Đề cương bài tập Toán 11 HKII (có Đ.A)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II
Đại số & Giải tích:
Chương 4 : Giới hạn
Bài toán 1. Tính giới hạn của dãy sô:
Ví dụ: Tìm các giới hạn:
1/
2
3
2
8n 3n
lim
n
−
2/
2
2
2n 3n 1
lim
n 2
− −
− +
3/
(
)
2
lim n 1 n 1
− − +
4/
3 4 1
lim
2.4 2

n n
n n
 
− +
 ÷
+
 
Giải:
1/
2
3
3
3
2
8n 3n 3
lim lim 8 8 2
nn
−
= − = =
3/
( )
2
2
2
2n 2
lim n 1 n 1 lim lim 1
1 1
n 1 n 1
1 1
n

n
− −
− − + = = = −
− + +
− + +
.
2/
2
2
2
2
3 1
2
2n 3n 1 2
n n
lim lim 2
2
1n 2
1
n
− −
− −
= = = −
−− +
− +
4/
3 4 1
lim
2.4 2
n n

n n
 
− +
 ÷
+
 
=lim
2
1
2
1
2
4
1
1
4
3
−=






+







+−






n
nn
Bài tập: Tính các giới hạn sau:
1) Lim
3
2 3
2 5 3
3
n n
n n
− +
−

2) lim
2
)54(
)32)(21(
−
−+
n
nn

3) lim
2
3
31
2
n
nn
−
−
4) lim
252
3
3
32
−+
−
nn
nn

5) lim(n – 2n
3
)

6) lim (
)1 nn
−+

7) lim
75
3342

3
23
+−
++−
nn
nnn

8) lim
22
3
)13(
)23()1(
+
+−
n
nn
9)
)1213lim(
−−−
nn
10) lim
nn
nn
5.32
54
+
−
Bài toán 2: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải: Sử dụng công thức:
1

u
S ,| q | 1
1 q
= <
−
Ví dụ: Tính tổng
2 n
1 1 1
S 1 ... ....
2 2 2
= + + + + +
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với
1
q 1
2
= <
và
1
u 1=
. Vậy:
1
u
1
S 2
1
1 q
1
2
= = =

−
−
Bài tập: Tính tổng
1/
( )
2 1
1
1 1
1 ... ...
10 10 10
n
n
S
−
−
= − + − + + +
2/ S =
2
2 2 2
1 ... ...
100 100 100
n
+ + + + +
3/
( )
n 1
n
1
1 1 1
, , ,..., ,...

3 9 27 3
+
−
−
Bài toán 3 : Tính giới hạn của hàm số
Phương pháp chung:
- Sử dụng kết quả của đlí 2 và các giới hạn cơ bản sau:
1.
0
lim
x x
C C
→
=
(C = const)
2. Nếu h/s f(x) x/đ tại điểm x
0
thì
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
3.
0
1
lim 0
n

x x
x
→
=
(với n > 0)
- Khử dạng vô định
0
0
;
∞
∞
;
∞ − ∞
; 0 x ∞
Ghi chú:
1
* Nếu PT f(x) = 0 có nghiệm x
0
thì f(x) = (x-x
0
).g(x)
* Liên hợp của biểu thức:
1.
a b−
là
a b+
2.
a b+
là
a b−

3.
3
a b−
là
3 2 2
3
.a a b b+ +
4.
3
a b+
là
3 2 2
3
.a a b b− +
Bài tập: Tính các giới hạn sau:
1,
(
)
2
2
lim 5 1
x
x
→−
+ −
2,
3
1
lim
2

x
x
x
−
→
+
−
3,
3
2 1
lim
3
x
x
x
−
→
−
−
4,
2
4
1
lim
( 4)
x
x
x
→
−

−
5,
3 2
lim ( 1)
x
x x x
→−∞
− + − +
6,
2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x
→
+ −
− −
7,
2
2
lim
7 3
x
x
x
→

−
+ −
8,
3
3 2
2 3 4
lim
1
x
x x
x x
→+∞
+ −
− − +
9,
2 2
4 1
lim
2 3
x
x x x
x
→−∞
− − +
+
10,
0
1 1
lim 1
1

x
x x
−
→
 
−
 ÷
+
 
11,
2
lim ( 4 2 )
x
x x x
→−∞
− +
12,
(
)
2 2
lim 1
x
x x x
→±∞
− − +
13,
2
1
3
lim

2 3
x
x
x x
→−
+
+ −
14,
3 2
3 2
3
2 5 2 3
lim
4 13 4 3
x
x x x
x x x
→
− − −
− + −
15,
3
0
( 3) 27
lim
x
x
x
→
+ −

16,
2
2 2
lim
7 3
x
x
x
→
+ −
+ −
17,
2
7
2 3
lim
49
x
x
x
→
− −
−
Bài toán 4 : Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
– Dạng I: Cho h/s
1 0
2 0
( )
( )
( )

f x khi x x
f x
f x khi x x
≠

=

=

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x
0
?
Phương pháp chung:
B
1
: Tìm TXĐ: D = R
B
2
: Tính f(x
0
);
)(lim
0
xf
xx
→
B
3
:
)(lim

0
xf
xx
→
= f(x
0
)
⇒
KL liên tục tại x
0
– Dạng II: Cho h/s
1 0
2 0
( )
( )
( )
f x khi x x
f x
f x khi x x
≥

=

<

Xét tính liên tục của h/s tại điểm x
0
?
Phương pháp chung:
B

1
: Tính f(x
0
) = f
1
(x
0
)
B
2
: (liên tục phải) tính:
0 0
1 1
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
+ +
→ →
= =
B
3
: (liên tục trái) tính:
0 0
2 2
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x L
− −
→ →
= =

B
4
: L
1
= L
2
= f
1
(x
0
)
⇒
KL liên tục tại x
0
Bài toán 5: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Phương pháp chung:
B
1
: Xét tính liên tục của h/s trên các khoảng đơn
B
2
: Xét tính liên tục của h/s tại các điểm giao
B
3
: Kết luận
Bài toán 6: Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp chung: Cho PT: f(x) = 0. Để c/m PT có k nghiệm trên
[ ]
;a b
:

B
1
: Tính f(a), f(b) ⇒ f(a).f(b) < 0
B
2
: Kết luận về số nghiệm của PT trên
[ ]
;a b
Bài tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
2
1,
2
4
2
( )
2
4 2
x
voi x
f x
x
voi x

−
≠ −

=
+



− = −

tại x = -2 2, f(x) =
2 x 1
nÕu x 3
3 x
4 nÕu x 3

− +
 ≠

−

=

tại x = 3
3,
2
2
( )
1 2
x voi x
f x
x voi x

<

=

− ≥



tai x = 0 4,



−
=
2
12
)(
x
x
xf

1,
1,
≥
<
x
x
tại x = 1
Bài tập 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng
1,
2
2
2
( )
2
2 2 2

x
voi x
f x
x
voi x

−
≠

=
−


=

2,
2
1
2
( 2)
( )
3 2
x
voi x
x
g x
voi x
−

≠


−
=


=

3,







−−
=
2
1
11
)(
x
x
xf
0,
0,
=
≠
x
x

4,
( )
2
2
x > 2
2
5 x 2
x x
khi
f x
x
x khi

− −

=
−


− ≤

5,
( )
1
2
f x
x
=
−
6,

( )
3 1f x x
= − +
Bài tập 3: Tìm số thực a sao cho các hàm số liên tục trên R:
1,
2
1
( )
2 3 1
x voi x
f x
ax voi x

<
=

− ≥

2,
( )
2
2
x 1
1
x = -1
x x
khi
f x
x
a khi


− −
≠ −

=
+



Bài tập 4:
1, CMR phương trình
7 5
3 2 0x x
+ − =
có ít nhất một nghiệm
Xét hàm số
( )
7 5
3 2f x x x
= + −
liên tục trên R nên f(x) liên tục trên [0;1]
Và
( )
( )
( ) ( )
0 2 0
0 . 1 0
1 2 0
f
f f

f

= − <

⇒ <

= >


Nên phương trình
( )
0f x
=
có ít nhất một nghiệm
( )
0
0;1x ∈
, vậy bài toán được chứng minh.
2, CMR phương trình sau có ít nhất hai nghiệm:
3
2 10 7 0x x− − =
3, CMR phương trình sau có it nhất một nghiệm âm:
3
1000 0,1 0x x+ + =
4, CMR: Phương trình x
4
-3x
2
+ 5x – 6 = 0 có nghiệm trong khoảng (1; 2).
5, Chứng minh phương trình

2
sin cos 1 0x x x x
+ + =
có ít nhất một nghiệm
( )
0
0;x
π
∈
.
6, Chứng minh phương trình
( ) ( )
3
1 2 2 3 0m x x x
− − + − =
luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
Chương 5 : Đạo hàm
- Các công thức tính đạo hàm:
3
Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp
( )
′
C
=0 (C lµ h»ng sè)
( )
′
x
=1
(kx)’=k (k lµ h»ng
sè )

( )
′
n
x
=n.x
n-1
(n
∈
N, n
≥
2)
( )
′
n
U
=n.U
n-1
.
U
′
2
1 1
x x
′
 
= −
 ÷
 
(x
≠

0)
2
1 U
U U
′
′
 
= −
 ÷
 

(U 0)≠
′
)( x
=
x2
1
(x>0)
( )
U
U
2 U
′
′
=

(U 0)>
( )
( )
( )

( )
( )
xg
x
gx
xtg
x
tgx
xx
xx
2
2
/
2
2
/
/
/
cot1
sin
1
cot
1
cos
1
sincos
cossin
+−=−=
+==
−=

=
( )
( )
( )
( )
/
2
/
/
2
/
/
/
/
/
sin
1
cot
cos
1
.
.sincos
.cossin
U
U
gU
U
U
tgU
UUU

UUU
−=
=
−=
=
- Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)).
( )
U V U V
′
′ ′
± = ±

( )
UV U V UV
′
′ ′
= +

(k.U) k.U
′ ′
=
(k là hằng số)
2
U U .V U.V
V V
′
′ ′
−
 
=

 ÷
 

2
1 1
V V
′
 
= −
 ÷
 

- Đạo hàm của hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] ,
'g
x
=
u
f '
.
x
U
′
- Đạo hàm cấp cao của hàm số
Đạo hàm cấp 2 :
[ ]
f "(x) = f(x)' '
Đạo hàm cấp n :
n n-1
f (x) = f(x) '
 

 
Bài toán 1. Tìm đạo hàm của hàm số:
Bài tập 1: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1.
12
3
+−=
xxy
2.
3
2
2
5
+−=
x
xy
3.
2
4
2
10
x
xy
+=

4.
)1)(2(
3
++=
xxy

5.
)13(5
2
−=
xxy
6.
32
)5(
+=
xy
7.
)35)(1(
22
xxy
−+=
8.
)23)(12(
+−=
xxxy
9.
32
)3()2)(1(
+++=
xxxy

10.
1
2
2
−

=
x
x
y

11.
42
562
2
+
+−
=
x
xx
y

12.
1
35
2
++
−
=
xx
x
y
13.
76
2
++=

xxy
14.
21
++−=
xxy
15.
1)1(
2
+++=
xxxy
16.
12
32
2
+
+−
=
x
xx
y

2
3 2 1
17.
2 3
− +
=
−
x x
y

x

18) y =
2
3 2
2
x
x x
-
- +

19)
3
3
2
a b
y
x x
x
= −
20)
3 3
y a bx
= +

21)
2 2
3
3 3
2

y (a b )= −
22)
3
2 2
y x x=

23)
2
3 4
(x 2)
y
(x 1) (x 3)
+
=
+ +

24)
7 2
y (x x)= +

25)
2
y x 3x 2
= − +

26)
1 x
y
1 x
+

=
−

27)
1
y
x x
=
28/ y= x
2
1 x
+

29/ y=
x
(x
2
-
x
+1)
30/ y=
x
x
−
+
1
1

31/ y= (2x+3)
10

32/ y= (x
2
+3x-2)
20

Bài tập 2: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1)
xxy 3sin.sin3
2
=

2)
2
)cot1( xy
+=
3)
4
x
x
y
sin2
sin1
-
−
+
=
5)
2
sin

4
x
y
=

6)
xx
xx
y
cossin
cossin
−
+
=
7)
3
y cot (2x )
4
π
= +

8)
2
y 2 tan x= +

9)
3
cos x 4
y cot x
3sin x 3

= − +
10)
2
cos1-
2
x
y
+=

11)
22
)2sin1(
1
x
y
+
=

12) y =
4
sin 3x
p
-

13) y = cos ( x
3
)
14) y= 5sinx-3cosx
15) y = x.cotx
16)

3
2
y cot 1 x= +

17) y= sin(sinx)
18)
2
y sin (cos3x)=

19)
xsin x
y
1 tan x
=
+

20)
sin x x
y
x sin x
= +

21)
x 1
y tan
2
+
=

22)

y 1 2 tan x= +
Bài tập 3: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
dcx
bax
y
+
+
=

edx
cbxax
y
+
++
=
2

pnxmx
cbxax
y
++
++
=
2
2
Áp dung:
12
43
+−
+

=
x
x
y

12
2
2
−
−+−
=
x
xx
y

32
43
2
2
++
+−
=
xx
xx
y
Dạng toán 2. Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm:
Bài tập: Tìm đạo hàm các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:
a) y = x
2
+ x ; x

0
= 2
b) y =
x
1
; x
0
= 2
c) y =
1
1
+
−
x
x
; x
0
= 0
d) y =
x
- x; x
0
= 2
e) y = x
3
- x + 2; x
0
= -1
f) y =
1

12
−
−
x
x
; x
0
= 3
g) y = x.sinx; x
0
=
π
3
h) y = 4cos2x + 5 sin3x; x
0
=
π
3
i) Cho
13)(
+=
xxf
, tính f ’’(1)
k) Cho y = x cos2x . Tính f”(x)
m) Cho
( ) ( )
6
f x x 10
= +
.

( )
TÝnh f '' 2

l)
( )
f x sin3x
=
. Tính
( )
; 0
2 18
f '' f '' f ''
π π
   
− ;
 ÷  ÷
   
Dạng toán 3: CMR hệ thức chứa đạo hàm:
Bài tập 1. CM các hàm số thỏa mãn các hệ thức
a)
2
x 3
y ; 2y ' (y 1)y"
x 4
−
= = −
+
b)
2 3
y 2x x ; y y" 1 0

= − + =

c) Cho hàm số y =
xcos.xsin1
xcosxsin
33
−
+
; y’' = - y d) Cho y =
4x
3x
+
−
; 2(y’)
2
=(y -1)y’’
e) Cho y =
73xgxcotxgcot
3
1
3
++++−
; y’ = cotg
4
x f) Cho f(x) =
xsin1
xcos
2
2
+

;
3)
4
('f3)
4
(f
=
π
−
π
g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = 0
h) Cho hàm số:
2
22
2
++
=
xx
y
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’
2
i) Cho hàm số y = cos
2
2x.
a) Tính y”, y”’.
b) Tính giá trị của biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – 8.

Bài tập 2. Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x +sin x + x. b) f(x) =
xxcosxsin3

+−
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x
4
– 2x
3
– 1
Bài tập 3. Giải bất phương trình f
/
(x) < 0 với f(x) =
3
1
x
3
+x
2
+ π .
Bài tập 4. Cho
3 2
y x 3x 2= − +
. Tìm x để: a) y’> 0 b) y’< 0
5