hướng dẫn giải bài tập xác xuất thống kê

BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ
BÀI 1
Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10bi,trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ,1 bi trắng.
Hộp II gồm 6 bi đỏ 4 bi trắng.Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi:
a, Tính xác suất để được 4 bi đỏ
b, Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng
c,Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng
BÀI 2
Một máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80% và một máy khác cũng sản xuất loại sản
phẩm này với tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 60%. Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất 100 sản
phẩm.Tính xác suất để:
a , Có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
b, Có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
c, Có không ít hơn 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
BÀI 3
Để nghiên cứu nhu cầu của 1 loại hàng ở 1 khu vực,người ta khảo sát 400 hộ gia đình.Kết quả như sau :
Nhucầu(kg/thg/hộ)
0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8
Số hộ 10 35 86 132 78 31 18 10
Cho biết trong khu vục có 4000 hộ
a, ước lượng nhu cầu trung bình về mặt hàng này của toàn khu vực trong 1 năm với độ tin cậy 95%.
b, Khi ước lượng trung bình về nhu cầu mặt hàng này của toàn khu vực trong 1 năm,nếu ta muốn đạt được độ
tin cậy 99% và độ chính xác là 4,8 tấn thì cần khảo sát ở ít nhất bao nhiêu hộ gia đình.
BÀI 4
Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm xí nghiệp I,người taa quan sát 1 mẫu trong kho và có k.quả sau :
X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
Số s.phẩm
8 9 20 16 16 13 18
a, Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được gọi là những sản phẩm loại B.Hãy ước lượng tỷ lệ sản
phẩm loại B với độ tin cậy 92%.
b, Gỉa sử trong kho có 1000 sản phẩm loại B.hảy ước lượng số sản phẩm trong kho với độ tin cậy 92%.

c, Gỉa sử trong kho có 10.000 sàn phẩm loại B. hảy ước lượng số sản phẩm trong kho với độ tin cậy 92%.
Bài Giải
BÀI 1
Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10bi,trong đó hộp I gồm 9 bi đỏ,1 bi trắng.
Hộp II gồm 6 bi đỏ 4 bi trắng.Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 2 bi:
a, Tính xác suất để được 4 bi đỏ
b, Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng
c,Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng
Bài Giải
Gọi A
i
, B
i
(i=0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i bi đỏ và (2-i) bi trắng có trong 2 bi được chọn ra
từ hộp I và hộp II.
Khi đó:
•
A
0
, A
1
, A
2
xung khắc từng đôi và ta có: P(A
0
) = 0 C
1
9
C
1

1
P(A
1
) = = 9 ∕ 45
C
2
10
C
2
9
C
0
1
P(A
1
) = = 36/45
C
2
10
C
0
6
C
2
4
•
B
0
, B
1

, B
2
xung khắc từng đôi và ta có: P(B
0
)= = 6/45
C
2
10

C
1
6
C
1
4
P(B
1
)= = 24/45
C
2
10
C
2
6
C
0
4
P(B
2
)= = 15/45

C
2
10
 A
i
và B
j
độc lập
 Tổng số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra phụ thuộc vào các biến cố A
i
và B
j
theo bảng sau :
B
0
B
1
B
2
A
0
0 1 2
A
1
1 2 3
A
2
2 3 4
a) Gọi A là biến cố được chọn 4 bi đỏ. Ta có: A = A
2

B
2
Từ đây, do tính độc lập, công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:
P(A) = P(A
2
)P(B
2
) =
36 15
45 45
= 0.2667
b) Gọi B là biến cố chọn được 2 bi đỏ và 2 bi trắng, ta có:
B = A
0
B
2
+ A
1
B
1
+ A
2
B
0
Do tính xung khắc từng đôi của các biến cố A
0
B
2
, A
1

B
1
, A
2
B
0
, công thức cộng xác suất cho ta:
P(B) = P(A
0
B
2
+ A
1
B
1
+ A
2
B
0
) = P(A
0
B
2
)+ P(A
1
B
1
)+ P(A
2
B

0
)
Do tính độc lập, công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:
P(B) = P(A
0
)P(B
2
) + P(A
1
)P(B
1
) + P(A
2
)P(B
0
) = 0.2133
c) Gọi C là biến cố chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng, ta có:
C = A
1
B
2
+ A
2
B
1

Lý luận tương tự như trên ta được : P(C) = P(A
1
)P(B
2

) + P(A
2
)P(B
1
) = 0.4933
BÀI 2
Một máy sản xuất sản phẩm với tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 80% và một máy khác cũng sản xuất
loại sản phẩm này với tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 60%. Chọn ngẫu nhiên một máy và cho sản xuất
100 sản phẩm.Tính xác suất để:
a , Có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
b, Có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn
c, Có không ít hơn 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn.
Bài Giải
Gọi X là ĐLNN chỉ số sản phẩm đạt tiêu chuẩn 100 sản phẩm A
1
, A
2
lần lượt là các biến cố chọn
được máy1, máy 2.
Khi đó A
1
, A
2
là một hệ thống đầy đủ, xung khắc từng đôi, ta có :
P(A
1
) = P(A
2
) = 0.5
Theo công thức xác suất đầy đủ, với mỗi 0 ≤ k ≤ 100 , ta có :

P(X = k) = P(A
1
)P(X = k /A
1
) + P(A
2
)P(X = k /A
2
) =
1
2
P(X = k /A
1
) +
1
2
P(X = k /A
2
) (1)
Như vậy gọi X
1
, X
2
lần lượt là các ĐLNN chỉ số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong trường hợp chọn
được máy 1, máy 2. khi đó:

Từ (1) cho ta: P(X = k) =
1
2
P(X

1
= k) +
1
2
P(X
2
= k)

X
1
có phân phối nhị thức X
1

:
B(n
1
p
1
) với n
1
= 100 , p
1
= 80% = 0.8
Vì n
1
= 100 khá lớn và p
1
= 0.8 không qua gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể
xem X
1

có phân phối chuẩn như sau : X
1
:
N(
2
1 1
,
µ δ
)

với
1
µ
= n
1
p
1
= 100 x 0.8 = 80

1
δ
=
1 1 1
n p q
=
100 0.8 0.2x x
= 4

X
2

có phân phối nhị thức X
2

:
B(n
2
p
2
) với n
2
= 100 , p
2
= 60% = 0.60
Vì n
2
= 100 khá lớn và p
2
= 0.60 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X
2
có
phân phối chuẩn như sau : X
2
:
N(
2
2 2
,
µ δ
)

với
2
µ
= n
2
p
2
= 100 x 0.60 = 60

2
δ
=
2 2 2
n p q
=
100 0.60 40x x
= 4.8990
a) Xác suất để có 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là :
P(X = 80) =
1
2
P(X
1
= 70) +
1
2
P(X
2
= 70) =
1

2
.
1
1 1
701
f
µ
δ δ
 
−
 ÷
 
+
1
2
.
2
2 2
701
f
µ
δ δ
 
−
 ÷
 
=
1
2
.

1 70 80 1 1 70 60
.
4 4 2 4.8990 4.8990
f f
− −
   
+
 ÷  ÷
   
=
( ) ( )
1 1 1 1
. 2.5 . 2.04
2 4 2 4
f f− +
=
1 1 1 1
. 0.0175 . 0.0498 0.000727
2 4 2 4.8990
+ =
b) Xác suất để có 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là :
P(70 ≤ X ≤ 90) =
1
2
P(70 ≤ X
1
≤ 90) +
1
2
P(70 ≤ X

2
≤ 90)
=
1 1 2 2
1 1 2 2
90 70 90 701 1
2 2
µ µ µ µ
ϕ ϕ ϕ ϕ
δ δ δ δ
   
       
− − − −
− + −
   
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
   
=
1 90 80 70 80 1 90 60 70 60
2 4 4 2 4.8990 4.8990
ϕ ϕ ϕ ϕ
 − −   − − 
       
− + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
   
       
   
=

( ) ( ) ( ) ( )
1
2.5 2.5 6.12 2.04
2
ϕ ϕ ϕ ϕ
− − + − 
 
=
( )
1
0.49379 0.49379 0.5 0.47932
2
+ + −
= 0.50413
c) Xác suất có ít hơn 70 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là :
P(70 ≤ X ≤ 100) = 0.5072
(tương tự câu b)

BÀI 4
Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm xí nghiệp I, người ta quan sát 1 mẫu trong kho và có k.quả
sau :
X(cm) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
Số s.phẩm
8 9 20 16 16 13 18
a, Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được gọi là những sản phẩm loại B.Hãy ước lượng tỷ
lệ sản phẩm loại B với độ tin cậy 92%.
b, Gỉa sử trong kho có 1000 sản phẩm loại B.hảy ước lượng số sản phẩm trong kho với độ tin cậy 92%.
c, Gỉa sử trong kho có 10.000 sàn phẩm loại B. hảy ước lượng số sản phẩm trong kho với độ tin cậy 92%.
Bài Giải
Lập bảng :

X
i
13 17 21 25 29 33 37
n
i
8 9 20 16 16 13 18
Ta có:
n = 100 ;
2636
i i
X n∑ =
;
2
75028
i i
X n∑ =
 Kỳ vọng mẫu của X là:

X
−
=
1
26.36
i i
X n
n
∑ =
(cm)
X
−−

(giá trị trung bình của X)
 Phương sai mẫu của X là :
2
^
S
=
2
2 2
1
(1.9965)
i i
X n X
n
−
∑ − =
(cm)
2

(
2
^
S
: S mũ bình phương,
2
X
−
: giá trị bình phương trung bình của X)

Phương sai mẫu đã hiệu chỉnh của X là :
2

^
2 2
(7.4827)
1
n
S
n
S
= =
−
(cm)
2
a)
Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 19cm trở xuống được gọi là những sản phẩm loại B.Hãy ước
lượng tỷ lệ sản phẩm loại B với độ tin cậy 92%.
Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng
B
µ
= M (X
B
) của chỉ tiêu X = X
B
của những sản phẩm loại
Bvowis độ tin cậy
γ = 1
−
α
= 92% = 0.92 (γ = 1
−
α : gama bằng 1

trừ anpha)
Ta có bảng số liệu của X
B

X
Bi
13 17
n
Bi
8 9
Từ bảng trên ta tính được :
n
B
= 17 ;
257
Bi Bi
X n∑ =
;
2
3.953
Bi Bi
X n∑ =

Kỳ vọng mẫu của X
B
là :
1
15.1176
B
Bi Bi

X X n
n
−
= ∑ =
(cm)

Phương sai mẫu của X
B
là:
2
^
S
=
2
2 2
1
(1.9965)
i i
X n X
n
−
∑ − =
(cm)
2


Phương sai mẫu đã hiệu chỉnh của X
B
là :
2

^
2 2
(2.0580)
1
B
B
B
n
S
B
n
S
= =
−
(cm)
2

Vì n
B
< 30 , X
B
có phân phối chuẩn ,
2
( )
B B
D X
δ
=
chưa biết . Nên ta có công thức ước
lượng khoảng cho kỳ vọng :

;
k k
B B
B
B B
S S
X t X t
n n
α α
−
−
 
− +
 ÷
 ÷
 
(trung bình X trừ t anpha
bình k )
Trong đó
k
t
α
được xác định từ bảng phân phối Student với
k = n
B
– 1 = 16 và
1
α γ
= −
= 1 - 0.92 = 0.08

tra bảng phân phối Student ta được :
k
t
α
= 2.153
vậy ước lượng khoảng là:
2.0580 2.0580
15.1176 2.153 ; 15.1176 2.153 ;
17 17
 
 
− +
 ÷
 ÷
 
 
= 14.0429 ; 16.1922
với độ tin cậy 92%, giá trị trung bình của chỉ tiêu X của những sản phẩm loại B nằm
trong khoảng 14.043 cm đến 16.19 cm

b)
Giả sử trong kho có 1000 sản phẩm loại B.hảy ước lượng số sản phẩm trong kho với độ tin cậy
92%.

γ = 1
−
α
= 92% = 0.92

(1 (1

;
n n n n
n n
F F F F
F z F z
n n
α α
 
− −
− +
 ÷
 ÷
 

trong đó:
( )
0.92
0.46
2 2
z
α
γ
ϕ
= = =
tra bảng giá trị hàm Laplace , ta có :
z
α
= 1.75
mặt khác: trong n = 1000 sản phẩm có m = 17 sản phẩm loại B nên tỉ lệ mẫu sản phẩm
loại b là F

n
= 0.17.
vậy ước lượng khoảng là :
0.17(1 0.17) 0.17(1 0.17)
0.17 1.75 ;0.17 1.75
100 100
 
− −
− +
 ÷
 
= 9.55% ;
11.61%
với độ tin cậy 92%, tỉ lệ sản phẩm laoij B nằm trong khoảng từ 9.55% đến 11.61% trong kho có 1000
sản phẩm loại B
gọi N là số sản phẩm có trong kho
ta có : tỉ lệ sản phẩm loại B là 1000 / N
với độ tin cậy 92%, tỉ lệ các sản phẩm loại B từ 9.55% đến 11.61%
⇔

1000
9.55% 11.61%
9.55 1000 11.61
100 100
N
N
≤ ≤
≤ ≤

⇔

100.1000 100.1000
11.61 9.55
N≤ ≤
⇔
8613.26
≤
N
≤
10471.20
⇔
8613
≤
N
≤
10471
Với độ tin cậy 92% ta ước lượng trong kho có từ 8613 đến 10471 sản phẩm.
c) Giả sử trong kho có 10.000 sản phẩm loại B.hảy ước lượng số sản phẩm trong kho với độ tin cậy
92%.
(tương tự câu b)