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai
đường ấy.
ĐS: a / 2
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA  a 2 .
1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. CMR: mp (SAC)  mp(SBD) .
3. Tính góc  giữa SC và mp (ABCD), góc  giữa SC và mp (SAB).
ĐS: 450, 300

4. Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
ĐS: tan   2
5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).
ĐS: a 6 / 3
6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy.
ĐS: a / 2
7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI.
ĐS: SI  a
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA  SB  SD  a 3 / 2
  60 0 . Gọi H là hình chiếu của S trên AC.
và BAD
1. CMR: BD  (SAC) và SH  (ABCD) .
2. CMR: AD  SB .
3. CMR: (SAC)  (SBD).
4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC.
ĐS: SH  a 15 / 6 và SC = a 7 / 2
5. Tính sin của góc  giữa SD và (SAC), côsin của góc  giữa SC và (SBD).
ĐS: sin   3 / 3 và cos   3 / 14 .
6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD).

ĐS: a 10 / 12

7. Tính góc giữa (SAD) và (ABCD).

ĐS: tan   5
14


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh
8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy.
ĐS: a 3 / 3
ĐS: 3 15a / 20
  450 .
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và ADC
9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI.

Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 .
1. CMR: BC  mp(SAB).
2. CMR: CD  SC .
3. Tính góc  giữa SC và (ABCD), góc  giữa SC và (SAB), góc  giữa SD và (SAC).
ĐS: 450, 300,tan  2/ 2
4. Tính tang của góc  giữa mp(SBC) và mp(ABCD).

ĐS: tan   2

5. Tính khoảng cách giữa SA và BD.

ĐS: 2a / 5

6. Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
ĐS: 2a / 7
7. Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D.
Từ đó tính MS và NS.
ĐS: MS  a , NS  a 6 / 2
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần
lượt là trung điểm của AB và AD.
1. CMR: BD  (ACC' A ') và A’C  (BDC') .

2. CMR: A 'C  AB' .
3. CMR: (BDC’)  (ACC’A’) và (MNC’)  (ACC’A’).
4. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’).
ĐS: a/ 3
5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’).

ĐS: 3a/ 17

6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’).
7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD).

ĐS: tan   2 2 / 3
ĐS: tan   2

8. Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’).

ĐS: cos   7 / 51

9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’.

ĐS: a 3 / 3

15


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

20 ĐỀ THAM KHẢO THI HỌC KÌ II

*******************
ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 1

I. Phần chung :
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
2  x  x2
x 1
x 1

2) lim

1) lim

x  

2 x 4  3 x  12

3) lim
x 3

7x  1
x 3

4) lim

x 3

x 1  2
9  x2

Bài 2.
1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 x 2  5x  6

f ( x)   x  3
2 x  1

khi x  3
khi x  3

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x 3  5 x 2  x  1  0 .
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  x x 2  1
2) Cho hàm số y 

b) y 

3
(2 x  5)2

x 1
.
x 1

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y 

x 2
2

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA =
a 2.
1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.
2) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) .
3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) .
4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) .
II . Phần riêng:
1 . Theo chương trình chuẩn.
Bài 5a. Tính lim

x3  8

x  2

x 2  11x  18

.

1
3

Bài 6a. Cho y  x 3  2 x 2  6 x  8 . Giải bất phương trình y /  0 .
2. Theo chương trình nâng cao.

Bài 5b. Tính lim

x  2x 1

x 1 x 2

.

 12 x  11
2
x  3x  3
Bài 6b. Cho y 
. Giải bất phương trình y /  0 .
x 1

--------------------Hết------------------16


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 2

I . Phần chung :
Bài 1. Tìm các giới hạn sau:
1) lim

x  

x 2  x  1  3x
2x  7

2) lim (2 x 3  5x  1)
x  

3) lim
x 5

2 x  11
5 x

4) lim

x 0

x3  1  1
x2  x

.

Bài 2 .
 x3  1


1) Cho hàm số f(x) = f ( x )   x  1 khi x  1 . Xác định m để hàm số liên tục trên R..
2m  1 khi x  1

2) Chứng minh rằng phương trình: (1  m2 ) x 5  3x  1  0 luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3.
1) Tìm đạo hàm của các hàm số:
a) y 

2  2x  x2

b) y  1  2 tan x .

x2  1

2) Cho hàm số y  x 4  x 2  3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có tung độ bằng 3 .
b) Vuông góc với d: x  2 y  3  0 .
Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung
điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI)  (ABC).
2) Chứng minh rằng: BC  (AOI).
3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI).
4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB .
II . Phần riêng:
1 . Theo chương trình chuẩn .
Bài 5a. Tính lim(

1
2



2
2

n 1 n 1

 .... 

n 1
n2  1

).

Bài 6a. Cho y  sin 2 x  2 cos x . Giải phương trình y / = 0 .
2 . Theo chương trình nâng cao .
Bài 5b. Cho y  2 x  x 2 . Chứng minh rằng: y3 .y / /  1  0 .
Bài 6b . Cho f( x ) = f ( x ) 

64
x

3



60
 3x  16 . Giải phương trình f  ( x )  0 .
x

--------------------Hết-------------------

17


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 3

I. Phần chung :
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
a) lim

2 n3  2 n  3

b) lim

1  4 n3

x 1

x 3 2
x2  1

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
 x 2  3x  2

f ( x)   x  2
3

khi x  2
khi x  2

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  2sin x  cos x  tan x
b) y  sin(3 x  1)

c) y  cos(2 x  1)

d) y  1  2 tan 4 x

BAD  600 và SA = SB = SD =
Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 
a.
a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).
b) Chứng minh tam giác SAC vuông.
c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).

II. Phần riêng
1. Theo chương trình chuẩn
Bài 5a: Cho hàm số y  f ( x )  2 x 3  6 x  1 (1)
a) Tính f '(5) .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm Mo(0; 1)

c) Chứng minh phương trình f ( x )  0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).
2. Theo chương trình Nâng cao

sin 3x
cos3x 
 cos x  3  sin x 
.
3

3 
Giải phương trình f '( x )  0 .

Bài 5b: Cho f ( x ) 

Bài 6b: Cho hàm số f ( x )  2 x 3  2 x  3 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:
y  22 x  2011

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng :
1
y   x  2011
4

--------------------Hết-------------------

18


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 4

ĐỀ THI HỌC KÌ
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

I. Phần chung :
Câu 1: Tìm các giới hạn sau:
3x 2  4 x  1
x 1
x 1

a) lim

x2  9
x 3 x  3

b) lim

 x2  x  2

Câu 2: Cho hàm số f ( x )   x  2
 m


c) lim

x 2

x 2 x  7  3

khi x  2

d)

lim
x 

x 2  2  3x
2x  1

.

khi x  2

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3
b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?
Câu 3: Chứng minh rằng phương trình x 5  3x 4  5 x  2  0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong
khoảng (–2; 5)
Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

3

b) y  ( x  1)( x  2)

c) y 

1

2

d) y  x  2 x

( x 2  1)2

 2 x2  1 
e) y  

 x2  3 



4

II. Phần riêng
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2 , I là trung điểm cạnh AC, AM là
đường cao của SAB. Trên đường thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho
IS = a.
a) Chứng minh AC  SB, SB  (AMC).
b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).
c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Gọi O là tâm của
đáy ABCD.

a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD), (SBD)  (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).
c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và
SC.
--------------------Hết-------------------

19


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 5

I. Phần chung :
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x 



x2  5  x



b) lim

x 3

x 3
x2  9

 2x 1
1
khi x  
 2
2
Câu 2 (1 điểm): Cho hàm số f ( x )   2 x  3x  1
1
A
khi x  

2
1
Xét tính liên tục của hàm số tại x  
2

Câu 3 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]:
x 3  5x  3  0 .
Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  ( x  1)(2 x  3)

b) y  1  cos2

x
2

Câu 5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, 
BAD  600 ,
đường cao SO = a.
a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC. Chứng minh rằng: BC  (SOK)
b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.
II. Phần riêng
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y  2 x 3  7 x  1 (C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.
Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA  (ABC),
SA= a. M là một điểm trên cạnh AB, 
ACM   , hạ SH  CM.
a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.
b) Hạ AK  SH. Tính SK và AH theo a và  .
2. Theo chương trình nâng cao
Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P): y  1  x 

x2
x2 x 3
và (C): y  1  x   .
2
2
6

a) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm.
Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB
a 5
. Gọi I và J lần lượt là trung điểm BC và AD.
2
a) Chứng minh rằng: SO  (ABCD).
b) Chứng minh rằng: (SIJ)  (ABCD). Xác định góc giữa (SIJ) và (SBC).

= SC = SD =

c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC).
--------------------Hết------------------20


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 6

I. Phần chung :
Bài 1:

1) Tìm các giới hạn sau:
1
 x 5  7 x 3  11
x 1  2
a) lim 3
b) lim
x 5
x  3 5
x 5
x  x4  2
4
x4 5
2) Cho hàm số : f ( x )   x 3  2 x  1 . Tính f (1) .
2 3

c) lim

4  x2

x 2 2( x 2

 5 x  6)

Bài 2:
 2
1) Cho hàm số f ( x )   x  x
ax  1

2) Cho hàm số f ( x ) 

khi x  1 . Hãy tìm a để f ( x ) liên tục tại x = 1
khi x  1

x2  2x  3
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
x 1

f ( x ) tại

điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD =
a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là trung
điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
II. Phần riêng
A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính các giới hạn sau:
1) lim

x 

9x 2  1  4 x
3  2x

2)

lim
x 2

x


x 2  5x  6

Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6 x 3  3x 2  6 x  2  0 .
2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình chóp.
B. Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:

lim

x 



x 1  x 

Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:
(m2  2m  2) x 3  3 x  3  0
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA
= a 3 . Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và hình
chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó.

--------------------Hết------------------21

HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 7

I. Phần chung :
Câu 1: Tính các giới hạn sau:
a) lim

x 3

( x  1)3  1
x 0
x

x 3

b) lim

x2  2x  3

c) lim

x 2

x2  5  3
x 2

Câu 2:
a) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x 3  10 x  7  0
x 3


, x  1

2

, x  1

b) Xét tính liên tục của hàm số f ( x )   x  1

trên tập xác định .

Câu 3:
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số y  x 3 tại điểm có hoành độ x0  1 .
b) Tính đạo hàm của các hàm số sau: y  x 1  x 2
 y  (2  x 2 ) cos x  2 x sin x
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B . AB =
BC = a, 
ADC  450 , SA  a 2 .
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
b) Tính góc giữa (SBC) và (ABCD).
c) Tính khoảng cách giữa AD và SC.

II. Phần riêng
1. Theo chương trình chuẩn
1



Câu 5a: a) Tính lim 

2



1 

x 2

 x 4
8
b) Cho hàm số f ( x )  . Chứng minh: f (2)  f (2)
x
Câu 6a: Cho y  x 3  3 x 2  2 . Giải bất phương trình: y  3 .
     
Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB  a , AD  b , AE  c . Gọi I là trung điểm của đoạn BG.

  
Hãy biểu thị vectơ AI qua ba vectơ a , b , c .
x 2

2. Theo chương trình nâng cao
Câu 5b: a) Tính gần đúng giá trị của

4,04

b) Tính vi phân của hàm số y  x.cot 2 x
Câu 6b: Tính

lim

x 3

x 2  3x  1
x 3

Câu 7b 3: Cho tứ diện đều cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện .

--------------------Hết-------------------

22


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 8

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11

Thời gian làm bài 90 phút

I. Phần chung :
Câu 1:
1) Tính các giới hạn sau:
a) xlim


1  2x
2
x  2x  3

b) lim
x2

x3  3x2  9x  2
x3  x  6

c) lim  x 2  x  3  x 
x 

2) Chứng minh phương trình x 3  3 x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt .
Câu 2:
1) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2

x2  2x



a) y    3x   x  1
b) y  x  sin x
c) y 
x 1
x

2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y  tan x
3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  ( ABCD ) và SA  a 6 .
1) Chứng minh : BD  SC , (SBD )  (SAC ) .
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
3) Tính góc giữa SC và (ABCD)
II. Phần riêng
1. Theo chương trình chuẩn
Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x 

1
x

tại giao điểm của nó với trục

hoành .
60 64

 5 . Giải phương trình f ( x )  0 .
x x3
 
Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a . Tính AB.EG .

Câu 5a: Cho hàm số f ( x )  3 x 

2. Theo chương trình nâng cao
Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số y  sin 2 x.cos2 x .
Câu 5b: Cho y 

x3 x 2

 2 x . Với giá trị nào của x thì y ( x )  2 .
3
2

Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Xác định đường vuông góc chung
và tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD và BC.

--------------------Hết-------------------

23


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 9

I. Phần chung : (7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a) lim

x 2

x 2  3x  2

b) lim

3

x 

x  2x  4



x2  2x  1  x



Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  1 :
 2 x 2  3x  1

f ( x)   2 x  2
2

khi x  1

khi x  1

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y  ( x 3  2)( x  1)
b) y  3sin2 x.sin 3 x
Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với
đáy.
a) Chứng minh tam giác SBC vuông.
b) Gọi H là chân đường cao vẽ từ B của tam giác ABC. Chứng minh (SAC)  (SBH).
c) Cho AB = a, BC = 2a. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:
(9  5m ) x 5  (m 2  1) x 4  1  0

Câu 6a: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x )  4 x 2  x 4 có đồ thị (C).
a) Giải phương trình: f ( x )  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 1.
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức 2a  3b  6c  0 . Chứng minh rằng phương
trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1):
ax 2  bx  c  0

Câu 6b: (2,0 điểm) Cho hàm số y  f ( x )  4 x 2  x 4 có đồ thị (C).
a) Giải bất phương trình:
f ( x )  0 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.

--------------------Hết-------------------

24


HTTP://THAYHUY.NET

Thầy: Lê Anh

ĐỀ THI HỌC KÌ 2
Môn TOÁN
Lớp 11
Thời gian làm bài 90 phút

ĐỀ THAM KHẢO
Đề số 10

I. Phần chung :(7,0 điểm)
Câu 1: (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
( x  2)3  8
x 0
x

a) lim

b) lim

x 



x 1  x 

Câu 2: (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm x0  1 :
 3x ²  2 x  1

f ( x)  
x 1
2 x  3

khi x  1
khi x  1

Câu 3: (1,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y 

x 1
2x 1

b) y 

x2  x  2
2x 1

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA  (ABC),
SA = a 3 .
a) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: BC  (SAM).
b) Tính góc giữa các mặt phẳng (SBC) và (ABC).
c) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
II. Phần riêng
1. Theo chương trình Chuẩn
Câu 5a: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: 2 x 4  4 x 2  x  3  0 có ít nhất hai nghiệm thuộc –

1; 1.
Câu 6a: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y 

x 3
. Tính y .
x4

b) Cho hàm số y  x 3  3 x 2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm I(1; –
2).
2. Theo chương trình Nâng cao
Câu 5b: (1,0 điểm) Chứng minh phương trình: x 3  3 x  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 6b: (2,0 điểm)
a) Cho hàm số y  x. cos x . Chứng minh rằng:

2(cos x  y )  x ( y  y )  0 .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y  f ( x )  2 x 3  3x  1 tại giao điểm
của (C) với trục tung.
--------------------Hết------------------25