THUYẾT TRÌNH TRÊN lớp PHÉP CHIẾU hải đồ GNOMONIC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP.HCM
KHOA HÀNG HẢI
LỚP HH07D
NHÓM3

ĐỀ TÀI THUYẾT TRÌNH

PHÉP CHIẾU HẢI ĐỒ GNOMONIC

TPHCM, Tháng 3/2010


1. Nguyên lý phép chiếu:
Phép chiếu hải đồ Gnomonic là phép chiếu phối cảnh, tâm
chiếu là tâm cầu, bề mặt hình học hỗ trợ là một mặt phẳng tiếp
xúc với bề mặt Trái Đất.


Để làm giảm mức độ biến dạng của phép chiếu người
ta chọn điểm tiếp xúc K nằm ở trung tâm của khu vực cần
thể hiện.



† Chiếu điểm P lên mặt phẳng chiếu ta được điểm p,
K là điểm tiếp xúc. pK là giao tuyến của mặt phẳng kinh tuyến
qua K và mặt phẳng tiếp xúc với Trái Đất tại K ( mặt phẳng
chiếu ). Do vậy mọi điểm trên kinh tuyến PK khi chiếu lên mặt
phẳng chiếu sẽ nằm trên đường thẳng pk hay pK là hình chiếu của
kinh tuyến PK trên mặt phẳng chiếu. PK được gọi là kinh tuyến
gốc hay kinh tuyến chính.

Ta có:

KP = 90 0 − ϕ K = KOP


† Giả sử B là một điểm bất kỳ và ABC là cung vòng lớn qua
B. Hình chiếu của cung AB là đoạn thẳng ab trên mặt phẳng
chiếu. Kinh tuyến qua B là PBL và nó cũng chính là một phần
của cung vòng lớn, nên hình chiếu của nó là đoạn thẳng lp.
Đoạn kl là hình chiếu của cung vòng lớn KL. Gọi vó độ của A ϕ A
là và vó độ của Kϕ Klà ta có:

AP = 90 0 − ϕ A = AOP
tgKOp = tgKOP =

Kp
OK

Kp = OK .tgKOP = R . cot gϕ K
Ka
tgKOa = tgKOA =
OK


Ka = Rtg (ϕ A − ϕ K )
† Đây là công thức tính khoảng cách của một
điểm bất kỳ trên kinh tuyến trung tâm với điểm
tiếp xúc K :
 Nếu vó độ của điểm A lớn hơn vó độ của điểm K
thì hình chiếu a của nó nằm trong đoạn Kp.

 Nếu vó độ của điểm A nhỏ hơn vó độ của điểm
K thì hình chiếu a của nó nằm ngoài đoạn Kp.


2. Hình chiếu của các kinh tuyến:
 Khi ϕ ≠ 0 ( K không nằm trên xích đạo )
hình chiếu của P là p. Hình chiếu của các kinh tuyến
là các đường thẳng đồng quy tại p.
K

 Khi ϕ K = 0 ( K nằm trên xích đạo ). Hình chiếu
của các kinh tuyến là các đường thẳng song song và
đối xứng nhau qua kinh tuyến trung tâm.
 Khi ϕ = 90 0 hình chiếu của kinh tuyến
đồng quy tại p, α = ∆λ .



Hình ảnh thực tế
phép chiếu
Gnomonic tại cực
bắc .

Phép chiếu
Gnomonic tại
1 vò trí ở Nhật
Bản.


 Hiệu kinh độ giữa hai kinh tuyến là ∆λ ( kinh thuyến

PBL và kinh tuyến PAK ) khi chiếu lên trên mặt phẳng chiếu,
góc giữa hai kinh tuyến pbl và pak là α , giả thuyết rằng vòng
tròn lớn ABC được chọn sao cho nó vuông góc với KP tại A , do
đó hình chiếu ab của nó sẽ vuông góc với kp tại a.

 Từ ∆pab

ta có :

ab = ap.tgα

 Nếu cung vòng lớn KLM vuông góc với kinh tuyến PK
thì hình chiếu của nó lK vuông góc với pK :

Ta có :

Kl = kp .tgα


 Biến đổi ta có công thức tính như sau:

Kl
R . sin KP .tg∆λ cos ϕ K .tg∆λ
tgα =
=
=
Kp
R . cot gϕ K
cot gϕ K
Từ công thức ta thấy :

ϕ K ≠ 0 , ϕ K ≠ 90 0



α ≠ ∆λ

Khi ϕ K = 90 0 ( điểm tiếp xúc trùng với cực )
=>

sin ϕ K = 1 => tgα = tg∆λ

=>

α = ∆λ

0
ϕ
≠
90
 Nếu K
thì sẽ có sự biến dạng về góc giữa các kinh tuyến

Khi ϕ = 90 0 hay điểm tiếp xúc là cực thì sẽ không có sự biến
dạng về góc giữa các kinh tuyến



Khi can tớnh ủoaùn ab ta duứng coõng thửực :

ab = R . cos A . sec( A K ).tg

3. Hình chiếu của các vó tuyến :
Vì những
vòng tròn vó
tuyến không
phải là những
vòng tròn lớn
nên hình chiếu
của nó trên hải
đồ Gnomonic
là một họ các
đường cong.


 Xét vó tuyến có vó độ φ đi qua A, B, C , với b là
hình chiếu của B. Khi B di chuyển trên cung AC điểm b
sẽ vẽ nên 1 đường cong.
 Để lập phương trình đường cong hình chiếu vó
tuyến ta xét toạ độ điểm b:

x = Kb . sin η

y = Kb . cosη
x + y = Kb
2

2

2




Phương trình của một đường cong :

(

)

sin 2 ϕ K − sin 2 ϕ = x 2 sin 2 ϕ + y 2 sin 2 ϕ − cos 2 ϕ K − sin 2ϕ K
 Tất cả các điểm trên vó tuyến ABC đều có
φ=const, φk=const.
 Phương trình của đường cong trên chính là phương
trình hình chiếu vó tuyến ABC trên hải đồ Gnomonic.
ϕ K = 90 0

 Khi
: Hình chiếu của các vó tuyến là các
vòng tròn đồng tâm.


4. Mức độ biến dạng của phép chiếu
Gnomonic:
Xét tỷ lệ xích dọc theo vòng thẳng
đứng BMM’, hình chiếu của M trên mặt
phẳng chiếu là m.
Ta có :KM = ρ 0 , Km = ρ

Với µm là tỷ lệ
xích dọc theo
KMM’ ta có :


µ m = lim KM →0

Km
dρ
=
KM dρ 0

ρ = R .tgKOM = R .tgz
Rd z
dρ =
2
cos z

ρ 0 = z .R => dρ 0 = R .d z
Rdz
1
2
µm =
.Rdz =
= sec z
2
2
cos z
cos z

Rdz
1
2
µm =
.Rdz =
= sec z
2
2
cos z
cos z
 Từ công thức trên ta thấy rằng khi M
càng xa điểm tiếp xúc thì z càng lớn hơn
=>

cos2z càng nhỏ

=> sec2z càng lớn
=>

µm càng lớn

 Càng xa tiếp điểm, tỷ lệ xích càng tăng.


 Xét tỷ lệ xích theo phương vuông góc với
vòng thẳng đướng µn . Vì MN không phải là cung
vòng lớn nên hình chiếu mn của nó trên mặt
phẳng chiếu là một đường cong.
MN = ω0

mn = ω

µ m = lim KM →0

mn
dω
=
MN dω0

ω = Km .β = ρβ => dω = ρdβ = R .tgz .dβ
ω0 = r .β = R . sin z .β => dω0 = R sin z .dϕ


1
µn =
= sec z
cos z
 Khi m càng xa điểm tiếp xúc
µncàng lớn. Khi z tiến tới 900 thì µntiến
tới ∞ , µn tiến tới ∞, nhưng µm tiến tới ∞
nhanh hơn µn hay nói khác µm là VCB
bậc cao hơn µn khi z tiến tới 900.



Xét sự biến dạng về góc:
Chọn 1 điểm M có góc MOK= z, trên vòng thẳng đứng
KM chọn điểm M với MN là VCB.
Trên hình vẽ, ta có

MN = R.dz
Gọi góc MON là dz,
góc NML là γ, hình
chiếu của LMN=
ηtrên mp chiếu.
α=(KMN∩KL) hình
chiếu lên mp chiếu
LKM=α.