Skkn một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

MỤC LỤC
I. Phần mở đầu.

2

1. Lí do chọn đề tài

2

2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

2

3. Đối tượng nghiên cứu

2

4. Giới hạn phạm vi nghiên cứu

2

5. Phương pháp nghiên cứu

2

II. Phần nội dung

3

1. Cơ sở lí luận

3

2. Thực trạng

3

3. Giải Pháp, biện pháp.

18

4. Kết quả

19

III. Phần kết luận, kiến nghị

19

1. Kết luận.

19

2. Kiến nghị
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

19
21

1


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

ĐỀ TÀI: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TOÁN CỰC TRỊ (PHẦN ĐẠI SỐ)
I. PHẦN MỞ ĐẦU:
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Mơn tốn là mơn khoa học tự nhiên, đây là mơn học khó dạy, khó học,
mà tốn cực trị là một dạng bài tập khó mà học sinh khi gặp thường e ngại, hay
bỏ bài tập dạng này. Vì thế tơi viết đề tài này nhằm giúp học sinh hệ thống
kiến thức và phương pháp giải bài toán cực trị, giúp cho học sinh biết phân loại
và vận dụng phương pháp giải bài tốn cực trị một cách nhanh chóng và có
hiệu quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng
tạo trong học tập.
2. MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Trong quá trình giảng dạy, đặc biệt trong q trình bồi dưỡng học sinh
giỏi tốn 9 và luyện cho học sinh thi vào lớp 10. Tôi nhận thấy cần phải viết đề
tài phương pháp giải bài tốn cực trị trong đại số.
Thơng qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương
pháp giải tốn, những kinh nghiệm cụ thể trong q trình tìm tịi lời giải giúp
học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả
năng sáng tạo cho học sinh.

Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu
đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể giải được nhiều
dạng tốn cực trị, giúp học sinh có những kiến thức tốn học phong phú để học
tốt mơn tốn và các mơn khoa học khác.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Các dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (phần đại số).
4. GIỚI HẠN PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
- Khn khổ nghiên cứu:Các dạng tốn và phương pháp giải tốn cực trị
(phần đại số) chương trình THCS.
-Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp 7; 8; 9 trường THCS Lê Qúy Đôn.
-Thời gian: năm học 2013-2014; 2014-2015.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Trao đổi với đồng nghiệp về phương pháp giải toán cực trị.
- Nghiên cứu và trao đổi với học sinh giỏi toán khối 7; 8; 9.
- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của học sinh.

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

2


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

II. PHẦN NỘI DUNG
1.CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Làm cho học sinh hiểu được giá trị lớn nhất của một biểu thức ( GTLN hay
Max ), và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (GTNN hay Min). Những bài toán như
vậy gọi là bài toán cực trị. Trong hình học hay trong đại số đều có những dạng

tốn cực trị. Vì nội dung về bài tốn cực trị vô cùng phong phú và đa dạng nên
trong đề tài này tơi chỉ đề cập đến dạng tốn cực trị (phần đại số).
2. THỰC TRẠNG :
2.1. Thuận lợi -khó khăn:
-Thuận lợi: Toán cực trị rất đa dạng và phong phú ngay từ khi học lớp 6;7
đã có các bài tập dạng này, lên lớp 8; 9 bài tập về cực trị lại mở rộng hơn làm
cho học sinh càng hứng thú khi giải bài tập. Do đó tơi khá tâm đắc với đề tài .
-Khó khăn: Bài tốn cực trị là bài tập khó, loại bài tập này rất đa dạng và
phong phú. Đây là loại bài tập đòi hỏi khả năng tư duy sáng tạo cao. Do đó học
sinh thường lúng túng chưa biết giải như thế nào. Trong sách giáo khoa hay sách
bài tập cũng ít đề cập đến dạng bài bài tập về cực trị...
2.2. Thành cơng - hạn chế :
-Thành cơng: Khi chưa có đề tài này học sinh rất khó khăn khi giải dạng
tốn cực trị, sau khi tham khảo đề tài các em đã vận dụng giải toán cực trị tốt
hơn rất nhiều. Đó chính là sự thành cơng mà đề tài mang lại.
-Hạn chế: Đề tài tôi chỉ bồi dưỡng học sinh giỏi chưa dạy đại trà cho học
sinh yếu kém.
2.3 Mặt mạnh - mặt yếu:
-Mặt mạnh: Đề tài tôi sắp xếp từ các dạng bài tập từ dể đến khó,từ đơn
giản đến phức tạp, từ lớp dưới đến lớp trên một cách khoa học, giúp người đọc
dễ hiểu.
-Mặt yếu: Dùng từ trong đề tài hơi khô khan,hơn nữa vốn tin học của tơi
cịn hạn chế nên viết đề tài khá lâu.
2.4 Các nguyên nhân,các yếu tố .
Với loại bài tập tìm GTNN ,GTLN tuy khó song một khi đã giải được học
sinh thích thú, tích cực xây dựng bài học giải được nhiều bài tập hơn, từng bước
giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi tốt hơn.
-Giúp học sinh phát triển tư duy toán học,tạo điều kiện thuận lợi cho việc
học tốt mơn tốn cũng như các mơn học khác.
-Ngồi ra khi giải các dạng bài tập về cực trị học sinh dễ mắc sai lầm khi

giải. Do đó tơi thấy sự cần thiết viết đề tài này.
2.5 Phân tích ,đánh giá các vấn đề:

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

3


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Qua đề tài này để giúp học sinh tìm ra được cách giải và có lời giải hồn
hảo về dạng tốn cực trị. Học sinh giải các dạng tốn từ dễ đến khó vì thế tơi sắp
xếp cách giải các dạng tốn từ lớp 7, lớp 8 sau đó đến lớp 9.
Trứớc hết ta cần hiểu rõ tốn cực trị là gì ? Ta hiểu khái niệm là:
Cho biểu thức P( x); P( x; y;...) ta nói m là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức
P( x); P( x; y;...) được kí hiệu maxP=m . Nếu thõa mãn hai điều kiện sau:
+ Với mọi x hay x; y để P( x); P( x; y...) được xác định thì
P( x) ≤ m; P( x; y;...) ≤ m

(m là hằng số)

(1)

+ Tồn tại ( xο );( xο ; yο ; ...) sao cho P( x) = m; P( x; y;...) = m

(2)

2. Cho biểu thức Q( x); Q( x; y;...) ta nói n là giá trị nhỏ nhất (GTNN)

của biểu thức Q( x); Q( x; y;...) được kí hiệu minQ=n . Nếu thõa mãn hai điều
kiện sau :
+ Với mọi x hay x; y để Q( x); Q( x; y;...) được xác định thì
Q( x) ≥ n; Q( x; y;...) ≥ n ( n là hằng số )

(3)1.

+ Tồn tại ( xο );( xο ; yο ; ...) sao cho Q( x) = n; Q( x; y;...) = n

(4)

Lưu ý : Trong tiếng latinh : Minimus (min) là nhỏ nhất
Maximus (Max) là lớn nhất.
Nội dung của đề tài chia ra 5 phần chính như sau :
Phần 1. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 7.
Dạng 1. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CHỨA MỘT DẤU GIÁ
TRỊ TUYỆT ĐỐI
Giáo viên cho học sinh nắm vững về khái niệm giá trị tuyệt đối.
x khi x ≥0

{-x khi x<0

Ta có : x =

Và lưu ý : x ≥ 0, x = − x
Thường thì nhữngbài tốn dạng này đầu đề bài thường cho giá trị m, n là
hằng số không đổi. Nên học sinh rất dễ tìm ra kết quả của bài tốn cực trị.
Ở lớp 7 các em làm quen dần với dạng toán cực trị, để sau này các em lên
lớp trên tiếp cận nhanh với dạng tốn tìm GTLN, GTNN của biểu thức.
Ví dụ 1. Tìm GTNN của các biểu thức sau :

a) A = 2014 − x + 2015
b) B = −

2014
3
+ 2x −
2015
4

Giải
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

4


Sáng kiến kinh nghiệm

a)

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Do 2014 − x ≥ 0 với mọi x

⇒ 2014 − x + 2015 ≥ 2015 . Dấu " = " xảy ra khi 2014 − x = 0 hay x = 2014 .

Vậy GTNN của A là 2015 khi x = 2014 .
Với ví dụ b tơi sẽ hướng dẫn học sinh dùng kí hiệu tốn học để trình bày bài
làm.
3
2014

3
2014
≥0⇒ B =−
+ 2x − ≥ −
. Dấu " = " xảy ra khi
4
2015
4
2015
3
3
2x − = 0 ⇔ x = .
4
8

Do 2 x −

Vậy Bmin = −

2014
3
⇔x= .
2015
8

Ví dụ 2. Tìm GTLN của các biểu thức sau :
a) C = −3 x − 2020 + 2015
b) D =

2015

2014
− x+
2017
2015

Giải
a) Do −3 x − 2020 ≤ 0 ⇒ C = −3 x − 2020 + 2015 ≤ 2015. Dấu " = " xảy ra khi
x − 2020 = 0 ⇔ x = 2020 .
Vậy Cmax = 2015 ⇔ x = 2020 .
2014
2015
2014 2015
≤0⇒ D =
− x+
≤
. Dấu " = " xảy ra khi
2015
2017
2015 2017
2014
2014
x+
=0⇔ x=−
.
2015
2015

b) Do − x +

Vậy Dmax =

2015
2014
⇔x=
.
2017
2015

* Bài tập tự rèn :
Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức
a) M = 2020 + 3x − 309
b) N = 2 2 x −

4
− 2015
3

Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức
a) P = − 0,75 − x + 3,67

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

5


Sáng kiến kinh nghiệm

b) Q = 2015 −

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

5 2
−x
27

Đối với biểu thức có 2 hay nhiều giá trị tuyệt đối thì giải bài tốn cực trị như
thế nào? Vấn đề đặt ra ở đâu? Học sinh cần nắm vững kiến thức về giá trị tuyệt
đối, tơi xin trình bày dạng 2.
Dạng 2. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CÓ HAI GIÁ TRI TUYỆT
ĐỐI
Để giải quyết vấn đề này, học sinh nắm vững tính chất. Với mọi x, y thuộc R thì:
x + y ≥ x+ y
x − y ≤ x− y

Dấu " = " xảy ra khi x. y ≥ 0 ( tức là x, y cùng dấu )

Ví dụ 3. Tìm GTNN của các biểu thức sau :
a) E = x − 2014 + x + 2015
b) F = x +

2013 2014
+
−x
2015 2015

Giải
a) Ta có

E = x − 2014 + x + 2015 = 2014 − x + x + 2015 ≥ 2014 − x + x + 2015 = 4029
 x + 2015 ≥ 0

Vậy Emin = 4029 khi 

 2014 − x ≥ 0

b)

 x ≥ −2015

⇔

 x ≤ 2014

⇔ −2015 ≤ x ≤ 2014

Tương tự như trên học sinh trình bày cách giải. Kết quả :
Fmin =

4027
−2013
2014
⇔
≤x≤
2015
2015
2015

Ví dụ 4. Tìm GTLN của biểu thức sau :
G = x − 1008 + x + 1007

Giải
Ta có G = x − 1008 + x + 1007 ≤ x − 1008 − x − 1007 = −2015 = 2015
 x = 1008

Vậy Gmax = 2015 khi 
 x = −1007
* Bài tập tự rèn :
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức
a) A = x − 2014 − x + 2015
b) B = 2015 + 2 x − 2 x − 2014
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

6


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

a) C = 3x − 2015 + 3x + 2014
b) D = x − 2015 + x − 2020
Phần 2. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP
8.
Sau khi học xong phần những hằng đẳng thức đáng nhớ, giáo viên cần cho học
sinh rèn luyện giải các bài tốn cực trị.
Dạng 1. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THƯC DẠNG NGUYÊN
1. Tìm GTNN (min) của biểu thức
2

Phương pháp giải : Biến đổi biểu thức về dạng T =  f ( x )  + k ( k là hằng
số )
2
2
Vì  f ( x )  ≥ 0 ⇒  f ( x )  + k ≥ k . Dấu ‘ = ’ xảy ra khi f ( x ) = 0 .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T là k khi f ( x ) = 0 hay TMIN = k ⇔ f ( x ) = 0
Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A = 4 x 2 − 16 x + 1024
Giải
Cần biến đổi biểu thức về dạng bình phương và một hằng số
Ta có

) ( )

(

2
A = 4 x 2 − 16 x + 1024 = 4( x 2 − 4 x + 256) = 4 x 2 − 4 x + 4 + 252 = 4 x − 2 + 1008

Vì ( x − 2 ) ≥ 0 ⇒ 4 ( x − 2 ) + 1008 ≥ 1008
2

2

Vậy AMIN = 1008 ⇔ x = 2
2.Tìm GTLN ( max ) của biểu thức
2

Phương pháp giải : Đưa biểu thức về dạng T = −  f ( x )  + k
2

2

( k là hằng số)

2

Vì  f ( x )  ≥ 0 ⇒ −  f ( x )  ≤ 0 ⇒ −  f ( x )  + k ≤ k . Dấu ‘ = ’ xảy ra khi
f ( x) = 0 .

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức T là k khi f ( x ) = 0 hay TMAX = k ⇔ f ( x ) = 0
Ví dụ 2. Tìm GTLN của biểu thức B = −3x 2 − 6 x + 4
Giải
Cần biến đổi biểu thức về dạng bình phương và một hằng số

(

)

( )

Ta có B = −3x 2 − 6 x + 4 = −3( x 2 + 2 x − 4 ) = −3 x 2 + 2 x + 1 + 7 = −3 x +1 + 7
3

3

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

2

3

7


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải tốn cực trị (đại số)

7
3

Vì ( x + 1) ≥ 0 ⇒ −3 ( x + 1) ≤ 0 ⇒ −3 ( x + 1) + ≤
2

2

2

7
3

7
3

Vậy BMAX = ⇔ x = −1
3.Tìm GTLN, GTNN của đa thức cao hơn bậc hai
Phương pháp giải : Ta có thể đặt ẩn phụ, hoặc biến đổi đưa về dạng 1, 2.
Ví dụ 3. Tìm GTNN của C = ( x − 7 ) ( x − 4 ) ( x − 3) x
Giải

(

)(

C = ( x − 7 ) x  ( x − 4 ) ( x − 3)  = x 2 − 7 x x 2 − 7 x + 12

)
2

Đặt y = x 2 − 7 x thì C = y ( y + 12 ) = y 2 + 12 y = ( y + 6 ) − 36 ≥ −36
 x1 = 1

2
Vậy CMIN = −36 ⇔ y = −6 ⇔ x − 7 x + 6 = 0 ⇔ 

 x2 = 6

BMAX =

7
⇔ x = −1
3

* Bài tập tự rèn :
Bài 1. Tìm GTLN của biểu thức
a) ( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 )
b) ( 2 x − 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( 2 x + 1)
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức

( x + 1) ( x + 2 ) ( x + 3) ( x + 4 )
2.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa nhiều biến
Phương pháp giải : Tìm GTLN, GTNN lưu ý hằng đẳng thức
2
2
( a + b + c ) , ( a − b − c ) ,...

Ví dụ 4. Tìm x, y sao cho A = 2 x 2 + 9 y 2 − 6 xy − 6 x − 12 y + 2015 có GTNN
Giải
Ta có
A = 2 x 2 + 9 y 2 − 6 xy − 6 x − 12 y + 2015

(

)

= x 2 − 6 xy + 9 y 2 + 4 x − 12 y + 4 + x 2 − 10 x + 25 + 1986
2

2

= ( x − 3 y ) + 4 ( x − 3 y ) + 4 + ( x − 5 ) + 1986
2

2

= ( x − 3 y + 2 ) + ( x − 5 ) + 1986 ≥ 1986

Vậy AMIN

x = 5
x − 5 = 0

= 1986 ⇔ 
⇔
7
x − 3y + 2 = 0
 y = 3

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

8


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải tốn cực trị (đại số)

Ví dụ 5. Tìm GTLN của biểu thức B = − x 2 + 2 xy − 4 y 2 + 2 x + 10 y − 2010
Giải
Ta có
B = − x 2 + 2 xy − y 2 + 2 x − 2 y − 1 − 3 y 2 + 12 y − 12 − 2007

(

)

(

)

= −  x 2 − 2 xy + y 2 − 2 ( x − y ) + 1 + 3 y 2 − 4 y + 4 + 2007 




=  − ( x − y ) − 2 ( x − y ) + 1 + 3 ( y − 2 ) + 2007 
2

2





2

2

= − ( x − y − 1) − 3 ( y − 2 ) − 2007 ≤ −2007
y − 2 = 0

Vậy BMAX = −2007 ⇔ 

 x − y −1 = 0

y = 2

⇔

x = 3

Dạng 2. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG
BUỘC GIỮA CÁC BIẾN
Thường để giải những bài toán dạng này, ta cần hướng dẫn cho học sinh
biến đổi biểu thức mới có chứa biến biểu thức ta tìm GTLN ; GTNN.
Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A = x3 + y 3 + xy biết x + y = 1
Giải
Ta sử dụng điều kiện để rút gọn biểu thức A
A = x3 + y 3 + xy = ( x + y ) ( x 2 − xy + y 2 ) + xy
= x 2 − xy + y 2 − xy = x 2 + y 2

Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối vớ x
Thay y = 1 – x vào biểu thức A
Ta có A = x + ( 1 − x )
2

Vậy AMIN

2

2

1 1 1

= 2 ( x − x) +1 = 2  x − ÷ + ≥
2 2 2

2

1

x
=

1
2
= ⇔
2
y = 1

2

Ví dụ 2. Cho 2 số x, y thõa mãn x + 2 y = 3 . Tìm GTNN của B = x 2 + 2 y 2
Giải
Từ x + 2 y = 3 ⇒ x = 3 − 2 y thế vào B
Ta có
B = ( 3 − 2 y ) + 2 y 2 = 9 − 12 y + 4 y 2 + 2 y 2
2

= 6 y 2 − 12 y + 9 = 6 ( y − 1) + 3 ≥ 3
2

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

9


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Vậy GTNN của B là 3 khi y=1, x=1
Ví dụ 3. Cho các số x, y, z thõa mãn x + y + z = 3 . Tìm GTLN của biểu thức
C = xy + yz + xz

Giải
Từ x + y + z = 3 ⇒ z = 3 − x − y thay vào C
Ta có
C = xy + y ( 3 − x − y ) + x ( 3 − x − y )
= xy + ( x + y ) ( 3 − x − y ) = xy + 3 ( x + y ) − ( x − y )



= 3− x +

2

2

y −3 3
2
÷ − ( y − 1) ≤ 3
2  4

Vậy GTLN của C là 3 khi x=1, y=1, z=1
Bài tập áp dụng :
Bài 1. Cho x, y ∈ R thõa mãn x + 2 y = 1 . Tìm GTLN của A = xy
Bài 2. Cho x, y là hai số dương thõa mãn x + y = 100. Tìm GTNN của biểu
1

1

thức P = x + y
Bài 3. Cho x, y là hai số dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức

(

)

E = 2 x4 + y 4 +

1
4 xy

Bài 4. Cho a, b là hai số dương thõa mãn 3a + 5b = 12. Tìm GTLN của M =
a.b
Bài 5. Cho x, y là hai số dương có tích x. y = 216 . Tìm GTNN của biểu thức
F = 6x + 4 y

Bài 6. Cho x, y, z là các số không âm thõa mãn đồng thức 3x + 2z = 51 và z +
5y = 21.
Tìm GTLN của biểu thức G = x + y + z
Dạng 3. TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
*Chú ý : Đối với hai mệnh đề sau:
1. Nếu hai số dương có tổng khơng đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ
khi hai số đó bằng nhau.
2. Nếu hai số dương có tích khơng đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ
khi hai số đó bằng nhau.

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

10


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

2
Chứng minh mệnh đề trên. Ta sử dụng bất đẳng thức ( a + b ) ≥ 4ab
2
* Nếu hai số a và b có tổng a + b = S ( hằng số ) thì từ ( a + b ) ≥ 4ab ta có

ab ≤

k2
k2
do đó ( ab ) Max = ⇔ a = b
4
4

2
* Nếu hai số a và b có tích ab = P ( hằng số ) thì a + b nhỏ nhất khi ( a + b ) nhỏ

nhất do đó ( a + b )

2
MIN

= 4P ⇔ a = b

2
2
Ví dụ 1. Tìm GTLN của biểu thức Q = ( − x + 3x + 21) ( x − 3x + 1) .

Giải
Để giải bài toán này ta thấy các biểu thức − x 2 + 3x + 21 và x 2 − 3x + 1 có tổng
khơng đổi ( bằng 22 ) nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi
− x 2 + 3 x + 21 = x 2 − 3 x + 1 ⇔ x 2 − 3 x − 10 = 0
x = 5
⇔ ( x − 5) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 
 x = −2

Khi đó Q = 11.11 = 121
x = 5
 x = −2

Vậy QMax = 121 ⇔ 

Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức P = 5 x +

180
(với x > 1)
x −1

Giải
Ta có P = 5 x +

180

180
= 5 ( x − 1) +
+ 5 ( do x > 1 )
x −1
x −1

Hai số 5 ( x − 1) và

180
là hai số dương có tích khơng đổi (bằng 900) nên tổng
x −1

của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi

180
⇔ x 2 − 2 x − 35 = 0
x −1
 x = 7(TM )
⇔ ( x − 7 ) ( x + 5) = 0 ⇔ 
 x = −5( KTM )

5 ( x − 1) =

Khi đó PMin = 65 ⇔ x = 7
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

11


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải tốn cực trị (đại số)

Ví dụ 3. Tìm GTNN của biểu thức R =

( x + 4) ( x + 9)
x

(với x > 0)

Giải
Biến đổi biểu thức R
Ta có R =

( x + 4) ( x + 9)
x

= x+

36
+ 13 (do x > 0)
x

36
Hai số x và
là hai số dương có tích khơng đổi (bằng 36) nên tổng của chúng
x

nhỏ nhất khi và chỉ khi
x=

36
⇔ x=6
x

Do đó RMIN = 25 ⇔ x = 6
* Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức A =

1 + 4 x + 16 x 2
(với x > 0)
2x

Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức B = (

x + 100 )
x

Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức C = x +

2

(với x > 0)

9
−3
x −1
x

Bài 4. Tìm GTLN của biểu thức D = x + 100 2

(
)
Bài 5. Tìm GTLN của biểu thức E =

3 x 2 + 6 x + 10
x2 + 2 x + 3

Trên đây là một số dạng tốn tìm GTLN, GTNN thường gặp ở học sinh lớp 8.
Phần 3. NHỮNG DẠNG TOÁN CỰC TRỊ DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 9
Việc giải bài tốn tìm GTLN, GTNN là một bài tốn khó cần nhiều
phương pháp tùy thuộc vào dạng của bài toán, đặc trưng của đề bài, mà người
giải phải năng động phối hợp nhịp nhàng các giải pháp để giải quyết bài toán.
Sau đây là một số phương pháp dành cho học sinh lớp 9.
Dạng 1. SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CĨ SẴN ĐỂ TÌM GTLN, GTNN
CỦA BIỂU THỨC
1. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
Ta ln có : a ≤ a ; ∀a ∈ R
x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a (với a > 0)

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

12


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)
 x < −a

x ≥a⇔

( với a > 0 )

x > a

2. Bất đẳng thức cơ -si ( cauchy ) cho các số khơng âm
• Nếu a, b là các số khơng âm thì

a+b
≥ ab . Dấu " = " khi a = b
2

• Nếu a, b, c là các số khơng âm thì

a +b+c
3

Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A = x +

≥ 3 abc . Dấu " = " khi a = b = c

2
(với x > 1)
x −1

Giải
Vì x > 1 nên x – 1 và
không âm
A= x+

2
là 2 số dương. Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số
x −1

2
2
= 1+ x −1 +
≥ 1+ 2
x −1
x −1

Dấu‘ =’ xảy ra khi x – 1 =

( x − 1)

2
= 1+ 2 2
x −1

2
⇔ x = 1 + 2 ( TM )
x −1

Vậy AMIN = 1 + 2 2 ⇔ x = 1 + 2
1
x

Ví dụ 2. Tìm GTNN của biểu thức B = 3x 2 + ( với x > 0)
Giải
Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dương.

1
x

Biến đổi biểu thức B = 3x 2 + = 3x 2 +
1

1
1
1 1
3
+
≥ 3 3 3x 2 . .
= 33
2x 2x
2x 2x
4

1

1

3
Dấu‘ =’ xảy ra khi 3x 2 = 2 x ⇔ x = 6 ⇔ x = 3
6

Vậy BMIN = 3. 3

3
1
⇔x= 3

4
6

Ví dụ 3. Tìm GTLN của biểu thức P =

xy z − 1 + yz x − 2 + zx y − 3
( với
xyz

x ≥ 2, y ≥ 3, z ≥ 1 )

Giải
Rút gọn P =

z −1
x−2
+
+
z
x

y −3
y

Để giải bài toán này, áp dụng bất đẳng thức côsi cho từng cặp số
x − 2 và 2; y − 3 và 3
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

z − 1 và 1;

13


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải tốn cực trị (đại số)

Ta có z − 1 = 1( z − 1) ≤
x−2 = 2
y −3 = 3
1

( x − 2)

1 + ( z − 1) z
= ⇒
2
2
≤

2

( y − 3)

≤

3

2 + ( x − 2)
2 2

3 + ( y − 3)
2 3

=
=

z −1 1
≤
z
2
x

2 2
y
2 3

⇒

x−2
1
≤
x
2 2

⇒

y −3
1
≤
y

2 3

1 

1

+
Vậy PMax = 1 +
÷ ⇔ x = 4, y = 6, z = 2
2
2
3

Ví dụ 4. Tìm GTNN của biểu thức Q = 1 + 4 x + 4 x 2 + 4 x 2 − 12 x + 9
Giải
Các biểu thức dưới dấu căn là hằng đẳng thức, do đó
Q=

( 1+ 2x)

2

+

( 3 − 2x)

2

= 1+ 2x + 3 − 2x

Mà 1 + 2 x + 3 − 2 x ≥ 1 + 2 x + 3 − 2 x = 4
1 + 2 x ≥ 0

Dấu ‘ = ’ xảy ra khi 

3 − 2 x ≥ 0

Vậy QMIN = 4 ⇔

⇔

−1
3
≤x≤
2
2

−1
3
≤x≤
2
2

* Bài tập áp dụng :
Bài 1. Cho biết x + y = 4. Tìm GTLN của biểu thức E = x − 1 + y − 2
Bài 2. Tìm GTLN của biểu thức F =

x −1
+
x

y−2
y

1

1

Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức M = x 2 + y 2 + xy (với x, y > 0 và x + y ≤ 1 )
1

2

Bài 4. Cho x, y >0 và x + y ≤ 1 . Tìm GTNN của biểu thức N = x 2 + y 2 + xy + 4 xy
x

y

z

Bài 5. Tìm GTLN của biểu thức H = x + 1 + y + 1 + z + 1
Dạng 2. ĐỔI BIẾN VÀ TÌM CỰC TRỊ ĐỐI VỚI BIẾN MỚI
Đổi biến để tìm cực trị là một trong những cách giải hay để chúng ta tìm
cực trị mới nhanh, dễ dàng cho học sinh tiếp cận, sau đây là một số ví dụ.
4
4
Ví dụ 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức A = ( x + 1) ( y + 1)

Biết x; y ≥ 0 , x + y = 10
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

14


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Giải
4
4
4
4
4 4
Để giải bài toán cần biến đổi biểu thức A = ( x + 1) ( y + 1) = x + y + x y + 1

Và ta có:
x + y = 10 ⇒ x 2 + y 2 = 10 − 2 xy
⇒ x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 = 100 − 40 xy + 4 x 2 y 2
⇒ x 4 + y 4 = 100 − 40 xy + 2 x 2 y 2

Đặt t = xy do đó A = t 4 + 2t 2 − 40t + 101
* Tìm GTNN của A
A = t 4 + 2t 2 − 40t + 101 = ( t 2 − 4 ) + 10 ( t − 2 ) + 45 ≥ 45
2

2

Vậy AMIN = 45 ⇔ t = 2 khi đó xy = 2 và x + y = 10
Nên x và y là nghiệm của phương trình

x 2 − 10 x + 2 = 0 ⇔ x =

10 − 2
10 + 2
⇒ y=
2
2

* Tìm GTLN của A
2

2
5
 x + y   10  5
= ⇒0≤t≤
Ta có 0 ≤ xy ≤ 
÷
÷ = 
÷
2
2
 2   2 
3
Ta có A = t ( t + 2t − 40 ) + 101 do ( 1) nên t 3 ≤

⇒ t 3 + 2t − 40 ≤

( 1)

125

và 2t ≤ 5
8

125
+ 5 − 40 < 0
8

Còn t ≥ 0 nên A ≤ 101

Vậy AMax

  x = 0

  y = 10
= 101 ⇔ t = 0 tức là  
  x = 10
  y = 0


Ví dụ 2. Với a>1, b>1. Tìm GTNN của biểu thức B =

a2
b2
+
a −1 b −1

Giải
Đặt a − 1 = x > 0; b − 1 = y > 0
Ta có :

( x + 1)
B=
x

2

( y + 1)
+
y

2

=

x2 + 2x + 1 y2 + 2 y + 1 
1 
1
+
=  x + ÷+  y + ÷+ 4
x
y
x 
y


1

1

x

y

Với x>0, y>0 theo bất đẳng thức cô-si: x + ≥ 2 ; y + ≥ 2
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

15


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Nên B ≥ 8 .Vậy BMIN = 8 ⇔ x = y = 1 ⇒ a = b = 2
Ví dụ 3. Tìm GTNN của biểu thức C =

5 − 3x
1 − x2

Giải
Đặt 1 + x = a; 1 − x = b ta có a>0 ; b>0
Ta có : C =

5 − 3x
1 − x2

=

1+ x + 4 ( 1− x)
1 + x. 1 − x

=

2
2
Vậy CMIN = 4 ⇔ a = 4b khi đó x =

a 2 + 4b 2
a 2 .4b 2 2.2ab
≥2
=
=4
ab
ab
ab
3
5

* Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức D = x x + y y biết
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức E =

x + y =1

x2 + y2
với x > y > 0
x− y
1

1

Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức F = x3 + y 3 với x, y ≠ 0
Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức G = x3 +

3
với x ∈ R
x2

Dạng 3. PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ ĐỂ TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM
SỐ
Ví dụ 1. Tìm GTNN, GTLN của hàm số y =

x2
x2 − 5x + 7

(1)

Giải
Để giải bài toán này ta xét điều kiện xác định của y
2

5 3 3

Ta có : x 2 − 5 x + 7 =  x − ÷ + ≥ do đó TXĐ là ∀x ∈ R


2

4

4

Phương trình ( 1) biến đổi về dạng( có ẩn là x)

( 1) ⇔ yx 2 − 5 xy + 7 y = x 2 ⇔ ( y − 1) x 2 − 5 xy + 7 y = 0

(2)

* Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (2) ⇔ −5 x + 7 = 0 ⇔ x =

7
5

* Trường hợp 2 : Với y ≠ 1 khi đó phương trình (2) có ngiệm khi và chỉ khi
y ≠1
 y ≠ 1
y ≠1

⇔
⇔
28

2
 25 y − 28 y ( y − 1) ≥ 0
V≥ 0
0 ≤ y ≤ 3

Đến đây ta thấy y = 0 ⇒ x = 0 vậy yMIN = 0 ⇔ x = 0
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

16


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải tốn cực trị (đại số)

Ta có y =

28
14
28
14
⇒x=
vậy yMax = ⇔ x =
3
5
3
5

Giải bài toán này học sinh cần nắm vững cống thức ngiệm của phương
trình bậc hai. Coi y là tham số, x là ẩn số.
Nhận xét : Phương pháp giải trên gọi là phương pháp miền giá trị của

hàm số. Đoạn 0;

28 
là tập giá trị của hàm số.
 3 

Ví dụ 2. Cho hàm số y =

x2 − x + 1
(1). Tìm GTNN, GTLN của y
x2 + x + 1

Giải
3
4

Vì x 2 + x + 1 = ( x + 1) + ≥
2

3
nên TXĐ là ∀x ∈ R
4

Do đó y có nghiệm khi phương trình (1) theo ẩn x có nghiệm

( 1) ⇔ yx 2 + xy + y = x 2 − x + 1 ⇔ ( y − 1) x 2 + ( y + 1) x + ( y − 1) = 0

(2)

* Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (2) có nghiệm x = 0
* Trường hợp 2 : Với y ≠ 1 khi đó phương trình (2) có ngiệm, điều kiện cần và
đủ

V≥ 0

1

3

tức là ( y + 1) − 4 ( y − 1) ≥ 0 ⇔ ( 3 y − 1) ( y − 3) ≤ 0 ⇔ ≤ y ≤ 3
2

1
3

2

1
3

Với y = ⇒ x = 1 vậy yMIN = ⇔ x = 1
y = 3 ⇒ x = −1 vậy yMax = 3 ⇔ x = −1

Tóm lại tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị của hàm số rất hay và
giải quyết nhiều bài tốn khó về cực trị.
* Bài tập áp dụng :
x2 − 8x + 7
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
x2 + 1

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =

20 x 2 + 10 x + 3
3x 2 + 2 x + 1

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =

2x −1
x + x+4
2

x2 + 4 2 x + 3
Bài 4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =
x2 + 1

Phần 4. MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ
• Sai lầm khi khơng chú ý đến điều kiện
Ví dụ 1. Tìm GTNN của biểu thức A = x + x + 1
Cách giải sai :
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

17


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)
2

1 3 3

Biến đổi biểu thức A = x + x + 1 =  x + ÷ + ≥
2 4 4


Vậy GTNN của A là

3
khi
4

x+

1
1
= 0 ⇔ x = − (vơ lí)
2
2

Cách giải đúng : Vì x ≥ 0 và x ≥ 0 nên A = x + x + 1 ≥ 0 + 0 + 1 = 1 với ∀x ≥ 0
Vậy GTNN của A là 1 khi x = 0
Ví dụ 2. Tìm GTLN của biểu thức B =

1
x − 6 x + 11
2

Lời giải sai :
Phân thức B có tử khơng đổi nên B có giá trị lớn nhất khi mẫu thức có giá trị
nhỏ nhất.
Ta có x 2 − 6 x + 11 = x 2 − 6 x + 9 + 2 = ( x − 3) + 2 ≥ 2
2

1
2

Do đó GTNN của x 2 − 6 x + 11 là 2 khi x = 3 . Vậy BMax = ⇔ x = 3

Phân tích sai lầm : Tuy đáp số bài tốn khơng sai nhưng lập luận sai khi
khẳng định phân thức B có tử khơng đổi nên B đạt GTLN khi mẫu nhỏ nhất. Mà
phải đưa ra nhận xét tử và mẫu là các số dương.
Ví dụ 3. Tìm GTLN của biểu thức C =

1
x − 25
2

Lời giải sai :
Phân thức C có tử khơng đổi nên C có giá trị lớn nhất khi mẫu thức có giá trị
nhỏ nhất.
Mà x 2 − 25 ≥ −25 nên BMax = −
Điều này khơng đúng vì −
thì B =

1
⇔ x=0
25

1
không phải là giá trị lớn nhất. Chẳng hạn x = 6
25

1
1
>−
11
25

• Những sai lầm trong phương pháp giải bài tốn cực trị khi sử dụng bất đẳng
thức cơ-si
Ví dụ 4. Cho a>0 ; b> 0 và x>0. Tìm GTLN của biểu thức D =

( x + a) ( x + b)
x

Lời giải sai :
Áp dụng bất đẳng thức cơ-si cho hai số khơng âm, ta có :
x + a ≥ 2 ax

( 1)

x + b ≥ 2 bx

( 2)

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

18


Sáng kiến kinh nghiệm

Do đó

Một số dạng tốn và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

( x + a) ( x + b)
x

≥

2 ax.2 bx
= 4 ab
x

Vậy DMIN = 4 ab ⇔ x = a = b
Phân tích sai lầm : Ở ( 1), ( 2) dấu đẳng thức ra khi x = a và x = b như vậy bài
tốn địi hỏi a = b nếu a ≠ b thì khơng có được D = 4 ab
Lời giải đúng : Ta thực hiện phép tính và tính các hằng số
D=

( x + a) ( x + b)
x

=

x 2 + ax + bx + ab 
ab 
=  x + ÷+ ( a + b )
x
x 


ab
ab
Áp dụng bất đẳng thức cơ-si cho 2 số x và
. Ta có x + ≥ 2 ab
x

Nên D ≥ 2 ab + a + b = ( a + b )
Vậy DMIN = ( a + b )

2

x

2

ab

x =
⇔
x ⇔ x = ab
 x > 0

Khi giải bài toán cực trị thường mắc những sai sót, sai lầm khơng đáng
có. Nên tơi xin nhấn mạnh một số sai lầm trên mong đồng nghiệp góp ý thêm.
Ngồi ra để bổ sung việc dạy và học tốt vấn để giải tốn cực trị thì tơi xin
đưa ra phương pháp giải tốn cực trị bằng máy tính bỏ túi.
Phần 5. GIẢI BÀI TỐN CỰC TRỊ BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
Giáo viên nên sử dụng máy tính fx-570VN PLUS, máy tính này có nhiều
chức năng mới. Ta có thể vận dụng để giải bài tốn cực trị.
Ví dụ 1. Cho hàm số A =

1, 4 x − 5,3
( 1). Tìm GTNN, GTLN của biểu
3, 7 x 2 + 0, 2 x + 3

thức A( làm tròn 4 chữ số thập phân)
Giải
Đặt y =

1, 4 x − 5,3
( 2) biến đổi biểu thức đưa về phương trình bậc hai có
3, 7 x 2 + 0, 2 x + 3

ẩn x, còn y là tham số

( 2 ) ⇔ 3, 7 yx 2 + ( 0, 2 y − 1, 4 ) x + (

)

3 y + 5,3 = 0

( 3)

* Trường hợp 1 : Với y = 0 khi đó phương trình ( 3) có nghiệm x =

53
14

* Trường hợp 2 : Với y ≠ 0 khi đó phương trình ( 3) có ngiệm, điều kiện cần
và đủ V≥ 0 tức là
Ấn trên máy

( 0, 2 y − 1, 4 )

2

(

− 4.3, 7 y

)

(

)

3 y + 5,3 ≥ 0

⇔ 0, 22 − 4.3, 7. 3 y 2 − ( 2.0, 2.1, 4 + 4.3, 7.5,3 ) y + 1, 4 2 ≥ 0

(INEQ)

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

19


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

0, 22 − 4.3, 7. 3 = − ( 2.0, 2.1, 4 + 4.3, 7.5,3 ) = 1, 4 2 =

Kết quả −3,1112 ≤ y ≤ 0,0246
Vậy AMIN = −3,1112

AMax = 0, 0246
x2 + 2
Ví dụ 2. Cho hàm số B = 2
(1). Tìm GTNN, GTLN của biểu thức B
x +x+2

Giải
Đặt y =

x2 + 2
(2) biến đổi biểu thức đưa về phương trình bậc hai có ẩn x, y
x2 + x + 2

là tham số

( 2 ) ⇔ ( y − 1) x 2 + yx + ( 2 y − 2 ) = 0

(3)

* Trường hợp 1 : Với y = 1 khi đó phương trình (3) có nghiệm x = 0
* Trường hợp 2 : Với y ≠ 1 khi đó phương trình (3) có ngiệm, điều kiện cần và
đủ

V≥ 0 tức là

y 2 − 4. ( y − 1) ( 2 y − 2 ) ≥ 0

⇔ −7 y 2 + 6 y − 8 ≥ 0

Ấn trên máy

(INEQ)

−7 = 16 = −8 =

Kết quả

8−2 2
8+2 2
≤ y≤
7
7

Vậy BMIN =
BMax =

8−2 2
7

8+2 2
7

* Bài tập áp dụng :
Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức C =
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức D =

x−3
x + 2x + 3
2

2014, 2015 x 2 − 2 x + 2016, 2017
2018, 2019 x 2

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y =

2x −1
x + x+4
2

Tóm lại để giải được các bài tập trên, học sinh phải nắm chắc cơng thức
nghiệm phương trình bậc hai và giải bất phương trình bậc hai bằng máy tính
thành thạo.
3. Giải pháp, biện pháp :
3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp :
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

20


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Học sinh nhận thức được giải tốn cực trị khơng hề khó nếu chúng ta biết
sử dụng đúng phương pháp và suy luận tốt thì sẽ gặt hái thành công nhất định.
3.2. Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp :
-Nội dung các dạng toán cực trị.
-Phương pháp giải mỗi dạng toán.
-Các bài tập mẫu cho từng dạng.
-Bài tập tự rèn cho học sinh.

3.3. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp.
Giúp học sinh phân loại và vận dụng tốt các phương pháp giải toán cực trị
(phần đại số) một cách nhanh chóng có hiệu quả .Pháp huy tính tích cực học tập
trong mỗi học sinh.
3.4. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp:
Giữa giải pháp và biện pháp có mối quan hệ chặc chẻ với nhau, các bài
toán cực trị đòi hỏi học sinh nắm vững chắc các kiến thức về cực trị từ thấp đến
cao ,từ đơn giản đến phức tạp,vận dụng thành thạo các kỹ năng biến đổi ,từ lý
thuyết đến thực hành.
3.5. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học :
Bằng cách kiểm tra trên phiếu học tập của học sinh, qua các lần kiểm tra
chất lượng bài làm có nhiều khã quan hơn.
4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học.
Qua nhiều năm giảng dạy và trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi chất lượng
học tập của học sinh càng ngày nâng cao hơn qua kết quả khảo nghiệm.
Năm học 2013-2014: kiểm tra 20 HS trên trung bình 12 em đạt 60%
Năm học 2014-2015: kiểm tra 20 HS trên trung bình 15 em đạt 75%
III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:
1. Kết luận:
Trong thực tế giảng dạy, khi áp dụng phương pháp giải dạng toán cực trị,
học sinh nắm vững kiến thức và học sinh rất hứng thú với dạng bài tập này.
Dựa vào kết quả trên ta có thể thấy học sinh nắm vững kiến thức về giải
toán cực trị ngày càng khả quan hơn.
Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi bộ mơn tốn.
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ để hướng dẫn học sinh giải bài tốn cực trị
một cách có hiệu quả và đạt kết quả tốt. Để bài viết của tơi hồn chỉnh hơn và
giúp học sinh học tốt, tôi rất mong đồng nghiệp góp ý xây dựng để tơi dạy thành
cơng hơn.Tơi xin chân thành cảm ơn.
2. Kiến nghị: Đối với lãnh đạo các cấp:
Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

21


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

Tạo điều kiện thuận lợi và thời gian cho giáo viên được mở rộng, nâng cao
trình độ chun mơn nghiệp vụ. Thường xun tổ chức, triển khai chuyên đề cụ
thể những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao để chúng tôi học hỏi.
Đray Sáp, ngày 16 tháng 2 năm 2016
Người viết
Phạm Thị Nga

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

22


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP TRƯỜNG
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………
CHỦ TICH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
(Ký tên, đóng dấu)

NHẬN XÉT CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………
…………
CHỦ TICH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN
(Ký tên, đóng dấu)

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

23


Sáng kiến kinh nghiệm

Một số dạng toán và phương pháp giải toán cực trị (đại số)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

STT TÊN TÀI LIỆU

TÁC GIẢ

01

Sách giáo khoa, sách bài tập 7;8; 9.

02

Sách BDHSG 7;8;9

Trần Thị Vân Anh

03

Sách nâng cao và phát triển tốn 9

Vũ Hữu Bình

04

Sách hướng giải tốn trên máy tính Ca sio

TS NguyễnThái Sơn

Phạm Thị Nga -Trường THCS Lê Quý Đôn - DraySap - Krông Ana - Đăklăk

24