đề cương bài tập cơ lý thuyết

Câu hỏi bài tập
Câu 1: Chứng minh rằng ta có các hệ thức giao hoán giữa các toán tử sau:
1. [ xˆ , pˆ x ] = ih, [ yˆ , pˆ x ] = 0 , [ zˆ , pˆ x ] = 0
2.  Lˆ z , xˆ  = ihyˆ ,  Lˆ z , zˆ  = 0 ,  Lˆ z , yˆ  = -ihxˆ ,
Câu 2: Câu hỏi: Với Lˆ + = Lˆ x + iLˆ y

và

Lˆ − = Lˆ x − iLˆ y hãy chứng minh các hệ

thức giao hoán sau:

[ ]
b. [ Lˆ , Lˆ ] = − Lˆ

a. Lˆ+ , Lˆ− = 2 Lˆ z
+

z

+

c. Lˆ2 = Lˆ− Lˆ+ + Lˆz 2 + hLˆz

ˆ > và
Câu 3: Đối với dao động tử điều hòa một chiều, hãy đánh giá giá trị < xˆ >, < p
nghiệm lại hệ thức bất định Heisenberg.
Câu 4: Tìm sự phụ thuộc thời gian của tọa độ trung bình < xˆ >t và xung lượng trung bình

ˆ >t của dao động tử điều hòa 1 chiều.

Câu 5: Chứng minh rằng đối với dao động tử điều hòa một chiều ta có:
<E> = 2<Eđ> = 2<Et>
Câu 6: Hạt bị nhốt trong một hố thế có bề sâu vô hạn thế năng có dạng:

0
V ( x) = 

∞

khi

x
khi

x ≥a

1
3
π 
 3π 
cos 
x÷
Trạng thái của hạt là:ψ ( x) = cos  x ÷+
2
 2a  2
 2a 

π 2 h2
9π 2 h2

,E =
1. Tìm xác suất của phép đo năng lượng giá cho ta giá trị E =
8ma 2
8ma 2
a
2. Tìm mật độ xác suất để hạt có toạ độ x =
2

Câu 7: Xét hạt có khối lượng m chuyển động trong hố thế một chiều hình chữ nhật có
thành cao vô hạn. Thế năng V(x) có dạng:

0
V ( x) = 

∞

khi

x ≤a

khi

x >a

Tìm hàm sóng đã chuẩn hóa và năng lượng của hạt trong hố thế.


ˆ của hạt ở trong giếng thế vuông góc một chiều có dạng:
Câu 8: Toán tử Hamilton H
2

2
ˆ = - h d + V( x)
H
2m dx 2
trong đó:
0 khi 0 ≤ x ≤ d

V( x) = 
x > d
∞
khi


x < 0

ˆ đã cho.
Tìm hàm riêng đã chuẩn hoá và trị riêng của toán tử H

Câu 9: Câu hỏi: Trạng thái của hạt được mô tả bởi hàm sóng:
φ ( x ) = Ae

-

Trong đó a, k là những hằng số và A =

x2
2a 2

+ ikx

1
a π

.

2
2
2
Tính các trị trung bình x , x , ∆x , và ∆p x .

Nghiệm lại hệ thức bất định. Cho các tích phân đặc biệt sau
+∞
π
; I 2 = ∫ x exp(−α x 2 )dx = 0
−∞
−∞
α
+∞
∂I
I 3 = ∫ x 2 exp(−α x 2 )dx = 1
−∞
∂α
+∞

I 1 = ∫ exp(−α x 2 )dx =

Câu 10: Chứng minh:
1.  Lˆx , yˆ  = ihzˆ,
2.  Lˆx , pˆ x  = 0,

 Lˆ y , zˆ  = ih xˆ


 Lˆ y , pˆ y  = 0



 Lˆz , xˆ  = ihyˆ


 Lˆz , pˆ z  = 0



Câu 11: Những đại lượng cơ học nào sẽ được bảo toàn khi hạt chuyển động trong trường
thế U(z) = az (a = const)
Câu 12: Trạng thái của rôtato phẳng ở thời điểm ban đầu t = 0 được mô tả bởi hàm sóng:
ψ(φ,0) = Asin 2 φ.
1. Tìm A.
2. Tính trị trung bình của hình chiếu mô men xung lượng trên trục Oz.
3.

Tài liệu tham khảo: Bài tập Vật lý lý thuyết tập 2 và Bài tập Cơ học lượng
tử (Nguyễn Văn Hùng)