K lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5 phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------------------

DƯƠNG QUANG HÒA

K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN LÁ
CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------------------

DƯƠNG QUANG HÒA

K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN LÁ
CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 62 46 01 05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014


1

Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn
của PGS. TS. Lê Anh Vũ. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí
của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả của luận án là mới và chưa từng
được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Tác giả
Dương Quang Hòa


Mục lục
Mục lục

2

Danh mục các ký hiệu

4

MỞ ĐẦU

6

1 K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm
1.1

1.2

1.3

12

Các MD-nhóm và MD-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.1

Các MD-nhóm và MD-đại số

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.1.2

Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều . .

14

Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.1

K-quỹ đạo của một nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.2.2

Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm . . .

18

Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm . . . . . . .

20

2 Lớp MD(5,4)-phân lá
2.1

35

Phân lá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.1.1

Phân bố khả tích trên đa tạp vi phân . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.1.2

Phân lá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Tôpô Phân lá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.1

Không gian các lá của phân lá . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2.2

Kiểu tôpô của phân lá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.3

Phân lá đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.4

Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm . .

39

2.2

2


3

2.4.1

Các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm . . . . . .

39

2.4.2

Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá

40

. . . . . . . . . . . . . . .

3 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá

46

C ∗ -đại số Connes liên kết với phân lá . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.1.1

Holonomy của lá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.1.2

Phỏng nhóm Holonomy của phân lá . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.1.3

Không gian các nửa mật độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.1.4

C ∗ -đại số Connes liên kết với một phân lá . . . . . . . . . . . .

50

3.1.5

Tích xiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.1.6

Các tính chất cơ bản của C ∗ (V, F) . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Phép đặc trưng các C ∗ -đại số bằng phương pháp K-hàm tử . . . . . . .

53

3.2.1

K-lý thuyết và mở rộng các C ∗ -đại số . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.2.2

KK-nhóm Kasparov

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

3.2.3

Bất biến chỉ số của C ∗ -đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

3.2.4

Đẳng cấu Thom-Connes và tính tự nhiên của nó

. . . . . . . .

57

3.2.5

Hệ bất biến chỉ số của C ∗ -đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.3

K-lý thuyết đối với phân lá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.4

K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

3.1

3.2

3.4.1

Mô tả giải tích cấu trúc các C ∗ -đại số Connes liên kết với các
MD(5,4)-phân lá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2

60

Đặc trưng C ∗ -đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá
kiểu F2 và F3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

75

Danh mục các công trình của tác giả

77

Tài liệu tham khảo

78

Phụ lục

82


Danh mục các ký hiệu
• ⊕: Tổng trực tiếp
• ⊗,
•

: Tích tenxơ và tích tenxơ ngoài

: Kết thúc một phép chứng minh

• Ad: Biểu diễn phụ hợp
• ad: Vi phân của biểu diễn phụ hợp
• Aut(G): Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G
• A=A

ρ

G: Tích xiên của A và G bởi tác động ρ

• C, R: Trường số phức, trường số thực
• C (X): C ∗ -đại số các hàm phức liên tục trên X
• C0 (X): C ∗ -đại số các hàm phức liên tục trên X triệt tiêu ở vô cùng
• C0 (R2 ): Đơn vị hoá của C ∗ -đại số C0 (R2 )
• Cc∞ (H): Không gian các hàm trơn trên H có giá compact, nhận giá trị phức
• Cc∞ H, Ω1/2 : Không gian các nửa mật độ trên H
• C ∗ (V, F): C ∗ -đại số Connes liên kết với phân lá (V, F)
• Cc (G, A): Không gian các ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào A
• End(G): Không gian các tự đồng cấu trên G

• exp: Ánh xạ mũ
• Ext (B, J): KK-nhóm của Kasparov
• G = Lie (G): Đại số Lie của nhóm Lie G
4


5
• G ∗ : Không gian đối ngẫu của đại số Lie G
• GL1 (C (S 1 )): Tập các ma trận cấp 1 khả nghịch với phần tử thuộc C(S 1 )
• GL02 (C (S 1 )) := exp (Mat2 (C (S 1 ))) - thành phần liên thông đường của ma trận
đơn vị cấp 2 với phần tử thuộc C(S 1 )
• Index A: (Hệ) bất biến chỉ số của C ∗ -đại số A
• Ki (A): Ki -nhóm của C ∗ -đại số A
• K: C ∗ -đại số các toán tử compact trên không gian Hilbert vô hạn chiều tách được
• L2 Hx , Ω1/2 : Không gian các nửa mật độ trên Hx bình phương khả tích
• Matn (A): Tập hợp các ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc A
• P2 (C (S 2 )): Tập các phần tử chiếu của C ∗ -đại số các ma trận vuông cấp 2 với
phần tử thuộc C(S 2 )
• S n : Mặt cầu đơn vị n-chiều
• T V : Phân thớ tiếp xúc của V
• (V, F): Không gian phân lá
• V /F: Không gian các lá của phân lá (V, F)
• ΩF : Quỹ đạo Kirillov (hay K-quỹ đạo) qua F
•

1/2

Ωx

: Phân thớ các nửa mật độ trên V

x∈V

• ΩF (G) := {FX | X ∈ G}
• Λ: Độ đo hoành (đối với phân lá)
• (δ0 , δ1 ): Cặp đồng cấu nối trong dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp các
C ∗ -đại số(1) có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử ”.
Năm 1943, I. Gelfand và A. Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C ∗ -đại số. Các C ∗ -đại
số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý. Tuy nhiên, chính
vấn đề mô tả cấu trúc C ∗ -đại số trong trường hợp tổng quát lại rất phức tạp và cho
đến nay vẫn còn là một bài toán mở.
Năm 1975, theo một gợi ý của A. A. Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn
cục) C ∗ -đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử đồng điều”, Đ.
N. Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K-hàm tử đồng điều của BrownDouglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF ) để đặc trưng C ∗ -đại số C ∗ (Aff R) của
nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực R. Năm 1976, J. Rosenberg ([18])
đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc trưng C ∗ -đại số C ∗ (Aff C) của nhóm các phép
biến đổi affine trên đường thẳng phức C và C ∗ -đại số của một vài nhóm Lie giải được
khác. Trong công trình này, J. Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn
cục của C ∗ -đại số bằng các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method ).
Năm 1978, Đ. N. Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C ∗ -đại
số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng.
Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc đặc trưng
cấu trúc cho các C ∗ -đại số phức tạp hơn. Từ đó, một cách tự nhiên, nảy sinh hai vấn
đề lớn như sau:
• Vấn đề 1: Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có
thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C ∗ -đại số.

• Vấn đề 2: Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C ∗ -đại số hoặc lớp các
(1)

Xem Phụ lục B

6


7
nhóm Lie mà C ∗ -đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng
các K-hàm tử mở rộng.
Năm 1980, G. G. Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành công
trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán tử (còn
gọi là các KK-hàm tử ) vừa đồng điều vừa đối đồng điều. Như một áp dụng đầu tiên,
Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C ∗ -đại số C ∗ (H3 ) của
nhóm Heisenberg H3 .
Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử thường
thích hợp với các C ∗ -đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớp tương đương
unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpô Jacobson) không
quá phức tạp. Đối với C ∗ -đại số nhóm, phổ của nó có thể đồng nhất với đối ngẫu unita
của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn unita bất
khả quy của nhóm).
Đặc biệt đối với nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy rằng tập đối
ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ đạo của nó. Do đó,
việc chọn lớp các nhóm Lie có không gian các K-quỹ đạo khá đơn giản cho phép ta
đặc trưng các C ∗ -đại số nhóm của chúng bằng phương pháp K-hàm tử.
Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ. N. Diệp đã đề nghị xét lớp C ∗ -đại số của các
MD-nhóm. Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo nên nói
chung C ∗ -đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm tử.
Giả sử G là một nhóm Lie thực, giải được n chiều (n là một số nguyên dương). G

được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có số
chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n. Khi k = n thì G còn được gọi
là một MDn-nhóm. Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương ứng MDn-nhóm) được
gọi là một MDn-đại số (tương ứng MDn-đại số ). Rõ ràng lớp MD là con của lớp MD.
Đến đây, một bài toán được đặt ra là: “Phân loại các MD-đại số đồng thời đặc trưng
C ∗ -đại số của các MD-nhóm bằng phương pháp K-hàm tử ”.
Năm 1984, H. H. Việt ([35]) đã phân loại triệt để các MD-đại số. Lớp này chỉ gồm
các đại số Lie giao hoán Rn , đại số Lie(Aff R) và đại số Lie(Aff C). Ngay sau đó, H.
H. Việt đã dùng phương pháp K-hàm tử để đặc trưng C ∗ Aff C của phủ phổ dụng


8

Aff C của nhóm Aff C. Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ. N. Diệp và J.
Rosenberg, bài toán đối với các MD-đại số và MD-nhóm xem như đã được giải quyết
triệt để. Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn là bài toán mở.
Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp các MDnhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ đạo chiều cực
đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A. Connes ([8]). Các phân
lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD-nhóm đã xét.
Đối với một phân lá (V, F) tùy ý, một trong những bài toán quan trọng của “tôpô
phân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của phân lá đó.
Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá V /F thường có tôpô không Hausdorff, do đó
ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các lá (theo nghĩa thông
thường). Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá. Để khắc phục hạn
chế này, năm 1982, A. Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay C0 (V /F) bởi C ∗ (V, F),
mà từ đó Connes định nghĩa:
K i (V /F) = Ki (C ∗ (V, F)) , (i = 0, 1) .
Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay vắn tắt
là K-lý thuyết đối với phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C ∗ -đại số Connes
C ∗ (V, F) liên kết với phân lá (hay vắn tắt là C ∗ -đại số của phân lá). Kể từ công trình

[8] của A. Connes, việc nghiên cứu C ∗ -đại số của phân lá và K-lý thuyết đối với phân
lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học
không giao hoán do chính A. Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 của thế kỷ
trước.
Vấn đề đặt ra là: “Liệu các C ∗ -đại số Connes liên kết với phân lá có thích hợp với
phương pháp K-hàm tử hay không? ”. Đáng chú ý, năm 1985, A. M. Torpe ([22]) đã
dùng các KK-hàm tử để đặc trưng C ∗ -đại số của các phân lá Reeb trên xuyến T 2 và
một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S 3 .
Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý thuyết
đối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C ∗ -đại số của các MDphân lá này bằng phương pháp K-hàm tử ”. Năm 1990, L. A. Vũ ([2]) đã thành công
trong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá.


9

Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên những động lực
cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn. Trường hợp khả dĩ đầu tiên mà chúng
tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm cơ sở cho việc phát
triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát.
Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của một
lớp các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ.

2. Mục đích của đề tài
Mục đích chính của đề tài là “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của một
lớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của một lớp
con các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C ∗ -đại số của các phân lá này bằng phương
pháp K-hàm tử ”. Cụ thể như sau:
1. Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất(1) giao hoán của L.
A. Vũ và K. P. Shum ([24]), chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con các MD(5,4)nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân mà MD5-đại số
tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4 chiều.

2. Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân lá được
tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)-nhóm được xét.
3. Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và đặc
trưng C ∗ -đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân lá được tạo
thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng. Cụ thể, chúng
tôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm liên thông, đơn liên, bất
khả phân.
Tiếp theo, chúng tôi xem xét các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm
được xét.
(1)

Xem Phụ lục A


10
Cuối cùng, chúng tôi xét C ∗ -đại số Connes liên kết với phân lá và khảo sát bài toán
đặc trưng C ∗ -đại số của các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-hàm tử.

4. Phương pháp nghiên cứu
Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số kỹ thuật và phương pháp như
sau:
• Trước hết, chúng tôi đã dùng một số kỹ thuật cơ bản trong phương pháp quỹ
đạo của A. A. Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K-quỹ đạo đã
được L. A. Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm.
• Tiếp theo, chúng tôi dùng một số kỹ thuật của lý thuyết tôpô phân lá.
• Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các kỹ thuật cơ bản của K-lý thuyết đối với
C ∗ -đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C ∗ -đại số của phân lá bằng các

KK-hàm tử đã được nêu trong tài liệu [22] của A. M. Torpe và tài liệu [2] của L.
A. Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp.

5. Ý nghĩa khoa học của đề tài
Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C ∗ -đại số thích hợp với phương pháp K-hàm tử (Vấn
đề 2), đó chính là lớp các C ∗ -đại số Connes liên kết với các MD-phân lá. Ngoài ra, các
kết quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể hiện, minh họa của Hình học
không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá
của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá cụ thể. Vì thế, các kết quả của đề tài
là có ý nghĩa khoa học.

6. Bố cục và nội dung của luận án
Bố cục của luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận.
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên
cứu, phương pháp nghiên cứu, ý nghĩa khoa học của đề tài, bố cục và nội dung của luận
án.
Ba chương nội dung: Trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu (mà đã được nêu
vắn tắt trong phần mục đích của đề tài) với đầy đủ những chứng minh chặt chẽ.


11

Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần được tiếp tục nghiên
cứu.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học trong nước
và quốc tế:
– Hội nghị Toán học quốc tế về Các phương pháp Hình học trong Động lực học và
Tôpô vào tháng 4/2011 (GEDYTO 2011) tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 1.
– Hội nghị quốc gia về Đại số – Hình học – Tôpô tháng 11/2011 tại Đại học Thái
Nguyên.

– Hội nghị quốc tế về Toán học và Ứng dụng vào tháng 12/2011 (ICMA-UEL 2011)
tại Trường Đại học Kinh tế - Luật, ĐHQG-HCM.
– Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp tháng 8/2012 (VFJC 2012) tại Đại học
Huế.
– Hội nghị Toán học và Ứng dụng tháng 1/2013 (ICMA-MU 2013) tại Đại học
Mahidol, Bangkok-Thailand 1/2013.


Chương 1
K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm
Kết quả chính của chương này là Định lí 1.3.1 ở Mục 1.3 về bức tranh hình học
các K-quỹ đạo của tất cả các MD(5,4)-nhóm. Kết quả này được công bố trong bài báo
[3]. Để tiện cho độc giả theo dõi, trước hết chúng tôi giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số
và MD(5,4)-nhóm, sau đó là khái niệm về K-quỹ đạo của nhóm Lie, cũng như phương
pháp mô tả chúng trước khi đi vào kết quả chính của chương.

1.1

Các MD-nhóm và MD-đại số

Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm MD-nhóm và MD-đại số được Đ. N. Diệp
đưa ra trong [10], để từ đó giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm.

1.1.1

Các MD-nhóm và MD-đại số

Giả sử G là một nhóm Lie thực, giải được với G là đại số Lie của G.
Định nghĩa 1.1.1. Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu các
K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại (không vượt quá số

chiều của nhóm). Trường hợp số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm
G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm.
Đại số Lie thực, giải được G ứng với MD-nhóm G (tương ứng MD-nhóm) được gọi
là MD-đại số (tương ứng MD-đại số).

12


13

Các MD-nhóm và MD-đại số có số chiều n được ký hiệu tương ứng là các MDn-nhóm
và MDn-đại số (hay M Dn -nhóm và M Dn -đại số) với n là số nguyên dương.
Thuật ngữ MD-nhóm, MD-đại số, MD-nhóm, MD-đại số được dùng đầu tiên bởi Đ.
N. Diệp năm 1980. Ngay sau đó, lớp các MD-đại số và MD-đại số đã được V. M. Sơn
và H. H. Việt khảo sát năm 1984 ([35]). H. H. Việt đã phân loại triệt để lớp MD-đại
số: các MD-đại số không giao hoán là và chỉ là các đại số Lie của các nhóm biến đổi
affine trên đường thẳng thực hoặc phức. V. M. Sơn đã đưa ra một điều kiện cần để
một đại số Lie thực, giải được là MD-đại số như trong mệnh đề dưới đây.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử G là một MD-đại số. Khi đó G 2 = [[G, G], [G, G]] là một đại
số con giao hoán trong G.
Toàn bộ lớp MD4-đại số đã được liệt kê đầy đủ vào năm 1984 bởi Đ. V. Trà ([1]).
Năm 1990, dựa trên liệt kê của Đ. V. Trà, L. A. Vũ đã phân loại triệt để (chính xác
đến đẳng cấu đại số Lie) các MD4-đại số ([2]). Nói một cách vắn tắt, bài toán liệt kê
và phân loại các MD4-đại số đã được giải quyết trọn vẹn.
Khi n = 5, các tính toán trở nên phức tạp hơn. Trong quá trình giải quyết bài toán
liệt kê và phân loại, để đơn giản, L. A. Vũ đề nghị xét từng lớp con các MD5-đại số
với ideal dẫn xuất giao hoán k chiều (1 ≤ k ≤ 4). Năm 2008, L. A. Vũ và K. P. Shum
đã hoàn thành việc liệt kê và phân loại lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao
hoán ([24]). Trên cơ sở đó, chúng tôi nghiên cứu bài toán của mình đối với lớp các
MD5-đại số bất khả phân(1) có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều (như đã đề cập ở phần

Mở đầu).
Thật ra, nhờ mệnh đề và hệ quả ngay dưới đây, ta sẽ thấy rằng có thể xét lớp con
các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất 4 chiều mà không cần chú ý đến tính
giao hoán của ideal này.
Mệnh đề 1.1.3 ([30, Theorem 2.1.5]). Cho G là một đại số Lie thực, giải được n
chiều (n ≥ 5) sao cho dim G 1 = n − 1 và G 2 giao hoán. Khi đó, G là một MD-đại số
khi và chỉ khi G 1 giao hoán.
(1)

Xem Phụ lục A


14

Kết hợp Mệnh đề 1.1.2 và Mệnh đề 1.1.3, ta có ngay hệ quả sau.
Hệ quả 1.1.4. Không tồn tại các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất 4 chiều
không giao hoán.
Do Hệ quả 1.1.4, nên ta chỉ cần xét bài toán trên lớp các MD5-đại số bất khả phân
có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều mà thôi. Trong mục kế tiếp dưới đây, ta sẽ giới
thiệu lại các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều.

1.1.2

Lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4
chiều

Suốt mục này, G luôn là ký hiệu để chỉ một MD5-đại số. Ta chọn trước một cơ sở
{X1 , X2 , X3 , X4 , X5 } cố định trong G. Khi đó, với tư cách là một không gian vectơ 5
chiều, G ∼
= R5 . Về phân loại lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4

chiều, ta có mệnh đề dưới đây của L. A. Vũ và K. P. Shum ([24]).
Mệnh đề 1.1.5. Cho G là một MD5-đại số bất khả phân có G 1 ∼
= R4 (đại số Lie giao
hoán 4 chiều). Khi đó, ta luôn chọn được cơ sở thích hợp {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 } trong G
sao cho G 1 = X2 , X3 , X4 , X5 ∼
= R4 , adX1 ∈ End(G 1 ), và G đẳng cấu với một và chỉ
một trong các đại số Lie dưới đây:

λ 0 0
 1

 0 λ2 0
1) G5,4,1(λ1 ,λ2 ,λ3 ) : adX1 = 

 0 0 λ3

0 0 0


2) G5,4,2(λ1 ,λ2 ) : adX1

λ 0
 1

 0 λ2
=

0 0

0 0

0 0


0


0
 ; λ1 , λ2 , λ3 ∈ R \ {0, 1}, λ1 = λ2 = λ3 = λ1 .

0

1




0 0
 ; λ1 , λ2 ∈ R \ {0, 1}, λ1 = λ2 .

1 0

0 1


15


3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

λ 0


0 λ
G5,4,3(λ) : adX1 = 

0 0

0 0

λ 0


0 1
G5,4,4(λ) : adX1 = 

0 0


0 0

1 0 0


0 1 0
G5,4,5 : adX1 = 

0 0 1

0 0 0

λ
 1

0
G5,4,6(λ1 ,λ2 ) : adX1 = 

0

0

λ 0


0 λ
G5,4,7(λ) : adX1 = 

0 0


0 0

λ 1


0 λ
G5,4,8(λ) : adX1 = 

0 0

0 0

λ 0


0 1
G5,4,9(λ) : adX1 = 

0 0

0 0

0 0





0 0
 ; λ ∈ R \ {0, 1}.


1 0

0 1

0 0


0 0
 ; λ ∈ R \ {0, 1}.

1 0

0 1

0


0
.

0

1

0 0 0


λ2 0 0
 ; λ1 , λ2 ∈ R \ {0, 1}, λ1 = λ2 .


0 1 1

0 0 1

0 0


0 0
 ; λ ∈ R \ {0, 1}.

1 1

0 1

0 0


0 0
 ; λ ∈ R \ {0, 1}.

1 1

0 1

0 0


1 0
 ; λ ∈ R \ {0, 1}.


1 1

0 1


16


10) G5,4,10 : adX1

1


0
=

0

0

1 0
1 1
0 1
0 0


0



0
.

1

1

11) G5,4,11(λ1 ,λ2 ,ϕ) :




adX1

cosϕ −sinϕ 0 0




 sinϕ cosϕ 0 0 
 ; λ1 , λ2 ∈ R \ {0}, λ1 = λ2 , ϕ ∈ (0; π).
=


 0
0
λ1 0 


0

0
0 λ2

12) G5,4,12(λ,ϕ) : adX1



cosϕ −sinϕ 0 0




 sinϕ cosϕ 0 0 
 ; λ ∈ R \ {0}, ϕ ∈ (0; π).
=


 0
0
λ 0


0
0
0 λ

13) G5,4,13(λ,ϕ) : adX1




cosϕ −sinϕ 0 0




 sinϕ cosϕ 0 0 
 ; λ ∈ R \ {0}, ϕ ∈ (0; π).

=

 0
0
λ 1


0
0
0 λ


14) G5,4,14(λ,µ,ϕ) : adX1



cosϕ −sinϕ 0 0




 sinϕ cosϕ 0 0 

 ; λ, µ ∈ R, µ > 0, ϕ ∈ (0; π).
=


 0
0
λ −µ


0
0
µ λ

Nhận xét 1.1.6.
(i) Nhắc lại rằng, một đại số Lie thực G xác định duy nhất một nhóm Lie liên thông,
đơn liên G sao cho Lie(G) = G. Do đó, ta cũng có 14 họ các MD5-nhóm liên
thông, đơn liên tương ứng với các MD5-đại số được liệt kê trong Mệnh đề 1.1.5.
Để thuận tiện về mặt ký hiệu, ta vẫn giữ nguyên các chỉ số đã dùng cho các
MD5-đại số bất khả phân được nêu trong Mệnh đề 1.1.5. Ví dụ: G5,4,1(λ1 ,λ2 ,λ3 ) là


17

MD5-nhóm liên thông, đơn liên tương ứng với MD5-đại số G5,4,1(λ1 ,λ2 ,λ3 ) . Họ các
MD5-nhóm này đều bất khả phân.
(ii) Các nghiên cứu trong luận án chỉ tập trung vào lớp các MD5-đại số bất khả
phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều và các MD5-nhóm liên thông, đơn liên
tương ứng. Do vậy, để thuận tiện về sau, chúng sẽ được ký hiệu lần lượt là các
MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm.
Sau đây, ta sẽ nhắc lại khái niệm về K-quỹ đạo được A. A. Kirillov trình bày trong

[15], cũng như nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD-nhóm được L. A.
Vũ đưa ra trong [2] trước khi mô tả tường minh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm.

1.2
1.2.1

Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo
K-quỹ đạo của một nhóm Lie

Cho G là một nhóm Lie tuỳ ý và G là đại số Lie của nó. Giả sử G tác động lên G
bởi Ad : G → Aut(G) được định nghĩa như sau:
Ad(g) = (Lg ◦ Rg−1 )∗ : G → G, ∀g ∈ G.
Trong đó Lg (tương ứng Rg−1 ) là phép tịnh tiến trái (tương ứng phải) của G theo
phần tử g ∈ G (tương ứng g −1 ∈ G). Tác động Ad gọi là biểu diễn phụ hợp của G
trong G. Ký hiệu G ∗ là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Khi đó, biểu diễn Ad
cảm sinh ra tác động K : G → Aut(G ∗ ) của G lên G ∗ như sau:
K(g)F, Y = F, Ad(g −1 )Y , ∀g ∈ G, ∀Y ∈ G, ∀F ∈ G ∗ .
Ở đây, với mỗi dạng tuyến tính F ∈ G ∗ , mỗi trường vectơ (bất biến trái) Y ∈ G,
ký hiệu F, Y chỉ giá trị của F tại Y . Tác động K được gọi là K-biểu diễn hay biểu
diễn đối phụ hợp của G trong G ∗ .
Mỗi quỹ đạo ứng với K-biểu diễn được gọi là K-quỹ đạo hay quỹ đạo Kirillov của
G (trong G ∗ ). Cụ thể, ứng với mỗi F ∈ G ∗ , K-quỹ đạo ΩF của G qua F được xác định
bởi:
ΩF = {K(g)F | g ∈ G} .

(1.1)


18

1.2.2

Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD(5,4)nhóm

Đối với mỗi nhóm Lie G, ta quan tâm đến bài toán mô tả các K-quỹ đạo ΩF của
G, với mỗi F ∈ G ∗ . Hơn nữa, ta muốn có một phương pháp mô tả ΩF trong trường
hợp mà luật nhóm của G chưa được cho tường minh mà chỉ biết rõ cấu trúc đại số Lie
G của G. Khi đó, ánh xạ mũ expG : G → G và tính chất tự nhiên của nó rất có ích đối
với ta.
Ký hiệu expG : G → G là ánh xạ mũ của G và exp : EndR (G) → AutR (G) là ánh xạ
mũ của nhóm Lie AutR (G) các tự đẳng cấu R-tuyến tính của G.
Nhắc lại rằng, vi phân ad : G → EndR (G) của biểu diễn phụ hợp Ad được xác định
bởi công thức:
adX (Y ) = [X, Y ] , ∀X, Y ∈ G.
Tính tự nhiên của ánh xạ mũ được thể hiện bởi hình chữ nhật giao hoán sau:
GO

/

Ad

AutR (G)
O

expG

G

exp

ad

/

EndR (G)

Tức là ta có đẳng thức: Ad ◦ expG = exp ◦ad.
Với mỗi X ∈ G, mỗi F ∈ G ∗ , ta xác định phần tử FX ∈ G ∗ như sau:
FX , Y = F, exp (adX ) Y , ∀Y ∈ G.
Bổ đề 1.2.1. Nếu gọi ΩF là K-quỹ đạo của G qua F thì ta luôn có bao hàm thức:
{FX | X ∈ G} ⊂ ΩF .

(1.2)

Hơn nữa, nếu expG là toàn ánh thì đẳng thức xảy ra.
Để tiện cho việc sử dụng trong các phần sau, ta sẽ ký hiệu tập {FX | X ∈ G} là
ΩF (G). Như thế, bao hàm thức (1.2) được viết lại là:
ΩF (G) ⊂ ΩF , ∀F ∈ G ∗ .


19

Một điều kiện đủ để đẳng thức xảy ra là ánh xạ expG toàn ánh.
Mệnh đề ngay dưới đây cung cấp cho ta một điều kiện đủ để ánh xạ expG là toàn
ánh.
Mệnh đề 1.2.2 ([2, Hệ quả 1.7]). Giả sử G là nhóm Lie thực, giải được, liên thông,
hữu hạn chiều với đại số Lie G của nó thoả: với mọi X ∈ G, adX không có giá trị riêng
(trong C) thuần ảo nào. Khi đó, ánh xạ mũ expG : G → G là toàn ánh.
Thực ra, trong nhiều trường hợp, thì một điều kiện yếu hơn tính toàn ánh của expG
cũng đủ để có đẳng thức ΩF (G) = ΩF . Cụ thể, ta có bổ đề sau đây.

Bổ đề 1.2.3. Giả sử G liên thông. Nếu họ các ΩF (G), F ∈ G ∗ lập thành một phân
hoạch của G ∗ và mọi ΩF (G), F ∈ ΩF đều cùng mở hoặc cùng đóng (tương đối) trong
ΩF , F ∈ G ∗ . Khi đó: ΩF (G) = ΩF , ∀F ∈ G ∗ .
Nhận xét 1.2.4. Các mệnh đề trên, về cơ bản, đã phác thảo cho ta cách mô tả các
K-quỹ đạo của các MD-nhóm. Cụ thể, trong trường hợp lớp con các MD(5,4)-nhóm,
trước hết ta xác định ΩF (G), với mỗi F ∈ G ∗ . Sau đó, tuỳ vào từng trường hợp cụ thể
của mỗi nhóm Lie, ta sẽ chỉ ra rằng: ánh xạ mũ của nó hoặc là toàn ánh hoặc tất cả
các ΩF (G), F ∈ ΩF đều cùng đóng hoặc cùng mở (tương đối) trong ΩF . Do đó, dùng
Bổ đề 1.2.1 và Bổ đề 1.2.3, ta có đẳng thức ΩF (G) = ΩF , ∀F ∈ G ∗ .
Sau đây là một kết quả khá tổng quát về số chiều của K-quỹ đạo được áp dụng cho
trường hợp các MD(5,4)-nhóm được xét.
Mệnh đề 1.2.5 ([30, Lemma 2.1.6]). Nếu G là một MD-đại số có số chiều n ≥ 5
và dim G 1 = n − 1 thì dim ΩF ∈ {0, 2} , ∀F ∈ G ∗ .
Theo Mệnh đề 1.2.5, đối với mỗi MD(5,4)-nhóm được xét, các K-quỹ đạo chỉ hoặc
0-chiều hoặc là 2-chiều (chiều cực đại).
Sau đây là một mô tả tường minh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm.


20

1.3

Bức tranh hình học các K-quỹ đạo của các
MD(5,4)-nhóm

Với G là một trong các MD(5,4)-nhóm, gọi G là đại số Lie tương ứng của G và G ∗
là không gian đối ngẫu của đại số Lie G. Giả sử X ∈ G có toạ độ (a, b, c, d, f ) trong
cơ sở {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 }, và F ∈ G ∗ có toạ độ (α, β, γ, δ, σ) trong cơ sở đối ngẫu
{X1∗ , X2∗ , X3∗ , X4∗ , X5∗ }, ΩF là K-quỹ đạo của G trong G ∗ chứa F .
Định lí 1.3.1. (Mô tả bức tranh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm)

1. Giả sử G là một trong các nhóm Lie G5,4,1(λ1 ,λ2 ,λ3 ) , G5,4,2(λ1 ,λ2 ) , G5,4,3(λ) , G5,4,4(λ) ,
G5,4,5 , G5,4,6(λ1 ,λ2 ) , G5,4,7(λ) , G5,4,8(λ) , G5,4,9(λ) , G5,4,10 với λ, λ1 , λ2 , λ3 ∈ R\ {0, 1}.
(a) Nếu β = γ = δ = σ = 0 thì ΩF = {F } (quỹ đạo 0-chiều).
(b) Nếu β 2 + γ 2 + δ 2 + σ 2 = 0 thì ΩF là quỹ đạo 2-chiều được cho trong từng
trường hợp cụ thể như dưới đây:
•

x, βeaλ1 , γeaλ2 , δeaλ3 , σea , x, a ∈ R khi G = G5,4,1(λ1 ,λ2 ,λ3 ) ,

•

x, βeaλ1 , γeaλ2 , δea , σea , x, a ∈ R khi G = G5,4,2(λ1 ,λ2 ) ,

•

x, βeaλ , γeaλ , δea , σea , x, a ∈ R khi G = G5,4,3(λ) ,

•

x, βeaλ , γea , δea , σea , x, a ∈ R khi G = G5,4,4(λ) ,

• {(x, βea , γea , δea , σea ) , x, a ∈ R} khi G = G5,4,5 ,
•

x, βeaλ1 , γeaλ2 , δea , δaea + σea , x, a ∈ R khi G = G5,4,6(λ1 ,λ2 ) ,

•

x, βeaλ , γeaλ , δea , δaea + σea , x, a ∈ R khi G = G5,4,7(λ) ,

•

x, βeaλ , βaeaλ + γeaλ , δea , δaea + σea , x, a ∈ R khi G = G5,4,8(λ) ,

•

x, βeaλ , γea , γaea + δea , γ a 2e + δaea + σea , x, a ∈ R

2 a

khi G = G5,4,9(λ) ,
•

2 a

3 a

2 a

x, βea , βaea + γea , β a 2e + γaea + δea , β a 6e + γ a 2e + δaea + σea ,
x, a ∈ R

khi G = G5,4,10 .

2. Giả sử G là một trong các nhóm Lie G5,4,11(λ1 ,λ2 ,ϕ) , G5,4,12(λ,ϕ) , G5,4,13(λ,ϕ) với
∗
∗
λ1 , λ2 , λ ∈ R\ {0}, ϕ ∈ (0;π). Bằng cách đồng nhất G5,4,11(λ
, G5,4,12(λ,ϕ)
,

1 ,λ2 ,ϕ)
∗
G5,4,13(λ,ϕ)
với R × C × R2 và F với (α, β + iγ, δ, σ). Ta được:


21

(a) Nếu β + iγ = δ = σ = 0 thì ΩF = {F } (quỹ đạo 0-chiều).
(b) Nếu |β + iγ|2 + δ 2 + σ 2 = 0 thì ΩF là quỹ đạo 2-chiều được cho trong từng
trường hợp cụ thể như dưới đây:
•

−iϕ
x, (β + iγ) e(ae ) , δeaλ1 , σeaλ2 , x, a ∈ R

•

−iϕ
x, (β + iγ) e(ae ) , δeaλ , σeaλ , x, a ∈ R

•

−iϕ
x, (β + iγ) e(ae ) , δeaλ , δaeaλ + σeaλ , x, a ∈ R khi G = G5,4,13(λ,ϕ) .

khi G = G5,4,11(λ1 ,λ2 ,ϕ) ,
khi G = G5,4,12(λ,ϕ) ,

3. Giả sử G là một trong các nhóm Lie G5,4,14(λ,µ,ϕ) với λ, µ ∈ R, µ > 0, ϕ ∈ (0; π).

∗
với R × C × C và F với (α, β + iγ, δ + iσ). Ta
Bằng cách đồng nhất G5,4,14(λ,µ,ϕ)

được:
(a) Nếu β + iγ = δ + iσ = 0 thì ΩF = {F } (quỹ đạo 0-chiều).
(b) Nếu |β + iγ|2 + |δ + iσ|2 = 0 thì:
ΩF =

−iϕ
x, (β + iγ) e(ae ) , (δ + iσ) ea(λ−iµ) , x, a ∈ R (quỹ đạo 2-chiều).

Chứng minh:
Theo Nhận xét 1.2.4, trước tiên ta sẽ mô tả ΩF (G), với mỗi F ∈ G ∗ , trong từng
trường hợp của các MD(5,4)-nhóm. Nhớ rằng:
ΩF (G) = {FX | X ∈ G}
với FX ∈ G ∗ được xác định bởi FX , Y = F, exp (adX ) Y , ∀X, Y ∈ G.
Như vậy, để xác định FX , ∀X ∈ G, ta cần phải xác định exp (adX ), tức là tính ma
trận biểu diễn của exp (adX ) trong cơ sở {X1 , X2 , X3 , X4 , X5 }. Khi đó, FX được cho
bởi (x, y, z, t, s) ∈ G ∗ ∼
= R5 , với:
x = FX , X1 = F, exp (adX ) X1 ,
y = FX , X2 = F, exp (adX ) X2 ,
z = FX , X3 = F, exp (adX ) X3 ,
t = FX , X4 = F, exp (adX ) X4 ,
s = FX , X5 = F, exp (adX ) X5 .


22

Dưới đây là những kết quả nhận được bằng tính toán trực tiếp với X (a, b, c, d, f ) ∈
G∼
= R5 trong từng trường hợp cụ thể.
1. Với G = G5,4,1(λ1 ,λ2 ,λ3 ) :
• [X, X1 ] = a [X1 , X1 ] + b [X2 , X1 ] + c [X3 , X1 ] + d [X4 , X1 ] + f [X5 , X1 ]
= −bλ1 X2 − cλ2 X3 − dλ3 X4 − f X5 .
• [X, X2 ] = a [X1 , X2 ] = aλ1 X2 .
• [X, X3 ] = a [X1 , X3 ] = aλ2 X3 .
• [X, X4 ] = a [X1 , X4 ] = aλ3 X4 .
• [X, X5 ] = a [X1 , X5 ] = aX5 .


Suy ra ma trận biểu diễn của ánh xạ adX

0

0

0

0



 −bλ1 aλ1 0
0


là: adX =  −cλ2 0 aλ2 0



 −dλ3 0
0 aλ3

−f
0
0
0

và adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, a, aλ1 , aλ2 , aλ3 . Từ đó, ta được:


1
0
0
0
0


 b(1−eaλ1 ) aλ1


e
0
0
0 
a


 c 1−eaλ2


exp (adX ) =  ( a )
0 eaλ2 0
0 .


 d(1−eaλ3 )

aλ3

0
0 e
0 
a


f (1−ea )
a
0
0
0 e
a
Do vậy, toạ độ FX như sau:

b(1−eaλ1 )
c(1−eaλ2 )
d(1−eaλ3 )
f (1−ea )



x=α+β
+
γ
+
δ
+
σ

a
a
a
a




aλ
1

y = βe


z = γeaλ2




 t = δeaλ3





 s = σea

0





0 


0 ,


0 

a


23

Suy ra:

ΩF (G) = 

{F (α, 0, 0, 0, 0)}

khi β = γ = δ = σ = 0,

x, βeaλ1 , γeaλ2 , δeaλ3 , σea , x, a ∈ R

khi β 2 + γ 2 + δ 2 + σ 2 = 0.

Lập luận tương tự với các nhóm còn lại, ta có kết quả dưới đây.
2. Với G = G5,4,2(λ1 ,λ2 ) :

0
0
0


 −bλ1 aλ1 0


adX =  −cλ2 0 aλ2


 −d
0
0

−f
0
0

0 0





1

0

0

0

0




 b(1−eaλ1 ) aλ1

0 0 
e
0
0 0
a



 c(1−eaλ2 )
0 0 , exp (adX ) = 
0 eaλ2 0 0
a




 d(1−ea )

a 0 
0
0 ea 0
a


f (1−ea )
0 a
0
0
0 ea
a

adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, aλ1 , aλ2 , a (bội 2).
Do vậy, toạ độ FX như sau:

b(1−eaλ1 )
c(1−eaλ2 )
d(1−ea )
f (1−ea )


x=α+β
+
γ

+
δ
+
σ

a
a
a
a




aλ
1

y = βe


z = γeaλ2




 t = δea




 s = σea

Suy ra:

ΩF (G) = 

{F (α, 0, 0, 0, 0)}

khi β = γ = δ = σ = 0,

x, βeaλ1 , γeaλ2 , δea , σea , x, a ∈ R

3. Với G = G5,4,3(λ) :

0
0 0 0 0


 −bλ aλ 0 0 0


adX =  −cλ 0 aλ 0 0


 −d 0 0 a 0

−f 0 0 0 a



khi β 2 + γ 2 + δ 2 + σ 2 = 0.



1
0
0 0 0



 b(1−eaλ ) aλ


e
0 0 0
a


aλ

 c 1−e
, exp (adX ) =  ( a ) 0 eaλ 0 0



 d(1−ea )


0
0 ea 0
a



f (1−ea )
0
0 0 ea
a

adX chỉ có các giá trị riêng thực là 0, aλ (bội 2), a (bội 2).







.











.




