chuyen de chung minh dang thuc toan lop 8 93842

ONTHIONLINE.NET
Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 8
Bài tập 1: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:
.M = a ( a + b ) ( a + c ); N = b ( b + c ) ( b + a ); P = c ( c + a ) ( c + b ).
Bài tập 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) ( x + a ) ( x + b ) = x2 + ( a + b ) x + ab;
b) ( x + a ) ( x + b ) ( x + c ) = x3 + ( a + b + c ) x2 + (ab + bc + ca) x + abc.
Bài tập 3:

Cho a + b + c = 2p.
Chứng minh đẳng thức: 2bc + b2 + c2– a2 = 4p ( p – q )

Bài tập 4:
Cho biểu thức: M = ( x - a ) ( x - b ) + ( x - b ) ( x - c ) + ( x - c ) ( x - a ) + x2
1
1
1
Tính M theo a,b,c biết rằng x = a + b + c.
2
2
2
Bài tập 5. Cho x + y + z = 0, xy + yz + zx = 0; Chứng minh rằng: x =y = z
Bài tập 6. Cho x + y = a + b, x2 + y2 = a2 + b2;
Chứng minh rằng: x3 + y3 = a3 + b3.
Bài tập 7. Cho a + b = m, a – b = n ; Tính ab và a3 - b3 theo m và n.
Bài tập 8. Cho x+ y = 3.
Tính giá trị của biểu thức: A = x2 + 2xy + y2 -4x - 4y + 1.
Bài tập 9. Cho a2 + b2 + c2 = m. Tính giá trị của biểu thức sau theo m:
A = ( 2a + 2b - c )2 + ( 2b + 2c - a )2 + ( 2c + 2a - b )2.
Bài tập10. Chứng minh các hằng đẳng thức sau:
a) ( a + b + c )2 + a2 + b2 + c2 = ( a + b)2 + ( b + c)2 + ( c + a)2;

b) x4 + y4 + ( x + y )4 = 2 ( x2 +_xy + y2 )2.
Bài tập 11.
Cho a2 - b2 = 4c. Chứng minh hằng đẳng thức
( 5a – 3b + 8c ) ( 5a – 3b – 8c ) = ( 3a – 5b )2 .
Bài tập 12. Chứng minh rằng nếu: ( a2 + b2) ( x2 + y2) = ( a x + by )2
b
a
Với x,y khác 0 thì
=
y
x
Bài tập 13.
Chứng minh rằng nếu: ( a2 + b2 + c2) ( x2 + y2 + z2) = ( a x + by + cz )2
b
a
c
Với x,y,z khác 0 thì
=
=
y
x
z
Bài tập 14. Cho ( a + b )2 = 2( a2 + b2 ). Chứng minh rằng: a = b.
Bài tập 15. Chứng minh rằng a = b = c nếu có một trong các điều kiện sau:
Chuyªn ®Ò BDHS chøng minh ®¼ng thøc líp 8
NguyÔn Thanh Hïng
n¨m 2007

Tr êng THCS Tiªn NHa

1


a) a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca;
b) ( a + b + c )2 = 3 ( a2 + b2 + c2 );
2
c) ( a + b + c ) = 3 (ab + bc + ca ).
Bài tập 16. Tính giá trị biểu thức: a4 + b4+ c4, biết rằng a + b + c = 0 và:
a) a2 + b2 + c2 = 2 ;
b) a2 + b2 + c2 =1.
Bài tập 17. Cho a + b + c = 0. Chứng minh a4 + b4+ c4 bằng mỗi biểu thức:
(a 2 + b 2 + c 2 ) 2
a)2 ( a2b2 + b2c2 + c2a2 ); b) 2(ab + bc + ca )2; c)
.
2
Bài tập 18.Chứng minh các hằng đẳng thức:
a) ( a + b + c ) 3 − a 3 − b 3 − c 3 = 3( a + b )( b + c )( c + a ) ;

(

)

b) a 3 + b 3 + c 3 − 3abc = ( a + b + c ) a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ;

Bài tập 19. Cho a + b + c = 0 chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc .
Bài tập 20. Cho x + y = 0, x. y = b tính giá trị của biểu thức sau theo a, b.
a)

x2 + y2

x3 + y3

b)

c)

x4 + y4

x5 + y5

d)

Bài tập 21.
a)Cho x + y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x3 + y3 +3xy;
b)Cho x - y = 1. Tính giá trị của biểu thức: x3 - y3 -3xy;
c)Cho x + y = 2 và x2 + y2 = 10 . Tính giá trị của biểu thức: x3 + y3 ;
d) Cho x + y = a và x2 + y2 = b . Tính giá trị của biểu thức: x3 + y3 theo a, b.
Bài tập 22. Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức: A = a3 + b3 +3ab(a2 + b2) + 6 a2b2 (a + b) .
Bài tập 23. Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: B= a3 + b3 + c(a2 + b2) - abc .
Bài tập 24. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau nếu;
a 2 (b − c) + b 2 (c − a ) + c 2 (a − b) .
Bài tập 25. Chứng minh rằng nếu a2 + b2 = 2ab thì a = b.
Bài tập 25. Chứng minh rằng nếu a2 + b2 = 2ab thì a = b.
Bài tập 26. Chứng minh rằng nếu a3 + b3 + c3 = 3abc và a, b, c là các số dương thì a = b = c.
Bài tập 27. Chứng minh rằng nếu a4 + b4 + c4 + d4 = 4abcd và a, b, c, d là các số dương thì a = b = c = d.
Bài tập 28. Chứng minh rằng nếu m = a + b + c thì (am + bc)(bm + ac )(cm + ab) = (a + b) 2 (b + c) 2 (c + a) 2
Bài tập 29. Cho a 2 + b 2 = 1 , c 2 + d 2 = 1 , ac + bd = 0 , chứng minh rằng: ab + cd = 0 .
Bài tập 30. Cho biết x, y, z # 0, và

( ax + by + cz ) 2

x +y +z
2

2

Bài tập 31. Cho biết ax + by + cz = 0 tính A =

2

= a 2 + b 2 + c 2 .Chứng minh rằng:

a b c
= = .
x y z

bc( y − z ) 2 + ca( z − x) 2 + ab( x − y ) 2
.
ax 2 + by 2 + cz 2

Chuyªn ®Ò BDHS chøng minh ®¼ng thøc líp 8
NguyÔn Thanh Hïng
n¨m 2007

Tr êng THCS Tiªn NHa

2


Bài tập 32. Cho biết a + b + c = 0 , a, b, c # 0. Tính B =

Bài tập 33. Cho biết

ab
bc
ca
+ 2
+ 2
.
2
2
2
2
a +b −c
b +c −a
c + a2 − b2
2

1 1 1
1
1
1
+ + = 2; 2 + 2 + 2 = 2 . Chứng minh rằng: a + b + c = abc .
a b c
a
b
c

a b c
a2 b2 c2
x y z

+
+
=
2
Bài tập 34. Cho biết + + = 0 và
. Tính giá trị biểu thức: 2 + 2 + 2 .
x y z
x
y
z
a b c
1
1
1
3
Bài tập 35. Cho (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 và a, b, c # 0. Chứng minh rằng: 3 + 3 + 3 =
.
abc
a
b
c
a b c b a c
Bài tập 36. Cho + + = + + chứng minh trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.
b c a a c b
Bài tập 37. Cho a, b, c khác nhau đôi một và

1 1 1
+ + = 0 . Rút gọn các biểu thức sau:
a b c

1
1
1
+ 2
+ 2
;
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
bc
ca
ab
+ 2
+ 2
b) M = 2
;
a + 2bc b + 2ac c + 2ab
2
a2
b2
c
c) M = 2
.
+
+
a + 2bc b 2 + 2ac c 2 + 2ab
a) M =

2

Bài tập 38. Cho a, b, c là các số đôi một khác nhau và

a+b b+c c+a
=
=
.
c
a
b

a b
c

Tính giá trị biểu thức: M = 1 + .1 + .1 +  .
b 
c 
a

1 1 1
Bài tập 39.Cho a.b. c = 1, và a + b + c = + + .Chứng minh rằng trong ba số a,b,c tồn tại một số bằng
a b c
1.
1 1 1 1
Bài tập 40. Chứng minh rằng nếu x + y + z = a và + + = thì tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a.
x y z a
1 1 1
Bài tập 41. Các biểu thức x + y + z và + + có thể cùng giá trị bằng 0 được hay không.
x y z
1
1
1
+

+
Bài tập 42. Tính giá trị của biểu thức M =
.
x+2 y+2 z+2
Biết rằng: 2a = by + cz,2b = ax + cz,2c = ax + by và a + b + c = 0 .
a
b
2c
+
+
;
ab + a + 2 bc + b + 1 ac + 2c + 2
a
b
c
+
+
b) cho a.b.c = 1. Rút gọn biểu thức: N =
.
ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1
a a−b
1
1
1
1
=
− .
Bài tập 44. Cho =
, a # 0, b # 0, a - b # 0, b - c # 0. Chứng minh rằng: +
c b−c

a a −b b−c c
Bài tập 43. a) cho a.b.c = 2. Rút gọn biểu thức: M =

Chuyªn ®Ò BDHS chøng minh ®¼ng thøc líp 8
NguyÔn Thanh Hïng
n¨m 2007

Tr êng THCS Tiªn NHa

3


Bài tập 45. Cho, a # 0, b # 0, c # 0. Rút gọn các biểu thức sau:
a2 b2 c2
a2
b2
c2
a) A =
b) B = 2
.
+
+
+
+
bc ca ab
a − b2 − c2 b2 − c2 − a2 c2 − a2 − b2
Bài tập 46. Tính giá trị biểu thức sau, biết rằng a + b + c = 0 .
a
b .
 a −b b − c c − a c

+
+
+
+
.

A= 
a
b  a −b b − c c − a
 c
Bài tập 47. Chứng minh rằng nếu (a 2 − bc)(b − abc) = (b 2 − ac)(a − abc) và các số a, b, c và a – b khác 0
1 1 1
thì a + b + c = + + .
a b c
a b c
Bài tập 48. Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0, + + = 0 . Chứng minh rằng: ax 2 + bx 2 + cx 2 = 0 .
x y z
xy + 1 yz + 1 xz + 1
=
=
Bài tập 49. Cho
. Chứng minh rằng: x = y = z hoặc x2y2z2 = 1.
y
z
x
 a2

b2
c2


+
+
= 0  .
b+c c + a a +b

2
2
 a

b
c
b
c2
 a


+
+
=
0
+
+
= 0  .


Bài tập 51. Cho
. Chứng minh rằng: 
2
2
2

(c − a )
( a − b)
b−c c −a a −b

 (b − c)

1
Bài tập 52. Cho x + = a .Tính giá trị các biểu thức sau theo a:
x
1
1
1
1
2
3
4
5
a) x + 2 ;
b) x + 3 ;
c) x + 4 ;
d) x + 5 .
x
x
x
x
(a + b)(b + c )(c + a )
Bài tập 53. Cho a, b, c thoả mãn a, b, c # 0, và ab + bc + ca = 0 . Tính P =
.
abc
a2

b2
c2
a2
b2
c2
(
a
+
b
)(
b
+
c
)(
c
+
a
)
Bài tập 54. Cho a, b, c thoả mãn
# 0 và
.
+
+
=
+
+
a+b b+c c+a b+c c+a a+b
Chứng minh rằng: a = b = c.
b
c

 a

+
+
= 1 . Chứng minh rằng:
Bài tập 50. Cho 
b+c c + a a +b 

Bài tập 55. Cho x, y, z # 0, và x + y + z = xyz và
Tính giá trị của biểu thức: P =

1 1 1
+ + = 3.
x y z

1
1
1
+ 2 + 2.
2
x
y
z

Bài tập 56.Rút gọn biểu thức.
a) A =

1
1
1

+
+
(a − b)(a − c) (b − a )(b − c) (c − a)(c − b)

b) B =

1
1
1
+
+
a (a − b)(a − c ) b(b − a )(b − c) c (c − a )(c − b)

Chuyªn ®Ò BDHS chøng minh ®¼ng thøc líp 8
NguyÔn Thanh Hïng
n¨m 2007

Tr êng THCS Tiªn NHa

4


c) C =

bc
ac
ab
+
+
(a − b)(a − c) (b − a)(b − c ) (c − a )(c − b)

d) D =

a2
b2
c2
+
+
(a − b)(a − c ) (b − a )(b − c) (c − a )(c − b)

Chuyªn ®Ò BDHS chøng minh ®¼ng thøc líp 8
NguyÔn Thanh Hïng
n¨m 2007

Tr êng THCS Tiªn NHa

5