khóa luận chứng minh định lý cơ bản của đại số

▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉

✷

✶

✹

✷

❈➳❝❤ t❤ø ♥❤✃t ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè
✶✳✶

❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✹

✶✳✷

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✼

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

❈➳❝❤ t❤ø ❤❛✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè
❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✶

✷✳✷

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✹

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✼

ø

✳

✳

✳

♥❣ ❞ô♥❣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sè

✳

✳

✳

π, e

✳

✳

✳

✳

✶✶

✷✳✶

✷✳✸

✸

✳

❧➭ ❝➳❝ sè s✐➟✉ ✈✐Öt✳

❈➳❝❤ t❤ø ❜❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè

✷✸

✸✳✶

▼ét sè ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt ♥❤ã♠

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✷✸

✸✳✷

▼ét sè ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt ●❛❧♦✐s

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✷✼

✸✳✸

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè✳ ✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✷

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✺

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶

✳

✳

✳

✳

✳

✳




ờ ó
ị ý ủ số ợ ề ế t ở Ptr t

r ọ tứ

n

ó ú

n

ệ ế

ó ị ý ợ ụ tể ở srts

ệt ợ ữ ệ tự ệ ế ứ

ợ ố t ở rt ứ ủ ò

ề tế sót ụ ề ó t ọ ss

r ứ ủ ợ t ế ờ

t ó r ó ứ q ế ệ ứ ị ý

ủ số ó ứ ứ t

ự số ó sự ết ợ ủ ề ế tứ q tr t

ọ ệ ết ợ ế tứ q tr t ọ ể ứ

ị ý ủ số tế ọ ề ó tì tr ó

trì ột số ứ ị ý ủ

số sự ết ợ ữ số tí ột số ế tứ q

ó ó

ủ số

trì ố ứ ị ý

r ó t tộ t ề ế

tứ tí ề t ỗ tứ ớ ệ số ứ ột

ứ

r ột số ệ tí ứ

ệt ệ ỉ ì ột ị ý q trọ ể ụ ụ

ứ ị ý ủ số ó ị ý ị ý

r ỉ ì ị tr t ứ số ế ế

ở ố trì ột ứ ũ q

ề ế ế tứ tí

trì

ị ý ủ số











tr

ứ

ớ trớ tì

ự ế tứ số ủ ế t ó ũ ột út ế

tứ ề tí q ế ị ý trị tr ì

ú tứ

ớ ệ số ứ sẽ ợ ì t ột ớ ó ố tợ


✸
sè✳ ❈❤➢➡♥❣ ✷✱ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝❤ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ❞ù❛ ✈➭♦ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝

✈Ò ♠ë ré♥❣ tr➢ê♥❣✱ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣✳✳✳ ◆❣♦➭✐ r❛✱ ë ❝✉è✐ ❝❤➢➡♥❣ ❡♠ ❝ß♥ tr×♥❤

❜➭② ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ➜➵✐ sè ➤Ó ♠➠ t➯ ➤❛ t❤ø❝ ❜✃t ❦❤➯ q✉② tr➟♥

C[x]

✈➭

R[x],

❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ sè

π, e

❧➭ s✐➟✉ ✈✐Öt✳ ❈❤➢➡♥❣ ✸✱ ♥❣♦➭✐ ❦✐Õ♥ t❤ø❝

❝❤✉➮♥ ❜Þ ➤➲ ❝ã ë ❈❤➢➡♥❣ ✷✱ ❡♠ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ♥❤ã♠

✈➭ ❧ý t❤✉②Õt ●❛❧♦✐s ❝➬♥ ❝❤♦ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè✳

❑❤ã❛

◆❣✉②➟♥

❧✉❐♥

❆♥✳

➤➢î❝

◆❤ê

❤♦➭♥

t❤➬②

t❤➭♥❤

❡♠

➤➲

❞➢í✐

❜➢í❝

sù

❤➢í♥❣

➤➬✉

❧➭♠

❞➱♥

q✉❡♥

t❐♥

✈➭

t×♥❤

s❛②

❝ñ❛

♠➟

❚❙✳

tr♦♥❣

❚r➬♥

✈✐Ö❝

♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t♦➳♥✳ ❊♠ ①✐♥ ❣ö✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ t❤➬②✳

❊♠ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ tr➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ s➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ tæ ➜➵✐

sè ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦ ❡♠ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝ñ❛ ♠×♥❤✳



tứ t ứ ị ý
ủ số
sử ụ ế tứ q ế tí ứ tr ứ

ị ý ủ số ủ ế tự ợ ủ

ột ế ứ

ở

ỉ ột số ệ tết

ệ ứ ị ý ủ số ế tứ ề tí

tụ ủ ế ứ sẽ ợ ệt

ý tớ ột tr ữ ị ý q trọ ủ tí ứ ị ý

ụ tết ợ sử ụ tr ệ ứ ị

ý ủ số

ế tứ ị

ể ể rõ ề ứ ị ý trớ t t

ệ ề ế ứ ỉ ì tr tí ứ

ị ĩ


f : C C,

ột







ế



z = x + iy = (x, y), = u + iv
ế tự ó

tự

ủ

f (z),

ợ

tì

tr

í

í ệ

C

ệ

ớ





trị

ứ

Ref (z)

tr ó

v(z)



ột

= f (z), z C.

u = u(x, y), v = v(x, y)

= f (z) = u(z) + iv(z)

f (z),

í ệ

ứ

u(z)

ợ ọ



ế

ợ ọ





ủ

Imf (z).

ị ĩ

ế ứ

= f (z)


ọ

ỉ ì

t

z0 C



ế

f (z)

tr ọ ì trò ứ

ì tr ề

ị ý



U

z0 .



ế ó ỉ ì t ọ ể tộ

ị ý

f (z)

ọ ỉ

U.

f (z) ỉ ì tr ề U

sử

ột tế tr từ ú tr U, tế tì

f (z)dz = 0.

ừ ị ý t ó tể tết ợ ết q tế t ọ

tứ tí
ị ý

tr ề
tr

s

tứ tí

U,



U.

ột tế tộ

f (z) ỉ ì

sử

ế

z0

ột ể t ì

, tế tì
f (z0 ) =

f (z)
dz,
z z0

1
2i


tr ó ề ủ
ứ

ọ

sẽ tr

.



C0 .

C0

q ớ ề ợ ồ ồ

ì trò t



g(z) =

f (z)
zz0

z0

í

r0 ,

ế

r0

ủ ỏ tì

ỉ ì tr ề ớ ở

ừ ó t ị ý t ó

f (z)
dz
z z0

f (z)
dz = 0,
z z0
C0

ì

f (z)
dz,
z z0

f (z)
dz =
z z0
C0


t ó

f (z)
dz = f (z0 )
z z0


f (z) f (z0 )
dz. (1)
z z0

dz
+

z z0
C0

ự ệ é ổ ế tr

C0 ,

C0
t

z = z0 + r0 eit , dz = ir0 eit ,
2

dz
=i
z z0
C0

C0

dt = 2i.
0

ó





t

ì

f (z)



|f (z) f (z0 )| <



tụ

t



|z z0 | r0 .

ớ

ế

t

r0

ọ

ủ

ỏ

t

sẽ

ó

ó

|f (z) f (z0 )|
|dz| < 2r0 = 2 .
|z z0 |
r0

f (z) f (z0 )
dz|
z z0

|

z0

C0

C0

ừ ó t t trị tệt ố tí tứ ủ

(1)

ỏ tù ý

trị ó ó tể ó

f (z)
dz = 2if (z0 ).
z z0


í ụ

dz
z 2 9 ,

í trị





ớ

tế ứ

z = 3

ở

tr ó

sử

f (z) =

1
z+3 ,

ỉ ì tr tr

.

dz
=
z2 9


ế



ứ

z0

z = 3

ở tr ó tì

f (z)



ó từ tứ tí t ó

2i
dz
= 2if (3) =
.
z3
6

dz
=
(z 3)(z + 3)




sử

ệ q

.

ế

f (z)

ỉ ì tr ề

ể tr



tứ

f (n) (z0 ) =

ó ủ

n!
2i

f

U

t

ứ tế

z0

ở

f (z)

dz.
(z z0 )n+1


ệ q

ọ tr

ế

U

f (z)

ỉ ì tr ề

U,

tì

f

ó

ũ ỉ ì tr

U.

ừ tứ tí tế t t sẽ ế ị ý ề t

tứ ụ q trọ tết ể ứ ị ý

ủ số

ị ý

ề

U.

ọ

t tứ

C0

ì trò t

z0 ,

sử

í

f (z)
r0

ỉ ì tr

tr

U.

ế

M

trị


✼
❧í♥ ♥❤✃t ❝ñ❛

|f (z)| tr➟♥ C0 , t❤Õ t❤×
|f (n) (z0 )| ≤
|f (z)| < M

➜➷❝ ❜✐Öt✱ ♥Õ✉

tr➟♥

C0

t❤×

|f (z0 )| <
✈í✐ ♠ä✐

z

M
,
r0

C0 .

♥➺♠ tr♦♥❣

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

n!M
.
r0n

❚❤❡♦ ❍Ö q✉➯ ✶✳✶✳✻ t❛ ❝ã

|f (n) (z0 )| = |

f (z)
M n!
dz|
≤
|
(z − z0 )n+1
2π

n!
2πi
C0

❚r➟♥

C0 ,

➤➷t

dz
|.
(z − z0 )n+1
C0

z = z0 + r0 eit , dz = ir0 eit dt,

✈× ✈❐②

2π

f (z)
dz =
(z − z0 )n+1

r0−n e−int dt = 2πr0−n ,
0

C0
❞♦ ➤ã

|f (n) (z0 )| ≤

✶✳✷

n!M
.
r0n

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè

❙❛✉ ➤➞② ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ▲✐♦✉✈✐❧❧❡ ❞ù❛ tr➟♥ ❝➠♥❣ ❝ô ❧➭ ❇✃t

➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤②✱ tõ ➤ã ❝❤ó♥❣ t❛ ❝ã t❤Ó ❞Ô ❞➭♥❣ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝❤ t❤ø ♥❤✃t ❝❤ø♥❣

♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè✳

✶✳✷✳✶ ➜Þ♥❤ ❧ý

❝❤➷♥ ✈í✐ ♠ä✐

✭➜Þ♥❤

▲✐♦✉✈✐❧❧❡✮✳

●✐➯ sö

f (z)

❧➭ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈➭

|f (z)|

❜Þ

z ∈ C, t❤× f (z) ❧➭ ❤➺♥❣ sè✳

❚æ♥❣ q✉➳t✱ ♥Õ✉
♥❤✃t ❧➭

❧ý

n + 1.

|f (n) (z)| ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ C, t❤× f (z) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❜❐❝ ♥❤✐Ò✉


✽
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

f (z)

●✐➯ sö

|f (z)| ≤ M

❧➭ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤ ✈➭

✈í✐ ♠ä✐

z ∈ C.

❚õ

❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤②✱ t❛ ❝ã

|f (z)| <
▼➷t

❦❤➳❝✱

|f (z)| = 0

f (z)

❧➭

✈× ✈❐②

❚æ♥❣ q✉➳t✱

❝❤Ø♥❤

❤×♥❤

f (z) = 0.

♥Õ✉

♥➟♥

❉♦ ➤ã

|f (n) (z)| ≤ M

M
, ∀r > 0.
r
t❛

❝ã

f (z)

t❤Ó

❣✐➯

sö

r → ∞

❝❤♦

❦❤✐

➤ã

♣❤➯✐ ❧➭ ❤➺♥❣ sè✳

✈í✐ ♠ä✐

z ∈ C

❦❤✐ ➤ã tõ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝

❈❛✉❝❤② t❛ ❝ã

|f n+1 (z)| ≤
❈❤♦

r → ∞

t❛ ❝ã

❤➺♥❣ sè✳ ❑❤✐ ➤ã

●✐➯ sö

❝❤Ø♥❤

p(z)

❤×♥❤

✈í✐

|f n+1 (z)| = 0

f (z)

M
, ∀r > 0.
r

f n+1 (z) = 0

♥➟♥

❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❜❐❝ ♥❤✐Ò✉ ♥❤✃t ❧➭

❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ❤Ö sè ♣❤ø❝✱ ♥Õ✉

tÝ♥❤

❝❤✃t

|p(z)| → ∞

❝ò♥❣

❞♦ ✈❐②

♣❤➯✐ ❧➭

p(z)

❧➭ ❤➭♠

n + 1.

degp(z) ≥ 1

♥❤➢

f (n) (z)

t❤×

|z| → ∞.

❧➭

❚õ

➜Þ♥❤

❧ý

▲✐♦✉✈✐❧❧❡ s❛✉ ➤➞② ❝❤ó♥❣ t❛ sÏ ❝ã ❝➳❝❤ t❤ø ♥❤✃t ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥

❝ñ❛ ➜➵✐ sè ♥❤➢ s❛✉✳

✶✳✷✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý

tr➟♥

●✐➯ sö

●✐➯ sö

p(z)

❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ tr➟♥

❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤ø❝ t❤×

♥❤➢ ❧➭

|z| → ∞

♥➟♥ tå♥ t➵✐

➜✐Ò✉ ➤ã ❦Ð♦ t❤❡♦ ♥Õ✉

f (z)

M, r > 0

|z| > r

t❤×

C.

s❛♦ ❝❤♦ ♥Õ✉

|f (z)| =

❚õ ➜Þ♥❤ ❧ý ▲✐♦✉✈✐❧❧❡ ❦❤✐ ➤ã

1
|p(z)|

f (z)

♣❤➯✐ ❧➭ ❤➺♥❣ sè✱ ➤✐Ò✉ ♥➭② ❧➭ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈×

➤ã

p(z)

C[x],

➤➷t

❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø♥❤ ❤×♥❤✳ ❱×

<

❤×♥❤✱ t❤× ♥ã ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t

tr➟♥

p(z) ❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣

C[x], ❦❤✐ ➤ã p(z) ❧✉➠♥ ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ tr♦♥❣ C.

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

p(z)

✭➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè✮✳

♣❤➯✐ ❜➺♥❣ ❦❤➠♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ❣✐➳ trÞ

◆Õ✉

|z| ≤ r,

❝ò♥❣

t❤×

|p(z)| > M.

f (z)

❧➭ ❤➭♠ ❝❤Ø♥❤

❦❤✐ ➤ã

f (z)

♣❤➯✐ ❧➭ ❤➺♥❣ sè s✉② r❛

p(z)

1
p(z) . ◆Õ✉

|p(z)| → ∞

|z| > r

1
M.

f (z) =

❜Þ ❝❤➷♥

p(z)

❝ò♥❣

❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤ø❝✳

❉♦

z ∈ C.

◆❣♦➭✐ ❝➳❝❤ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr➟♥✱ s❛✉ ➤➞② t❛ sÏ ❝❤Ø r❛ ♠ét ❝➳❝❤ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

❦❤➳❝ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè ❝ò♥❣ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ❣✐➯✐ tÝ❝❤✳ ❚r➢í❝ t✐➟♥✱ t❛

❝➬♥ ❝❤Ø r❛ ♠ét sè ❦Õt q✉➯ s❛✉✳


✾
◆Õ✉

✶✳✷✳✸ ❇æ ➤Ò✳

❝❤➷♥ tr➟♥

f :D→R

D

❧➭ ❧✐➟♥ tô❝✱ tr♦♥❣ ➤ã

❧➭ t❐♣ ❝♦♥ ➤ã♥❣ ✈➭ ❜Þ

R2 , t❤× f (x, y) ➤➵t ❣✐➳ trÞ ♥❤á ♥❤✃t ✈➭ ❧í♥ ♥❤✃t tr➟♥ D.
●✐➯ sö

✶✳✷✳✹ ❇æ ➤Ò✳

f (x) ∈ C[x],

t❤×

|f (x)|

➤➵t ❣✐➳ trÞ ♥❤á ♥❤✃t t➵✐ ➤✐Ó♠

z0 ∈ C.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

|f (x)|

❚❛ t❤✃② r➺♥❣

❧í♥ ❝❤♦

|x|

|x| → ∞

❝ò♥❣ ♥❤➢

❧í♥ ♥➟♥ ❝❐♥ ❞➢í✐ ❧í♥ ♥❤✃t

|f (x)| → ∞.

m

❝ñ❛

|f (z)|

❝ò♥❣ ❧➭ ❝❐♥ ❞➢í✐ ❧í♥ ♥❤✃t tr♦♥❣ ♠ét sè ❤×♥❤ trß♥ ➤ñ ❧í♥

✈í✐ ♠ä✐

|z| ≤ r.

|f (x)|

❧➭ ❤➭♠ ❣✐➳ trÞ t❤ù❝ ❧✐➟♥ tô❝ ♥➟♥ tõ ❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✸ t❤×

▼➷t ❦❤➳❝✱

❚❛ ❝ã

✈×

z ∈C
|f (x)|

➤➵t ❣✐➳ trÞ ♥❤á ♥❤✃t

tr♦♥❣ ❤×♥❤ trß♥✳

●✐➯ sö

✶✳✷✳✺ ❇æ ➤Ò✳

f (x) ∈ C[x]

✈➭

f (x)

❦❤➳❝ ❤➺♥❣ sè✱ ♥Õ✉

f (x0 ) = 0

t❤×

|f (x0 )| ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❣✐➳ trÞ ♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ |f (x)|.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

f (x0 ) = 0.

●✐➯ sö

❚❤❛② ➤æ✐ ❜✐Õ♥

t❤Ó ❣✐➯ sö r➺♥❣

f (0) = 0.

❚❛ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

❚❤❐t

f (x) ∈ C[x]

✈❐②✱

❣ä✐

k

1

❧➭

❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❦❤➳❝ ❤➺♥❣ ✈➭

x + x0

❝❤♦

x,

❞✐ ❝❤✉②Ó♥

❙❛✉ ➤ã✱ t❛ ♥❤➞♥

f (x)

❜ë✐

x0

♠ò

♥❤á

♥❤✃t

❝ñ❛

x

f (0)−1

tr♦♥❣

❧➭ ➤✐Ó♠ s❛♦ ❝❤♦

tí✐ ❣è❝✱ ❦❤✐ ➤ã t❛ ❝ã

❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❣✐➳ trÞ ♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛

sè

x0

f (x)

➤Ó ❝❤♦

f (0) = 1.

|f (x)|.
✈➭

❣✐➯

sö

f (x)

❝ã

❞➵♥❣ s❛✉ ➤➞②

f (x) = 1 + axk + h(x),
✈í✐

k

h(x)

❝ñ❛

❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ❝ã ❝➳❝ ❤➵♥❣ tö ❝ã ❜❐❝ ❧í♥ ❤➡♥

−a−1 ,

➤æ✐ ❜✐Õ♥

x

t❤➭♥❤

αx

✱ ❦❤✐ ➤ã

f (x)

k.

❚❛ ❣ä✐

α

❧➭ ♠ét ❝➝♥ ❜❐❝

❝ã ❞➵♥❣ s❛✉

f (x) = 1 − xk + xk+1 g(x).
❈❤♦

x

❧➭ sè t❤ù❝ ❞➢➡♥❣ ♥❤á tï② ý✱ tõ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❛♠ ❣✐➳❝ t❛ ❝ã

|f (x)| ≤ |1 − xk | + xk+1 |g(x)|.
▼➷t ❦❤➳❝✱ t❛ ❝ã

xk < 1

✈í✐ ♠ä✐ sè t❤ù❝

x

♥❤á tï② ý✱ ♥➟♥ t❛ ❝ã

|f (x)| ≤ 1 − xk + xk+1 |g(x)| = 1 − xk (1 − x|g(x)|).


✶✵
❈❤♦

❝❤♦

sè

t❤ù❝

x

♥❤á

x0 |g(x0 )| < 1.

|f (x0 )| < 1

♥➟♥

x|g(x)|

➜✐Ò✉

➤ã

❝ò♥❣

❝❤ø♥❣

❤❛② ❝ò♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❧➭

tá

♥❤á✱

✈×

✈❐②

❝ã

t❤Ó

❧ù❛

❝❤ä♥

r➺♥❣

xk0 (1 − x0 |g(x0 )|) > 0,

x0

s❛♦

✈×

✈❐②

|f (x0 )| < |f (0)|.

❚õ ❝➳❝ ❜æ ➤Ò tr➟♥ t❛ ➤➢❛ r❛ ♠ét ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥

❝ñ❛ ➜➵✐ sè✳

✶✳✷✳✻ ➜Þ♥❤ ❧ý

❤➺♥❣ sè t❤×

|f (x)|

➤➵t

|f (x0 )| = 0

◆Õ✉

f (x) ∈ C[x]

✈➭

f (x)

❦❤➳❝

f (x) ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤ø❝✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
❝ã

✭➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè✮✳

●✐➯ sö

❣✐➳

trÞ

✈➭ ❞♦ ➤ã

f (x) ∈ C[x]
♥❤á

♥❤✃t

t➵✐

f (x0 ) = 0.

✈➭

f (x)

x0 ∈ C.

❦❤➳❝ ❤➺♥❣ sè✱

▼➷t

❦❤➳❝✱

➜✐Ò✉ ➤ã ❝❤ø♥❣ tá

f (x)

tõ

tõ ❇æ ➤Ò ✶✳✷✳✹ t❛

❇æ

➤Ò

✶✳✷✳✺

t❛

❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ♣❤ø❝✳

❝ã



tứ ứ ị ý
ủ số
ế ở trớ

ú t r ứ

ị ý ủ số ó ề ự ế tứ tí

ề số tì ở t sẽ ể s ệ tế ế

tứ số ề tr ứ ị ý ủ số

ứ

ế ọ trờ số ứ

C



r

trờ ó số

tì

ệ ó ũ t ớ t ể ủ ị ý

ở

ủ số

ột số ế tứ q ở rộ trờ trờ t

ợ tứ ố ứ



ợ ết ợ ở

r ở ố ò ề ế ứ ụ ị ý ủ

số tr ệ t tứ t q tr

, e

số



C[x]



R[x],

ứ

số s ệt

ế tứ ị

r ể r ứ ị ý ủ số ú

t ột số ế tứ q ế tứ ố ứ ệt ết q

ỗ tứ ố ứ ề ể tị t t q tứ ố ứ



ột ết q q trọ ợ ọ

tứ ố ứ
ọ

R



R[x1 , ..., xn ]

ị ý ủ

s ú t sẽ ứ ị ý ó

ột

ề



tứ

n



x1 , ..., xn



x1 , ..., xn .

ó ỗ tứ

n

ế

ộ



tr

R,



sử

f (x1 , ..., xn )




R[x1 , ..., xn ]

sẽ ồ tổ tử ó



tr

t

t

tử

ó

tể

ị

ọ





ĩ



ề



i1 + ... + in ,

số



ớ

s

tử

t

ế

tr



HG(f ).

ủ







ủ

tứ



bxj11 ...xjnn , b = 0

i1 = j1 , ..., ik1 = jk1 , ik > jk .
ợ í ệ



s

axi11 ...xinn , a R,
tứ



f (x1 , ..., xn )




ế tồ t

tử

tứ

ủ

ố

ớ

rớ

ết

axi11 ...xinn , a = 0

k {1, ..., n}

tử t ủ tứ

s

f (x1 , ..., xn )

ể ứ ị ý trớ t t ứ ổ

ề s

ổ ề

ớ f (x1 , ..., xn ), g(x1 , ..., xn )

R[x1 , ..., xn ] tì t ó HG(f g) =

HG(f )HG(g).
ứ

ứ q t

ể ề ó ú ớ

sử ổ ề ú ớ

n

ớ

n

số

n = 1.

k(k < n, n 2),

t ứ ó ú ớ

n.

t sử

f (x1 , ..., xn ) = xr1 r (x2 , ..., xn ) + xr1
1 r1 (x2 , ..., xn ) + ... + 0 (x2 , ..., xn ),
g(x1 , ..., xn ) = xs1 s (x2 , ..., xn ) + xs1

1 s1 (x2 , ..., xn ) + ... + 0 (x2 , ..., xn ).


ó

HG(f g) = xr+s
1 HG(r s ),

HG(r s ) = HG(r )HG(s )

t





t



tết

q



t

ó

HG(f g) = xr+s
1 HG(r )HG(s ) =

(xr1 HG(r ))(xs1 HG(s )) = HG(f )HG(g).
ị ĩ

tứ s ủ tứ

K[x1 , ..., xn ]

tứ ố ứ

s1 = x1 + x2 + ã ã ã + xn ,
s2 = x1 x2 + x1 x3 + ã ã ã + xn1 xn ,
s3 = x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ã ã ã + xn2 xn1 xn ,
ããã
sn = x1 x2 . . . xn .

ọ


✶✸
➜❛ t❤ø❝

xi

❜ë✐

f (s1 , s2 , ..., sn )

si

❝ã ➤➢î❝ ❜ë✐ ➤❛ t❤ø❝

i = 1, ..., n

✈í✐

f (x1 , x2 , ..., xn )

❜➺♥❣ ❝➳❝❤ t❤❛②

♠ét ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭

❝➡ ❜➯♥✳
◆Õ✉

✷✳✶✳✸ ❇æ ➤Ò✳

①ø♥❣

axk11 . . . xnkn

✈í✐

a = 0 ❧➭ ❤➵♥❣ tö ❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐

s(x1 , ..., xn ), t❤× t❛ ❝ã k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn .

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❱×

s(x1 , ..., xn )

❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣ ♥➟♥

k

❤➵♥❣ tö

❜➺♥❣

axk11 . . . xkj i . . . xi j . . . xknn

❝➳❝❤

t❤❛②

xi

❜ë✐

xj

xj

✈➭

s(x1 , ..., xn )

♣❤➯✐ ❝❤ø❛

k

s✉② r❛ tõ ❤➵♥❣ tö

❜ë✐

xi .

●✐➯

sö

axk11 . . . xki i . . . xj j . . . xknn

ki < kj

(k1 , ..., ki , ..., kj , ..., kn ) < (k1 , ..., kj , ..., ki , ..., kn )

✈í✐

♠ä✐

i < j

t❤×

k

♥➟♥

axk11 . . . xki i . . . xj j . . . xknn

❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❤➵♥❣ tö ❝❛♦ ♥❤✃t✱ ♠➞✉ t❤✉➱♥ ✈í✐ ❣✐➯ t❤✐Õt✳

❚Ý❝❤

✷✳✶✳✹ ❇æ ➤Ò✳

❤➵♥❣ tö ❝❛♦ ♥❤✃t ❧➭
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

k

n−1
sk11 −k2 sk22 −k3 . . . sn−1

−kn kn
sn ✈í✐

k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kn

❝ã

xk11 xk22 . . . xknn .

❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝➡ ❜➯♥ t❛ ❝ã

HG(stk ) = (x1 x2 . . . xk )t , 1 ≤ k ≤ n, t ≥ 1.
k

n−1
HG(sk11 −k2 sk22 −k3 . . . sn−1

▼➷t ❦❤➳❝ tõ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✶✱ t❛ ❝ã

−kn kn
sn )

= xk11 −k2 (x1 x2 )k2 −k3 . . . (

(x1 . . . xn )kn = xk11 xk22 . . . xnkn .
✷✳✶✳✺ ❇æ ➤Ò✳

●✐➯ sö h(x1 , ..., xn ), h

(x1 , ..., xn ) ∈ R[x1 , ..., xn ] s❛♦ ❝❤♦ h(s1 , ..., sn ) =

h (s1 , ..., sn ), ❦❤✐ ➤ã h(x1 , ..., xn ) = h (x1 , ..., xn ).
✷✳✶✳✻ ➜Þ♥❤ ❧ý

R[x1 , ..., xn ]

✭➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣✮✳

❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣✳ ❑❤✐ ➤ã

♥❤✃t t❤➠♥❣ q✉❛ ➤❛ t❤ø❝

f (s1 , ..., sn ),

①ø♥❣ ❝➡ ❜➯♥ ✈í✐ ❤Ö sè t❤✉é❝
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

●✐➯ sö

s(x1 , ..., xn )

tr♦♥❣ ➤ã

s(x1 , ..., xn ) ∈

❝ã t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ ❞✉②

s1 , ..., sn

❧➭ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐

R✳

❚r➢í❝ t✐➟♥✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ sù tå♥ t➵✐ ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝

f (s1 , ..., sn )

❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t❤❡♦ sè ♠ò ❝ñ❛ ❤➵♥❣ tö ❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣✳

◆Õ✉

sè ♠ò ❝ñ❛ ❤➵♥❣ tö ❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣ ➤Ò✉ ❜➺♥❣ ❦❤➠♥❣✱ t❤× ♥ã ❧➭

❤➺♥❣ sè ✈➭ ❞♦ ➤ã ♥ã t❤✉é❝

R

♥➟♥ ❝ã ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳


✶✹
❇➞②

❣✐ê✱

t❛

❣✐➯

sö

♠ç✐

➤❛

t❤ø❝

➤è✐

①ø♥❣

s(x1 , ..., xn )

❤➵♥❣ tö ❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝

t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ ❣✐➯ sö

❝ã

❤➵♥❣

tö

❝❛♦

➜➷t

♥❤á

❤➡♥

➤Ò✉ ❝ã t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤➠♥❣ q✉❛ ➤❛

axk11 . . . xknn , a = 0

❧➭ ❤➵♥❣ tö ❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛

k

s(x1 , ..., xn ).

♥❤✃t

n−1
t(x1 , ..., xn ) = s(x1 , ..., xn ) − sk11 −k2 . . . sn−1

−kn kn
sn

râ r➭♥❣

t(x1 , ..., xn )

❧➭ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣✱ tõ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✹ t❛ ❝ã ❤➵♥❣ tö ❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛

t(x1 , ..., xn )

♥❤á ❤➡♥ ❤➵♥❣ tö ❝❛♦ ♥❤✃t ❝ñ❛

s(x1 , ..., xn )

♥➟♥

t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ t❤➠♥❣ q✉❛ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝➡ ❜➯♥✱ ♠➭ t❛ ❧➵✐ ❝ã

k

n−1
t(x1 , ..., xn ) + sk11 −k2 . . . sn−1

−kn kn
sn

❞♦ ➤ã ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣

t❤Ó ❜✐Ó✉ ❞✐Ô♥ q✉❛ ➤❛ t❤ø❝ ➤è✐ ①ø♥❣ ❝➡ ❜➯♥

❚✐Õ♣

t❤❡♦✱

R[x1 , ..., xn ]
f (s1 , ..., sn )
✷✳✷

t❛

❝❤ø♥❣

s❛♦

❝❤♦

♠✐♥❤

tÝ♥❤

❞✉②

❝ã

s(x1 , ..., xn ) =
s(x1 , ..., xn )

❝ã

f (s1 , ..., sn ).

♥❤✃t✱

❣✐➯

sö

s(x1 , ..., xn ) = h(s1 , ..., sn ),

❦❤✐ ➤ã t❤❡♦ ❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✺ t❛ ❝ã

t(x1 , ..., xn )

tå♥

t➵✐

h(x1 , ..., xn ) ∈

t❤Õ

t❤×

h(s1 , ..., sn ) =

h(x1 , ..., xn ) = f (x1 , ..., xn ).

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè

❚r➢í❝ ❤Õt✱ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét ❝❤ót ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ❣✐➯✐ tÝ❝❤✱ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭②

❧➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ❣✐➳ trÞ tr✉♥❣ ❜×♥❤ ❝ñ❛ ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ ❤Ö q✉➯ ❝ñ❛ ♥ã ♠➭ ❝➬♥ t❤✐Õt

❝❤♦ ✈✐Ö❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜æ ➤Ò ❞➢í✐ ➤➞②✳

✷✳✷✳✶ ➜Þ♥❤ ❧ý

❧✐➟♥ tô❝✳ ◆Õ✉
s❛❛♦ ❝❤♦

✭➜Þ♥❤ ❧ý ❣✐➳ trÞ tr✉♥❣ ❜×♥❤✮✳

f (a) < k < f (b)

❤♦➷❝

●✐➯ sö

f : [a, b] → R ❧➭ ♠ét ❤➭♠

f (a) > k > f (b)

t❤× tå♥ t➵✐

c ∈ (a, b)

f (c) = k.
f : [a, b] → R ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ ✈➭ f (a)f (b) < 0. ❑❤✐

✷✳✷✳✷ ❇æ ➤Ò✳

●✐➯ sö

➤ã tå♥ t➵✐ sè

c ♠➭ a < c < b s❛♦ ❝❤♦ f (c) = 0.

❚õ ❦Õt q✉➯ tr➟♥✱ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❜æ ➤Ò s❛✉✳

✷✳✷✳✸ ❇æ ➤Ò✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

▼ä✐ ➤❛ t❤ø❝ ✈í✐ ❤Ö sè t❤ù❝ ❜❐❝ ❧❰ ❝ã Ýt ♥❤✃t ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ t❤ù❝✳

❣➽♥ ✈í✐ ❜❐❝ ❝❛♦ ♥❤✃t

t❤ø❝ ❝ã ❞➵♥❣

P (x) ∈ R[x]

●✐➯ sö ➤❛ t❤ø❝

an > 0

p(x) = an xn +

✭✈í✐

an < 0

✈í✐

degP (x) = n = 2k + 1

✱ ❤Ö sè

❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ t➢➡♥❣ tù✮✳

✭❤➵♥❣ tö ❜❐❝ ♥❤á ❤➡♥

n

✮✳ ❚❛ ❝ã

lim P (x) = lim an xn = ∞(an > 0),

x→∞

x→∞

(1)

❑❤✐ ➤ã ➤❛




lim P (x) = lim an xn = (an > 0) (2).

x
ừ

(1)

tồ

P (x2 ) < 0

x1

t



x

s



P (x1 ) > 0

t

tứ ị ớ ọ

t ị ý ề trị tr ì tồ t

tự

từ

(2)

xR

tồ



x3 [x1 , x2 ]

t

x2

s

P (x1 )P (x2 ) < 0
sử

x1 < x2



P (x3 ) = 0

s



ổ ề

ọ tứ ớ ệ số ứ ó ệ ứ

ứ



b2 4ac C,

sử

P (x) = ax2 + bx + c C[x] (a = 0),

t

=

1 , 2 ợt ủ ó P (x) ó
a( 1 b)2
b+ 1
b+ 2
2
+
ệ 1 =
2 =
,
t ó a
+
b
+
c
=
1
1
2a
2a
4a2
2
2
b( 1 b)
+ c = 1 (b4a4ac)
= 0 t tự ớ 2 t ó a22 + b2 + c = 0.
2
2a

ổ ề

ọ

ọ tứ tứ ớ ệ số tự ó ít t ột

ệ ứ
ứ

sử tứ ó

f (x) = a0 + a1 x + ã ã ã + an xn R[x] (n 1, an = 0),
ớ ọ

n N/{0}

t ó tể ết

n = 2m q,

ó t ứ q t

ớ

tứ

m=0

f (x)

ớ

s r

f (x)

sử ệ ề ú ớ

m

ét tứ

R

ở rộ

E

ủ

C

ệ ủ

f (x) R[x]

ớ

trờ ủ

s

f (x)

f (x)

tr

ó ủ

E c


C

n

số tự

ó t ổ ề

ó ệ tự ó ệ ề ú ớ

số tự ì

n

tứ

m N, q

s

m>0

ú ớ



n = q,

m

tr ó

m = 0.

m 1.

sẽ ứ

degf (x) = n = 2m n , m N, n



f (x) C[x].

ệ tr

E.

ó tồ t

sử

1 , 2 , ..., n

số tự t ì t ét

ij = i j + c(i + j ) i = j (1)
ó

Cn2

tử

ij



ét tứ

g(x) = (x 12 )(x 13 )...(x n 1n) E[x],




g(x)

ó

n(n1)
2

q = n (2m n 1)

ế t

sử

l = Cn2 =

tì

= 2m1 n (2m n 1)
q

ó

g(x)

ì

ó

n

2m n 1

l = 2m1 q



q

tr ó



g(x) = xl +a1 xl1 +ã ã ã+al = xl (12 +13 +ã ã ã+n1n )ln1 +ã ã ã ,
ai

s r

i , j

ứ ủ

ij ,

tứ ố ứ ủ

ai



tứ ố ứ ủ

ij

ỗ

1 , ..., n ,

tứ ố

t ết ọ

tứ ố ứ ề ể tị t t q tứ ố ứ t



f (x) R[x]

tự s r



g(x)

ỗ

ai (i = 1, ..., n)

số tự

ó ít t ột ệ ứ

c R,

ỗ

tứ ố ứ ủ

(i, j),

t ó tứ



Cn2 +1

i j + c2 (i + j )

trị

g(x)
c

1 , ..., n

số

g(x) R[x]

tết q

(1)

tứ

ij = i j +c(i +j ).

ó ột ệ ứ

s r tồ t

c1 = c2

ể

(1)

ứ ớ

i j +c1 (i +j ),
g(x),

số ứ t ứ ệ ủ

t

a = i j + c1 (i + j ),
b = i j + c2 (i + j ),
s

r

i + j =

tứ

x2

i j = a c1 cab
.
1 c2

+ (a c1 cab
) C[x].
1 c2

ab
c1 c2 x

ệ ứ

ổ ề

ab
c1 c2 ,



ó

i , j

ệ

t ổ ề

ủ

f (x)

ó

i , j .

ế ọ tứ tứ ớ ệ số tự ó

ệ ứ tì ọ tứ tứ ó ệ ứ
ứ

n>0

t

1, ..., n.

sử

f (x) = a0 + a1 x + ã ã ã + an xn C[x]

f (x) = a0 +a1 x+ã ã ã+an xn

ét

g(x) = f (x)f (x) C[x],

tr ó

sử

ai

ớ

degf (x) =

ợ ủ

ai

ớ

i=

g(x) = b0 + b1 x + ã ã ã + b2n x2n

ớ

bk =

ai aj (k = 0, ..., 2n),

i+j=k

s r

bk R



= s + it C
f () = 0





g(x) R[x].

g() = 0,

s r

t ổ ề

f ()f () = 0

g(x)



ó ệ

f () = 0






0.

ế

f () = 0

ế

f () = 0



ó

t

ó

tì

tì

f (x)

ó ệ ứ

ao +a1 +ã ã ã+an n = 0,

.

s r

a0 + a1 + ã ã ã + an n = f ()

ao + a1 + ã ã ã + an n =







ệ

ứ

ủ

f (x).
ị ý

tr

ọ tứ tứ

ị ý ủ số

C[x] ó ít t ột ệ tr C, t ó C ó số

ứ

ổ ề ỉ r r ọ tứ tứ ớ ệ

số tự ó ít t ột ệ ứ

ó t ổ ề t ó ọ

tứ tứ ó ệ ứ ị ý ợ ứ

ó trờ số ứ

C

trờ ó số

ừ ị ý ủ số t ó ết q ề ệ t tứ t

q tr

C[x]

ệ q

R[x]

s

tứ t q tr

C[x]

ỉ tứ

tứ t q tr

R[x]

ỉ tứ

t
ệ q

t tứ ớ



< 0.

ứ ụ ứ số , e số s ệt

ờ t ứ ợ sự tồ t ủ số s ệt

ỉ r số

=


j!
j=1 10

số s ệt

ó rt ứ ợ

ứ ợ số

e



số s ệt



1882.

1844.

r ò

1873.

r ó

ó tể ó ệ ỉ r ột

số t ì ó số s ệt ự ì ó tr ú

t sử ụ ụ ị ý ủ số ể ứ số

q trọ ủ t ọ số

, e

số s ệt

rớ ết t

ột số ế tứ q ế ứ s

sử

Q[x]

C

s

số ó tồ t tứ

f () = 0.

ì

Q

f (x)



ột trờ ú t ó tể

f (x)

f (x)

trở



t tứ t q

p (x) Q[x]





ệ ọ

tứ tố tể

tứ ớ ệ số

ai Z



ủ

tr

ó ỏ t

Q.

f (x) = an xn + ã ã ã + a0 , n 1, an = 0,

gcd(a1 , . . . , an ) = 1

ọ

tứ

ớ ọ

ột số

ổ ề q ế ệ ứ

ổ ề

C

số ỉ tồ t tứ

p(x) Z[x] s p() = 0.
ứ

t ọ

p(x)

an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a0 , n 1, an = 0, gcd(a1 , ..., an ) = 1.
số

tồ t tứ

g(x)

ệ số ủ

g(x) Q[x]
gcd

p(x)

tứ ó ệ số ó

sử

ệ

ủ ệ số ó





tứ tố tể ủ

t ó tể tí

C

ó t ó tể



g(x)

g(x)

p (x)

tr

C

tr

trở t

ệ

p(x) = xn + an1 xn1 + ã ã ã + a0 , n 1, ai Q

0, .., n 1,

ế

ở ù ột số ó ể ệ số ủ

ề s ó t



p(x) =

tứ ó ệ số ó

Q.

ớ

ọ

i =

ừ ị ý ủ số

s

p (x) = (x 1 )...(x n ), i C, i = 1, ..., n.
ó

= j

ớ ỗ

p (x) = pi (x)
ộ ủ

p (x)

ớ

j {1, ..., n}

i = 1, ..., n

tì ó

t ớ ớ t

i

p (x)

ì

ủ



tr

ổ ề

t q tr

i = j (i = j).

ủ

d(x)

tết ề tí t q ủ

ợ

p (x)

ì

ột ệ ủ

d(x) Q[x]

ỏ ủ

ì

p (x)



ết

p (x).

p (x),

p (x).

số ứ

ế

i

p (x).

ủ

Q

t ó

ệ

ó tồ

d(x)



ề t

1 , ..., n

ọ





tr

Q.

ế

C

số tì số ợ

1 , ..., n

ủ

Q ệ ủ tứ t q ó ệ số q (x) = bn xn + ... +
b1 x + b0 Z[x], n 1, bn > 0, gcd(b0 , ..., bn ) = 1, n = degp (x).

tứ

q (x) ó tr ọ tứ tố tể ủ tr Q


✶✾

qα (x) = rpα (x),✈í✐ r ∈ Q.

❈❤ó ý r➺♥❣

✷✳✸✳✸ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳
♠♦♥✐❝

❝ã

❤Ö

sè

❙è

α ∈ C

♥❣✉②➟♥

♥❤❐♥

❣ä✐

α

❧➭

❧➭

sè ➤➵✐ sè ♥❣✉②➟♥

♥❣❤✐Ö♠✳

❍❛②

♥ã✐

♥Õ✉

tå♥

❝➳❝❤

❦❤➳❝

f (x) ∈ Z[x], f (x) = xn + bn−1 xn−1 + · · · + b0 , bi ∈ Z, n ≥ 1
α∈C

◆Õ✉

✷✳✸✳✹ ❇æ ➤Ò✳

❧➭ ➤➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ t❤× ♠ä✐ ❧✐➟♥ ❤î♣

t➵✐

✈➭

➤❛

❧➭

t❤ø❝

tå♥

t➵✐

f (α) = 0.

α1 , ..., αn

❝ñ❛

α

❝ò♥❣ ❧➭ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ♥❣✉②➟♥✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

α

♠♦♥✐❝ ♥❤❐♥

pαi (x)

❱×

α∈C

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠✳ ▼➷t ❦❤➳❝ tõ

❝❤✐❛ ❤Õt

f (x),

◆Õ✉

✷✳✸✳✺ ❇æ ➤Ò✳

❧➭ ➤➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ ♥➟♥ tå♥ t➵✐

❞♦ ➤ã

α∈C

f (x) ∈ Z[x]

pα (x) = pαi (x)

✈í✐

❧➭ ➤❛ t❤ø❝

i = 1, ..., n,

t❛ ❝ã

f (αi ) = 0, i = 1, ..., n.

❧➭ ➤➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ t❤× ➤❛ t❤ø❝ tè✐ t❤✐Ó✉ ♥❣✉②➟♥ ❝ñ❛

♥ã ❧➭ ♠♦♥✐❝✳
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

f (αi ) = 0

●✐➯

✈í✐

f (x) ∈ Z[x]

sö

♠ä✐

h(x) ∈ Z[x], r ∈ Q

αi

❧➭

s❛♦ ❝❤♦

❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♥❣✉②➟♥ t❤ñ② ✈➭

❧✐➟♥

❧➭

❤î♣

➤❛

❝ñ❛

t❤ø❝

α,

♠♦♥✐❝✱

✈➭

rqα (x)h(x) = f (x).
f (x)

❧➭ ♠♦♥✐❝ ♥➟♥

➤❛

f (α) = 0.

t❤ø❝

❝ã

❤Ö

▼➷t ❦❤➳❝ ✈×

r = ±1,

❞♦ ➤ã

sè

❑❤✐

♥❣✉②➟♥

qα (x), h(x)
qα (x)

➤ã

❧➭

❝ò♥❣ ❧➭

♠♦♥✐❝✳

✷✳✸✳✻ ❇æ ➤Ò✳

α, β ∈ C ❧➭ ➤➵✐ sè ♥❣✉②➟♥ t❤× α + β, αβ

✷✳✸✳✼ ➜Þ♥❤ ❧ý✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❝ò♥❣ ❧➭ ➤➵✐ sè ♥❣✉②➟♥✳

e ❧➭ sè s✐➟✉ ✈✐Öt ✈➭ ❧➭ s✐➟✉ ✈✐Öt tr➟♥ Q.

●✐➯ sö

f (x) ∈ R[x]

✈í✐

degf (x) = m ≥ 1,

❧✃②

z1 ∈ C, z1 = 0,

✈➭

Υ : [0, 1] −→ C, Υ(t) = tz1 .
●✐➯

sö

ez1 −z f (z)dz =

I(z1 ) =

0

Υ
♥❣✉②➟♥ tõ

ez1 f (0) +

0

➤Õ♥

tr➟♥

Υ.

ez1 −z f (z)dz,
Υ

Υ

♣❤➞♥ tõ♥❣ ♣❤➬♥ ♥❤➢ s❛✉✿

❧➭

❝➳❝

sè

Υ

ez1 −z f (z)dz = −f (z1 ) +

◆❤í ❧➵✐ r➺♥❣

ez1 −z f (z)dz.

z1
0

z1
0

z1
0

z1

z1

Υ

❚✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò tÝ❝❤



m

(1)I(z1 ) = ez1

m

f (j) (0)

j=1

f (x)

q0 , q1 , ..., qn

ớ t ủ

ọ tứ

từ

(1)



(3)

|ez1 z |

ở trị tệt ố ủ ó ì

ờ sử

(3)q0 + q1 e + ... + qn en = 0, n 1,

I(z1 )

tứ ó ợ

t ó

(2)|I(z1 )| |z1 |e|z1 | |f |(|z1 |).

ớ

|f |(x)

sử

j=0

t t tế ệ số ủ

e|z1 z| e|z1 | ,

f (j) (z1 ).

e

số ó t ó

số

ụ tể tứ sử

t ó

ớ



f (x) = xp1 (x 1)p ...(x n)p
m

q0 = 0, q1 , ..., qn ,

n

ớ

p

số tố ủ

J = q0 I(0) + q1 I(1) + ã ã ã + qn I(n),

qk f (j) (k), m = (n + 1)p 1

J =

ì

j=0 k=0
m
n

F (j) (0)) = 0.

(q0 + q1 e + ã ã ã + qn e )(
j=0
ó

f (j) (k) = 0

ế

j < p, k > 0

số ết

p!

ế

ớ ọ

f (p1) (0) = (p 1)!(1)np (n!)p ,
ết

(p 1)!

ế t

p > n.
(2n)m

J



trừ

p>n

tì

(2)

p.

p > n, p > |q0 |

t ó

ó

tì

f (p1) (0)

f (j) (k)

r

số

p!.
(p 1)!

|J| (p 1)!.

ế

p > |q0 |

ờ

ế t t ó

(p 1)! |J| cp

c
c (p1)!
0

ó

10



t

1

|J|
(p1)!

ó

e



|f |(k)

|J| |q1 |e|f |(1)+ã ã ã+|qn |nen |f |(n) cp , c

p1

tì

t ó

k = 0,

j = p 1, k = 0.

số ết

ù ớ

p

j, k

ết

ì sử

ụ tộ

ế

j < p1



p1

c
c (p1)!

s

ệt

ế t t ứ số



s ệt trớ t t ứ ổ ề

s

ổ ề

sử

C số f (x) = an xn + ã ã ã + a0 , n

1, an = 0, ai Z(i = 0, ..., n), f (x) Z[x]



f () = 0.

ó

an

ũ

số
ứ

n1
n
ann1 f (x) = ann xn + an1
+ ã ã ã + an1
n an1 x
n a0 = (an x) +




an1 (an x)n1 + ã ã ã + ann1 a0 = g(an x) = g(y) Z[y]
g(an ) = 0,

ì

ị ý

ứ




ợ

.



số tì



0, gcd(q0 , ..., qd ) = 1
i.

= i

Q.

ũ số ọ

tứ tố tể ủ

ừ

g(y)

1 = , 2 , ..., d

p(x) = q0 + q1 x + ã ã ã + qd xd Z[x], qd >

sử

ệ ủ tứ ó

ớ ọ



số

số s ệt s ệt tr

sử

ủ

an

ó

y = an x

ớ

t = qd

t

ei + 1 = 0

tr

Q, 1 = , 2 , ..., d
ti

t ổ ề tì

1 = i

số

t ó

(1 + e1 )(1 + e2 )...(1 + ed ) = 0,
tí ở ế tr ó tể ết ớ tổ ủ

ããã +


d d , j
1 1

=0



+ ããã +

d d

= 1, j = 1, ..., d.

j

2d

e

số

1 , ..., n

ọ

ớ

=

n



1 1

+

số ó

ó t ó trì s

q + e1 + ã ã ã + en = 0 (4)
ớ

q = 2d n > 0.

1 )p ...(x n )p


ọ

số



I(z1 )

ớ



ợ

ó



ị

p

ti



số

tứ



ố

ĩ

J = I(1 ) + ã ã ã + I(n ).
(4)

số tứ

ứ

tr

ừ

(1)

tố



ủ







ó

f (x) R[x], i

1 , ..., n

ủ

ứ





ị

ý

số



ữ





tỉ

ọ

ủ ứ ị ý từ

t ó

m

m

J = q

f

(j)

f (j) (k )
j=0 k=1

n

m = (n + 1)p 1,

n

(0)

j=0
ớ

ớ

f (x) = tnp xp1 (x

t



f (j) (k )





tứ

ố

ứ

ủ

k=1

t1 , ..., tn

ớ ệ số ì

m

n

ti

ủ tứ ố ứ t ó

số ũ từ ị ý

f (j) (k )

số r

f (j) (k ) =

j=0 k=1
m

0

ớ

j
n

ó

f (j) (k )

số ết

p!.

ó

f (j) (0)



j=0 k=1
số ết

p!

ế

j = p1



f (p1) (0) = (p 1)!(t)np (1 ...n )p


✷✷
❧➭

sè

♥❣✉②➟♥

❝❤✐❛

❤Õt

(p − 1)!

t❤Ó ➤✐Ò✉ ➤ã ❧✉➠♥ ➤ó♥❣ ♥Õ✉

♥❤➢♥❣

❦❤➠♥❣

p > |tn (α1 ...αn )|

❝❤✐❛

❤♦➷❝

❤Õt

p!

p > q.

♥Õ✉

❚õ

p

(2)

➤ñ

❧í♥✱

❝ñ

tr♦♥❣ ♣❤➬♥

❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✼ t❛ ❝ã

|J| ≤ |α1 |e|α1 | |f |(|α1 |) + · · · + |αn |e|αn | |f |(|αn |) ≤ cp
✈í✐

❝ã

c

❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈➭♦

(p − 1)! ≤ |J| ≤ cp ,
p−1

c
c (p−1)!
−→ 0

♥➟♥ ❝ã

p.

❈ò♥❣ ♥❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✸✳✼ t❛ ❝ò♥❣

✈➭ ❦❤✐ ➤ã

1≤0

1 ≤

|J|
(p−1)!

♠➞✉ t❤✉➱♥✳ ❉♦ ✈❐②

p−1

c
≤ c (p−1)!

π

❝❤♦

❧➭ s✐➟✉ ✈✐Öt✳

p −→ ∞

t❤×



tứ ứ ị ý
ủ số
ý tết s ột ủ t ọ tể ệ ố q ệ ữ ý

tết số ý tết trì ý tết ó ữ ý tết

ợ ớ tệ ở rst s ứ

tí ợ ủ tứ s ờ t ì t ố q

ệ ữ ở rộ trờ ó trì ột

ứ ị ý ủ số ứ sự ố ợ

ữ ý tết ó ý tết s

trớ

t

t





ột

số

ế

tứ

ố ứ



tết



q

ế

ệ

ứ





ột số ết q ủ ý tết ó

P ột số ết q ủ ị ý ó ữ

ột số

ệ ó q ết ợ ú ý

ị ý r ị ý ồ ó ị ý

ị ĩ

ó

G

ột t ợ ù ớ ột é t

tỏ ề ệ

Pé t ó tí t ết ợ



G

ó ị

ọ tử ủ

G

ề ị






G

ột ó





G

ợ ọ

G

ủ

số tử ủ

HG

ó ữ

ớ é t tr

G

ị ĩ

ế

F :RS

ồ

f :RS

số tì

tự

R

G,

|G|.

í ệ

ó

ọ

t tr

ủ

G

ế

G

ế

ó tí

t

|G| <

H=



H

tì

ù

R, S

ọ

ọ

ủ

R

trú số ó trờ

ồ

ế ó t é t số



ế

f

s ế

: R R,

R

trú

í ệ t tự

t



í ụ

ế é

ột ó

tì

tr

sử

G

ó

G = {1, g, g 2 , ..., g n1 }.

ế

(k, n) = 1

n, g

tì

gk

tử s ủ

G

t ó

ũ tử s ì

: g gk
ột tự ồ

t ì ủ

G

tì

G,

ị ột tự ủ

(g) = g1

ớ

g1

ế

ũ tử s ủ


G.

tự

ì t

ó

Aut(G) = { : g g k , (n, k) = 1}.
ó

|Aut(G)| = (n),

ị ý

ủ

G,

số số ỏ

ị ý r

ó

sử

|G| = |G : H||H|.

n

tố ớ

G ó ữ H

n.

ó

ó tr ột ó

ữ ỉ số ủ ó ớ ủ ủ t ó
í ụ

sẽ ỉ r r ọ ó ữ ó tố ề



sử

sử

ủ

ế

p

tố

H =< x >

H

H=G

G

tì

ó ữ ó

ó s ở

ớ ủ

|H| = 1

G

x=1



G.

ì

p

x.

tố

ề t ì

p.



x G, x = 1

ừ ị ý r

|H| = 1

x = 1.



ó

|H| = p

|H| = p






✷✺
✸✳✶✳✻ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳

g −1 Hg

◆Õ✉

G

❧✐➟♥ ❤î♣

❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥✱ ❣ä✐ ❧➭

❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö ❝❤✉➮♥ ❤ã❛ ❝ñ❛

NG (H). H

❤✐Ö✉ ❧➭

g∈G

s❛♦ ❝❤♦

H

❧➭ ♠ét ♥❤ã♠✱

❝ñ❛

H

❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝ñ❛

H, g ❝❤✉➮♥ ❤ã❛ H

t❤× ❣ä✐ ❧➭

❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝ñ❛

✈➭

❝ñ❛

❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭

g∈G

t❤×

g −1 Hg = H.

♥Õ✉

❝❤✉➮♥ ❤ã❛

G

G,

H

H

tr➟♥

G,

G,

❦Ý

♥Õ✉ ♠ä✐

g −1 Hg = H.

❈❤ó ý r➺♥❣ ♥Õ✉

H G

t❤×

g −1 Hg = H.

❤❛② ♥ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝ ❧í♣ ❣❤Ð♣ tr➳✐

gH

➜✐Ò✉ ➤ã ❝ò♥❣ ❝ã ♥❣❤Ü❛ ❧➭

❜➺♥❣ ❧í♣ ❣❤Ð♣ ♣❤➯✐

Hg.

Hg = gH

❙❛✉ ➤➞② ❧➭ tã♠

t➽t tÝ♥❤ ❧✐➟♥ ❤î♣✱ ❝❤✉➮♥ t➽❝✱ ❝❤✉➮♥ ❤ã❛ q✉❛ ❤❛✐ ❜æ ➤Ò s❛✉ ➤➞②✳

✸✳✶✳✼ ❇æ ➤Ò✳

✭✐✮

H

❈➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò s❛✉ ➤➞② ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿

G.

✭✐✐✮ ▲✐➟♥ ❤î♣ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛

H

tr➟♥

✭✐✐✐✮ ▼ç✐ ❧í♣ ❣❤Ð♣ tr➳✐ ❝ñ❛

H

❝ò♥❣ ❧➭ ❧í♣ ❣❤Ð♣ ♣❤➯✐✳

✭✐✈✮

NG (H) = G.

✸✳✶✳✽ ❇æ ➤Ò✳

H ⊂ G ❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥✱ ❦❤✐ ➤ã t❛ ❝ã✳

●✐➯ sö

✭✐✮ ▲✐➟♥ ❤î♣ ❜✃t ❦× ❝ñ❛
✭✐✐✮

G ❧➭ H.

H

t❤× ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐

NG (H) ❧➭ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝ñ❛ G ✈➭ H

✭✐✐✐✮

H.

NG (H).

|N : NG (H)| ❧➭ sè ❧✐➟♥ ❤î♣ ♣❤➞♥ ❜✐Öt ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❝ñ❛ H
G

✸✳✶✳✾ ❱Ý ❞ô✳

◆Õ✉

❝❤✉➮♥ t➽❝✱ ✈×

g −1 Hg = H(g −1 g)H.

❧➭ ♥❤ã♠ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈× ♠ä✐ ♥❤ã♠ ❝♦♥

◆❤ã♠ ♠➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝ t❤ù❝ sù ❣ä✐ ❧➭

H

tr➟♥

❝ñ❛

G.

G

➤Ò✉ ❧➭

♥❤ã♠ ➤➡♥✳

❱Ý ❞ô

♥❤➢ ♥❤ã♠ ①②❝❧✐❞ ❝ã ❜❐❝ ❧➭ ♥❣✉②➟♥ tè ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ➤➡♥✳

✸✳✶✳✶✵ ❇æ ➤Ò✳

◆Õ✉

H

G

t❤×

G/H

❧➭ t❐♣ ❝➳❝ ❧í♣ ❣❤Ð♣ tr➳✐ ❝ñ❛

❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ✈➭ ❣ä✐ ❧➭ ♥❤ã♠ t❤➢➡♥❣ ❝ñ❛

G

H

tr♦♥❣

G

t❤❡♦ ♥❤ã♠ ❝♦♥ ❝❤✉➮♥ t➽❝

H✳
✸✳✶✳✶✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳
❧➭

kerf

❤î♣

❧➭ t❐♣ ❤î♣

◆Õ✉

f :G→H

❧➭ ➤å♥❣ ❝✃✉✱ t❤×

{g ∈ G; f (g) = 1}.

{h ∈ H; f (g) = h, g ∈ G}.

❈ß♥

➯♥❤

❝ñ❛

❤➵t ♥❤➞♥

f,

❝ñ❛

❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭

f,

❦Ý ❤✐Ö✉

Imf

❧➭ t❐♣