03 ki thuat nang luy thua va su dung vi et dao BG(2016)

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

03. KĨ THUẬT NÂNG LŨY THỪA VÀ DÙNG VI-ET ĐẢO
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Lý thuyết cơ bản.
• Nếu một đa thức f ( x ) có các nghiệm phân biệt x1 , x2 thì đa thức f ( x ) chia hết cho x 2 − Sx + P
trong đó S = x1 + x2 và P = x1 x2 .

•

•

•

Nếu đa thức f ( x ) chia hết cho thu được kết quả là đa

thức g ( x ) thì f ( x ) = ( x 2 − Sx + P ) g ( x ) .

Để tính gần đúng một nghiệm của phương đa thức bậc n
ví dụ ta cần giải phương trình hữu tỷ sau:
x 4 − 3 x3 + x 2 − 2 x + 1 = 0 . Ta sử dụng máy tính CASIO
theo các bước, đó là:
o Truy cập Mode 1, ta bấm X 4 − 3 X 3 + X 2 − 2 X + 1 = 0 .
o Bấm SHIFT + CALC. Máy tính hỏi giá trị của X ta có thể nhập một giá trị X bất kỳ, ví
dụ ta sẽ gán X = 0 ( Bấm 0, sau đó ấn “ = “ ).
o Đợi một lúc, màn hình máy tính sẽ hiện ra như sau
Và giá trị X = 0.476888865 chính là một nghiệm
của phương trình đã cho.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ cần áp dụng:

2
o ( a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2
o
o
o

•

( a ± b ) = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3
2
( a + b + c ) = a 2 + b 2 + c 2 + 2 ( ab + bc + ca )
3
( a + b + c ) = a 3 + b3 + c3 + 3 ( a + b )( b + c )( c + a )
3

Các dạng toán thường gặp, đó là:
 f ( x ) .h ( x ) ≥ 0
 f ( x ) ≥ 0
o f ( x) = g ( x) ⇔  2
; f ( x) = h ( x) g ( x) ⇔  2
2
 f ( x ) = g ( x )
 f ( x ) = h ( x ) g ( x )
 f ( x ) ≥ 0
 
o
f ( x ) = g ( x ) ⇔  g ( x ) ≥ 0 ;

 f ( x ) = g ( x )

f ( x) q ( x) = h ( x)

 f ( x ) .h ( x ) ≥ 0

g ( x ) ⇔ q ( x ) ≥ 0 ( g ( x ) ≥ 0 )
 2
2
 f ( x ) .q ( x ) = h ( x ) .g ( x )

Chú ý:
Với tiêu đề NÂNG LŨY THỪA VÀ VIET ĐẢO, phương pháp này cho ta tìm nghiệm của một đa thức
bậc cao hay nói cách khác nghiệm của một phương trình vô tỷ có chứa căn thức. Tuy nhiên không phải
trường hợp nào cũng có thể nâng lũy thừa và giải quyết được, vậy ta quy ước như sau:
a) Bậc cao tối thiểu sẽ là 8 , tức là các bài toán dạng a. f n ( x ) + b. f n−1 ( x ) + ... + 1 = 0 với n ≤ 8 . Như
vậy sẽ dễ dàng hơn trong việc chúng ta khai triển đa thức.
b) Thường gặp sẽ là ở các bài toán đa thức bậc 4 và bậc 6 , bậc 6 ta có thể tách thành 6 = 4 + 2 tức
là thành đa thức bậc 4 nhân đa thức bậc hai 2 . Vậy trong trường hợp SHIFT + CALC mà đa thức
bậc 4 vô nghiệm ta sẽ làm như thế nào. Cụ thể sẽ ở cuối bài viết.
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Cở sở của phương pháp là tìm được hai nghiệm của phương trình, thậm chí là ba nghiệm để xét tổng và
hiệu chính là x1 + x2 ; x1 x2 sau đó tìm được nhân tử x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 x2 .
x2 + 4 x − 5
= ( x + 2) x + 3 − 2
( x ∈ ℝ)
x2 + 2
PHÂN TÍCH CASIO. Bài toán trên thực chất được phát biểu gần giống với đề toán THPT Quốc Gia

năm 2015. Bây giờ, trước hết ta sẽ dùng TABLE ( Mode 7 ) để khảo sát
miền nghiệm của bài toán trước.
• Nhập hàm số
X 2 + 4X − 5
F(X) =
− ( X + 2) X + 3 − 2
X2 +2
.
• Vì điều kiện bài cho là x ≥ −3 nên ta sẽ nhập các giá trị như sau:
o START = −3
o END = 5
o STEP = 0.5
• Dựa vào bảng bên ta có thể
thấy được rằng x = 1 và
x ∈ ( 2; 2.5) là các nghiệm
của phương trình đã cho.
• Bây giờ ta có thể tự tin dùng SHIFT + CALC cho
phương trình bài cho và lưu
ý là gán x ∈ ( 2; 2.5) .

(

Ví dụ 1. Giải phương trình

)

(

•
•

•

(

)

X 2 + 4X − 5
Nhập phương trình
= ( X + 2 ) X + 3 − 2 , sẽ gán X = 2.3 thì máy tính sẽ xuất
X2 +2
hiện nghiệm còn lại của phương trình đã cho, đó là:
Với hai nghiệm tìm được, ta sẽ thay vào căn
 X + 3 = 2
thức ta được 
 X + 3 = 2.0302775638 = X
Mặt khác: với x = 1 thì x 2 + 4 x − 5 = 0 nên ta sẽ tách được nhân tử chung với lượng x + 3 − 2
nên ta sẽ tìm được nghiệm x = 1 như sau:
( x + 5)( x − 1) = x + 2 x + 3 − 2
x2 + 4 x − 5
= ( x + 2) x + 3 − 2 ⇔
(
)
2
x +2
x2 + 2
 x +3 − 2 = 0 ⇔ x =1
( x + 5) x + 3 + 2 x + 3 − 2

⇔

=
x
+
2
x
+
3
−
2
⇔
(
)
x2 + 2
( x + 5 ) x + 3 + 2 = ( x 2 + 2 ) ( x + 2 )


(

(

•

)

)(

)

(

)

(

)

)

(

)

Vấn đề còn lại là giải quyết phương trình ( ∗) , và dễ thấy ta sẽ biến đổi ( ∗) về dạng

f ( x) = h ( x) g ( x)
như sau: ( x + 5 ) x + 3 = x3 + 2 x 2 − 6 . Khi đưa về dạng quen thuộc rồi, ta sẽ mạnh dạn bình

phương hai vế, ta được: ( x3 + 2 x 2 − 6 ) = ( x + 5 ) ( x + 3)
2

2

( i ) . Tiếp tục, theo bài trước, ta sẽ

dùng máy tính để phân tích nhân tử đa thức, đó là: gán x = 100 , ta sẽ thấy:

VP( i ) = ( x3 + 2 x 2 − 6 ) = ( x 3 + x 2 + x 2 − 6 ) = ( x3 + x 2 ) + 2 ( x 3 + x 2 )( x 2 − 6 ) + ( x 2 − 6 )
2

2

2

2

VT( i ) = ( x + 5 ) ( x + 3) = x3 + 13x 2 + 55 x + 75
2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

( ∗)


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Nên ta xét

2 ( x 3 + x 2 )( x 2 − 6 ) + ( x 2 − 6 ) − VP( i ) = 2 ( x 3 + x 2 )( x 2 − 6 ) + ( x 2 − 6 ) − x3 − 13 x 2 − 55 x − 75
2

2

= 2 x5 + 3 x 4 − 13 x3 − 37 x 2 − 55 x − 39
Khi đó ( i ) ⇔ x 6 + 4 x 5 + 4 x 4 − 13x 3 − 37 x 2 − 55 x − 39 = 0 .

•

Với phương trình ( i ) dùng SHIFT + CALC ta tìm được hai nghiệm là x1 = −1.302775638 và

 x1 + x2 = 1

nghiệm còn lại là x2 = 2.302775638 . Từ đó xét tổng, tích là 
nên ta có nhân tử là
x
x
=
−
3
 1 2
2
( x − x − 3) , khi đó thực hiện phép chia đa thức
x 6 + 4 x5 + 4 x 4 − 13 x 3 − 37 x 2 − 55 x − 39
= x 4 + 5 x3 + 12 x 2 + 14 x + 13 .
2
x − x−3
Và ta sẽ thấy rằng phương trình x 4 + 5 x3 + 12 x 2 + 14 x + 13 = 0 (xem cách chứng minh ở dưới ).
Tuy nhiên, ta có thể nhìn nhận theo hướng hàm số như sau:
2
( ∗) ⇔  x + 3 + 2  x + 3 + 2 = ( x 2 + 2 ) ( x + 2 )



(

)

(

)

Xét hàm số f ( t ) = ( t 2 + 2 ) ( t + 2 ) , có f ' ( t ) = 2t ( t + 2 ) + t 2 + 2 = 3t 2 + 4t + 2 = t 2 + 2 ( t + 1) > 0; ∀t ∈ ℝ

2

nên suy ra f ( t ) là hàm số đồng biến trên ℝ mà

x ≥ 0
1 + 13
x + 3 = f ( x) ⇔ x = x + 3 ⇔  2
⇔x=
2
x − x − 3 = 0
1 + 13
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1; x =
.
2
f

(

)

Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x 2 − 6 x − 1 = 4 x + 5

( x ∈ ℝ)

 f ( x ) ≥ 0
PHÂN TÍCH CASIO. Đây là dạng phương trình cơ bản có dạng f ( x ) = g ( x ) ⇔  2
, nên
f
x
=

g
x
(
)
(
)

2
dễ thấy được điều kiện bài toán là 2 x − 6 x − 1 ≥ 0 . Và giải pháp mà ta hướng tới đó chính là nâng lũy

thừa hai vế, khi đó ta được phương trình đã cho ⇔ ( 2 x 2 − 6 x + 1) = 4 x + 5 ⇔ x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 + 2 x − 1 = 0 .
2

•

Phương trình trên, dùng chức năng SHIFT + CALC ta sẽ tính được gần đúng bốn nghiệm của
 x1 = 2.4142135262
phương trình ( vì nó là một đa thức bậc bốn ), các nghiệm đó là 
,
 x2 = −0.4142135262
 x3 = 3.732050808

 x4 = 0.2679491924

•

Nhưng để xét được tích và tổng, thì chú ý đến mỗi cặp nghiệm là hai nghiệm của một phương
trình bậc hai vì thế ta cần chia nghiệm để chia thành hai cặp nghiệm như thế nào ? Và ta cần chú ý
 x = 2.4142135262
đến các nghiệm có phần thập phân giống nhau như hai nghiệm  1

và sẽ xét
 x2 = −0.4142135262
 x + x2 = −2
được là  1
. Do đó ta được nhân tử x 2 − 2 x − 1 và hai nghiệm còn lại được nhân tử
 x1 x2 = −1
x 2 − 4 x + 1 . Và ta sẽ được:
x 4 − 6 x3 + 8 x 2 + 2 x − 1 = 0 ⇔ ( x 2 − 2 x − 1)( x 2 − 4 x + 1) = 0

5
TƯ DUY LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥ − .
4
Phương trình đã cho tương đương với:
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC
2
2 x 2 − 6 x + 1 ≥ 0
x = 1− 2
2 x − 6 x + 1 ≥ 0
2x − 6x + 1 = 4x + 5 ⇔  2
⇔
⇔

 2
2
2
 x = 2 + 3
( 2 x − 6 x + 1) = 4 x + 5

( x − 2 x − 1)( x − 4 x + 1) = 0
2

{

}

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 − 2; 2 + 3 .
Ví dụ 3. Giải phương trình 2 x ( x − 4 ) = ( x 2 − 6 x + 10 )

(

)

2x − 1 − 1

( x ∈ ℝ)

1
. Ta thấy phương trình được rút gọn lại thành:
2
2 x − 1 − x 2 + 6 x − 10 ⇔ 3 x 2 − 14 x − 10 = ( x 2 − 6 x + 10 ) 2 x − 1

PHÂN TÍCH CASIO. Điều kiện: x ≥
2 x 2 − 8 x = ( x 2 − 6 x + 10 )

( ∗)

Phương trình trên nằm trong các dạng phương trình cơ bản
 f ( x ) .h ( x ) ≥ 0

f ( x) = h ( x) g ( x) ⇔  2
mà đã giới thiệu ở trên, chính vì thế ta được
2
=
f
x
h
x
g
x
(
)
(
)
(
)

2
( 3 x − 14 x − 10 )( x 2 − 6 x + 10 ) ≥ 0
.
( ∗) ⇔  2
2
2
2
( 3 x − 14 x + 10 ) = ( 2 x − 1) ( x − 6 x + 10 )

Bây giờ sử dụng các kiến thức được cung cấp ở CHUYÊN ĐỀ 1 ta sẽ khai triển đa thức như sau:
•
•

Đa thức ( 3 x 2 − 14 x + 10 ) = 9 x 4 − 84 x3 + 256 x 2 − 280 x + 100 .
2

2
Đa thức ( 2 x − 1)  x 2 − ( 6 x − 10 )  = ( 2 x − 1)  x 4 − 2 x 2 ( 6 x − 10 ) + ( 6 x − 10 )  ( cách làm này là ta


đã tách bình phương ra sao cho khi phá ra để nhân với đại lượng 2 x − 1 xuất hiện bậc nhỏ nhất có
thể ).
2
= x 4 ( 2 x − 1) − 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) + ( 2 x − 1)( 6 x − 10 )
2

= 2 x5 − x 4 + ( 2 x − 1) ( 36 x 2 − 120 x + 100 ) − 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1)

Xét riêng với đa thức 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) , ta có thể làm như sau:
Gán x = 100 suy ra
2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) = 2348200000 ⇒ 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) − 24 x 4 = −51800000

⇒ 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) − 24 x 4 + 52 x 3 = 200000 ⇒ 2 x 2 ( 6 x − 10 )( 2 x − 1) − 24 x 4 + 52 x 3 − 20 x 2 = 0

Do đó suy ra ( 2 x − 1)  x 2 − ( 6 x − 10 )  = 2 x 5 − 25 x 4 + 124 x3 − 296 x 2 + 320 x − 100 .
2

Vậy nên ta có được

( 3x

2

− 14 x + 10 ) = ( 2 x − 1) ( x 2 − 6 x + 10 ) ⇔ 2 x 5 − 34 x 4 + 208 x3 − 552 x 2 + 600 x − 200 = 0 .
2

2

Bây giờ ta sẽ dùng chức năng SHIFT CALC để tìm nghiệm của phương trình bậc năm ở trên.
Nhập máy tính 2 X 5 − 34 X 4 + 208 X 3 − 552 X 2 + 600 X − 200 = 0 , gán các giá trị X bất kỳ ta sẽ được 5
nghiệm của phương trình là
x1 = 5; x2 = 3.414213562; x3 = 0.5857864376; x4 = 6.449489743; x5 = 1.550510257
Đến đây xuất hiện bốn nghiệm lẻ và ta cũng sẽ ghép cặp như ví dụ trên, ta thấy sẽ chọn tổng hai nghiệm
 x2 + x3 = 4
 x2 x3 = 2
sao cho tổng đó là một số hữu tỷ và có hai cặp nghiệm thỏa mãn chính là 
và 
. Khi
 x4 + x5 = 8
 x4 x5 = 10
đó ta nhóm được nhân tử là ( x − 5 ) ( x 2 − 4 x + 2 )( x 2 − 8 x + 10 ) . Hoặc khi ta phát hiện được một trong hai

nhân tử bậc hai là x 2 − 4 x + 2 hoặc x 2 − 8 x + 10 ta có thể thực hiện phép chia đa thức:
2 x 5 − 25 x 4 + 124 x3 − 296 x 2 + 320 x − 100 2 x5 − 25 x 4 + 124 x3 − 296 x 2 + 320 x − 100
;
x2 − 4x + 2
x 2 − 8 x + 10
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

1

.
2
Phương trình đã cho tương đương với 2 x 2 − 8 x = ( x 2 − 6 x + 10 ) 2 x − 1 − x 2 + 6 x − 10

LỜI GIẢI. Điều kiện: x ≥

⇔ 3 x 2 − 14 x − 10 = ( x 2 − 6 x + 10 ) 2 x − 1

x = 5
( 3 x 2 − 14 x − 10 )( x 2 − 6 x + 10 ) ≥ 0
( 3 x 2 − 14 x − 10 )( x 2 − 6 x + 10 ) ≥ 0



⇔
⇔
⇔
x = 2− 2


2
2
2
2
2
2
x
−
5
x

−
4
x
+
2
x
−
8
x
+
10
=
0
)(
)(
)
( 2 x − 1) ( x − 6 x + 10 ) = ( 3 x − 14 x − 10 )
x = 4 + 6
(

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm kể trên.
Ví dụ 4. Giải phương trình 3x 3 − 6 x 2 + 5 = 6 x ( x − 2 ) x 2 − x − 1

( x ∈ ℝ) .

 f ( x ) .h ( x ) ≥ 0
nên
PHÂN TÍCH CASIO. Phương trình đã cho có dạng f ( x ) = h ( x ) g ( x ) ⇔  2
2
 f ( x ) = h ( x ) g ( x )

ta sẽ chọn giải pháp nâng lũy thừa hai vế và ta được ( 3 x 3 − 6 x 2 + 5 ) = 36 x 2 ( x − 2 ) ( x 2 − x − 1) .
2

2

•

Đa thức ( 3 x 3 − 6 x 2 + 5 ) để đơn giản hóa, ta sẽ tách thành như sau:

•

3x 3 − ( 6 x 2 − 5 )  = 9 x 6 − 6 x3 ( 6 x 2 − 5) + ( 6 x 2 − 5) = 9 x 6 − 36 x 5 + 30 x 3 + 36 x 4 − 60 x 2 + 25


2
Đa thức x 2 ( x − 2 ) ( x 2 − x − 1) sẽ tách thành x 2 . ( x 2 − 4 x + 4 )( x 2 − x − 1) 
Vì ( x 2 − 4 x + 4 )( x 2 − x − 1) = x 4 − 5 x 3 + 7 x 2 − 4 nên suy ra

2

2

2

36 x 2 ( x − 2 ) ( x 2 − x − 1) = 36 x 6 − 180 x 5 + 252 x 4 − 4 x 2
2

Do đó ( 3 x 3 − 6 x 2 + 5 ) = 36 x 2 ( x − 2 ) ( x 2 − x − 1) ⇔ 27 x 6 − 144 x 5 + 216 x 4 − 30 x3 − 84 x 2 − 25 = 0 .
2

2

Nhập máy tính 27 X 6 − 144 X 5 + 216 X 4 − 30 X 3 − 84 X 2 − 25 = 0 , gán một giá trị X bất kỳ ta thu được
 x1 + x2 = 2
 x1 = 2.632993162

hai nghiệm phương trình đó là 
⇒
5 nên nhân tử là
 x2 = −0.6329931619  x1 x2 = −
3


5 1
= ( 3x 2 − 6 x − 5) .
3 3
Và ta sẽ tìm đa thức còn lại bằng phép chia đa thức, như sau:
27 x 6 − 144 x5 + 216 x 4 − 30 x 3 − 84 x 2 − 25
= 9 x 4 − 30 x3 + 27 x 2 − 6 x + 5
2
3x − 6 x − 5
Phương trình bậc bốn còn lại vô nghiệm.

x2 − 2 x −

Cũng với nghiệm như trên, ta sẽ có được 2 x 2 − x − 1 = x + 1 nên ta sẽ chọn giải phép ghép biểu thức liên
hợp hay vì nâng lũy thừa với số mũ to như vậy. Chia biểu thức như sau:
3x3 − 6 x 2 + 5 − 6 x ( x − 2 ) x 2 − x − 1

2 x − x −1 − x −1

2

Và chú ý 3 x 2 − 5 x + 1 + 2 x 2 − x − 1 =

(

)

2

= 5 x − 3x 2 − 1 − 2 x 2 − x − 1

x 2 − x − 1 + 1 + 2 ( x − 1) ≥ 0 .
2

Do đó phương trình đã cho

(

)(

)

⇔ 2 x 2 − x − 1 − x − 1 5 x − 3x 2 − 1 − 2 x 2 − x − 1 = 0 ⇔ 2 x 2 − x − 1 = x + 1 ⇔ x =
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =

3± 2 6
.
3

3± 2 6
.
3

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

TỔNG QUÁT. Phương pháp chứng minh phương trình bậc bốn vô nghiệm.
Đặt vấn đề. Giải phương trình f ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 .
Lời giải. Dùng SHIFT CALC hoặc TABLE ( mode 7 ) thấy phương trình vô nghiệm. Ta sẽ chứng minh
phương trình f ( x ) = 0 như sau:
2

•
•
•

•

•

ax


Tìm hằng số α ∈ ℝ sao cho x + ax + bx + cx + d −  x 2 +
+α  > 0.
2



3
2
Đạo hàm cấp 1 là f ' ( x ) = 4 x + 3ax + 2bx + c .
4

3

2

Giải phương trình f ' ( x ) = 4 x3 + 3ax 2 + 2bx + c = 0 ta được nghiệm x = x0 .

o Một nghiệm duy nhất suy ra đây chính là điểm rơi của bài toán.
o Nhiều nhiệm, ta cần thử xem nghiệm nào cho f ( x )min thì đó chính là điểm rơi của bài
toán.
a
Tìm α sao cho α ≈ − x02 − x0 nhất.
2
2
 2 ax

4
3
2
Sau khi tìm được α ta sẽ tìm được x + ax + bx + cx + d −  x +
+ α  = g ( x) > 0 .
2



Ví dụ xx. Giải phương trình x 4 + 5 x3 + 12 x 2 + 14 x + 13 = 0 trên tập số thực.
Lời giải. Xét đạo hàm của hàm số f ( x ) = x 4 + 5 x3 + 12 x 2 + 14 x + 13 , có f ' ( x ) = 4 x3 + 15 x 2 + 24 x + 14 .
Dùng máy tính CASIO ta có được f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1.178845902 .
Khi đó số α cần tìm là:

a
5
8
2
x0 = − ( −1.178845902 ) − . ( −1.178845902 ) = 1.557437094 =
2
2
5
2
2
5x 8 
255 x + 500 x + 1144

Do đó ta có x 4 + 5 x3 + 12 x 2 + 14 x + 13 −  x 2 +
+  =
> 0.
2 5
100

Nên suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

α ≈ − x02 −

Ví dụ xx. Giải phương trình 9 x 4 − 30 x 3 + 27 x 2 − 6 x + 5 = 0 trên tập số thực.
Lời giải. Xét đạo hàm của hàm số f ( x ) = 9 x 4 − 30 x 3 + 27 x 2 − 6 x + 5 , có f ' ( x ) = 36 x3 − 90 x 2 + 54 x − 6 .

 x = 1.654057332
Dùng máy tính CASIO ta có được f ' ( x ) = 0 ⇔  x = 0.7025109946 . Và ta thấy rằng f (1.654057332 ) min
 x = 0.1434316734
Khi đó số α cần tìm là:
a
30
1
2
α ≈ − x02 − x0 = − (1.654057332 ) + . (1.654057332 ) = 0.02085656246 =
2
18
50
2
2
30 3
6
5  2 30
1  12300 x − 10500 x + 12473
x + 3x2 −
x+
x+  =
Do đó ta có x 4 −
−x −
> 0.
9
27
27 
18
50 

67500
Nên suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 5. Giải phương trình x 2 + x − 1 = 2 x + 1.

A.

Phân tích CASIO

Bình phương hai vế phương trình ta được

(x

2

+ x − 1) = 4 ( x + 1) ⇔ x 4 + 2 x3 − x 2 − 6 x − 3 = 0
2

(2)

Nhập vào máy tính X + 2 X − X − 6 X − 3 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1, 618033989.
4

3

2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989 = A.

X 4 + 2X 3 − X 2 − 6X − 3
=0
X −A
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 618033988.
Bấm SHIFT STO B để gán −0, 618033988 = B.
Nhập vào máy tính

X 4 + 2X 3 − X 2 − 6X − 3
=0
( X − A )( X − B )
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
A + B =1
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (2) có nhân tử x 2 − x − 1 = 0.
A
B
=
−
.
1

B. Lời giải
Nhập vào máy tính

ĐK: x ≥ −1

(*)

Khi đó ta có ( x 2 + x − 1) = 4 ( x + 1) ⇔ x 4 + 2 x3 − x 2 − 6 x − 3 = 0
2

⇔ x 2 ( x 2 − x − 1) + 3 x ( x 2 − x − 1) + 3 ( x 2 − x − 1) = 0
2

3  3
⇔ ( x − x − 1)( x + 3 x + 3) = 0 ⇔ ( x − x − 1)  x +  +  = 0
2  4 

2

2

2

⇔ x2 − x −1 = 0 ⇔ x =
Thử lại ta được x =

Đ/s: x =
C.

1± 5
.
2

1+ 5
thỏa mãn.

2

1+ 5
2
Chú ý quan trọng

A + B
Nếu ở trên ta tính 
mà không đẹp thì ta sẽ thực hiện chia tiếp.
 A.B
X 4 + 2X 3 − X 2 − 6X − 3
Nhập vào máy tính
= 0.
( X − A )( X − B )
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra một giá trị của x.
Gán giá trị này bằng C bằng cách bấm SHIFT STO C.
 A + C B + C
Sau đó tính 
, 
 A.C
B + C
Nếu thấy giá trị đẹp thì ta suy ra được ngay nhân tử nếu không đẹp ta lại chia tiếp và cứ vậy.

Ví dụ 6. Giải phương trình x3 + x + 2 = 3 3 x + 2.
A. Phân tích CASIO
Bình phương hai vế phương trình ta được

(x

3

+ x + 2 ) = 9 ( 3 x + 2 ) ⇔ x 6 + 2 x 4 + 4 x 3 + x 2 − 23 x − 14 = 0
2

(2)

Nhập vào máy tính X 6 + 2 X 4 + 4 X 3 + X 2 − 23 X − 14 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1, 618033989.
Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989 = A.
X 6 + 2 X 4 + 4 X 3 + X 2 − 23 X − 14
=0
X −A
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 618033988.
Nhập vào máy tính

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Bấm SHIFT STO B để gán −0, 618033988 = B.
X 6 + 2 X 4 + 4 X 3 + X 2 − 23 X − 14
=0
( X − A)( X − B )
Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
A + B =1
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (2) có nhân tử x 2 − x − 1 = 0.
 A.B = −1
B. Lời giải

Nhập vào máy tính

ĐK: x ≥ −

2
3

(*)

Khi đó ta có ( x3 + x + 2 ) = 9 ( 3 x + 2 ) ⇔ x 6 + 2 x 4 + 4 x 3 + x 2 − 23 x − 14 = 0
2

⇔ x 4 ( x 2 − x − 1) + x3 ( x 2 − x − 1) + 4 x 2 ( x 2 − x − 1) + 9 x ( x 2 − x − 1) + 14 ( x 2 − x − 1) = 0
⇔ ( x 2 − x − 1)( x 4 + x3 + 4 x 2 + 9 x + 14 ) = 0

(3)

2

x  15 x 2

Mặt khác x + x + 4 x + 9 x + 14 =  x 2 +  +
+ 9 x + 14
2
4

4

3

2

2

2
9  43
 2 x   x 15
=  x +  + 
+
> 0.
 +
2  2
5
15 


Do đó (3) ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x =

Thử lại ta thấy x =

Đ/s: x =

1± 5
.
2

1± 5
thỏa mãn.
2

1± 5
2

Ví dụ 7. Giải phương trình x 4 − x 2 + 1 = 2 3 x + 2.
A.

Phân tích CASIO

Bình phương hai vế phương trình ta được

(x

4

− x 2 + 1) = 4 ( 3 x + 2 ) ⇔ x8 − 2 x 6 + 3 x 4 − 2 x 2 − 12 x − 7 = 0
2

(2)

Nhập vào máy tính X 8 − 2 X 6 + 3 X 4 − 2 X 2 − 12 X − 7 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1, 618033989.
Bấm SHIFT STO A để gán 1, 618033989 = A.
X 8 − 2 X 6 + 3 X 4 − 2 X 2 − 12 X − 7
Nhập vào máy tính
=0
X −A
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 618033988.
Bấm SHIFT STO B để gán −0, 618033988 = B.
A + B =1

Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (2) có nhân tử x 2 − x − 1 = 0.
A
B
=
−
.
1

B. Lời giải

ĐK: x ≥ −

2
3

(*)

Khi đó ta có ( x 4 − x 2 + 1) = 4 ( 3 x + 2 ) ⇔ x8 − 2 x 6 + 3 x 4 − 2 x 2 − 12 x − 7 = 0
2

⇔ x 6 ( x 2 − x − 1) + x 5 ( x 2 − x − 1) + x 3 ( x 2 − x − 1) + 4 x 2 ( x 2 − x − 1) + 5 x ( x 2 − x − 1) + 7 ( x 2 − x − 1) = 0
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

⇔ ( x 2 − x − 1)( x 6 + x 5 + x3 + 4 x 2 + 5 x + 7 ) = 0

(a)

2
> −1 ⇒ x 6 + x5 + x 3 + 4 x 2 + 5 x + 7 > 0 − 1 − 1 + 4.0 − 5 + 7 = 0.
3
1± 5
Do đó (a) ⇔ x 2 − x − 1 = 0 ⇔ x =
. Thử lại đã thỏa mãn (1).
2
1± 5
Đ/s: x =
2

Với x ≥ −

Ví dụ 8. Giải phương trình x3 − x 2 − 1 = 3 3x 2 + 6 x + 5.
A.

Phân tích CASIO

Bình phương hai vế phương trình ta được

(x

3

− x 2 − 1) = 9 ( 3 x 2 + 6 x + 5 ) ⇔ x 6 − 2 x 5 + x 4 − 2 x3 − 25 x 2 − 54 x − 44 = 0 (2)
2

Nhập vào máy tính X 6 − 2 X 5 + X 4 − 2 X 3 − 25 X 2 − 54 X − 44 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 3, 236067977.

Bấm SHIFT STO A để gán 3, 236067977 = A.
X 6 − 2 X 5 + X 4 − 2 X 3 − 25 X 2 − 54 X − 44
=0
X −A
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −1, 236067977.
Bấm SHIFT STO B để gán −1, 236067977 = B.
A + B = 2
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (2) có nhân tử x 2 − 2 x − 4.
 A.B = −4
B. Lời giải
Nhập vào máy tính

ĐK: 3 x 2 + 6 x + 5 ≥ 0 ⇔ 3 ( x + 1) + 2 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ
2

(*)

Ta có ( x3 − x 2 − 1) = 9 ( 3 x 2 + 6 x + 5 ) ⇔ x 6 − 2 x 5 + x 4 − 2 x3 − 25 x 2 − 54 x − 44 = 0
2

⇔ x 4 ( x 2 − 2 x − 4 ) + 5 x 2 ( x 2 − 2 x − 4 ) + 8 x ( x 2 − 2 x − 4 ) + 11( x 2 − 2 x − 4 ) = 0
⇔ ( x 2 − 2 x − 4 )( x 4 + 5 x 2 + 8 x + 11) = 0

(3)

Từ (1) ta có x3 = x 2 + 1 + 3 3x 2 + 6 x + 5 > 0 ⇒ x > 0 ⇒ x 4 + 5 x 2 + 8 x + 11 > 0.
Do đó (3) ⇔ x 2 − 2 x − 4 = 0 ⇔ x = 1 ± 5.
Thử lại ta được x = 1 + 5 thỏa mãn (1)

Đ/s: x = 1 + 5

Bài giảng miễn phí chỉ có tại groups facebook
Đề thi thử hocmai,moon,uschool
fb.com/groups/dethithu
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016