Tiểu luận chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn toán suy luận tương tự trong dạy toán trung học nghiên cứu phương pháp tạo độ trong không gian

1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Việc sử dụng suy luận tương tự vào dạy học được nhiều nhà giáo dục trong
và ngoài nước quan tâm nghiên cứu
Khi gặp một tình huống mới, học sinh (HS) có xu hướng so sánh, đối chiếu
nó với các vấn đề tương tự trước đó, từ đó tìm ra cách giải quyết vấn đề. Việc sử
dụng suy luận tương tự (SLTT) trong quá trình dạy học (DH) đòi hỏi HS phải hoạt
động dựa trên kiến thức cũ để tự mình khám phá ra các kiến thức mới. Vì vậy, HS
là người chủ động, tích cực để hình thành các giả thuyết mới. Quá trình này thúc
đẩy phát triển tư duy vì nó đòi hỏi người học phải biết suy xét, phân tích, so sánh,
đối chiếu, khái quát hóa các kiến thức; từ đó, khuyến khích lòng ham mê học tập và
là động lực để phát huy tư duy độc lập, tư duy phê phán và tư duy sáng tạo của HS.
SLTT có vai trò quan trọng trong DH khoa học nói chung và DH toán nói
riêng. SLTT có thể được dùng để xây dựng ý nghĩa cho tri thức, xây dựng giả
thuyết trong DH khám phá, dự đoán và ngăn ngừa sai lầm của HS, dùng trong giải
bài tập toán,…. Vì vậy, việc nghiên cứu về tương tự, SLTT và sử dụng SLTT vào
DH đã được nhiều tác giả quan tâm.
 Ở thời kì cổ đại, theo [66], Aristote đã xem xét SLTT là cách suy luận dựa
trên những điểm giống nhau hay tương tự giữa hai vật. Ông đã đưa ra tương tự dựa
trên nguyên nhân, dấu hiệu, các đại diện và tương tự dựa trên tính tỷ lệ.
 Ở thời kì trung đại, theo [67], khi các trường Đại học đầu tiên (Bologna,
Paris, Oxford) được thành lập, các nghiên cứu về SLTT cũng tăng lên và được xem
xét thành ba loại chính:
Thứ nhất, theo ý nghĩa gốc Hy Lạp, SLTT liên quan đến so sánh hai tỷ lệ
hoặc một mối quan hệ giữa hai điều.
Thứ hai, SLTT theo thuộc tính.
Thứ ba, SLTT được sử dụng bởi các nhà thần học, là mối quan hệ giống
nhau giữa Thiên Chúa và các sinh vật.
 Ở thời kì hiện đại, những nghiên cứu về tương tự và SLTT được phát triển

mạnh mẽ. SLTT không chỉ là suy luận giữa các tỷ số hay mối quan hệ giữa hai điều
có đặc điểm tương tự mà nó là một tương ứng giữa hai cấu trúc được ràng buộc bởi
nhiều yếu tố.


2

G. Polya (1977) đã nghiên cứu việc sử dụng SLTT trong toán học và cho
rằng SLTT có thể cung cấp nguồn cho các vấn đề mới và có thể nâng cao hiệu suất,
ý tưởng giải quyết vấn đề. Theo [23, tr. 24-50], ông đã giới thiệu SLTT cùng mối
liên hệ của nó với khái quát hóa, đặc biệt hóa trong giải quyết các vấn đề toán học.
Dedre Gentner (1983) đã đưa ra lý thuyết cấu trúc tương ứng (Structure Mapping) nhằm mục đích nắm bắt các quy trình tâm lý thực hiện SLTT. Lý thuyết
này cho rằng “SLTT là một tương ứng từ một cấu trúc (nguồn) đến một cấu trúc
khác (đích)” [43].
Hassan Hussein Zeitoun (1984) đã đưa ra mô hình GMAT (The General
Model of Analogy Teaching). Theo [52], mô hình GMAT nhấn mạnh sự cần thiết
lên kế hoạch trước khi sử dụng SLTT để giúp HS học tập kiến thức mới và đánh giá
những tác động của SLTT để đáp ứng nhu cầu của HS.
Theo [59], Tom Murray, Klaus Schultz, David Brown và Jonh Clement
(1990) đã thiết kế một chiến lược giảng dạy sử dụng SLTT để khắc phục quan niệm
sai lầm bằng cách khơi gợi trực giác chính xác hiện có và mở rộng những trực giác
bằng cách khuyến khích những suy nghĩ tương tự.
Shawn M. Glynn (1994) đề xuất mô hình TWA (Teaching With Analogies).
Theo [58], mô hình này đã nêu ra một quy trình DH với SLTT một cách rõ ràng bao
gồm 6 bước.
Holyoak (1997) phát triển nghiên cứu việc sử dụng SLTT trong giải quyết
vấn đề và cho rằng quá trình lập tương ứng cần hướng đích: sự gắn kết của SLTT
phụ thuộc vào cấu trúc thống nhất, ngữ nghĩa và mục đích. Vì vậy, giữa nguồn và
đích cần có càng nhiều mối quan hệ, thuộc tính giống nhau càng tốt và nó giúp giải
quyết vấn đề gần.[70]

Lindsey E. Richland, Keith J. Holyoak và James W. Stigler (2004) đã nghiên
cứu xem xét các vấn đề: HS - GV tham gia, nguồn tương tự, xây dựng mục tiêu và
bối cảnh xuất hiện tương tự. Những dữ liệu từ 103 tương tự xuất hiện trong 25 lớp 8
học toán được chọn ngẫu nhiên ở Mỹ cho thấy rằng các GV thường xuyên sử dụng
tương tự như các cơ chế hướng dẫn để dạy các khái niệm. Xây dựng nguồn và mục
tiêu cũng liên quan đến tương tự đáp ứng nhu cầu học tập của HS dưới sự kiểm soát
và giúp đỡ của GV. [49]
Leslie Jill Atkins (2004) đã tập trung vào việc HS tạo ra tương tự trong khoa
học và cung cấp một mô hình cho sự hiểu biết này. Tác giả cung cấp bằng chứng về


3

phân loại tương tự và các cơ sở của tương tự, từ đó cho rằng tương tự được tạo ra
dựa vào lược đồ và các mô hình nhận thức. [48]
Theo [40], Harrison và Coll (2007) đưa ra một hướng dẫn GV cách phân tích
một tương tự trước và sau khi DH với SLTT: mô hình FAR (Focus-ActionReflection).
Nghiên cứu của Kyung Hwa Lee, Min Jung Kim, Gwi Soo Na, Dae Hee Han
và Sang Hun Song (2007) tập trung thảo luận hai vấn đề: làm thế nào để các HS lớp
6 và lớp 8 có năng khiếu toán học sử dụng quy nạp, tương tự và hình ảnh trong quá
trình giải quyết công việc của các em và vai trò của quy nạp, tương tự và hình ảnh
trong việc khám phá toán học. [47]
Alison Pease, Markus Guhe và Alan Smaill (2009), khám phá nguồn gốc và
sự phát triển các giả thuyết của Descartes – Euler và những thảo luận hình học (sự
giống nhau giữa hai chiều và ba chiều, SLTT trong toán học của G. Polya) thông
qua các SLTT đã được sử dụng để phát minh ra và phân tích phỏng đoán. [41]
 Ở Việt Nam, có nhiều nghiên cứu về SLTT và ứng dụng của nó trong DH
được giới thiệu bởi các tác giả như Hoàng Chúng, Nguyễn Bá Kim, Đào Tam,
Nguyễn Phú Lộc, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến, Đoàn Hữu Hải,…
Tác giả Hoàng Chúng (1994) đã định nghĩa SLTT “là suy luận căn cứ vào

một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để rút ra kết luận về những thuộc
tính giống nhau khác của hai đối tượng đó” [5, tr. 87-88], cùng sơ đồ, ví dụ minh
họa và các điều kiện đảm bảo độ tin cậy của SLTT.
Tác giả Đoàn Hữu Hải (2001) đã chỉ ra “những qui tắc đặt tương ứng về sự
tương tự dựa trên các phương diện cấu trúc; sự tương tự giữa các khái niệm, định
nghĩa, định lý liên quan đến các đối tượng cơ bản và những quan hệ cơ bản và sự
tương tự giữa các tính chất của những hình dạng thông thường”[8].
Tác giả Nguyễn Bá Kim (2004) xem xét SLTT là một cách thông dụng để tạo
tình huống gợi vấn đề trong DH phát hiện và giải quyết vấn đề [13, tr.209].
Tác giả Lê Thị Hoài Châu (2004) đã giới thiệu việc khai thác phép SLTT vào
DH hình học không gian: thứ nhất là sự tương tự tính chất của hình học phẳng và
hình học không gian; thứ hai là dùng tương tự trong cách giải quyết hai bài toán khi
có sự tương tự về các yếu tố cho trong giả thiết và kết luận (theo [4, tr. 212-216]).
Tác giả Lê Văn Tiến (2005) đã đưa ra một ví dụ sử dụng SLTT giữa tam giác
vuông và tứ diện vuông [34].


4

Tác giả Đào Tam (2007) đã nhấn mạnh cần “chú trọng cho HS thao tác tư
duy tương tự hóa giữa việc DH hình học phẳng và hình học không gian” [29, tr.63]
và chỉ ra các sai lầm khi sử dụng SLTT. Đối với nội dung PPTĐ, tác giả đã phân
tích đặc điểm và chỉ ra sự tương tự giữa các kiến thức trong mặt phẳng và trong
không gian.
Tác giả Nguyễn Phú Lộc (2010) đã đề cập cơ sở lý thuyết về SLTT, hai loại
SLTT theo quan hệ và theo thuộc tính. Bên cạnh đó, theo [18, tr. 64-69] và [20, tr.
81-82], tác giả Nguyễn Phú Lộc đã đề cập hai mô hình TWA và FAR sử dụng SLTT
vào DH khám phá các khái niệm cấp số nhân, đạo hàm và giới hạn dãy số.
Tác giả Từ Đức Thảo (2011) đề cập việc tìm ra các quy luật, tính chất liên
quan đến elip, hyperbol, parabol bằng cách sử dụng SLTTvới các quy luật liên quan

đến đường tròn [33].
Tác giả Bùi Phương Uyên (2012) đã vận dụng mô hình TWA vào DH các
khái niệm trong chương PPTĐ trong không gian và thực nghiệm kiểm chứng [38].
Tác giả Dương Hữu Tòng (2013) nghiên cứu cách sử dụng SLTT để xây
dựng nghĩa cho tri thức, xây dựng giả thuyết, dùng trong giải các bài tập liên quan
đến chủ đề phân số [37].
1.2. Mối quan hệ tương tự giữa phương pháp tọa độ trong không gian và phương
pháp tọa độ trong mặt phẳng
Phương pháp tọa độ (PPTĐ) là “một phương pháp tư duy mới, tư duy hình học
bằng những con số, tìm hiểu các hình hình học qua phương trình của chúng. Việc
đưa kiến thức vectơ PPTĐ vào chương trình hình học... đã giúp HS tiếp cận với một
phương pháp tư duy hiện đại... có thêm những phương tiện mới để suy luận một
cách có cơ sở khoa học mà hoàn toàn không dựa vào trực giác” (dẫn theo [4,
tr.120]). PPTĐ là một nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông hiện
nay. PPTĐ chiếm một phần ba nội dung hình học trong chương trình sách giáo khoa
(SGK) toán lớp 10 và lớp 12 hiện nay. Đây cũng là một nội dung quan trọng trong
các kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông, thi đại học, cao đẳng (chiếm 1/5 khối
lượng trong các đề thi). Vì vậy, cần giúp cho HS nắm vững các khái niệm, định lý
và vận dụng tốt vào giải các bài tập PPTĐ là một yêu cầu cần thiết hiện nay.
Các SGK hiện nay trình bày chủ yếu một hệ tọa độ là hệ tọa độ Descartes
vuông góc trong cả mặt phẳng lẫn không gian vì nó là hệ tọa độ thông dụng nhất và
cho phép giải quyết cả những bài toán aphin lẫn những bài toán mêtric. SGK Hình


5

học 10 đề cập đến một số nội dung quan trọng: Phương trình tham số (PTTS),
phương trình (PT) chính tắc, phương trình tổng quát (PTTQ) của đường thẳng, PT
theo đoạn chắn, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường
thẳng, PT đường tròn, các đường conic,... Trong không gian, nội dung của PPTĐ

bao gồm: PTTQ của mặt phẳng, vectơ pháp tuyến (VTPT), cặp vectơ chỉ phương
(VPCP), vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt
phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, PTTS của đường thẳng, PT mặt cầu,... Điều này cho
thấy rằng có nhiều khái niệm ở chương PPTĐ trong không gian là những vấn đề
tương tự như đã xét đối với các khái niệm ở chương PPTĐ trong mặt phẳng. Hơn
thế nữa, ở hai chương PPTĐ trong mặt phẳng và trong không gian, rất nhiều dạng
bài tập có nội dung và cách giải hoàn toàn tương tự nhau. Vì thế, giáo viên (GV)
cần giúp cho HS thấy được sự tương tự giữa các nội dung trong PPTĐ trong mặt
phẳng và PPTĐ trong không gian. Điều này được tác giả Lê Thị Hoài Châu chỉ rõ :
“Khi dạy PPTĐ trong không gian cần phải liên hệ với PPTĐ trong mặt phẳng, chỉ cho
HS thấy sự tương tự, sự khái quát hóa từ mặt phẳng lên không gian: PTTQ, VTPT, cặp
VTCP, vị trí tương đối của hai mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, góc
giữa hai mặt phẳng là những vấn đề tương tự như đã xét với đường thẳng trong mặt
phẳng”. [4, tr. 142]

Như đã phân tích, DH với SLTT có vai trò quan trọng trong quá trình DH toán
bởi nó không chỉ giúp HS có cơ hội ôn tập kiến thức cũ mà còn giúp phát huy tính
tích cực của HS trong việc khám phá kiến thức mới. Bên cạnh đó, các nội dung
trong chương PPTĐ trong gian có nhiều điểm tương tự với các nội dung trong
chương PPTĐ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, hiện nay chưa có nhiều công trình
nghiên cứu về vấn đề này. Vì vậy, DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong
không gian bằng việc sử dụng SLTT với các nội dung ở chương PPTĐ trong mặt
phẳng là một vấn đề mới. Từ đây đặt ra cho chúng tôi bốn nghi vấn sau:
- Thứ nhất, các tác giả SGK Hình học hiện hành có sử dụng SLTT để trình
bày các nội dung cụ thể trong chương PPTĐ trong không gian hay không?
- Thứ hai, từ việc sử dụng SLTT trong các SGK, GV toán THPT và SV sư
phạm toán có lựa chọn sử dụng SLTT trong DH chương PPTĐ trong không gian
như là một chiến lược nhằm phát huy tính tích cực của HS hay không?
- Thứ ba, HS mắc phải những loại sai lầm nào khi sử dụng SLTT trong quá
trình học tập ở chương PPTĐ trong không gian?

6

- Thứ tư, làm thế nào để phát huy tính hiệu quả khi DH với SLTT ở chương
PPTĐ trong không gian?
Từ những nghi vấn trên đây, chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu của luận án:
“Suy luận tương tự trong dạy học môn Toán trung học phổ thông:
Nghiên cứu trường hợp Phương pháp tọa độ trong không gian”.
2. Phạm vi lý thuyết và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi về tương tự, SLTT và DH
với SLTT. Bên cạnh đó, một số công cụ lý thuyết của didactic toán được vận dụng
trong luận án là:
- Thuyết nhân học trong didactic toán: quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối
với một đối tượng tri thức, tổ chức toán học.
- Hợp đồng DH trong nghiên cứu sai lầm của HS.
- Lý thuyết tình huống: phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm các
tình huống DH.
Mục đích của đề tài là tìm hiểu về khái niệm tương tự, SLTT, vai trò, vị trí
của nó và các ứng dụng của SLTT trong DH PPTĐ trong không gian. Từ những
nghi vấn ban đầu, chúng tôi đã cụ thể thành các câu hỏi nghiên cứu sau:
Câu hỏi nghiên cứu 1: Mối tương quan tương tự giữa PPTĐ trong mặt phẳng
và PPTĐ trong không gian ra sao? Có những kiểu nhiệm vụ nào trong chương
PPTĐ trong không gian tương tự các kiểu nhiệm vụ trong PPTĐ trong mặt phẳng?
Có những kết luận gì về thực trạng sử dụng SLTT trong SGK Hình học hiện nay?
Câu hỏi nghiên cứu 2: Sự ảnh hưởng của việc sử dụng SLTT trong chương
PPTĐ trong không gian ở các SGK đối với việc thực hành giảng dạy của GV toán
THPT và SV năm cuối ngành sư phạm toán ra sao?
Câu hỏi nghiên cứu 3: HS gặp phải những sai lầm nào khi sử dụng SLTT vào
giải bài tập chương PPTĐ trong không gian?

Câu hỏi nghiên cứu 4: Những biện pháp nào để phát huy tác dụng tích cực
của SLTT trong DH PPTĐ trong không gian? Làm thế nào để kiểm chứng tính hiệu
quả của các biện pháp này?
3. Phương pháp nghiên cứu
Để tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi được nêu ở trên, chúng tôi sử dụng các
phương pháp nghiên cứu sau:


7

- Nghiên cứu lý luận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các quan niệm về
tương tự, SLTT và các mô hình DH sử dụng SLTT để hình thành cơ sở lý thuyết
cho đề tài.
- Phương pháp phân tích nội dung: phân tích các SGK Hình học hiện hành
được thực hiện nhằm tìm hiểu các SLTT được sử dụng như thế nào trong SGK và
đặc biệt ở chương PPTĐ trong không gian.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
 Tìm hiểu thực tiễn DH sử dụng SLTT trong chương PPTĐ trong không
gian của GV và SV sư phạm Toán.
 Tìm hiểu những sai lầm của HS liên quan đến SLTT khi học tập các kiến
thức trong chương PPTĐ trong không gian.
- Nghiên cứu và phát triển: đề xuất những giải pháp tổ chức DH sử dụng
SLTT vào DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian.
- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm: triển khai thực nghiệm kiểm chứng
tính hiệu quả của các tình huống DH sử dụng SLTT đã đề xuất.
- Phương pháp thống kê toán học: phân tích các dữ liệu nghiên cứu.
Quá trình nghiên cứu của chúng tôi được mô tả ở hình 1.


8

NGHIÊN CỨU TỔNG QUAN

NGHIÊN CỨU CƠ SỞ LÝ THUYẾT

NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu các SLTT
trong SGK Hình học
(câu hỏi nghiên cứu 1)

Nghiên cứu thực tiễn DH sử
dụng dụng SLTT của GV và
SV (câu hỏi nghiên cứu 2)

Nghiên cứu sai lầm của HS khi
sử dụng SLTT
(câu hỏi nghiên cứu 3)

Nghiên cứu giải pháp sử dụng SLTT
vào DH và thực nghiệm
kiểm chứng (câu hỏi nghiên cứu 4)

THU THẬP DỮ LIỆU NGHIÊN CỨU

PHÂN TÍCH DỮ LIỆU NGHIÊN CỨU

TỔNG HỢP VÀ TƯỜNG THUẬT
KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Hình 1. Sơ đồ quá trình nghiên cứu của luận án
4. Giới hạn của đề tài

Ở đây, chúng tôi lựa chọn một phép suy luận được sử dụng nhiều trong quá
trình học tập, khám phá kiến thức mới của HS: SLTT. Phép suy luận này được
nghiên cứu trong quá trình DH toán ở trường THPT và được vận dụng vào DH các


9

nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian. Hơn nữa, trong luận án chúng tôi
chỉ tập trung nghiên cứu những SLTT chuyển từ mặt phẳng sang không gian.
Để nghiên cứu sự ảnh hưởng của việc sử dụng SLTT ở SGK đối với việc thực
hành giảng dạy của GV và SV, chúng tôi dựa trên cơ sở so sánh các SLTT được
trình bày trong các SGK Hình học 12 hiện hành (cơ bản và nâng cao) với cách sử
dụng SLTT trong các tiết dạy của GV toán THPT và giáo án của SV sư phạm toán.
Về đối tượng khảo sát, chúng tôi chỉ tiến hành khảo sát đối với GV và HS các
trường THPT ở các tỉnh đồng bằng sông Cửu Long, SV ngành Sư phạm toán trường
Đại học Cần Thơ.
5. Giả thuyết khoa học
Các giả thuyết sau đây có được từ việc nghiên cứu cơ sở lý luận, nghiên cứu
nội dung SGK và thực trạng DH với SLTT. Việc kiểm chứng tính đúng đắn của
chúng được thực hiện trong chương 5 và chương 6 của luận án.
H1: Bằng cách sử dụng SLTT, GV có thể tổ chức DH giúp HS khám phá tri
thức toán học ở chương PPTĐ trong không gian.
H2: Bằng cách sử dụng SLTT, GV có thể giúp HS tìm tòi lời giải cho các bài
toán ở chương PPTĐ trong không gian .
H3: Trong học tập chương PPTĐ trong không gian, HS sẽ gặp phải những sai
lầm khi giải bài tập toán do sử dụng SLTT.
6. Đóng góp chính của luận án
6.1. Về mặt lý luận
- Tổng hợp quan điểm của nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục về tương tự, SLTT,
vai trò và ứng dụng của nó trong quá trình DH, cách phân loại về SLTT và các mô

hình DH sử dụng SLTT như: mô hình GMAT, mô hình TWA, mô hình FAR,…
- Đề xuất tiêu chí đánh giá mức độ sử dụng SLTT trong DH.
- Đề xuất sáu giải pháp nhằm phát huy tác dụng tích cực của SLTT vào DH.
- Đề xuất cách vận dụng SLTT vào sáu quy trình DH cơ bản: quy trình DH
khám phá khái niệm; quy trình DH khám phá định lý, quy trình DH giải bài toán;
quy trình dự đoán sai lầm của HS do các nguồn tương tự trước khi giảng dạy; quy
trình phân tích và phát hiện sai lầm; quy trình sửa chữa sai lầm khi sử dụng SLTT.
6.2. Về mặt thực tiễn
- Phân tích các tương tự và SLTT được sử dụng trong các SGK Hình học hiện
hành ở chương PPTĐ trong không gian.


10

- Làm rõ những ảnh hưởng của cách trình bày các SLTT ở SGK đến việc DH
sử dụng SLTT ở chương PPTĐ trong không gian của GV ở trường phổ thông hiện
nay và SV năm cuối ngành sư phạm toán.
- Chỉ ra một số sai lầm của HS do sử dụng SLTT khi giải bài tập ở chương
PPTĐ trong không gian.
- Các giải pháp và các quy trình DH với SLTT góp phần nâng cao hiệu quả
quả DH các nội dung cụ thể ở chương PPTĐ trong không gian nói riêng và DH môn
toán nói chung.
7. Những điểm cần bảo vệ
- Những quan niệm về tương tự, SLTT và vai trò của nó trong DH.
- Những SLTT được sử dụng trong các SGK hiện hành và thực trạng DH với
SLTT của GV, SV sư phạm toán trong chương PPTĐ trong không gian.
- Một số kết quả về nghiên cứu sai lầm của HS khi sử dụng SLTT ở chương
PPTĐ trong không gian.
- Các giải pháp sư phạm và các quy trình DH phát huy tác dụng tích cực của
SLTT trong DH chương PPTĐ trong không gian và kết quả thực nghiệm kiểm

chứng.
8. Cấu trúc của luận án
Tương ứng với mục đích và nhiệm vụ đặt ra, ngoài phần mở đầu và kết luận,
nội dung chính của luận án được trình bày theo 6 chương như sau:
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Chương 2. Phương pháp và thiết kế nghiên cứu
Chương 3. Nghiên cứu SLTT trong chương PPTĐ trong không gian
Chương 4. Nghiên cứu thực tiễn DH sử dụng SLTT
Chương 5. Nghiên cứu thực tiễn về sai lầm của HS khi sử dụng SLTT
Chương 6. Giải pháp phát huy tác dụng tích cực của SLTT trong DH toán và
thực nghiệm sư phạm


11

Chương 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Trong chương này, chúng tôi phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa các quan
niệm của các nhà giáo dục về tương tự, SLTT, vai trò của SLTT trong DH toán và
các mô hình DH sử dụng SLTT để hình thành cơ sở lý thuyết cho đề tài.
1.1. Khái niệm tương tự và suy luận tương tự
1.1.1. Tương tự là gì?
Từ tương tự có nguồn gốc từ “αναλογια”, một từ toán học của Hy Lạp. Từ này
có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số [20, tr. 81- 82].
Theo G. Polya (1997), tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Những đối
tượng phù hợp với nhau trong những mối quan hệ được quy định là những đối
tượng tương tự. Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các mối quan
hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng. Theo [23, tr.24 -26], tam giác
trong mặt phẳng tương ứng tứ diện trong không gian. Trong mặt phẳng, hai đường
thẳng không tạo nên một hình giới hạn, còn ba đường thẳng tạo nên một tam giác.

Trong không gian, ba mặt phẳng không tạo nên một vật giới hạn, còn bốn mặt
phẳng thì có thể tạo nên một tứ diện. Quan hệ của tam giác với mặt phẳng cũng như
quan hệ của tứ diện với không gian bởi chúng đều được giới hạn bởi số tối thiểu
những yếu tố cơ bản.
Trong một định nghĩa của Hassan Hussein Zeitoun [50, tr.164-177], tương tự
được dựa trên bốn thành phần cụ thể là “nguồn”, “đích”, “tương đồng” và “dị biệt”.
“Đích” là các vật không quen thuộc, các vật trừu tượng để được học. Nó có thể là
một khái niệm, nguyên tắc, quy luật, lý thuyết hay vấn đề công việc cần được giải
quyết. Khái niệm “nguồn” là các vật cụ thể, quen thuộc, thu được từ xung quanh
hoặc từ một tình huống trong môi trường. Nó được sử dụng để tạo điều kiện thuận
lợi cho việc học tập của khái niệm đích. Khái niệm “nguồn” cũng đại diện cho
tương tự và ngược lại. Thuật ngữ “tương đồng” đề cập đến những điểm tương đồng
chia sẻ giữa các tính năng tương ứng của khái niệm nguồn và khái niệm đích. Thuật
ngữ “dị biệt” được sử dụng để chỉ bất kỳ hình thức khác biệt hoặc không tương
đồng giữa các tính năng của khái niệm nguồn và đích.
Theo định nghĩa của Duit và Glynn, một tương tự biểu thị sự tương đồng giữa
hai lĩnh vực có liên quan đến đặc tính cụ thể [63].


12

Theo Gentner (1983), T và S tương tự với nhau hay ta nói “T giống S” xác
định một tương ứng từ S đến T [43]. S được gọi là nguồn và là một kiến thức đã
biết, T được gọi là đích và là đề tài được học. Như vậy, Gentner xem tương tự là
một tương ứng từ nguồn đến đích (một dấu hiệu giống nhau giữa nguồn và đích).
Thông thường, nguồn là một phần đã được biết đến, trong khi đích là một phần có
thể suy ra hoặc phát hiện. Sự tương tác của nguồn và đích tạo ra một cấu trúc mới
mở rộng vượt ra ngoài trước kinh nghiệm đã có.
Trong luận án này, chúng tôi lấy quan niệm về tương tự của G. Polya làm cơ
sở lý thuyết.

1.1.2. Suy luận tương tự là gì?
Theo từ điển Bách khoa toàn thư [62], SLTT là phương pháp luận xác định
sự giống nhau trong một số mặt, tính chất và quan hệ giữa những đối tượng không
đồng nhất với nhau.
Trong logic học, tác giả Hoàng Chúng (1994) định nghĩa SLTT là suy luận
căn cứ vào một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng, để rút ra kết luận về
những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tượng đó [5, tr. 87- 88].
Sơ đồ: - Hai đối tượng A và B có các thuộc tính chung (giống nhau) a, b, c, d, e.
- Đối tượng A có thuộc tính f.
Có thể: B cũng có thuộc tính f.
Ví dụ : - Trái đất và sao Hỏa có một số thuộc tính chung: là hành tinh của mặt trời,
đều có không khí, đều có nước, đều có khí hậu tương đối ôn hòa.
- Trên trái đất có sự sống.
Có thể, trên sao Hỏa cũng có sự sống.
SLTT, theo Hativah (2000) [53, tr. 163-165], được định nghĩa như là “sự so
sánh giữa những vật nói chung khác nhau nhưng nổi bật lên là sự giống nhau ở vài
khía cạnh thích hợp”. Vật làm cơ sở cho tương tự, là phần tử để so sánh, được gọi là
nguồn; trong khi đó, những vật được giải thích hoặc được học nhờ sử dụng SLTT
được gọi là đích. Sử dụng SLTT là một quá trình liên quan đến sự trao đổi giữa
nguồn và đích.
Theo quan điểm tương ứng - cấu trúc (structure – mapping), Gentner (1983)
cho rằng SLTT là một tương ứng từ một cấu trúc (nguồn) đến một cấu trúc khác
(đích) và đưa ra mô hình của SLTT như sau (xem hình 1.1):


13
Nguồn

Đích

Cấu trúc

Cấu trúc

đã biết

được suy ra

Hình 1.1. Sơ đồ cấu trúc tương ứng của SLTT [43]

Năm 1983, Holyoak và các cộng sự đã nghiên cứu vai trò của SLTT trong
giải quyết vấn đề. Holyoak xác định SLTT là quá trình lập tương ứng giữa nguồn và
đích theo hướng đạt được mục tiêu (xem hình 1.2).

Nguồn

lập tương ứng

Đích

thiết lập lại

--------------Suy luận

đánh giá

học tập

học tập
Giải quyết

vấn đề

Hình 1.2. Mô hình học tập bằng SLTT của Holyoak [51]

SLTT là một loại hình của phép suy luận quy nạp, không phải là một suy
luận chứng minh, nên những kết luận dự kiến chỉ là giả thuyết, thực tế đúng đắn của
chúng không được bảo đảm mà phải được kiểm tra một cách riêng biệt. Vì vậy, khi
đánh giá một SLTT cần chú ý: cho dù những kết luận dự kiến có cấu trúc nhất quán
đi nữa, tính đúng đắn của đích vẫn có thể khác so với các kết luận dự kiến. Một tiêu
chí khác được áp dụng trong giải quyết vấn đề là liệu các kết luận của SLTT có liên
quan đến mục tiêu hiện tại hay không. Một SLTT có cấu trúc suy luận đúng, nhưng
vẫn không liên quan đến mục tiêu. Đó là khả năng thích ứng của những kết luận cho
vấn đề mục tiêu [65].
Trong luận án, chúng tôi xem xét SLTT là phép suy luận từ những đặc điểm
chung của nguồn và đích, rút ra những đặc điểm chung khác của chúng. Để đạt


14

được hiệu quả khi sử dụng SLTT đòi hỏi một sự hiểu biết đúng đắn về lĩnh vực
nguồn. Do đó, kiến thức mà HS đã học đóng một vai trò quan trọng trong sự hiểu
biết đúng đắn về các khái niệm mới. Hơn nữa, việc sử dụng SLTT còn phù hợp với
quan điểm học tập kiến tạo; có nghĩa là, học tập là một quá trình hoạt động xây
dựng kiến thức mới dựa trên cơ sở kiến thức đã có. Nói cách khác, học tập về cơ
bản có liên quan với xây dựng tương đồng giữa những ý tưởng mới và những ý
tưởng hiện có.
1.1.3. Suy luận tương tự dưới góc độ triết học và tâm lý học
a. Dưới góc độ triết học, SLTT là suy luận dựa trên việc phân tích những cái
riêng để tìm ra các thuộc tính, đặc điểm chung, từ đó suy ra các thuộc tính chung
khác của chúng. Bên cạnh đó, SLTT cũng yêu cầu phải chỉ ra những đặc điểm khác

nhau hay cái đơn nhất của các cái riêng. Quá trình này tuân theo quy luật của phép
duy vật biện chứng [15].
b. Dưới góc độ tâm lý học, theo Helmar Gust và các cộng sự [52], SLTT là
một loại suy luận áp dụng giữa các hình mẫu hoặc các trường hợp cụ thể, mà những
gì được biết đến về một hình mẫu này được sử dụng để suy ra thông tin mới về hình
mẫu khác.
Trực giác là yếu tố cơ bản của SLTT khi có sự tương đồng trên các tình
huống khác nhau. Trong nhận thức khoa học, với một tình huống hiện tại, gợi nhớ
là quá trình nhắc lại về một tình huống đã biết. Khi hai tình huống hiện diện trong
trí nhớ, lập tương ứng có thể xảy ra. Hình 1.3 minh họa quá trình thực hiện SLTT
và liên quan đến khả năng nhận thức.
Trí nhớ
Đầu vào:
Nguồn và
đích

Gợi nhớ

Suy luận

Lập tương ứng
Học tập bằng
trừu tượng

Sáng tạo

Chuyển đổi

Đầu ra:
Suy luận

tương tự

Học tập bằng
chuyển đổi

Hình 1.3. SLTT trong quá trình nhận thức (theo [52])
 Trí nhớ (Memory): Thông tin được lưu trữ trong bộ nhớ và có thể xuất hiện lại
trong các trường hợp nhất định. Khi tiếp xúc với những tình huống mới (có chứa


15

những chi tiết khác so với kinh nghiệm đã có), quá trình gợi nhớ lại những thông tin
tương tự đã biết sẽ xảy ra.
 Suy luận (Reasoning): SLTT là một loại hình suy luận quy nạp. Đó là áp dụng
các đặc điểm, quy tắc từ nguồn, suy luận rút ra những đặc điểm, quy tắc của đích.
Khả năng đúng đắn của SLTT càng cao khi có càng nhiều điểm tương đồng giữa
nguồn và đích.
 Học tập bằng chuyển đổi (Learning by transfer): Học tập bằng chuyển đổi
được thực hiện bằng cách chuyển các quy tắc, đặc điểm của nguồn thành các quy
tắc, đặc điểm của đích. Quá trình lập tương ứng liên kết giữa nguồn và đích tạo ra
một quan hệ tương tự giữa chúng.
 Học tập bằng trừu tượng (Learning by abstraction): Học tập bằng trừu tượng
được thực hiện bằng việc xác định cấu trúc chung của nguồn và đích một cách tổng
quát. Sau đó, khái quát và sàng lọc các đặc điểm tương tự giữa nguồn và đích để
xác định nguyên tắc chung áp dụng trong nhiều trường hợp.
 Sáng tạo (Creativity): Sáng tạo là tạo ra một ý tưởng, hành động, hoặc đối
tượng mới có giá trị. SLTT có thể được xem như là một cách để sáng tạo, vì chúng
có thể đưa ra các tri thức mới thông qua một tri thức tương tự đã biết.
1.1.4. Các thao tác tư duy liên quan đến suy luận tương tự

Một trong những nhiệm vụ quan trọng của DH toán là rèn luyện cho HS các
hoạt động trí tuệ: khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự, so sánh, phân tích, tổng hợp....
Các hoạt động này giúp cho HS nắm vững, đào sâu kiến thức, phát huy tính độc lập,
sáng tạo của bản thân các em không những trong học tập môn toán mà còn các môn
học khác. Chúng còn là cơ sở ban đầu để hình thành những phẩm chất trí tuệ cho HS.
SLTT rất phổ biến và có mối liên hệ mật thiết, khăng khít với các thao tác tư duy
này. Khi gặp một vấn đề mới, người ta có xu hướng so sánh, đối chiếu nó với các
vấn đề tương tự trước đó. So sánh là thành tố tiên phong của SLTT. SLTT có thể
coi là yếu tố tiền đề của bước khái quát hoá vì để khái quát hoá người ta phải
chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu
bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp
xuất phát.
a. Phân tích
Theo triết học, phân tích là phương pháp phân chia cái toàn bộ ra thành từng
phần để đi sâu nhận thức các bộ phận. Về mặt tâm lý, phân tích là một quá trình


16

dùng trí óc để phân chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các thành phần
khác nhau. Phân tích các thuộc tính và thành phần giúp HS tập trung vào những chi
tiết và cấu trúc của sự vật; từ đó, HS có thể hiểu được sâu sắc hơn bản chất kiến
thức, nâng cao năng lực giải quyết vấn đề. (theo [17, tr. 42])
Phân tích là cơ sở của SLTT. Phân tích giúp nhận ra được các đặc điểm quan
trọng của các đối tượng đang xem xét để có thể rút ra các điểm giống nhau và khác
nhau của chúng.
b. So sánh
So sánh là quá trình nhận biết và làm rõ những đặc điểm giống nhau và khác
nhau giữa các đối tượng nhận thức. [17, tr. 62]
So sánh là tiền đề cho SLTT. So sánh giúp tìm ra các đặc điểm giống nhau

của các đối tượng để suy ra những thuộc tính chung, tương tự giữa hai đối tượng.
Bên cạnh đó, so sánh cũng giúp tìm ra những đặc tính khác nhau giữa các đối tượng
để tìm ra những chỗ mà sử dụng SLTT cho kết quả không đúng, hay những điểm dị
biệt của hai đối tượng.
c. Khái quát hóa
Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau
thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính nhất định, những quan hệ chung
nhất định. Quá trình này bao gồm việc quan sát, phân tích tìm các mối quan hệ giữa
các đối tượng để chỉ ra các đặc điểm chung có tính khái quát. [17, tr. 57-59]
SLTT lại được xem là tiền đề của khái quát hóa. Từ những đặc điểm chung
của các đối tượng tương tự nhau, chúng ta có thể dễ dàng tìm kiếm những kết luận
mới có tính khái quát.
1.1.5. Các loại suy luận tương tự
a. Theo Hativah (2000) [53], có thể xem xét ba loại SLTT sau:
 SLTT với nguồn và đích trong miền giống nhau: Loại SLTT này so sánh đối
với hai hiện tượng, hai khái niệm trong cùng một lĩnh vực. Chẳng hạn, trong hình
học, nguồn của PT mặt cầu là PT đường tròn.
 SLTT với nguồn và đích trong miền khác nhau: Loại SLTT này so sánh
những khái niệm được hình thành từ các miền khác nhau, các lĩnh vực khác nhau.
Ví dụ, trong Đại số, đồ thị hàm số y  ax  b có đặc điểm tương tự với đường thẳng
có PT Ax  By  C  0 trong Hình học.


17

 SLTT với nguồn dựa vào kinh nghiệm của HS: Loại SLTT này so sánh hiện
tượng hoặc khái niệm mới có đặc điểm tương tự với những gì mà HS đã biết trong
cuộc sống. Ví dụ, trong Vật lý, dòng electron đi từ nơi có hiệu điện thế cao đến nơi
có hiệu điện thế thấp giống như dòng nước chảy từ chỗ cao đến chỗ thấp là hiện
tượng quen thuộc trong cuộc sống; mặt nước trong cốc nước hình trụ đặt nghiêng là

nguồn cho khái niệm elip trong Hình học.
Cách phân loại này chú ý đến việc xem xét nguồn và đích có cùng thuộc một
miền hay nằm trong các miền khác nhau, đối tượng nguồn có quen thuộc với HS, là
những kiến thức từ cuộc sống hay đã được học. Điều đó giúp chúng ta dễ dàng phân
tích các đặc điểm của nguồn và tạo liên kết của nguồn và đích.
b. Theo Helmar Gust và các cộng sự (2008) [52], có 3 cách phân loại SLTT và được
chia theo mục đích sử dụng:
 Đầu tiên, SLTT có hình thức nói chung (A: B) :: (C: X), trong đó A, B, C là
những biểu hiện từ cùng một miền. Loại này là đặc trưng cho bài kiểm tra trí thông
minh nơi đối tượng phải tiếp tục một chuỗi các hình hình học hoặc các số và các
điều kiện ràng buộc. Trong một số trường hợp, A và B thành lập một mối quan hệ
trong nguồn cần được áp dụng cho một khái niệm C của đích để có được kết quả X
trong đích. Ví dụ, tìm X cho SLTT: tam giác: trọng tâm :: tứ diện: X.
 Thứ hai, SLTT là suy đoán. Người ta mô tả một tên miền mới (đích) không
chỉ quy định cụ thể bởi cấu trúc chung của một miền đã biết (nguồn), mà còn bởi
chuyển giao thông tin và giải thích từ nguồn đến đích.
 Thứ ba, SLTT để giải quyết vấn đề: có thể được sử dụng để giải quyết một
vấn đề bằng cách chuyển một giải pháp tốt từ nguồn đến đích. Một ví dụ liên quan
đến loại suy luận này là cách điều trị khối u bằng cách chiếu nhiều tia cường độ
thấp theo các hướng khác nhau đến khối u cùng lúc và chiếm pháo đài bằng cách
chia quân đội thành các nhóm nhỏ đi theo các con đường khác nhau để đến pháo đài
cùng một lúc.
c. Theo Nguyễn Phú Lộc (2010), mô hình của SLTT được mô tả theo hình 1.4:
- A và B có các dấu hiệu P1, P2,.. ,Pn.
- A có dấu hiệu Pn+1.

B có dấu hiệu Pn+1?
Hình 1.4. Mô hình của SLTT (theo Nguyễn Phú Lộc, 2010)

18

Các dấu hiệu biểu thị thuộc tính hay quan hệ của A và B; từ đó, ta có hai loại
SLTT sau đây:
 SLTT theo thuộc tính: dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị thuộc tính.
 SLTT theo quan hệ: dấu hiệu được rút ra trong kết luận biểu thị quan hệ.
Cách phân loại SLTT này phù hợp với quan điểm của logic học về SLTT.
d. Theo Orgill (2013) và Yener (2012), khi nghiên cứu các SLTT được trình bày
trong các SGK có các cách phân loại sau (xem bảng 1.1):
Bảng 1.1. Phân loại SLTT trong nghiên cứu SGK (theo [55], [60])
Cấu trúc: các khái niệm nguồn và đích chia sẻ những tương đồng về tính
Mối quan hệ năng bên ngoài hoặc đặc điểm của đối tượng.
tương tự giữa Chức năng: các khái niệm nguồn và đích chia sẻ những cấu trúc quan hệ,
và trong đó chức năng hoặc hành vi của nguồn và đích là giống nhau.

nguồn
đích

Cấu trúc – chức năng: các khái niệm nguồn và đích chia sẻ cả những đặc
điểm về cấu trúc và chức năng.

Hình

thức

trình bày

Bằng lời nói: Tương tự được thể hiện trong văn bản dạng lời nói.
Bằng lời nói - hình ảnh: SLTT được thể hiện bằng lời nói và hình ảnh của
nguồn.

Mức độ trừu Cụ thể - cụ thể: có thể nhìn thấy, nghe thấy, hay chạm tay cả nguồn và đích.
tượng
của Trừu tượng - trừu tượng: cả nguồn và đích đều trừu tượng.
nguồn
và
Cụ thể - trừu tượng: nguồn thì cụ thể, đích thì trừu tượng.
đích
Trình bày nguồn trước: khái niệm nguồn được trình bày trước khái niệm đích
Vị trí tương trong văn bản.
của Song song: khái niệm nguồn được trình bày song song với khái niệm đích

đối

và trong văn bản.

nguồn
đích

Trình bày nguồn sau: khái niệm nguồn được trình bày sau khái niệm đích
trong văn bản.
Đơn giản: một câu đơn giản rằng nguồn tương tự với đích.

Mức độ

Phong phú: phát biểu với những giải thích, lập tương ứng giữa nguồn và đích.

phong phú

Mở rộng: suy luận với những tương ứng rõ ràng hoặc được tác giả sử dụng

nhiều lần trong cùng quyển sách.

Hạn chế của

Phát biểu về những sai lầm khi sử dụng SLTT.

SLTT

Không phát biểu về những sai lầm khi sử dụng SLTT.

Như vậy, mỗi cách phân loại đều dựa trên một tiêu chí khác nhau và thể hiện
được ưu điểm của nó. Trong chương 3 của luận án, chúng tôi có thực hiện một
nghiên cứu để phân loại các SLTT được sử dụng ở SGK Hình học THPT. Vì vậy,
cách phân loại trong bảng 1.1 sẽ được sử dụng ở chương 3.


19

1.1.6. Những điều kiện đảm bảo độ tin cậy của suy luận tương tự
Theo [5, tr.87-88], những điều kiện để đảm bảo độ tin cậy của SLTT bao gồm: Các
đối tượng so sánh có càng nhiều thuộc tính giống nhau, các thuộc tính giống nhau càng
phong phú và số lượng các thuộc tính bản chất giống nhau càng nhiều thì mức độ chính
xác của kết luận càng cao.
Ở bảng 1.2, số thuộc tính, đặc điểm giống nhau giữa nguồn và đích ít nên SLTT về
cách giải của bài toán đích là mức độ chính xác chưa cao. Trong cách giải này, cần bổ sung
thêm điều kiện trực tâm H phải thuộc mặt phẳng (ABC) để tìm tọa độ H.
Bảng 1.2. Ví dụ về SLTT có ít thuộc tính, đặc điểm tương tự giữa nguồn và đích
Nguồn
Trong mặt phẳng Oxy, tìm tọa độ trực tâm
H của tam giác ABC biết tọa độ 3 điểm đó.

Đặc điểm Biết tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
tương tự AH  BC, BH  AC, CH  AB
Cách
Gọi H ( x; y) là tọa độ trực tâm  ABC.
giải
Từ AH .BC  0, BH . AC  0 suy ra hệ 2
PT chứa x, y. Giải hệ tìm được tọa độ H.
Bài toán

Đích
Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ trực tâm
H của tam giác ABC biết tọa độ 3 điểm đó.
Biết toa độ các đỉnh của tam giác ABC
AH  BC, BH  AC, CH  AB
Suy luận tương tự: Gọi H ( x; y; z) là tọa độ
trực tâm  ABC. Từ AH .BC  0,
BH . AC  0 suy ra hệ 2 PT chứa x, y, z.
(chưa tìm được tọa độ H)

Suy luận tương tự trong bảng 1.3 đáng tin cậy hơn vì có nhiều thuộc tính, đặc điểm
tương tự giữa nguồn và đích. Do vậy, SLTT về cách giải ở bảng 1.3 cho kết quả đúng.
Bảng 1.3. Ví dụ về SLTT có nhiều thuộc tính, đặc điểm tương tự giữa nguồn và đích

Bài
toán

Đặc
điểm
tương
tự

Cách
giải

Nguồn
Trong mặt phẳng Oxy, viết PTTQ của
đường thẳng  qua điểm A và song song
với đường thẳng d: Ax  By  C  0
(với A  d).
Đường thẳng  đi qua điểm A
Điểm A không thuộc d
 song song với d
Dạng PTTQ của đường thẳng d:

Đích
Trong không gian Oxyz, viết PTTQ của mặt
phẳng ( ) qua điểm A và song song với mặt
phẳng (P): Ax  By  Cz  D  0 ,
(với A (P)).
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm A
Điểm A không thuộc (P)
( ) song song với (P)
Dạng PTTQ của mặt phẳng (P):

Ax  By  Cz  D  0
Ax  By  C  0
Vì  / /d nên PTTQ của  có dạng Suy luận tương tự:
Vì ( ) / /( P) nên PTTQ của ( ) có dạng
Ax  By  C '  0 (*).
Thay tọa độ điểm A vào (*) tìm C’, suy Ax  By  Cz  D '  0 (**). Thay tọa độ điểm

ra PTTQ của  .
A vào (**) tìm D’, suy ra PTTQ của ( ) .

1.2. Vai trò của suy luận tương tự trong dạy học
SLTT từ lâu đã đóng một vai trò trọng yếu trong học tập toán học và giải
quyết vấn đề. Có nhiều suy luận của con người liên quan đến SLTT và được thực
hiện bằng cách sử dụng các lược đồ từ cuộc sống hàng ngày. Do đó, SLTT là một
khía cạnh tự nhiên và phổ biến của nhận thức con người. G. Polya đã nghiên cứu
việc sử dụng SLTT trong toán học và đã chứng minh được rằng SLTT có thể cung
cấp một nguồn màu mỡ của các vấn đề mới và có thể nâng cao hiệu suất, ý tưởng


20

giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, các nghiên cứu gần đây chú ý nhiều hơn đến vai trò
của SLTT trong học tập, nghiên cứu khoa học và đặc biệt là việc học tập các khái
niệm toán học của trẻ em [65].
SLTT đóng vai trò quan trọng không chỉ trong ngôn ngữ mà còn trong khoa
học, triết học và khoa học nhân văn. SLTT đóng một vai trò quan trọng trong giải
quyết vấn đề như, việc ra quyết định, nhận thức, trí nhớ, sáng tạo, cảm xúc, giải
thích và thông tin liên lạc. Khả năng sử dụng một tương tự giữa nguồn và đích có
một cấu trúc tương đồng có thể nâng cao hiệu quả và năng suất giải quyết vấn đề.
SLTT liên quan đến việc xây dựng mối liên hệ giữa các thành phần trong nguồn và
các thành phần trong đích và hình thành giải pháp từ nguồn để phù hợp với yêu cầu
của đích.
GV thường xuyên sử dụng SLTT để giải thích khái niệm cho HS. Các SLTT
được xem như là mô hình ban đầu, hoặc thể hiện các đặc điểm đơn giản của các
khái niệm khoa học. GV thường sử dụng SLTT và không biết họ đang sử dụng
chúng một cách tự động. Bất cứ khi nào họ bắt đầu một lời giải thích với “Nó giống
như ...”, “Nó tương tự như ...”, hoặc “Hãy nghĩ về nó theo cách này ...”, “Hoàn

toàn tương tư, ta có…” khi đó họ đang sử dụng một SLTT để giải thích một khái
niệm cho HS của mình. SLTT có thể đóng một vai trò quan trọng trong việc giúp
HS xây dựng kiến thức riêng của họ, một quá trình phù hợp với quan điểm học tập
kiến tạo. SLTT có thể giúp HS xây dựng cầu nối giữa các khái niệm, những gì quen
thuộc với những gì mới. Từ đó giúp HS hình dung những khái niệm mới, phức tạp,
khó hiểu. Tuy nhiên, SLTT cũng mặt hạn chế: nó có thể thúc đẩy sự hiểu biết,
nhưng nó cũng có thể dẫn với quan niệm sai lầm.
Như vậy, SLTT có nhiều ứng dụng rộng rãi trong đời sống cũng như trong
khoa học. Trong DH toán ở trường phổ thông, theo tác giả Nguyễn Phú Lộc [20],
SLTT có các ứng dụng: xây dựng một nghĩa nào đó cho tri thức, xây dựng giả
thuyết, sửa chữa sai lầm của HS. Bên cạnh đó, theo các tác giả L. Gick và J.
Holyoak [51] có một ứng dụng khác của SLTT là dùng để giải quyết vấn đề, mà cụ
thể trong DH toán thì có thể dùng SLTT để giải bài tập toán cho HS.
1.2.1. Dùng SLTT để xây dựng ý nghĩa của tri thức
Trong quá trình DH để giúp HS hiểu được các khái niệm khoa học, GV
thường sử dụng SLTT. Chẳng hạn, con mắt giống máy quay phim, trái tim giống


21

như một máy bơm, dòng điện giống dòng nước, hay màng tế bào tương tự như một
hàng rào liên kết với chuỗi cửa tuần tra bởi các nhân viên bảo vệ,… Trong toán học,
theo [20, tr. 81- 82], một dãy số có giới hạn là a thì các số hạng có khuynh hướng
tập trung quanh a giống như trên đoạn đường quy định xe ô tô chỉ chạy với vận tốc
giới hạn là 40 km/h thì tốc độ các xe ô tô đến đoạn đường này hầu hết gần 40 km/h;
đồ thị hàm số gián đoạn giống như tuyến đường giao thông có cây cầu bị gãy;…
1.2.2. Dùng SLTT để xây dựng giả thuyết
Trong DH môn toán, chúng ta có thể sử dụng SLTT theo thuộc tính hay
tương tự theo quan hệ giữa các đối tượng để đưa ra giả thuyết, sau đó tiến hành
chứng minh hay bác bỏ [20, tr. 82- 83]. Chẳng hạn, GV có thể sử dụng SLTT theo

thuộc tính để giúp HS đưa ra dự đoán như sau (xem bảng 1.4):
Bảng 1.4. Dùng SLTT đưa ra giả thuyết trong công thức tính khoảng cách từ 1 điểm
đến mặt phẳng
Nguồn

Đích

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt
đường thẳng  bằng độ dài đoạn thẳng phẳng   bằng độ dài đoạn thẳng MH, với
MH, với H là hình chiếu vuông góc của
H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt
M lên đường thẳng  .
phẳng   .
Điểm M(x0, y0)  
PT ĐT  : Ax + By + C = 0.

Điểm M(x0, y0, z0)   

Công thức tính khoảng cách:
Ax 0  By0  C
d ( M , ) 
.
A2  B 2

Giả thuyết: Công thức tính khoảng cách:
Ax 0  By0  Cz0  D
d ( M , ( )) 
?
A2  B 2  C 2

PT MP   : Ax + By + Cz + D = 0.

SLTT là bước đầu hình thành các giả thuyết khoa học. Nhưng cũng giống
như giả thuyết, kết luận của SLTT không có tính tất yếu, nó có thể đúng, cũng có
thể sai. Chính vì vậy, SLTT không phải là một phép chứng minh, nó giúp ta mở
rộng sự hiểu biết, xây dựng các giả thuyết; các kết luận của nó phải nhờ đến các
chứng minh suy diễn hay thực tiễn khẳng định thì mới biết được đúng hay sai.
1.2.3. Dùng SLTT trong giải bài tập toán
Trong toán học, nhiều dạng bài tập chúng ta có thể sử dụng các phương pháp
tương tự để giải. Đặc biệt, đối với PPTĐ trong không gian cũng có nhiều dạng bài
tập có thể sử dụng phương pháp tương tự như trong PPTĐ trong mặt phẳng.
Ví dụ: Xét hai bài toán sau:


22

Bài toán 1: Viết PT đường tròn (C) có tâm I(1,3) và đi qua A(3,1) [25, tr.95].
Bài giải
Ta có bán kính: R  IA 

 3 1  1  3
2

2

2 2.

Vậy PT đường tròn (C):  x  1   y  3  8 .
2

2

Bài toán 2: Viết PT mặt cầu (S) có tâm I(3,-2,4) và đi qua A(7,2,1) [6, tr.120].
Bài giải
Ta có bán kính: R=IA 

 7  3   2  2  1  4
2

2

2

 41 .

Vậy PT mặt cầu (S):  x  3   y  2    z  4   41 .
2

2

2

Từ hai bài toán trên, chúng ta nhận thấy cách giải bài toán tìm PT mặt cầu
trong không gian hoàn toàn tương tự cách tìm PT đường tròn trong mặt phẳng. Vì
vậy, GV có thể dùng SLTT để hướng dẫn HS giải bài tập PPTĐ trong không gian
nói riêng và bài tập toán nói chung.
1.2.4. Dùng SLTT để dự đoán, ngăn ngừa và sửa chữa sai lầm của HS
Sai lầm của HS trong quá trình học tập là không thể tránh khỏi. Theo thuyết
kiến tạo, sai lầm tạo ra sự mất cân bằng trong nhận thức của HS và tạo ra thế cân
bằng mới. Việc nhận ra và sửa chữa sai lầm của HS đóng vai trò quan trọng bởi việc

ý thức được đặc trưng của sai lầm chính là yếu tố cấu thành nên nghĩa của kiến thức
mà GV muốn xây dựng cho HS.
Trong quá trình học toán, HS có thể mắc phải sai lầm do nhiều nguyên nhân
khác nhau gây ra như: tính toán sai, vô ý, không nắm vững khái niệm, tính chất,…
Một trong những cách giúp HS sửa chữa các sai lầm được Clement và Brown
(1990) phát triển là chiến lược “Bringing Analogies”. Theo [59, tr.79-101], chiến
lược này giúp HS mở rộng đúng trực giác với các tình huống đích mà họ có quan
niệm sai lầm. Sau khi HS phân tích tình huống đích cho biết sự tồn tại của sai lầm,
GV khơi gợi các tình huống nguồn. Chiến lược Bringing Analogies đưa HS đến
hiểu biết về mối quan hệ tương tự giữa tình huống đích và các tình huống nguồn
này bằng cách phân tích tại một số điểm mà HS đã cho câu trả lời mâu thuẫn. Kết
quả của xung đột nhận thức sẽ thúc đẩy HS thay đổi nhận thức và điều chỉnh những
quan niệm sai lầm.
Phương pháp tiếp cận này phù hợp với mô hình kiến tạo trong DH. Học tập
theo quan điểm kiến tạo là hoạt động của HS dựa vào kinh nghiệm của bản thân,
huy động chúng vào quá trình tương tác với các tình huống, tiêu hóa chúng và rút ra


23

điều cần hình thành. DH theo quan điểm kiến tạo không phải là truyền tải kiến thức
toán học mà là tạo tình huống cho HS thiết lập các cấu trúc cần thiết [30, tr.21-22].
Tương tự như vậy, chiến lược Bringing Analogies cũng cho rằng việc học không
phải là một quá trình thụ động cho phép thông tin đến được bộ nhớ trong não bộ,
nhưng là một quá trình hoạt động cố gắng để duy trì trạng thái cân bằng trong một
môi trường thay đổi. Hơn nữa, chiến lược Bringing Analogies cũng tương đồng với
phương pháp giảng dạy của Socrates trong đó nó liên quan đến lý luận từ một số
trường hợp cụ thể và hướng dẫn chủ yếu là đặt ra từ các câu hỏi trái ngược với
thông tin truyền đạt.
Bên cạnh đó, sai lầm còn xuất hiện khi một kiến thức cũ từng tỏ ra hiệu quả

nhưng trong một tình huống mới thì không còn đúng nữa. Cụ thể, trong quá trình
giải bài tập toán, HS đã từng thành công khi sử dụng các chiến lược giải này ở bài
toán nguồn; tuy nhiên, khi vận dụng SLTT để suy ra các chiến lược tương tự cho
bài toán đích lại dẫn đến sai lầm. Chẳng hạn, khi tìm tọa độ trực tâm H của tam giác
ABC trong mặt phẳng, HS sử dụng hai điều kiện AH  BC , BH  AC thì tìm được
tọa độ H. Tuy nhiên, khi tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC trong không gian,
nếu sử dụng cách giải tương tự thì chưa tìm được tọa độ H mà phải bổ sung thêm
điều kiện điểm H thuộc mặt phẳng (ABC).
1.3. Các mô hình sử dụng suy luận tương tự trong quá trình dạy học
Hiện nay, có nhiều mô hình khác nhau của SLTT được sử dụng như những
chiến lược trong việc giảng dạy và học tập khoa học. Những mô hình này đã được
phát triển thông qua nghiên cứu thực hiện bởi nhiều nhà giáo dục. Tuy nhiên, hầu
hết các mô hình đều dựa trên việc giảng dạy với SLTT và xây dựng nhằm mục đích
phục vụ cho việc giảng dạy của GV. Tài liệu [48] đã đề cập 3 mô hình nghiên cứu
về việc sử dụng SLTT trong quá trình DH:
• Mô hình GMAT (The General Model of Analogy Teaching).
• Mô hình TWA (Teaching With Analogy).
• Mô hình FAR (Focus-Action-Reflection).
1.3.1. Mô hình GMAT (The General Model of Analogy Teaching)
Mô hình GMAT (The General Model of Analogy Teaching) đề xuất bởi
Hassan Hussein Zeitoun năm 1984 (dẫn theo [52]). Mô hình GMAT bao gồm các
bước sau:
i) Đo lường một số đặc điểm của HS liên quan đến học tập với SLTT nói chung;


24

ii) Đánh giá kiến thức đã biết của HS về chủ đề;
iii) Phân tích các tài liệu học tập về chủ đề;
iv) Đánh giá sự phù hợp của nguồn tương tự được sử dụng;

v) Xác định các đặc điểm của nguồn được sử dụng;
vi) Chọn chiến lược và môi trường giảng dạy với SLTT;
vii) Trình bày các SLTT cho HS;
viii) Đánh giá kết quả của việc sử dụng SLTT trong giảng dạy (đánh giá kiến thức
của HS về các thuộc tính của chủ đề và xác định những quan niệm sai lầm khi sử
dụng SLTT);
ix) Rà soát các giai đoạn của mô hình nếu cần thiết.
Mô hình GMAT nhấn mạnh sự cần thiết lên kế hoạch trước khi sử dụng
SLTT để giúp HS học tập kiến thức mới và đánh giá những tác động của SLTT để
đáp ứng nhu cầu của HS. Tuy nhiên, mô hình này chưa đưa ra các bước cụ thể để
GV thực hiện quá trình DH với SLTT trên lớp.
1.3.2. Mô hình FAR (Focus-Action-Reflection)
Trước và sau khi DH với SLTT, GV cần thực hiện phân tích tương tự đó để
việc DH hiệu quả hơn. Theo [40, tr.12-16], mô hình FAR (the Focus-ActionReflection) hướng dẫn GV thực hiện việc phân tích này khi DH một tương tự (xem
bảng 1.5).
Bảng 1.5. Mô hình FAR [49]
Tâm điểm (Focus):
KHÁI NIỆM

Khái niệm cần học có khó, không quen thuộc hay trừu tượng.

HỌC SINH

Những ý tưởng nào mà HS đã biết về khái niệm.

NGUỒN

Có điều gì mà HS quen thuộc.

Hành động (Action):

TƯƠNG ĐỒNG

Thảo luận những đặc điểm của nguồn và khái niệm, rút ra những điểm
giống nhau của chúng.

DỊ BIỆT

Thảo luận những đặc điểm của nguồn không giống khái niệm.

Suy xét (Reflection):
KẾT LUẬN

Nguồn có rõ ràng và hữu ích hay gây nhầm lẫn.

CẢI TIẾN

Xét lại tâm điểm trên cơ sở kết luận.

a. Tâm điểm (Focus)
Trong quá trình DH với SLTT, GV nên xem xét khái niệm cần dạy có khó,
không quen thuộc hay trừu tượng đối với HS hay không? GV nên đặt ra câu hỏi: HS


25

đã có những ý tưởng nào về khái niệm cần dạy? Những điều gì đã quen thuộc với
HS có liên quan đến khái niệm này? Điều đó yêu cầu GV xem xét lại nội dung các
bài học mà HS đã học trong chương trình đã học hay những điều mà HS đã biết.
b. Hành động (Action)
Ở bước này, GV cho HS thảo luận để phân tích những đặc điểm của nguồn

và đích; từ đó rút ra những điểm giống nhau của chúng. Để quá trình này có hiệu
quả, GV có thể mở rộng, thu hẹp, điều chỉnh lại khi cần thiết, để HS hiểu được
những đặc điểm chung. Những tương tự được chỉ ra là kết quả của quá trình thiết
lập sự tương ứng giữa nguồn và đích. Bên cạnh đó, HS cũng cần chỉ ra những điểm
khác biệt giữa nguồn và đích. Điều đó giúp cho quá trình sử dụng SLTT có ý nghĩa
và HS tránh được những sai lầm.
c. Suy xét (Reflection)
Trong bước này, GV cần xét xem nguồn có rõ ràng và hữu ích hay gây nhầm
lẫn, từ đó đưa ra kết luận về nguồn của SLTT. Sau đó, nên xem xét lại tâm điểm từ
các kết luận được rút ra, đồng thời đề ra những thay đổi để cải tiến cho lần sau.
Bảng 1.6. Phân tích khái niệm PT mặt cầu theo mô hình FAR
PT mặt cầu:  x  a    y  b    z  c   R 2 là khái niệm khó, không

Khái niệm
Tâm
điểm

2

2

2

quen thuộc đối với HS đang học chương III, Hình học 12.
Đã học về định nghĩa mặt cầu ở chương II, Hình học 12.

HS
Nguồn

PT đường tròn:  x  a    y  b   R 2 đã học trong Hình học 10.

2

2

Tương đồng
Đường tròn
Mặt cầu
Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong mặt Định nghĩa: Tập hợp các điểm trong không
phẳng cách điểm I cố định một khoảng R gian cách điểm I cố định một khoảng R
không đổi.
không đổi.

Hành
động

Tâm I (a; b)

Tâm I ( a; b; c )

Bán kính R

Bán kính R

M ( x; y)  (C )  IM  R  IM 2  R 2

M ( x; y; z )  (S )  IM  R  IM 2  R 2

  x  a    y  b  R2

  x  a    y  b   z  c   R2

2

2

2

2

2

Dị biệt
Trong mặt phẳng Oxy, PT dạng  x  a    y  b   R2 là PT đường tròn tâm I (a; b) ,
2

2

bán kính R. Còn trong không gian Oxyz, PT dạng  x  a    y  b   R2 không phải là
2

2

PT mặt cầu. Đây là PT mặt trụ biết mặt trụ này giao với mặt phẳng (Oxy) là đường tròn
tâm I (a; b;0) , bán kính R.
Suy
xét

Kết luận
Cải tiến

Nguồn tương tự (PT đường tròn trong mặt phẳng) thì rõ ràng và hữu ích.
Có thể sử dụng PT đường tròn làm nguồn tương tự cho PT mặt cầu