07. LIÊN HỢP 1 NGHIỆM HỮU TỈ VÀ 2 NGHIỆM VÔ TỈ Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

07. LIÊN HỢP 1 NGHIỆM HỮU TỈ VÀ 2 NGHIỆM VÔ TỈ
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1 [Video]. Giải phương trình

x2 − 2 x
= ( x − 1)
x2 − 4 x + 5

(

)

x −1 −1 .

Ví dụ 2 [Video]. Giải phương trình ( x 2 + 3) x 2 − x + 1 = x3 + 3 x 2 − 4 x + 1

( x ∈ ℝ) .

Ví dụ 3 [Video]. Giải phương trình x3 − 4 x 2 + 4 x + 4 = 3 7 x 2 + x + 3 10 x 2 + 10 x + 7.
Ví dụ 4 [Tham khảo]. Giải phương trình

8x − 1 − 6 1 + x
1− x
+
=0
1+ x
3 + 4 1+ x

PHÂN TÍCH CASIO. Điều kiện: x ∈ [ −1;1] . Trước hết, chúng ta có:

8 (1 + x ) − 6 1 + x − 9
3 + 4 1+ x

=

(2

)(

1+ x − 3 3 + 4 1+ x
3 + 4 1+ x

Khi đó phương trình đã cho tương đương với 2 1 + x − 3 +

(

)

( x ∈ ℝ) .

)=2

1+ x − 3

1− x
=0
1+ x

⇔ 1 + x 2 1 + x − 3 + 1 − x = 0 ⇔ 2 + 2x − 3 1 + x + 1 − x = 0

( ∗) .

Dùng chức năng SHIFT CALC, ta có được một nghiệm của phương trình ( ∗) là x = 0 , tuy nhiên khi
khảo sát bằng TABLE hay tính chất nghiệm ta sẽ thấy nó còn hai nghiệm vô tỷ nữa, cụ thể là với SHIFT
CALC, ta tiếp tục tìm được nghiệm x = 0.866025403 và khi thay vào căn thức, ta được
1

 1 + x = 1.366025404 = x + 2
.

1
 1 − x = 0.366025408 = x −

2
Nên các biểu thức liên hợp cần tìm là 2 1 + x − 2 x − 1 ; 2 1 − x − 2 x + 1 . Do đó, ta có:

(

( ∗) ⇔ 4 + 6 x − 6
⇔

)(

(

)

) (

)

1 + x + 2 1 − x = 0 ⇔ 3 2x + 1 − 2 1 + x − 2x − 1 − 2 1 − x = 0

3 ( 4 x 2 − 3)
2x + 1 + 2 1 + x

−

4 x2 − 3
3
1


= 0 ⇔ ( 4 x 2 − 3) 
−
=0
2x − 1 + 2 1 − x
 2x + 1 + 2 1 + x 2x − 1 + 2 1 − x 

 2
3
4x − 3 = 0 ⇔ x = ±

2
⇔ ( 4 x − 3) 4 x − 4 + 6 1 − x − 2 1 + x = 0 ⇔ 
2
 2 x − 2 + 3 1 − x − 1 + x = 0
(i )

Với phương trình ( i ) ⇔ 2 x − 2 + 3 1 − x − 1 + x = 0 , đây là một phương trình có chứa nghiệm kép là

(

)

x = 0 nên ta xác định biểu thức liên hợp cho căn thức như sau:
ax + b = 1 − x
1

x =0

a = −
• Đặt 1 − x = ax + b , ta có hệ phương trình 
⇒
2 nên biểu thức
( ax + b ) ' = 1 − x '
b = 1

x=0
liên hợp chính là 2 1 − x + x − 2 .

(

)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

mx + n = 1 + x
1

x =0

m =
• Đặt 1 + x = mx + n , ta có hệ phương trình 
⇒
2 nên biểu thức
mx
+
n
'
=
1
+
x
'
(
)
n = 1

x =0
liên hợp chính là 2 1 + x − x − 2 .
Do đó ( i ) ⇔ 2 x − 2 + 3 1 − x − 1 + x = 0 ⇔ 4 x − 4 + 6 1 − x − 2 1 + x = 0

(

(

) (

)

)

x2
3x 2
⇔ x + 2 − 2 1+ x + 3 2 1− x + x − 2 = 0 ⇔
−
=0
x + 2 + 2 1+ x 2 1− x − x + 2
1
3


⇔ x2 
−
 = 0 ⇔ x = 0 vì
 x + 2 + 2 1+ x 2 1− x − x + 2 
1
3
−
< 0; ∀x ∈ [ −1;1] .
x + 2 + 2 1+ x 2 1− x − x + 2
Hoặc ta có thể tìm x = 0 bằng cách là kết hợp ( i ) với phương trình ( ∗) , ta có hệ phương trình:
2 + 2 x − 3 1 + x + 1 − x = 0
⇒ 4x = 0 ⇔ x = 0


2 x − 2 + 3 1 − x − 1 + x = 0
± 3
.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = 0; x =
2
LỜI GIẢI. Điều kiện: x ∈ [ −1;1] .
Phương trình đã cho tương đương với

(2

)(

1+ x − 3 3 + 4 1+ x
3 + 4 1+ x

(

)+

)

1− x
1− x
= 0 ⇔ 2 1+ x − 3 +
=0
1+ x
1+ x

⇔ 1 + x 2 1 + x − 3 + 1 − x = 0 ⇔ 2 + 2x − 3 1 + x + 1 − x = 0 .

(

) (

)

⇔ 4 + 6x − 6 1 + x + 2 1 − x = 0 ⇔ 3 2x + 1 − 2 1 + x − 2x − 1 − 2 1 − x = 0
⇔

3 ( 4 x 2 − 3)
2x + 1 + 2 1 + x

−

4x2 − 3
3
1


= 0 ⇔ ( 4 x 2 − 3) 
−
=0
2x − 1 + 2 1 − x
 2x + 1 + 2 1 + x 2x − 1 + 2 1 − x 

 2
3
4 x − 3 = 0 ⇔ x = ±
⇔ ( 4 x − 3) 4 x − 4 + 6 1 − x − 2 1 + x = 0 ⇔ 
2

 2 x − 2 + 3 1 − x − 1 + x = 0
Lấy pt ( i ) + 2 + 2 x − 3 1 + x + 1 − x = 0 ⇔ 4 x = 0 ⇔ x = 0 .
2

(

)

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là x = 0; x =

(i )

± 3
.
2

Ví dụ 5 [Tham khảo]. Giải phương trình x 2 + x = ( x − 1) 4 x + 2 + 3 6 x 2 + 2 x .
A. Phân tích CASIO
Nhập vào máy tính X 2 + X − ( X − 1) 4 X + 2 − 3 6 X 2 + 2 X = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2, 414213562.
Bấm SHIFT STO A để gán 2, 414213562 = A.
X 2 + X − ( X − 1) 4 X + 2 − 3 6 X 2 + 2 X

=0
X −A
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1.

Nhập vào máy tính

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Nhập vào máy tính

X 2 + X − ( X − 1) 4 X + 2 − 3 6 X 2 + 2 X

( X − A )( X − 1)

=0

Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 414213562.
Bấm SHIFT STO B để gán −0, 414213562 = B.
Nhập vào máy tính

X 2 + X − ( X − 1) 4 X + 2 − 3 6 X 2 + 2 X

( X − A)( X − 1)( X − B )

=0

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
A + B = 2
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (1) có nhân tử x 2 − 2 x − 1.
 A.B = −1

Mà x = 1 là một nghiệm khác của (1) ⇒ (1) có nhân tử ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 1) = x3 − 3 x 2 + x + 1.

Quan sát ( x − 1) 4 x + 2 đã có x − 1.

Ta cần cân bằng ax + b = 4 x + 2 khi biết hai nghiệm x = A, x = B.

 Aa + b = 4A + 2
Bấm máy giải hệ 
⇒ a = b = 1 ⇒ nhóm x + 1 − 4 x + 2.
 Ba + b = 4 B + 2
Ta cần cân bằng cx + d = 3 6 x 2 + 2 x khi biết ba nghiệm x = 1, x = A, x = B.

c + d = 3 6.12 + 2.1


Bấm máy giải hệ  Ac + d = 3 6 A2 + 2 A ⇒ c = d = 1 ⇒ nhóm x + 1 − 3 6 x 2 + 2 x .

3
2
 Bc + d = 6 B + 2 B
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải
1
2

ĐK: x ≥ −

(*)

Khi đó (1) ⇔ x 2 + x − ( x − 1) 4 x + 2 − 3 6 x 2 + 2 x = 0

)

) (

(

⇔ ( x − 1) x + 1 − 4 x + 2 + x + 1 − 3 6 x 2 + 2 x − ( x 2 − 1) − x − 1 + x 2 + x = 0

Đặt T = ( x + 1) + ( x + 1) 3 6 x 2 + 2 x + 3 ( 6 x 2 + 2 x )
2

(2)

2

x +1  3
1
2

=  3 6 x2 + 2 x +
 + ( x + 1) > 0, ∀x ≥ − .
2  4
2

2

( x + 1) − ( 4 x + 2 ) + ( x + 1)
⇔ ( x − 1) .
2

3

− ( 6 x2 + 2 x )

=0
T
x +1+ 4x + 2
( x − 1) ( x 2 − 2 x − 1) x3 − 3x 2 + x + 1
⇔
+
=0
T
x +1 + 4x + 2
( x − 1) ( x 2 − 2 x − 1) ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 1)
⇔
+
=0
T
x +1 + 4x + 2
1
1

⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 1) 
+ =0
 x +1 + 4x + 2 T 
1
1
1
+ > 0.
Với x ≥ − và T > 0 ⇒
2

x + 1 + 4x + 2 T
x =1
Do đó (3) ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 1) = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x
=
1
±
2

Do đó (2)

(3)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

x = 1
Đ/s: 
x = 1± 2

Ví dụ 6 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 x 2 − 6 x − 5 + ( x − 1) 4 x + 3 = ( x 2 − 2 x − 2 ) 4 x + 5.
A.

Phân tích CASIO

Nhập vào máy tính 2 X 2 − 6 X − 5 + ( X − 1) 4 X + 3 − ( X 2 − 2 X − 2 ) 4 X + 5 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2, 732050808

Bấm SHIFT STO A để gán 2, 732050808 = A
Nhập vào máy tính

2 X 2 − 6 X − 5 + ( X − 1) 4 X + 3 − ( X 2 − 2 X − 2 ) 4 X + 5

Nhập vào máy tính

2 X 2 − 6 X − 5 + ( X − 1) 4 X + 3 − ( X 2 − 2 X − 2 ) 4 X + 5

=0
X −A
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1
2 X 2 − 6 X − 5 + ( X − 1) 4 X + 3 − ( X 2 − 2 X − 2 ) 4 X + 5
Nhập vào máy tính
=0
( X − A)( X − 1)
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 732050807
Bấm SHIFT STO B để gán −0, 732050807 = B

( X − A)( X − 1)( X − B )

=0

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính thông báo hết nghiệm.
A + B = 2
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (1) có nhân tử x 2 − 2 x − 2.
 A.B = −2
Mà x = 1 là một nghiệm khác của (1) ⇒ (1) có nhân tử ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 2 ) = x3 − 3 x 2 + 2.
Quan sát ( x − 1) 4 x + 3 đã có x − 1.

Ta cần cân bằng ax + b = 4 x + 3 khi biết hai nghiệm x = A, x = B.

 Aa + b = 4 A + 3 a = 1
Bấm máy tính giải hệ 
⇒
⇒ nhóm x + 1 − 4 x + 3.
b = 1
 Ba + b = 4 B + 3
Quan sát ( x 2 − 2 x − 2 ) 4 x + 5 đã có ( x 2 − 2 x − 2 ) .
Ta cần liên hợp để có nghiệm x = 1 ⇒ nhóm 4 x + 5 − 3.
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải

3
(*)
4
Khi đó (1) ⇔ ( x 2 − 2 x − 2 ) 4 x + 5 − ( x − 1) 4 x + 3 − 2 x 2 + 6 x + 5 = 0

ĐK: x ≥ −

⇔ ( x2 − 2 x − 2)

(

)

(

)

4 x + 5 − 3 + ( x − 1) x + 1 − 4 x + 3 = 0

( x + 1) − ( 4 x + 3) = 0
4x + 5 − 9
+ ( x − 1) .
4x + 5 + 3
x +1+ 4x + 3
2
2
4 ( x − 1) ( x − 2 x − 2 ) ( x − 1) ( x − 2 x − 2 )
⇔
+
=0
3 + 4x + 5
x +1 + 4x + 3
4
1


⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 2 ) 
+
=0
 3 + 4x + 5 x +1 + 4x + 3 
⇔ ( x2 − 2 x − 2) .

2

(2)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

3
4
1
> −1 ⇒
+
> 0.
4
3 + 4x + 5 x + 1 + 4x + 3
x = 1
Do đó (2) ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x − 2 ) = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x
=
±
1
3

x = 1
Đ/s: 
x = 1± 3
Với x ≥ −

Ví dụ 7 [Tham khảo]. Giải phương trình x3 − 7 x 2 + 12 x + 5 = 3 11x 2 + 9 x + 7 − ( x 2 − 4 x − 1) x + 3.
A.

Phân tích CASIO

Nhập vào máy tính X 3 − 7 X 2 + 12 X + 5 − 3 11X 2 + 9 X + 7 + ( X 2 − 4 X − 1) X + 3 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 4, 236067977
Bấm SHIFT STO A để gán 4, 236067977 = A
Nhập vào máy tính

X 3 − 7 X 2 + 12 X + 5 − 3 11X 2 + 9 X + 7 + ( X 2 − 4 X − 1) X + 3

Nhập vào máy tính

X 3 − 7 X 2 + 12 X + 5 − 3 11X 2 + 9 X + 7 + ( X 2 − 4 X − 1) X + 3

X−A
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 1

( X − A )( X − 1)

=0

=0

Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 236067977
Bấm SHIFT STO B để gán −0, 236067977 = B
Nhập vào máy tính

X 3 − 7 X 2 + 12 X + 5 − 3 11X 2 + 9 X + 7 + ( X 2 − 4 X − 1) X + 3

( X − A )( X − 1)( X − B )

=0

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính thông báo hết nghiệm.
A + B = 4
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (1) có nhân tử x 2 − 4 x − 1.
A
.
B
=
−
1

Mà x = 1 là một nghiệm khác của (1) ⇒ (1) có nhân tử ( x − 1) ( x 2 − 4 x − 1) = x3 − 5 x 2 + 3 x + 1.

Quan sát ( x 2 − 4 x − 1) x + 3 đã có x 2 − 4 x − 1.

Ta cần liên hợp để có nghiệm x = 1 ⇒ nhóm

x + 3 − 2.

Ta cần cân bằng ax + b = 3 11x 2 + 9 x + 7 khi biết ba nghiệm x = 1, x = A, x = B.
a + b = 3 11.12 + 9.1 + 7

a = 1

Bấm máy tính giải hệ  Aa + b = 3 11A2 + 9 A + 7 ⇒ 
⇒ nhóm x + 2 − 3 11x 2 + 9 x + 7.
b = 2


3
2
Ba
+
b
=
11
B
+
9
B
+
7

Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải

ĐK: x ≥ −3

(*)

(

)

Khi đó (1) ⇔ x + 2 − 3 11x 2 + 9 x + 7 + ( x 2 − 4 x − 1)

(

x+3−2

)

− x − 2 + 2 ( x 2 − 4 x − 1) + x3 − 7 x 2 + 12 x + 5 = 0

(2)

2

9  227

Ta có 11x + 9 x + 7 =  x 11 +
 + 44 > 0
2 11 

2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

⇒ T = ( x + 2 ) + ( x + 2 ) 3 11x 2 + 9 x + 7 + 3 (11x 2 + 9 x + 7 )
2

2

2

2

1

 3
=  x + 2 + 3 11x 2 + 9 x + 7  + 3 (11x 2 + 9 x + 7 ) > 0.
2

 4

Do đó (2) ⇔

( x + 2)

3

− (11x 2 + 9 x + 7 )
T

x +3−4
+ x3 − 5 x 2 + 3x + 1 = 0
x+3 +2

+ ( x 2 − 4 x − 1) .

2
x 3 − 5 x 2 + 3x + 1 ( x − 1) ( x − 4 x − 1)
⇔
+
+ ( x − 1) ( x 2 − 4 x − 1) = 0
T
2+ x+3

2
( x − 1) ( x − 4 x − 1) ( x − 1) ( x 2 − 4 x − 1)
⇔
+
+ ( x − 1) ( x 2 − 4 x − 1) = 0
T
2+ x+3
1
1

⇔ ( x − 1) ( x 2 − 4 x − 1)  +
+ 1 = 0
(3)
T 2+ x+3 
1
1
+ 1 > 0.
Với x ≥ −3 và T > 0 ⇒ +
T 2+ x+3
x = 1
Do đó (3) ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 4 x − 1) = 0 ⇔ 
thỏa mãn (*)
x
=
±
2
5

x = 1
Đ/s: 

x = 2 ± 5

x2 + 2 x − 8
= ( x + 1)
x2 − 2 x + 3

Ví dụ 8 [Tham khảo]. Giải phương trình

(

)

x + 2 − 2 trên tập số thực.

Lời giải:
 x ≥ −2
x + 2 ≥ 0
ĐK:  2
⇔
⇔ x ≥ −2
2
x − 2x + 3 ≠ 0
( x − 1) + 2 ≠ 0
Khi đó (1) ⇔

(*)

( x − 2 )( x + 4 ) = ( x + 1)( x + 2 − 4 )
x2 − 2x + 3

x+2 +2

x = 2
x+4
x +1
 2
=
 x − 2 x + 3 2 + x + 2

( x − 2 )( x + 4 ) = ( x + 1)( x − 2 ) ⇔ 
⇔
x2 − 2x + 3

2+ x+2

(

Ta có (2) ⇔ ( x + 1) ( x 2 − 2 x + 3) = ( x + 4 ) 2 + x + 2

)

2
⇔ ( x − 1) + 2  ( x − 1) + 2  =



⇔ f ( x − 1) = f
Với x ≥ −2 ⇒ x − 1 ≥ −3,

(

x+2

(2)

)

(

)(

x+2 +2 


x+2

)

2

+ 2


(3)

x + 2 ≥ 0.

Xét hàm số f ( t ) = ( t + 2 ) ( t 2 + 2 ) với t ∈ [ −3; +∞ ) có
2

2  2

f ' ( t ) = t + 2 + 2t ( t + 2 ) = 3t + 4t + 2 =  t 3 +
 + > 0, ∀t ∈ ( −3; +∞ ) .
3 3

2

2

Kết hợp với f ( t ) liên tục trên [ −3; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến trên [ −3; +∞ ) .
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

 x − 1 ≥ 0
x ≥ 1
3 + 13
Do đó (3) ⇔ x − 1 = x + 2 ⇔ 
⇔ 2
⇔ x=
.
2
2
x
−
3
x
−

1
=
0
x
−
1
=
x
+
2
(
)


Ta thấy x = 2 và x =

3 + 13
đã thỏa mãn (*)
2

Ví dụ 9 [Tham khảo]. Giải phương trình

3x − 2

( x − 1)

2

+1

( x ∈ ℝ) .

+ 1 = 3x − 1

Lời giải.
1
Điều kiện x ≥ . Phương trình đã cho tương đương với
3

2

x
=
3x − 2
3x − 2
3
= 3x − 1 − 1 ⇔ 2
=
⇔ 
2
x
−
x
+
2
2
x
−
+
3

1
1
2
( x − 1) + 1
 x − 2 x + 1 = 3x − 1
3x − 2

(1)

Ta có

(1) ⇔ x 2 − 3x + 1 + x −

3x − 1 = 0 ⇔ x 2 − 3x + 1 +

x 2 − 3x + 1
=0
x + 3x − 1

 3 − 5 3 + 5 
1


2
⇔ ( x 2 − 3 x + 1) 1 +
 = 0 ⇒ x − 3x + 1 = 0 ⇔ x ∈  2 ; 2 
 x + 3x − 1 


 2 3 − 5 3 + 5 

Kết luận phương trình có ba nghiệm với S =  ;
;
.
2
2 
 3

Ví dụ 10 [Tham khảo]. Giải phương trình

x 2 + 20 x − 3
= 2 6x −1
x2 − 4 x + 2
Lời giải.

( x ∈ ℝ) .

1
Điều kiện x ≥ ; x 2 − 4 x + 2 ≠ 0 . Phương trình đã cho tương đương với
6
24 x − 5
24 x − 5
+ 1 = 2 6x −1 ⇔ 2
= 2 6x −1 −1
2
x − 4x + 2
x − 4x + 2
5

x=
24 x − 5

24 x − 5

24
=
⇔
 2
x2 − 4 x + 2 2 6 x − 1 + 1
 x − 4 x + 1 = 2 6 x − 1 (1)

Ta có

(1) ⇔ x

2

(

)

− 6 x + 1 + 2 x − 6x −1 = 0 ⇔ x − 6x + 1 +
2

2 ( x 2 − 6 x + 1)
x + 6x −1

{

=0

2



2
⇔ ( x 2 − 6 x + 1) 1 +
 = 0 ⇒ x − 6 x + 1 = 0 ⇔ x ∈ 3 − 2 2;3 + 2 2
 x + 6x −1 
5

Kết luận phương trình đã cho có tập nghiệm S =  ;3 − 2 2;3 + 2 2  .
 24

7x − 3
Ví dụ 11 [Tham khảo]. Giải phương trình
+1 = 7x − 2 ( x ∈ ℝ) .
2
2 x − 13 x + 5
Lời giải.
2
Điều kiện x ≥ ; 2 x 2 − 13 x + 5 ≠ 0 . Phương trình đã cho tương đương với
7

}

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

3


x=
7x − 3
7x − 3
7x − 3

7
= 7 x − 2 −1 ⇔ 2
=
⇔
2 x 2 − 13x + 5
2 x − 13x + 5
7x − 2 +1
2
 2 x − 13x + 4 = 7 x − 2

(1)

Ta thấy

(1) ⇔ 2 ( x 2 − 7 x + 2 ) + x −

7 x − 2 = 0 ⇔ 2 ( x2 − 7 x + 2) +

x2 − 7 x + 2
=0
x + 7x − 2

 7 + 41 7 − 41 
1



2
⇔ ( x2 − 7 x + 2)  2 +
=
0
⇒
x
−
7
x
+
2
=
0
⇔
x
∈
;



2 
x + 7x − 2 

 2
 3 7 + 41 7 − 41 
Đối chiếu điều kiện ta được S =  ;
;
.
2

2 
 7

Em gái Thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016