Chuyen de chung minh he thuc hinh hoc

Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi
Chuyên đề : Vận dụng các trờng hợp bằng nhau của
tam giác vuông .Định lí Pytago để chứng minh hệ
thức hình học.
A.Đặt vấn đề
I.Lí do chọn đề tài
* Chúng ta đã biết từ năm 2004 2005 Bộ Giáo Dục & Đào Tạo đã thay SGK và đổi mới phơng
pháp dạy học ở THCS .Môn toán nói riêng đã có sự thay đổi vị trí nội dung các kiến thức .
Ví dụ : Phần đờng trung bình trong tam giác từ lớp 7 đợc đa lên lớp 8; phần định lí Pytago từ lớp 8
đợc đa xuống lớp 7 nhằm mục các mục đích sau đây
- Tăng cờng bài tập tính toán và xây dựng thêm trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông .
- Xây dựng thêm tập số vô tỉ để lấp đầy trục số
*Khi tôi dậy toán hình về phân định lí pytago và các trờng bằng nhau của tam giác vuông tôi thấy
có rất nhiều bài tập vận dụng các trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông và định lí pytago để
chứng minh một hệ thức hình học .
*Khi dậy toán các lớp 8;9 về môn hình tôi thấy học sinh học rất yêu những loại toán này .
Do ba lí do trên và qua trình tìm hiểu và đã đa ra một giải pháp là viết một chuyên để nhằm trang
bị cho học sinh những kỹ năng thờng dùng để chứng minh một hệ thức hình học dựa vào kiến thức
đã có .
II.Đối t ợng nghiên cứu
Học sinh lớp 7 trờng THCS Cơng Chính
III.Nhiệm vụ
1) Nâng cao chất lợng giảng dạy
2) Rèn cho học sinh nhữ thói quen suy nghĩ khi chứng minh một hệ thức hình học
IV.Ph ơng pháp nghiên cứu
1) Phơng pháp phân tích
2) Phơng pháp tổng hợp
3) Phơng pháp so sánh
4) Phơng pháp sơ đồ hoá
B.Nội dung nghiên cứu
1) Trớc hết giáo viên cần trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản và cách vận dung các tr-

ờng hợp bằng nhau của hai tam giác vuông và định lí pytago .Trong phần này đòi hỏi giáo viên
cần có biện pháp giúp học sinh nắm kiến thức và bớc đầu vận dụng kiến thức giải các bài tập đơn
giản .
2) Giáo viên cần hớng dẫn học sinh những thao tác suy luận khai thác từ những dự kiện đã cho
trong bài toán để tìm lời giải của bài toán .
3) Trong khi hớng dẫn học sinh tìm lời giải của bài toán giáo viên cần chuẩn bị cho mình các câu
hỏi những kỹ năng và câu hỏi dẫn dắt có tích lôgíc để hớng dẫn học sinh tứng bớc suy luận để
tìm ra lời giải .
3) Khi hớng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán giáo viên cần phải trải qua các bớc sau :
1) Tìm hiểu đề
2) Tìm lời giải
3) Lập chơng trình giải
4) Trình bày lời giải
5) Kiểm tra lời giải
Trong phần này tôi chia thành bốn dạng toán cơ bản sau :
1
Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi
Dạng 1: Chứng minh hệ thức dạng a = c + d ,dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm đợc kỹ năng sau
tách a = m +n , sau đó chứng minh m = c và n = d hoặc m = d và n = c
Dạng 2: Chứng minh hệ thức có dạng a
2
+ b
2
= m
2
, dạng này đòi hỏi học sinh nắm đợc kỹ năng
tìm một đoạn n = b ,trong đó n và a là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền là m
.
Dạng 3: Chứng minh hệ thức có dạng a
2

+ b
2
= c
2
+ m
2
, dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm đợc
kỹ năng biến đổi sau :
a
2
+ b
2
= c
2
+ m
2


a
2
c
2
= m
2
b
2


n
2

= d
2
( trong đó n = d)
Dạng 4: Chứng minh hệ thức có dạng a
2
+ b
2
+ c
2
= m
2
+ 2n
2
+ 3d
2
và b = c,dạng này học sinh
năm đợc kỹ năng biến đổi sau :
Biến đổi vế phải
m
2
+ 2n
2
+ 3d
2
= (m
2
+d
2
) +2(n
2

+ d
2
)
= a
2
+ 2b
2

= a
2
+ b
2
+ c
2

Thông qua bốn dạng này tối rèn cho học sinh kỹ năng chứng minh hệ thức hình học thì ta cần tiến
hành nh thế nào, từ đó cũng rền luyện cho học sinh kỹ năng biến đổi trong hình học .
Bài dạy thực nghiệm
Dạng 1: Chứng minh hệ thức dạng a = c + d
Phơng pháp : Tách a = m + n ,chứng minh c = m ; n = d .
Bài toán 1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A.Gọi a là một điểm nào đó đi qua A và không cắt
đoạn BC .Kẻ BD

a ; CE

a .Chứng minh BD + CE = DE
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GT của bài toán là gì ?
KL của bài toán là gì ?
Từ GT tam giác ABC cân tại A ,cho ta biết

GT

ABC cân (

A = 90
0
)
a đi qua A ; BD

a;CE

a
KL BD + CE = DE
HS: AB = AC ;

A = 90
0
;

B =

C = 45
0

2
a
E
D
C
B

A
Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi
thêm đợc gì ?
Từ GT BD

a;CE

a ta suy ra đợc gì ?

Em có nhận xét gì về vị trí của điểm A so với
hai điểm D,E ?
Từ điều này ta suy ra đợc gì ?
KL nói gì ?
Từ (1) và (2) gợi cho ta điều gì ?
Muốn chứng minh AD = CE ta làm nh thế nào ?
Nh vậy ta phải đi chứng minh hai tam giác
vuông bằng nhau
Muốn chứng minh AD = CE ta phải chứng
minh đièu gì ?
Muốn chứng minh hai tam giác

ABD =

CAE
Ta phải chứng minh những điều kiện gì ?
Yêu cầu học sinh lên bảng chứng minh
Từ hai tam giác này bằng nhau ta có thể chứng
minh đợc AE = BD không ?
Nh vậy ta có điều phải chứng minh
HS: Tam giác ABD vuông tại D ; Tam giác

AEC vuông tại E.
HS: A nằm giữa D và E
HS: DE = AD + AE (1)
HS: Chứng minh DE = BD + CE (2)
HS: Chứng minh AD = CE ; AE = BD
Chứng minh hai tam giác ABD bằng tam giác
CAE
AD = CE




ABD =

CAE


AB = AC ;

D =

E = 90
0
;

DAB =

ACE

DAB +

DBA = 90
0



DAB + ACE = 90
0


ABD =

CAE

AE = BD

Dạng 2: Chứng minh hệ thức có dạng a
2
+ b
2
= m
2


3
Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi
Phơng pháp : Chọn một số n = b , trong đó n và a là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông

có cạnh huyền là m .
Bài toán 2:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi a là một điểm nào đó đi qua A và không cắt đoạn BC
Kẻ BH

a ; CK

a .Chứng minh rằng BH
2
+ CK
2
= AB
2

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GT của bài toán nói gì ?
Ta thấy hệ thức cần chứng minh
BH
2
+CK
2
= AB
2
, hệ thức này gợi cho ta nghĩ
tới định lí pytago.Cho nên ta tìm cách gán hai
cạnh CK,BH về cạnh góc vuông của tam giác
vuông có cạnh huyền là AB .
Tam giác ABH là tam giác gì ?
Từ kết quả này ta suy thm đợc gì ?
KL của bài toán nói gì ?

GT

ABC vuông cân tại A
Đờng thẳng a đi qua A
BH

a ; CK

a
KL BH
2
+ CK
2
= AB
2

Tam giác ABH vuông tại A
BH
2
+AH
2
= AB
2

BH
2
+ CK
2
= AB
2

4
H
K
C
B
A
Ngời thực hiện chuyên đề giáo viên Hà Tiến Khởi
Điều này gợi ý cho ta đợc gì ?
Muốn chứng minhAH = CK ,ta phải chứng
minh điều gì ?
Muốn chứng minh hai tam giác này bằng nhau
ta phải chứng minh các điều kiện gì ?
Muốn chứng minh

ABH =

CAK ta phải
chứng minh điều gì ?
Từ hai hệ thức trên ta rút ra đợc gì ?
GV yêu cầu học sinh lên bảng chứng minh
AH = CK

ABH =

CAK
AB = AC ;

K =

H = 90
0
;

ABH =

CAK

ABH +

HAB = 90
0


CAK +

ACK = 90
0



ABH =

CAK

Dạng 3: Chứng minh hệ thức có dạng a
2
+ b
2
= c

2
+ m
2
(1)
Phơng pháp : Để chứng minh các hệ thc dạng này ta có một số hớng đi nh sau
Cách 1: (1)

a
2
c
2
= m
2
b
2


n
2
= d
2


n = d
Cách 2: Biến đổi vế phải a
2
+ b
2
= d
2

Biến đổi vế trái c
2
+ m
2
= d
2


đpcm
Bài toán 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC.C/mr: AB
2
+ CH
2
= AC
2
+ BH
2

Hoạt động của GV Hoạt động của HS
5
H
C
B
A